八年级数学华师大版上册【能力培优】13.5 逆命题与逆定理(含答案)
华师大版数学八年级上册13.5《逆命题与逆定理》说课稿
华师大版数学八年级上册13.5《逆命题与逆定理》说课稿一. 教材分析华师大版数学八年级上册13.5《逆命题与逆定理》是本节课的主题。
这部分内容是在学生已经掌握了命题与定理的基础上进行学习的，是进一步引导学生深入理解数学概念，培养学生逻辑思维能力的重要内容。
逆命题与逆定理是数学中的基本概念，理解这两个概念有助于学生更好地理解命题与定理的本质。
通过学习逆命题与逆定理，学生能够更深入地理解数学的逻辑结构，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习这部分内容时，已经有了一定的数学基础，对命题与定理有一定的了解。
但是，对于逆命题与逆定理的理解可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实例来理解逆命题与逆定理的概念，并通过练习来巩固所学知识。
三. 说教学目标本节课的教学目标是让学生理解逆命题与逆定理的概念，能够运用逆命题与逆定理来解决问题，提高学生的逻辑思维能力。
四. 说教学重难点本节课的重难点是逆命题与逆定理的理解和运用。
学生需要通过实例来理解逆命题与逆定理的概念，并通过练习来掌握运用逆命题与逆定理的方法。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用讲解法、示例法、练习法等教学方法。
通过讲解法，我来向学生解释逆命题与逆定理的概念；通过示例法，我来引导学生通过实例来理解逆命题与逆定理；通过练习法，我来让学生通过练习来巩固所学知识。
六. 说教学过程1.导入：我会通过一个简单的实例来导入本节课的内容，让学生初步感受逆命题与逆定理的概念。
2.讲解：我会详细讲解逆命题与逆定理的概念，并通过示例来让学生更好地理解这两个概念。
3.练习：我会给出一些练习题，让学生通过练习来巩固所学知识。
4.总结：我会对本节课的内容进行总结，让学生加深对逆命题与逆定理的理解。
七. 说板书设计板书设计如下：逆命题与逆定理逆命题：将一个命题的条件和结论互换得到的命题。
逆定理：如果一个命题的条件是另一个命题的结论，另一个命题的条件是这个命题的结论，那么这两个命题叫做逆定理。
华师大版2020-2021年八年级数学上册导学案：13.5 1 互逆命题与互逆定理【含答案】
华师大版2020-2021年八年级数学上册导学案13.5 逆命题与逆定理1.互逆命题与互逆定理学习目标：1．让学生理解互逆命题、互逆定理的概念，通过比较，提高学生的辨析能力；2．能正确写出一个命题的逆命题，能判断一个命题的逆命题是否是逆定理（重点）；3．能正确理解互逆命题与互逆定理的联系与区别（难点）．自主学习一、知识链接1._________________叫做命题．2．命题分为_______和_______，每一个命题都是由_____和_____两部分组成，可以写成“如果……，那么……”的形式．3．把命题“过平面上一点作已知直线的垂线，有且只有一条直线与这条直线垂直”改写成“如果……，那么……”的形式为_____________________________________________．4.数学中，有些命题可以从基本事实和其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做__________.二、新知预习说出下列命题的条件和结论：1．两直线平行，内错角相等； 2．内错角相等，两直线平行；3．若a＝b，则a2＝b2； 4．若a2＝b2，则a＝b.观察上面几组命题，发现1和2、3和4这两个命题的_____和_____恰好互相换了位置．【自主归纳】一般来说，在两个命题中，如果一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做_________．如果把其中一个命题叫做________，那么另一个命题叫做它的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题不一定正确．合作探究一、探究过程探究点1：互逆命题例1指出下列命题的条件和结论，说出它们的逆命题，并判断逆命题的真假．(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；条件：_____________________．结论：_____________________．逆命题：_______________________________．这个逆命题是___命题．(2)全等三角形的对应角相等．条件：____________________．结论：____________________．逆命题：____________________________________________．这个逆命题是___命题．【针对训练】指出下列命题的条件和结论，说出它们的逆命题，并判断逆命题的真假．(1)如果一个数能被10整除，那么这个数也一定能被5整除；条件：___________________．结论：___________________．逆命题：________________________________．这个逆命题是___命题．(2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．条件：________________________________________．结论：_________________．逆命题：________________________________________．这个逆命题是___命题．【变式题】指出下列命题的条件和结论，说出它们的逆命题，并判断逆命题的真假．(1)等角对等边；条件：____________________________．结论：____________________．逆命题：___________．这个逆命题是___命题．(2)等边三角形三条边上的高相等．条件：_______________________．结论：_______________．逆命题：_________________________________________________．这个逆命题是___命题．探究点2：互逆定理1．如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做________，其中的一个定理叫做另一个定理的_______．2．一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理．例2(1)命题：两直线平行，内错角相等；逆命题：________________________．因此它们是_________.(2)命题：_____________________．逆命题：对顶角相等．此逆命题是___命题，且是_____．二、课堂小结内容互逆命题如果第一个命题的条件是第二个命题的_____，而第一个命题的结论是第二个命题的_____，那么这两个命题叫做互逆命题．互逆定理如果一个定理的逆命题也是______，那么这两个定理叫做互逆定理．当堂检测1．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．同位角相等B．对顶角相等C．等边对等角D．全等三角形的面积相等2．下列命题的逆命题是假命题的是（）A．全等三角形的面积相等B．等腰三角形两个底角相等C．若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角D．若a=b，则a3=b33．“同位角相等”的逆命题是_________________________．4．我们已经学习了一些定理，例如：①全等三角形的对应边相等；②等腰三角形的两个底角相等；③等边三角形的三个内角相等．上述定理中存在逆定理的是（填序号）．5．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．（1）全等三角形的对应角相等；（2）同旁内角互补，两直线平行．6．写出命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题，并判断真假.若为真命题，请证明；若为假命题，请举出反例．参考答案自主学习一、知识链接1.表示判断的语句 2．真命题假命题条件结论3．如果经过平面上的一点作已知直线的垂线，那么有且只有一条直线与这条直线垂直4．定理二、新知预习条件结论【自主归纳】互逆命题原命题合作探究探究点1例1（1）一个三角形是直角三角形它的两个锐角互余如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形真（2）两个三角形是全等三角形它们的对应角相等如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等假【针对训练】(1)一个数能被10整除这个数也一定能被5整除如果一个数能被5整除，那么这个数也一定能被10整除假(2)两条直线被第三条直线所截，内错角相等这两条直线平行两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么内错角相等真【变式题】(1)在一个三角形中，有两个角相等这两个角所对的边相等等边对等角真(2)一个三角形是等边三角形该三角形三条边上的高相等如果一个三角形三条边上真探究点2 互逆定理逆定理例2 (1)内错角相等，两直线平行互逆定理(2)相等的角是对顶角真定理二、课堂小结结论条件定理当堂检测1．C 2．A 3．相等的角是同位角4．①②③5．解：（1）没有.“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，是假命题.（2）有.逆定理为：两直线平行，同旁内角互补．6．解：逆命题是：如果一个三角形一边上的高线和中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题．证明如下：已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，BD＝DC.求证：△ABC是等腰三角形.证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC（SAS）．∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．。
