高考数学新题型
四川新高考数学卷子题型
四川新高考数学卷子题型四川新高考数学卷子的题型设计旨在全面考察学生的数学知识掌握程度、解题能力以及数学思维能力。
以下是四川新高考数学卷子的题型概览：1. 选择题：选择题通常包括单项选择题和多项选择题。
单项选择题要求考生从四个选项中选择一个正确答案，而多项选择题可能需要选择两个或以上正确答案。
选择题覆盖了高中数学的基础知识点，如函数、几何、代数等。
2. 填空题：填空题要求考生根据题目所给的信息，填写缺失的数值或表达式。
这类题目考察学生对数学概念的理解和应用能力。
3. 计算题：计算题要求考生进行数学运算，得出具体的数值结果。
这类题目通常涉及代数表达式的简化、方程的求解等。
4. 解答题：解答题要求考生对问题进行详细的分析和解答，通常包括证明题、应用题等。
解答题不仅考察学生的计算能力，还考察逻辑推理和问题解决能力。
5. 论述题：论述题要求考生对某一数学概念或理论进行深入的分析和讨论，展现自己的理解和见解。
6. 综合题：综合题是将多个知识点综合在一起的题目，要求考生运用多种数学知识解决问题。
这类题目往往难度较大，需要考生有较强的综合运用能力。
7. 开放性问题：开放性问题鼓励考生展示自己的创新思维和独立解决问题的能力。
这类题目可能没有固定的答案，而是要求考生提出自己的见解或解决方案。
8. 图形题：图形题要求考生根据给定的几何图形，进行面积、体积的计算，或者证明几何性质等。
9. 数据分析题：数据分析题要求考生对给定的数据进行分析，运用统计学的方法得出结论。
10. 实验题：实验题要求考生根据数学实验的要求，进行实际操作或模拟，得出实验结果。
四川新高考数学卷子的题型设计注重考察学生的综合能力，鼓励学生运用所学知识解决实际问题。
考生在备考时应注重基础知识的掌握，同时培养自己的逻辑思维和创新能力。
数学2024新高考题型
数学2024新高考题型
2024年新高考数学题型的变化可以总结如下：
1. 整体结构变化：
- 多选题减少，每题分值提高至6分。
- 填空题和大题数量均有所减少，可能是为了更侧重于综合能力和深度思考的考察。
- 解答题（大题）部分总分为77分，且包含具有较高难度、接近竞赛水平的题目。
2. 广东高考题型调整：
- 数学题型向高考英语靠拢，这意味着可能增加基于语篇理解及应用数学知识解决实际问题的题型。
- 广东省采用与九省联考类似的试卷结构，即保留了单选题、多选题、填空题和解答题的基本构成。
3. 新增或强调的题型：
- 集合的运算
- 四种命题及其关系的理解与运用
- 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明
- 求解涉及充分条件、必要条件、充要条件中的参数范围
这些信息意味着在备考2024年新高考数学时，学生需要注重提升以下能力：
- 对基础知识的扎实掌握，特别是集合论初步知识、逻辑推理等。
- 灵活运用所学知识解决复杂问题的能力。
- 提高分析解读题意以及将数学知识应用于实际情境的能力。
建议考生密切关注当地教育考试院发布的最新官方通知，并根据新的题型特点及时调整复习策略。
新高考数学题型试卷
新高考数学题型试卷一、选择题（每题5分，共8小题）1. 设集合A = {xx^2-3x + 2 = 0}，B={xx^2-ax + a - 1 = 0}，若A∩ B = B，则a的值为（）- A. 2.- B. 3.- C. 2或3。
- D. 1或2或3。
解析：- 先求解集合A，对于方程x^2-3x + 2 = 0，因式分解得(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2，所以A={1,2}。
- 对于集合B，方程x^2-ax + a - 1 = 0可化为(x - 1)[x-(a - 1)] = 0，解得x = 1或x=a - 1，所以B={1,a - 1}。
- 因为A∩ B = B，所以B⊆ A。
- 当a-1 = 1时，a = 2；当a - 1=2时，a = 3。
所以a的值为2或3，答案选C。
2. 复数z=(1 + i)/(1 - i)的共轭复数是（）- A. i- B. -i- C. 1 - i- D. 1 + i解析：- 先化简z=(1 + i)/(1 - i)，分子分母同时乘以1 + i，得到z=frac{(1 + i)^2}{(1 - i)(1 + i)}=frac{1 + 2i+i^2}{2}=(2i)/(2)=i。
- 复数i的共轭复数是-i，所以答案选B。
3. 已知向量→a=(1,2)，→b=(x,1)，若→a⊥→b，则x的值为（）- A. - 2.- B. 2.- C. -(1)/(2)- D. (1)/(2)解析：- 因为→a⊥→b，根据向量垂直的性质→a·→b=0。
- 又→a=(1,2)，→b=(x,1)，则→a·→b=1× x+2×1 = 0，即x + 2 = 0，解得x=-2，答案选A。
4. 在等差数列{a_n}中，a_3=5，a_7=13，则a_11的值为（）- A. 21.- B. 22.- C. 23.- D. 24.解析：- 根据等差数列的性质：若m,n,p,q∈ N^+，且m + n=p + q，则a_m+a_n=a_p+a_q。
新数学高考六道大题题型
新数学高考六道大题题型一、解析几何1. 平面几何定理题目：已知直角三角形ABC中，∠C=90°，且AC=5，BC=12。
求AB 的长度。
解题思路：根据勾股定理，可以得到AB的长度。
即AB=√(AC²+BC²)=√(25+144)=√169=13。
2. 空间几何定理题目：已知四棱锥的底面是一个菱形，底面边长为6，四个脚顶点在菱形对角线的两端，且离底面中心的距离都是3。
求这个四棱锥的体积。
解题思路：根据四棱锥的体积公式，可以得到体积V=(1/3)*底面面积*高。
由菱形的对角线长和底面边长可求得底面面积为18，而高等于脚顶点到底面中心的距离，即3。
带入公式可得V=(1/3)*18*3=18。
二、函数与方程3. 函数求值题目：设函数f(x)满足f(x+2)-2f(x+1)+f(x)=x，且f(1)=1，f(2)=4。
求f(3)的值。
解题思路：将x分别取1和2代入已知的方程，可以得到两个方程：f(3)-2f(2)+f(1)=1 和f(4)-2f(3)+f(2)=2。
再结合已知条件f(1)=1和f(2)=4，可以得到一个关于f(3)的一元二次方程，解方程可得f(3)=2。
4. 方程求根题目：解方程x²-5x+6=0。
解题思路：这是一个一元二次方程，可以使用求根公式进行求解。
根据求根公式，方程的根分别是x=(5±√(5²-4*1*6))/(2*1)。
带入公式可得x₁=3，x₂=2。
三、概率与统计5. 概率计算题目：甲、乙、丙三个人独立地制作产品A的过程中，每个人的失误率分别是0.1、0.2和0.3。
其中甲独立制作30件，乙制作50件，丙制作20件。
现从中随机抽取一件产品，求抽出的产品是失误的概率。
解题思路：根据独立事件的概率公式，可以将问题化简为分别求甲、乙、丙制作的产品中出现失误的概率，然后将三个概率相加。
甲独立制作30件，失误的概率是0.1，所以甲制作的产品中失误的数量是30*0.1=3；同理，乙和丙的失误数量分别是10和6。
2024年高考考前信息必刷卷二(新高考新题型)数学及答案
绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）02数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）随着九省联考的结束，全国陆续有多个省份宣布在2024年的高考数学中将采用新题型模式。
新的试题模式与原模式相比变化较大，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中单选题的题量不变，多选题、填空题、解答题各减少1题，多选题由原来的0分、2分、5分三种得分变为“部分选对得部分分，满分为6分”，填空题每题仍为5分，总分15分，解答题变为5题，分值依次为13分、15分、15分、17分、17分。
新的试题模式与原模式相比，各个题目的考查内容、排列顺序进行了大幅度的调整。
多年不变的集合题从单选题的第1题变为填空题，且以往压轴的函数与导数试题在测试卷中安排在解答题的第1题，难度大幅度降低；概率与统计试题也降低了难度，安排在解答题的第2题；在压轴题安排了新情境试题。
这些变化对于打破学生机械应试的套路模式，对促使学生全面掌握主干知识、提升基本能力具有积极的导向作用。
九省联考新模式的变化，不仅仅体现在题目个数与分值的变化上，其最大的变换在于命题方向与理念的变化，与以往的试题比较，试题的数学味更浓了，试卷没有太多的废话，也没有强加所谓的情景，体现了数学的简洁美，特别是最后一道大题，题目给出定义，让考生推导性质，考查考生的数学学习能力和数学探索能力，这就要求考生在平时的学习中要注重定理、公式的推导证明，才能培养数学解决这类问题的思维素养。
试卷的命制体现“多想少算”的理念，从重考查知识回忆向重考查思维过程转变，试卷题目的设置层次递进有序，难度结构合理，中低难度的题目平和清新，重点突出；高难度的题目不偏不怪，中规中矩，体现了良好的区分性，可有效的引导考生在学习过程中从小处着手，掌握基本概念和常规计算；从大处着眼，建构高中数学的知识体系。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．6(1)ax -的展开式中3x 的系数为160，则=a （ ）A. 2B. 2- C. 4D. 4-2．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若34564,8S a a a =++=，则96S S =（ ）A ．2B ．73C ．53D ．373．某学校运动会男子100m 决赛中，八名选手的成绩（单位：s ）分别为：13.09，13.15，12.90,13.16，12.96，13.11，x ，13.24，则下列说法错误的是（ ）A ．若该八名选手成绩的第75%百分位数为13.155，则13.15x =B ．若该八名选手成绩的众数仅为13.15，则13.15x =C ．若该八名选手成绩的极差为0.34，则12.9013.24x ≤≤D ．若该八名选手成绩的平均数为13.095，则13.15x =4．在ABC 中，π3C =，AB =5AC BC +=，则ABC 的面积为（ ）AB．C．D．5．已知π170,sin sin ,cos cos 21010βααβαβ<<<==，则cos2α=（ ）A ．0B ．725C ．2425D ．16．第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆,,A B C 开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A 时，场馆B 仅有2名志愿者的概率为（ ）A ．35B ．2150C ．611D ．347．在平行四边形ABCD 中，24AB AD ==，π3BAD ∠=，E ，H 分别为AB ，CD 的中点，将ADE V 沿直线DE 折起，构成如图所示的四棱锥A BCDE '-，F 为A C '的中点，则下列说法不正确的是（ ）A ．平面//BFH 平面A DE'B ．四棱锥A BCDE '-体积的最大值为3C ．无论如何折叠都无法满足'AD BC ⊥D ．三棱锥A DEH '-表面积的最大值为48．曲线C 是平面内与三个定点()11,0F -，()21,0F 和()30,1F 的距离的和等于.给出下列四个结论：①曲线C 关于x 轴、y 轴均对称；②曲线C 上存在点P ，使得3PF =③若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积最大值是1；④曲线C 上存在点P ，使得12F PF ∠为钝角.其中所有正确结论的序号是（ ）A ．②③④B ．②③C ．③④D ．①②③④二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()44cos cos sin f x x x x x =+-，则下列说法正确的是（ ）A ．最小正周期为πB ．函数()f x 在区间()π,π-内有6个零点C ．()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．将()f x 的图象向左平移π4个单位，得到函数()g x 的图象，若()g x 在[]0,t 上的最大值为()0g ，则t的最大值为5π610．已知直线()():2110l a x a y +-+-=与圆22:4C x y +=交于点,A B ，点()1,1,P AB 中点为Q ，则（）A ．AB 的最小值为B ．AB 的最大值为4C ．PA PB ⋅为定值D ．存在定点M ，使得MQ 为定值11．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若()f x 是奇函数，()()210f f =-≠，且对任意,R x y ∈，()()()()()f x y f x f y f x f y ''+=+，则（ ）A ．()112f '=-B ．()60f =C ．20241()1k f k ==∑D ．20241()1k f k '==-∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若复数2023i 12iz =-，则zz =13．已知三个实数a 、b 、c ，当时，且，则的取值范围是 ．14．已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数421()2ln 24g x x ax x x x =--+．(1)当1a =时，求()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线方程；(2)若()0g x '≥，求实数a 的取值范围．16．（15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点2F 与抛物线24y x =的焦点重合，且其离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，求证：MN OP k k ⋅（O 为坐标原点）为定值.17．（15分）如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1124AB A B ==.0c >23b a c ≤+2bc a =2a cb-(1)求证：平面ABCD ⊥平面11ACC A ；(2)若直线1B C 与平面11ACC A 1B CC A --的正弦值.18．（17分）某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求．（1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据0.100α=的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？就餐区域性别南区北区合计男331043女38745合计711788（2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为12；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为13，23；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为12．张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为14，14，12．（ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率；（ⅱ）求第()*n n ∈N天他去甲餐厅用餐的概率np ．附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++；α0.1000.0500.0250.010x α2.7063.8415.0246.63519．（17分）已知定义域为R 的函数()h x 满足：对于任意的x ∈R ，都有()()()2π2πh x h x h =++，则称函数()h x 具有性质P .（1）判断函数()()2,cos f x x g x x ==是否具有性质P ；（直接写出结论）（2）已知函数()()35πsin ,222f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，判断是否存在,ωϕ，使函数()f x 具有性质P ？若存在，求出,ωϕ的值；若不存在，说明理由；（3）设函数()f x 具有性质P ，且在区间[]0,2π上的值域为()()π0,2f f ⎡⎤⎣⎦.函数()()()sin g x f x =，满足()()2πg x g x +=，且在区间()0,2π上有且只有一个零点.求证：()2π2πf =.绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）02数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）随着九省联考的结束，全国陆续有多个省份宣布在2024年的高考数学中将采用新题型模式。
新高考数学试卷题型
新高考数学试卷题型一、选择题（共8小题）1. 设集合A = {xx^2-3x + 2 = 0}，B={x∈ Z - 1≤slant x - 1≤slant2}，则A∩ B=（）- A. {1,2}- B. {1}- C. {2}- D. varnothing- 解析：- 先求解集合A，对于方程x^2-3x + 2 = 0，分解因式得(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2，所以A={1,2}。
- 再求解集合B，不等式-1≤slant x - 1≤slant2，移项可得0≤slant x≤slant3，又因为x∈ Z，所以B = {0,1,2,3}。
- 则A∩ B={1,2}，答案为A。
2. 已知i为虚数单位，若复数z=(1 + 2i)/(2 - i)，z的共轭复数为¯z，则z·¯z=（）- A. 1.- B. √(5)- C. 5.- D. (√(5))/(5)- 解析：- 先将复数z=(1 + 2i)/(2 - i)化简，分子分母同时乘以2 + i得：z=((1 + 2i)(2 + i))/((2 - i)(2 + i))=frac{2 + i+4i + 2i^2}{4 - i^2}=(2 + 5i-2)/(4 + 1)=i。
