1.4 条件概率的计算公式..《概率论与数理统计》课件
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概率论与数理统计第3讲
6
6
定义 1.2 设P(A)>0，则B对A的条件概率为
P( AB ) P( B | A) P( A) (1.10)
7
7
P( AB ) P( B | A) P( A)
(1.10)
但是不要以为通常的概率论问题都是根据式 (1.10)计算条件概率的，其实不然。在解 决许多问题时，条件概率是通过对试验 进行控制而更改了样本空间而得到的， 就是说，修改随机试验使得那个条件事 件A上升为必然事件或者新的样本空间， 然后再通过试验、思考或者计算得到 P(B|A)。
18
18
P( AB ) P( B | A) P( A)
(1.10)
因为如此，所以经常倒是利用式(1.10)来计算 P(AB)，即有如下的乘法法则： 定理 1.7 (乘法法则) 对两个事件A,B, 设 P(A)>0，则下式成立： P(AB)=P(A)P(B|A) (1.11)
19
19
P(AB)=P(A)P(B|A) (1.11) 这样的乘法法则可以推广到三个甚至更 多个事件上去。例如对于事件A，B，C， 就有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 这是因为上式右边头两项的乘积就是 P(AB)，再利用一次公式(1.11)就可得结 果。
22
22
而这道题当然也可以完全用古典概型的办法 来算，考虑上面的P(A)和P(B|A)乘到一起 5 4 就是 8 7 分母上正好是8个元素取两个的排列数， 是有次序地抽两个球的基本事件总数， 而分子上则是5个白球取两个的排列数， 这是在一个56个基本事件的试验中进行 计算，当然思考就复杂一些。
A C B
图1-3
28
28
从图中不难看出，事件A和B都是压住了内接 圆的一半，所以 1 P( A | C ) P( B | C ) 2
6
定义 1.2 设P(A)>0，则B对A的条件概率为
P( AB ) P( B | A) P( A) (1.10)
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P( AB ) P( B | A) P( A)
(1.10)
但是不要以为通常的概率论问题都是根据式 (1.10)计算条件概率的，其实不然。在解 决许多问题时，条件概率是通过对试验 进行控制而更改了样本空间而得到的， 就是说，修改随机试验使得那个条件事 件A上升为必然事件或者新的样本空间， 然后再通过试验、思考或者计算得到 P(B|A)。
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P( AB ) P( B | A) P( A)
(1.10)
因为如此，所以经常倒是利用式(1.10)来计算 P(AB)，即有如下的乘法法则： 定理 1.7 (乘法法则) 对两个事件A,B, 设 P(A)>0，则下式成立： P(AB)=P(A)P(B|A) (1.11)
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P(AB)=P(A)P(B|A) (1.11) 这样的乘法法则可以推广到三个甚至更 多个事件上去。例如对于事件A，B，C， 就有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 这是因为上式右边头两项的乘积就是 P(AB)，再利用一次公式(1.11)就可得结 果。
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而这道题当然也可以完全用古典概型的办法 来算，考虑上面的P(A)和P(B|A)乘到一起 5 4 就是 8 7 分母上正好是8个元素取两个的排列数， 是有次序地抽两个球的基本事件总数， 而分子上则是5个白球取两个的排列数， 这是在一个56个基本事件的试验中进行 计算，当然思考就复杂一些。
A C B
图1-3
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从图中不难看出，事件A和B都是压住了内接 圆的一半，所以 1 P( A | C ) P( B | C ) 2
《概率论与数理统计》全套课件PPT(完整版)
m?????若对于一随机试验每个样本点出现是等可能的样本空间所含的样本点个数为无穷多个且具有非零的有限的几何度量即则称这一随机试验是一几何概型的20义定义当随机试验的样本空间是某个区域并且任量意一点落在度量长度面积体积相同的子区域是等可能的则事件a的概率可定义为?mamap??说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时就归结为几何概率
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 ,两两互不相容, 则
P( Bi | A) P(B i | A).
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
(2) 设B1 ,B2 ,, Bn两两互不相容,则
n
n
P( Bi | A) P(B i | A).
30
i1
i1
(3) P(B | A) 1 P(B | A).
(4) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC | A).
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式: 由条件概率定义, 立即可得P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B | A).
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 ,两两互不相容, 则
P( Bi | A) P(B i | A).
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
(2) 设B1 ,B2 ,, Bn两两互不相容,则
n
n
P( Bi | A) P(B i | A).
30
i1
i1
(3) P(B | A) 1 P(B | A).
(4) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC | A).
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
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(二) 乘法公式: 由条件概率定义, 立即可得P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B | A).
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
概率论与数理统计完整ppt课件
化学
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
《概率论与数理统计》1.4条件概率
P( A B) P( AB) 1 个基本事件 P(B) 15
掷两颗骰子，观察出现的点数，设 x1 , x2分别表示第
一颗、第二颗骰子的点数，且设：
A ( x1, x2 ) x1 x2 10 B ( x1, x2 ) x1 x2
二. 乘法原理
由条件概率的定义：P( A
|
B)
P( AB) P(B)
若已知 P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).即有：
定理1：设 P(B)> 0 或 P(A)> 0，则:
P( AB) P(B)P( A B) P( A)P(B A)
注 乘法原理可推广到多个事件的积事件的情形：
(1) P(ABC) P( A) P(B A) P(C AB)
其中: P(AB) > 0
方法1: 在样本空间S中计算P(B),P(AB)
然后依 P ( A B ) 公式计算
AB { (6, 4) } P( AB) 1 ,
又 : P( A) 3 , 36
P(B) 15 36
从而: P(B A) P( AB) 1 P( A) 3
36Βιβλιοθήκη 样本空间S有36 个方基法本2: 事在件缩;减 A的中样有本3空个间基本S A 事和件S;B B中中计有算15
求: 该地区由疑似病人转为非典病人的概率. 解: 设 事件A: {非典病人}，事件B: {疑似病人}
(1) 若求 P(A), 则此时 S {1, 2, ,10000}
显然：P( A) 10 0.1% （千分之一） 10000
这是没有附加条件的概率 （无条件概率）
（2）该地区由疑似病人转为非典病人的概率为：p
P( AB) ,(P( A) 0)
P( A)
条件概率与事件独立性21页PPT
解 观察两个小孩性别的随机试验所构成的样本空间 ={(男, 男)、(男, 女)、(女, 男)、(女, 女)}． 则
A={(男,男), (男,女), (女,男)} 表示“两个小孩中至少有一个男孩”，
B={(女,女), (男,女), (女,男)} 表示“两个小孩中至少有一个女孩}”.
