2016届安徽省六安一中高三上学期第五次月考数学(文)试题(解析版)
2016届安徽省六安一中高三(下)月考数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年安徽省六安一中高三（下）月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}2．设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i3．已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a4．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α5．设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）6．6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．247．已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，） B．（，1）C．（1，2）D．（2，+∞）8．已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5 B．4 C．D．29．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x的值一输出的y的值相等，则x的可能值的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A．54 B．60 C．66 D．7211．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=012．已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S 满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）A．bc（b+c）＞8 B．ab（a+b）＞16C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为．14．观察下列各式：C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，当n∈N*时，C+C+C+…+C=．15．已知，是两个互相垂直的单位向量，且•=•=1，则对任意的正实数t，|+t+|的最小值是．16．设关于x不等式x2+n2﹣x＜3nx﹣n2﹣n（n∈N*）的解集中整数的个数为a n，数列{}的前n项和为D n，则满足条件∀n∈N*，D n＜t的常数t的最小整数为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2cos2x﹣sin（2x﹣）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若f（A）=，b+c=2．求实数a的取值范围．18．某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择，P112的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1﹣p，乙项目产品价格（2）求ξ1的分布列；（3）若E（ξ1）＜E（ξ2）则选择投资乙项目，求此时P的取值范围．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，点M为PC中点，点E为BC边上的动点，且=λ．（1）求证：平面ADM⊥平面PBC；（2）是否存在实数λ，使得二面角P﹣DE﹣B的余弦值为，若存在，试求实数λ的值；若不存在，说明理由．20．已知抛物线C1：y2=4x和C2：x2=2py（p＞0）的焦点分别为F1，F2，C1，C2交于O，A两点（O为坐标原点），且F1F2⊥OA．（1）求抛物线C2的方程；（2）过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，点P坐标为（﹣1，﹣1），求△PMN面积的最小值．21．函数f（x）=x2+mln（x+1）．（1）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；（2）若m=﹣1，试比较当x∈（0，+∞）时，f（x）与x3的大小；（3）证明：对任意的正整数n，不等式e0+e﹣1×4+e﹣2×9+…+e＜成立．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G．（1）求证：圆心O在直线AD上．（2）求证：点C是线段GD的中点．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1|．（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；（2）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年安徽省六安一中高三（下）月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求A∪B，再根据补集的定义求C U（A∪B）．【解答】解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴C U（A∪B）={x|0＜x＜1}，故选：D．2．设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求．【解答】解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：，∴z=2+3i．故选：A．3．已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】对数的运算性质．【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．4．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B．5．设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）【考点】复合命题的真假；平行向量与共线向量．【分析】根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．【解答】解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，故选：A．6．6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．24【考点】计数原理的应用．【分析】使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理可得结论．【解答】解：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理，6×4=24．故选：D．7．已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，） B．（，1）C．（1，2）D．（2，+∞）【考点】函数的零点．【分析】画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g （x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：K OA=，数形结合可得＜k＜1，故选：B．8．已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5 B．4 C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b﹣2=0．a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案．【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：A（2，1）．化目标函数为直线方程得：（b＞0）．由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．∴2a+b=2．即2a+b﹣2=0．则a2+b2的最小值为．故选：B．9．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x的值一输出的y的值相等，则x的可能值的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】选择结构．【分析】由已知的程序框图，我们可得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，结合输入的x值与输出的y值相等，我们分类讨论后，即可得到结论．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的值又∵输入的x值与输出的y值相等当x≤2时，x=x2，解得x=0，或x=1当2＜x≤5时，x=2x﹣3，解得x=3，当x＞5时，x=，解得x=±1（舍去）故满足条件的x值共有3个故选C．10．某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A．54 B．60 C．66 D．72【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∵AB⊥平面BEFC，∴AB⊥BC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5∴几何体的表面积S=×3×4+×3×5+×4+×5+3×5=60．故选：B．11．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为﹣=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴，∴=，=，C2的渐近线方程为：y=，即x±y=0．故选：A．12．已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S 满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）A．bc（b+c）＞8 B．ab（a+b）＞16C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24【考点】正弦定理的应用；二倍角的正弦．【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质进行证明即可得到结论．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，∴sin2A+sin2B=﹣sin2C+，∴sin2A+sin2B+sin2C=，∴2sinAcosA+2sin（B+C）cos（B﹣C）=，2sinA（cos（B﹣C）﹣cos（B+C））=，化为2sinA[﹣2sinBsin（﹣C）]=，∴sinAsinBsinC=．设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：=2R，由S=，及正弦定理得sinAsinBsinC==，即R2=4S，∵面积S满足1≤S≤2，∴4≤R2≤8，即2≤R≤，由sinAsinBsinC=可得，显然选项C，D不一定正确，A．bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，正确，B．ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16，不一定正确，故选：A二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为40．【考点】二项式系数的性质．【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立起a的方程，解出a的值来，然后再由规律求出常数项【解答】解：由题意，（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，所以，令x=1则可得到方程1+a=2，解得得a=1，故二项式为由多项式乘法原理可得其常数项为﹣22×C53+23C52=40故答案为4014．观察下列各式：C=40；C +C =41；C +C +C =42；C +C+C+C=43；…照此规律，当n ∈N *时，C+C+C+…+C= 4n ﹣1 ．【考点】归纳推理；组合及组合数公式．【分析】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果．【解答】解：因为C =40；C +C =41；C +C +C =42；C+C+C+C=43； …照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幂指数相同，可得：当n ∈N *时，C +C+C+…+C=4n ﹣1；故答案为：4n ﹣1．15．已知，是两个互相垂直的单位向量，且•=•=1，则对任意的正实数t ，|+t +|的最小值是 2 ．【考点】函数的最值及其几何意义；平面向量数量积的运算．【分析】由题意建立直角坐标系，取=（1，0），=（0，1），从而可得=（1，1），||=；从而可得|+t +|==≥=2．【解答】解：∵•=0，||=||=1， •=•=1，建立如图所示的直角坐标系，取=（1，0），=（0，1），设=（x ，y ），∴（x ，y ）•（1，0）=（x ，y ）•（0，1）=1． ∴x=y=1．