- 共轭复数¯z=-i，则z·¯z=i·(-i)=1，答案为A。
3. 已知向量→a=(1,2)，→b=(m, - 1)，若→a∥(→a+→b)，则m=（）- A. (1)/(2)- B. -(1)/(2)- C. 3.- D. -3.- 解析：- 先求→a+→b=(1 + m,1)。
- 因为→a∥(→a+→b)，根据两向量平行的坐标表示x_1y_2-x_2y_1=0，这里x_1=1,y_1=2,x_2=1 + m,y_2=1，则1×1-2×(1 + m)=0。
- 即1-2 - 2m=0，解得m=-(1)/(2)，答案为B。
新题型高考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，若$f(1) = 0$，$f(2) = 3$，$f(3) = 6$，则$a+b+c=$A. 0B. 3C. 6D. 92. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 3$，$a_5 = 11$，则该数列的公差$d=$A. 2B. 3C. 4D. 53. 若复数$z$满足$|z - 1| = |z + 1|$，则复数$z$对应的点在A. 虚轴上B. 实轴上C. 第一象限D. 第二象限4. 下列函数中，奇函数是A. $f(x) = x^2 - 1$B. $f(x) = x^3$C. $f(x) = \frac{1}{x}$D. $f(x) = |x|$5. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若$\sin A + \sin B +\sin C = 2$，则三角形ABC是A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不存在6. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x$，则$f'(1)=$A. 0B. 1C. -1D. -37. 在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为A. (2,3)B. (3,2)C. (3,-2)D. (-2,3)8. 若等比数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 2$，$a_3 = 8$，则该数列的公比$q=$A. 2B. 4C. 8D. 169. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 1$，$a_n = 100$，则该数列的项数n为A. 50B. 100C. 200D. 50010. 已知函数$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，则$f(x)$的对称中心为A. (0,0)B. (0,1)C. (0,-1)D. 无对称中心二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
高中 复习数学新高考新题型专练： 不等式
2023届一轮复习数学新高考新题型专练：不等式1.若110b a<<，则下列不等式成立的是（）A.11a b a>- B.a b <C.a b> D.22a b >2.已知0,0a b >>，且1a b +=，则()A.2212a b +≥B.122a b->C.22log log 2a b +≥-≤3.若1,0a b c <<->，则下列不等式中一定成立的是（）A.11a b a b ->-B.11a b b a-<-C.()ln 0b a ->D.cca b b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4.若1a b <<-，0c >则下列不等式中一定成立的是()A.11a b a b ->-B.11b aa b -<-C.ln()0b a ->D.c ca b b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5.已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是()A.2a ab <-B.a b <C.11a b >D.11()()22a b<6.若110a b<<，则下列不等式中正确的是()A.a b ab +>B.||||a b <C.a b <D.2b a a b+>7.给出下列四个条件：①22xt yt >；②xt yt >；③22x y >；④110x y<<.其中能成为x y >的充分条件的是()A.①B.②C.③D.④8.若0a b >>，则以下几个命题正确的是()A.55b b a a +<+B.lg lg lg22a b a b++<C.11a b a a+>+->9.下列选项中正确的是()A ．不等式a b +≥恒成立．B ．存在实数a ，使得不等式12a a +≤成立．C ．若a b 、为正实数，则2b aa b+≥．D ．若正实数,x y 满足21x y +=，则218x y+≥．10.若,a b 为正实数，则a b >的充要条件为()A.11a b> B.ln ln a b >C.ln ln a a b b< D.a ba b e e -<-答案以及解析1.答案：BCD 解析：∵110b a <<，令2,1a b =-=-，∴11111,1211a b a ==-==---+-，∴11a b a=-.故A 不成立；∵()()2221,21,21-<-->-->-，∴B ，C ，D 成立.2.答案：ABD解析：对于A ，222a b ab +≥Q ，()2222222()1a b a b ab a b ∴+≥++=+=，2212a b ≥∴+，正确；对于B ，易知01a <<，01b <<，11a b ∴-<-<，11222a b--∴>=，正确；对于C ，令14a =，34b =，则222133log log 2log 2444+=-+<-，错误；对于D ，=Q2220a b ∴-=-=≥+，≤.故选ABD.3.答案：BD 解析：由函数1y x x =-在(),1-∞-上为增函数可知，当1a b <<-时，11a b a b-<-，故A 错误；由函数1y x x =+在在(),1-∞-上为增函数可知，当1a b <<-时，11a b a b-<-，故B 正确；由于,a b <则0b a ->，但不确定b a -与1的大小关系，故()ln b a -与0的大小关系不确定，故C 错误；由1a b <<-可知，1,01a b b a ><<，而0c >，则10cca b b a ⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：BD.4.答案：BD解析：由函数1y x x=-在(,1)-∞-上为增函数可知，当1a b <<-时，11a b a b -<-，故选项A 错误；由函数1y x x=+在(,1)-∞-上为增函数可知，当1a b <<-时，11a b a b +<+，即11b aa b -<-，故选项B 正确；由于a b <，则0b a ->，但不确定b a -与1的大小关系，故ln()b a -与0的大小关系不确定，故选项C 错误；由1a b <<-可知，1ab >，01ba<<，而0c >，则10cca b b a ⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项D 正确．故选：BD ．5.答案：CD解析：当1,1a b ==-时，满足0a b >>，此时2,a ab a b =-=，所以A.B 不一定成立，110,0,0,0b a a b b a ab a b ab ->>∴-<<∴-=> ，11a b ∴>一定成立，又1(2x y =单调递减，11()(22a b ∴<，故选CD.6.答案：BD 解析：若110a b<<，则0,0a b <<，且a b >，所以0a b +<，0ab >，故A 错；0,0a b <<，且a b >，显然||||a b <，故B 正确；显然C 错；由于0,0a b <<，故0,0b a a b >>，则b a a b+≥2=(当且仅当b a a b =，即a b =时取“=”).又a b >，所以2b a a b +>，故D 正确.故选BD.7.答案：AD解析：①由22xt yt >可知20t >，所以x y >，故22xt yt x y >⇒>；②当0t >时，x y >；当0t <时，x y <，故xt yt x y >⇒>；③由22x y >，得x y x y >⇒>，故22x y x y >⇒>；④110x y x y<<⇒>.故选AD.8.答案：AC解析：因为0a b >>，所以55()05(5)b b b a a a a a +--=<++，则55b b a a +<+，因此A 正确；因为0a b >>，所以lg lg lg22a b a b++>=，因此B 不正确；因为0a b >>，所以111((()(1)0a b a b b a ab +-+=-+>，因此C 正确；因为0a b >>，所以可取2,1a b ==，则11=<==，因此D 不正确.9.答案：BCD解析：不等式a b +≥恒成立的条件是0,0a b ≥≥，故A 不正确；当a 为负数时，不等式12a a+≤成立．故B 正确；由基本不等式可知C 正确；对于21214(2)448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即11,24x y ==时取等号，故D 正确．故选：BCD ．10.答案：BD解析：,a b 为正实数，由a b >，可得：11ln ln ,a b a b><，ln ln a a b b >，令(),0,()10x x f x e x x f x e =->=->'，可得：函数()f x 在()0,+∞上单调递增，∴a b e a e b ->-.反之：由a b e a e b a b ->-⇒>；由ln ln 0a b a b >⇒>>.因此a b >的充要条件为：ln ln ,a b a b a b e e >-<-.故选：BD.。
新高考数学试卷大题型
一、选择题选择题是新高考数学试卷中常见的题型，主要考查学生对基本概念、基本公式、基本定理的理解和应用。
以下列举几种常见的选择题题型：1. 基本概念判断题：考查学生对基本概念的理解程度，如判断正误、选择正确概念等。
2. 计算题：考查学生的计算能力，如求值、化简等。
3. 推理题：考查学生的逻辑思维能力，如判断推理、选择结论等。
4. 应用题：考查学生将数学知识应用于实际问题的能力，如几何图形、函数问题等。
二、填空题填空题主要考查学生对基本概念、基本公式、基本定理的记忆和应用。
以下列举几种常见的填空题题型：1. 基本概念填空题：考查学生对基本概念的记忆，如填入正确的概念、术语等。
2. 计算题：考查学生的计算能力，如求值、化简等。
3. 推理题：考查学生的逻辑思维能力，如填入推理步骤、结论等。
4. 应用题：考查学生将数学知识应用于实际问题的能力，如几何图形、函数问题等。
三、解答题解答题是新高考数学试卷中分值较高、难度较大的题型，主要考查学生的综合运用能力和创新思维能力。
以下列举几种常见的解答题题型：1. 几何题：考查学生对几何图形的认识、计算和分析能力，如三角形、四边形、圆等。
2. 函数题：考查学生对函数概念、性质、图像的理解和运用能力，如一次函数、二次函数、指数函数等。
3. 不等式题：考查学生对不等式概念、性质、解法等的应用能力，如一元一次不等式、一元二次不等式等。
4. 综合题：考查学生对数学知识综合运用和创新能力，如实际问题、创新题等。
四、探究题探究题是新高考数学试卷中的一种新型题型，主要考查学生的探究精神和创新思维。
以下列举几种常见的探究题题型：1. 探究性质题：考查学生对数学性质、定理的探究能力，如探究函数的性质、几何图形的性质等。
2. 创新题：考查学生的创新思维能力，如设计新的数学模型、提出新的解题方法等。
3. 综合探究题：考查学生对数学知识的综合运用和创新能力，如探究数学知识在实际问题中的应用等。
高考数学新题型
高考数学新题型
高考数学新题型包括但不限于以下几种：
1. 三角函数、向量、解三角形：涉及三角函数的画图、性质、三角恒等变换、和与差公式。
同时考察平面向量背景、正弦定理、余弦定理和解三角形背景。
2. 概率与统计：包括古典概型、茎叶图、直方图、回归方程等，以及概率分布、期望、方差、排列组合等知识点。
这些题型贴近生活、贴近实际，主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件的概率计算公式。
3. 立体几何：主要涉及平行、垂直、角等知识点，可以利用传统的几何法求解，也可以建立空间直角坐标系，利用法向量等。
4. 数列：等差数列、等比数列、递推数列是考查的热点，主要涉及数列通项、数列前n项的和以及二者之间的关系，还会考察错位相减法、裂项求和法等应用题。
5. 圆锥曲线（椭圆）与圆：以椭圆为主线，强调圆锥曲线与直线的位置关系，突出韦达定理或差值法。
同时考察圆的方程和圆与直线的位置关系，注重椭圆与圆、椭圆与抛物线等的组合题。
6. 函数、导数与不等式：包括三次函数、指数函数、对数函数及其复合函数。
主要考查函数的单调性、求函数的最值（极值）、求曲线的切线方程等知识点，并涉及参数的取值范围、根的分布的探求以及参数的分类讨论和代数推理等题型。
此外，不等式和解析几何也是高考数学常考的题型。
高考数学新题型主要考查学生的数学基础知识和应用能力，注重知识的交汇性和综合运用。
学生在备考时需要全面掌握基础知识，熟悉各种题型和解题方法，同时注重思维能力和创新能力的提高。
高中数学：新定义题型新高考新结构
大题新定义题型继2024年九省联考的第19题考查了新定义问题，已有部分地区考试采用了该结构考试。
2024年的新高考试卷第19题极大可能也会考查新定义问题，难度较大。
新定义题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”“规定”等字眼，题目一般使用抽象的语言给出新定义、运算或符号，没有过多的解释说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义要求后马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。
题型一：集合的新定义问题题型二：函数与导数的新定义问题题型三：复数与不等式的新定义问题题型四：三角函数的新定义问题题型五：平面向量的新定义问题题型六：数列的新定义问题题型七：立体几何的新定义问题题型八：平面解析几何的新定义问题题型九：概率统计的新定义问题题型十：高等数学背景下的新定义问题题型一：集合的新定义问题1(2024·广东·惠州一中校联考模拟预测)已知集合A中含有三个元素x,y,z，同时满足①x<y<z；②x+y>z；③x+y+z为偶数，那么称集合A具有性质P.已知集合S n=1,2,3,⋯,2n(n∈N*,n≥4)，对于集合S n的非空子集B，若S n中存在三个互不相同的元素a,b,c，使得a+b,b+c,c+a均属于B，则称集合B是集合S n的“期待子集”.(1)试判断集合A=1,2,3,5,7,9是否具有性质P，并说明理由；(2)若集合B=3,4,a具有性质P，证明：集合B是集合S4的“期待子集”；(3)证明：集合M具有性质P的充要条件是集合M是集合S n的“期待子集”.集合新定义问题的方法和技巧：(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.1(2023·北京·北京四中校考模拟预测)已知集合M =1,2,3,⋯,n n ∈N * ，若集合A =a 1,a 2,⋯,a m ⊆M m ∈N * ，且对任意的b ∈M ，存在a i ，a j ∈A 1≤i ≤j ≤m ，使得b =λ1a i +λ2a j (其中λ1,λ2∈-1,0,1 )，则称集合A 为集合M 的一个m 元基底．(1)分别判断下列集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由；①A =1,5 ，M =1,2,3,4,5 ；②A =2,3 ，M =1,2,3,4,5,6 ．(2)若集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：m m +1 ≥n ；(3)若集合A 为集合M =1,2,3,⋯,19 的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值时M 的一个基底A ．2(2024·北京海淀·高三人大附中校考开学考试)设m 为正整数，集合A ⊆α∣α=t 1,t 2,⋯,t m ,t j ∈-1,1 ,j =1,2,⋯,m . 任取集合A 中的2n +1n ∈N *个元素(可以重复)α1=α1.1,α1.2,⋅⋅⋅,α1.m ，α2=α2.1,α2.2,⋅⋅⋅,α2.m ,⋅⋅⋅，α2n +1=α2n +1.1,α2n +1.2,⋅⋅⋅,α2n +1.m ，M α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1 =y 1,y 2,⋅⋅⋅,y m ，其中y j =α1.j +α2.j +⋅⋅⋅+α2n +1.jα1.j +α2.j +⋅⋅⋅+α2n +1.jj =1,2,⋅⋅⋅,m .(1)若α1=1,-1,-1,-1 ,α2=-1,1,1,-1 ,α3=-1,-1,-1,1 ,α4=1,1,-1,1 ，α5=-1,-1,-1,1 ，直接写出M α1,α2,α3 ,M α1,α2,α3,α4,α5 ；(2)对于α，β，γ∈A ，证明：M α,⋯,αk 个 ,β,⋯,βk 个,γ=M α,β,γ ；(3)对于某个正整数n ，若集合A 满足：对于A 中任意2n +1个元素α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1，都有M α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1 ∈A ，则称集合A 具有性质P n . 证明：若∃n 0∈N *，集合A 具有性质P n 0 ，则∀n ∈N *，集合A 都具有性质P n .题型二：函数与导数的新定义问题1(2024·陕西安康·高三校联考阶段练习)记函数f x 的导函数为f x ，f x 的导函数为f x ，设D 是f x 的定义域的子集，若在区间D 上f x ≤0，则称f x 在D 上是“凸函数”.已知函数f x =a sin x -x 2.(1)若f x 在0,π2上为“凸函数”，求a 的取值范围；(2)若a =2，判断g x =f x +1在区间0,π 上的零点个数.函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，且存在知识点交叉，会和导函数，数列等知识进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决。