华师大版八年级上册数学作业课件：13.5 逆命题与逆定理 第2课时 线段垂直平分线
16．如图，在△ABC中，∠B＝ 22.5°，边AB的垂直平分线l交BC于 D，DF⊥AC于F，并与BC边上的高10
9
证明：连结 AD，∵l 垂直平分 AB，∴AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝22.5°，∴∠ADE＝∠BAD ＋∠B＝45°.∵AE⊥BC，∴∠DAE＝90°－45°＝45°，∴∠ADE＝∠DAE，∴AE＝DE.∵DF ⊥AC，AE⊥BC，∴∠EDG＋∠C＝90°，∠EAC＋∠C＝90°，∴∠EDG＝∠EAC.又∵∠DEG＝ ∠AEC＝90°，∴△DEG≌△AEC(A.S.A.)，∴EG＝EC
解：(1)∵点 D 是 BC 边的中点，DE⊥BC，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB.∵BP 平分∠ABC， ∴∠PBC＝∠ABP，∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP.∵∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴∠PBC＋∠PCB ＋∠ABP＝180°－60°－24°，∴3∠ABP＝96°，∴∠ABP＝32° (2)m＋3n＝120 提示： ∵点 D 是 BC 边的中点，DE⊥BC，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB.∵BP 平分∠ABC，∴∠PBC＝
12．如图，在△ABC中，AB＝AC， 证明：∵AD 是 BC 的垂直平分线，∴AB＝AC，BD＝CD.∵AB＋BD＝DE，∴AC＋CD＝DE， ∴AC＝DE－CD＝CE，∴点 C 在线段 AE 的垂直平分线上
O是△ABC内一点，且OB＝OC，点 P是直线OA上一动点，求证：PB＝7
华东师大版八年级上册数学课件13.5逆命题与逆定理1.互逆命题与互逆定理
解：
有．在一个三角形中，较大的边所对的角较大． 已知：如图，在△ABC中，AC>AB.求证：∠ABC>∠ACB. 证 明 ： ∵ AC>AB ， 在 AC 上 截 取 AE ＝ AB ， 连 结 BE ， ∴ ∠ ABE ＝ ∠AEB.∵∠AEB>∠ACB，∠ABC>∠ABE，∴∠ABC>∠ACB.
灿若寒星
16．写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题， 若是假命题，请举出一个反例说明： (1)等腰三角形的两底角相等； (2)相等的角是内错角； (3)在平面内，垂直于同一条直线的两直线平行； (4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．
灿若寒星
解：(1)有两个角相等的三角形是等腰三角形；真命题．
(2)内错角相等；假命题，反例：如图
.
(3)在平面内，两条平行线垂直于同一条直线；假命题，反例：如
图
.
(4)等边三角形有一个角等于60°；真命题．
灿若寒星
17．已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”． (1)写出逆命题； (2)逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出图形，写出 “已知”“求证”，再进行“证明”；如果是假命题，请举反例说 明．
灿若寒星
知识点2：互逆定理 7．以下说法中，正确的个数是( B) ①每个命题总有逆命题；②每个定理总有逆定理；③真命题的逆命 题是真命题；④假命题的逆命题是假命题． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
灿若寒星
B 8．下列定理有逆定理的是( ) A．直角都相等 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．全等三角形的对应角相等
灿若寒星
解：
(1)两边上的高相等的三角形是等腰三角形． (2)真命题． 已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，且BD＝CE. 求证：AB＝AC. 证明：用H.L.证△BCD≌△CBE，则∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形．
2019秋八年级数学上册第13章全等三角形13.5逆命题与逆定理13.5.1互逆命题与互逆定理习题华东师大版
)
3. 下列定理中，没有逆定理的是( C ) A．同旁内角互补，两直线平行 B．直角三角形的两锐角互余 C．互为相反数的两个数的绝对值相等 D．同位角相等，两直线平行
4.命题“若 a 是偶数，则 3a 也是偶数”的逆命题是 ( A ) A．若 3a 是偶数，则 a 是偶数 B．若 3a 是偶数，则 a 是奇数 C．若 3a 是奇数，则 a 是奇数 D．若 3a 是奇数，则 a 是偶数
8. 举例说明下列命题是假命题． (1)若a>b，则ac>bc； (2)若|a|＝|b|，则a3＝b3； (3)面积相等的三角形是全等三角形．
解：(1)如3>2，但3× (－2)<2× (－2)； (2)如|2|＝|－2|，但23≠(－2)3；
(3)如图： △ BCA和△ BCD面积相等，但这两个三角形不是全 等三角形．
真命题
，那么这两
个定理叫 互逆定理 ．其中一 个定理叫 做另一个定理 的
逆定理
．
知识点
互逆命题
1. 下列真命题中，逆命题也是真命题的是( D ) A．全等三角形的对应角都相等 B．等边三角形是锐角三角形 C．对顶角相等 D．全等三角形的对应边都相等
2. 写出下列命题的逆命题，并指出真假． (1)等角的余角相等；
9.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假． (1)如果a>0，那么a2>0； (2)全等三角形的周长相等； (3)正方形的四条边相等．
解：(1)逆命题：如果a2>0，那么a>0. 假命题； (2)逆命题：周长相等的三角形全等．假命题； (3)逆命题：四条边相等的四边形是正方形．假命 题．
10. 如图，点 D、E 在△ ABC 的边 BC 上，连结 AD、 AE，①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE. 以这三个等式 中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构 成三个命题：①② ③；①③ ②；②③ ①. (1) 以 上 三 个 命 题 是 真 命 题 的 为 ( 直 接 作 答) ；
华师大版初中数学八年级上册《13.5 逆命题与逆定理》2018年同步练习卷(含答案解析
华师大新版八年级上学期《13.5 逆命题与逆定理》同步练习卷一．选择题（共41小题）1．已知：△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾②因此假设不成立．∴∠B＜90°③假设在△ABC中，∠B≥90°④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（）A．③④①②B．③④②①C．①②③④D．④③①②2．利用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设（）A．四边形中至多有一个内角是钝角或直角B．四边形中所有内角都是锐角C．四边形的每一个内角都是钝角或直角D．四边形中所有内角都是直角3．用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时，应先假设（）A．有一个内角小于90°B．每一个内角都小于90°C．有一个内角小于或等于90°D．每一个内角都大于90°4．用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设（）A．a＜b B．a=b C．a≤b D．a≥b5．用反证法证明“a＞0”，应当先假设（）A．a＜0B．a≤0C．a≠0D．a≥06．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（）A．两个锐角都大于45°B．两个锐角都小于45C．两个锐角都不大于45°D．两个锐角都等于45°7．用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设（）A．至少有一个内角是直角B．至少有两个内角是直角C．至多有一个内角是直角D．至多有两个内角是直角8．用反证法证明“a＞0”，应假设（）A．a＜0B．a=0C．a≠0D．a≤09．对于命题“已知：a∥b，b∥c，求证：a∥c”．如果用反证法，应先假设（）A．a不平行b B．b不平行c C．a⊥c D．a不平行c 10．已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C．若用反证法来证明这个结论，可以假设（）A．∠A=∠B B．AB=BC C．∠B=∠C D．∠A=∠C 11．用反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，我们应假设（）A．没有一个角是钝角或直角B．最多有一个角是钝角或直角C．有2个角是钝角或直角D．4个角都是钝角或直角12．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个角不大于60度”时，首先应假设这个三角形中（）A．三个角都不大于60度B．三个角至多有一个大于60度C．三内角都大于60度D．三内角至多有两个大于60度13．