数值分析4埃尔米特插值
一类四次hermite插值多项式逼近的最佳常函数估计
一类四次hermite插值多项式逼近的最佳常函数估计一类四次hermite插值多项式逼近的最佳常函数估计四次hermite插值多项式逼近是指用多项式逼近某一类常函数，其中hermite插值多项式是由插值点处的函数值和导数值求得的。
在逼近过程中，为了使逼近误差最小，通常采用最佳常函数估计的方法。
最佳常函数估计的思想是，在满足一定条件的情况下，找到一类函数，使得这一类函数在所有可能的常函数中，其逼近误差最小。
四次hermite插值多项式逼近最佳常函数估计的具体方法如下:1. 选择插值点在四次hermite插值多项式逼近中，首先要选择插值点。
一般来说，插值点的选择应当满足等距或等比分布的原则。
这样可以使逼近误差均匀分布，从而使得最终的逼近效果最优。
2. 求解hermite插值多项式在选择了插值点之后，就可以开始求解hermite插值多项式了。
这一步的具体方法是，根据插值点处的函数值和导数值，求解hermite插值多项式的系数。
3. 计算逼近误差在求得her插值多项式之后，就可以开始计算逼近误差了。
逼近误差是指多项式逼近函数时所产生的误差。
计算逼近误差的具体方法是，在所有的插值点处分别计算多项式和函数的差值，然后取这些差值的最大值。
这个最大值就是逼近误差。
4. 比较逼近效果在计算出逼近误差之后，就可以比较多项式逼近函数的效果了。
如果逼近误差较小，说明多项式逼近函数的效果较好；如果逼近误差较大，则说明多项式逼近函数的效果较差。
四次hermite插值多项式逼近最佳常函数估计的方法介绍到这里。
总的来说，四次hermite插值多项式逼近是一种非常有效的方法，可以用来逼近各种常函数。
埃尔米特曲线插值
埃尔米特曲线插值
埃尔米特曲线插值是一种数学方法，用于通过给定的一组数据点来构建一个平滑的曲线。
这种插值方法常用于计算机图形学、工程建模和动画等领域。
埃尔米特曲线插值是由法国数学家Charles Hermite在19世纪提出的。
它的基本思想是通过给定的数据点来构建一个多项式曲线，使得曲线在给定的数据点上具有相同的函数值和导数值。
这样可以确保插值曲线能够光滑地通过给定的数据点，并且在数据点处的斜率也是符合要求的。
在埃尔米特曲线插值中，曲线的形状由给定的数据点和导数值决定。
通常情况下，我们需要给定每个数据点处的函数值和导数值。
这些导数值可以根据实际问题的需求来确定，比如可以根据相邻数据点的斜率来计算导数值，或者通过其他方法来估计。
利用埃尔米特曲线插值，我们可以构建出一个符合给定数据点的平滑曲线，而且在数据点处的斜率也是符合要求的。
这种插值方法在
计算机图形学和动画中得到了广泛的应用，比如可以用来绘制自然流畅的曲线和路径，或者用来模拟真实物体的运动轨迹等。
总的来说，埃尔米特曲线插值是一种非常有用的数学工具，它可以帮助我们通过给定的数据点来构建出平滑的曲线，并且满足特定的函数值和导数值要求。
通过合理地选择数据点和导数值，我们可以得到符合实际需求的插值曲线，从而在计算机图形学、工程建模和动画等领域中发挥重要作用。
埃尔米特(Hermite)插值
实验二埃尔米特（Hermite）插值一、实验目的：1.掌握埃尔米特插值算法原理；2.使用C语言编程实现埃尔米特插值算法。
二、实验准备：阅读《数值分析》2.4节二、实验要求：某人从甲地开车去乙地，每隔一段时间对行车距离和速率进行一次采样，得到在n+1 个采样时刻点t i 的里程s i和速率v i（i=0, 1, ..., n）。
要求编程构造埃尔米特插值多项式H2n+1(t)，满足H2n+1(t i)=s i，H'2n+1(t i)=v i，对所有i=0, 1, ..., n成立，并据此计算m个给定时刻的里程和速率。
函数接口定义：void Hermite_Interpolation( int N, double t[], double s[], double v[], int m, double ht[], double hs[], double hv[] );其中N为采样点个数（注意这个N不是公式中的最大下标n，而是等于n+1），采样时刻点t i、里程s i、速率v i分别通过t、s、v传入；m是需要估算的给定时刻的个数，ht传入给定的时刻点，相应计算出的里程和速率应分别存储在hs和hv中。
裁判程序如下：裁判输入数据：20.0 1.00.0 1.00.0 0.050.0 0.2 0.5 0.8 1.030.0 0.5 1.0100.0 170.0 200.030.0 150.0 0.050.0 0.25 0.5 0.75 1.050.0 1.0 2.0 3.0 4.00.0 60.0 160.0 260.0 300.05.0 70.0 100.0 120.0 20.0100.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 3.8 3.95 4.0标准输出数据：0.0000 0.1040 0.5000 0.8960 1.00000.0000 0.9600 1.5000 0.9600 0.0000100.0000 127.9297 170.0000 195.9766 200.000030.0000 165.4688 150.0000 52.9688 0.000030.2222 60.0000 105.9303 160.0000 206.3438 260.0000 307.9764 305.7687 299.9796 300.000062.6024 70.0000 109.0488 100.0000 92.9745 120.0000 41.2374 -44.8421 -16.2783 20.0000#include<stdio.h>#define MAXN 5 /* 最大采样点个数 */#define MAXM 10 /* 最大估算点个数 */void Hermite_Interpolation( int N, double t[], double s[], double v[], int m, double ht[], double hs[], double hv[] ){double l[10],p[10],h1[10],h2[10],x,ll[10],pp[10];int kk;for(kk=0;kk<m;kk++){x=ht[kk];hs[kk]=0;hv[kk]=0;int i;for(i=0;i<N;i++){l[i]=1;ll[i]=1;int j;for(j=0;j<N;j++){if(i!