三角恒等变换学案

三角恒等变换导学案

一、两角和与差的余弦公式

1. cos(α+β)= 以-β代β得：

2.cos(α+β)≠cos α+cos β 反例：

cos =cos( + )≠cos + cos 3. 不查表，求下列各式的值. (1)cos105°

（2）cos15°

(3)cos

(4)cos80°cos20°+sin80°sin20°

(5)cos 2

15°-sin 2

15°

(6)cos80°cos35°+cos10°cos55°

4. 已知sin α= ，α∈ ，cos β= - ,β是第三象限角，求cos （α-β）的值.

5．求cos75°的值

6.计算：cos65°cos115°-cos25°sin115°

7.计算：-cos70°cos20°+sin110°sin20°

8.已知锐角α，β满足cos α= ,cos(α-β)= - ,求cos β.

二、两角和与差的正弦公式

1、两角和的正弦公式：

sin(α+β)= sin(α-β)=sin αcos β-sin αcos β 2、典型例题选讲：

10

3sin 5

sin 10

3cos 5

ππ

ππ

-5

4

⎝⎛⎪⎭

⎫ππ,2

13

55313

52π

3π6π3π6

π

求值sin(χ+60°)+2sin(χ-60°)-3cos(120°-χ)

3、已知sin(2α+β)=3sin β,tan α=1,求tan(α-β)的值.

4、 已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= 求 的值.

5、变式： 已知sin(α-β)= ,sin(α+β)= ,求tan α:tan β)的值.

6、在△ABC 中，已知cosA = ,cosB= ,则cosC 的值为

7.已知sin α+sin β= cos α+cos β= , 求cos(α-β)

8.化简2cos χ-6sin χ 解：

我们得到一组有用的公式：

（1）sin α±cos α=2sin =2cos .

（3）sin α3±cos α=2sin =2cos

（4）αsin α+bcos α=2

2

b a +sin （α+ϕ）=2

2

b a +cos(α-θ) 9、化简3cos χχsin -

3252β

αtan tan 312

1315

4535

4 ⎝

⎛⎪

⎭

⎫

±4πα ⎝

⎛⎪⎭

⎫

4πα ⎝

⎛⎪⎭⎫

±3πα ⎝⎛⎪⎭⎫3πα

三、两角和与差的正切公式

（一）预习指导：

1.两角和与差的正、余弦公式

cos(α+β)= cos(α-β)= sin(α+β)= sin(α-β)= 2.新知

tan(α+β)的公式的推导：

(α+β)≠0

tan(α+β) 注意：

1°必须在定义域范围内使用上述公式tan α，tan β,tan(α+β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能用诱导公式。

2°注意公式的结构，尤其是符号。 （二）典型例题选讲：

例1：已知tan α= ,tan β=-2 求①tan(α+β),②tan(α-β), ③α+β的值，其中0°＜α＜90°，90°＜β＜180°

例2：求下列各式的值： （1）

（2）tan17°+tan28°+tan17°tan28°

（3）tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°

【课堂练习】

1.若tan A tan B =tan A +tan B +1，则cos(A +B )的值为 .

3

1

︒

-︒+75tan 175tan 1

2.在△ABC 中，若0＜tanA ·tanB ＜1则△ABC 一定是 .

3. = .

四．二倍角的三角函数（1）

（一）预习指导：

1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切方式： sin(α+β)= (S βα+) cos(α+β)= (C βα+)

tan(α+β)= (T βα+) (α,β, α+β≠k π+ ,Z ∈κ) (二)基本概念 2.二倍角公式的推导

在公式（S βα+），（C βα+），（T βα+）中，当α=β时，得到相应的一组公式： sin2α= (S α2) cos2α= (C α2) tan2α= (T α2)

注意：1°在（T α2）中2α≠ +κπ,α≠ +κπ(Z ∈κ)

2°在因为sin 2

α+cos 2

α=1，所以公式（C α2）可以变形为

cos2α= 或cos2α= (C ′α2) 公式（S α2），（C α2），（C ′α2），（T α2）统称为二倍角的三角函数公式，简称二倍角公式。 （二）典型例题选讲： 例1不查表，求下列各式的值

(1)( ) (2) (3) (4)1+2θθ2cos cos 2-

例2求tan θ=3，求sin2θ-cos2θ的值

例3已知sin (0＜θ＜ ),求cos2θ,cos( +θ)的值。

︒

︒︒

+︒+︒40tan 20tan 120tan 40tan 20tan 2

π

2π

2

π125cos 125sin ππ+)125cos 125(sin ππ-2sin 2cos 4

4αα-α

αtan 11tan 11+-

-135

)4

(=-θπ

4π4

π