2024新高考数学新题型试卷
2024新高考数学新题型试卷题目：已知函数f(x) = (1)/(3)x^3-ax^2+bx + 1，其中a,b∈ R，且曲线y = f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y = - 2x+(5)/(3)。
求a，b的值；求函数f(x)在区间[ - 1,2]上的最大值和最小值。
解析：1. 首先对函数f(x)=(1)/(3)x^3-ax^2+bx + 1求导：- 根据求导公式(X^n)^′=nX^n - 1，可得f^′(x)=x^2-2ax + b。
2. 因为曲线y = f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-2x+(5)/(3)，所以有：- 先求f(1)和f^′(1)：- f(1)=(1)/(3)-a + b+1=(4)/(3)-a + b。
- f^′(1)=1 - 2a + b。
- 由于切线方程y=-2x+(5)/(3)的斜率为-2，所以f^′(1)=1 - 2a + b=-2。
- 又因为点(1,f(1))在切线上，所以f(1)=(4)/(3)-a + b=-2×1+(5)/(3)=- (1)/(3)。
3. 联立方程求解：- 由-得：((4)/(3)-a + b)-(1 - 2a + b)=-(1)/(3)-(-2)。
- 展开得(4)/(3)-a + b - 1+2a - b=(5)/(3)。
- 化简得a=(4)/(3)。
- 将a = (4)/(3)代入得：1-2×(4)/(3)+b=-2。
- 即1-(8)/(3)+b=-2。
- 解得b = -(1)/(3)。
1. 由知a=(4)/(3)，b = -(1)/(3)，所以f(x)=(1)/(3)x^3-(4)/(3)x^2-(1)/(3)x + 1，f^′(x)=x^2-(8)/(3)x-(1)/(3)。
2. 令f^′(x)=0，即x^2-(8)/(3)x-(1)/(3)=0，对于一元二次方程Ax^2+Bx + C = 0（这里A = 1，B=-(8)/(3)，C = -(1)/(3)），根据求根公式x=frac{-B±√(B^2)-4AC}{2A}，可得：- x=(frac{8)/(3)±√((-frac{8){3})^2-4×1×(-(1)/(3))}}{2×1}=(frac{8)/(3)±√(frac{64){9}+(4)/(9)}}{2}=(frac{8)/(3)±√(frac{68){9}}}{2} =(frac{8)/(3)±(2√(17))/(3)}{2}=(4±√(17))/(3)。
(2024新题型)备战2024年高考数学模拟卷(新题型地区专用) 及答案
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用）黄金卷05（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要【解析】如上图正方体中，设平面1ABB 11D C 为β，CD 为m ，β，//m α，此时//m β，故，因为n α⊥，n β⊥，α、β是不同的平面，则必有正确；，如上图正方体中，设平面ABB【解析】：()222210x y a b a b+=>>的图象，则)0y ，()0,B y ，则(02,AF c x =- )00,c x y --，()1,BF c y =-- ，x a 223F B ，得(223322F F c B A ==- 00332232c x y -，得005332x c y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，1BF 得()()110AF BF c x c ⋅=---+000yy +=即222053032c c y +-=2021=，得2222511639c c a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，又42255090e e -+=，又椭圆离心率15，得55e =.二、多项选择题：本题共3小题，每小题要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得1z ，2z 为复数，则下列说法正确的是（∈R ，则11z z =312⎝⎭A ．4ω=B ．9π182f ⎛⎫=⎪⎝⎭C ．函数()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．若将函数()f x 的图象沿【答案】ACD【解析】令()(sin f x x ω=+由图可知：π23A x k ωϕ+=+所以1π3C B BC x x ω⎛=-=-+ ⎝所以π12π33BC AB ω⎛=-=- ⎝所以()()sin 4f x x ϕ=+，由所以ππ2π3k ϕ-+=+，k ∈所以4π2π3k =+ϕ，Z k ∈，4π因为(2023)(2025)(3)(1)2f f f f +=+=，(2024)(0)0f f ==，所以B 错误.因为(2022)(2024)(2)(0)2f f f f +=+=，(2023)(3)1f f ==，所以(2022)(2024)2(2023)f f f +=，所以(2023)f 是(2022)f 与(2024)f 的等差中项，故C 正确.因为(1)(2)(3)(4)f f f f +++()(1)(3)(2)(4)f f f f =+++2204=++=，所以20241()506[(1)(2)(3)(4)]50642024i f i f f f f ==+++=⨯=∑，故D 正确.故选：ACD第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷(6)
2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷（6）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________当0d >时，()101n a +的取值范围为()10,+∞.2．[2024届·河南·模拟考试联考]在空间解析几何中,可以定义曲面（含平面）S 的方程,若曲面S 和三元方程(),,0F x y z =之间满足：①曲面S 上任意一点的坐标均为三元方程(),,0F x y z =的解;②以三元方程(),,0F x y z =的任意解()000,,x y z 为坐标的点均在曲面S 上,则称曲面S 的方程为(),,0F x y z =,方程(),,0F x y z =的曲面为S .已知空间中某单叶双曲面C 的方程为2221114x y z +-=,双曲面C 可视为平面xOz 中某双曲线的一支绕z 轴旋转一周所得的旋转面,已知直线l 过C 上一点()1,1,2Q ,且以()2,0,4d =--为方向向量.（1）指出xOy 平面截曲面C 所得交线是什么曲线,并说明理由;（2）证明：直线l 在曲面C 上;（3）若过曲面C 上任意一点,有且仅有两条直线,使得它们均在曲面C 上.设直线l '在曲面C 上,且过点2)T ,求异面直线l 与l '所成角的余弦值.答案：（1）以原点O 为圆心,1为半径的圆（2）点P 的坐标总是满足曲面C 的方程,从而直线l 在曲面C 上（3）810+解析：（1）根据坐标平面xOy 内点的坐标的特征可知,坐标平面xOy 的方程为0z =,已知单叶双曲面C 的方程为2221114x y z +-=,当0z =时,xOy 平面截曲面C 所得交线上的点(,,0)M x y 满足221x y +=,从而xOy 平面截曲面C 所得交线是平面xOy 上,以原点O 为圆心,1为半径的圆.（2）设()000,,P x y z 是直线l 上任意一点,由(2,0,4)d =--,QP 均为直线l 的方向向量,得//QP d ,从而存在实数λ,使得QP d λ=,即()0001,1,2(2,0,4)x y z λ---=--,则00012,10,24,x y z λλ-=-⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩解得00012,1,24,x y z λλ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以点P 的坐标为(12,1,24)λλ--,于是22222(12)1(24)(12)1(12)1114λλλλ--+-=-+--=,因此点P 的坐标总是满足曲面C 的方程,从而直线l 在曲面C 上.（3）直线l '在曲面C 上,且过点2)T ,设()111,,M x y z 是直线l '上任意一点,直线l '的方向向量为(,,)d a b c '=,由d ',TM均为直线l '的方向向量,得//TM d ' ,从而存在实数t ,使得TM td '=,即()111,2(,,)x y z t a b c --=,则111,,2,x at y bt z ct ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩解得111,,2,x at y bt z ct ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩所以点M的坐标为,,2)at bt ct ++,因为点M 在曲面C 上,所以222(2)()(2)1114at bt ct +++-=,整理得2222)04c a b t c t ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭,因为M 为直线l '任意一点,所以对任意的t ,有2222)04c a b t c t ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭恒成立,所以22204c a b +-=,且0c -=,所以c =,b a =或c =,b a =-,不妨取a =,则4c =-,b =或4c =-,b =,所以(4)d '=-,或(4)d '=-,又直线l 的方向向量为(2,0,4)d =--,所以异面直线l 与l '所成角的余弦值为810||d d d d ''⋅+==.3．[2024届·贵州黔南州·二模]1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元n 次多项式方程在复数域上至少有一根（1n ≥）.此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基础作用.由此定理还可以推出以下重要结论：n 次复系数多项式方程在复数域内有且只有n 个根（重根按重数计算）.对于n 次复系数多项式()1110n n n f x x a x a x a --=++⋅⋅⋅++，其中1n a -，2n a -，0,a ⋅⋅⋅∈C ，若方程()0f x =有n 个复根1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，则有如下的高阶韦达定理：()1121311201ni n i ni j n i j nni j k n i j k n n n x a x x a x x x a x x x a-=-≤<≤-≤<<≤⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎪⎪⎪⋅⋅⋅=-⎩∑∑∑(1)在复数域内解方程240x +=；(2)若三次方程320x ax bx c +++=的三个根分别是11i x =-，21i x =+，32x =（i 为虚数单位），求a ，b ，c 的值；(3)在4n ≥的多项式()1110n n n f x x a x a x a --=++⋅⋅⋅++中，已知11n a -=-，21a n a =-，0a a =，a 为非零实数，且方程()0f x =的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含n 的式子表示）.答案：(1)2i x =±；(2)4a =，6b =，4c =-；(3)121111n x x x n==⋅⋅⋅==解析：（1）由240x +=可得24x =-，解得2i x =±.（2）由题意可知：123122313123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，将11i x =-，21i x =+，32x =代入可得464a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以4a =，6b =，4c =-.（3）设()12,,,n a a a a =⋅⋅⋅ ，()12,,,n b b b b =⋅⋅⋅，1212,,,,,,,0n n a a a b b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅>，因为a b a b ⋅≤ ，当且仅当//a b时，等号成立，可得1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+≤，即1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+≤，当且仅当1212n na a ab b b ==⋅⋅⋅=时，等号成立，因为方程()11100n n n f x x a x a x a --=++⋅⋅⋅++=的根恰好全是正实数，设这n 个正根分别为1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，且11n a -=-，21a n a =-，0a a =，由题意可知：()()()1212121122312111n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x n a x x x a ---⎧++⋅⋅⋅+=⎪⎪⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=--⎨⎪⋅⋅⋅=-⎪⎩，因为121n x x x ++⋅⋅⋅+=，且1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 均为正数，则()121212111111n n n x x x x x x x x x ⎛⎫++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭22n ⎫≥⋅⋅⋅+=，当且仅当121111n x x x n==⋅⋅⋅==时，等号成立，又因为()()()1221211223211211111nn n n n n nn n a x x x x x x x x x n x x x x x x a-----⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+=，即212111nn x x x ++⋅⋅⋅+=，所以121111n x x x n==⋅⋅⋅==.11122122a ，我们定义方阵11122122a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭，方阵A 对应的行列式记为()det A ，且()11221221det A a a a a =-，方阵A 与任意方阵11122122bb B b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭的乘法运算定义如下：A B C ⨯=，其中方阵11122122c c C c c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且{}()21,1,2nn mi in i c a b m n ==∈∑.设cos sin sin cos M αααα-⎛⎫=⎪⎝⎭，cos sin sin cos N ββββ⎛⎫=⎪-⎝⎭，1001E ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）证明：()()det det M N E ⨯=.（2）若方阵A ，B 满足A B E ⨯=，且()det A ，()det B ∈Z ，证明：()()()()det det det det A B M N +=+.答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）证明：设方阵11122122k k K M N k k ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭，则()()()11cos cos sin sin cos k αβαβαβ=+--=-，()()12cos sin sin cos sin k αβαββα=+-=-，()()21sin cos cos sin sin k αβαβαβ=+-=-，()22sin sin cos cos cos k αβαβαβ=+=-，则()()()()cos sin sin cos K αββααβαβ--⎛⎫= ⎪--⎝⎭，所以()()()()()2det det cos sin sin M N K αβαββα⨯==----()()22cos sin 1αβαβ=-+-=.因为()det 11001E =⨯-⨯=，所以()()det det M N E ⨯=，证毕.（2）证明：设11122122a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭，11122122b b B b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则由A B E ⨯=，可得111112211a b a b +=，①111212220a b a b +=，②211122210a b a b +=，③211222221a b a b +=，④由①×④，得111121121111222212212112122122221a b a b a b a b a b a b a b a b +++=，⑤由②×③，得111221111112222112222111122222210a b a b a b a b a b a b a b a b +++=，⑥由⑤-⑥，可得111122221221211211122221122221111a b a b a b a b a b a b a b a b +--=，整理得()()11221221112212211a a a a b b b b --=，即()()det det 1A B ⨯=.