=j){l[i]=l[i]*(x-t[j])/(t[i]-t[j]);}}p[i]=0;pp[i]=0;int k;for(k=0;k<N;k++){if(i!=k){p[i]=p[i]+l[i]/(x-t[k]);pp[i]=pp[i]+ll[i]/(t[i]-t[k]);}}h1[i]=(1-2*pp[i]*(x-t[i]))*l[i]*l[i];h2[i]=(x-t[i])*l[i]*l[i];hs[kk]=hs[kk]+s[i]*h1[i]+v[i]*h2[i];int kkk;for(kkk=0;kkk<N;kkk++){if(x==t[kkk])break;}if(x==t[kkk])hv[kk]=v[kkk];elsehv[kk]=hv[kk]+s[i]*(2*p[i]*l[i]-4*l[i]*p[i]*(x-t[i])*pp[i]-2*pp[i]*l[ i]*l[i])+v[i]*(l[i]*l[i]+2*l[i]*p[i]*(x-t[i]));}}}int main(){int N, m;double t[MAXN], s[MAXN], v[MAXN]; /* 用于构造的数据 */double ht[MAXM], hs[MAXM], hv[MAXM]; /* 用估算的数据 */int i;while ( scanf("%d", &N) != EOF ) {for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &t[i]);for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &s[i]);for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &v[i]);scanf("%d", &m);for ( i=0; i<m; i++ )scanf("%lf", &ht[i]);Hermite_Interpolation( N, t, s, v, m, ht, hs, hv );for ( i=0; i<m; i++ )printf("%.4lf ", hs[i]);printf("\n");for ( i=0; i<m; i++ )printf("%.4lf ", hv[i]);printf("\n\n");}return 0; }。
埃尔米特插值法
埃尔米特插值法1. 引言埃尔米特插值法是一种用于数据插值的数值方法。
它通过给定的数据点来构造一个多项式函数，该函数在这些数据点上与给定的函数具有相同的函数值和导数值。
埃尔米特插值法可以应用于各种领域，如数学、物理、计算机图形学等。
2. 插值问题在实际问题中，我们常常需要根据已知数据点来估计未知数据点的函数值。
这就是插值问题。
给定n个不同的数据点(x0,y0),(x1,y1),...,(x n,y n)，我们希望找到一个多项式函数P(x)，使得P(x i)=y i对所有i=0,1,...,n成立。
3. 埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式是满足以下条件的多项式： - 在每个已知数据点上具有相同的函数值：P(x i)=y i - 在每个已知数据点上具有相同的导数值：P′(x i)=m i其中m i是给定的导数值。
为了构造埃尔米特插值多项式，我们需要利用这些条件来确定其系数。
4. 构造埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式的一般形式为：P(x)=∑ℎini=0(x)⋅y i+∑g ini=0(x)⋅m i其中ℎi(x)和g i(x)是满足以下条件的基函数： - ℎi(x j)=δij，其中δij是克罗内克（Kronecker）符号，当i=j时取值为1，否则为0。
- g i(x j)=0对所有i,j成立。
基于这些条件，我们可以求解出基函数ℎi(x)和g i(x)的表达式，并将其代入埃尔米特插值多项式的公式中。
5. 插值误差估计在实际应用中，我们通常需要估计插值多项式的误差。
通过使用泰勒展开和拉格朗日余项定理，可以得到以下插值误差的估计公式：f(x)−P n(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)(x−x1)...(x−x n)其中f(n+1)(ξ)是函数f(x)在x0,x1,...,x n之间某个点ξ处的(n+1)阶导数。
6. 示例假设我们有以下数据点：(0,1),(1,2),(2,−1)。
我们希望通过这些数据点构造一个埃尔米特插值多项式。
埃尔米特(Hermite)插值
实验二埃尔米特（Hermite）插值一、实验目的：1.掌握埃尔米特插值算法原理；2.使用C语言编程实现埃尔米特插值算法。
二、实验准备：阅读《数值分析》2.4节二、实验要求：某人从甲地开车去乙地，每隔一段时间对行车距离和速率进行一次采样，得到在n+1 个采样时刻点t i 的里程s i和速率v i（i=0, 1, ..., n）。
要求编程构造埃尔米特插值多项式H2n+1(t)，满足H2n+1(t i)=s i，H'2n+1(t i)=v i，对所有i=0, 1, ..., n成立，并据此计算m个给定时刻的里程和速率。
函数接口定义：void Hermite_Interpolation( int N, double t[], double s[], double v[], int m, double ht[], double hs[], double hv[] );其中N为采样点个数（注意这个N不是公式中的最大下标n，而是等于n+1），采样时刻点t i、里程s i、速率v i分别通过t、s、v传入；m是需要估算的给定时刻的个数，ht传入给定的时刻点，相应计算出的里程和速率应分别存储在hs和hv中。