∴=（1，1），∴||=；∵t＞0．∴|+t+|==≥=2，当且仅当t=1时取等号．故答案为：2．16．设关于x不等式x2+n2﹣x＜3nx﹣n2﹣n（n∈N*）的解集中整数的个数为a n，数列{}的前n项和为D n，则满足条件∀n∈N*，D n＜t的常数t的最小整数为5．【考点】数列与函数的综合．【分析】通过解已知不等式可以求得x的取值范围；利用错位相减法可以求得D n通项公式．【解答】解：原不等式可化为x2﹣（3n﹣1）x+2n2+n＜0，即[x﹣（2n+1）]（x﹣n）＜0，可解得n＜x＜2n+1，（n∈N*），其中满足x的整数个数a n=n•=，则D n=+++…+，D n=+++…+，两式相减，得D n=+2（﹣）﹣=﹣，所以D n=5﹣，设f（x）=，x≥0，f′（x）=＜0，则f（x）在[0，+∞）上单调递减，x→+∞时，D n→5，所以t的最小整数为5．故答案是：5．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2cos2x﹣sin（2x﹣）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若f（A）=，b+c=2．求实数a的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【分析】（Ⅰ）化简可得解析式f（x）=1+sin（2x+），从而可求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）由题意，，化简可求得A的值，在△ABC中，根据余弦定理，由b+c=2，知，即a2≥1．又由b+c＞a得a＜2，即可求实数a的取值范围．【解答】本小题满分解：（Ⅰ）=．∴函数f（x）的最大值为2．当且仅当，即，即时取到．所以函数最大值为2时x的取值集合为．…（Ⅱ）由题意，，化简得．∵A∈（0，π），∴，∴，∴．在△ABC中，根据余弦定理，得．由b+c=2，知，即a2≥1．∴当b=c=1时，取等号．又由b+c＞a得a＜2．所以a的取值范围是[1，2 ）．…18．某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择，P且ξ1的期望（ξ1）；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1﹣p，乙项目产品价格（）求，的值；（2）求ξ1的分布列；（3）若E（ξ1）＜E（ξ2）则选择投资乙项目，求此时P的取值范围．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由题意得：由此能求出m，n的值．（2）ξ2的可能取值为41.2，117.6，204.0．分别求出P（X2=41.2），P（X2=117.6），P（X2=204.0），由此能求出ξ2的分布列．（3）由（2）求出E（ξ2）=﹣10p2+10p+117.6．因为E（ξ1）＜E（ξ2），所以120＜﹣10p2+10p+117.6．由此能求出当选择投资乙项目时，p的取值范围．【解答】解：（1）由题意得：解得：m=0.5，n=0.1．…（2）ξ2的可能取值为41.2，117.6，204.0．…P（ξ2=41.2）=（1﹣p）[1﹣（1﹣p）]=p（1﹣p），…P（ξ2=117.6）=p[1﹣（1﹣p）+（1﹣p）（1﹣p）=p2+（1﹣p）2，…P（ξ2=204.0）=p（1﹣p）．…（3）由（2）可得：E（ξ2）=41.2p（1﹣p）+117.6[p2+（1﹣p）2]+204.0p（1﹣p）=﹣10p2+10p+117.6．…因为E（ξ1）＜E（ξ2），所以120＜﹣10p2+10p+117.6．所以0.4＜p＜0.6．当选择投资B项目时，p的取值范围是（0.4，0.6）．…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，点M为PC中点，点E为BC边上的动点，且=λ．（1）求证：平面ADM⊥平面PBC；（2）是否存在实数λ，使得二面角P﹣DE﹣B的余弦值为，若存在，试求实数λ的值；若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取PB中点N，连结MN、AN，由已知得四边形ADMN为平行四边形，由AP ⊥AD，AB⊥AD，得AD⊥平面PAB，从而AN⊥MN，由AP=AB，得AN⊥PB，由此能证明平面ADM⊥平面PBC．（2）以A为原点，AB方向为x轴，AD方向为y轴，AP方向为z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，求出平面PDE的法向量和平面DEB的法向量，利用向量法能求出λ=3或．【解答】（本小题满分12分）解：（1）取PB中点N，连结MN、AN，∵M是PC中点，∴，又∵BC∥AD，∴MN∥AD，MN=AD，∴四边形ADMN为平行四边形，∵AP⊥AD，AB⊥AD，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥AN，∴AN⊥MN，∵AP=AB，∴AN⊥PB，∴AN⊥平面PBC，∵AN⊂平面ADM，∴平面ADM⊥平面PBC．（2）存在符合条件的λ．以A为原点，AB方向为x轴，AD方向为y轴，AP方向为z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，设E（2，t，0），P（0，0，2），D（0，2，0），B（2，0，0）从而，，则平面PDE的法向量为，又平面DEB即为xAy平面，其法向量，则，解得t=3或t=1，进而λ=3或．20．已知抛物线C1：y2=4x和C2：x2=2py（p＞0）的焦点分别为F1，F2，C1，C2交于O，A两点（O为坐标原点），且F1F2⊥OA．（1）求抛物线C2的方程；（2）过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，点P坐标为（﹣1，﹣1），求△PMN面积的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由已知条件推导出=（﹣1，），联立，解得，或，得到，由此能求出C2的方程．（2）设过O的直线方程为y=kx，联立，得M（，），联立，得N （4k，4k2），由此利用点到直线的距离公式能求出△PMN面积取得最小值．【解答】解：（1）由已知得：F1（1，0），，∴=（﹣1，），…联立，解得，或，即O（0，0），A（，），∴，…∵F1F2⊥OA，∴•=0，即，解得p=2，∴C2的方程为x2=4y．…（2）设过O的直线方程为y=kx，（k＜0），联立，得M（，），联立，得N（4k，4k2），…P（﹣1，﹣1）在直线y=x上，设点M到直线y=x的距离为d1，点N到直线y=x的距离为d2，=•|OP|•（|d1|+|d2|）…则S△PMN=（+）=2（||+|k﹣k2|）=2（﹣）…≥+=8，当且仅当k=﹣1时，“=”成立，即当过原点直线为y=﹣x时，…△PMN面积取得最小值8．…21．函数f（x）=x2+mln（x+1）．（1）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；（2）若m=﹣1，试比较当x∈（0，+∞）时，f（x）与x3的大小；（3）证明：对任意的正整数n，不等式e0+e﹣1×4+e﹣2×9+…+e＜成立．【考点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．【分析】（1）分f′（x）≥0或f′（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立两种情况；（2）令m=﹣1，通过求导，得g（x）=f（x）﹣x3在（0，+∞）上单调递减，从而得证；（3）由（2）可知x2﹣x3＜ln（x+1）（x∈（0，+∞）），变形为（x∈（0，+∞）），相加计算即可．【解答】解：（1）根据题意，由=，可知f′（x）≥0或f′（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立．下面分两种情况讨论：①当f′（x）=≥0在（﹣1，+∞）上恒成立时，有m≥在（﹣1，+∞）上恒成立，故m≥；②当f′（x）=≤0在（﹣1，+∞）上恒成立时，有m≤在（﹣1，+∞）上恒成立．∵在（﹣1，+∞）上没有最小值，∴不存在实数m使f′（x）＜0在（﹣1，+∞）上恒成立．综上所述，实数m的取值范围是[）；（2）当m=﹣1时，即函数f（x）=x2﹣ln（x+1）．令g（x）=f（x）﹣x3=﹣x3+x2﹣ln（x+1），则=，显然，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为g（0）=0，所以当x∈（0，+∞）时，恒有g（x）＜g（0）=0，即f（x）﹣x3＜0恒成立，故当x∈（0，+∞）时，有f（x）＜x3．（3）由（2）可知x2﹣x3＜ln（x+1）（x∈（0，+∞）），所以，即（x∈（0，+∞）），当x取自然数时，有（n∈N*），所以e0+e﹣1×4+e﹣2×9+…+e＜（1+1）+（2+1）+（3+1）+…+（n+1）=1×n+1+2+3+4+…+n==．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G．（1）求证：圆心O在直线AD上．（2）求证：点C是线段GD的中点．【考点】圆的切线的性质定理的证明．【分析】（1）根据题意，易得CD=BD，又由△ABC是等腰三角形，即AD是∠CAB的角分线，即可证明；（2）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，结合圆切线的性质，易得CG=CF=CD，即可证明．【解答】证明：（1）∵AB=AC，AF=AE∴CD=BE又∵CF=CD，BD=BE∴CF=BD又∵△ABC是等腰三角形，∴AD是∠CAB的角分线∴圆心O在直线AD上．（II）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，∴∠HFD=90°，∴∠FDH+∠FHD=90°又∵∠G+∠FHD=90°∴∠FDH=∠G∵⊙O与AC相切于点F∴∠AFH=∠GFC=∠FDH∴∠GFC=∠G∴CG=CF=CD∴点C是线段GD的中点．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C的参数方程为，知曲线C的普通方程是，由点P的极坐标为，知点P的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4），由此能判断点P与直线l的位置关系．（2）由Q在曲线C：上，（0°≤α＜360°），知到直线l：x﹣y+4=0的距离=，（0°≤α＜360°），由此能求出Q到直线l的距离的最小值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为，∴曲线C的普通方程是，∵点P的极坐标为，∴点P的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4），把（0，4）代入直线l：x﹣y+4=0，得0﹣4+4=0，成立，故点P在直线l上．（2）∵Q在曲线C：上，（0°≤α＜360°）∴到直线l：x﹣y+4=0的距离：=，（0°≤α＜360°）∴．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1|．（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；（2）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的零点．【分析】（1）将方程变形，利用x=1已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，从而可求实数a的取值范围；（2）将不等式分离参数，确定函数的值域，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）方程|f（x）|=g（x），即|x2﹣1|=a|x﹣1|，变形得|x﹣1|（|x+1|﹣a）=0，显然，x=1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，∴a＜0．…（2）当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；②当x≠1时，（*）可变形为a≤，令φ（x）==因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，所以φ（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．…2016年10月27日。
安徽省六安市高中名校2016届高三上学期第五次月考数学(文)试题(含答案)