由()()det ,det A B ∈Z ，可得()()det 1,det 1,A B =⎧⎪⎨=⎪⎩或()()det 1,det 1,A B =-⎧⎪⎨=-⎪⎩则()()det det 2A B +=.又()()det det 1M N ==，所以()()()()det det det det A B M N +=+，证毕.6．[2024届·湖北黄冈·模拟考试校考]第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线():C y f x =上的曲线段AB ，其弧长为Δs ，当动点从A 沿曲线段AB 运动到B 点时，A 点的切线A l 也随着转动到B 点的切线B l ，记这两条切线之间的夹角为θ△（它等于B l 的倾斜角与A l 的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义ΔΔK sθ=为曲线段AB 的平均曲率；显然当B 越接近A ，即Δs 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义()3022lim 1y K sy θ∆→''∆==∆'+（若极限存在）为曲线C 在点A 处的曲率.（其中y '，y ''分别表示()y f x =在点A 处的一阶､二阶导数）（1）已知抛物线22(0)x py p =>的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点()3,y 处的曲率是多少？（2）若函数()11212x g x =-+，不等式()e e 2cos 2x x g g x ω-⎛⎫+≤- ⎪⎝⎭对于x ∈R 恒成立，求ω的取值范围；（3）若动点A 的切线沿曲线()228f x x =-运动至点()(),n n B x f x 处的切线，点B 的切线与x 轴的交点为()()*1,0n x n +∈N .若14x =，2n n b x =-，n T 是数列{}n b 的前n 项和，证明3n T <.答案：（1）212（2）[]1,1-（3）()*3n T n <∈N 解析：（1）已知抛物线22(0)x py p =>的焦点到准线的距离为3，则3p =，即抛物线方程为26x y =，即()216f x y x ==，则()13f x x '=，()13f x ''=，又抛物线在点()3,y 处的曲率，则32211233121139K ===⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭，即在该抛物线上()3,y 处的曲率为212.（2）()()112111212212221x xx x g x g x --=-=-=-=-+++ ，()g x ∴在R 上为奇函数，又()g x 在R 上为减函数.∴不等式()e e 2cos 2x xg g x ω-⎛⎫+≤-⎪⎝⎭对于x ∈R 恒成立，等价于e e cos 22x xx ω-+≥-对于x ∈R 恒成立.又因为两个函数都是偶函数，记()cos p x x ω=，()e e 22x xq x -+=-，则曲线()p x 恒在曲线()q x 上方.()sin p x x ωω'=-，()e e 2x xq x -=-'-，又因为()()001p q ==，所以在0x =处三角函数()p x 的曲率不大于曲线()q x 的曲率.即()()()()332222001010p q p q ≤⎡'''⎤⎡⎤++⎣⎦⎣'⎦''又因为()2cos p x x ωω'=-'，()e e 2x xq x -+=''-，()20p ω''=-，()01q ''=-，所以21ω≤，解得：11ω-≤≤，因此，ω的取值范围为[]1,1-.（3）由题可得()4f x x '=.所以曲线()y f x =在点()(),n n x f x 处的切线方程是：()()()n n n y f x f x x x '-=-.即()()2284n n n y x x x x --=-.令0y =，得()()2142n n n n x x x x +--=-.即2142n n n x x x ++=.显然0n x ≠，122n n n x x x +∴=+.由122n n nx x x +=+，知()21222222n n n n n x x x x x +++=++=，同理()21222n n n x x x +--=，故2112222n n n n x x x x ++⎛⎫++= ⎪--⎝⎭.从而1122lg 2lg 22n n n n x x x x ++++=--，设2lg 2n n n x a x +=-，即12n n a a +=.所以，数列{}n a 成等比数列.故111111222lg2lg 32n n n n x a a x ---+===-.即12lg 2lg 32n n n x x -+=-.从而12232n n n x x -+=-所以()112223131n n n x --+=-，1242031n n n b x -∴=-=>-，111112122223111113313133n n n n n n b b ----+-∴==<≤=-+当1n =时，显然1123T b ==<.当1n >时，21121111333n n n n b b b b ---⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1112111113111333133313n n n n n b T b b b b b b -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦∴=+++<+++==-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- .综上，()*3n T n <∈N .。
数学试卷高考新高考题型
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(2)的值为（）A. 0B. 1C. 3D. 42. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 105°C. 135°D. 150°3. 若等差数列{an}的公差为d，且a1=3，a4=11，则d的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 已知复数z=3+4i，则|z|的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 115. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 2在x=1处的切线斜率为2，则f'(1)的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知等比数列{bn}的公比为q，且b1=2，b3=8，则q的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，则sinA:sinB:sinC的值为（）A. 3:4:5B. 4:5:3C. 5:3:4D. 3:5:48. 已知函数f(x) = |x| + 1，则f(x)在x<0时的导数f'(x)为（）A. -1B. 0C. 1D. 不存在9. 若等差数列{an}的公差为d，且a1=5，a5=25，则a3的值为（）A. 10B. 15C. 20D. 2510. 已知复数z=2-3i，则|z|的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 11二、填空题（每题5分，共50分）11. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1处的导数为2，则a+b+c=（）12. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，则sinA:sinB:sinC=（）13. 已知等差数列{an}的公差为d，且a1=3，a4=11，则d=（）14. 复数z=3+4i的共轭复数为（）15. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2在x=1处的切线方程为（）16. 在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，则cosA:cosB:cosC=（）17. 已知函数f(x) = |x| + 1，则f(x)在x>0时的导数f'(x)为（）18. 若等差数列{an}的公差为d，且a1=5，a5=25，则a3=（）19. 复数z=2-3i的模长为（）20. 函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=2处的切线斜率为（）三、解答题（每题20分，共60分）21. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f'(x)及f'(1)的值。
新高考数学试卷题型带答案
一、选择题1. 题目：已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的图像与x轴的交点坐标。
答案：将f(x) = 0，解得x = 1 或 x = 3。
因此，f(x)的图像与x轴的交点坐标为(1, 0)和(3, 0)。
2. 题目：在等差数列{an}中，a1 = 2，d = 3，求第10项an的值。
答案：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n - 1)d，代入a1 = 2，d = 3，n = 10，得an = 2 + (10 - 1)×3 = 29。
3. 题目：已知三角形ABC中，AB = 5，AC = 8，BC = 10，求sinB的值。
答案：根据勾股定理，得AB^2 + BC^2 = AC^2，即5^2 + 10^2 = 8^2，所以sinB = BC/AC = 10/8 = 5/4。
4. 题目：若向量a = (1, 2)，向量b = (2, -3)，求向量a与向量b的点积。
答案：向量a与向量b的点积为a·b = 1×2 + 2×(-3) = 2 - 6 = -4。
5. 题目：若函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2，求g'(x)的值。
答案：对g(x)求导得g'(x) = 3x^2 - 6x + 4。
二、填空题6. 题目：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求f'(x)的值。
答案：对f(x)求导得f'(x) = 6x^2 - 6x + 2。
7. 题目：在等比数列{bn}中，b1 = 3，q = 2，求第5项bn的值。
答案：根据等比数列的通项公式bn = b1·q^(n-1)，代入b1 = 3，q = 2，n = 5，得bn = 3×2^(5-1) = 48。
8. 题目：若函数h(x) = e^x - x，求h''(x)的值。
2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷(3)
2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷（3）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．[2024届·安徽马鞍山·模拟考试]已知S 是全体复数集C 的一个非空子集，如果,x y S ∀∈，总有x y +，x y -，x y S ⋅∈，则称S 是数环.设F 是数环，如果①F 内含有一个非零复数；②,x y F ∀∈，且0y ≠，有xF y∈，则称F 是数域.由定义知有理数集Q是数域.（1）求元素个数最小的数环 S ；（2）证明：记{}|,Qa ab =+∈Q ，证明：Q是数域；（3）若1F ，2F 是数域，判断12F F 是否是数域，请说明理由.答案：（1）{}0；（2）证明见详解；（3）12F F 不一定是数域，证明见详解解析：（1）因为 S为数环，可知 S 不是空集，即 S 中至少有一个元素a ∈C ，若0a =，则0000000S +=-=⨯=∈，可知{}0为数环；若0a ≠，则0a a -=，可知 S中不止一个元素，不是元素个数最小的数环；综上所述：元素个数最小的数环为{}˜0S =.（2）设x a =+，y c =+，,,,a b c d ∈Q ，可知,x y Q∈，则有：()()())x y a c a c b d +=+++=+++，()()())x y a c a c b d -=+-+=-+-，()()())3x y a c ac bd ad bc ⋅=++=+++，因为,,,Q a b c d ∈，则a c +，b d +，a c -，b d -，ac bd +，ad bc +∈Q ，可知x y +，x y -，x y Q⋅∈，所以Q 是数环；若220c d +≠，可知0y ≠，满足①；若0y ≠，则2233a c x ac bd y c d +--==+-因为,,,Q a b c d ∈，则22223,33ac bd bc adc d c d--∈--Q ，可知x Qy∈，满足②；综上所述：Q是数域.（3）不一定是数域，理由如下：①若1F =Q ，2F=R ，显然1F ，2F 均为数域，且12FF =R 是数域；②设x a =+，y c =+，,,,a b cd ∈Q，可知,x y Q∈，则有：()()())x ya c a c bd +=+++=+++，()()())x y ac a c b d-=+-+=-+-，()()())2x y a c ac bd ad bc ⋅=++=+++，因为,,,Q a b c d ∈，则a c +，b d +，a c -，b d -，acbd +，ad bc +∈Q ，可知x y +，x y -，x y Q⋅∈，所以Q 是数环；若220c d +≠，可知0y ≠，满足①；若0y ≠，则2222a c x ac bdy c d --==-，因为,,,Q a b c d ∈，则2222ac bd c d --，222bc adc d-∈-Q，可知xQy∈，满足②；综上所述：Q是数域.例如：1F Q =，2F Q =，例如1Q+，1Q，但12112F F = ，所以12F F 不是数域；综上所述：12F F 不一定是数域.2．在平面直角坐标系中，两点()11,P x y ，()22,Q x y 的“曼哈顿距离”定义为1212x x y y -+-，记为PQ ‖‖，如点(1,2)P -，(2,4)Q --的“曼哈顿距离”为5，记为5PQ =‖‖.（1）若点(0,2)P ，M 是满足2PQ ≤‖‖的动点Q 的集合，求点集M 所占区域的面积.（2）若动点P 在直线2y x =-上，动点Q 在函数e x y =的图像上，求PQ ‖‖的最小值.（3）设点(,)P a b ，动点Q 在函数22([2,2])y x x =∈-的图像上，PQ ‖‖的最大值记为(,)M a b ，求(,)M a b 的最小值.答案：（1）8（2）3（3）8116解析：（1）设点(,)Q x y .由2PQ ≤‖‖，得|||2|2x y +-≤.||||2x y +=的图像是以原点为中心，顺次连接四点(2,0)，(0,2)，(2,0)-，(0,2)-所形成的正方形.将其上移2个单位长度即得|||2|2x y +-=的图像.所以点集M 所占区域是以四点(2,2)，(0,4)，(2,2)-，(0,0)为顶点的正方形及其内部，面积为8.（2）设()11,2P x x -，()22,e x Q x ，则21212e x PQ x x x =-+--‖‖.将PQ ‖‖看成关于1x 的函数，则PQ ‖‖在12x x =或21e 2x x =+时取得最小值，即2min 2e2x PQ x =-+‖‖.令()e 2x f x x =-+，则()e 1x f x '=-.当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>.所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，则min ()(0)3f x f ==，此时20x =.所以PQ ‖‖的最小值为3.（3）设点()2,2Q x x ，[2,2]x ∈-，则2||2PQ a x b x =-+-‖‖，[2,2]x ∈-.若存在实数a ，b ，使(,)M a b t =，则2||2PQ a x b x t =-+-≤‖‖对任意的[2,2]x ∈-成立.令14x =-，则1148a b t ++-≤.令2x =，则|2||8|a b t -+-≤.所以1111963812|2||8|2|8|4848488t a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫≥++-+-+-=++-+-+-≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以8116t ≥.令0a =，7916b =，则279||216PQ x x =+-‖‖是[2,2]-上的偶函数.当[0,2]x ∈时，若279216x ≤，即27932x ≤，则227918181221641616PQ x x x ⎛⎫=+-=--+≤ ⎪⎝⎭‖‖，当且仅当14x =时等号成立；若279432x ≤≤，则2798121616PQ x x =+-≤‖‖，当且仅当2x =时等号成立.所以存在实数a ，b 且0a =，7916b =，使得(,)M a b 的最小值为8116.3．已知定义域为[0,2]的函数()f x 满足如下条件：①对任意的[0,2]x ∈，总有0()4f x <≤；②(2)3f =；③当10x ≥，20x ≥，122x x +≤时，()()()12124f x x f x f x +≤+-恒成立.已知正项数列{}n a满足=，且1min 1()3a f x =，28a =，令1n b =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若n c =，求证：()()()3411145(2)2n n f c f c f c n n +-+++≥-+≥ .