三角恒等变换学案
三角恒等变换教案
三角恒等变换教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解三角恒等变换的概念和意义；（2）掌握三角恒等变换的基本公式；（3）能够运用三角恒等变换解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳三角恒等变换的规律；（2）培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣和探究欲望；（2）培养学生的团队合作意识和克服困难的勇气。
二、教学内容1. 三角恒等变换的概念和意义；2. 三角恒等变换的基本公式；3. 三角恒等变换的运用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）三角恒等变换的概念和意义；（2）三角恒等变换的基本公式；（3）三角恒等变换的运用。
2. 教学难点：（1）三角恒等变换公式的灵活运用；（2）解决实际问题时的变形和计算。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角恒等变换的规律；2. 通过示例讲解，让学生掌握三角恒等变换的基本公式；3. 利用练习题和小组讨论，提高学生的实际应用能力和团队合作意识。
五、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关三角函数知识；（2）提问：什么是三角恒等变换？为什么学习三角恒等变换？2. 知识讲解：（1）讲解三角恒等变换的概念和意义；（2）介绍三角恒等变换的基本公式；（3）示例讲解：如何运用三角恒等变换解决实际问题。
3. 课堂练习：（1）布置练习题，让学生独立完成；（2）选取部分学生的作业进行讲解和评价。
4. 小组讨论：（1）让学生分组讨论，分享解题心得和经验；5. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容；（2）强调三角恒等变换在数学和实际生活中的重要性。
6. 课后作业：（1）布置巩固练习题；（2）鼓励学生自主学习，深入探究三角恒等变换的运用。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答的正确性以及与同学的合作情况。
2. 练习作业评价：检查学生作业的完成质量，包括答案的正确性、解题方法的合理性以及书写的规范性。
学案3：5.5.2 简单的三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换【课程标准】能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).【新知初探】知识点一 半角公式状元随笔 巧记“半角公式” 无理半角常戴帽，象限确定帽前号； 数1余弦加减连，角小值大用加号．“角小值大用加号”即y ＝1＋cos α(α是锐角)是减函数，角小值大，因此用“＋”号， 而y ＝1－cos α为增函数，角大值大，因此用“ －”号． 知识点二 辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba .状元随笔 1.辅助角公式形式上是a sin α＋b cos α(ab ≠0)的三角函数式，通过三角恒等变换可写成a 2＋b 2sin(a ＋φ)的形式，其中tan φ＝b a ，此公式称为辅助角公式．其中φ可通过tan φ＝ba 以及点(a ，b )所在的象限来确定．2．辅助角公式的特殊情况sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4；sin α±3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π3；cos α±3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6±α[教材解难]1．有了半角公式，只需知道cos α的值及相关的角的范围便可求α2的正弦、余弦、正切的值．2．对于S α2和C α2，α∈R ，但是使用T α2时，要保证α≠(2k ＋1)π(k ∈Z )．3．半角公式根号前符号的确定规律如下：(1)当给出的角是某一象限的角时，可根据下表确定半角的函数值的符号.(2)当给出角α的范围(即某一区间)时，可先求α2的范围，再根据α2的范围来确定各三角函数值的符号．(3)若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正、负两个符号．【基础自测】1．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63D ．±332．下列各式中，值为12的是( )A ．sin 15°cos 15°B ．cos 2π6－sin 2π6C.tan 30°1－tan 230°D.1＋cos 60°23．化简2cos x ＋6sin x 等于( ) A ．22cos ⎝⎛⎭⎫π6－x B ．22cos ⎝⎛⎭⎫π3－x C ．22cos ⎝⎛⎭⎫π6＋xD ．22cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x4．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________.【课堂探究】题型一 半角公式的应用[经典例题]例1 已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sin α2，cos α2，tan α2的值．状元随笔 利用半角公式求值． 方法归纳解决给值求值问题的思路方法已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： (1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值跟踪训练1 (1)求值：sin π8＝________；cos π8＝________.解题要点 由sin π8>0，所以sin π8＝1 －cosπ42. 