六安一中2016届高三年级第五次月考文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则P 的值为（ ） A ．4 B ．1 C ．2 D ．82.与椭圆2214x y +=共焦点且过点(2,1)P 的双曲线方程是（ ） A ．2214x y -= B ．2212x y -= C ．22133x y -= D ．2231x y -= 3.设入射光线沿直线21y x =+射向直线y x =，则被y x =反射后，反射光线所在的直线方程是（ ）A ．230x y ++=B ．210x y -+=C ．3210x y -+=D ．210x y --=4.双曲线224x y -=左支上一点(,)P a b 到y x =a b +=（ ） A ．2 B ．-2 C ．4 D ．-4C ．必在圆222x y +=外 D ．以上三种情形都有可能6.已知圆M 方程：22(1)4x y ++=，圆N 的圆心(2,1)，若圆M 与圆N 交于A ，B 两点，且||AB =则圆N 的方程为（ ）A ．22(2)(1)4x y -+-=B ．22(2)(1)20x y -+-=C ．22(2)(1)12x y -+-=D ．22(2)(1)4x y -+-=或22(2)(1)20x y -+-=7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若||5PF =，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2 C D 8.已知椭圆22142x y +=上有一点P ，12,F F 是椭圆的左右焦点，若12F PF ∆为直角三角形，则这样的点P 有（ ）个A ．3B ．4C ．6D ．89.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[,]126ππα∈，则该椭圆的离心率e 的取值范围为（ ）A ．1[,22 B ．1[,23 C ．1,3 D ．1,210.如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A ．||1||1BF AF --B ．22||1||1BF AF --C ．||1||1BF AF ++D ．22||1||1BF AF ++11.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角平分线PQ 的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线12.双曲线221(1)x y n n-=>的两焦点为12,F F ，P 在双曲线上，且满足12||||PF PF +=则12PF F ∆的面积为（ ） A ．1 B ．12C ．2D ．4 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.双曲线2212x y -=渐近线的方程是 .14.椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若)y x c +与椭圆E 的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于 .15.直线340x y -+=与抛物线2x =和圆221(22x y +-=，从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则ABCD线段的比值为 . 16.以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线； ②设圆C ：22(1)1x y -+=，过原点O 作圆的任意弦OA ，则弦OA 中点P 的轨迹为椭圆；③方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点. 其中真命题的序号为 .（写出所有真命题的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知圆M 过(1,1)C -，(1,1)D -两点，且圆心M 在20x y +-=上. （1）求圆M 的方程；（2）设点P 是直线3480x y ++=上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值. 18. （本小题满分12分）已知点M 到点(2,0)F 的距离比到点M 到直线60x +=的距离小4. （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）若曲线C 上存在两点A ，B 关于直线1:24l y x =-对称，求直线AB 的方程. 19. （本小题满分12分）已知直线:()l y x m m R =+∈，双曲线222:1(0)2x y E b b -=>. （1）若直线l 与双曲线E 的其中一条渐近线平行，求双曲线E 的离心率；（2）若直线l 过双曲线的右焦点2F ，与双曲线交于P 、Q 两点，且15FP FQ =，求双曲线方程.20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点3(1,)2P ，离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）不过原点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若AB 的中点M 在抛物线E ：24y x =上，求直线l 的斜率k 的取值范围.21. （本小题满分12分）平面内动点(,)P x y 与两定点(2,0),(2,0)A B -连线的斜率之积等于14-，若点P 的轨迹为曲线E ，过点6(,0)5Q -直线l 交曲线E 于M ，N 两点. （1）求曲线E 的方程，并证明：MAN ∠为090； （2）若四边形AMBN 的面积为S ，求S 的最大值. 22. （本小题满分12分）已知抛物线C ：24y x =，点(,0)M m 在x 轴的正半轴上，过点M 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.（1）若1m =，且直线l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程； （2）是否存在定点M ，使得不论直线l 绕点M 如何转动，2211||||AM BM +恒为定值？参考答案1-5：ABDBA 6-10：DBCCA 11-12：BA 13.2y x =±14. 1 15.11616.③④ 17.（1）设圆M 的方程为：222()()(0)x a y b r r -+-=>，根据题意得：222222(1)(1)(1)(1)20a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+-=⎨⎪+-=⎩，解得：1,2a b r ===，故所求圆M 的方程为：22(1)(1)4x y -+-=.（2）由题知，四边形PAMB 的面积为1(||||||||)2PAM PBM S S S AM PA BM PB ∆∆=+=+， 又||||2AM BM ==，||||PA PB =，最小，所以min ||3PM =，所以四边形PAMB面积的最小值为=.18.（1）结合图形知，点M 不可能在y 轴的左侧，即M 到点(2,0)F 的距离等于M 到直线2x =-的距离，∴M 的轨迹是抛物线，(2,0)F 为焦点，2x =-为准线，∴M 的轨迹方程是：28y x =.（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，则2118y x =，2228y x =，相减得：121212()()8()y y y y x x +-=-，又AB l 的斜率为-4，则12()(4)8y y +-=，∴1212y y +=-， ∴AB 中点的坐标为(4,1)-，AB l ：14(4)y x +=--，即4150x y +-=， 经检验，此时，AB l 与抛物线有两个不同的交点，满足题意. 19.（1）因为双曲线的渐近线b y x a =±1ba⇒=，又因为a =b =∴c e a ====.（2）2(,0)F c ，直线:l y x c =-，22212y x c x y b =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，222222(2)220b y cb y b c b -++-=，所以21222221222222cb y y b b c b y y b ⎧-+=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩， 因为15FP FQ = ，所以1215y y =，整理得：24222229(2)5c b b c b b -=-， 因为20b >，所以222c b -=，22219(2)5b b +=-，所以27b =， 所以双曲线C ：22127x y -=. 20.（1）因为椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点3(1,)2P ，所以22223()121a b+=，又离心率12c e a ==，即可求出2,a b ==，所以椭圆C ：22143x y +=.（2）设直线:(0)l y kx m m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)M x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(34)84120k x kmx m +++-=. 222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，即22430k m -+> …………①又122834km x x k +=-+，故2243(,)3434km mM k k -++， 将2243(,)3434km mM k k-++代入24y x =得 2216(34)9k k m +=-，(0)k ≠…………②将②代入①得：22216(34)81k k +<解得88k -<<，且0k ≠，即((0,88k ∈- . 21.（1）设动点P 坐标为(,)x y ，当2x ≠±时，由条件得：1224y y x x ∙=--+，化简得2214x y +=（2x ≠±） 曲线E 的方程为：2214x y +=（2x ≠±）. （说明：不写2x ≠±的扣1分） 由题可设直线MN 的方程为65x ky =-，联立方程组可得 226514x ky x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，化简得：221264(4)0525k y ky +--= 设1122(,),(,)M x y N x y ，则1226425(4)y y k =-+，122125(4)ky y k +=+， 又(2,0)A -，则211221212416(2,)(2,)(1)()0525AM AN x y x y k y y k y y ∙=+∙+=++++= ，所以090MAN ∠=，所以MAN ∠的大小为定值. （2）1211|||||2222S AB y y =∙-=+==令24k t +=，(4)t ≥，∴24k t =-，∴S =22536()t f t t -=，∴2'43252(2536)2572()t t t t f t t t ----+==， ∵4t ≥，∴'()0f t <，∴()y f t =在[4,)+∞上单调递减，∴10036()(4)416f t f -≤==， 由4t =，得0K =，此时S 有最大值16.22.（1）当1m =时，(1,0)M ，此时，点M 为抛物线C 的焦点，直线l 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，联立241y xy x ⎧=⎨=-⎩，消去y 得，2610x x -+=，∴126x x +=，121224y y x x +=+-=，∴圆心坐标为(3,2). 又12||28AB x x =++=，∴圆的半径为4，∴圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=. （2）由题意可设直线l 的方程为x ky m =+，则直线l 的方程与抛物线C ：24y x =联立， 消去x 得：2440y ky m --=，则124y y m =-，124y y k +=，2222222222112212111111||||()()(1)(1)AM BM x m y x m y k y k y +=+=+-+-+++ 2222212121222222222221212()21682(1)(1)(1)162(1)y y y y y y k m k mk y y k y y k m m k ++-++====++++对任意k R ∈恒为定值， 于是2m =，此时22111||||4AM BM +=.M，满足题意.∴存在定点(2,0)。
安徽省六安市第一中学2018届高三上学期第五次月考数学(文)
0垂直 ”
3.己知 , 是两相异平面，， m, n 是两相异直线，则下列错误的是（）
A ．若 m∥ n,m ，则 n
B ．若 m , n
， m ∥ n ,则 ∥
C．若 m , m
，则
D ．若 m ∥ ,
n ，则 m ∥ n
4.水平放置的 ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的 A B C ，其中 O A O B 2,O C
kx 1 距离的最大值（）
8.— 个四棱锥的三视图如图所示，关于这个四棱锥，下列说法正确的是（）
A ．最长的棱长为 7
·1·
B ．该四棱锥的体积为 3 C.侧面四个三角形都是直角三角形 D ．侧面三角形中有且仅有一个等腰三角形
9. 已知 A, B, P 为双曲线 PA, PB的
m2 斜率记为 m, n ， 则
20. 已知动点 C 到点 F (1,0) 的距离比到直线 x 2 的距离小 1， 动点 C 的轨迹2）若直线 l : y kx m(km 0) 与曲线 E 相交于 A, B 两个不同点，且 OA OB 5 ，证明 : 直线 l 经
过一个定点 .
a
f ( x) ax
3ln x
21. 已知函数
x
.
·3·
为 2 7 ，则 k ．
三、解答题 ：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
4
cos B ,b 2
17. 设 ABC 的内角 A, B,C 所对的边长分别为 a,b, c 且
5
.
（ 1）若 A 30 ，求 a 的值；
（ 2）若 ABC 的面积为 3，求 a c 的值 .