用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设（）A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°14．用反证法证明命题“四边形四个内角中至少有一个角大于等于90°”，我们应该假设（）A．四个角都小于90°B．最多有一个角大于或等于90°C．有两个角小于90°D．四个角都大于或等于90°15．用反证法证明“a＞b”时，应假设（）A．a＜b B．a≤b C．a≥b D．a≠b16．用反证法证明命题：“△ABC中，若AB=AC，则∠B、∠C都是锐角”首先应假设（）A．∠B、∠C都不是锐角B．∠B为锐角C．∠C不为锐角D．∠B、∠C不都是锐角17．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，应先假设这个直角三角形中（）A．有一个锐角小于45°B．每一个锐角都小于45°C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45°18．用反证法证明“若a＞b＞0，则a2＞b2”，应假设（）A．a2＜b2B．a2=b2C．a2≤b2D．a2≥b2 19．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A．每一个内角都大于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．有一个内角小于60°20．用反证法证明“同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时应假设（）A．a不垂直与c B．a，b都不垂直与cC．a⊥b D．a与b相交21．用反证法证明：“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，则a，b，c中至少有一个是偶数”，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数22．下列各数中．说明命题“任何偶数都是6的倍数”是假命题的反例是（）A．9B．12C．18D．1623．在证明“在△ABC中至少有两个锐角”时，第一步应假设这个三角形中（）A．没有锐角B．都是直角C．最多有一个锐角D．有三个锐角24．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（）A．直角三角形的每个锐角都小于45°B．直角三角形有一个锐角大于45°C．直角三角形的每个锐角都大于45°D．直角三角形有一个锐角小于45°25．用反证法证明“一个三角形中至少有两个锐角”时，下列假设正确的是（）A．假设一个三角形中只有一个锐角B．假设一个三角形中至多有两个锐角C．假设一个三角形中没有一个锐角D．假设一个三角形中至少有两个钝角26．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（）A．5B．2C．4D．827．用反证法证明“△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”，第一步应假设（）A．∠A=60°B．∠A＜60°C．∠A≠60°D．∠A≤60°28．用反证法证明命题：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，证明的第一个步骤是（）A．假设CD∥EF B．假设AB∥EFC．假设CD和EF不平行D．假设AB和EF不平行29．用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应当假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60°B．每一个内角小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角大于60°30．用反证法证明“三角形中最多有一个钝角”时，第一步应假设（）A．三角形中有一个钝角B．三角形中有两个钝角或三个钝角C．三角形中有一个锐角D．三角形中有两个锐角31．用反证法证明“a＜0”，需先假设（）A．a＞0B．a=0C．a≥0D．a不为0 32．用反证法证明“a＞b”时应假设（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．a≤b33．用反证法证明“若a∥c，b∥c，则a∥b”，第一步应假设（）A．a∥b B．a与b垂直C．a与b相交D．a与b不一定平行34．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，第一步应先假设（）A．a不垂直于c B．b不垂直于c C．c不平行于b D．a不平行于b 35．用反证法证明：在四边形中，至少有一个内角大于或等于90°，应先假设（）A．四边形中每一个内角都小于90°B．四边形中最多有一个内角不小于90°C．四边形中每一个内角都大于90°D．四边形中有一个内角大于90°36．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机，是无理数的证明如下：假设是有理数，那么它可以表示成（p与q是互质的两个正整数）．于是（）2=（）2=2，所以，q2=2p2．于是q2是偶数，进而q是偶数，从而可设q=2m，所以（2m）2=2p2，p2=2m2，于是可得p也是偶数．这与“p与q 是互质的两个正整数”矛盾．从而可知“是有理数”的假设不成立，所以，是无理数．这种证明“是无理数”的方法是（）A．综合法B．反证法C．举反例法D．数学归纳法37．选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C=90°，求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设（）A．∠A≤45°，∠B≤45°B．∠A≥45°，∠B≥45°C．∠A＜45°，∠B＜45°D．∠A＞45°，∠B＞45°38．用反证法证明“a＜b”，应先假设（）A．a≠b B．a＞b C．a=b D．a≥b39．用反证法证明“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，第一步应假设为（）A．a、b、c都是奇数B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C．a、b、c都是偶数D．a、b、c中至少有两个偶数40．用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A．有一个内角大于60°B．有一个内角小于60°C．每一个内角都大于60°D．每一个内角都小于60°41．用反证法证明命题：在一个三角形中，最大的内角不小于60°，证明的第一步是（）A．假设最大的内角小于60°B．假设最大的内角大于60°C．假设最大的内角大等于60°D．假设最大的内角小等于60°二．填空题（共8小题）42．用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”，应假设．43．已知五个正数的和等于1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于应先假设．44．用反证法证明：“三角形中至少有两个锐角”时，首先应假设这个三角形中．45．用反证法证明“若a＞b＞0，则a2＞b2”，应假设．46．已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°，若用反证法证这个结论，应首先假设．47．用反证法证明“已知五个正数的和等于1，求证：这五个正数中至少有一个大于或等于”时，首先要假设．48．用反证法证明∠A＞60°时，应先假设．49．为说明命题“如果a＞b，那么”是假命题，你举出的反例是．三．解答题（共1小题）50．证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．华师大新版八年级上学期《13.5 逆命题与逆定理》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共41小题）1．已知：△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾②因此假设不成立．∴∠B＜90°③假设在△ABC中，∠B≥90°④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（）A．③④①②B．③④②①C．①②③④D．④③①②【分析】通过反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；理顺证明过程即可．【解答】解：由反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；所以题目中“已知：△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°”．用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：假设∠B≥90°；那么，由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，；所以因此假设不成立．∴∠B＜90°；原题正确顺序为：③④①②．故选：A．【点评】本题考查反证法证明步骤，考查基本知识的应用，逻辑推理能力．2．利用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设（）A．四边形中至多有一个内角是钝角或直角B．四边形中所有内角都是锐角C．四边形的每一个内角都是钝角或直角D．四边形中所有内角都是直角【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中所有内角都是锐角．故选：B．【点评】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．3．