答案：（1）{}n a 的通项公式()2121,1411,2n n k k n a n -==⎧⎪=⎨⎡⎤--≥⎪⎢⎥⎣⎦⎩∏；{}n b 的通项公式4nnb =（2）证明见解析解析：（1）不妨设12x x <，则21(0,2]x x -∈，()2104f x x ∴<-≤，()()()()121211f x f x f x f x x x ∴-=--+()()()()121121440f x f x x f x f x x ≥--+-=--≥⎡⎤⎣⎦，若()2140f x x --=，即()214f x x -=，此时(2)4f =，这与(2)3f =矛盾，()2140f x x ∴--≠，故()2140f x x -->，()()12f x f x ∴>，()f x ∴在区间[0,2]上单调递减，min ()(2)3f x f ∴==，11a ∴=.=，141⎫=⎪⎪⎭，即14n n b b +=，{}n b ∴是以114b ==为首项，4为公比的等比数列，4n n b ∴=.又1n b =，()21411n n n a a +⎡⎤∴=--⎢⎥⎣⎦，∴当2n ≥时，()()()()22221121122411411411411nn n n k n n n k a a a ------=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--=----==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∏ .又当1n =时，11a =，故()2121,1411,2n n k k n a n -==⎧⎪=⎨⎡⎤--≥⎪⎢⎥⎣⎦⎩∏.（2）由（1）可得82n n c ==.∴当2n ≥时，12n n c c +=，且02n c <≤，()4n f c ∴≤，()2(2)3f c f ==，又()()()()1111224n n n n n f c f c f c c f c ++++==+≤-，()()1424n n c f c f +∴-≤-⎡⎤⎣⎦，即()()1424n n f c f c +-≥-⎡⎤⎣⎦，()()()1211144422n n n f c f c f c +-∴-≤-≤≤-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ，()11142n n f c +-∴-≤，即()11142n n f c +-≥-，()()()34211142142142n n f c f c f c +-⎧≥-⎪⎪⎪≥-⎪∴⎨⎪⎪⎪≥-⎪⎩ ，()()()134111112214(1)451212n n n c f c f c n n f -+-⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴+++≥--=-+- .5．我们将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”.已知椭圆2:12E y +=的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为D .（1）若椭圆22:12x y F s +=与椭圆E 在“一簇椭圆系”中，求常数s 的值；（2）设椭圆22:(01)2x G y λλ+=<<，过A 作斜率为1k 的直线1l 与椭圆G 有且只有一个公共点，过D 作斜率为2k 的直线2l 与椭圆G 有且只有一个公共点，求当λ为何值时，12k k +取得最小值，并求其最小值；（3）若椭圆22:1(2)2x y H t t+=>与椭圆E 在“一簇椭圆系”中，椭圆H 上的任意一点记为00)(,C x y ，求证：ABC △的垂心M 必在椭圆E 上.答案：（1）4s =或1（2）当12λ=时，12k k +（3）证明见解析解析：（1）因为椭圆E 的离心率22e =，故由条件得，当2s >22=，解得4s =；当02s <<22=，解得1s =.综上，4s =或1.（2）易得(A ，(0,1)D ，所以直线1l ，2l的方程分别为1(y k x =，21y k x =+，由122(2y k x x y λ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()222211112420k x x k λ+++-=，又直线1l 与椭圆G 相切，则10∆=，又01λ<<，即1k =.由22212y k x x y λ=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222124220k x k x λ+++-=，又直线2l 与椭圆G 相切，则20∆=，又01λ<<，即2k =故1212k k =，12k k +≥=12k k =时取等号，此时12λ=.所以当12λ=时，12k k +.（3）显然椭圆22:124x y H +=.因为椭圆H 上的任意一点记为()00,C x y ，所以2200124x y +=.①设ABC △的垂心M 的坐标为(),M M x y ，连接CM ，AM，因为(A，B ，故由CM AB ⊥得0M x x =.又0M x x =≠，AM BC ⊥1=-，（*）将0M x x =代入（*），得202M x y y =-，②由①②得02M y y =.将0M x x =，02M y y =，代入①得2212M M x y +=，即ABC △的垂心M 在椭圆E 上.6．[2024春·高三·湖北武汉·月考]利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数，例如将0.31化为分数是这样计算的：设0.31x = ，则31.31100x = ，即31100x x +=，解得310.3199= .这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法，这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，每局比赛的结果互不影响.规定：净胜m 局指的是一方比另一方多胜m 局.（1）如果约定先获得净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；（2）如果约定先获得净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜()3,2,1,0,1,2,3i i =---局.设甲在净胜i 局时，继续比赛甲获胜的概率为i P ，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为i X ，期望为()i E X .①求甲获胜的概率0P ；②求()0E X .答案：（1）2081（2）①89；②()07E X =解析：（1）4局结束比赛时甲获胜，则在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局甲胜，概率为21221216C 33381⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭⨯；4局结束比赛时乙获胜，则在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局乙胜，概率为2122114C 33381⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以恰好4局结束比赛的概率16420818181+=.（2）①在甲在净胜-2局前提下，继续比赛一局：若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛获胜的概率为1P -；若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，根据全概率公式，2123P P --=，同理1022133P P P --=+，0112133P P P -=+，1202133P P P =+，212133P P =+，由1202133P P P =+，212133P P =+，得104377P P =+，与0112133P P P -=+联立消去1P ，得015817213P P -=+，又2123P P --=，1022133P P P --=+，即1067P P -=，因此089P =，所以甲获胜的概率为89.②在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局：若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛至结束，还需要()1E X -局，共进行了()11E X -+局；若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，共进行了1局，则2121()[()1]133E X E X --=++⨯，即212()()13E X E X --=+，同理10221()[()1][()1]33E X E X E X --=+++，即10221()()()133E X E X E X --=++，01121()[()1][()1]33E X E X E X -=+++，即01121()()()133E X E X E X -=++，12021()[()1][()1]33E X E X E X =+++，即12021()()()133E X E X E X =++，2121()1[()1]33E X E X =⨯++，即211()()13E X E X =+，联立12021()()()133E X E X E X =++与211()()13E X E X =+，得10315()()77E X E X =+，联立212()()13E X E X --=+与10221()()()133E X E X E X --=++，得10612()()77E X E X -=+，代入01121()()()133E X E X E X -=++，得000315612()()7721()[[13773E X X E X E ++=++，所以0()7E X =.。
2024年高考数学新模式新题型数学与阅读理解及答案
2024年高考数学19题新模式新结构新题型1(2023上·北京朝阳·高三统考期中/24南通)已知A m =a 1,1a 1,2⋯a 1,m a 2,1a 2,2⋯a 2,m ⋮⋮⋱⋮a m ,1a m ,2⋯a m ,m(m ≥2)是m 2个正整数组成的m 行m 列的数表，当1≤i <s ≤m ,1≤j <t ≤m 时，记d a i ,j ,a s ,t =a i ,j -a s ,j +a s ,j -a s ,t ．设n ∈N *，若A m 满足如下两个性质：①a i ,j ∈1,2,3;⋯,n (i =1,2,⋯,m ;j =1,2,⋯,m )；②对任意k ∈1,2,3,⋯,n ，存在i ∈1,2,⋯,m ,j ∈1,2,⋯,m ，使得a i ,j =k ，则称A m 为Γn 数表．(1)判断A 3=123231312是否为Γ3数表，并求d a 1,1,a 2,2 +d a 2,2,a 3,3 的值；(2)若Γ2数表A 4满足d a i ,j ,a i +1,j +1 =1(i =1,2,3;j =1,2,3)，求A 4中各数之和的最小值；(3)证明：对任意Γ4数表A 10，存在1≤i <s ≤10,1≤j <t ≤10，使得d a i ,j ,a s ,t =0．2(镇海高三期末)19. 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C ：y =f x 上的曲线段AB ，其弧长为Δs ，当动点从A 沿曲线段AB运动到B 点时，A 点的切线l A 也随着转动到B 点的切线l B ，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于l B 的倾斜角与l A 的倾斜角之差)．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K =ΔθΔs为曲线段AB 的平均曲率；显然当B 越接近A ，即Δs 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义K =lim Δs →0ΔθΔs =y 1+y 232(若极限存在)为曲线C 在点A 处的曲率．(其中y ＇，y ＇＇分别表示y =f x 在点A 处的一阶、二阶导数)(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；(2)求椭圆x 24+y 2=1在3,12处的曲率；(3)定义φy =22y 1+y3为曲线y =f x 的“柯西曲率”．已知在曲线f x =x ln x -2x 上存在两点P x 1,f x 1 和Q x 2,f x 2 ，且P ，Q 处的“柯西曲率”相同，求3x 1+3x 2的取值范围．3(合肥一中期末)19．同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，b∈Z，m∈N*且m>1．若m a-b则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)(“|”为整除符号)．(1)解同余方程x2-x≡0(mod3)；(2)设(1)中方程的所有正根构成数列a n，其中a1<a2<a3<⋯<a n．①若b n=a n+1-a n(n∈N*)，数列b n的前n项和为S n，求S2024；②若c n=tan a2n+1⋅tan a2n-1(n∈N*)，求数列c n的前n项和T n．4(北京西城)给定正整数N≥3，已知项数为m且无重复项的数对序列A：x1,y1,⋅⋅⋅,x m,y m,x2,y2满足如下三个性质：①x i,y i∈1,2,⋅⋅⋅,N，且x i≠y i i=1,2,⋅⋅⋅,m；③p,q与；②x i+1=y i i=1,2,⋅⋅⋅,m-1q,p不同时在数对序列A中.(1)当N=3，m=3时，写出所有满足x1=1的数对序列A；(2)当N=6时，证明：m≤13；(3)当N为奇数时，记m的最大值为T N ，求T N .5(如皋市)对于给定的正整数n ，记集合R n ={α |α =(x 1,x 2,x 3,⋅⋅⋅,x n ),x j ∈R ,j =1,2,3,⋅⋅⋅,n }，其中元素α 称为一个n 维向量.特别地，0 =(0,0,⋅⋅⋅,0)称为零向量.设k ∈R ，α =(a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n )∈R n ，β =(b 1,b 2,⋅⋅⋅,b n )∈R n ，定义加法和数乘：kα =(ka 1,ka 2,⋅⋅⋅,ka n )，α +β =(a 1+b 1,a 2+b 2,⋅⋅⋅,a n +b n ).对一组向量α1 ，α2 ，⋯，αs (s ∈N +,s ≥2)，若存在一组不全为零的实数k 1，k 2，⋯，k s ，使得k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k s αs =0 ，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．(1)对n =3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．①α =(1,1,1)，β =(2,2,2)；②α =(1,1,1)，β =(2,2,2)，γ =(5,1,4)；③α =(1,1,0)，β =(1,0,1)，γ =(0,1,1)，δ =(1,1,1).(2)已知α ，β ，γ 线性无关，判断α +β ，β +γ ，α +γ 是线性相关还是线性无关，并说明理由．(3)已知m (m ≥2)个向量α1 ，α2 ，⋯，αm 线性相关，但其中任意m -1个都线性无关，证明：①如果存在等式k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 (k i ∈R ,i =1,2,3,⋅⋅⋅,m )，则这些系数k 1，k 2，⋯，k m 或者全为零，或者全不为零；②如果两个等式k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 ，l 1α1 +l 2α2 +⋅⋅⋅+l m αm =0 (k i ∈R ,l i ∈R ,i =1,2,3,⋅⋅⋅,m )同时成立，其中l 1≠0，则k 1l 1=k 2l 2=⋅⋅⋅=k m l m.6(江苏四校)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A，B，C，D是直线l上互异且非无穷远的四点，则称ACBC⋅BDAD(分式中各项均为有向线段长度，例如AB=-BA)为A，B，C，D四点的交比，记为(A,B;C,D)．(1)证明：1-(D,B;C,A)=1(B,A;C,D)；(2)若l1，l2，l3，l4为平面上过定点P且互异的四条直线，L1，L2为不过点P且互异的两条直线，L1与l1，l2，l3，l4的交点分别为A1，B1，C1，D1，L2与l1，l2，l3，l4的交点分别为A2，B2，C2，D2，证明：(A1,B1;C1,D1)= (A2,B2;C2,D2)；(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若ΔEFG与ΔE F G 的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则ΔEFG与ΔE F G 对应边的交点在一条直线上．7(高考仿真)已知无穷数列a n满足a n=max a n+1,a n+2-min a n+1,a n+2(n=1,2,3,⋯)，其中max {x,y}表示x，y中最大的数，min{x,y}表示x，y中最小的数.(1)当a1=1，a2=2时，写出a4的所有可能值；(2)若数列a n中的项存在最大值，证明：0为数列a n中的项；(3)若a n>0(n=1,2,3,⋯)，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有a n≤M？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.8(高考仿真)若项数为k(k∈N*，k≥3)的有穷数列{a n}满足：0≤a1<a2<a3<⋅⋅⋅<a k，且对任意的i，j(1≤i≤j≤k)，a j+a i或a j-a i是数列{a n}中的项，则称数列{a n}具有性质P．