裁判程序如下：裁判输入数据：20.0 1.00.0 1.00.0 0.050.0 0.2 0.5 0.8 1.030.0 0.5 1.0100.0 170.0 200.030.0 150.0 0.050.0 0.25 0.5 0.75 1.050.0 1.0 2.0 3.0 4.00.0 60.0 160.0 260.0 300.05.0 70.0 100.0 120.0 20.0100.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 3.8 3.95 4.0标准输出数据：0.0000 0.1040 0.5000 0.8960 1.00000.0000 0.9600 1.5000 0.9600 0.0000100.0000 127.9297 170.0000 195.9766 200.000030.0000 165.4688 150.0000 52.9688 0.000030.2222 60.0000 105.9303 160.0000 206.3438 260.0000 307.9764 305.7687 299.9796 300.000062.6024 70.0000 109.0488 100.0000 92.9745 120.0000 41.2374 -44.8421 -16.2783 20.0000#include<stdio.h>#define MAXN 5 /* 最大采样点个数 */#define MAXM 10 /* 最大估算点个数 */void Hermite_Interpolation( int N, double t[], double s[], double v[], int m, double ht[], double hs[], double hv[] ){double l[10],p[10],h1[10],h2[10],x,ll[10],pp[10];int kk;for(kk=0;kk<m;kk++){x=ht[kk];hs[kk]=0;hv[kk]=0;int i;for(i=0;i<N;i++){l[i]=1;ll[i]=1;int j;for(j=0;j<N;j++){if(i!=j){l[i]=l[i]*(x-t[j])/(t[i]-t[j]);}}p[i]=0;pp[i]=0;int k;for(k=0;k<N;k++){if(i!=k){p[i]=p[i]+l[i]/(x-t[k]);pp[i]=pp[i]+ll[i]/(t[i]-t[k]);}}h1[i]=(1-2*pp[i]*(x-t[i]))*l[i]*l[i];h2[i]=(x-t[i])*l[i]*l[i];hs[kk]=hs[kk]+s[i]*h1[i]+v[i]*h2[i];int kkk;for(kkk=0;kkk<N;kkk++){if(x==t[kkk])break;}if(x==t[kkk])hv[kk]=v[kkk];elsehv[kk]=hv[kk]+s[i]*(2*p[i]*l[i]-4*l[i]*p[i]*(x-t[i])*pp[i]-2*pp[i]*l[ i]*l[i])+v[i]*(l[i]*l[i]+2*l[i]*p[i]*(x-t[i]));}}}int main(){int N, m;double t[MAXN], s[MAXN], v[MAXN]; /* 用于构造的数据 */double ht[MAXM], hs[MAXM], hv[MAXM]; /* 用估算的数据 */int i;while ( scanf("%d", &N) != EOF ) {for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &t[i]);for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &s[i]);for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &v[i]);scanf("%d", &m);for ( i=0; i<m; i++ )scanf("%lf", &ht[i]);Hermite_Interpolation( N, t, s, v, m, ht, hs, hv );for ( i=0; i<m; i++ )printf("%.4lf ", hs[i]);printf("\n");for ( i=0; i<m; i++ )printf("%.4lf ", hv[i]);printf("\n\n");}return 0; }。
艾米特插值
若 αi ( x ) , βi ( x )( i = 0,1) ,满足
αi (x j ) = δi j
1 i = j = , , α i′( x j ) = 0 0 i ≠ j (i = 0 , 1)
β i ( x j ) = 0 , β i′( x j ) = ( x ) = ( − 2 l ( x j ) x + 1 + 2 x l ( x j )) l ( x )
' j ' j j 2 j
= (1 − 2 ( x − x j ) l ( x j )) l ( x )
' j 2 j
其中 l ( x j ) ∑ ＝
' j
n
k =0 k≠ j
由于
′ α 0 ( x 0 ) = 1, α 0 ( x 0 ) = 0 2.2 (2.6.2) ′ α 0 ( x1 ) = 0, α 0 ( x1 ) = 0 , (2.6.3) 2.3
由（2.6.3）可设
α0 ( x) = ( x − x1 ) a ( x − x0 ) + b ,
2.4 埃尔米特(Hermite)插值
• Hermite插值问题的提出 • 三次 Hermite 插值 • 2n+1 次Hermite 插值多项式 • Hermite插值余项 • 数值实例
一、 Hermite插值问题的提出
由于理论与实践的需要，在构造插值函数 时，不但要求在节点上函数值相等，而且还要求 它的（高阶）导数值也相等（即要求在节点上具 有一定的光滑度），使得插值函数与被插函数贴 近程度更好，满足这种要求的插值多项式就是 Hermite 插值多项式，有时也称为具有重节点插 值。
2
再由（2.6.2）可求得
数值分析4-埃尔米特插值
yi +
x − xi xi+1 − xi
yi+1
x ∈ [ xi , xi+1 ]
记
h
=
max
|
xi+1
−
xi
| ，易证：当
h→0 时，P1h (
x)
一致
→f
(x)
y
y= f(x)
y=p(x)
失去了原函数的光滑性。
o
x
分段线性插值的余项
f (x) −
s1 ( x )
≤
max
xi ≤ x ≤ xi+1
-10
解 以泰勒公式，满足条件
q(0) = 2, q ' (0) = −2, q"' (0) = −10 的插值多项式
q(x) = −5x 2 − 2x + 2
令
p(x) = −5x2 − 2x + 2 + x3(ax2 + bx + c)
p′(x) = −10x − 2 + 3x2 (ax2 + bx + c) + x3(2ax + b)
f ′′
x
分段Hermite插值
给定 x0 , ... , x n ; y0 , ... , yn ; y0′ , ... , y′n 导数一般不易得到。
余项
( ) max f 4
( ) f
(x) − s1(x)
≤
xi ≤x≤xi+1
4!