A． 2 3
B ． 2 3 3 C. 3 1 D ． 4 2 3
安徽省六安市第一中学2016届高三第九次月考数学(文)试
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，则复数()12z i i =--在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．若集合(){}(){}22|40,|log 1A x x x B x x x =-≤=->，则AB =（ ）A ．(]2,4B ．[]2,4C ．()[],00,4-∞D ．()[],10,4-∞-3．命题:p 若sin sin x y >，则x y >；命题22:2q x y xy +≥．下列命题为假命题的是（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．q D ．p -4．已知两个不同的平面α、β和两个不重合的直线,m n ，则下列四个命题中不正确的是（ ）A ．若//,m n m α⊥ ，则n α⊥；B ．若,m m αβ⊥⊥，则//αβ；C ．若//,,m n m n αβ⊥⊂，则αβ⊥；D ．若//,m n ααβ= ，则//m n ．5．函数()()tan 0f x x ωω=>的图像的相邻两支截直线2y =所得线段长为2π，则6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．BC ．1D 6．已知{}n a 是等差数列，395,17a a ==，数列{}n b 的前n 项和31n n S =-，若41m a b +=，则正整数m 等于（ ） A ．29 B ．28 C ．27 D ．267．为了解某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）的关系，统计了(),x y 的10组值，并画成散点图如图，则其回归方程可能是（ ）A ．ˆ10198yx =-- B ．ˆ10198y x =-+ C ．ˆ10198y x =+ D ．ˆ10198y x =-8．若如双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线倾斜角为6π，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．3 C ．2或3D ．2 9．如图所示程序框图，其功能是输入x 的值，输出相应的y 值，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．在平面直角坐标系xOy 中，设P 是曲线:1(0)C xy x =>上任意一点，l 是曲线C 在点P 处的切线，且l 交坐标轴于,A B 两点，则以下结论正确的是（ ）A ．OAB ∆的面积为定值2 B ．OAB ∆的面积有最小值为3C ．OAB ∆的面积有最大值为4D ．OAB ∆的面积取值范围为[]3,412．如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的棱长不可能为（ ）A． BC． D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知向量()()()4,4,5,,1,3a bm c ===，若()2a c b -⊥，则实数m 的值为_________．14．已知实数,x y 满足234240x yy x x y -≥⎧⎪≤-⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为________．15．已知一个圆锥内接于球O （圆锥的底面圆周及顶点均在球面上），若球的半径5R =，圆锥的高是底面半径的2倍，则圆锥的体积为 ________． 16．如图，在ABC ∆中，sin22ABC AB ∠==，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，3BD =，则cos ACB ∠= ________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答出应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知公比0q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且131,7a S ==，数列{}n b 中130,1b b ==．（1）若数列{}n n a b +是等差数列，求,n n a b ；（2）在（1）的条件下，求数列{}n b 的前n 项和为n T ． 18.（本小题满分12分）某市教育局为了了解高三学生体育课达标情况，在某学校的高三学生体育课达标成绩中随机抽取50个进行调研，按成绩分组：第1组[)75,80，第2组[)80,85，第3组[)85,90，第4组[)90,95，第5组[)95,100，得到的频率分布直方图如图所示：若要在成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查．（1）已知学生甲和学生乙的成绩均在第五组，求学生甲或学生乙被选中复查的概率； （2）在已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受篮球项目的考核，求其中一个在第三组，另一人在第四组的概率． 19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA PC =，AC 与BD 交于点O ．（1）求证：PB AC ⊥；（2）若平面PAC ⊥平面0,60ABCD ABC ∠=，2PB AB ==，求点O 到平面PBC 的距离．20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，直线l 与椭圆C 有唯一公共点M ，当点M 的坐标为12⎫⎪⎭时，l 240y +-=． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 的斜率为,k M 在椭圆C 上移动时，作OH l ⊥于H （O 为坐标原点），当45OH OM =时，求k 的值．21.（本小题满分12分）已知函数()()1x f x e ax a R =--∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()()ln 1ln xg x e x =--，当()0,x ∈+∞时，不等式()()()f g x f x <恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1、几何证明选讲如图，已知AB 是圆O 的直径，BC 与圆O 相切与,B D 为圆O 上的一点，连接DC ，0,,,180DA CO DO DAO AOC ∠+∠=．（1）证明：OBC ODC ∆≅∆； （2）证明：AD OC AB OD =．23.（本小题满分10分）选修4-4、坐标系与参数方程以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 54πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）． （1）写出直线l 的直角坐标方程以及曲线C 的普通方程；（2）若点A 在曲线C 上，,222B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（t 为参数），求AB 的最小值．24.（本小题满分10分）选修4-5、不等式选讲 已知22220,0,m n mn m n >>++的最小值为t ． （1）求t 值（2）解关于x 的不等式12x t x -<+．参考答案一、选择题1-6 DABDDC 7-12 BBCADC 二、填空题 13．5 14．8 15．1283π 16．79三、解答题：17．解：（1）由题意得2317S q q =++=，所以3q =-或2q =，所以21n n a b n +=-． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 所以()121212n n n b n a n -=--=--． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分 （2）由（1）得()1212n n b n -=--，所以()()()()0121123252212n n T n -⎡⎤=-+-+-++--⎣⎦． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分()()0121135212222n n -=++++--++++⎡⎤⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分221n n =-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．解：（1）设“学生甲和或学生乙被选中复查”为事件A ，第三组人数为500.06515⨯⨯=，第四组人数为500.04510⨯⨯=，第五组人数为500.0255⨯⨯=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分根据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人，．．．．．．．．4分所以()25P A =． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）记第三组选 中的3人分别是123,,A A A ，第四组选中的2人分别为12,B B ，第五组选中的人为C ，从这6人中选出2人，有以下基本事件：12131112123212223231212,,,,,,,,,,,,,A A A A A B A B AC A A A B A B A C A B A C B B B C B C ，共15个基本事件． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分符合一人在第三组、一人在第四组的基本事件有11A B ，1221223132,,,,A B A B A B A B A B ，共6个，所以所求概率62155P ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．解：（1）如图，连结PO ，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，且O 为AC 和BD 的中点，又PA PC =，所以AC PO ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 因为,,BDPO O BD PO =⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分因为PB ⊂平面PBD ，所以PB AC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）因为平面PAC ⊥平面ABCD ， 平面PAC平面,,ABCD AC AC PO PO =⊥⊂平面PAC ，所以PO ⊥平面ABCD ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 因为BD ⊂平面ABCD ，所以PO BD ⊥．因为在菱形ABCD 中，060,2ABC PB AB ∠===，所以12,1,22PB AB BC AC AO CO AB BO AB =========． 所以在Rt POB ∆中，1PO =，在Rt POC ∆中，PC =，所以在等腰三角形PBC中，21122PBC S PC PB ∆⎛=-= ⎝．．．．．．．．．9分设点O 到平面PBC 的距离为h ， 因为O PBC P OBC V V --=，所以1133PBC OBC h SPO S ∆∆=， 所以11172OBC PBC PO S h S ∆∆⨯⨯===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以点O 到平面PBC 的距离为7．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）由题意可得223114a b +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分240y +-=代入椭圆的方程得()2222222341640a b x x a a b +-+-=，由0∆=得223416a b +=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分联立解得224,1a b ==，于是椭圆C 的方程为2214x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）设直线()00:,,l y kx m M x y =+，将直线l 的方程代入椭圆C 得()222148440k x kmx m +++-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分令0∆=，得2241m k =+，且2222200022244161,11414414x m k x y k k k-===-=+++， 所以22220211614k OM x y k +=+=+．①又222221411m k OH k k+==++，②．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ① ②与45OH OM =联立整理得4216810k k -+=， 解得12k =±．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．（1）()1xf x e ax =--，则()xf x e a '=-． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 当0a ≤时，对x R ∀∈，有()0f x '>，所以函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增； 当0a >时，由()0f x '>，得ln x a >，由()0f x '<，得ln x a <， 此时函数()f x 的单调递增区间为()ln a +∞，，单调递减区间为()ln a -∞，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 综上，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间； 当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为()ln ,a +∞，单调递减区间为(),ln a -∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）易知当0x >时，1xe x ->，故当()0,0x g x ∀>>．先分析证明：()0,x g x x ∀><．要证()0,x g x x ∀><，只需证10,x xe x e x-∀><，即证0,10x x x xe e ∀>-+>， 构造函数()()10x z H x xe e x =-+>，则()0x H x xe '=>，故函数()H x 在()0,+∞上单调递增，所以()0H x >，则0,10x x x xe e ∀>-+>成立． 当1a ≤时，由（1）知，()f x 在()0,+∞上单调递增，则()()()f g x f x <在()0,x ∈+∞上恒成立；当1a >是地，由（1）知，函数()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减． 故当0ln x a <<时，()0ln g x x a <<<，所以()()()f g x f x >，则不满足题意． 所以满足题意的实数a 的取值范围是(],1-∞ 22． 解：（1）∵0180DAO AOC ∠+∠=，∴//AD CO ，∴,BOC A DOC ODA ∠=∠∠=∠， ∵OA OD =，∴A ODA ∠=∠，∴BOC DOC ∠=∠，∵,OB OD OC OC ==，∴OBC ODC ∆≅∆．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）连接BD ，由（1）知DAO DOC ∠=∠，∵CB 是圆O 的切线，∴090ABC ∠=，∵OBC ODC ∆≅∆，090CDO ABC ∠=∠=，∵AB 是直径，∴090ADB ∠=，∴CDO ADB ∠=∠，∴BADCOD ∆∆，∴AB AD OC OD=即AD OC AB OD ∙=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23． （1）cos 5cos sin 54πρθρθρθ⎛⎫-=⇔= ⎪⎝⎭20x y ⇔+-=；曲线C 的一般方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）注意到，点,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭满足直线l 的方程，且圆心()2,0C 到直线l 的距离5d ==，则min 523AB =-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分24．【解析】（1）因为0,0m n >>，所以2222224m n n mn+≥=① ，则22224mn mn m n mn ++≥+，而44mn mn +≥=②，所以22224mn m n ++≥③，当且仅当m n =时，①式等号成立，当且仅当4mn mn=时，②式等号成立，故当且仅当m n ==2222mn m n ++取得最小值4，故4t =． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（3）由（1）知，4t =时，则12x t x -<+，所以42142x x x --<-<+，解得1x >-，即原不等式的解集为()1,-+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。