显然，P(A)=P(B)=3/4．现在B已经发生，排除了有两个男孩的
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
例4 今有一张足球票，n个人都想得到，故采用抽签的办法分 配这张票，试利用乘法公式说明每人得到足球票的概率都是 1/n．
解 将外形相同的个标签让个人依次抽取，事先将足球票放在
某标签中．记Ai={第i人抽到足球票} ，则 Ai A1L Ai1Ai ．由公
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
1.4.2 事件的独立性
一、事件的独立性 一般地 P(A|B)≠P(A), 即B的发生，会对A的发生产生影响，但
在某些情况下有Ｐ(A|B)＝P(A)，如：
设盒中3个白球，2个红球，从中取球两次，每次一个，就 a)不
放回取样; b)放回取样; 求下列事件的概率：
P(A)=0.2， P(B)=0.18， P(AB)=0.12，
则 P(A| B) P(AB) 0.12 0.67, P(B) 0.18
P(B | A) P(AB) 0.12 0.60, P(A) 0.2
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二、乘法公式
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
若Ｐ(B)>0, 则 P(AB) = P(B)·P(A |B)
定理1 若P(A1 A2… An-1)>0，则 P(A1 A2… An)＝ P(A1 ) P(A2| A1) P(A3| A1 A2) … P(An ｜A1 A2… An-1). 证 反复应用两个事件的乘法公式，得到
《条件概率》公开课教学PPT课件
贝叶斯网络模型简介
贝叶斯网络定义
一种基于概率图模型的 机器学习算法，用于表 示和推理不确定性知识。
网络结构
由有向无环图和条件概 率表组成，节点表示随 机变量，边表示变量间
的依赖关系。
推理算法
通过贝叶斯网络中的条 件概率表，利用推理算 法计算目标变量的后验
概率分布。
应用领域
广泛应用于分类、聚类、 预测等任务，如自然语 言处理、图像处理、医
掌握条件概率的概念和计算方法对于理解和应用概率论和数理统计具有重要意义。
教学目标和要求
教学目标
通过本课程的学习，使学生掌握条件概率的概念、计算方法和 应用，培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。
教学要求
要求学生能够熟练掌握条件概率的计算方法，理解条件概率在 实际问题中的应用，并能够运用所学知识解决一些实际问题。 同时，要求学生积极参与课堂讨论和思考，提高自己的思维能 力和解决问题的能力。
条件概率与独立性的关系
如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)=P(B)，即事件A的发生对事 件B的发生没有影响。
条件概率的应用
条件概率在实际问题中有着广泛的应用，如医学诊断、天气预报、金 融风险评估等领域。
拓展延伸：条件期望、条件方差等概念介绍
• 条件期望的定义与性质：条件期望是指在某一事件发生的条件下，另一 随机变量的期望值。它具有线性性、单调性等基本性质。
条件概率在贝叶斯定理中作用
先验概率与后验概率
01
条件概率在贝叶斯定理中，用于计算先验概率和后验概率，即
根据已知信息更新某事件发生的概率。
因果关系分析
02
条件概率可以帮助分析事件之间的因果关系，进而推断出未知
事件的发生概率。
1.4条件概率的计算公式
证明见书。
例 1.4.8 某车间有 100 台相同型号的冰箱待检验， 其中
60 台是甲流水线生产的， 25 台是乙流水线生产的， 15 台是
丙流水线生产的。已知这三条流水线的冰箱质量不同，它们 的不合格率依次为 0.1, 0.4, 0.2 ．一位检验员从这批冰箱中随 机地取了 1 台,问：检验员开箱测试后发现冰箱不合格，但这 台冰箱的流水线已经脱落，试问这台冰箱是甲、乙、丙流水 线生产的概率各为多少？
解 (1) 设 事 件 A 表 示 “ 取 到 的 冰 箱 不 合 格 ” ；事件
B1 , B2 , B3 分别表示“检验员取到的冰箱是甲、乙、丙流水线
生产的” ．且有
P(B , 1) 0.6
PB ( 2) 0 .2 5 ,
PB ( 3)0 .1 5 .
P (AB , 1) 0.1
P(A) P ( A B BA B ) 1 A 2 3
解：设B=“灯泡用到5000小时”，A=“灯泡用到10000小时”
3 1 P B ,P A 4 2
我们知道用到10000小时的灯泡一定用了5000小时，即
AB P A A B 所以AB=A， P 1 P P AB A 2 21 P A B P A 3 P B P B 32 4
1 1 2 2 3 3
每一原因都可能导致 发生，故 A A发生 Bi )=P(Bi)P (发生的概率是各原因引起 A |Bi) i1 P (AA 0 . 10 . 60 . 2 50 . 40 . 1 50 . 2 概率的总和 .“ 全”部概率 P( A )被分解成了许多部分之和 .
例1.4.5．设在一盒子中装有10只球，4只黑球，6只 白球，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽 样，问两次都拿到白球的概率是多少？
概率论与数理统计——1.4全概率公式与贝叶斯公式
2 个球都是白球的概率. 解 设事件A表示取出的2个球都是白球，事件Bi表 示所选袋子中装球的情况属于第i种（i=1,2,3）
8
易知
P(
B1
)
2 10
P(
B2
)
3 10
P(
B3
)
5 10
P( A|B1 )
C22 C62
1 15
P(A|B2 )
C32 C62
3 15
P( A|B3 )
一批产品中有次品数 0
1
2
3
4
概率
0.1 0.2 0.4 0.2
0.1
10
解 设事件Bi是一批产品中有i个次品（i=0,1,2,3， 4），设事件A是这批产品通过检查，即抽样检查
的10个产品都是合格品
则有 PA | B0 1
P(A | B1)
C10 99
C10 100
0.900
P(A
|
B2 )
C10 98
C10 100
0.809
P(A | B3)
C10 97
C10 100
0.727
P(A |
B4 )
C10 96
C10 100
0.652
4
所求的概率为 P(A) P(Bi )P(A | Bi ) 0.8142
i 1
11
例:有三个形状相同的箱子，在第一个箱中有两个 正品一个次品；在第二个箱中有三个正品一个次 品；在第三个箱中有两个正品两个次品. 现从任 何一个箱子中任取一件产品，求取得的是正品的 概率.
