1.4 条件概率的计算公式..《概率论与数理统计》课件

解:设A=｛客户购买保险单后一年内出一次事故｝, B= ｛他属于容易出事故的人｝,
由全概率公式有
P(A)=P(B)P(A|B) +P(A )P(B| )A =0.3 0.04+ 1 0.3
0.02=0.026.
由条件概率公式P( = 6,
BA)=
P P
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A=ABP (B)P(A|B)\P(A)
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对于全概率公式，我们要注意以下三点:
（1）全概率公式的最简单形式,如果 0P(，B)则1
（2）全概P (率A )公P 式(B 可)P 以(A 推B )广 到P (B 可)P 列(A 个B 事)件的情形，
即设 , ， . 是一列互不相容的事件，且
有 P(A)=
B 1 P ，(BB 2 i.)=0 ,,B，in ,则1 ,2 对, 任何i 1 B事i 件 A，有
……
PA7
1 7
注意：抽签问题或抓阄问题大家机会均等,不必 争先恐后.
全概率公式
先看一个具体例子 例1.4.4 有外形相同的球分别装两个袋子，设 甲袋有6只白球，4只红球，乙袋中有3只白球6 只红球，现在先从每袋中各任取一球再从取出 的二球中任取一球，求此球是白球的概率.
解: 令B=｛最后取出的球是白球｝,显然导致B发 生的“原因”可能是取出的二球中有0只或1只 或2只白球,因此,如果A令i =｛先取出的二球有只 白球 ｝， i=0，1，2.则B= BA 0 B A 1B A 2 由概率的有限可加性
例1.4.7 用甲胎蛋白法普查肝癌，令C=｛被检验 者患肝癌｝,A=｛甲胎蛋白法检查结果为阳性｝, 则C =｛被检验者未患肝癌｝, ｛甲胎蛋A 白法检 查结果为阴性｝由过去资料 P(A|C)=0.95, P(A C )=0.90.又已知某地居民
的肝癌发病率P(C)=0.0004，在普查中查出一批甲 胎蛋白检查结果为阳性的人，求这批人中患有 肝癌的概率P(C|A).
计算有关概率，首先必须确定先验概率P( )B这i 实 际上是确定患各种疾病的大小，以往的资料可 以给出一些初步数据（称为发病率），其次要 确定 P(这A B当i )然要依靠医学知识，一般地，有 经验的医生 掌握P得( A比Bi )较准，从概率论的角
度P( A)的概率B较i 大，病人患 种病的可B能i 性较 大，应多加考虑，在实际工作中检查指标A一 般有多个，综合所有的后验概率，会对诊断有 很大的帮助，在实现计算机自动诊断或辅助诊 断中，这种方法是实用价值的.
解: 设 B“i 从出厂的产品中任取一件，为第条流
水生产线的” i 1,2.,3,4
A=“从出厂的产品中任取一件，抽到的恰好为 不合格品”.由题意知
P(B1)15% P(B2)20%,P(B3)30% P(B4)35%
P(AB1)5%P(AB2)4% P(AB3)3% P(AB4)2%
n
由全概率公式P(A)=
乘法公式
由条件概率的定义可知，当P(A)>0时，P(AB)= P(A)P( B )A,同理,当P(B)>0时,P(AB)= P(B)P( ). A B 这个公式称为乘法公式乘法公式可以推广到个事 件的情形， P(A 1A2 =An) P(A1)P(A2 A1)P(A3 A1A2)P(An A1A2..A .n1)
和事件B∈F,如果P(B)>０，则条件概率 P 也B 是
（Ω，F）上的一个概率测度,特别，当时 B，
P B就 是原来 的P 概 率测度,所以不妨将原来的
概率看成条件概率的极端情形，还可以验证：
4） P B 0
5） PAB1PAB
6） P A 1A 2 B P A 1 B P A 2 B P A 1 A 2 B
n
P(Bj)P(A Bj)
j 1
总结：贝叶斯公式在概率论与数理统计中有 着多方面的应用，假定 , B1 B是2,导,致Bn试验结果 的“原因”,P( )称B为i 先验概率，它反映了各种 “原因”发生的可能性的大小，一般是以往经 验的总结，在这次试验前已经知道，现在若试 验产生了事件A，这个信息将有助与探讨事件 发生的“原因”，条件概率P( A Bi ) 称为后验概率， 它反映了试验之后对各种“原因”发生的可能 性大小的新知识，例如在医疗诊断中，有人为 了对诊 病断 人病 进人 行到 观底察是与患检了查，, 确B 1定B中2了,的某,那B个n一指种标病（，譬 如体温、脉搏、转氨酶含量等）他想用这类指 标来帮助诊断 ,这时可以用贝叶斯公式来
抓到电影票，
所以，
P A2 A1
1 6
P A 2 P A 2 A 1 P A 1P A 2A 1 7 6 1 6 7 1
类似可得
P A 3 P A 1 A 2 A 3 P A 1 P A 2 A 1 P A 3 A 1 A 2 7 6 6 5 1 5 7 1
解:1） P ( A B ) P A P B P A B 0 . 2 0 0 . 1 8 0 . 1 2 0 . 2 6
2） P(AB)P PA B B0 0..1 12 80.67;
3） P(BA)P PA A B0 0..1 22 00.60 .