由cos π8>0，则cos π8＝1 ＋cosπ42. (2)2＋2cos 8＋21－cos 8的化简结果是________． 解题要点 半角是相对的，4是8的半角，利用公式化简 . 题型二 三角恒等式的证明例2 若π<α<3π2，证明：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α＝－2cos α2；状元随笔等式左边复杂，应从左边入手，利用公式化简，同时注意α的范围．方法归纳三角恒等式证明的思路通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一；或消除等式两端的差异，达到形式上的统一．跟踪训练2求证：cos2α1tan α2－tanα2＝14sin 2α.解题要点左边复杂，从左边入手化简，先切化弦再利用倍角、半角公式化简．题型三三角恒等变换与三角函数的综合例3求下列函数的周期，最大值和最小值：(1)y＝sin x＋3cos x；(2)y＝3sin x＋4cos x.状元随笔便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是y＝A sin(x＋φ)，利用和角公式将其展开，可化为y＝a sin x＋b cos x的形式. 反之，利用和(差)角公式，可将y＝a sin x＋b cos x 转化为y＝A sin(x＋φ)的形式；进而就可以求得其周期和最值了.方法归纳函数的解析式的次数可以降低，项数可以减少时，要先化简解析式成y＝A sin(ωx＋φ)＋B的形式再研究其图象及性质．跟踪训练3 已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x ＋3cos 2x ，x ∈R ， (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的值域．解题要点 利用二倍角公式，降幂公式化简函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，再利用性质求解．思想方法 构建三角函数模型，解决实际问题例 如图，ABCD 是一块边长为100 m 的正方形地皮，其中AST 是半径为90 m 的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在ST 上，相邻两边CQ ，CR 正好落在正方形的边BC ，CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值．【分析】 解答本题可设∠P AB ＝θ并用θ表示PR ，PQ .根据S 矩形PQCR ＝PQ ·PR 列出关于θ的函数式，求最大值、最小值．【点评】 此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，以有利于表示所需线段，其次要确定角的范围．【学业达标】一、选择题1．已知cos α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A ．－1010 B.1010C.310 3 D ．－352．若sin 2α＝14，且α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则cos α－sin α的值为( ) A.32B.34 C ．－32D ．－343．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <bD ．b <c <a4．若α∈⎣⎡⎦⎤7π4，2π，则 1＋cos 2α2－1－cos 2α2等于( ) A ．cos α－sin α B ．cos α＋sin α C ．－cos α＋sin α D ．－cos α－sin α二、填空题5．若cos 22°＝a ，则sin 11°＝________，cos 11°＝________. 6．已知cos α＝－35，且180°<α<270°，则tan α2＝________.7．若α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝32，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝－12，则cos(α＋β)的值等于________． 三、解答题8．化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.9．求证：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.10．已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值．【参考答案】【新知初探】知识点一 半角公式 1－2sin 2α2cos 2α－12αα1－sin 2α22cos 2α2－1±1－cos α2±1＋cos α2【基础自测】1．解析：因为α∈(0，π)，所以α2∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 所以cos α2＝1＋cos α2＝23＝63. 答案：A2．解析：选项A 中，原式＝12sin 30°＝14；选项B 中，原式＝cos π3＝12；选项C 中，原式＝12×2tan 30°1－tan 230°＝12tan 60°＝32；选项D 中，原式＝cos 30°＝32.故选B.答案：B3．解析：2cos x ＋6sin x ＝22⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x＝22⎝⎛⎭⎫cos π3cos x ＋sin π3sin x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π3－x . 答案：B4．解析：∵3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 因φ∈(－π，π)，∴φ＝－π6.答案：－π6【课堂探究】题型一 半角公式的应用[经典例题] 例1【解析】 ∵π<α<3π2，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－55，tan α2＝sin α2cos α2＝－2. 