8
易知
P(
B1
)
2 10
P(
B2
)
3 10
P(
B3
)
5 10
P( A|B1 )
C22 C62
1 15
P(A|B2 )
C32 C62
3 15
P( A|B3 )
一批产品中有次品数 0
1
2
3
4
概率
0.1 0.2 0.4 0.2
0.1
10
解 设事件Bi是一批产品中有i个次品（i=0,1,2,3， 4），设事件A是这批产品通过检查，即抽样检查
的10个产品都是合格品
则有 PA | B0 1
P(A | B1)
C10 99
C10 100
0.900
P(A
|
B2 )
C10 98
C10 100
0.809
P(A | B3)
C10 97
C10 100
0.727
P(A |
B4 )
C10 96
C10 100
0.652
4
所求的概率为 P(A) P(Bi )P(A | Bi ) 0.8142
i 1
11
例:有三个形状相同的箱子，在第一个箱中有两个 正品一个次品；在第二个箱中有三个正品一个次 品；在第三个箱中有两个正品两个次品. 现从任 何一个箱子中任取一件产品，求取得的是正品的 概率.
概率论与数理统计条件概率PPT课件
（ 1 ） P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) = 0 . 9 × 0 . 9 = 0 . 8 1 （ 2 ） P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) － P ( A B ) = 0 . 9 + 0 . 9 － 0 . 8 1 = 0 . 9 9
（3）P(A B A B)=P(A B )+P( A B) =P(A)P( B )+P( A )P(B)
问题：条件概率P(B|A)与普通概率有何关系？
P(B| A) 6 6 / 20 P( AB ) 10 10 / 20 P( A)
《概率统计》
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§1.4.1 条件概率
一、 条件概率
1.定义1 设A，B为随机试验E 的两个事件，且P(A)＞0，则称
P(B| A)P(AB) P(A)
为在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率. 注：条件概率与普通概率有相类似的性质，如，
则 P(A) = 0.9，P(B) = 0.8，P(C) = 0.85
因 A、B、C 相互独立，所求概率分别为
(1) P(ABC)
(2) P(ABC)
(3) P ( A B C A B C A B C A B C )
算法 (1) P (ABC ) P (A )P (B )P (C )
(2) P (A B C )P (AB )1 C P (AB ) C (3) 略.
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二、多个事件的独立性
(1) 3个事件相互独立的定义
三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
P(AB) P(A)P(B)
P(AC) P(A)P(C)
（3）P(A B A B)=P(A B )+P( A B) =P(A)P( B )+P( A )P(B)
问题：条件概率P(B|A)与普通概率有何关系？
P(B| A) 6 6 / 20 P( AB ) 10 10 / 20 P( A)
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§1.4.1 条件概率
一、 条件概率
1.定义1 设A，B为随机试验E 的两个事件，且P(A)＞0，则称
P(B| A)P(AB) P(A)
为在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率. 注：条件概率与普通概率有相类似的性质，如，
则 P(A) = 0.9，P(B) = 0.8，P(C) = 0.85
因 A、B、C 相互独立，所求概率分别为
(1) P(ABC)
(2) P(ABC)
(3) P ( A B C A B C A B C A B C )
算法 (1) P (ABC ) P (A )P (B )P (C )
(2) P (A B C )P (AB )1 C P (AB ) C (3) 略.
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二、多个事件的独立性
(1) 3个事件相互独立的定义
三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
P(AB) P(A)P(B)
P(AC) P(A)P(C)
《概率统计》PPT课件
后抽比先抽的确实吃亏吗？
“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都 一样大.”
到底谁说的对呢？让我们用概率 论的知识来计算一下,每个人抽到“ 入场券”的概率到底有多大?
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”
我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i＝1,2,3,4,5. 则 A 表示“第 i个人未抽到入场券” i 显然，P(A1)=1/5，P( A1)＝4/5
P(A2)=0.4×0.5×(1－0.7)+0.5×0.7×(1－0.4)+ 0.4×0.7×(1－0.5)=0.41, P(A3)=0.4×0.5×0.7=0.14 P(B|A0)=0, P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1, 根据全概率公式有
P( B) P( B | Ai )P( Ai ) 0.458
P(Ai|B)，表示症状B由Ai引起的概率 若P(Ai|B), i=1,2,…,n中,最大的一个是P(A1|B),
我们便认为A1是生病的主要原因,下面的关键是:
计算 P(Ai|B), i=1,2,…,n
P( Ai B) P( B | Ai ) P( Ai ) P( Ai | B) n Bayes公式 P( B) P( B | Ai ) P( Ai )
也就是说，
第1个人抽到入场券的概率是1/5.
由于 由乘法公式
A2 A1 A2
因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.
P ( A2 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 )
也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未 抽到， 计算得：
P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5
同济大学《概率论与数理统计》PPT课件
随机事件 D=“出现的点数超过 6”= ，即一定不会发生的不可能事件。
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
四、随机事件之间的关系与运算
第1章 随机事件与概率 10
（1）事件的包含
若事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生, 则称事件A 包含在事件 B 中. 记作 A B .
BA
A B
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
3
某快餐店一天内接到的订单量；
4
航班起飞延误的时间；
5
一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
第1章 随机事件与概率 6
一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为
全体样本点的集合称为样本空间, 记为 , 也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成
的集合, 集合中的元素就是样本点. 样本空间可以是有限集, 可数集, 一个区间（或若干区间的并集）.
01 在相同的条件下试验可以重复进行;
OPTION
02 每次试验的结果不止一个, 但是试验之前可以明确;
OPTION
03 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.
OPTION
一、随机试验
例1
随机试验的例子
第1章 随机事件与概率 5
1 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；
2
抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
（互斥）.
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
2、随机事件之间的运算
第1章 随机事件与概率 12
（1）事件的并
事件 A 或 B至少有一个发生时, 称事件 A 与事件B 的并事件发生, 记为 A U B .
（2）事件的交（积）
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
四、随机事件之间的关系与运算
第1章 随机事件与概率 10
（1）事件的包含
若事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生, 则称事件A 包含在事件 B 中. 记作 A B .