x
⎜⎜⎝⎛ xj
− xi 2
⎟⎟⎠⎞4
≤
hi4 max 384xi ≤x≤xi+1
4c埃尔米特插值
, xn ] ( x xi )
i 1
n1
f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
f ( x0 ) ( x x0 ) n n!
Taylor 插值多项式
f ( n1) ( ) n1 R ( x ) ( x x ) 余项 n 0 ( n 1)!
2 2 2 2
余项为 R3 ( x ) f ( x ) H 3 ( x ) f ( 4 ) ( ) ( x x0 )2 ( x x1 )2 , ( x0 , x1 ). 4!
作业
教材 第 页： 提示
l 2 ( x). j
令 j ( x) (c j x d j )l ( x),
2 j
j ( x) ( x x j )l 2 j ( x).
H 2 n1 ( x ) [ f j j ( x ) f j j ( x )]
j 0 n
n
n 1 1 2( x x j ) j 0 k 0 x j xk k j
x2 x0
一般地，n 阶重节点差商定义为
f [ x0 , , x0 ] lim f [ x0 , x1 ,
xi x0
1 ( n) , xn ] f ( x0 ) n!
重节点Newton插值
在 Newton 插值公式中，令 xi x0 , i = 1, … , n, 则
N n ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 ,
(i, j 0,1,
, n)
H 2 n 1 ( x) [f (x j ) j ( x) f (x j ) j ( x)] .
数值分析2-4(埃尔米特插值)
f ( xi )
提示 H 4 ( x) H 2 ( x) ( x a) ( x c)
3
H 2 ( x) 0
xi
f ( x i )
a
0 0 0
b
0
f(xi)
f ( xi )
进一步讨论第2列中的“0”上移和下移情 况下如何求解？
Hermite插值的方法：
(1)基函数方法
例2. 已知：4个条件
xi yi = f(xi) y i f ( xi )
x0 y0
y0
x1 y1
y1
求:一个次数不超过3的多项式H3(x) 注意用基函数的方法
插值余项为:
f ( 4) ( ) R( x ) f ( x ) H 3 ( x ) ( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 4!
f ( x i )
xi f(xi)
0 0
1 1
2 2 0
3 3
例 4 ：给定如下数据表，求次数不高于 5 次的代数多项式。
f ( x i )
xi f(xi)
-1 10 1
0 14
1 16 0.1
2 15
解： 先构造插值于四个函数值的插值多项式
用Newton插值法可得：
N 3 ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , , x 3 ]( x x0 )( x x 2 ) 1 10 4( x 1) ( x 1) x ( x 1) x ( x 1) 6 19 1 3 2 14 x x x 6 6
则可求得
1 (0) 0, 1 (1) 1, 1 (0) 0 0 (0) 0, 0 (1) 0, 0 (0) 1
第三章(二) 埃尔米特-样条插值法
(2n2)
( ) ( x x j )
j0
n
2
(3.4－11)
x x 0 x x1 h0 ( x ) 1 2 . x 0 x1 x 0 x1
H 3 ( x ) h 0 ( x ) 2 h1 ( x ) 2 g 0 ( x ) m 1 g 1 ( x ) x 0 x 1 x 1 x 0 1 2 2 1 2 0 1 0 1 1 0 1 0 2( x 0) x 1 x0 m 1 ( x 1) 0 1 1 0
2
h 1 ( x ) 1 2 l 1 ( x 1 )( x x 1 ) l 1 ( x ),
2
g 0 ( x ) ( x x 0 ) l 0 ( x ), ( x ) ( x x 1 ) l 1 ( x ). g1
2 2Leabharlann Hermite插值余项定理 定理 假设函数f (x)在 x [ a , b ] 上具有(2n+1)阶连续导数，在 x [ a , b ] 内存在(2n+2)阶导数，那么对于x [ a , b ] ，必定存在一点 ( a , b ) 使 得下式成立：
先构造 h0(x), 设
由h0(x0) = 1,
x x1 h0 ( x ) (a bx ) . x 0 x1
2
∵h0(x1)=h'0(x1)=0
h0 ( x 0 ) 0,
同理
x x 0 x x1 h0 ( x ) 1 2 x x . x 0 x1 0 1
数值分析中的插值算法及其应用
数值分析中的插值算法及其应用数值分析是研究解决数学问题的数值方法的一门学科。
其中，插值算法是数值分析中重要的方法之一。
插值是指在给定一些数据点的情况下，用一些方法建立一个函数，该函数可以在给定区间内的任何一点上计算出函数值。
插值方法有很多种，其中比较常用的有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种将一个多项式函数p(x)与一系列已知数据点相联系的方法。