安徽省六安市第一中学2016届高三上学期第五次月考文数试题 含解析
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1。
若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合,则P 的值为（ )A ．4B ．1C ．2D ．8 【答案】A考点:1、抛物线的性质；2、椭圆的性质．2。
与椭圆2214x y +=共焦点且过点(2,1)P 的双曲线方程是（）A ．2214x y -=B ．2212x y -=C ．22133x y -=D ．2231xy -=【答案】B 【解析】试题分析：椭圆2214x y +=的焦点为()3,0,A 选项双曲线的焦点为()5,0，B 选项双曲线的焦点为()3,0，C 选项双曲线的焦点为()6,0，D 选项双曲线的焦点为23(,0)3±,只有B 选项焦点相同,且过点(2,1)P ，所以答案为B ．考点:1、椭圆的性质;2、双曲线的性质．3.设入射光线沿直线21y x =+射向直线y x =，则被y x =反射后,反射光线所在的直线方程是( )A ．230x y ++=B ．210x y -+=C ．3210x y -+=D ．210x y --= 【答案】D考点：1、直线的对称性；2、直线方程的求法． 4。
双曲线224xy -=左支上一点(,)P a b 到y x =2则a b +=（ ）A ．2B ．—2C ．4D ．—4 【答案】B 【解析】试题分析：由点到直线的距离公式0022Ax By C d A B ++=+得2a b -=或2a b -=-，把点(,)P a b 代入双曲线方程得()()224a b a b a b -=+-=;又因为点P 在左支上,所以0a b +<，故2a b -=-,B 为正确答案．考点：1、点到直线的距离公式；2、双曲线的性质．5。
设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12e =，右焦点为(,0)F c ,方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12(,)P x x （）A ．必在圆222x y +=内 B ．必在圆222xy +=上C ．必在圆222x y +=外D ．以上三种情形都有可能【答案】A 【解析】试题分析:椭圆的离心率为12c e a ==，得2213,22c a b a c a ==-=；所以方程223122ax bx c ax ax a +-=+-=，由韦达定理知121231,22x x x x +=-=-,所以 ()22212121232124x x x x x x +=+-=+<，故点12(,)P x x 在圆内，选项A 为正确答案．考点：1、椭圆的性质；2、点与圆的关系． 6。
安徽省六安一中2016届高三数学一模试卷 文(含解析)
2016年安徽省六安一中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）2．i是虚数单位，复数=（）A．﹣iB．iC．﹣﹣iD．﹣+i3．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±xD．y=4．已知向量，向量，则=（）A．﹣1B．0C．1D．25．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．116．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如下图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A．120cm2B．80cm2C．100cm2D．60cm27．某算法的程序框图如图所示，若输入的a，b值分别为60与32，则执行程序后的结果是（）A．0B．4C．7D．288．已知等比数列{a n}满足，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2B．1C． D．9．设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A． B． C．12D．1610．点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=AC=，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A． B．8πC． D．11．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油12．已知函数F（x）=e x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若∀x∈（0，2]使得不等式g（2x）﹣ah（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．给出下列命题：①线性相关系数r越大，两个变量的线生相关性越强；反之，线性相关性越弱；②由变量x和y的数据得到其回归直线方程l： =bx+a，则l一定经过点P（，）；③从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；④在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；⑤在回归直线方程=0.1x+10中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位；其中真命题的序号是．14．在三棱锥S﹣ABC内任取一点P，使得V P﹣ABC＞V S﹣ABC的概率是．15．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点 A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点 P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是．16．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．18．某车间将10名技工平均分为甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零析两组技工的技术水平；（II）质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．19．已知在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，若SB⊥AC，SA=SC．（1）求证：平面SBD⊥平面ABCD；（2）若AB=2，SB=3，cos∠SCB=﹣，∠SAC=60°，求四棱锥S﹣ABCD的体积．20．P为圆A：（x+1）2+y2=8上的动点，点B（1，0）．线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ．（I）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）当点P在第一象限，且cos∠BAP=时，求点M的坐标．21．已知函数f（x）=﹣lnx（a≠0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a=l时，求f（x）在区间[，2]上的最大值和最小值（0.69＜ln 2＜0.70）；（3）求证ln≤．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB 垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2．（Ⅰ）分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程．（Ⅱ）已知M、N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+=n时，求7a+4b的最小值．2016年安徽省六安一中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）【考点】并集及其运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}，故选：A．2．i是虚数单位，复数=（）A．﹣iB．iC．﹣﹣iD．﹣+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解答】解： =．故选：A．3．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±xD．y=【考点】双曲线的简单性质．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．4．已知向量，向量，则=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，将式子展开计算．【解答】解： =2， =5， =﹣1﹣2=﹣3．∴=2+=4﹣3=1．故选：C．5．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．11【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，可得3a3=3，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，∴3a3=3，∴a3=1，∴S5==5a3=5．故选：A．6．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如下图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A．120cm2B．80cm2C．100cm2D．60cm2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可判断几何体为一长方体削去一个角，画出直观图，标出三视图的数据对应的几何量，代入公式计算．【解答】解：由三视图可判断几何体为一长方体削去一个角，其直观图如图：长方体的长、宽、高分别为5、4、6，∴长方体的体积为5×4×6=120，削去的三棱锥的体积为××5×4×6=20，∴该几何体的体积为120﹣20=100cm2．故选C．7．某算法的程序框图如图所示，若输入的a，b值分别为60与32，则执行程序后的结果是（）A．0B．4C．7D．28【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序输出的结果．【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序输出的是用辗转相除法求两个数a、b的最大公约数；当a=60，b=32时，最大公约数是4．故选：B．8．已知等比数列{a n}满足，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2B．1C． D．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．9．设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A． B． C．12D．16【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；由图象知y≤10﹣2x，则xy≤x（10﹣2x）=2x（5﹣x））≤2（）2=，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故xy的最大值为，故选：A10．点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=AC=，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A． B．8πC． D．【考点】球的体积和表面积．【分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意知，△ABC是一个等边三角形，其面积为，外接圆的半径为1．小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S△ABC×DQ=，∴DQ=4，设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+（4﹣R）2，∴R=则这个球的表面积为：S=4π（）2=故选C．11．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．【解答】解：对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确．12．已知函数F（x）=e x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若∀x∈（0，2]使得不等式g（2x）﹣ah（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数的奇偶性求出g（x），h（x）的表达式，然后将不等式恒成立进行参数分离，利用基本不等式进行求解即可得到结论．【解答】解：∵F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，∴g（x）+h（x）=e x，则g（﹣x）+h（﹣x）=e﹣x，即g（x）﹣h（x）=e﹣x，解得g（x）=，h（x）=，则∀x∈（0，2]使得不等式g（2x）﹣ah（x）≥0恒成立，等价为﹣a•≥0 恒成立，∴a≤==（e x﹣e﹣x）+，设t=e x﹣e﹣x，则函数t=e x﹣e﹣x在（0，2]上单调递增，∴0＜t≤e2﹣e﹣2，此时不等式t+≥2，当且仅当t=，即t=时，取等号，∴a≤2，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．给出下列命题：①线性相关系数r越大，两个变量的线生相关性越强；反之，线性相关性越弱；②由变量x和y的数据得到其回归直线方程l： =bx+a，则l一定经过点P（，）；③从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；④在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；⑤在回归直线方程=0.1x+10中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位；其中真命题的序号是②④⑤．