用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时，应先假设（）A．有一个内角小于90°B．每一个内角都小于90°C．有一个内角小于或等于90°D．每一个内角都大于90°【分析】至少有一个内角大于或等于90°的反面是每一个内角都小于90°，据此即可假设．【解答】解：用反证法证明：四边形中至少有一个内角大于或等于90°，应先假设：每一个内角都小于90°．故选：B．【点评】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．4．用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设（）A．a＜b B．a=b C．a≤b D．a≥b【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．【解答】解：根据反证法的步骤，得第一步应假设a＞b不成立，即a≤b．故选：C．【点评】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．5．用反证法证明“a＞0”，应当先假设（）A．a＜0B．a≤0C．a≠0D．a≥0【分析】根据命题：“a＞0”的反面是：“a≤0”，可得假设内容．【解答】解：由于命题：“a＞0”的反面是：“a≤0”，故用反证法证明：“a＞0”，应假设“a≤0”，故选：B．【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．6．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（）A．两个锐角都大于45°B．两个锐角都小于45C．两个锐角都不大于45°D．两个锐角都等于45°【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设两个锐角都大于45°．故选：A．【点评】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．7．用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设（）A．至少有一个内角是直角B．至少有两个内角是直角C．至多有一个内角是直角D．至多有两个内角是直角【分析】反证法即假设结论的反面成立，“最多有一个”的反面为“至少有两个”．【解答】解：∵“最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的逆命∴应假设：至少有两个内角是直角．故选：B．【点评】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，不需要一一否定，只需否定其一即可．8．用反证法证明“a＞0”，应假设（）A．a＜0B．a=0C．a≠0D．a≤0【分析】根据命题：“a＞0”的反面是：“a≤0”，可得假设内容．【解答】解：由于命题：“a＞0”的反面是：“a≤0”，故用反证法证明：“a＞0”，应假设“a≤0”，故选：D．【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．9．对于命题“已知：a∥b，b∥c，求证：a∥c”．如果用反证法，应先假设（）A．a不平行b B．b不平行c C．a⊥c D．a不平行c【分析】根据命题：“已知：a∥b，b∥c，求证：a∥c”的反面是：“a不平行c”，可得假设内容．【解答】解：由于命题：“已知：a∥b，b∥c，求证：a∥c”的反面是：“a不平行c”，故用反证法证明：“已知：a∥b，b∥c，求证：a∥c”，应假设“a不平行c”，故选：D．【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．10．已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C．若用反证法来证明这个结论，可以假设（）A．∠A=∠B B．AB=BC C．∠B=∠C D．∠A=∠C【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判【解答】解：∠B≠∠C的反面是∠B=∠C．故可以假设∠B=∠C．故选：C．【点评】本题主要考查了反证法的基本步骤，正确确定∠B≠∠C的反面，是解决本题的关键．11．用反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，我们应假设（）A．没有一个角是钝角或直角B．最多有一个角是钝角或直角C．有2个角是钝角或直角D．4个角都是钝角或直角【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是a＞b的反面有多种情况，应一一否定．【解答】解：用反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应假设没四边形中没有一个角是钝角或直角，故选：A．【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．12．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个角不大于60度”时，首先应假设这个三角形中（）A．三个角都不大于60度B．三个角至多有一个大于60度C．三内角都大于60度D．三内角至多有两个大于60度【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．【解答】解：反证法证明命题“三角形中至少有一个角不大于60°”时，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60°，故选：C．【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．13．用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设（）A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成立矩形解答即可．【解答】解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，第一步应先假设每一个内角都小于60°，故选：B．【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．14．用反证法证明命题“四边形四个内角中至少有一个角大于等于90°”，我们应该假设（）A．四个角都小于90°B．最多有一个角大于或等于90°C．有两个角小于90°D．四个角都大于或等于90°【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立即可．【解答】解：用反证法证明“四边形的四个内角中至少有一个不小于90°”时第一步应假设：四个角都小于90度．故选：A．【点评】本题考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．15．用反证法证明“a＞b”时，应假设（）A．a＜b B．a≤b C．a≥b D．a≠b【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．要注意的是a＞b的反面有多种情况，需一一否定．【解答】解：用反证法证明“a＞b”时，应先假设a≤b．故选：B．【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．16．用反证法证明命题：“△ABC中，若AB=AC，则∠B、∠C都是锐角”首先应假设（）A．∠B、∠C都不是锐角B．∠B为锐角C．∠C不为锐角D．∠B、∠C不都是锐角【分析】反证法的第一步是假设结论不成立；原结论为∠B、∠C都是锐角，它的反面是∠B、∠C不都是锐角，需一一否定．【解答】解：用反证法证明命题：“△ABC中，若AB=AC，则∠B、∠C都是锐角”，首先应假设∠B、∠C不都是锐角，故选：D．【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．17．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，应先假设这个直角三角形中（）A．有一个锐角小于45°B．每一个锐角都小于45°C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45°【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．故选：D．【点评】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．18．用反证法证明“若a＞b＞0，则a2＞b2”，应假设（）A．a2＜b2B．a2=b2C．a2≤b2D．a2≥b2【分析】根据反证法的一般步骤：先假设结论不成立进行解答．【解答】解：用反证法证明“若a＞b＞0，则a2＞b2”的第一步是假设a2≤b2，故选：C．【点评】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．19．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A．每一个内角都大于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．有一个内角小于60°【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．故选：A．【点评】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．20．用反证法证明“同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时应假设（）A．a不垂直与c B．a，b都不垂直与cC．a⊥b D．a与b相交【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．