BA
A B
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
3
某快餐店一天内接到的订单量；
4
航班起飞延误的时间；
5
一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
第1章 随机事件与概率 6
一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为
全体样本点的集合称为样本空间, 记为 , 也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成
的集合, 集合中的元素就是样本点. 样本空间可以是有限集, 可数集, 一个区间（或若干区间的并集）.
01 在相同的条件下试验可以重复进行;
OPTION
02 每次试验的结果不止一个, 但是试验之前可以明确;
OPTION
03 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.
OPTION
一、随机试验
例1
随机试验的例子
第1章 随机事件与概率 5
1 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；
2
抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
（互斥）.
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
2、随机事件之间的运算
第1章 随机事件与概率 12
（1）事件的并
事件 A 或 B至少有一个发生时, 称事件 A 与事件B 的并事件发生, 记为 A U B .
（2）事件的交（积）
概率论与数理统计公式
概率论与数理统计公式1.概率公式：
1.1概率加法公式：
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
1.2条件概率公式：
P(A，B)=P(A∩B)/P(B)
P(B，A)=P(A∩B)/P(A)
1.3乘法公式：
P(A∩B)=P(A)*P(B，A)
P(A∩B)=P(B)*P(A，B)
1.4全概率公式：
P(A)=ΣP(A，B_i)*P(B_i)
1.5贝叶斯公式：
P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)
2.数理统计中的基本概念和公式：
2.1样本均值：
样本均值 = (x1 + x2 + ... + xn) / n
2.2总体均值：
总体均值=(样本均值*n-x)/(n-1)
2.3样本方差：
样本方差 = Σ(xi - x̄)² / (n-1)
2.4总体方差：
总体方差= Σ(xi - µ)² / N
2.5样本标准差：
样本标准差=√(样本方差)
2.6总体标准差：
总体标准差=√(总体方差)
2.7样本中位数：
样本中位数=(x[n/2]+x[(n+1)/2])/2（当n为偶数时）
2.8样本四分位数：
样本四分位数Q1=x[(n+3)/4]
样本四分位数Q3=x[(3n+1)/4]
2.9标准正态分布的累积分布函数的逆函数：
Zα=Φ^(-1)(α)，其中Φ(z)表示标准正态分布的累积分布函数。
2.10卡方分布的累积分布函数的逆函数：
x^2α=χ^2^(-1)(α)，其中χ^2(x)表示卡方分布的累积分布函数。
《条件概率》课件
公式
联合概率公式
P(A和B) = P(A) * P(B｜A)
边缘概率公式
P(A) = ∑[P(A和Bi)], 其中Bi为所 有可能的B事件
条件概率公式
P(A｜B) = P(A和B) / P(B)
性质
1 加法法则
P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A和B)
3 全概率公式
P(A) = ∑[P(A｜Bi) * P(Bi)], 其中Bi为所有可 能的B事件
《条件概率》PPT课件
欢迎大家来到本次关于《条件概率》的PPT课件。今天我们将学习条件概率 的概念、公式、性质以及一些实例应用，让您更深入地了解这个重要的数学 概念。
概念
概率的定义
概率是指在一次随机事件中，某一结果发生的可能性或频率。
条件概率的定义
条件概率是指在给定一定条件下，某一事件发生的概率。
3
桶中含有苹果的概率问题
根据已知条件，计算从一个桶中取出的苹果为某种特定类型的概率。
机器判定眼疾的概率问题
根据机器判定结果和已知数据，评估机器正确判定眼疾的概率。
总结
1 一些注意点
理解条件概率的背后的数学原理以及如何应用条件概率进行问题求解。
2 重点回顾
重要的公式和性质，如联合概率公式、乘法法则、全概率公式和贝叶斯定理。
2 乘法法则
P(A和B) = P(A) * P(B｜A) = P(B) * P(A｜B)
4 贝叶斯定理
P(B｜A) = P(A｜B) * P(B) / P(A)
实例应用
1
疾病与人群的关系
了解一个人是否患有某种疾病的概率，基于该人在特定人群中的概率。
2
投骰子的概率问题
概率论与数理统计课件(完整)
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次 试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。 现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由 怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者， 即认为其接待时间是有规定的。
1.3 频率与概率
某人向目标射击， 以A表示事件“命中目标”， P（ A） =？ 定义:(p8) 事件A在n次重复试验中出现nA次，则 比值nA/n称为事件A在n次重复试验中
(1) P(A) ≥0；
(2) P()＝1；
(3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不 相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。 (1.1)
2.概率的性质 P(8-9) (1) 有限可加性：设A1，A2，…An , 是n个两两互 不相容的事件，即AiAj＝ ，(ij), i , j＝1, 2, …, n ,则有 P( A1 A2 … An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… P(An); (2) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)≥P(B) (3)事件差 A、B是两个事件， 则 P(A-B)=P(A)-P(AB)
种取法.
1、抽球问题
例1:设合中有3个白球，2个红球，现从合中 任抽2个球，求取到一红一白的概率。 解:设A-----取到一红一白
N () C
2 5
1 1 N ( A) C3 C2
CC 3 P( A) 2 C5 5
1 3
1 2
答:取到一红一白的概率为3/5
一般地，设盒中有N个球，其中有M个白 球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有
1.3 频率与概率
某人向目标射击， 以A表示事件“命中目标”， P（ A） =？ 定义:(p8) 事件A在n次重复试验中出现nA次，则 比值nA/n称为事件A在n次重复试验中
(1) P(A) ≥0；
(2) P()＝1；
(3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不 相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。 (1.1)
2.概率的性质 P(8-9) (1) 有限可加性：设A1，A2，…An , 是n个两两互 不相容的事件，即AiAj＝ ，(ij), i , j＝1, 2, …, n ,则有 P( A1 A2 … An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… P(An); (2) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)≥P(B) (3)事件差 A、B是两个事件， 则 P(A-B)=P(A)-P(AB)
种取法.
1、抽球问题
例1:设合中有3个白球，2个红球，现从合中 任抽2个球，求取到一红一白的概率。 解:设A-----取到一红一白
N () C
2 5
1 1 N ( A) C3 C2
CC 3 P( A) 2 C5 5
1 3
1 2
答:取到一红一白的概率为3/5
一般地，设盒中有N个球，其中有M个白 球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有
概率论与数理统计教程ppt课件
1. 确定性现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
16 March 2020
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第3页
1.1.1 随机现象
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.
16 March 2020
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
例1.2.1 六根草，头两两相接、
尾两两相接。求成环的概率.