【考点】线性回归方程．【分析】①线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；②回归直线方程l： =bx+a，一定经过样本中心点；③从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样系统抽样；④可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好；⑤在回归直线方=0.1x+10中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.1个单位．【解答】解：①线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，故①不正确；②由变量x和y的数据得到其回归直线方程l： =bx+a，则l一定经过点P（，），故②正确；③从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样不是分层抽样，故③不正确；④可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故④正确；⑤在回归直线方=0.1x+10中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，故⑤正确．故答案为：②④⑤．14．在三棱锥S﹣ABC内任取一点P，使得V P﹣ABC＞V S﹣ABC的概率是．【考点】几何概型．【分析】取高线的中点，过该点作平行于底的平面，根据条件关系得到P满足的条件，根据概率为小棱锥与原棱锥体积之比，用相似比计算即可．【解答】解：作出S在底面△ABC的射影为O，若V P﹣ABC=V S﹣ABC，则高OP=SO，即此时P在三棱锥V S﹣ABC的中垂面DEF上，则V P﹣ABC＞V S﹣ABC的点P位于小三棱锥V S﹣EDF内，则对应的概率P=（）3=，故答案为：．15．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点 A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点 P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是[4，6] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，从而得到答案．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有4≤m≤6，故答案为：[4，6]．16．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a= 8 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故答案为：8．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化边为角可求得cosA=，从而可得A；（2）易求角C，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中利用余弦定理可求b，再由三角形面积公式可求结果；【解答】解：（1）∵．∴由正弦定理，得，化简得cosA=，∴A=；（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7=，解得b=2，∴△ABC的面积S=b2sinC==．18．某车间将10名技工平均分为甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零析两组技工的技术水平；（II）质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；等可能事件的概率．【分析】（1）由表中数据我们易求出两组数据的平均数，代入方差公式后，易求出两组数据的方差，分析平均数，平均数大的一组，表示总体水平高，平均数小的一组，表示总体水平低，平均数相等，表示总体水平相同；方差大的一组，水平差异较大，方差小的一组，水平差异较小．（2）要计算该车间“质量合格”的概率，我们要先求出从甲、乙两组中各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件总个数，再求出该车间“质量合格”包含的基本事件个数，代入古典概型概率公式，即可求出答案．【解答】解：（I）依题中的数据可得：，∵，∴两组技工的总体水平相同，甲组中技工的技术水平差异比乙组大．（II）设事件A表示：该车间“质量合格”，则从甲、乙两组中各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件为：（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9）（5，5），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9）（7，5），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9）（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9）（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9）共25种事件A包含的基本事件为：（4，9）（5，8），（5，9）（7，6），（7，7），（7，8），（7，9）（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9）（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9）共17种∴．答：即该车间“质量合格”的概率为．19．已知在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，若SB⊥AC，SA=SC．（1）求证：平面SBD⊥平面ABCD；（2）若AB=2，SB=3，cos∠SCB=﹣，∠SAC=60°，求四棱锥S﹣ABCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）证明AC⊥平面SBD，即可证明平面SBD⊥平面ABCD；（2）确定底面ABCD是菱形，求出SC，SO，BO，即可求四棱锥S﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：设AC∩BD=O，连接SO，则∵SA=SC，∴AC⊥SO，∵SB⊥AC，SO∩SB=S，∴AC⊥平面SBD，∵AC⊂平面ABCD，∴平面SBD⊥平面ABCD；（2）解：由（1）知，SO⊥平面ABCD，AC⊥BD，∴底面ABCD是菱形，∴BC=AB=2，∵SB=3，cos∠SCB=﹣，∴由余弦定理可得SC=2，∵∠SAC=60°，∴△SAC是等边三角形，∴SO=，∴BO=，∴V S﹣ABCD==2．20．P为圆A：（x+1）2+y2=8上的动点，点B（1，0）．线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ．（I）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）当点P在第一象限，且cos∠BAP=时，求点M的坐标．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（I）由已知|MB|=|MP|，于是|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2，故曲线Γ是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，从而可求曲线Γ的方程；（Ⅱ）当点P在第一象限，且cos∠BAP=时，求出P的坐标，可得直线AP方程，代入椭圆方程，消去y，可得5x2+2x﹣7=0，即可求点M的坐标．【解答】解：（Ⅰ）圆A的圆心为A（﹣1，0），半径等于2．由已知|MB|=|MP|，于是|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2，故曲线Γ是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，a=，c=1，b=1，曲线Γ的方程为+y2=1．…（Ⅱ）由点P在第一象限，cos∠BAP=，|AP|=2，得P（，）．…于是直线AP方程为y=（x+1）．代入椭圆方程，消去y，可得5x2+2x﹣7=0，所以x1=1，x2=﹣．由于点M在线段AP上，所以点M坐标为（1，）．…21．已知函数f（x）=﹣lnx（a≠0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a=l时，求f（x）在区间[，2]上的最大值和最小值（0.69＜ln 2＜0.70）；（3）求证ln≤．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f（x）的定义域和导数，并化简，讨论a＜0，a＞0，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（2）求得f（x）在[，2]上的单调区间，可得最大值，再求端点处的函数值，可得最小值；（3）由（2）的最大值，可得f（x）=1﹣﹣lnx≤0，运用不等式的性质，结合对数的运算性质，即可得证．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），∵f（x）=﹣lnx，∴f′（x）===﹣，若a＜0，又x＞0，∴x﹣＞0，则f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；若a＞0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，）上单调递增；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（，+∞）上单调递减．综上，若a＜0，函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；若a＞0，函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）．（2）a=1时，f（x）=﹣lnx=1﹣﹣lnx，由（1）可知，f（x）=1﹣﹣lnx在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，故在区间[，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减，∴函数f（x）在区间[，2]上的最大值为f（1）=1﹣﹣ln1=0；而f（）=1﹣2﹣ln=﹣1+ln2，f（2）=1﹣﹣ln2=﹣ln2，f（2）﹣f（）=﹣ln2﹣（﹣1+ln2）=﹣2ln2＞1.5﹣2×0.7=0.1＞0，所以f（2）＞f（），故函数f（x）在区间[，2]上的最小值为f（）=﹣1+ln2．证明：（3）由（2）可知，函数f（x）=1﹣﹣lnx在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，故函数f（x）在区间（0，+∞）上的最大值为f（1）=0，即f（x）≤0．故有1﹣﹣lnx≤0恒成立，所以1﹣lnx≤，故2﹣lnx≤1+，即为lne2﹣lnx≤，即ln≤．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB 垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2．（Ⅰ）分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程．（Ⅱ）已知M、N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）根据题意和平方关系求出曲线C1的普通方程，由ρ2=x2+y2和题意求出C2的直角坐标方程；（2）法一：求出曲线C2参数方程，设P点的参数坐标，求出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式求出|PM|+|PN|并化简，再化简（|PM|+|PN|）2，利用正弦函数的最值求出（|PM|+|PN|）2的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值；法二：设P点坐标为（x，y），则x2+y2=4，求出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式求出|PM|+|PN|并化简，再化简（|PM|+|PN|）2，再求出（|PM|+|PN|）2的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值．【解答】解：（1）因为曲线C1的参数方程为（θ为参数），所以曲线C1的普通方程为，…由曲线C2的极坐标方程为ρ=2得，曲线C2的普通方程为x2+y2=4；…（2）法一：由曲线C2：x2+y2=4，可得其参数方程为，所以P点坐标为（2cosα，2sinα），由题意可知M（0，），N（0，）．因此|PM|+|PN|==+…则（|PM|+|PN|）2=14+2．所以当sinα=0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，…因此|PM|+|PN|的最大值为．…法二：设P点坐标为（x，y），则x2+y2=4，由题意可知M（0，），N（0，）．因此|PM|+|PN|=+=+…则（|PM|+|PN|）2=14+2．所以当y=0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，…因此|PM|+|PN|的最大值为．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+=n时，求7a+4b的最小值．【考点】基本不等式；函数的定义域及其求法．【分析】（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x ﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|=4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n=4，∴7a+4b===，当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a=时取等号．∴7a+4b的最小值为．。
安徽省六安市第一中学2016届高三上学期第五次月考理数试题 含解析
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点(4,2)P --的抛物线的标准方程是（ ) A ．2yx =- B ．28xy =- C ．28yx =-或2x y =- D ．2yx =-或28x y =-【答案】D考点：1、抛物线方程的求法;2、分类讨论的思想． 2。
已知直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与2:2(3)230lk x y --+=平行，则k 的值是（ )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2 【答案】C 【解析】试题分析：两直线平行，则12210A B A B -=且12210AC A C -≠，所以有()()()232340k k k -----=，解得3k =或5,且满足条件12210AC A C -≠，故正确答案为C ．考点:1、直线的位置关系；2、直线的一般式．3。
已知直线x y a +=与圆224xy +=交于A ，B 两点，且||||OA OB OA OB +=-（其中O 为坐标原点),则实数a 等于（ ） A ．2 B ．2- C ．2或2- D ．6或6-【答案】C 【解析】试题分析：由||||OA OB OA OB +=-得22||||OA OB OA OB +=-,化简得0OA OB ⋅=，即OA OB ⊥，三角形AOB 为等腰直角三角形,圆心到直线的距离为2，即2,22a a ==±，故C 为正确答案．考点：1、向量的运算；2、直线与圆的位置关系． 4。