此例表明，甲乙两市出现雨天是有联系的.
同理可得 P( BA)= .7
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贝叶斯公式
在上面的计算中,事实上已经建立了一个极为 有用的公式：
定理1.4.2 若 , B 1 是B一2,列,互Bn不相容的事件，
且 = ,P( )>n0B, i . B i
i1,2, ,n
i1
则对任一事件A,P(A)>0有P( BAi )=
n
P
(
B
i
)
P
(
A
.
P ( B i ) P( A Bi )
= 1 % 5 % 5 2 % 4 % 0 i 3 1 % = 03 .0% 30 1 53 % 2 % 5
注意 ：一般地，能用全概率公式解决的问 题都有以下特点：
1）该随机试验可以分为两步，第一步试验有 若干个可能结果，在第一步试验结果的基础 上，再进行第二次试验，又有若干个结果；
容的事件，可得A
Ai1
,
i1
， 是B互1 不B 相2 容,的AB,所n 以
由有限可加性可得
n
n
P(A)P( ABi) (ABi)
i1
再由乘法公式
i1
P ( A B i) P ( B i) P ( A B i) ,i 1 ,2 , ,n
代入上式得到
n
P(A)= P ( B i ) P( A Bi ) i 1
率.
２．性质
不难验证条件概率P B 具有概率的三个基本性质
1）非负性：A∈F, P A ≥B ０;
2）规范性： P B ＝１;
3）可列可加性：Ai F i1,2, ，且
互不相容，有 P Ai B PAi B
i1
i1
A 1,A2, ,An,
由此可知,对给定的一个概率空间（Ω, F, P）
解 :由贝叶斯公式
P( CA)=
P(C)P(=AC)
. 0.00 0 0.9 45 0.00
P(C)P(AC)P(C)P(AC) 0.00 0 0.9 4 50.99 9 0.1 6
由此例可知道，经甲胎蛋白法检查结果为阳性的人
群中，其实真正患肝癌的人还是很少的，（只占
0.38%），把P(C|A)=0.0038和已知的P(A|C)=0.95
P(B)=P(B A)0+ P(B )A+1 P(B )A 2 在由乘法公式
P(B)= P(B| A)P0 ( )+A 0 P(B| )PA(1 )+ AP1 (B| )P( )A 2 A 2
=7.
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上例中采用的方法是概率论中颇为有用的方 法，为了求比较复杂事件的概率，往往可以先 把它分解为两个（或若干个）互不相容的较简 单的事件的并，求出这些较简单事件的概率， 再利用加法公式，即所要求的复杂事件的概率， 将这种方法一般化便得到下述定理：
这两种情况下算出的概率不同，这也很容易理
解，因为在第二种情况下我们多知道了一个条
件. 记B=｛这个家庭中至少有一个女孩｝，因
此我们算得的概率是“在已知事件B发生的条件
下，事件A发生”的概率，这个概率称为条件概
率，记为P（A|B）.
P（A|B）= 2
=
2 4
=P ( AB )
.