假设给定n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，其中x1 < x2 < ... < xn，那么可以构造一个次数小于等于n-1的多项式函数p(x)满足p(xi) = yi，i=1,2,...,n。
设p(x)的表达式为：p(x) = Σyi li(x)其中，li(x)为拉格朗日基函数。
每个基函数都满足：li(xi) = 1, li(xj) = 0, j≠i基函数的表达式为：li(x) = Π[j≠i] (x - xj) / (xi - xj)利用拉格朗日插值法，可以在给定数据点的情况下，快速计算函数在其他点上的值。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种利用差商的方法建立插值多项式的方法。
相比于拉格朗日插值法，牛顿插值法更注重于递推计算。
给定n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，牛顿插值法可以建立一个关于x的n次多项式。
首先，定义一个差商：f[xi] = yif[xi, xi+1, ..., xj] = (f[xi+1, ..., xj] - f[xi, ..., xj-1]) / (xj - xi)差商f[xi, xi+1, ..., xj]是由区间(xi, xj)内的函数值f(xi), f(xi+1), ..., f(xj)所计算得到的。
定义一个新的多项式qk(x)，其中：qk(x) = f[x0, x1, ..., xk] + (x - xk) qk-1(x)其中q0(x) = f[x0]。
数值分析2-4(埃尔米特插值)
在数值分析中的应用
函数逼近
埃尔米特插值可以用于逼近复杂的函数，为 数值分析中的函数近似提供有效的方法。
数值积分
利用埃尔米特插值，可以将复杂的积分转化 为简单的数值计算，提高数值积分的精度和 效率。
THANKS
度和可靠性。
埃尔米特插值的优点和局限性
优点
埃尔米特插值多项式具有数值稳定性、 计算效率高、适用范围广等优点，在 实际应用中具有广泛的应用价值。
局限性
埃尔米特插值多项式对于复杂函数和 多维数据的插值效果可能不够理想， 需要结合其他算法进行优化。
05
埃尔米特插值的应用实例
一维数据的插值
预测股票价格
利用埃尔米特插值方法，可以根据历史 股票数据，预测未来的股票价格走势。
VS
气象预报
在气象学中，埃尔米特插值可以用于填补 气象观测数据的空缺，提高气象预报的准 确度。
多维数据的插值
地理信息系统
在地理信息系统中，埃尔米特插值可以用于生成高精度的地形地貌模型，为土地利用、城市规划等领 域提供支持。
环境监测
03
埃尔米特插值的实现方法
构造插值多项式
01
02
03
确定插值点
选择一组已知的插值点， 这些点是数据点的坐标。
构造多项式
根据已知的插值点，构造 一个多项式，使得该多项 式在每个插值点处的函数 值为已知的函数值。
确定多项式的阶数
根据插值点的数量和所需 的插值精度，确定多项式 的阶数。
计算插值节点的位置
二次插值的优点是对于非线性数据更 为准确，但计算量相对较大，且需要 更多的已知数据点。
数值分析实验报告Hermite插值法、Runge现象,比较Language插值、分段线性插值、分段三次Hermie插值
山东师范大学数学科学学院实验报告x 0.1 0.5 1 1.5 2 2.5 3y 0.95 0.84 0.86 1.06 1.5 0.72 1.9y' 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4求质点在时刻1.8时的速度，并画出插值多项式的图像。
1)运用Hermite插值法画出图像，如图4-1，并求质点在时刻1.8时的速度。
>>clear>>clc>>X=[0.1 0.5 1 1.5 2 2.5 3;0.95 0.84 0.86 1.06 1.5 0.72 1.9;1 1.5 2 2.5 3 3.5 4];>> x=0.1:0.01:3;>> H=Hermite1(X,x);>> plot(x,H)>> hold on>> plot(X(1,:),X(2,:),'r*')>> H1_8=Hermite(X,1.8);>> plot(1.8,H1_8,'go')>> legend('插值图像','原始点','目标点');图4-1二、验证高次插值的Runge现象问题分析和算法设计（一）Language插值代码function [Ln] =Lagrange(X,x)%请输入2*n+1矩阵X，X中第一行每个元素都是插值节点，X中第二行每个元素都是插值节点对应的函数值；%第二章P24例一拉格朗日插值n=size(X,2);d=0;for m=1:1:nif x==X(1,m);d=m;breakendend运行结果和总结 运行结果 例：给定函数55,11)(2≤≤-+=x xx f ； （1） 验证表2-10的误差结果（高次插值的Runge 现象）；（2） 以0.1为步长分别进行Language 插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值，画出三种插值函数以及f(x)的图像，比较三种插值结果。
java 数值计算方法 埃尔米特插值法
java 数值计算方法埃尔米特插值法埃尔米特插值法（Hermite Interpolation）是一种在给定一组已知点的情况下，通过构造一个多项式函数来逼近这些已知点的方法。