解：用乘法原则直接计算 所求概率为
644221 8 6 5 4 3 2 1 15
第30页
16 March 2020
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
3. 若 AnF ，n=1, 2, …, 则
UFA.n
n 1
16 March 2020
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第21页
§1.2 概率的定义及其确定方法
• 直观定义 —— 事件A 出现的可能性大小.
• 统计定义 —— 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率.
2. 样本点 —— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
16 March 2020
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第5页
1.1.3 随机事件
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
16 March 2020
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第一章 随机事件与概率
第3页
1.1.1 随机现象
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.
16 March 2020
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第一章 随机事件与概率
例1.2.1 六根草，头两两相接、
尾两两相接。求成环的概率.
解：用乘法原则直接计算 所求概率为
644221 8 6 5 4 3 2 1 15
第30页
16 March 2020
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第一章 随机事件与概率
3. 若 AnF ，n=1, 2, …, 则
UFA.n
n 1
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第一章 随机事件与概率
第21页
§1.2 概率的定义及其确定方法
• 直观定义 —— 事件A 出现的可能性大小.
• 统计定义 —— 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率.
2. 样本点 —— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
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第一章 随机事件与概率
第5页
1.1.3 随机事件
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
概率论与数理统计课件 完整版
2020/4/3
二、随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
1.确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.
实例
“太阳不会从西边升起”, “水从高处流向低处”, “可导必连续”, 确定性现象的特征: 条件完全决定结果
2020/4/3
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观 察正反两面出现的情况”. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
解：用 i 表示掷骰子出现的点数为 i,i1,6;
{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 基本事件 A i {i}i,i , 1 ,2 , ,6 ;
A{2,4,6}; B{1,3,5}.
2020/4/3
小结
1 随机现象的特征: 条件不能完全决定结果.
2. 随机现象是通过随机试验来研究的.
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人 数.
4. 考察某地区 10 月 份的平均气温.
5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
2020/4/3
四、概率的统计定义
１、随机事件：在试验的结果中，可能发生、也可能不发 生的事件。比如，抛硬币试验中，”徽花向上”是随机事 件；掷一枚骰子中，”出现奇数点”是一个随机事件等。
其结果可能为: 正品 、次品.
实例5 “过马路交叉口时,命” 可长可 短. 随机现象的特征: 条件不能完全决定结果
2020/4/3
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现 具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现 象这种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
二、随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
1.确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.
实例
“太阳不会从西边升起”, “水从高处流向低处”, “可导必连续”, 确定性现象的特征: 条件完全决定结果
2020/4/3
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观 察正反两面出现的情况”. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
解：用 i 表示掷骰子出现的点数为 i,i1,6;
{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 基本事件 A i {i}i,i , 1 ,2 , ,6 ;
A{2,4,6}; B{1,3,5}.
2020/4/3
小结
1 随机现象的特征: 条件不能完全决定结果.
2. 随机现象是通过随机试验来研究的.
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人 数.
4. 考察某地区 10 月 份的平均气温.
5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
2020/4/3
四、概率的统计定义
１、随机事件：在试验的结果中，可能发生、也可能不发 生的事件。比如，抛硬币试验中，”徽花向上”是随机事 件；掷一枚骰子中，”出现奇数点”是一个随机事件等。
其结果可能为: 正品 、次品.
实例5 “过马路交叉口时,命” 可长可 短. 随机现象的特征: 条件不能完全决定结果
2020/4/3
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现 具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现 象这种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
概率论与数理统计PPT课件
24
例6: (抽签问题)一袋中有a个红球，b个白球，记a＋b＝n． 设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球， 不放回地摸n次。 设 { 第k次摸到红球 }，k＝1,2,…,n．求 解1：
号球为红球，将n个人也编号为1,2,…,n．
----------与k无关
可设想将n个球进行编号： 其中
18
性质：
19
§4 等可能概型（古典概型）
定义：若试验E满足：S中样本点有限(有限性)出现每一样本点的概率相等(等可能性)
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
20
例1：一袋中有8个球，编号为1－8，其中1－3 号为红球，4－8号为黄球，设摸到每一 球的可能性相等，从中随机摸一球， 记A={ 摸到红球 }，求P(A)．
31
三、全概率公式与Bayes公式
定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn 为E的一组事件。若： 则称B1,B2,…,Bn为S的一个划分,或称为一组完备事件组。
即：B1,B2,…,Bn至少有一发生是必然的，两两同时发生又是不可能的。
32
定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件。B1,B2,…,Bn为S的一个划分，P(Bi)>0，i=1,2,…,n； 则称：
试验序号
n =5
n =50
n =500
nH
fn(H)
nH
fn(H)
nH
fn(H)
12345678910
2315124233
0.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6
22252125242118242731
0.440.500.420.500.480.420.360.480.540.62
例6: (抽签问题)一袋中有a个红球，b个白球，记a＋b＝n． 设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球， 不放回地摸n次。 设 { 第k次摸到红球 }，k＝1,2,…,n．求 解1：
号球为红球，将n个人也编号为1,2,…,n．
----------与k无关
可设想将n个球进行编号： 其中
18
性质：
19
§4 等可能概型（古典概型）
定义：若试验E满足：S中样本点有限(有限性)出现每一样本点的概率相等(等可能性)
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
20
例1：一袋中有8个球，编号为1－8，其中1－3 号为红球，4－8号为黄球，设摸到每一 球的可能性相等，从中随机摸一球， 记A={ 摸到红球 }，求P(A)．
31
三、全概率公式与Bayes公式
定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn 为E的一组事件。若： 则称B1,B2,…,Bn为S的一个划分,或称为一组完备事件组。
即：B1,B2,…,Bn至少有一发生是必然的，两两同时发生又是不可能的。
32
定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件。B1,B2,…,Bn为S的一个划分，P(Bi)>0，i=1,2,…,n； 则称：
试验序号
n =5
n =50
n =500
nH
fn(H)
nH
fn(H)
nH
fn(H)
12345678910
2315124233
0.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6
22252125242118242731
0.440.500.420.500.480.420.360.480.540.62
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n
P(Bj)P(A Bj)
j 1
总结：贝叶斯公式在概率论与数理统计中有 着多方面的应用，假定 , B1 B是2,导,致Bn试验结果 的“原因”,P( )称B为i 先验概率，它反映了各种 “原因”发生的可能性的大小，一般是以往经 验的总结，在这次试验前已经知道，现在若试 验产生了事件A，这个信息将有助与探讨事件 发生的“原因”，条件概率P( A Bi ) 称为后验概率， 它反映了试验之后对各种“原因”发生的可能 性大小的新知识，例如在医疗诊断中，有人为 了对诊 病断 人病 进人 行到 观底察是与患检了查，, 确B 1定B中2了,的某,那B个n一指种标病（，譬 如体温、脉搏、转氨酶含量等）他想用这类指 标来帮助诊断 ,这时可以用贝叶斯公式来
……
PA7
1 7
注意：抽签问题或抓阄问题大家机会均等,不必 争先恐后.