跟踪训练1 (1) 解析：sin π8＝1－cosπ42＝1－222＝2－22； cos π8＝1＋cosπ42＝1＋222＝2＋22. 答案：2－222＋22(2) 解析：原式＝2(1＋2cos 24－1)＋21－(1－2sin 24) ＝2|cos 4|＋22|sin 4|＝－2cos 4－22sin 4. 答案：－2cos 4－22sin 4 题型二 三角恒等式的证明 例2 【证明】 左边＝sin 2α2＋cos 2α2＋2sin α2cos α21＋⎝⎛⎭⎫2cos 2α2－1－1－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2α2＋sin 2α2＋cos 2α2－2sin α2cos α21＋⎝⎛⎭⎫2cos 2α2－1＋ 1－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2α2＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α222⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪cos α2－⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪cos α2＋⎪⎪⎪⎪sin α2因为π<α<3π2，所以π2<α2<3π4，所以sin α2>0>cos α2.所以左边＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α222⎝⎛⎭⎫－cos α2－sin α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎫－cos α2＋sin α2＝－12⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2＋12⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2 ＝－2cos α2＝右边．所以原等式成立.跟踪训练2证明：方法一 左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝cos αsin α2cos α2＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边．所以原式成立． 方法二 左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tanα21－tan 2α2＝12cos 2αtan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边． 所以原式成立．题型三 三角恒等变换与三角函数的综合 例3【解析】 (1)y ＝sin x ＋3cos x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x＝2⎝⎛⎭⎫sin x cos π3＋cos x sin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 因此，所求周期为2π，最大值为2，最小值为－2. (2)设3sin x ＋4cos x ＝A sin(x ＋φ)，则 3sin x ＋4cos x ＝A sin x cos φ＋A cos x sin φ. 于是A cos φ＝3，A sin φ＝4，于是A 2cos 2φ＋A 2sin 2φ＝25，所以A 2＝25. 取A ＝5，则 cos φ＝35，sin φ＝45，由y ＝5sin(x ＋φ)可知，所求周期为2π，最大值为5，最小值为－5. 跟踪训练3 解析：(1)f (x )＝1－cos 2x 2＋3sin 2x ＋3(1＋cos 2x )2＝2＋3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2， 所以最小正周期T ＝2π2＝π，因为－π2＋2k π≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，f (x )为单调递增函数，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)由(1)知f (x )＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由于－π6≤x ≤π3，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，所以f (x )∈[1,4]，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的值域为[1,4]． 思想方法 构建三角函数模型，解决实际问题例【解析】 如图，连接AP ，设∠P AB ＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP 交AB 于M ，则AM ＝90cos θ，MP ＝90sin θ.所以PQ ＝MB ＝100－90cos θ，PR ＝MR －MP ＝100－90sin θ.所以S 矩形PQCR ＝PQ ·PR＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ. 令t ＝sin θ＋cos θ(1≤t ≤2)，则sin θcos θ＝t 2－12. 所以S 矩形PQCR ＝10 000－9 000t ＋8 100·t 2－12＝8 1002⎝⎛⎭⎫t －1092＋950. 故当t ＝109时，S 矩形PQCR 有最小值950 m 2；当t ＝2时， S 矩形PQCR 有最大值(14 050－9 0002)m 2.【学业达标】一、选择题1．解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以α2∈⎝⎛⎭⎫34π，π， 所以sin α2＝1－cos α2＝110＝1010. 答案：B2．