【解答】解：用反证法证明“同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时应假设a 与b相交，故选：D．【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．21．用反证法证明：“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，则a，b，c中至少有一个是偶数”，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数【分析】用反证法法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，求出要证的命题的否定，即为所求．【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，则a，b，c 中至少有一个是偶数”的否定为：“假设a，b，c都不是偶数”，故选：B．【点评】本题主要考查了用反证法法证明数学命题，求一个命题的否定，属于中档题．22．下列各数中．说明命题“任何偶数都是6的倍数”是假命题的反例是（）A．9B．12C．18D．16【分析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．【解答】解：A.9，∵9不是偶数，∴不能作为假命题的反例；故答案A错误；B.12，∵12是偶数，12是6的倍数，∴不可以用来说明命题“任何偶数都是6的倍数”是假命题的反例，故答案B错误；C.18，∵18是偶数，且是6的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案C错误；D.16，∵16是偶数，不是6的倍数，∴能作为假命题的反例；故答案D正确；故选：D．【点评】此题主要考查了反证法的意义，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．23．在证明“在△ABC中至少有两个锐角”时，第一步应假设这个三角形中（）A．没有锐角B．都是直角C．最多有一个锐角D．有三个锐角【分析】熟记反证法的第一步，根据反证法第一步首先从结论的反面假设结论不成立，即可得出答案．【解答】解：用反证法证明同一三角形中至少有两个锐角时，应先假设同一三角形中最多有一个锐角．故选：C．【点评】此题主要考查了反证法的第一步，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．24．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（）A．直角三角形的每个锐角都小于45°B．直角三角形有一个锐角大于45°C．直角三角形的每个锐角都大于45°D．直角三角形有一个锐角小于45°【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于45°．故选：A．【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．25．用反证法证明“一个三角形中至少有两个锐角”时，下列假设正确的是（）A．假设一个三角形中只有一个锐角B．假设一个三角形中至多有两个锐角C．假设一个三角形中没有一个锐角D．假设一个三角形中至少有两个钝角【分析】熟记反证法的步骤，利用“至少有两个”的反面为“最多有一个”或者从钝角个数入手分析，据此直接写出逆命题即可．【解答】解：用反证法证明“一个三角形中至少有两个锐角”时，应先假设“一个三角形中最多有一个锐角”或者假设一个三角形中至少有两个钝角．故选：D．【点评】此题主要考查了反证法的第一步，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．26．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（）A．5B．2C．4D．8。
13.5逆命题与逆定理互逆命题与互逆定理专题练习题含答案
华东师大版八年级数学上册第13章全等三角形 13.5 逆命题与逆定理互逆命题与互逆定理专题练习题1．已知命题：全等三角形的面积相等，则其逆命题是( )A．不全等三角形的面积不相等 B．面积不相等的两个三角形不全等C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积相等2．下列命题的逆命题是真命题的是( )A．对顶角相等 B．如果a＝b，那么a2＝b2C．四边形是多边形 D．两直线平行，同旁内角互补3．下列命题的逆命题不正确的是( )A．若a＋b>0，则a>0，b>0B．两直线平行，内错角相等C．直角三角形的两个锐角互余D．对顶角相等4．命题：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是__________________________________，是________命题．(填“真”或“假”)5．命题：“平行于同一直线的两直线互相平行”的逆命题是_____________________________，是________命题．(填“真”或“假”)6．写出下列命题的逆命题，这些逆命题都成立吗？(1)两直线平行，同位角相等；(2)如果实数a＝b，那么|a|＝|b|；(3)两个锐角的和是钝角；(4)直角都相等．7．下列定理中，有逆定理的是( )A．相反数的绝对值相等 B．两个全等三角形的对应角相等C．直角三角形的两个锐角互余 D．末位数是2的整数被2整除8．下列定理中，逆定理不存在的是( )A．等边三角形的三个内角都等于60°B．在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角相等C．同位角相等，两直线平行D．同角的余角相等9．写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理．10．下列命题与逆命题都正确的是( )A．自然数是整数 B．若a>b，则|a|>|b|C．互补的角为邻补角 D．三个角相等的三角形是等边三角形11．下列说法正确的是( )A．真命题的逆命题也是真命题 B．每个命题都有逆命题C．每个定理都有逆定理 D．假命题没有逆命题12．已知下列命题：①若a≤0，则|a|＝－a；②若ma2>na2，则m>n；③两直线平行，内错角相等；④若a－b>0，则|a|>|b|.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13．写出你熟悉的一个定理：_______________________________，写出这个定理的逆定理：_________________________________.14．举例说明下列命题的逆命题是假命题．(1)0和1的立方根等于它本身；(2)如果两个角是直角，那么这两个角互补；(3)如果三角形有一个内角是钝角，那么其余的两个角都是锐角．15．写出命题“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角的角平分线所夹的锐角是45°”的逆命题，并证明这个命题是真命题．16．写出命题：“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题，并证明其逆命题是真命题．答案：1---3 CDD4. 在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等真5. 两平行直线中，有一条直线与第三条直线平行，则另一直线也与第三条直线平行真6. (1)逆命题为：同位角相等，两直线平行，成立，是真命题(2)逆命题为：如果实数|a|＝|b|，那么a＝b，不成立，是假命题(3)逆命题为：如果两个角的和是钝角，那么这两个角都是锐角，不成立，是假命题(4)逆命题为：如果两个角相等，那么它们都为直角，不成立，是假命题7. C8. D9. 有两个角相等的三角形是等腰三角形10. D11. B12. B13. 两直线平行，同位角相等同位角相等，两直线平行14. (1)－1的立方根是－1(2)锐角α＝60°，钝角β＝120°，则α＋β＝180°(3)△ABC 中，∠A ＝40°，∠B ＝80°，则∠C ＝60°15. 逆命题是：如果一个三角形的两个角的角平分线所夹的锐角是45°，那么这个三角是直角三角形.已知，如图，△ABC 中，BE 是∠ABC 的角平分线，交AC 于E ，AD 是∠CAB 的角平分线，交BC 于D ，BE 和AD 相交于O 点，且∠EOA ＝45°.求证：△ABC 是直角三角形.证明：∵BE 是∠ABC 的角平分线，AD 是∠CAB 的角平分线，∴∠OAB ＝12∠CAB ，∠OBA ＝12∠CBA ，∴∠OAB ＋∠OBA ＝12(∠CAB ＋∠CBA)，∴180°－∠AOB ＝12(180°－∠C)，∴∠AOE ＝90°－12∠C ，又∵∠EOA ＝45°，∴∠C ＝90°，∴△ABC 是直角三角形 16. 逆命题是：一个三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形，已知：如图，△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，且BD ＝CE ，求证：△ABC 是等腰三角形.证明：∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB.∴∠BDC ＝∠CEB ＝90°，又∵BD ＝CE ，BC ＝CB ，∴Rt △BCD ≌Rt △CBE(H .L .)，∴∠BCD ＝∠CBE ，∴AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形。
八年级数学上册第十三章全等三角形13.5逆命题与逆定理课件新版华东师大版
学习目标
• 1．理解原命题、逆命题、互逆命题、逆定理、互逆 定理的概念，通过比较，提高学生的辨析与表达能 力；
• 2.通过独立思考、小组合作，培养学生说理有据， 有条理地表达自己想法的良好意识.