全概率公式
先看一个具体例子 例1.4.4 有外形相同的球分别装两个袋子，设 甲袋有6只白球，4只红球，乙袋中有3只白球6 只红球，现在先从每袋中各任取一球再从取出 的二球中任取一球，求此球是白球的概率.
解: 令B=｛最后取出的球是白球｝,显然导致B发 生的“原因”可能是取出的二球中有0只或1只 或2只白球,因此,如果A令i =｛先取出的二球有只 白球 ｝， i=0，1，2.则B= BA 0 B A 1B A 2 由概率的有限可加性
计算有关概率，首先必须确定先验概率P( )B这i 实 际上是确定患各种疾病的大小，以往的资料可 以给出一些初步数据（称为发病率），其次要 确定 P(这A B当i )然要依靠医学知识，一般地，有 经验的医生 掌握P得( A比Bi )较准，从概率论的角
度P( A)的概率B较i 大，病人患 种病的可B能i 性较 大，应多加考虑，在实际工作中检查指标A一 般有多个，综合所有的后验概率，会对诊断有 很大的帮助，在实现计算机自动诊断或辅助诊 断中，这种方法是实用价值的.
定理1.4.1 有=
,（设n 亦B i B,称1 ,B ,2
是一, B列n 互不相容的事件，且 ， 为样B 1本B 空2 间, Bn 的一个剖
i1
分 ），则对任何事件A，有P(A)=
n
P ( B i ) P( A Bi )
i 1
证明：因为
n
AAA(
Bi)由n(, A，Bi)
是一B 1 列B 2互不, B相n
§1.4 有关条件概率的计算公式
一、条件概率 二、乘法公式 三、全概率公式 四、贝叶斯公式
条件概率
前面讨论了事件和概率这两个概念， 对于给定的一个随机试验，要求出一个指 定的随机事件A∈F 的概率P(A),需要花很 大的力气，现在将讨论继续引入深入，设 两个事件A,B∈F,则有加法公式
P AB P A P B
对于全概率公式，我们要注意以下三点:
（1）全概率公式的最简单形式,如果 0P(，B)则1
（2）全概P (率A )公P 式(B 可)P 以(A 推B )广 到P (B 可)P 列(A 个B 事)件的情形，
即设 , ， . 是一列互不相容的事件，且
有 P(A)=
B 1 P ，(BB 2 i.)=0 ,,B，in ,则1 ,2 对, 任何i 1 B事i 件 A，有
（3）条件 , ， .为样本空 间P ( Bi )的P(一A B个i ) 分割，可
i 1
改写为B 1 ,B，2 .互Bn不相容,且 仍然成立。 B 1 B 2 Bn
, 全概率公式 n A Bi i 1
例1.4.5 某工厂有四条生产线生产同一中产品，该 四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%， 30%，35%，又这四条流水线的不合格品率为5%， 4%，3%，及2%，现在从出厂的产品中任取一件， 问恰好抽到不合格品的概率为多少？
2）如果要求与第二步试验结果有关的概率， 则用全概率公式.
例1.4.6 某保险公司认为，人可以分为两类， 第一类是容易出事故的，另一类，则是比较谨 慎，保险公司的统计数字表明，一个容易出事 故的人在一年内出一次事故的概率为0.04，而 对于比较谨慎的人这个概率为0.02，如果第一 类人占总人数的30%，那么一客户在购买保险 单后一年内出一次事故的概率为多少？已知一 客户在购买保险单后一年内出一次事故，那么， 他属于那一类型的人？
这两种情况下算出的概率不同，这也很容易理
解，因为在第二种情况下我们多知道了一个条
件. 记B=｛这个家庭中至少有一个女孩｝，因
此我们算得的概率是“在已知事件B发生的条件
下，事件A发生”的概率，这个概率称为条件概
率，记为P（A|B）.
P（A|B）= 2
=
2 4
=P ( AB )
.
3
3
P (B )
4
和事件B∈F,如果P(B)>０，则条件概率 P 也B 是
（Ω，F）上的一个概率测度,特别，当时 B，
P B就 是原来 的P 概 率测度,所以不妨将原来的
概率看成条件概率的极端情形，还可以验证：
4） P B 0
5） PAB1PAB
6） P A 1A 2 B P A 1 B P A 2 B P A 1 A 2 B
例1.4.3 （抽签问题）有一张电影票，7个
人抓阄决定谁得到它，问第个人抓到票的概率
是多少？
（i=1，2，…，7）
解 :设 =A｛i 第i个人抓到票｝, i1,2, ,7
显然 PA171,,P 如A果第76二个人抓到票的话,必须第一
个人没有抓到票.这就是说 ,所以 A2 A,1于是可 以利A用2 概A率2A1的乘法公式，因为在第一个人没有抓 到票的情况下，第二个人有希望在剩下的6个阄中
解:1） P ( A B ) P A P B P A B 0 . 2 0 0 . 1 8 0 . 1 2 0 . 2 6
2） P(AB)P PA B B0 0..1 12 80.67;
3） P(BA)P PA A B0 0..1 22 00.60 .
此例表明，甲乙两市出现雨天是有联系的.
解:设A=｛客户购买保险单后一年内出一次事故｝, B= ｛他属于容易出事故的人｝,
由全概率公式有
P(A)=P(B)P(A|B) +P(A )P(B| )A =0.3 0.04+ 1 0.3
0.02=0.026.