解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以cos α<sin α，(cos α－sin α)2＝1－sin 2α＝34，所以cos α－sin α＝－32. 答案：C 3．解析：由已知可得a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，所以a <c <b . 答案：C4．解析：因为α∈⎣⎡⎦⎤7π4，2π，所以sin α≤0，cos α>0，则 1＋cos 2α2－1－cos 2α2＝cos 2α－sin 2α ＝|cos α|－|sin α|＝cos α－(－sin α)＝cos α＋sin α.答案：B二、填空题5．解析：cos 22°＝2cos 211°－1＝1－2sin 211°，所以cos 11°＝1＋cos 22°2＝1＋a 2. sin 11°＝1－cos 22°2＝1－a 2. 答案： 1－a 2 1＋a 26．解析：因为180°<α<270°，所以90°<α2<135°，所以tan α2<0， 所以tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－351＋⎝⎛⎭⎫－35＝－2.答案：－27．解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝32，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝－12， ∴α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，∴2α－β＝±π3，α－2β＝－π3. α＋β＝(2α－β)－(α－2β)＝0或2π3(0舍去)．∴cos(α＋β)＝－12. 答案：－12三、解答题8．解：方法一 原式＝cos 2α－sin 2α2·1－tan α1＋tan α⎝⎛⎭⎫sin π4cos α＋cos π4sin α2 ＝(cos 2α－sin 2α)(1＋tan α)(1－tan α)(cos α＋sin α)2(复角化单角，进一步切化弦)＝(cos 2α－sin 2α)(cos α＋sin α)(cos α－sin α)(cos α＋sin α)2＝1(使用平方差公式)． 方法二 原式＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α(利用π4－α与π4＋α的互余关系) ＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2－2α(逆用二倍角的正弦公式) ＝cos 2αcos 2α＝1. 9．证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，两边同除以sin α得sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α. 10．解：(1)f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6. 要使得f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32， 即sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为1. 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3. 所以m 的最小值为π3.。
三角恒等变换教案(优质课教案)
课题三角恒等变换课型复习授课人余伟1、利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值是高考考查的热点，本部分内容常与三角函数的性质、向量、解三角形的知考情分析识相结合命题2、命题形式多种多样，既有选择题、填空题也有综合性解答题1、通过同类型题目的训练，加深对三角恒等变换中各个公式的理解和记忆，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，提高学生的数学素养。
2、通过三角恒等变换中公式的运用，会进行简单的化简、求值，体会转化教学目标思想在数学中的应用，使学生进一步掌握联系的观点，提高学生分析问题、解决问题的能力。
3、通过本节课的学习，使学生体会探究的乐趣，激发学生分析、探求的学习乐趣。
教学重点和差角、倍角公式、辅助角公式的灵活运用教学难点给值求值问题中合理运用和差角公式教学过程知识梳理：1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：2.二倍角的正弦、余弦、正切公式：3.降幂公式：4.辅助角公式：典例讲评：题型 1三角函数式的化简、求值给角求值”： 一般所给出的角都是非特殊角， 从表面上来看是很难的， 但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系， 解题时， 要利用观察得到的关系， 结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．【例 1】（ 1）（ 2015 年课标全国Ⅰ） sin 20 cos10cos160 sin 10（ ）3 3 1 1 A.B.C.D.2222sin 110 sin 20 ）（ 2）计算sin 2 的值为（ cos 2 155 1553 3 1 1 A.B.C.D.22 22cos40等于（）（3）化简cos 25 1 sin 40A.1B. 3C. 2D.2（4） sin 50 1 3 tan10【规律方法】三角函 数式的化简要遵循“三看”原则(1) 一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2) 二看“函数名称”， 看函数名称之间的差异， 从而确定使用的公式， 常见的有“切化弦”；(3) 三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．题型 2 给值求值问题 ( 已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值 )“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．