它是由法国数学家Charles Hermite在19世纪提出的，用于解决插值问题。
在数值计算中，插值是一种常见的技术，用于通过已知的离散数据点来估计未知点的值。
埃尔米特插值法在实际应用中具有广泛的用途，特别是在数学建模、计算机图形学和工程领域。
埃尔米特插值法的基本思想是通过构造一个多项式函数，使其在给定的已知点上与函数值和导数值都完全匹配。
这样就可以通过这个多项式函数来估计未知点的值。
具体而言，埃尔米特插值法要求已知点的函数值和导数值，然后构造一个多项式函数，使得该函数在已知点上的函数值和导数值与给定的值完全一致。
为了更好地理解埃尔米特插值法的原理，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们有一组已知点，包括点A(1, 2)和点B(2, 4)，我们希望通过这两个点来估计点C(1.5, ?)的函数值。
我们需要计算点A和点B的导数值。
根据插值法的定义，我们可以通过计算两个点之间的斜率来获得导数值。
在本例中，点A和点B 的斜率分别为2和2。
然后，我们可以构造一个多项式函数，使其在点A和点B上的函数值和导数值都与给定的值完全一致。
通过埃尔米特插值法的计算过程，我们可以得到一个多项式函数f(x) = 2x^2 - 2x + 2。
通过该函数，我们可以估计出点C的函数值为f(1.5) = 3.25。
埃尔米特插值法的优点是可以通过已知点的函数值和导数值来构造一个更准确的多项式函数。
这使得插值结果更加准确，可以更好地逼近原始函数。
此外，埃尔米特插值法还可以用于估计未知点的导数值，这在某些应用中非常有用。
然而，埃尔米特插值法也存在一些限制。
首先，它要求已知点的函数值和导数值必须是精确的，这在实际应用中往往很难满足。
其次，埃尔米特插值法在处理大量离散数据点时可能会导致计算复杂度过高，从而影响计算效率。
埃尔米特插值法
埃尔米特插值法埃尔米特插值法是一种利用已知数据点构建插值函数的方法，它可以通过给定的数据点来预测未知数据点的值。
这种方法是由德国数学家埃尔米特在19世纪末发明的，因此得名。
埃尔米特插值法的基本思想是利用已知数据点和其导数来构造一个多项式函数，该函数可以完美地通过这些数据点，并在每个点处具有相同的导数。
这样，就可以使用该多项式函数来计算任意位置处的函数值和导数。
具体而言，假设我们有n个数据点(xi,yi)，其中i=0,1,…,n-1。
我们还假设我们已经知道了每个数据点处的导数yi'。
那么，我们可以通过以下方式构造一个n次多项式函数p(x)：p(x) = Σ[i=0,n-1] Li(x)yi + Σ[i=0,n-1] Mi(x)yi'其中Li(x)和Mi(x)分别为拉格朗日插值基函数和埃尔米特插值基函数。
拉格朗日插值基函数Li(x)定义为：Li(x) = Π[j=0,j≠i,n-1] (x-xj)/(xi-xj)而埃尔米特插值基函数Mi(x)定义为：Mi(x) = [1-2(xi-x)/hi]L^2i(x) + (x-xi)/hi L'i(x)其中hi为第i个数据点的步长，即xi+1-xi，L'i(x)为Li(x)的一阶导数。
使用这些基函数，我们可以计算任意位置x处的函数值p(x)。
此外，我们还可以通过求导来计算p(x)在任意位置x处的导数。
具体而言，p(x)在位置x处的导数可以表示为：p'(x) = Σ[i=0,n-1] Mi'(x)yi + Σ[i=0,n-1] Mi(x)yi'其中Mi'(x)为Mi(x)的一阶导数。
需要注意的是，在实际应用中，我们通常不知道每个数据点处的精确导数值。
因此，我们需要根据已知数据点推断出这些导数值。
一种常见的方法是使用差分逼近法来估计数据点处的导数值。
总之，埃尔米特插值法是一个强大而灵活的插值方法，它可以用于各种不同类型的数据集，并且能够提供高精度和高效率的预测结果。
埃尔米特插值
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
6、Hermite插值余项 、 插值余项
定理 若 f ( x) 在插值区间 [a, b] 内有 2n + 2 阶导数 f (2 n + 2) ( x) ， 则对于任何 x ∈ [a, b] ，Hermite插值问题（a）、（b）的 余项为
则有
g ( x) = f ( x) − H ( x) − k ( x)[π ( x)]2 = R( x) − R ( x) = 0
g ( xi ) = 0(i = 0,1,L , n)
又由插值条件（ ） 得 又由插值条件（b）,得
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
可知 g (t ) 在区间 [a, b] 上有 n + 1 个二重零点xi (i 零点 x i 。
若已知函数 f ( x) 在插值区间 [a, b]上 n + 1个 互异的节点
x0 ,L , xn 处的函数值 f ( xi ) = f i及一阶导数值 f '( xi ) = f 'i
(i = 0,1,L , n)，求插值函数 H ( x) 满足条件：
（a） H ( x)是一个次数不超过 2n + 1次的多项式； （b）
将上式与定理中要证明的（ ）进行比较， 将上式与定理中要证明的（*）进行比较，可知只需证明
先将
的定值， x 看作不同于 xi 的定值，作辅助函数
f (ξ ) k ( x) = (2n + 2)!