问题4：如何判断一个命题的逆命题是假命题？ 例如原命题“对顶角相等”是真命题，而它的逆命题“相等的角是对顶角” 为假命题； 【答案】举反例．
归纳总结： 一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而 第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如 果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题；逆命题 是一个命题，而互逆命题指的是两个命题之间的关系．
总结升华
课堂小结
本节课主要学习了原命题、逆命题、互逆命题以及互逆定理的概念与区 别； 要学会给定一个命题或定理，能够判断其逆命题的真假； 本节课主要采用了类比的数学思想方法．
问题2.如何判断定理的逆命题能否成为原定理的逆定理？
【答案】 （1）逆命题：三个内角都相等的三角形是等边三角形；
它是一个真命题，故可成为原定理的逆定理；
（2）逆命题：各角对应相等的两个三角形是全等三角形； 它是一个假命题，故不能成为原定理的逆定理．
规律方法总结： 每一个命题都有逆命题，而一个定理不一定有逆定理.定理和逆定理都是 真命题， 而命题和逆命题却不一定都是真命题．
（4）逆命题：如果
a b ，那么 a b
题设： a b ， 结论： a b， 假命题．
规律方法总结： 分清原命题的题设与结论是写出逆命题的前提； 原命题正确，它的逆命题不一定正确．
13.5 逆命题与逆定理(第3课时)(课件)八年级数学上册(华东师大版)
求证：CF=EB.
A
证明：∵AD平分∠CAB,
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴ CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (H.L.).
F
C
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
求证:PD=PE.
证明:∵ OC平分∠AOB, P是OC上一点，
A
D
∴∠DOP=∠BOP.
C
∵PD⊥OA,PE⊥OB ，
P
∴∠ODP=∠OEP=90°.
在△OPD和△OPE 中，
O
∠DOP=∠EOP ,∠ODP=∠OEP ,OP=OP,
∴ △OPD≌△OPE (A.A.S.).
∴PD＝PE（全等三角形的对应边相等）.
E
D
B
课堂小结
性质定理：角平分线上的点
到角两边的距离相等.
角平分线
的性质及
判定
判定定理：角的内部到角两
边距离相等的点在角的平分
线上.
谢 谢~
PD= PE（已知），
E
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ H.L.）.
B
∴∠AOP=∠BOP （全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB的平分线上.
讲授新课
判定定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边距离相等.
A
∠DEB=∠DFC，
∠B=∠C，
BD=CD，
∴ △BDE ≌△CDF.
华师大版初中数学八年级上册教学设计：13.5 逆命题与逆定理(3课时)
华师大版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！华师大初中数学和你一起共同进步学业有成！13.5 逆命题与逆定理1.互逆命题与互逆定理【教学目标】知识与技能使学生理解逆命题与逆定理的意义,会写出一个命题的逆命题,会判断定理的逆命题的真假.过程与方法通过探索逆命题的写法、培养学生的观察能力、应变能力和语言表达能力.情感、态度与价值观教学中渗透着数学的形式美和内涵美,提高学生对数学美的鉴赏能力.【重点难点】重点会写出一个命题的逆命题,会判断定理的逆命题的真假.难点正确有写出一个命题的逆命题.【教学过程】一、创设情景,导入新课观察下列两个命题:(1)“两直线平行,内错角相等”;(2)“内错角相等,两直线平行”.你能分别说出它们的条件与结论吗?两者的条件与结论位置上有什么关系?从而导入新课.二、师生互动,探究新知1.原命题、逆命题、互逆命题教师讲解并板书:在两个命题中,一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论,又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题,其中的一个叫做原命题,另一个叫做它的逆命题.教师启发如何构造一个命题的逆命题,并与同排同学做一个游戏:一个出示命题,一个构造它的逆命题.学生活动、交流,教师选几组代表展示.教师强调互逆命题是相对的,而不能说×××命题是逆命题.2.互逆命题与逆定理教师选取交流代表中的例子,分析互逆命题的真假.板书:如果一个定理的逆命题也是定理,那么这两个定理互为逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理,教师强调:不能说×××定理是逆定理.【教师提问】你能说出我们已经学过的互逆定理的例子吗?学生交流、讨论、回答,教师点评.三、随堂练习,巩固新知1.下列说法中正确的是( )A.每个命题都有逆命题B.每个定理都有逆定理C.真命题的逆命题都是真命题D.假命题的逆命题都是真命题2.“两直线平行,内错角相等”的逆命题是 .3.“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是 .【答案】1.A2.内错角相等,两直线平行3.对角线互相平分的四边形是平行四边形【例】写出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假.(1)四边形是多边形;(2)两直线平行,同旁内角互补;(3)如果ab=0,那么a=0,b=0.【答案】(1)多边形是四边形.原命题是真命题,逆命题是假命题.(2)同旁内角互补,两直线平行.原命题是直命题,逆命题是真命题.(3)如果a=0,b=0,那么ab=0.原命题是假命题,逆命题是真命题.四、典例精析,拓展新知【例】下列命题的逆命题是真命题的是( )A.对顶角相等B.若a=b,则|a|=|b|C.两直线平行,同位角相等D.全等三角形的对应角相等【答案】C【教学说明】先写出命题的逆命题,再判断真假,而不是判断原命题的真假.教师强调:假命题的逆命题可能是真命题,真命题的逆命题很有可能是假命题.五、运用新知,深化理解写出下列命题的逆命题,并判断其真假.(1)若x=1,则x2=1;(2)若|a|=|b|,则a=b.【答案】(1)逆命题是:若x2=1,则x=1,是假命题.(2)逆命题是:若a=b,则|a|=|b|,是真命题.下面的命题互为逆定理吗?如是不是,请说明理由.(1)“如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形”与“等腰三角形的两个底角相等”.(2)“对顶角相等”与“相等的角是对顶角”.【答案】(1)中的两个命题是互为逆定理.(2)中的两个命题不互为逆定理,原因是命题“相等的角是对顶角”是假命题.六、师生互动,课堂小结这节课你学习了什么?有什么收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.如果一个定理的逆命题是真命题,那么这两个命题成了互为逆定理.【教学反思】这节课内容较少,学生搞懂互逆命题、互逆定理的概念是教学的关键,判断逆命题的真假是本节的难点,应在教学中让学生多构造互逆命题,并判断其真假,让他们自己去感知命题与逆命题、定理与逆定理之间的关系.2.线段垂直平分线【教学目标】知识与技能掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理,能灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题.过程与方法通过经历线段垂直平分线性质定理与判定定理的证明过程,体验逻辑推理的数学方法.情感、态度与价值观通过认识上的升华,使学生加深对命题证明的认识,使学生发现数学.【重点难点】重点线段垂直平分线的性质定理和判定定理,能灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题.