(1)判断数列0,1,2是否具有性质P，并说明理由；(2)设数列{a n}具有性质P，a i(i=1，2，⋯，k)是{a n}中的任意一项，证明：a k-a i一定是{a n}中的项；(3)若数列{a n}具有性质P，证明：当k≥5时，数列{a n}是等差数列．9(安徽)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点Q ,P 的距离之比MQ MP=λ(λ>0,λ≠1),λ是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x 2+y 2=4，定点分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 与右顶点A ，且椭圆C 的离心率为e =12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为k (k >0)的直线l 与椭圆C 相交于B ,D (点B 在x 轴上方)，点S ,T 是椭圆C 上异于B ,D 的两点，SF 平分∠BSD ,TF 平分∠BTD .①求BS DS的取值范围；②将点S ､F ､T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为81π8，求直线l 的方程.10(郑州外国语)记U ={1,2,⋯,100}．对数列a n n ∈N * 和U 的子集T ，若T =∅，定义S T =0；若T =t 1,t 2,⋯,t k ，定义S T =a t 1+a t 2+⋯+a tk ．例如：T =1,3,66 时，S T =a 1+a 3+a 66．现设a n n ∈N * 是公比为3的等比数列，且当T =2,4 时，S T =30．(1)求数列a n 的通项公式；(2)对任意正整数k 1≤k ≤100 ，若T 1,2,⋯,k ，求证：S T <a k +1；(3)设C ⊆U ,D ⊆U ,SC ≥SD ，求证：S C +S C ∩D ≥2S D ．11(福建模拟)2022年北京冬奥会标志性场馆--国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．(Ⅰ)利用祖暅原理推导半径为R 的球的体积公式时，可以构造如图所示的几何体M ，几何体M 的底面半径和高都为R ，其底面和半球体的底面同在平面α内.设与平面α平行且距离为d 的平面β截两个几何体得到两个截面，请在图中用阴影画出与图中阴影截面面积相等的图形并给出证明；(Ⅱ)现将椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球A ，B (如图)，类比(Ⅰ)中的方法，探究椭球A 的体积公式，并写出椭球A ，B 的体积之比．12用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f'x 是f x 的导函数，f''x 是f'x 的导函数，则曲线y=f x 在点x,f x处的曲率K=|f (x)|1+[f (x)]232．(1)若曲线f x =ln x+x与g x =x在1,1处的曲率分别为K1，K2，比较K1，K2的大小；(2)求正弦曲线h x =sin x(x∈R)曲率的平方K2的最大值．13设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为1-12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+⋯+∠Q k-1PQ k+∠Q k PQ1)，其中Q i(i=1，2，⋯，k，k≥3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q 1PQ 2，平面Q 2PQ 3，⋯，平面Q k -1PQ k和平面Q k PQ 1遍历多面体M的所有以P为公共点的面．(1)任取正四面体的一个顶点，求该点处的离散曲率；(2)如图1，已知长方体A 1B 1C 1D 1-ABCD，AB=BC=1，AA1=22，点P为底面A 1B 1C 1D 1内的一个动点，则求四棱锥P-ABCD在点P处的离散曲率的最小值；(3)图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域?(只需确定“区域α”还是“区域β”)14近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数字几何这一新兴学科.数字几何是传统几何和计算机科学相结合的产物.数字几何中的一个重要概念是曲率，用曲率来刻画几何体的弯曲程度.规定：多面体在顶点处的曲率等于2π与多面体在该点的所有面角之和的差(多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示)，多面体在面上非顶点处的曲率均为零.由此可知，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是π2，所以正方体在各顶点的曲率为2π-3×π2=π2，故其总曲率为4π．(1)求四棱锥的总曲率；(2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D，棱数为L，面数为M，则有：D-L+M=2.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率是常数．2024年高考数学19题新模式新结构新题型1(2023上·北京朝阳·高三统考期中/24南通)已知A m =a 1,1a 1,2⋯a 1,m a 2,1a 2,2⋯a 2,m ⋮⋮⋱⋮a m ,1a m ,2⋯a m ,m(m ≥2)是m 2个正整数组成的m 行m 列的数表，当1≤i <s ≤m ,1≤j <t ≤m 时，记d a i ,j ,a s ,t =a i ,j -a s ,j +a s ,j -a s ,t ．设n ∈N *，若A m 满足如下两个性质：①a i ,j ∈1,2,3;⋯,n (i =1,2,⋯,m ;j =1,2,⋯,m )；②对任意k ∈1,2,3,⋯,n ，存在i ∈1,2,⋯,m ,j ∈1,2,⋯,m ，使得a i ,j =k ，则称A m 为Γn 数表．(1)判断A 3=123231312是否为Γ3数表，并求d a 1,1,a 2,2 +d a 2,2,a 3,3 的值；(2)若Γ2数表A 4满足d a i ,j ,a i +1,j +1 =1(i =1,2,3;j =1,2,3)，求A 4中各数之和的最小值；(3)证明：对任意Γ4数表A 10，存在1≤i <s ≤10,1≤j <t ≤10，使得d a i ,j ,a s ,t =0．【答案】(1)是；5(2)22(3)证明见详解【分析】(1)根据题中条件可判断结果，根据题中公式进行计算即可；(2)根据条件讨论a i +1,j 的值，根据d a i ,j ,a s ,t =a i ,j -a s ,j +a s ,j -a s ,t ，得到相关的值，进行最小值求和即可；(3)当r i ≥2时，将横向相邻两个k 用从左向右的有向线段连接，则该行有r i -1条有向线段，得到横向有向线段的起点总数，同样的方法得到纵向有向线段的起点总数，根据条件建立不等关系，即可证明.【详解】(1)A 3=123231312是Γ3数表，d a 1,1,a 2,2 +d a 2,2,a 3,3 =2+3=5.(2)由题可知d a i ,j ,a s ,t =a i ,j -a s ,j +a s ,j -a s ,t =1(i =1,2,3;j =1,2,3).当a i +1,j =1时，有d a i ,j ,a i +1,j +1 =(a i ,j -1)(a i +1,j +1-1)=1，所以a i ,j +a i +1,j +1=3.当a i +1,j =2时，有d a i ,j ,a i +1,j +1 =(2-a i ,j )(2-a i +1,j +1)=1，所以a i ,j +a i +1,j +1=3.所以a i ,j +a i +1,j +1=3(i =1,2,3;j =1,2,3).所以a 1,1+a 2,2+a 3,3+a 4,4=3+3=6,a 1,3+a 2,4=3,a 3,1+a 4,2=3.a 1,2+a 2,3+a 3,4=3+1=4或者a 1,2+a 2,3+a 3,4=3+2=5，a 2,1+a 3,2+a 4,3=3+1=4或者a 2,1+a 3,2+a 4,3=3+2=5，a 1,4=1或a 1,4=2，a 4,1=1或a 4,1=2，故各数之和≥6+3+3+4+4+1+1=22，当A 4=1111122212111212时，各数之和取得最小值22.(3)由于Γ4数表A 10中共100个数字，必然存在k ∈1,2,3,4 ，使得数表中k 的个数满足T ≥25.设第i 行中k 的个数为r i (i =1,2,⋅⋅⋅,10).当r i ≥2时，将横向相邻两个k 用从左向右的有向线段连接，则该行有r i -1条有向线段，所以横向有向线段的起点总数R =∑r i ≥2(r i -1)≥∑i =110(r i -1)=T -10.设第j 列中k 的个数为c j (j =1,2,⋅⋅⋅,10).当c j ≥2时，将纵向相邻两个k 用从上到下的有向线段连接，则该列有c j -1条有向线段，所以纵向有向线段的起点总数C =∑c j ≥2(c j -1)≥∑j =110(c j -1)=T -10.所以R +C ≥2T -20,因为T ≥25,所以R +C -T ≥2T -20-T =T -20>0.所以必存在某个k 既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，即存在1<u <v ≤10，1<p <q ≤10,使得a u ,p =a v ,p =a v ,q =k ，所以d a u ,p ,a v ,q =a u ,p -a v ,p +a v ,p -a v ,q =0，则命题得证.2(镇海高三期末)在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C ：y =f x 上的曲线段AB，其弧长为Δs ，当动点从A 沿曲线段AB运动到B 点时，A 点的切线l A 也随着转动到B 点的切线l B ，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于l B 的倾斜角与l A 的倾斜角之差)．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K =ΔθΔs为曲线段AB 的平均曲率；显然当B 越接近A ，即Δs 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义K =lim Δs →0ΔθΔs =y 1+y 2 32(若极限存在)为曲线C 在点A 处的曲率．(其中y ＇，y ＇＇分别表示y =f x 在点A 处的一阶、二阶导数)(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；(2)求椭圆x 24+y 2=1在3,12处的曲率；(3)定义φy =22y1+y3为曲线y =f x 的“柯西曲率”．已知在曲线f x =x ln x -2x 上存在两点P x 1,f x 1 和Q x 2,f x 2 ，且P ，Q 处的“柯西曲率”相同，求3x 1+3x 2的取值范围．【答案】(1)1(2)16749(3)2e ,1 【解析】【分析】(1)依据所给定义求解即可.(2)直接利用定义求解即可.(3)合理构造给定式子，转化为一元函数，结合高观点极限方法求解即可.【小问1详解】K =ΔθΔs=π3π3=1．【小问2详解】y =1-x 24，y=-x 41-x 24 -12，y =-141-x 24 -12-x 2161-x 24-32，故y x =3=-32，y x =3=-2，故K =21+3432=16749．【小问3详解】fx =ln x -1，fx =1x ，故φy =22y 1+y3=22x ln x 3=2233s ln s 3，其中s =3x ，令t 1=3x 1，t 2=3x 2，则t 1ln t 1=t 2ln t 2，则ln t 1=-t ln tt -1，其中t =t 2t 1>1(不妨t 2>t 1)令p x =x ln x ，p x =1+ln x ⇒p x 在0,1e 递减，在1e ,+∞ 递增，故1>t 2>1e>t 1>0；令h t =ln t 1+t 2 =ln t +1 -t ln tt -1，h 't =1t -1 2ln t -2t -1 t +1 ，令m (t )=ln t -2t -1 t +1(t >1)，则m(t )=t -1 2t (t +1)，当t >1时，m (t )>0恒成立，故m (t )在(1,+∞)上单调递增，可得m (t )>m (1)=0，即ln t -2t -1t +1>0，故有h t =1t -1 2ln t -2t -1 t +1>0，则h t 在1,+∞ 递增，又lim t →1h t =ln2-1，lim t →+∞h t =0，故ln t 1+t 2 ∈ln2-1,0 ，故3x 1+3x 2=t 1+t 2∈2e ,1．【点睛】关键点点睛：本题考查求导数新定义，解题关键是将给定式子合理转化为一元函数，然后利用极限方法求得关键函数值域，最终即可求解．3(合肥一中期末)同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a ，b ∈Z ，m ∈N *且m >1．若m a -b 则称a 与b 关于模m 同余，记作a ≡b (mod m )(“|”为整除符号)．(1)解同余方程x 2-x ≡0(mod3)；(2)设(1)中方程的所有正根构成数列a n ，其中a 1<a 2<a 3<⋯<a n ．①若b n =a n +1-a n (n ∈N *)，数列b n 的前n 项和为S n ，求S 2024；②若c n =tan a 2n +1⋅tan a 2n -1(n ∈N *)，求数列c n 的前n 项和T n ．解：(1)由题意x x -1 ≡0(mod3)，所以x =3k 或x -1=3k (k ∈Z )，即x =3k 或x =3k +1(k ∈Z )．(2)由(1)可得a n 为3,4,6,7,9,10,⋯ ，所以a n =3×n +12n 为奇数3×n 2+1n 为偶数．①因为b n =a n +1-a n (n ∈N *)，所以b n =1n 为奇数2n 为偶数．S 2024=b 1+b 2+b 3+⋯+b 2024=3×1012=3036．②c n =tan a 2n +1⋅tan a 2n -1=tan3n ⋅tan3n +1 (n ∈N *)．因为tan3n ⋅tan3n +1 =tan3n +1 -tan3ntan3-1，所以T n =c 1+c 2+⋯c n =tan6-tan3tan3-1 +tan9-tan6tan3-1 +⋯+tan3n +1 -tan3n tan3-1=tan3n +1 -tan3tan3-n =tan3n +1 tan3-n -1．4(北京西城)给定正整数N ≥3，已知项数为m 且无重复项的数对序列A ：x 1,y 1 ,x 2,y 2 ,⋅⋅⋅,x m ,y m 满足如下三个性质：①x i ,y i ∈1,2,⋅⋅⋅,N ，且x i ≠y i i =1,2,⋅⋅⋅,m ；②x i +1=y i i =1,2,⋅⋅⋅,m -1 ；③p ,q 与q ,p 不同时在数对序列A 中.(1)当N =3，m =3时，写出所有满足x 1=1的数对序列A ；(2)当N =6时，证明：m ≤13；(3)当N 为奇数时，记m 的最大值为T N ，求T N .【答案】(1)A :1,2 ,2,3 ,3,1 或A :1,3 ,3,2 ,2,1(2)证明详见解析(3)T N =12N N -1【解析】【分析】(1)利用列举法求得正确答案.(2)利用组合数公式求得m 的一个大致范围，然后根据序列A 满足的性质证得m ≤13.(3)先证明T N +2 =T N +2N +1，然后利用累加法求得T N .【小问1详解】依题意，当N =3，m =3时有：A :1,2 ,2,3 ,3,1 或A :1,3 ,3,2 ,2,1 .【小问2详解】当N =6时，因为p ,q 与q ,p 不同时在数对序列A 中，所以m ≤C 26=15，所以1,2,3,4,5,6每个数至多出现5次，又因为x i +1=y i i =1,2,⋯,m -1 ，所以只有x 1,y m 对应的数可以出现5次，所以m ≤12×4×4+2×5 =13.【小问3详解】当N 为奇数时，先证明T N +2 =T N +2N +1.因为p ,q 与q ,p 不同时在数对序列A 中，所以T N ≤C 2N =12N N -1 ，当N =3时，构造A :1,2 ,2,3 ,3,1 恰有C 23项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1.对奇数N ，如果和可以构造一个恰有C 2N 项的序列A ，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1，那么多奇数N +2而言，可按如下方式构造满足条件的序列A ：首先，对于如下2N +1个数对集合：1,N +1 ,N +1,1 ,1,N +2 ,N +2,1 ，2,N +1 ,N +1,2 ,2,N +2 ,N +2,2 ，⋯⋯N ,N +1 ,N +1,N ,N ,N +2 ,N +2,N ，N +1,N +2 ,N +2,N +1 ，每个集合中都至多有一个数对出现在序列A 中，所以T N +2 ≤T N +2N +1，其次，对每个不大于N 的偶数i ∈2,4,6,⋯,N -1 ，将如下4个数对并为一组：N +1,i ,i ,N +2 ,N +2,i +1 ,i +1,N +1 ，共得到N -12组，将这N -12组对数以及1,N +1 ,N +1,N +2 ,N +2,1 ，按如下方式补充到A 的后面，即A ,1,N +1 ,N +1,2 ,2,N +2 ,N +2,3 ,3,n +1 ,⋯,(N +1,N -1),(N -1,N +2),(N +2,N ),(N ,N +1),(N +1,N +2),(N +2,1).此时恰有T N +2N +1项，所以T N +2 =T N +2N +1.综上，当N 为奇数时，T N =T N -T N -2 +T N -2 -T N -4 +⋯+T 5 -T 3 +T 3 =2N -2 +1 +2N -4 +1 +⋯+2×3+1 +3=2N -2 +1 +2N -4 +1 +⋯+2×3+1 +2×1+1 =2N -3 +2N -7 +⋯+7+3=2N -3+32×N -2+12=12N N -1 .