【例 2】（ 1）（教材课后练习）已知sin 303，60150 ，则 cos 5（ 2）已知cos sin 437的值是，则 sin665（3）已知02，且 cos21， sin2，则923cos的值为（ 4）已知、为锐角， cos 153， sin，则 cos 714（ 5）（ 10 月月考）已知cos2，为锐角，则 cos 21084题型 3给值求角问题( 已知某角的三角函数值，求另一角的值)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．【典例 3】(1)设、为钝角，且 sin 5， cos310的值为（）5，则10A.3B.5C.7D.5或7 44444（ 2）若sin 2510，，3，则， sin，且，51042的值为（）A.7B.9C.5或9D.5或7444444【规律方法】(1)角的变换：转化为同角、特殊角、已知角或它们的和、差、两倍、一半等等；如， 2．(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，，选正、余弦皆可；若角的范围是(0 ，2π) ，选余弦较好；若角的范围为, ，选正弦较好．22(3) 解这类问题的一般步骤：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．课堂小结本节课复习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式，思考：1、如何求解给值求值的问题2、如何求解给值求角的问题3、在化简中哪些技巧值得我们注意。
三角恒等变换(和差公式、倍角公式、升降幂公式、辅助角公式)(学生版) 2025年高考数学一轮复习学案
第02讲三角恒等变换（和差公式、倍角公式、升降幂公式、辅助角公式）（14类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等或偏难，分值为5-11分【备考策略】1.推导两角差余弦公式，理解两角差余弦公式的意义2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用公式解决相关的求值与化简问题【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式变形应用和半角公式变形应用，需加强复习备考1.正弦的和差公式()βαsinβααβ=sin++sincoscos ()ββαsinααβ-=sincoscossin-2.余弦的和差公式()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-3.正切的和差公式()βαβαβαtan tan 1tan tan tan -+=+()βαβαβαtan tan 1tan tan tan +-=-4.正弦的倍角公式⇒=αααcos sin 22sin ααα2sin 21cos sin =5.余弦的倍角公式()()αααααααsin cos sin cos sin cos 2cos 22-+=-=升幂公式：αα2sin 212cos -=，1cos 22cos 2-=αα降幂公式：22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=6.正切的倍角公式ααα2tan 1tan 22tan -=7.半角公式(1)sin α2＝(2)cos α2＝(3)tan α2＝±＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.以上称之为半角公式，符号由α2所在象限决定．8.万能公式22222tan1tan 2tan222sin cos tan 1tan1tan 1tan 222x x x x x x xxx -===++-9.和差化积与积化和差公式sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=2sin cos sin()sin()A B A B A B =++-2cos cos cos()cos()A B A B A B =++-2sin sin cos()cos()A B A B A B =--+10.推导公式2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα11.辅助角公式x b x a y cos sin +=，)0(>a )sin(22ϕ++=⇒x b a y ，其中a b =ϕtan ，)2,2(ππϕ-∈1．（福建·高考真题）sin15cos 75cos15sin105°°+°°等于（ ）A ．0B ．12C ．1D2．（全国·高考真题）o o o o sin 20cos10cos160sin10-=A．BC ．12-D ．123．（2020·全国·高考真题）已知πsin sin =31q q æö++ç÷èø，则πsin =6q æö+ç÷èø（ ）A ．12BC ．23D4．（2024·全国·高考真题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ+，则sin()αβ+=.1．（2024高三·全国·专题练习）sin 435=o ．2．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(P -，则πsin 6αæö-=ç÷èø（ ）A ．12-B ．12C D ．13．（2024高三·全国·专题练习）化简：ππsin cos cos sin 33æöæö+-+=ç÷ç÷èøèøαααα．4．（2024·河南·三模）若1sin()6αβ-=，且tan 2tan αβ=，则sin()αβ+=（ ）A B C ．23D ．125．（2024·云南·模拟预测）若πsin sin 3q q æö++=ç÷èøπsin 6q æö+=ç÷èø（ ）A ．12B C ．13D1．（高考真题）()sin163sin223sin253sin313 °°+°°=A ．12B ．12-C D ．2．（2024·全国·高考真题）已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（ ）A ．