难点灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题.【教学过程】一、创设情景,导入新课线段是轴对称图形吗?它的对称轴是什么?如图,l是线段AB的垂直平分线,点C在直线l上,CA与CB有什么关系?写出你的证明过程.二、师生互动,探究新知在学生交流发言基础上,教师板书:线段垂直平分线的性质定理,即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.巩固练习 材料P96第1、2题.教师提问:你能写出这个性质定理的逆命题吗?它是不是真命题?学生完成并回答.下面我们一起来证明它,见教材P95.教师提问这个命题与线段垂直平分线的性质定理有何关系?学生回答,教师板书.线段垂直平分线的判定定理到线段两端距离相等的点,在线段的垂直平分线上.三、随堂练习,巩固新知1.已知MN是线段AB的垂直平分线,C、D是MN上任意两点,则∠CAD和∠CBD之间的关系是( )A.∠CAD<∠CBDB.∠CAD=∠CBDC.∠CAD>∠CBDD.无法判断2.如图,在△ABC中,已知AB=AC,DE垂直平分AC,分别交AB、AC于D、E,∠A=50°,是∠DCB的度数是 .【答案】1.B2.15°四、典例精析,拓展新知如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F.求证:BE垂直平分CD.【答案】∵BD=BC,∴点B在CD的垂直平分线上,∠BCD=∠BDF.又∵∠ACB=90°=∠BDE,∴∠ACB-∠BCD=∠BDE-∠BDC,即∠ECD=∠EDC,∴ED=EC,∴E在CD的垂直平分线上.根据两点确定一条直线可得:BE垂直平分CD.【教学说明】任意三角形的三边垂直平分线都相交于一点,在后面将学习这一点是三角形的外心,锐角三角形的各边垂直平分线的交点在三角形内,直角三角形各边垂直平分线的交点,在斜边的中点,钝角三角形各边垂直平分线的交点在三角形外;要证明某直线是某线段的垂直平分线,可证明这条直线有两点到线段两端的距离相等.五、运用新知,深化理解如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,△ABC与△ABD的周长分别为18 cm和12 cm,求线段AE的长.【答案】∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=DC,AE=EC.△ABC的周长为AB+AC+BC=18(cm),①△ABD的周长为AB+AD+BD=12(cm),②①-②,得AC=6 cm,∴AE=AC=3 cm.六、师生互动,课堂小结这节课你学习了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.1.引导学生作知识总结:线段垂直平分线的性质、判定定理,三角形三边的垂直平分线交于一点.2.教师扩展:利用两个定理证明线段相等,线段垂直时不用再证明全等,可简化解题过程.【教学反思】本节课在教学过程中,首先提出问题,让学生回答,通过观察、发现、论证得出线段的垂直平分线的性质定理,接着写出性质定理的逆命题.教师与学生一起证明这个定理,并在习题中运用这两个定理,得出三角形各边的垂直平分线相交于同一点的重要结论.在教学过程中,应注意让学生搞清两个定理的条件与结论,并充分调动学生的积极性,体会解决问题成功的乐趣.3.角平分线【教学目标】知识与技能掌握角平分线的性质定理和判定定理,能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题.过程与方法让学生通过自主探索,运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论,并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别.情感、态度与价值观通过认识的升华,使学生进一步理解数学,也使学生关注数学、热爱数学.【重点难点】重点角平分线的性质定理和判定定理,能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题.难点灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题.【教学过程】一、创设情景,导入新课角是轴对称图形吗?它的对称轴是什么?如图,点P是∠AOB的角平分线OC上的任一点,且PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,将∠AOB沿OC对折你发现了什么?如何表达,并简述你的证明过程.二、师生互动,探究新知在学生交流发言的基础上,老师板书:角平分线的性质定理,即角平分线上的点到角两边的距离相等.几何推理为:∵OP平分∠AOB,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,∴PD=PE.教师指出条件中不能漏掉PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.巩固练习 教材P98第1题.教师提问:你能写出这个性质定理的逆命题吗?它是不是真命题?学生完成并回答.下面我们一起来证明这个定理,见教材P97.教师指出:角平分线是一条射线,那么这个逆定理应如何表述?学生讨论并发言.在学生发言基础上教师归纳总结,并板书:角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上.巩固练习 教材P98第2题.三、随堂练习,巩固新知1.如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,则PC与PD的大小关系是( )A.PC>PDB.PC=PDC.PC<PDD.不能确定2.如图等腰△ABC中,AC=BC,CD⊥AB,DE⊥AC,DF⊥BC,则DE DF(填=,>或).【答案】1.B2.=四、典例精析,拓展新知【例1】如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,DE⊥BC于E,且BC=8 cm,求△DEC的周长.【答案】因为BD平分∠ABC,DE⊥BC,∠A=90°,所以DA=DE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等),所以DC+DE=DC+DA=AC.在Rt△ABD ≌Rt△EBD,所以AB=BE.又因为AB=AC,所以AC=BE,所以DC+DE+EC=AC+EC=BE+EC=BC,所以△DEC的周长为8 cm.【教学说明】作意三角形三个角平分线都交于同一点,在后面将学习这一点叫做三角形的内心,设△ABC的内心为I,则∠BIC=90°+∠A;如图,三条直线l1、l2、l3相交于A、B、C三点,到三条直线距离都相等的点应有4个,即两对角平分线的交点,以及相邻外角平分线的交点.五、运用新知,深化理解【例2】如图,已知BD=CD,BF⊥AC,CE⊥AB,求证:点D在∠BAC的平分线上.【答案】因为BF⊥AC,CE⊥AB,所以∠BED=∠CFD=90°.在△BDE和CDF中,因为∠BED=∠CFD,∠BED=∠CDF,BD=CD,所以△BDE ≌△CDF,所以DE=DF,所以点D在∠BAC的平分线上.六、师生互动,课堂小结这节课你学习了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.学生要会证明角平分线性质与判定定理,并会应用这个定理,会证明三角形三条角平分线相交于一点,并会运用这个定理.【教学反思】本节课的教学类比线段垂直平分线的教学,本课时的教学应突出学生的主体性原则,指引学生自己操作、观察、发现、归纳、论证,相互交流或课堂展示,让学生分享学习的收获,从而激发学生参与的热情,体验成功的快乐.相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
八年级数学上册 第13章 全等三角形 13.5 逆命题与逆定
如图 AD 平分∠BAC，DG⊥BC 且平分 BC， DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，求证：BE＝CF.