【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”--明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.5(如皋市)对于给定的正整数n ，记集合R n ={α |α=(x 1,x 2,x 3,⋅⋅⋅,x n ),x j ∈R ,j =1,2,3,⋅⋅⋅,n }，其中元素α称为一个n 维向量.特别地，0 =(0,0,⋅⋅⋅,0)称为零向量.设k ∈R ，α =(a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n )∈R n ，β =(b 1,b 2,⋅⋅⋅,b n )∈R n ，定义加法和数乘：kα =(ka 1,ka 2,⋅⋅⋅,ka n )，α +β=(a 1+b 1,a 2+b 2,⋅⋅⋅,a n +b n ).对一组向量α1 ，α2 ，⋯，αs (s ∈N +,s ≥2)，若存在一组不全为零的实数k 1，k 2，⋯，k s ，使得k 1α1 +k 2α2+⋅⋅⋅+k s αs =0 ，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．(1)对n =3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．①α=(1,1,1)，β =(2,2,2)；②α =(1,1,1)，β =(2,2,2)，γ=(5,1,4)；③α =(1,1,0)，β =(1,0,1)，γ=(0,1,1)，δ =(1,1,1).(2)已知α ，β ，γ 线性无关，判断α +β ，β +γ ，α +γ是线性相关还是线性无关，并说明理由．(3)已知m (m ≥2)个向量α1 ，α2 ，⋯，αm线性相关，但其中任意m -1个都线性无关，证明：①如果存在等式k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0(k i ∈R ,i =1,2,3,⋅⋅⋅,m )，则这些系数k 1，k 2，⋯，k m 或者全为零，或者全不为零；②如果两个等式k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 ，l 1α1 +l 2α2 +⋅⋅⋅+l m αm =0 (k i ∈R ,l i ∈R ,i =1,2,3,⋅⋅⋅,m )同时成立，其中l 1≠0，则k 1l 1=k 2l 2=⋅⋅⋅=km l m.(1)解：对于①，设k 1α +k 2β =0 ，则可得k 1+2k 2=0，所以α ,β线性相关；对于②，设k 1α +k 2β +k 3γ =0，则可得k 1+2k 2+5k 3=0k 1+2k 2+k 3=0k 1+2k 2+4k 3=0 ，所以k 1+2k 2=0，k 3=0，所以α ,β ,γ线性相关；对于③，设k 1α +k 2β +k 3γ+k 4δ =0 ，则可得k 1+k 2+k 4=0k 1+k 3+k 4=0k 2+k 3+k 4=0 ，解得k 1=k 2=k 3=-12k 4，所以α ,β ,γ ,δ 线性相关；(2)解：设k 1(α +β )+k 2(β +γ )+k 3(α +γ)=0 ，则(k 1+k 3)α +(k 1+k 2)β +(k 2+k 3)γ =0，因为向量α ，β ，γ线性无关，所以k 1+k 3=0k 1+k 2=0k 2+k 3=0 ，解得k 1=k 2=k 3=0，所以向量α +β ，β +γ ，α +γ线性无关，(3)①k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0，如果某个k i =0，i =1，2，⋯，m ，则k 1α1 +k 2α2 +⋯+k i -1αi -1 +k i +1αi +1 +⋅⋅⋅+k m αm =0 ，因为任意m -1个都线性无关，所以k 1，k 2，⋯k i -1，k i +1，⋅⋅⋅，k m 都等于0，所以这些系数k 1，k 2，⋅⋅⋅，k m 或者全为零，或者全不为零，②因为l 1≠0，所以l 1，l 2，⋅⋅⋅，l m 全不为零，所以由l 1α1 +l 2α2 +⋅⋅⋅+l m αm =0 可得α1 =-l 2l 1α2 -⋅⋅⋅-l m l 1αm，代入k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 可得k 1-l 2l 1α2 -⋅⋅⋅-l m l 1αm+k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 ，所以-l 2l 1k 1+k 2 α2 +⋅⋅⋅+-lm l 1k 1+k mαm =0 ，所以-l 2l 1k 1+k 2=0，⋯，-lm l 1k 1+k m =0，所以k 1l 1=k 2l 2=⋅⋅⋅=km l m.6(江苏四校)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A ，B ，C ，D 是直线l 上互异且非无穷远的四点，则称AC BC ⋅BDAD(分式中各项均为有向线段长度，例如AB =-BA )为A ，B ，C ，D四点的交比，记为(A ,B ;C ,D )．(1)证明：1-(D ,B ;C ,A )=1(B ,A ;C ,D )；(2)若l1，l2，l3，l4为平面上过定点P且互异的四条直线，L1，L2为不过点P且互异的两条直线，L1与l1，l2，l3，l4的交点分别为A1，B1，C1，D1，L2与l1，l2，l3，l4的交点分别为A2，B2，C2，D2，证明：(A1,B1;C1,D1)= (A2,B2;C2,D2)；(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若ΔEFG与ΔE F G 的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则ΔEFG与ΔE F G 对应边的交点在一条直线上．解：(1)1-(D,B;C,A)=1-DC⋅BABC⋅DA=BC⋅AD+DC⋅BABC⋅AD=BC⋅(AC+CD)+CD⋅ABBC⋅AD=BC⋅AC+BC⋅CD+CD⋅ABBC⋅AD =BC⋅AC+AC⋅CDBC⋅AD=AC⋅BDBC⋅AD=1(B,A;C,D)；(2)(A1,B1;C1,D1)=A1C1⋅B1D1B1C1⋅A1D1=SΔPA1C1⋅SΔPB1D1SΔPB1C1⋅SΔPA1D1=12⋅PA1⋅PC1⋅sin∠A1PC1⋅12⋅PB1⋅PD1⋅sin∠B1PD112⋅PB1⋅PC1⋅sin∠B1PC1⋅12⋅PA1⋅PD1⋅sin∠A1PD1=sin∠A1PC1⋅sin∠B1PD1sin∠B1PC1⋅sin∠A1PD1=sin∠A2PC2⋅sin∠B2PD2sin∠B2PC2⋅sin∠A2PD2=SΔPA2C2⋅SΔPB2D2SΔPB2C2⋅SΔPA2D2==A2C2⋅B2D2B2C2⋅A2D2=(A2,B2;C2,D2)；第(2)问图第(3)问图（3）设EF与E F 交于X，FG与F G 交于Y，EG与E G 交于Z，连接XY，FF 与XY交于L，EE 与XY交于M，GG 与XY交于N，欲证X，Y，Z三点共线，只需证Z在直线XY上．考虑线束XP，XE，XM，XE ，由第(2)问知(P,F;L,F )=(P,E;M,E )，再考虑线束YP，YF，YL，YF ，由第(2)问知(P,F;L, F )=(P,G;N,G )，从而得到(P,E;M,E )=(P,G;N,G )，于是由第(2)问的逆命题知，EG，MN，E G 交于一点，即为点Z，从而MN过点Z，故Z在直线XY上，X，Y，Z三点共线．7(高考仿真)已知无穷数列a n满足a n=max a n+1,a n+2-min a n+1,a n+2(n=1,2,3,⋯)，其中max {x,y}表示x，y中最大的数，min{x,y}表示x，y中最小的数.(1)当a1=1，a2=2时，写出a4的所有可能值；(2)若数列a n中的项存在最大值，证明：0为数列a n中的项；(3)若a n>0(n=1,2,3,⋯)，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有a n≤M？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.【答案】(1){1,3,5}(2)证明见解析(3)不存在，理由见解析【解析】【分析】(1)根据定义知a n≥0，讨论a3>2、a3<2及a3,a4大小求所有a4可能值；(2)由a n≥0，假设存在n0∈N*使a n≤a n0，进而有a n≤max{a n+1,a n+2}≤a n，可得min{a n+1,a n+2}=0，即可证结论；(3)由题设a n ≠a n +1(n =2,3,⋯)，令S ={n |a n >a n +1,n ≥1}，讨论S =∅、S ≠∅求证a n >M 即可判断存在性.【小问1详解】由a n =max a n +1,a n +2 -min a n +1,a n +2 ≥0，a 1=max {2,a 3}-min {2,a 3}=1，若a 3>2，则a 3-2=1，即a 3=3，此时a 2=max {3,a 4}-min {3,a 4}=2，当a 4>3，则a 4-3=2，即a 4=5；当a 4<3，则3-a 4=2，即a 4=1；若a 3<2，则2-a 3=1，即a 3=1，此时a 2=max {1,a 4}-min {1,a 4}=2，当a 4>1，则a 4-1=2，即a 4=3；当a 4<1，则1-a 4=2，即a 4=-1(舍)；综上，a 4的所有可能值为{1,3,5}.【小问2详解】由(1)知：a n ≥0，则min a n +1,a n +2 ≥0，数列a n 中的项存在最大值，故存在n 0∈N *使a n ≤a n 0，(n =1,2,3,⋯)，由a n 0=max {a n 0+1,a n 0+2}-min {a n 0+1,a n 0+2}≤max {a n 0+1,a n 0+2}≤a n 0，所以min {a n 0+1,a n 0+2}=0，故存在k ∈{n 0+1,n 0+2}使a k =0，所以0为数列a n 中的项；【小问3详解】不存在，理由如下：由a n >0(n =1,2,3,⋯)，则a n ≠a n +1(n =2,3,⋯)，设S ={n |a n >a n +1,n ≥1}，若S =∅，则a 1≤a 2，a i <a i +1(i =2,3,⋯)，对任意M >0，取n 1=Ma 1+2([x ]表示不超过x 的最大整数)，当n >n 1时，a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+...+(a 3-a 2)+a 2=a n -2+a n -3+...+a 1+a 2≥(n -1)a 1>M ；若S ≠∅，则S 为有限集，设m =max {n |a n >a n +1,n ≥1}，a m +i <a m +i +1(i =1,2,3,⋯)，对任意M >0，取n 2=M a m +1+m +1([x ]表示不超过x 的最大整数)，当n >n 2时，a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+...+(a m +2-a m +1)+a m +1=a n -2+a n -3+...+a m +a m +1≥(n -m )a m +1>M ；综上，不存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有a n ≤M .【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定a n ≠a n +1(n =2,3,⋯)，并构造集合S ={n |a n >a n +1,n ≥1}，讨论S =∅、S ≠∅研究存在性.8(高考仿真)若项数为k (k ∈N *，k ≥3)的有穷数列{a n }满足：0≤a 1<a 2<a 3<⋅⋅⋅<a k ，且对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤k )，a j +a i 或a j -a i 是数列{a n }中的项，则称数列{a n }具有性质P ．(1)判断数列0,1,2是否具有性质P ，并说明理由；(2)设数列{a n }具有性质P ，a i (i =1，2，⋯，k )是{a n }中的任意一项，证明：a k -a i 一定是{a n }中的项；(3)若数列{a n }具有性质P ，证明：当k ≥5时，数列{a n }是等差数列．解析：(1)数列0,1,2具有性质P .理由：根据有穷数列a n满足：0≤a1<a2<a3<⋅⋅⋅<a k，且对任意的i,j(1≤i≤j≤k)，a j+a i或a j-a i是数列a n中的项，则称数列a n具有性质P，对于数列0,1,2中，若对任意的i,j(1≤i≤j≤k)，可得a j-a i=0或1或2，可得a j-a i一定是数列a n中的项，所以数列0,1,2具有性质P.⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)证明：由a i(i=1,2,⋯,k)是数列a n中的任意一项，因为数列{a n}具有性质P，即a j+a i或a j-a i是数列a n中的项，令j=k，可得a k+a i或a k-a i是数列a n中的项，又因为0≤a1<a2<⋯<a k，可得a k+a i一定不是数列a n中的项，所以a k-a i一定是数列a n中的项. ⋯⋯⋯⋯⋯8分(3)由数列{a n}具有性质P，可得a k+a k∉a n，所以a k-a k∈a n，则0∈a n，且a1=0，又由a k+a i∉a n，所以a k-a i∈a n，又由0=a k-a k<a k-a k-1<a k-a k-2<⋯<a k-a2<a k-a1，①设2≤i≤k，因为0≤a1<a2<⋯<a k可得a k-a k=0,a k-a k-1=a2,a k-a k-2=a3,⋯,a k-a2=a k-1,a k-a1=a k，当k≥5时，可得a k-a k-i=a i+11≤i≤k-1， (∗)②设3≤i≤k-2，则a k-1+a i>a k-1+a2=a k，所以a k-1+a i∉a n，由0=a k-1-a k-1<a k-1-a k-2<⋯<a k-1-a3<a k-a3=a k-2，又由0≤a1<a2<⋯<a k-3<a k-2，可得a k-1-a k-1=a1,a k-1-a k-2=a2⋯<a k-1-a k-3=a3,a k-1-a3=a k-3，所以a k-1-a k-i=a i(1≤i≤k-3)，因为k≥5，由以上可知：a k-1-a k-1=a1且a k-1-a k-2=a2，所以a k-1-a1=a k-1且a k-1-a2=a k-2，所以a k-1-a k-i=a i(1≤i≤k-1)，(∗∗)由(∗)知，a k-a k-i=a i+11≤i≤k-1两式相减，可得a k-a k-1=a i+1-a i1≤i≤k-1，所以当k≥5时，数列a n为等差数列. ⋯⋯⋯⋯⋯17分.9(安徽)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M与两定点Q,P的距离之比MQMP=λ(λ>0,λ≠1),λ是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=4，定点分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与右顶点A，且椭圆C的离心率为e=1 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为k (k >0)的直线l 与椭圆C 相交于B ,D (点B 在x 轴上方)，点S ,T 是椭圆C 上异于B ,D 的两点，SF 平分∠BSD ,TF 平分∠BTD .①求BSDS的取值范围；②将点S ､F ､T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为81π8，求直线l 的方程.【答案】(1)x 28+y 26=1(2)①13,1 ②y =52x -102【解析】(1)方法①特殊值法，令M ±2,0 ,c -2 a -2=c +2a +2，且a =2c ，解得c 2=2.∴a 2=8,b 2=a 2-c 2=6，椭圆C 的方程为x 28+y 26=1，方法②设M x ,y ，由题意MFMA =(x -c )2+y 2(x -a )2+y 2=λ(常数)，整理得：x 2+y 2+2c -2aλ2λ2-1x +λ2a 2-c2λ2-1=0，故2c -2aλ2λ2-1=0λ2a 2-c 2λ2-1=-4，又c a =12，解得：a =22,c = 2.∴b 2=a 2-c 2=6，椭圆C 的方程为x 28+y 26=1.(2)①由S △SBF S △SDF =12SB⋅SF ⋅sin ∠BSF 12SD⋅SF ⋅sin ∠DSF =SB SD ，又S △SBF S △SDF =BF DF ，∴BS DS=BF DF(或由角平分线定理得)，令BF DF=λ，则BF =λFD，设D x 0,y 0 ，则有3x 20+4y 20=24，又直线l 的斜率k >0，则x 0∈-22,2 ,x B =2λ+1 -λx 0y B =-λy 0代入3x 2+4y 2-24=0得：321+λ -λx 0 2+4λ2y 20-24=0，即λ+1 5λ-3-2λx 0 =0，∵λ>0,∴λ=35-2x 0∈13,1 .②由(1)知，SB SD=TB TD=BF DF，由阿波罗尼斯圆定义知，S ,T ,F 在以B ,D 为定点的阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为C 1，半径为r ，与直线l 的另一个交点为N ，则有BF DF =NB ND ，即BF DF =2r -BF 2r +DF ，解得：r =11BF-1DF.又S 圆C 1=πr 2=818π，故r =922,∴1BF -1DF=229又DF =x 0-2 2+y 20=x 0-2 2+6-34x 20=22-12x 0，∴1BF -1DF =1λDF -1DF =5-2x 0322-12x 0 -122-12x 0=2-2x 0322-12x 0=229.解得：x 0=-22,y 0=-6-34x 20=-3104,∴k =-y 02-x 0=52,∴直线l 的方程为y =52x -102.10(郑州外国语)记U ={1,2,⋯,100}．