3
3
P (B )
4
P(An A1A2..A .n1)
例1.4.2 甲、乙两市都位于长江下游，据 一百多年来的气象记录，知道在一年中的雨 天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同
时下雨占12%.记 A=｛甲市出现雨天｝,B= ｛乙市出现雨天｝.求：1）两市至少有一市
是雨天的概率；2）乙市出现雨天的条件下， 甲市也出现雨天的概率；3）甲市出现雨天 的条件下，乙市也出现雨天的概率.
§1.4 有关条件概率的计算公式
一、条件概率 二、乘法公式 三、全概率公式 四、贝叶斯公式
条件概率
前面讨论了事件和概率这两个概念， 对于给定的一个随机试验，要求出一个指 定的随机事件A∈F 的概率P(A),需要花很 大的力气，现在将讨论继续引入深入，设 两个事件A,B∈F,则有加法公式
P AB P A P B
这虽然是一个特殊的例子，但是容易验 证对一般的古典概型，只要 P(B)>0上述 等式总是成立的，同样对几何概率上述关 系式也成立.
1、条件概率的定义
定义1.4.1 若（Ω,F,P）是一个概率空间,
B∈F,且P(B)>0,对任意A∈F,称 P A=B
P ( AB ) P(B)
为在已知B事件发生的条件下事件A发生的条件概
2) 如果要求与第一步试验结果有关的概率， 则用贝叶斯公式.
在上面介绍的有关条件概率的几个公式中， 乘法公式是求积事件的概率，全概率公式是求 一个复杂事件的概率，而贝叶斯公式是可以用 来求条件概率.
定理1.4.1 有=
,（设n 亦B i B,称1 ,B ,2
是一, B列n 互不相容的事件，且 ， 为样B 1本B 空2 间, Bn 的一个剖
i1
分 ），则对任何事件A，有P(A)=
n
P ( B i ) P( A Bi )
i 1
证明：因为
n
AAA(
Bi)由n(, A，Bi)
是一B 1 列B 2互不, B相n
例1.4.3 （抽签问题）有一张电影票，7个
人抓阄决定谁得到它，问第个人抓到票的概率
是多少？
（i=1，2，…，7）
解 :设 =A｛i 第i个人抓到票｝, i1,2, ,7
显然 PA171,,P 如A果第76二个人抓到票的话,必须第一
个人没有抓到票.这就是说 ,所以 A2 A,1于是可 以利A用2 概A率2A1的乘法公式，因为在第一个人没有抓 到票的情况下，第二个人有希望在剩下的6个阄中
（3）条件 , ， .为样本空 间P ( Bi )的P(一A B个i ) 分割，可
i 1
改写为B 1 ,B，2 .互Bn不相容,且 仍然成立。 B 1 B 2 Bn
, 全概率公式 n A Bi i 1
例1.4.5 某工厂有四条生产线生产同一中产品，该 四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%， 30%，35%，又这四条流水线的不合格品率为5%， 4%，3%，及2%，现在从出厂的产品中任取一件， 问恰好抽到不合格品的概率为多少？
Bi )
P(Bj)P(A Bj)
这个公式通常称为贝叶斯公式或逆概j1 率公式.
证明 由条件概率定义
P(Bi
A)
P(ABi ) P(A)
对上式的分子用乘法公式，分母用全概率公式,
P(Ai)B P(AB i)P(B i)
n
P(A) P(ABi)P(Bi) i1
即得P( B
A)=
i
P ( Bi ) P (.A Bi )
2）如果要求与第二步试验结果有关的概率， 则用全概率公式.
例1.4.6 某保险公司认为，人可以分为两类， 第一类是容易出事故的，另一类，则是比较谨 慎，保险公司的统计数字表明，一个容易出事 故的人在一年内出一次事故的概率为0.04，而 对于比较谨慎的人这个概率为0.02，如果第一 类人占总人数的30%，那么一客户在购买保险 单后一年内出一次事故的概率为多少？已知一 客户在购买保险单后一年内出一次事故，那么， 他属于那一类型的人？
及 PA (C ) =0.90对比一下是很有意思的.
因此，虽然检验法相当可靠，但是被诊断为肝癌的
人确实患肝癌的可能性并不大.
注意 一般地，能用贝叶斯公式解决的问题都 有以下特点：
1) 该随机试验可以分为两步，第一步试验有 若干个可能结果，在第一步试验结果的基础上， 再进行第二次试验，又有若干个结果；