证明：连结 BD、CD，∵AD 平分∠BAC，且 DE⊥AB， DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC 且平分 BC，∴BD＝CD. 在 Rt△ BED 和 Rt△ CFD 中，∵BDDE＝ ＝CDDF，， ∴Rt△ BED≌Rt△ CFD(H. L. )，∴BE＝CF.
A．BE 平分∠ABC B．EB 平分∠CED C．AE＋DE＝AC D．∠A＝∠ABE
第 6 题图
1. 如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON 于点 A，点 Q
是射线 OM 上的一动点，若 PA＝2，则 PQ 的最小值为
( B) A．1
B．2
C．3
D．4
第 1 题图
2. 如图，△ ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，AD 平分
5. 如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建 一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等， 凉亭的位置应选在( C )
A．△ ABC 的三条中线的交点 B．△ ABC 三边的中垂线的交点 C．△ ABC 三条角平分线的交点 第 5 题图 D．△ ABC 三条高所在直线的交点
6. 如图所示，DE⊥AB 于点 D，CE⊥BC 于点 C， 且 DE＝CE，则下列结论不一定正确的是( D )
7. (2017·陕西)如图，在钝角△ ABC 中，过钝角顶点 B 作 BD⊥BC 交 AC 于点 D. 请用尺规作图法在 BC 边上 求作一点 P，使得点 P 到 AC 的距离等于 BP 的长．(保 留作图痕迹，不写作法)
解：如图所示，点 P 即为所求．
8. 已知：如图所示，在四边形 ABCD 中，∠ADC＋ ∠ABC＝180°，BC＝DC，CE⊥AD，交 AD 的延长线于 点 E，CF⊥AB 于点 F. 求证：AC 平分∠BAD.
华师大版初中数学八年级上册专题训练13.5 逆命题与逆定理(含答案)
13.5 逆命题与逆定理专题线段垂直平分线与角平分线的综合应用1. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①DA平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB；⑤A、D两点一定在线段EC的垂直平分线上.其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2. 如图，OP是∠MON的平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交OM于点B，过点A作CA⊥ON交OP于点C，连结BC，AB=10 cm，CA=4 cm．则△OBC的面积为________cm2．3. 如图，在△ABC中，∠B=45°，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于点F．则∠FAC=_______．状元笔记【温馨提示】1. 运用角平分线的性质时，必须满足三个条件，即：一个平分，两个垂直，然后才能得一个结论，即两条线段相等.2. 对于角平分线的性质定理及其逆定理的条件和结论要正确掌握，避免错误.3. 三角形三个角的平分线交于一点，并且这点到三角形三边的距离相等.【方法技巧】当题目中出现角平分线、垂线段、距离等条件时，可考虑应用角平分线的性质定理及其逆定理求解或把问题转化.参考答案1. C 【解析】 ∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC=∠DAE.又∵∠C=∠DEA=90°，DA=DA ，∴△ADC ≌△ADE.∴∠ADC=∠ADE ，AC=AE.∵BE+AE=AB ，∴BE+AC=AB.∵在直角△BDE 中∠B+∠BDE=90°，在直角△ABC 中∠B+∠BAC=90°， ∴∠BAC=∠BDE.所以①②④正确.∵△ADC ≌△ADE ，∴AC=AE ，DC=DE ，∴A 、D 两点在线段EC 的垂直平分线上.2. 20 【解析】 作CE ⊥OM ，垂足为E.∵点B 在OA 的垂直平分线上，∴BO=BA=10cm.∵OP 是∠MON 的角平分线，CA ⊥ON ，CE ⊥OM ，∴CE=CA=4 cm ， ∴21=104=202OBC S cm ⨯⨯△. 3. 45°【解析】 易证△AEF ≌△DEF ，∴∠ADF=∠DAF.∵AD 平分∠BCA,∴∠BAD=∠CAD.又∵∠ADF=∠B+∠BAD ，∠DAF=∠FAC+∠DAC ，∴∠FAC=∠B=45°．。
华师版八年级上册第十三章13.5 1 互逆命题与互逆定理
教·学过程
记
一．导
1._________________叫做命题． 2．命题分为_______和_______，每一个命题都是由_____和_____两部分组成，可以写成 “如果……，那么……”的形式． 3．把命题“过平面上一点作已知直线的垂线，有且只有一条直线与这条直线垂直”改写 成“如果……，那么……”的形式为_____________________________________________． 4.数学中，有些命题可以从基本事实和其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是 正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做__________.
（填序号）．
5．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．
（1）全等三角形的对应角相等；
（2）同旁内角互补，两直线平行．
6．写出命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题，并判断真假.若为真 命题，请证明；若为假命题，请举出反例．
导学提纲
四、课堂小结、知预习
说出下列命题的条件和结论： 1．两直线平行，内错角相等； 3．若 a＝b，则 a2＝b2；
2．内错角相等，两直线平行； 4．若 a2＝b2，则 a＝b.
观察上面几组命题，发现 1 和 2、3 和 4 这两个命题的_____和_____恰好互相换了位置．
【自主归纳】一般来说，在两个命题中，如果一个命题的条件是第二个命题的结论，而 第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做_________．如果把其中一 个命题叫做________，那么另一个命题叫做它的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题 不一定正确．
【变式题】指出下列命题的条件和结论，说出它们的逆命题，并判断逆命题的真假． (1)等角对等边；
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13.5 逆命题与逆定理
专题线段垂直平分线与角平分线的综合应用
1. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：
①DA平分∠CDE；
②∠BAC=∠BDE；
③DE平分∠ADB；
④BE+AC=AB；
⑤A、D两点一定在线段EC的垂直平分线上.
其中正确的有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2. 如图，OP是∠MON的平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交OM于点
B，过点A作CA⊥ON交OP于点C，连结BC，AB=10 cm，CA=4 cm．则△OBC的面积为________cm2．
3. 如图，在△ABC中，∠B=45°，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线
于点F．则∠FAC=_______．
1
状元笔记
【温馨提示】
1. 运用角平分线的性质时，必须满足三个条件，即：一个平分，两个垂直，然后才能得一
个结论，即两条线段相等.
2. 对于角平分线的性质定理及其逆定理的条件和结论要正确掌握，避免错误.
3. 三角形三个角的平分线交于一点，并且这点到三角形三边的距离相等.
【方法技巧】
当题目中出现角平分线、垂线段、距离等条件时，可考虑应用角平分线的性质定理及其逆定理求解或把问题转化.
2。