专题训练(一)利用勾股定理解决问题

专题训练(一)利用勾股定理解决问

题

►类型一利用勾股定理解决平面图形问题

1．如图1－ZT－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，则CD＝________．

图1－ZT－1

2．如图1－ZT－2，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，D是斜边BC上的中点，E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF.

(1)若设BE＝a，CF＝b，且a－12＋|b－5|＝m－2＋2－m，求BE及CF的长；

(2)求证：BE2＋CF2＝EF2.

图1－ZT－2

►类型二利用勾股定理解决立体图形问题

3．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何．”题意是：如图1－ZT－3所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则葛藤的最短长度是________尺．

图1－ZT－3图1－ZT－4

4．2019·南宁期末如图1－ZT－4，一只蚂蚁从棱长为4 cm的正方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它爬行的最短路线的长是

________cm.

►类型三利用勾股定理解决折叠问题

5．如图1－ZT－5，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC ＝5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为________．

图1－ZT－5

6．[2019·重庆]如图1－ZT－6，把三角形纸片折叠，使点B，点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，得到∠AGE＝30°，若AE ＝EG＝2 3厘米，则△ABC的边BC的长为________厘米．

图1－ZT－6

►类型四利用勾股定理解决实际问题

7．如图1－ZT－7，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10 7千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的

区域．

(1)A市是否会受到台风的影响？请说明理由；

(2)如果A市会受到这次台风的影响，那么受台风影响的时间有多长？

图1－ZT－7

教师详解详析

1．3[解析] 如图，过点D作DE⊥AB于点E.

∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10.

∵AD 平分∠CAB ，∴CD ＝DE ，

∴S △ABC ＝12AC ·CD ＋12AB ·DE ＝12AC ·BC ，

即12×6·CD ＋12×10·CD ＝12×6×8，

解得CD ＝3.

2．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥0，2－m ≥0，

解得m ＝2， 则a －12＋|b －5|＝0，

∴a －12＝0，b －5＝0，∴a ＝12，b ＝5，

即BE ＝12，CF ＝5.

(2)证明：延长ED 到点P ，使DP ＝DE ，连接FP ，CP .

在△BED 和△CPD 中，DE ＝DP ，∠EDB ＝∠PDC ，BD ＝CD ， ∴△BED ≌△CPD (SAS)，

∴BE ＝CP ，∠B ＝∠DCP .

在△EDF 和△PDF 中，DE ＝DP ，∠EDF ＝∠PDF ＝90°，DF ＝DF ，

∴△EDF ≌△PDF (SAS)，∴EF ＝PF .

∵∠B ＝∠DCP ，∠A ＝90°，

∴∠B ＋∠ACB ＝90°，

∴∠ACB ＋∠DCP ＝90°，即∠FCP ＝90°.

在Rt △FCP 中，根据勾股定理，得CP 2＋CF 2＝PF 2.

∵BE ＝CP ，PF ＝EF ，

要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。∴BE 2＋CF 2＝EF 2.

3．25 [解析] 把这个圆柱平均分成5段，将其中一段沿一条高剪开，展开得到一个长方形，一条边(即这段圆柱的高)长4尺，另一条边长3尺，因此这一段葛藤长42＋32＝5(尺)．故葛藤的总长为5×5＝25(尺)．

4．4 5 [解析] ∵展开后由勾股定理得：AB 2＝42＋(4＋4)2＝80，∴AB ＝4 5 cm.

5.32 [解析] BC ＝AC 2－AB 2＝4.

由折叠的性质，得BE ＝B ′E ，AB ＝AB ′.

设BE ＝x ，则B ′E ＝x ，CE ＝4－x ，B ′C ＝AC －AB ′＝AC －AB ＝2.

在Rt △B ′EC 中，B ′E 2＋B ′C 2＝CE 2，

即x 2＋22＝(4－x )2，

解得x ＝32.

6．(4 3＋6) [解析] 过点E 作EM ⊥AG 于点M ，则由AE ＝EG ，得AG ＝2MG .

∵∠AGE＝30°，EG＝2 3厘米，

∴EM＝1

2EG＝3(厘米)．

在Rt△EMG中，由勾股定理，得MG＝（2 3）2－（3）2＝3(厘米)，

∴AG＝6厘米．

由折叠可知，BE＝AE＝2 3厘米，GC＝AG＝6厘米，

家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。∴BC＝BE＋EG＋GC＝2 3＋2 3＋6＝(4 3＋6)厘米．

家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。7．解：(1)会．理由：过点A作AC⊥

BF于点C，则AC＝1

2AB＝150千米<200千米，

∴A市会受到台风的影响．

(2)以点A为圆心，200千米为半径画弧，交BF于点D，E，则CE＝CD＝AD2－AC2＝2002－1502＝50 7(千米)，