(2 n + 2)
g (t ) = f (t ) − H (t ) − k ( x)[π (t )]2 ,
数值分析2-4(埃尔米特插值)
Hermite插值的方法： (1) 基函数方法 (2) 承袭性方法 注意：当给出某个点处的函数值及其各阶导数时，可 利用泰勒插值。待定
系数法本学期不能用！
作业： 习题 13, 14，15，16
（2）开关性 则可求得
0(0) 1,0(1) 0,0(0) 0 1(0) 0,1(1) 1,1(0) 0 0(0) 0, 0(1) 0, 0(0) 1
0( x) 1 x2 ,1( x) x2 , 0( x) x(1 x)
复习
前面我们已经学过两种插值方法，：Langrange插值法和Newton插值法。
共同点
1）插值条件相同，即
xi
x0 x1
yi = f(xi) y0 y1
2）求一个次数不超过n的代数多项式
… xn … yn
不同点
构造方法（思想）不同
Langrange插值法采用基函数的思想
Ln( x)
n i0
xi
0
1
yi = f(xi) y0
y1
yi f ( xi(x)
解： 用基函数的方法，设
H2 ( x) y00 ( x) y11( x) y0 0 ( x)
其中
0( x)是,基函1(数x，),满足0( x)
（1）都是2次多项式；
一、 Hermite插值多项式的定义
插值条件中除函数值插值条件外，还有导数值插值条件，即
已知：2n+2个条件
xi
x0
x1
yi = f(xi) y0 y1
yi f ( xi )
y0
y1
求:一个次数不超过2n+1的多项式H2n+1(x)
5.4埃尔米特(Hermite)插值
n
计算方法
H2n+1(x)为满足条件
H ( xi ) f ( xi ),
H ( xi ) f ( xi )
( i 0,1, , n)
的2n+1次Hermite插值多项式。
计算方法
定理
满足插值条件
H ( xi ) f ( xi ) ( i 0,1, , n)
H ( xi ) f ( xi ),
计算方法
§5.4 埃尔米特(Hermite)插值
许多实际问题不但要求插值函数p(x)在插值节
点处与被插函数f(x)有相同的函数值p(xi)=f(xi) (i=0,1,2,…,n), 而且要求在有些节点或全部节点上 与f(x)的导数值也相等，甚至要求高阶导数值也相 等，能满足这种要求的插值问题就称为埃尔米特
i( x j ) 0 i ( x j ) 0
(i, j =0,1,2, …,n)
Hermite插值多项式可写成插值基函数表示的形式
H 2 n1 ( x ) i ( x ) f ( xi ) i ( x ) f ( xi )
i 0
n
计算方法
验证：
H 2n1 ( x j ) i ( x j ) f ( xi ) i ( x j ) f ( xi ) ij f ( xi ) 0 f ( x j )
i 0 i 0
n
n
0 ij f ( x j ) f ( x j )
i 0
n
计算方法
根据插值条件可求出 j ( x ) 和 j ( x )( j 0,1, n)
n 1 2 1 2( x x ) j ( x) l j ( x) j k 0 x j xk k j
54第四节 Hermite插值
数学学院 信息与计算科学系
二、误差估计
定理4 设f(x)在包含x0、x1的区间[a, b]内存在 四阶导数，则当x∈[a, b]时有余项式
R3( x)
f (x)
H3(x)
1 4!