由条件概率公式P( = 6,
BA)=
P P
A=ABP (B)P(A|B)\P(A)
13
容的事件，可得A
Ai1
,
i1
， 是B互1 不B 相2 容,的AB,所n 以
由有限可加性可得
n
n
P(A)P( ABi) (ABi)
i1
再由乘法公式
i1
P ( A B i) P ( B i) P ( A B i) ,i 1 ,2 , ,n
代入上式得到
n
P(A)= P ( B i ) P( A Bi ) i 1
抓到电影票，
所以，
P A2 A1
1 6
P A 2 P A 2 A 1 P A 1P A 2A 1 7 6 1 6 7 1
类似可得
P A 3 P A 1 A 2 A 3 P A 1 P A 2 A 1 P A 3 A 1 A 2 7 6 6 5 1 5 7 1
2) 如果要求与第一步试验结果有关的概率， 则用贝叶斯公式.
在上面介绍的有关条件概率的几个公式中， 乘法公式是求积事件的概率，全概率公式是求 一个复杂事件的概率，而贝叶斯公式是可以用 来求条件概率.
乘法公式
由条件概率的定义可知，当P(A)>0时，P(AB)= P(A)P( B )A,同理,当P(B)>0时,P(AB)= P(B)P( ). A B 这个公式称为乘法公式乘法公式可以推广到个事 件的情形， P(A 1A2 =An) P(A1)P(A2 A1)P(A3 A1A2)P(An A1A2..A .n1)
同理可得 P( BA)= .7
13
贝叶斯公式
在上面的计算中,事实上已经建立了一个极为 有用的公式：
定理1.4.2 若 , B 1 是B一2,列,互Bn不相容的事件，
且 = ,P( )>n0B, i . B i
i1,2, ,n
i1
则对任一事件A,P(A)>0有P( BAi )=
n
P
(
B
i
)
P
(
A
.
例1.4.7 用甲胎蛋白法普查肝癌，令C=｛被检验 者患肝癌｝,A=｛甲胎蛋白法检查结果为阳性｝, 则C =｛被检验者未患肝癌｝, ｛甲胎蛋A 白法检 查结果为阴性｝由过去资料 P(A|C)=0.95, P(A C )=0.90.又已知某地居民
的肝癌发病率P(C)=0.0004，在普查中查出一批甲 胎蛋白检查结果为阳性的人，求这批人中患有 肝癌的概率P(C|A).
P ( B i ) P( A Bi )
= 1 % 5 % 5 2 % 4 % 0 i 3 1 % = 03 .0% 30 1 53 % 2 % 5
注意 ：一般地，能用全概率公式解决的问 题都有以下特点：
1）该随机试验可以分为两步，第一步试验有 若干个可能结果，在第一步试验结果的基础 上，再进行第二次试验，又有若干个结果；
解 :由贝叶斯公式
P( CA)=
P(C)P(=AC)
. 0.00 0 0.9 45 0.00
P(C)P(AC)P(C)P(AC) 0.00 0 0.9 4 50.99 9 0.1 6
由此例可知道，经甲胎蛋白法检查结果为阳性的人
群中，其实真正患肝癌的人还是很少的，（只占
0.38%），把P(C|A)=0.0038和已知的P(A|C)=0.95
这虽然是一个特殊的例子，但是容易验 证对一般的古典概型，只要 P(B)>0上述 等式总是成立的，同样对几何概率上述关 系式也成立.
P(Bj)P(A Bj)
j 1
总结：贝叶斯公式在概率论与数理统计中有 着多方面的应用，假定 , B1 B是2,导,致Bn试验结果 的“原因”,P( )称B为i 先验概率，它反映了各种 “原因”发生的可能性的大小，一般是以往经 验的总结，在这次试验前已经知道，现在若试 验产生了事件A，这个信息将有助与探讨事件 发生的“原因”，条件概率P( A Bi ) 称为后验概率， 它反映了试验之后对各种“原因”发生的可能 性大小的新知识，例如在医疗诊断中，有人为 了对诊 病断 人病 进人 行到 观底察是与患检了查，, 确B 1定B中2了,的某,那B个n一指种标病（，譬 如体温、脉搏、转氨酶含量等）他想用这类指 标来帮助诊断 ,这时可以用贝叶斯公式来
……
PA7
1 7
注意：抽签问题或抓阄问题大家机会均等,不必 争先恐后.
全概率公式
先看一个具体例子 例1.4.4 有外形相同的球分别装两个袋子，设 甲袋有6只白球，4只红球，乙袋中有3只白球6 只红球，现在先从每袋中各任取一球再从取出 的二球中任取一球，求此球是白球的概率.
解: 令B=｛最后取出的球是白球｝,显然导致B发 生的“原因”可能是取出的二球中有0只或1只 或2只白球,因此,如果A令i =｛先取出的二球有只 白球 ｝， i=0，1，2.则B= BA 0 B A 1B A 2 由概率的有限可加性
计算有关概率，首先必须确定先验概率P( )B这i 实 际上是确定患各种疾病的大小，以往的资料可 以给出一些初步数据（称为发病率），其次要 确定 P(这A B当i )然要依靠医学知识，一般地，有 经验的医生 掌握P得( A比Bi )较准，从概率论的角
度P( A)的概率B较i 大，病人患 种病的可B能i 性较 大，应多加考虑，在实际工作中检查指标A一 般有多个，综合所有的后验概率，会对诊断有 很大的帮助，在实现计算机自动诊断或辅助诊 断中，这种方法是实用价值的.
定理1.4.1 有=
,（设n 亦B i B,称1 ,B ,2
是一, B列n 互不相容的事件，且 ， 为样B 1本B 空2 间, Bn 的一个剖
i1
分 ），则对任何事件A，有P(A)=
n
P ( B i ) P( A Bi )
i 1
证明：因为
n
AAA(
Bi)由n(, A，Bi)
是一B 1 列B 2互不, B相n
§1.4 有关条件概率的计算公式
一、条件概率 二、乘法公式 三、全概率公式 四、贝叶斯公式
条件概率
前面讨论了事件和概率这两个概念， 对于给定的一个随机试验，要求出一个指 定的随机事件A∈F 的概率P(A),需要花很 大的力气，现在将讨论继续引入深入，设 两个事件A,B∈F,则有加法公式
P AB P A P B
对于全概率公式，我们要注意以下三点:
（1）全概率公式的最简单形式,如果 0P(，B)则1
（2）全概P (率A )公P 式(B 可)P 以(A 推B )广 到P (B 可)P 列(A 个B 事)件的情形，
即设 , ， . 是一列互不相容的事件，且
有 P(A)=
B 1 P ，(BB 2 i.)=0 ,,B，in ,则1 ,2 对, 任何i 1 B事i 件 A，有
（3）条件 , ， .为样本空 间P ( Bi )的P(一A B个i ) 分割，可
i 1
改写为B 1 ,B，2 .互Bn不相容,且 仍然成立。 B 1 B 2 Bn
, 全概率公式 n A Bi i 1
例1.4.5 某工厂有四条生产线生产同一中产品，该 四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%， 30%，35%，又这四条流水线的不合格品率为5%， 4%，3%，及2%，现在从出厂的产品中任取一件， 问恰好抽到不合格品的概率为多少？
2）如果要求与第二步试验结果有关的概率， 则用全概率公式.