若圆222410xy x y +---=上存在两点关于直线220ax by +-=(0,0)a b >>对称,则14a b+的最小值为( ） A ．5 B ．7 C ．22 D ．9 【答案】D考点：1、圆的方程；2、对称问题；3、基本不等式．5.已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线10kx y k -+-=与线段AB 相交，则k 的取值范围是( ）A ．3[,2]4B ．3(,][2,)4-∞+∞C ．(,1][2,)-∞+∞D ．[1,2]【答案】B 【解析】试题分析:直线10kx y k -+-=横过点()1,1P ，312132,21314PA PB k k ---====---;若直线10kx y k -+-=与线段AB相交，结合图象得324k k ≤≥或,故B 为正确答案．考点:1、直线的斜率公式；2、恒过点问题． 6.已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 为圆22(4)1xy +-=上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A ．251-B ．252-C ．171-D ．172-【答案】C考点：1、抛物线的定义；2、圆的方程． 7.若点O 和点F分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP FP •的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】A 【解析】试题分析：由题意知()1,0F -,设点()00,P x y ，则有2200143x y +=，解得22003(1)4x y =-;因为()()0000,,1,OP x y FP x y ==+，所以()()220000113(1)2244x OP FP x x x ⋅=++-=++，而022x -≤≤，所以当02x=-时,()2122224OP FP ⋅=-++=，故A 为正确答案．考点：1、椭圆的方程;2、向量的运算．8。
安徽省六安市第一中学2016届高三第九次月考数学(文)试题Word版含答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，则复数()12z i i =--在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．若集合(){}(){}22|40,|log 1A x x x B x x x =-≤=->，则AB =（ ）A ．(]2,4B ．[]2,4C ．()[],00,4-∞D ．()[],10,4-∞-3．命题:p 若sin sin x y >，则x y >；命题22:2q x y xy +≥．下列命题为假命题的是（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．q D ．p -4．已知两个不同的平面α、β和两个不重合的直线,m n ，则下列四个命题中不正确的是（ ）A ．若//,m n m α⊥ ，则n α⊥；B ．若,m m αβ⊥⊥，则//αβ；C ．若//,,m n m n αβ⊥⊂，则αβ⊥；D ．若//,m n ααβ= ，则//m n ．5．函数()()tan 0f x x ωω=>的图像的相邻两支截直线2y =所得线段长为2π，则6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．BC ．1D 6．已知{}n a 是等差数列，395,17a a ==，数列{}n b 的前n 项和31nn S =-，若41m a b +=，则正整数m 等于（ ） A ．29 B ．28 C ．27 D ．267．为了解某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）的关系，统计了(),x y 的10组值，并画成散点图如图，则其回归方程可能是（ ）A ．ˆ10198yx =-- B ．ˆ10198y x =-+ C ．ˆ10198y x =+ D ．ˆ10198y x =-8．若如双曲线2222:1x y C a b -=的一条渐近线倾斜角为6π，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2BC ．2D ．2 9．如图所示程序框图，其功能是输入x 的值，输出相应的y 值，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．在平面直角坐标系xOy 中，设P 是曲线:1(0)C xy x =>上任意一点，l 是曲线C 在点P 处的切线，且l 交坐标轴于,A B 两点，则以下结论正确的是（ ）A ．OAB ∆的面积为定值2 B ．OAB ∆的面积有最小值为3C ．OAB ∆的面积有最大值为4D ．OAB ∆的面积取值范围为[]3,412．如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的棱长不可能为（ ）A． BC． D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知向量()()()4,4,5,,1,3a b m c ===，若()2a c b -⊥，则实数m 的值为_________．14．已知实数,x y 满足234240x yy x x y -≥⎧⎪≤-⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为________．15．已知一个圆锥内接于球O （圆锥的底面圆周及顶点均在球面上），若球的半径5R =，圆锥的高是底面半径的2倍，则圆锥的体积为 ________． 16．如图，在ABC ∆中，sin22ABC AB ∠==，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，BD =，则cos ACB ∠= ________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答出应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知公比0q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且131,7a S ==，数列{}n b 中130,1b b ==．（1）若数列{}n n a b +是等差数列，求,n n a b ；（2）在（1）的条件下，求数列{}n b 的前n 项和为n T ． 18.（本小题满分12分）某市教育局为了了解高三学生体育课达标情况，在某学校的高三学生体育课达标成绩中随机抽取50个进行调研，按成绩分组：第1组[)75,80，第2组[)80,85，第3组[)85,90，第4组[)90,95，第5组[)95,100，得到的频率分布直方图如图所示：若要在成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查．（1）已知学生甲和学生乙的成绩均在第五组，求学生甲或学生乙被选中复查的概率； （2）在已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受篮球项目的考核，求其中一个在第三组，另一人在第四组的概率． 19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA PC =，AC 与BD 交于点O ．（1）求证：PB AC ⊥；（2）若平面PAC ⊥平面0,60ABCD ABC ∠=，2PB AB ==，求点O 到平面PBC 的距离．20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线l 与椭圆C 有唯一公共点M ，当点M 的坐标为12⎫⎪⎭时，l 240y +-=． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 的斜率为,k M 在椭圆C 上移动时，作OH l ⊥于H （O 为坐标原点），当45OH OM =时，求k 的值．21.（本小题满分12分）已知函数()()1x f x e ax a R =--∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()()ln 1ln x g x e x =--，当()0,x ∈+∞时，不等式()()()f g x f x <恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1、几何证明选讲如图，已知AB 是圆O 的直径，BC 与圆O 相切与,B D 为圆O 上的一点，连接DC ，0,,,180DA CO DO DAO AOC ∠+∠=．（1）证明：OBC ODC ∆≅∆； （2）证明：AD OC AB OD =．23.（本小题满分10分）选修4-4、坐标系与参数方程以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 54πρθ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）． （1）写出直线l 的直角坐标方程以及曲线C 的普通方程；（2）若点A 在曲线C 上，,222B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（t 为参数），求AB 的最小值．24.（本小题满分10分）选修4-5、不等式选讲 已知22220,0,m n mn m n >>++的最小值为t ． （1）求t 值（2）解关于x 的不等式12x t x -<+．参考答案一、选择题1-6 DABDDC 7-12 BBCADC 二、填空题 13．5 14．8 15．1283π 16．79三、解答题：17．解：（1）由题意得2317S q q =++=，所以3q =-或2q =，所以21n n a b n +=-． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 所以()121212n n n b n a n -=--=--． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分（2）由（1）得()1212n n b n -=--，所以()()()()0121123252212n n T n -⎡⎤=-+-+-++--⎣⎦． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分()()0121135212222n n -=++++--++++⎡⎤⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 221n n =-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．解：（1）设“学生甲和或学生乙被选中复查”为事件A ，第三组人数为500.06515⨯⨯=，第四组人数为500.04510⨯⨯=，第五组人数为500.0255⨯⨯=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 根据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人，．．．．．．．．4分所以()25P A =． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）记第三组选 中的3人分别是123,,A A A ，第四组选中的2人分别为12,B B ，第五组选中的人为C ，从这6人中选出2人，有以下基本事件：12131112123212223231212,,,,,,,,,,,,,A A A A A B A B AC A A A B A B A C A B A C B B B C B C ，共15个基本事件． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分符合一人在第三组、一人在第四组的基本事件有11A B ，1221223132,,,,A B A B A B A B A B ，共6个，所以所求概率62155P ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．解：（1）如图，连结PO ，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，且O 为AC 和BD 的中点，又PA PC =，所以AC PO ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 因为,,BDPO O BD PO =⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分因为PB ⊂平面PBD ，所以PB AC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）因为平面PAC ⊥平面ABCD ， 平面PAC平面,,ABCD AC AC PO PO =⊥⊂平面PAC ，所以PO ⊥平面ABCD ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 因为BD ⊂平面ABCD ，所以PO BD ⊥．因为在菱形ABCD 中，060,2ABC PB AB ∠===，所以12,1,2PB AB BC AC AO CO AB BO AB =========． 所以在Rt POB ∆中，1PO =，在Rt POC ∆中，PC所以在等腰三角形PBC中，21122PBC S PC PB ∆⎛=-= ⎝．．．．．．．．．9分设点O 到平面PBC 的距离为h ， 因为O PBC P OBC V V --=，所以1133PBC OBC h S PO S∆∆=， 所以1117OBC PBC PO S h S ∆∆⨯⨯===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以点O 到平面PBC 的距离为7．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）由题意可得223114a b +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分240y +-=代入椭圆的方程得()2222222341640a b x x a a b +-+-=，由0∆=得223416a b +=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分联立解得224,1a b ==，于是椭圆C 的方程为2214x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）设直线()00:,,l y kx m M x y =+，将直线l 的方程代入椭圆C 得()222148440k x kmx m +++-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分令0∆=，得2241m k =+，且2222200022244161,11414414x m k x y k k k-===-=+++， 所以22220211614k OM x y k +=+=+．①又222221411m k OH k k+==++，②．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ① ②与45OH OM =联立整理得4216810k k -+=， 解得12k =±．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．（1）()1xf x e ax =--，则()xf x e a '=-． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 当0a ≤时，对x R ∀∈，有()0f x '>，所以函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增； 当0a >时，由()0f x '>，得ln x a >，由()0f x '<，得ln x a <， 此时函数()f x 的单调递增区间为()ln a +∞，，单调递减区间为()ln a -∞，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 综上，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间； 当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为()ln ,a +∞，单调递减区间为(),ln a -∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）易知当0x >时，1xe x ->，故当()0,0x g x ∀>>．