f (4)( )( x
x0 )2( x
x1 )2
( (a, b)且与x有关)
设
M4
max
x0 x x1
x
144
x
1212
得 由
125
H3
(125) f (4)(
11.18035
x)
15 16 x 7
/
2
可求得
R3 (125)
15 1
384 16 3
42 192
15 384
192 1213 11
0.000012
x0 x0
)
2
,
1
(
x
)
(
x
x1
)(
x x1
x0 x0
)2
0 ( x) [1 2l1( x)]l02( x) 0 ( x) ( x x0 )l02( x) 1( x) [1 2l0 ( x)]l12( x) 1( x) ( x x1 )l12( x)
数学学院 信息与计算科学系
第四节 埃尔米特(Hermite)插值
一、 埃尔米特插值多项式
为了使插值函数能更好的切合原来的函数，许多 问题不但要求节点上的函数值相等，还要求导数值相 同，甚至高阶导数也相等，这类插值问题称为埃尔米 特插值。
数值计算(数值分析)实验4-分段三次埃尔米特(hermite)插值【c程序实现+流程图】
实验四分段三次埃尔米特插值（一）实验目的掌握分段三次埃尔米特插值算法。
（二）实验项目内容1．写出计算步骤和流程图。
2．对每种算法分别用C或c#程序实现。
3．调试程序。
可用以下数据进行调试。
已知函数y=1/(1+x2)在区间[0,3]上取等距插值节点，求区间[0,3]上的分段三次埃尔米特插值函数，并利用它求出f(1.5)的近似值（0.3075）。
x0 1 2iy 1 0.5 0.2 iy 0 -0.5 -0.16 i（三）主要仪器设备微机（四）实验室名称公共计算机实验室（五）实验报告撰写实验四分段三次埃尔米特插值实验报告一、流程图二、 程序代码#include<stdio.h>#include<math.h>float f0(float x) N Y开始输入i x ,i y ,xy=0, j=0t=1i j ix x t t x x -=- i=0,…j-1,j+1,…n i y y ty =+j=n? 输出y结束j=j+1{return((x-1)*(x-1)*(2*x+1));}float f1(float x){return(x*x*(-2*x+3));}float g0(float x){return(x*(x-1)*(x-1));}float g1(float x){return(x*x*(x-1));}void main(){float x0,x1,x,y0,y1,yy0,yy1,h,p;printf("输入x0,x1,x,y0,y1和yy0,yy1的取值");scanf("%f%f%f%f%f%f%f",&x0,&x1,&x,&y0,&y1,&yy0,&yy1); h=x1-x0;p=y0*f0((x-x0)/h)+y1*f1((x-x0)/h)+h*yy0*g0((x-x0)/h)+h*yy1*g1((x-x0)/h);printf("%f\n",p);}三、运行结果【截图】。
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max f x xi x xi1
2!
x
j
2
xi
2
hi2 8
max
xi x xi1
f
x
分段Hermite插值
给定 x0 , ... , xn ; y0 , ... , yn ; y0 , ... , yn 导数一般不易得到。
余项
max f 4 x
f
(x) s1(x)
xi xxi1
4!
xj
xi 2
4
hi4 384
max
xi xxi1
f
(4)
x
样条函数插值
解 求解这个简单问题可直接由待定系数法。 令所求的插值多项式
p( x) a0 a1 x a2 x 2
p ' (x) a1 2a2 x
依所给插值条件可列出方程
1 p(0) a0 0 p ' (0) a1
2 p(1) a0 a1 a2
由此解出 a0 1, a1 0.a2 1
p(x) 10x 2 3x2(ax2 bx c) x3(2ax b)
用剩下的插值条件列出方程
1 p(1) 5 (a b c) 1 p' (1) 12 3(a b c) (2a b)
2 p(2) 22 8(4a 2b c)
由此解出
a 4, b 15, c 17
yi 1
x [ xi , xi1 ]
记
h
max
|
xi 1
xi
| ，易证：当
h
0
时，P1h
(
x
)
一致
f
(x)
y
y= f(x)
y=p(x)
失去了原函数的光滑性。
o
x
分段线性插值的余项
f (x) s1(x)
max
xi x xi1
f (x) s1(x)
max f i
xi x xi1
2!
( x xi )( x xi1)
于是所求插值多项式
p(x) 4x5 15x4 17x3 5x2 2x 2
各种插值方法的总结
待定系数法 基函数法
承袭法
pn1(x) pn (x) cwn (x)
承袭性公式的证明
假设：pn (x)满足已知的n 1个条件 则：在这n 1个条件下wn (x)的值为0 又因为：pn1(x) pn (x) cwn (x) 则在这n 1个条件下：pn1(x) pn (x) 即pn1(x)满足这已知的n 1个条件 因为已知条件共有n 2个 因此，可以利用最后一个条件来确定系数c
问题：
当剩余的条件多于一个时，应该如何处理？
把常数c改为一个多项式，此多项式采用 待定系数法的形式。
多项式的次数如何确定？
剩余条件个数-1
分段低次插值
例：在[5,
5]上考察
f (x)
1 1 x2
的Ln(x)。取
xi
5
10 n
i
(i 0, ...,n)
2.5
2
Ln(x) f (x)
1.5
1 0.5
故有
p(x) 1 x2
题8 求作次数≤5的多项式p(x),使满足下列插值条件：
xi
0
1
2
2
1
2
yi
y 'i
-2
-1
y"i
-10
解 以泰勒公式，满足条件
q(0) 2, q' (0) 2, q"' (0) 10 的插值多项式
q(x) 5x 2 2x 2
令
p(x) 5x2 2x 2 x3 (ax2 bx c)
0 -0.5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
n 越大， 端点附近抖动 越大，称为 Runge 现象
分段线性插值
在每个区间[ xi , xi1] 上，用1阶多项式 (直线) 逼近 f (x):
f ( x) P1( x)
x xi1 xi xi1
yi
x xi xi1 xi
埃尔米特插值问题
Hale Waihona Puke 问题描述多项式插值余项的表示形式
从中我们可以发现多项式插值结果的余项组成规律：
如果已知条件有n个，则在余项中分母为n!； 相应的，分子上的导数阶数也是n；
如果条件中出现某点xi的从0阶直到k阶的导数值 则在后面的因式中存在（x - xi )k1
题2 求作次数≤2的多项式p(x),使满足插值条件 p(0) 1, p(1) 2, p' (0) 0