对数列a n n ∈N * 和U 的子集T ，若T =∅，定义S T =0；若T =t 1,t 2,⋯,t k ，定义S T =a t 1+a t 2+⋯+a tk ．例如：T =1,3,66 时，S T =a 1+a 3+a 66．现设a n n ∈N * 是公比为3的等比数列，且当T =2,4 时，S T =30．(1)求数列a n 的通项公式；(2)对任意正整数k 1≤k ≤100 ，若T 1,2,⋯,k ，求证：S T <a k +1；(3)设C ⊆U ,D ⊆U ,SC ≥SD ，求证：S C +S C ∩D ≥2S D ．解：(1)当T =2,4 时，S T =a 2+a 4=a 2+9a 2=30，因此a 2=3，从而a 1=a 23=1,a n =3n -1；(2)S T ≤a 1+a 2+⋯a k =1+3+32+⋯+3k -1=3k -12<3k =a k +1；(3)设A =∁C C ∩D ,B =∁D C ∩D ，则A ∩B =∅,S C =S A +S C ∩D ，S D =S B +S C ∩D ，S C +S C ∩D -2S D =S A -2S B ，因此原题就等价于证明S A ≥2S B ．由条件S C ≥S D 可知S A ≥S B ．①若B =∅，则S B =0，所以S A ≥2S B ．②若B ≠∅，由S A ≥S B 可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ,B 中最大元素为m ，若m ≥l +1，则由第(2)小题，S A <a l +1≤a m ≤S B ，矛盾．因为A ∩B =∅，所以l ≠m ，所以l ≥m +1，S B ≤a 1+a 2+⋯+a m =1+3+32+⋯+3m -1=3m -12<a m +12≤a l 2≤S A 2，即S A >2S B ．综上所述，S A ≥2S B ，因此S C +S C ∩D ≥2S D ．11(福建模拟)2022年北京冬奥会标志性场馆--国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．(Ⅰ)利用祖暅原理推导半径为R 的球的体积公式时，可以构造如图所示的几何体M ，几何体M 的底面半径和高都为R ，其底面和半球体的底面同在平面α内.设与平面α平行且距离为d 的平面β截两个几何体得到两个截面，请在图中用阴影画出与图中阴影截面面积相等的图形并给出证明；(Ⅱ)现将椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球A ，B (如图)，类比(Ⅰ)中的方法，探究椭球A 的体积公式，并写出椭球A ，B 的体积之比．【答案】解： (Ⅰ)由图可知，图①几何体的为半径为R 的半球，图②几何体为底面半径和高都为R 的圆柱中挖掉了一个圆锥，与图①截面面积相等的图形是圆环(如阴影部分)证明如下：在图①中，设截面圆的圆心为O 1，易得截面圆O 1的面积为πR 2-d 2 ，在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为d ，所以，圆环的面积为πR 2-d 2 ，所以，截得的截面的面积相等(Ⅱ)类比(Ⅰ)可知，椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，构造一个底面半径为b ，高为a 的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上(如图)，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为b ，高为a ；在半椭球截面圆的面积πb 2a2a 2-d 2，在圆柱内圆环的面积为πb 2-πb 2a 2d 2=πb 2a2a 2-d 2∴距离平面α为d 的平面截取两个几何体的平面面积相等，根据祖暅原理得出椭球A 的体积为：V A =2V 圆柱-V 圆锥 =2π⋅b 2⋅a -13π⋅b 2⋅a =4π3ab 2，同理：椭球B 的体积为V B =4π3a 2b 所以，两个椭球A ，B 的体积之比为ba．【解析】本题考查新定义问题，解题的关键是读懂题意，构建圆柱，通过计算得到高相等时截面面积相等，考查学生的空间想象能力与运算求解能力，属于中档题．(Ⅰ)由题意，直接画出阴影即可，然后分别求出图①中圆的面积及图②中圆环的面积即可证明；(Ⅱ)类比(Ⅰ)可知，椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，构造一个底面半径为b ，高为a 的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为b ，高为a ，证明截面面积相等，由祖暅原理求出出椭球A 的体积，同理求出椭球B 的体积，作比得出答案．12用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f 'x 是f x 的导函数，f ''x 是f 'x 的导函数，则曲线y =f x 在点x ,f x 处的曲率K =|f (x )|1+[f (x )]232．。
高中数学【新高考新题型】专题练习
高中数学【新高考新题型】专题练习新题型一 多选题多选题常对多个对象(知识点)进行考查，也可对同一对象从不同角度进行考查，解法灵活，如直推法、验证法、反例法、数形结合法等均可使用，但必须对每个选项作出正确判断，才能得出正确答案.【例1】 (1)有一组样本数据x 1，x 2，…，x n ，由这组数据得到新样本数据y 1，y 2，…，y n ，其中y i ＝x i ＋c (i ＝1，2，…，n )，c 为非零常数，则( ) A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同(2)如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点，则满足MN ⊥OP 的是( )(3)已知O 为坐标原点，点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1，0)，则( ) A.|OP 1→|＝|OP 2→| B.|AP 1→|＝|AP 2→|C.OA →·OP 3→＝OP 1→·OP 2→D.OA →·OP 1→＝OP 2→·OP 3→答案 (1)CD (2)BC (3)AC解析 (1)∵y －＝1n (y 1＋y 2＋…＋y n ) ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )＋c ，∴y －＝x －＋c 且c ≠0，因此A 错误；显然第一组数据与第二组数据的中位数相差c ，B 错误；因为D (y )＝12·D (x )＝D (x )，故两组样本数据的方差相同，C 项正确；由极差的定义知：若第一组的极差为x max －x min ，则第二组的极差为y max －y min ＝x max －x min ，故两组样本数据的极差相同，D 项正确. (2)设正方体的棱长为2.对于A ，如图(1)所示，连接AC ，则MN ∥AC ，故∠POC (或其补角)为异面直线OP ，MN 所成的角.在直角三角形OPC 中，∠POC 为锐角，故MN ⊥OP 不成立，故A 错误；图(1)对于B ，如图(2)所示，取MT 的中点为Q ，连接PQ ，OQ ，则OQ ⊥MT ，PQ ⊥MN .由正方体SBCN-MADT 可得SM ⊥平面MADT ，而OQ ⊂平面MADT ，故SM ⊥OQ ，又SM ∩MT ＝M ，SM ，MT ⊂平面SNTM ，故OQ ⊥平面SNTM ，又MN ⊂平面SNTM ，所以OQ ⊥MN ，又OQ ∩PQ ＝Q ，OQ ，PQ ⊂平面OPQ ，所以MN ⊥平面OPQ ，又OP ⊂平面OPQ ，故MN ⊥OP ，故B 正确；图(2) 图(3)对于C ，如图(3)，连接BD ，则BD ∥MN ，由B 的判断可得OP ⊥BD ，故OP ⊥MN ，故C 正确；对于D ，如图(4)，取AD 的中点Q ，AB 的中点K ，连接AC ，PQ ，OQ ，PK ，OK ，则AC ∥MN .因为DP ＝PC ，故PQ ∥AC ，故PQ ∥MN ，所以∠QPO (或其补角)为异面直线PO ，MN 所成的角，图(4)因为正方体的棱长为2，故PQ ＝12AC ＝2，OQ ＝AO 2＋AQ 2＝1＋2＝3，PO ＝PK 2＋OK 2＝4＋1＝5，QO 2<PQ 2＋OP 2，故∠QPO 不是直角，故PO ，MN 不垂直，故D 错误.故选BC. (3)由题意可知，|OP 1→|＝cos 2α＋sin 2α＝1，|OP 2→|＝cos 2β＋（－sin β）2＝1，所以|OP 1→|＝|OP 2→|，故A 正确；取α＝π4，则P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，取β＝5π4，则P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，则|AP 1→|≠|AP 2→|，故B 错误；因为OA →·OP 3→＝cos(α＋β)，OP 1→·OP 2→＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以OA →·OP 3→＝OP 1→·OP 2→，故C 正确；因为OA →·OP 1→＝cos α，OP 2→·OP 3→＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β)＝cos(α＋2β)，取α＝π4，β＝π4，则OA →·OP 1→＝22，OP 2→·OP 3→＝cos 3π4＝－22，所以OA →·OP 1→≠OP 2→·OP 3→，故D 错误.故选AC. 新题型二 多空题与开放型填空题 1.多空题分为三类：(1)并列式(两空相连).根据题设条件，利用同一解题思路和过程，可以一次性得出两个空的答案，两空并答，题目比较简单.会便全会，这类题目在高考中一般涉及较少，常考查一些基本量的求解；(2)分列式(一空一答).两空的设问相当于一个题目背景下的两道小填空题，两问之间没什么具体联系，各自成题，是对于多个知识点或某知识点的多个角度的考查；两问之间互不干扰，不会其中一问，照样可以答出另一问；(3)递进式(逐空解答).两空之间有着一定联系，一般是第二空需要借助第一空的结果再进行作答，第一空是解题的关键，也是解答第二空的基础. 2.开放型填空题的特点是正确的答案不唯一，一般可分为： (1)探索型(一是条件探索型，二是结论探索型)； (2)信息迁移型； (3)组合型等类型.【例2】 (1)已知a ＝(2，1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0，1)，则(a ＋b )·c ＝________；a ·b ＝________.(2)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm ×12 dm 的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm ×12 dm ，20 dm ×6 dm 两种规格的图形，它们的面积之和S 1＝240 dm 2，对折2次共可以得到5 dm ×12 dm ，10 dm ×6 dm ，20 dm ×3 dm 三种规格的图形，它们的面积之和S 2＝180 dm 2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n 次，那么∑nk ＝1S k ＝________ dm 2.答案 (1)0 3 (2)5 240⎝⎛⎭⎪⎫3－n ＋32n解析 (1)计算可得(a ＋b )·c ＝(4，0)·(0，1)＝0，a ·b ＝4－1＝3.(2)依题意得，S 1＝120×2＝240(dm 2)； S 2＝60×3＝180(dm 2)；当n ＝3时，共可以得到5 dm ×6 dm ，52 dm ×12 dm ，10 dm ×3 dm ，20 dm ×32 dm 四种规格的图形，且5×6＝30，52×12＝30，10×3＝30，20×32＝30， 所以S 3＝30×4＝120(dm 2)；当n ＝4时，共可以得到5 dm ×3 dm ，52 dm ×6 dm ，54 dm ×12 dm ，10 dm ×32 dm ，20 dm ×34 dm 五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且5×3＝15，52×6＝15，54×12＝15，10×32＝15，20×34＝15，所以S 4＝15×5＝75(dm 2)； ……所以可归纳S k ＝2402k ·(k ＋1)＝240（k ＋1）2k(dm 2). 所以∑nk ＝1S k ＝240⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋322＋423＋…＋n 2n －1＋n ＋12n ，① 所以12×∑nk ＝1S k＝240×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222＋323＋424＋…＋n 2n ＋n ＋12n ＋1，② 由①－②得，12·∑nk ＝1S k＝240⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋122＋123＋124＋…＋12n －n ＋12n ＋1 ＝240⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122－12n ×121－12－n ＋12n ＋1＝240⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32－n ＋32n ＋1，所以∑nk ＝1S k ＝240⎝⎛⎭⎪⎫3－n ＋32n dm 2.【例3】 (1)若P (cos θ，sin θ)与Q ⎝ ⎛cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ值________.(2)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f (x )：________. ①f (x 1x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0；③f ′(x )是奇函数. 答案 (1)5π12⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＝5π12＋k π，k ∈Z ，答案不唯一(2)f (x )＝x 4(答案不唯一，f (x )＝x 2n (n ∈N *)均满足)解析 (1)由题意知，点P ，Q 都在单位圆上，且θ＋θ＋π6＝π＋2k π，k ∈Z ，所以θ＝5π12＋k π，k ∈Z . (2)取f (x )＝x 4，则f (x 1x 2)＝(x 1x 2)4＝x 41x 42＝f (x 1)f (x 2)，满足①；f ′(x )＝4x 3，x >0时有f ′(x )>0，满足②； f ′(x )＝4x 3的定义域为R ，又f ′(－x )＝－4x 3＝－f ′(x )，故f ′(x )是奇函数，满足③. 新题型三 结构不良型解答题(1)结构不良型解答题多出现在三角函数和解三角形、数列两部分内容，但有时也出现在其他章节，有三选一和三选二两种类型.(2)解答此类题型，要注意仔细审视条件，切忌浅尝辄止，反复变更条件解答. 【例4】在①ac ＝3，②c sin A ＝3，③c ＝3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝ 3sin B ，C ＝π6，________？(注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.)解 方案一：选条件①.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c . 由①ac ＝3，解得a ＝3，b ＝c ＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c ＝1. 方案二：选条件②.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c ，B ＝C ＝π6，A ＝2π3. 由②c sin A ＝3，解得c ＝b ＝23，a ＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c ＝2 3. 方案三：选条件③.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c . 由③c ＝3b ，与b ＝c 矛盾.因此，选条件③时问题中的三角形不存在. 【例5】已知在△ABC 中，c ＝2b cos B ，C ＝2π3. (1)求B 的大小；(2)在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求BC 边上的中线的长度.①c＝2b；②周长为4＋23；③面积为S△ABC ＝334.(注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.)解(1)由正弦定理bsin B＝csin C，得sin C＝c sin Bb，又c＝2b cos B，所以sin C＝2sin B cos B＝sin 2B，又A，B，C为△ABC的内角，C＝2π3，故C＝2B(舍)或C＋2B＝π，即B＝π6.(2)由(1)知，c＝3b，故不能选①.选②，由(1)知A＝π－2π3－π6＝π6，设BC＝AC＝2x，则AB＝23x，故周长为(4＋23)x＝4＋23，解得x＝1.从而BC＝AC＝2，AB＝2 3.设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理，得cos B＝AB2＋BD2－AD22·AB·BD＝12＋1－AD243＝32，解得AD＝7.故BC边上的中线长为7. 选③，设BC＝AC＝2x，则AB＝23x，故S△ABC ＝12·2x·2x·sin2π3＝3x2＝334，解得x＝32，从而BC＝AC＝3，AB＝3.设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理，得cos B＝AB2＋BD2－AD22·AB·BD＝9＋⎝⎛⎭⎪⎫322－AD233＝32，解得AD＝212.故BC边上的中线长为212.。