第二章2[1].2.1 线性规划问题的图解法

x2 B 4x1 16
3E F
2
1
4x2 12
C
最优点
x1 2x2 8
D
A x1
0 1 2345678
➢ 沿着箭头方向平移目标函数等值线，达到可 行域中的最远点E, E点就是最优点;
➢ 对应坐标x1=4, x2=2 是最佳的产品组合, [4,2]T 就是线性规划模型的最优解
➢ 使产品的总利润达到最大值 maxZ=24+32=14就是目标函数最优值。
x1 2x2 ≤8 代表一个半平面 其边界: x1+2 x2 =8
x1+2 x2 =8 及x1，x2 ≥0
x2 B
Q4
3
2
x1 2x2 8
△ AOB
点A、B 连线AB △A0B
1
A x1
0 1 2345678
经济含义 ？
点A(8,0)：
全部的设备都用来生产Ⅰ产品而不生产Ⅱ 产品,那么Ⅰ产品的最大可能产量为8台,计 算过程为： x1+2×08 x18
一、 线性规划的图解法
－－－解的几何表示
1．什麽是图解法？
线性规划的图解法就是用几何作图 的方法分析并求出其最优解的过程。
求解的思路是：先将约束条件加以 图解，求得满足约束条件和非负条件的 解的集合（即可行域），然后结合目标 函数的要求从可行域中找出最优解。
2. 图解法举例
例2-1
max Z 2x1 3x2
C
x1 2x2 8
约束条件及
1
D
A x1
0 1 2345678
非负条件x1,x2 0 代表的公共部分－－图中阴影区，就是满足所
有约束条件和非负条件的点的集合，即可行域。
在这个区域中的每一个点都对应着一个可行的
生产方案。
令 Z=2x1+3x2=c, 其中c为任选的一个常 数，在图 中画出直线 2x1+3x2=c, 即对应着 一个可行的生产结果，即使两种产品的总利润 达到c。
唯一最优解
例2-3 将例2-1中目标要求改为极小化， 目标函数和约束条件均不变，则可行域与 例1-1相同，目标函数等值线也完全相同， 只是在求最优解时，应沿着与箭头相反的 方向平移目标函数等值线，求得的结果是
有唯一最优解x1=4,x2=2,对应着图2-6中
的坐标原点。
无穷多个最优解
max Z 2x1 3x2
点，它们都使目标函数取得相同的最大值 Zmax=14。
无界解
max Z x1 x2
x12x1x2
x2 ≤
≤ 2
4
x1, x2 ≥ 0
x2
6
4
2 x1
0
1
2
3
4
5
如图中可行域是一个无界区域，如阴影区所示。 虚线为目表函数等值线，沿着箭头指的方向平移可 以使目标函数值无限制地增大，但是找不到最优解。
max Z 2x1 3x2
x1 2x2 ≤ 8
4 4
x1 x2
≤16 ≤12
x1, x2 ≥ 0
x2 B 4x1 16
3E F
2
1
4x2 12
C
最优点
x1 2x2 8
A
D
x1
0
1 2345 678
结果
有唯一最优解 可行域是一个非空有界区域
讨论 可行域有几种可能 ? 解有几种可能 ?
用图解法求解线性规划的各种可能的结果
第二步：对约束条件加以图解。
第三步：画出目标函数等值线，结合目标函数 的要求求出最优解：最优生产方案。
第四步：最优解带入目标函数，得出最优值。
约束条件的图解:
每一个约束不等式在平面直角坐标系中 都代表一个半平面，只要先画出该半平面的 边界，然后确定是哪个半平面。
怎麽画边界
?
怎麽确定 半平面
以第一个约束条件: x1 2x2 ≤8 为例, 说明图解过程。
x1 2x2 ≤ 8
4 4
x1 x2
≤16 ≤12
x1, x2 ≥ 0
实施图解法，以求出最优生产计 划（最优解）, 给出最优值。
由于线性规划模型中只有两个决策 变量，因此只需建立平面直角坐标系就 可以进行图解了。
第一步：建立平面直角坐标系
标出坐标原点, 坐标轴的指向和单位 长度。用x1轴表示产品A的产量，用x2 轴表示产品B的产量。
这种情况通常称为无“有限最优解” 或“最优 解无界”。
如果一个实际问题抽象成像例1-4这样的线性规 划模型，比如是一个生产计划问题，其经济含义就是 某些资源是无限的，产品的产量可以无限大。此时应 重新检查和修改模型，否则就没有实际意义。
注意，对于无界可行域的情况，也可能有唯一
最优解或无穷多个最优解。
连接AB：
设备全部占用所生产 Ⅰ、Ⅱ数量对应的点 的集合。
△Ａ0 B：
设备没有全部占用所 生产Ⅰ、Ⅱ数量对应 的点的集合。
xB
2
Q4
3
2
x1 2x2 8
1
Ax
0 1 23456781
另两个约束条件的
x2 B 4x1 16
边界直线CD、EF:
3E
F
4x2 12
4x1≤16，4 x2 ≤12 2
尽管最优点的对应坐标可以直接从图中 给出，但是在大多数情况下，对实际问题精 确地看出一个解答是比较困难的。所以，通 常总是用解联立方程的方法求出最优解的精 确值。
比如C点对应的坐标值我们可以通过求 解下面的联立方程，即求直线AB和CD的交 点来求得。
直线AB: x1+2x2=8 直线CD: 4x1=16
{c1,c2} max Z x1 2x2
x1 2x2 ≤ 8 4x1 ≤16 4x2 ≤12 x1, x2 ≥ 0
x2
B
3
A
2
x1 2x2 8
1
x1
0
1 2345 678
沿着箭头的方向平移目标函数等值线， 发现平移的最终结果是目标函数等值线将 与可行域的一条边界线段AB重合。
结果表明，该线性规划有无穷多个 最优解－－线段AB上的所有点都是最优
这样的直线有无数条，且相互平行，称
这样的直线为目标函数等值线。只要画两条
目标函数等值线，如令 c＝0和c=6，可看出目 标函数值变化的方向, 即虚线 l1和l2,箭头为产 品的总利润递增的方向。
x2 B 4x1 16
3E F
2
1
4x2 12
C
最优点
x1 2x2 8
D
பைடு நூலகம்
A x1
0 1 2345678