例1.4.6 某保险公司认为，人可以分为两类， 第一类是容易出事故的，另一类，则是比较谨 慎，保险公司的统计数字表明，一个容易出事 故的人在一年内出一次事故的概率为0.04，而 对于比较谨慎的人这个概率为0.02，如果第一 类人占总人数的30%，那么一客户在购买保险 单后一年内出一次事故的概率为多少？已知一 客户在购买保险单后一年内出一次事故，那么， 他属于那一类型的人？
这两种情况下算出的概率不同，这也很容易理
解，因为在第二种情况下我们多知道了一个条
件. 记B=｛这个家庭中至少有一个女孩｝，因
此我们算得的概率是“在已知事件B发生的条件
下，事件A发生”的概率，这个概率称为条件概
率，记为P（A|B）.
P（A|B）= 2
=
2 4
=P ( AB )
.
3
3
P (B )
4
和事件B∈F,如果P(B)>０，则条件概率 P 也B 是
（Ω，F）上的一个概率测度,特别，当时 B，
P B就 是原来 的P 概 率测度,所以不妨将原来的
概率看成条件概率的极端情形，还可以验证：
4） P B 0
5） PAB1PAB
6） P A 1A 2 B P A 1 B P A 2 B P A 1 A 2 B
例1.4.3 （抽签问题）有一张电影票，7个
人抓阄决定谁得到它，问第个人抓到票的概率
是多少？
（i=1，2，…，7）
解 :设 =A｛i 第i个人抓到票｝, i1,2, ,7
显然 PA171,,P 如A果第76二个人抓到票的话,必须第一
个人没有抓到票.这就是说 ,所以 A2 A,1于是可 以利A用2 概A率2A1的乘法公式，因为在第一个人没有抓 到票的情况下，第二个人有希望在剩下的6个阄中
解:1） P ( A B ) P A P B P A B 0 . 2 0 0 . 1 8 0 . 1 2 0 . 2 6
2） P(AB)P PA B B0 0..1 12 80.67;
3） P(BA)P PA A B0 0..1 22 00.60 .
此例表明，甲乙两市出现雨天是有联系的.
解:设A=｛客户购买保险单后一年内出一次事故｝, B= ｛他属于容易出事故的人｝,
由全概率公式有
P(A)=P(B)P(A|B) +P(A )P(B| )A =0.3 0.04+ 1 0.3
0.02=0.026.
由条件概率公式P( = 6,
BA)=
P P
A=ABP (B)P(A|B)\P(A)
13
容的事件，可得A
Ai1
,
i1
， 是B互1 不B 相2 容,的AB,所n 以
由有限可加性可得
n
n
P(A)P( ABi) (ABi)
i1
再由乘法公式
i1
P ( A B i) P ( B i) P ( A B i) ,i 1 ,2 , ,n
代入上式得到
n
P(A)= P ( B i ) P( A Bi ) i 1
抓到电影票，
所以，
P A2 A1
1 6
P A 2 P A 2 A 1 P A 1P A 2A 1 7 6 1 6 7 1
类似可得
P A 3 P A 1 A 2 A 3 P A 1 P A 2 A 1 P A 3 A 1 A 2 7 6 6 5 1 5 7 1
2) 如果要求与第一步试验结果有关的概率， 则用贝叶斯公式.
在上面介绍的有关条件概率的几个公式中， 乘法公式是求积事件的概率，全概率公式是求 一个复杂事件的概率，而贝叶斯公式是可以用 来求条件概率.
乘法公式
由条件概率的定义可知，当P(A)>0时，P(AB)= P(A)P( B )A,同理,当P(B)>0时,P(AB)= P(B)P( ). A B 这个公式称为乘法公式乘法公式可以推广到个事 件的情形， P(A 1A2 =An) P(A1)P(A2 A1)P(A3 A1A2)P(An A1A2..A .n1)
同理可得 P( BA)= .7
13
贝叶斯公式
在上面的计算中,事实上已经建立了一个极为 有用的公式：
定理1.4.2 若 , B 1 是B一2,列,互Bn不相容的事件，
且 = ,P( )>n0B, i . B i
i1,2, ,n
i1
则对任一事件A,P(A)>0有P( BAi )=
n
P
(
B
i
)
P
(
A
.
例1.4.7 用甲胎蛋白法普查肝癌，令C=｛被检验 者患肝癌｝,A=｛甲胎蛋白法检查结果为阳性｝, 则C =｛被检验者未患肝癌｝, ｛甲胎蛋A 白法检 查结果为阴性｝由过去资料 P(A|C)=0.95, P(A C )=0.90.又已知某地居民
的肝癌发病率P(C)=0.0004，在普查中查出一批甲 胎蛋白检查结果为阳性的人，求这批人中患有 肝癌的概率P(C|A).
P ( B i ) P( A Bi )
= 1 % 5 % 5 2 % 4 % 0 i 3 1 % = 03 .0% 30 1 53 % 2 % 5
注意 ：一般地，能用全概率公式解决的问 题都有以下特点：
1）该随机试验可以分为两步，第一步试验有 若干个可能结果，在第一步试验结果的基础 上，再进行第二次试验，又有若干个结果；
解 :由贝叶斯公式
P( CA)=
P(C)P(=AC)
. 0.00 0 0.9 45 0.00
P(C)P(AC)P(C)P(AC) 0.00 0 0.9 4 50.99 9 0.1 6
由此例可知道，经甲胎蛋白法检查结果为阳性的人
群中，其实真正患肝癌的人还是很少的，（只占
0.38%），把P(C|A)=0.0038和已知的P(A|C)=0.95
这虽然是一个特殊的例子，但是容易验 证对一般的古典概型，只要 P(B)>0上述 等式总是成立的，同样对几何概率上述关 系式也成立.