先分析证明：()0,x g x x ∀><．要证()0,x g x x ∀><，只需证10,x xe x e x-∀><，即证0,10x x x xe e ∀>-+>， 构造函数()()10x z H x xe e x =-+>，则()0x H x xe '=>，故函数()H x 在()0,+∞上单调递增，所以()0H x >，则0,10xxx xe e ∀>-+>成立．当1a ≤时，由（1）知，()f x 在()0,+∞上单调递增，则()()()f g x f x <在()0,x ∈+∞上恒成立；当1a >是地，由（1）知，函数()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减． 故当0ln x a <<时，()0ln g x x a <<<，所以()()()f g x f x >，则不满足题意． 所以满足题意的实数a 的取值范围是(],1-∞ 22． 解：（1）∵0180DAO AOC ∠+∠=，∴//AD CO ，∴,BOC A DOC ODA ∠=∠∠=∠， ∵OA OD =，∴A ODA ∠=∠，∴BOC DOC ∠=∠，∵,OB OD OC OC ==，∴OBC ODC ∆≅∆．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）连接BD ，由（1）知DAO DOC ∠=∠，∵CB 是圆O 的切线，∴090ABC ∠=，∵OBC ODC ∆≅∆，090CDO ABC ∠=∠=，∵AB 是直径，∴090ADB ∠=，∴CDO ADB ∠=∠，∴BADCOD ∆∆，∴AB AD OC OD=即AD OC AB OD ∙=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23． （1）cos 5cos sin 5422πρθρθρθ⎛⎫-=⇔+= ⎪⎝⎭20x y ⇔+-=；曲线C 的一般方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）注意到，点,222⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭满足直线l 的方程，且圆心()2,0C 到直线l 的距离5d ==，则min 523AB =-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分24．【解析】（1）因为0,0m n >>，所以2222224m n n mn +≥=① ，则22224mn mn m n mn ++≥+，而44mn mn +≥=②，所以22224mn m n++≥③，当且仅当m n =时，①式等号成立，当且仅当4mn mn=时，②式等号成立，故当且仅当m n ==时，③式等号成立，即2222mn m n++取得最小值4，故4t =． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （3）由（1）知，4t =时，则12x t x -<+，所以42142x x x --<-<+，解得1x >-，即原不等式的解集为()1,-+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。
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2016届安徽省六安一中高三上学期第五次月考数学（文）试题一、选择题1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则P 的值为（ ） A ．4 B ．1 C ．2 D ．8【答案】A【解析】试题分析：抛物线22y px =的焦点为(,0)2p，椭圆22162x y +=的右焦点为()2,0，所以22p=，即4p =，所以A 为正确答案．【考点】1、抛物线的性质；2、椭圆的性质．2．与椭圆2214x y +=共焦点且过点(2,1)P 的双曲线方程是（ ） A ．2214x y -= B ．2212x y -= C ．22133x y -= D ．2231x y -= 【答案】B【解析】试题分析：椭圆2214x y +=的焦点为()，A选项双曲线的焦点为()，B选项双曲线的焦点为()，C选项双曲线的焦点为()，D 选项双曲线的焦点为(，只有B 选项焦点相同，且过点(2,1)P ，所以答案为B ．【考点】1、椭圆的性质；2、双曲线的性质．3．设入射光线沿直线21y x =+射向直线y x =，则被y x =反射后，反射光线所在的直线方程是（ ）A ．230x y ++=B ．210x y -+=C ．3210x y -+=D ．210x y --= 【答案】D【解析】试题分析：反射光线和入射光线关于直线y x =对称，所以设入射光线上的任意两点()()0,11,3、，其关于直线y x =对称的两个点的坐标分别为()()1,03,1、，且这两个点在反射光线上，由直线的两点式可求出反射光线所在的直线方程为试卷第2页，总15页210x y --=，所以D 为正确答案．【考点】1、直线的对称性；2、直线方程的求法．4．双曲线224x y -=左支上一点(,)P a b 到y x =a b +=（ ） A ．2 B ．-2 C ．4 D ．-4 【答案】B【解析】试题分析：由点到直线的距离公式d =得2a b -=或2a b -=-，把点(,)P a b 代入双曲线方程得()()224a b a b a b -=+-=；又因为点P在左支上，所以0a b +<，故2a b -=-，B 为正确答案． 【考点】1、点到直线的距离公式；2、双曲线的性质．5．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12e =，右焦点为(,0)F c ，方程20a x b x c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12(,)P x x （ ）A ．必在圆222x y +=内 B ．必在圆222x y +=上 C ．必在圆222x y +=外 D ．以上三种情形都有可能 【答案】A【解析】试题分析：椭圆的离心率为12c e a ==，得1,2c a b ===；所以方程22102ax bx c ax a +-=+-=，由韦达定理知121212x x x x +==-，所以()22212121232124x x x x x x +=+-=+<，故点12(,)P x x 在圆内，选项A 为正确答案．【考点】1、椭圆的性质；2、点与圆的关系．6．已知圆M 方程：22(1)4x y ++=，圆N 的圆心(2,1)，若圆M 与圆N 交于A ，B两点，且||AB =N 的方程为（ ） A ．22(2)(1)4x y -+-= B ．22(2)(1)20x y -+-=C ．22(2)(1)12x y -+-= D ．22(2)(1)4x y -+-=或22(2)(1)20x y -+-= 【答案】D【解析】试题分析：设圆N 的方程为：()2222(1)x y R -+-=，则圆M 与圆N 的公共弦所在的直线方程为4480x y R+-+=，圆心(0,1)M-到公共弦的距离d=，又22()42ABd+=，解得24R=或220R=，故D为正确答案．【考点】1、圆的方程；2、圆与圆的位置关系．7．已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>与抛物线28y x=有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若||5PF=，则双曲线的离心率为（）A．2 CD【答案】B【解析】试题分析：抛物线28y x=的焦点坐标为()2,0F，双曲线的焦点与之相同得4,2p c==；设(,)P m n，由抛物线的定义知25,32pPF m m m=+=+=∴=，代入抛物线得P，所以222249241a ba b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得221,23acb⎧=⎪=⎨=⎪⎩，则离心率为2，故B 为正确答案．【考点】1、双曲线的性质；2、抛物线的性质．8．已知椭圆22142x y+=上有一点P，12,F F是椭圆的左右焦点，若12F PF∆为直角三角形，则这样的点P有（）个A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】试题分析：当1F∠为直角时，根据椭圆的对称性，这样的点P有2个；同理当当2F∠为直角时，这样的点P有2个；当P∠为直角时，由于椭圆的短轴端点与两个焦点所张的角最大，本题张角恰好为直角，这时这样的点P也有2个，故符合条件的点P有6个，选项C为正确答案．【考点】1、椭圆的对称性；2、分类讨论的数学思想．9．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足AF BF⊥，设ABFα∠=，且[,]126ππα∈，则该椭圆的离心率e的取值范围为（）试卷第4页，总15页A． B． C． D． 【答案】C【解析】试题分析：把x c =代入椭圆方程解得2b y a =±，取2(,)b A c a ，则2(,)b Bc a --；由图可知222,tan ,tan 22b b ba OBF AOF OFB AOF OFB ac c ac ∠=∠-∠∠=∠==，所以tan tan OBF α=∠()2222441tan tan 1tan tan 21e e AOF OFB acb AOF OFB a c b e -∠-∠===+∠⋅∠++；又[,]126ππα∈，所以2t a n 3α≤≤，即()241213e e e -≤≤+13e ≤≤，故C 为正确答案．【考点】1、椭圆的性质；2、两角差的正切公式；3、数形结合思想．10．如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A ．||1||1BF AF --B ．22||1||1BF AF --C ．||1||1BF AF ++D ．22||1||1BF AF ++ 【答案】A【解析】试题分析：抛物线的准线方程为1x =-，过A 、B 分别作AE DE ⊥于E ，交y轴于N ，BD DE ⊥于E ，交y 轴于M ，由抛物线的定义知,BF BD AF AE ==，则11BM BD BF =-=-，11AN AE AF =-=-，则||1||1B CFAC F B CB M S BF S AC ANAF ∆∆-===-，故选项A 为正确答案．【考点】1、抛物线的定义和性质；2、三角形的面积问题．11．已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角平分线PQ 的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【答案】B【解析】试题分析：延长2F Q ，与1F P 的延长线交于点M ，连接OQ ，因为PQ 是12F PF ∠的外角平分线，且2PQ F M ⊥，所以在2PF M ∆中，2PF PM =且Q 为2F M 的中点，由三角形的中位线定理，得()111122OQ F M F P PM ==+；根据椭圆的定义，得122PF PF a+=，所以()112OQ F P PM a =+=，可得动点的轨迹方程为222x y a +=，所以点Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为a 的圆，故B 为正确答案．【考点】1、椭圆的定义；2、三角形中位线定理；3、数形结合的思想． 【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的定义及性质，属于中档题目；在本题中延长2F Q ，与1F P 的延长线交于点M ，连接OQ ，根据等腰三角形“三线合一”和三角形中位线定理，结合椭圆的定义，证出OQ 的长度恰好等于椭圆的长半轴长a ，从而得动点的轨迹方程为222x y a +=，轨迹即可求．12．双曲线221(1)x y n n-=>的两焦点为12,F F ，P 在双曲线上，且满足试卷第6页，总15页12||||PF PF +=，则12PF F ∆的面积为（ ）A ．1B ．12C ．2D ．4 【答案】A【解析】试题分析：不妨设12,F F 是椭圆的左、右焦点，P 为右支上一点，则12||||PF PF -=，结合已知12||||PF PF +=，解得12PF PF =，而12F F =得222121244PF PF n F F +=+=，所以12PF PF ⊥，由 分别平方后作差得122PF PF ⋅=，所以12PF F ∆的面积为1．【考点】1、双曲线的定义；2、双曲线的性质；3、面积的求法．【技巧点晴】本题主要考查的是双曲线的定义及性质，属于中档题目；在本题中P 点的位置不确定，而双曲线的定义中含有绝对值，做题时不妨设P 点在其中的某一支上，可把问题简化；根据双曲线的定义和已知条件12||||PF PF +=联立求出1PF 、2PF ，并得出三角形为直角三角形，根据面积公式求出结果即可．二、填空题13．双曲线2212x y -=渐近线的方程是 ．【答案】2y x =±【解析】试题分析：焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为b y xa =±，而1a b ==，所以双曲线2212x y -=渐近线的方程是y x =． 【考点】1、双曲线的性质；2、渐近线的求法．14．椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c，若)y x c =+与椭圆E 的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于 ．1【解析】试题分析：由直线)y x c+可知倾斜角α与斜率的关系为t anα=，所以060α=；由与椭圆E的一个交点M满足12212MF F MF F∠=∠得00211230,90MF F FMF∠=∠=；设21,MF m MF n==，则()22222m n cm n am⎧+=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，解得1cea==1．【考点】1、椭圆的定义和性质；2、数形结合的思想．15．直线340x y-+=与抛物线2x=和圆221(2x y+=，从左到右的交点依次为A、B、C、D，则ABCD线段的比值为．【答案】116【解析】试题分析：抛物线2x=的焦点为2，准线方程为2y=-；直线340x y-+=过点()，联立2340xx y⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，得28240y-+=；设()()1122,,,A x y D x y，则12y y==定义知1122p pAB AF BF y y=-=+-=，同理得2CD y=；所以128AB y CD y====，故116ABCD=．【考点】1、抛物线的定义；2、直线与圆锥曲线的位置关系．【思路点晴】本题主要考查的是抛物线的定义、直线与圆、直线与抛物线的位置关系，属于中档题目；由题知直线过抛物线的焦点，根据抛物线的定义知1AB y=，2CD y=；把直线方程和抛物线方程联立得2840y-+=，可以求出12y y、的值，代入ABCD 中即可求出最终的结果．16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A，B为两个定点，k为非零常数，||||PA PB k-=，则动点P的轨迹为双曲线；②设圆C：22(1)1x y-+=，过原点O作圆的任意弦OA，则弦OA中点P的轨迹为椭圆；试卷第8页，总15页③方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点． 其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）．【答案】③④【解析】试题分析：①不正确，若动点P 的轨迹为双曲线，则k要小于A B 、两定点之间的距离；当k大于A B 、两定点之间的距离时动点P 的轨迹不是双曲线。