3m-B ．3m-C ．3m D ．3m3．（2023·全国·高考真题）已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（ ）．A ．79B ．19C ．19-D ．79-1．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点ππcos ,sin 33P æöç÷èø，则πcos 6αæö-=ç÷èø（ ）A ．0B ．12C D 2．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知35=cos α，π0,2αæö∈ç÷èø，12sin 13β=，π,π2βæö∈ç÷èø，则()cos αβ-=（ ）A ．3365B ．5665C ．6365D ．1665-3．（2024·四川宜宾·模拟预测）若πcos cos 13ααæö-+=-ç÷èø，则πcos 6αæö-=ç÷èø（ ）A ．BCD ．4．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知()1cos 3αβ+=，1tan tan 4αβ=，则()cos 22αβ-=（ ）A ．3181B ．59C ．3181-D ．59-5．（2024·全国·模拟预测）已知π,02q æö∈-ç÷èø，32tan 25sin2q q =，则πcos 4q æö-=ç÷èø（ ）A B C ．D ．1．（2019·全国·高考真题）tan255°=A ．－2B ．－C ．2D ．2．（重庆·高考真题）若11tan ,tan()32ααβ=+=,则tan =βA ．17B ．16C ．57D ．563．（2024·全国·高考真题）已知cos cos sin ααα=-πtan 4αæö+=ç÷èø（ ）A ．1+B ．1C D ．14．（2020·全国·高考真题）已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．25．（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβæö+++=+ç÷èø，则（ ）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-1．（2024·山西吕梁·二模）已知角α的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，终边经过点()，则tan π6αæö-=ç÷èø（ ）A ．B ．CD 2．（2024·重庆·三模）已知ππcos 3cos 44ααæöæö-=+ç÷ç÷èøèø，则tan α=（ ）A ．2B ．12C ．3D ．133．（2024·江苏·模拟预测）若3sin 4cos 5αα+=，则πtan 4αæö+=ç÷èø（ ）A ．7-B ．7C ．17D ．17-4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知()()()1sin 2cos ,tan 2αβαβαβ-=+-=，则tan tan αβ-=（ ）A ．35B ．53C ．45D ．655．（2024·贵州黔东南·二模）已知0παβ<<<，且()()sin 2cos αβαβ+=+，sin sin 3cos cos 0αβαβ-=，则()tan αβ-=（ ）A ．1-B ．C ．12-D ．121．（2024·四川·模拟预测）已知π,π2αæö∈ç÷èø，π1sin 65αæö+=ç÷èø，则sin α=（ ）A B C D2．（浙江·高考真题）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos （+α）=，cos （﹣）=，则cos （α+）=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣3．（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）已知()1cos 3αβ-=，1sin sin 12αβ=-，则22cos sin αβ-=（ ）A ．12B ．13C ．16D ．184．（22-23高一下·江西景德镇·期中）已知()0,πα∈，ππ,22βæö∈-ç÷èø满足π1sin 33αæö+=ç÷èø，πcos 6βæö-ç÷èø则()sin 2αβ+=（ ）A B C D ．1．（2024·河北石家庄·三模）已知角,αβ满足()1tan ,2sin cos sin 3αβαβα==+，则tan β=（ ）A ．13B ．16C ．17D ．22．（2024·山西·三模）若()sin 2αβα=-=，且π3π,π,π,42αβéùéù∈∈êúêúëûëû，则()cos αβ+=（ ）A B C D3．（2024·重庆·模拟预测）已知,αβ都是锐角，1cos sin()7ααβ=+cos 2β的值为（ ）A ．12-B ．12C ．D1．（23-24高三上·贵州铜仁·阶段练习）已知sin αβ=α和β均为钝角，则αβ+的值为（ ）A ．π4B ．5π4C ．5π4或7π4D ．7π42．（2024高三·全国·专题练习）已知()1tan 2αβ-=,1tan 7β=-,且α,(0,)βπ∈,则2αβ-=（ ）A ．34π-B ．4πC ．34πD ．4π-3．（22-23高三·全国·期末）已知()()π0,cos 2cos 212cos cos 2αβαβαβαβ<<<++=-++，则（ ）A ．π6αβ+=B ．π3αβ+=C ．π6βα-=D ．π3βα-=1．（2023高三·全国·专题练习）已知cos α=sin β=，且0,2παæö∈ç÷èø，0,2πβæö∈ç÷èø，则αβ+的值是（ ）A ．34πB ．4πC ．74πD ．54π2．（22-23高三上·山东青岛·期中）已知ππ4α££，3ππ2β££，4sin 25α=，()cos αβ+=则βα-=（ ）A ．3π4B ．π4C ．5π4D ．π23．（2024·吉林长春·模拟预测）已知cos 2α=()sin αβ+=π0,2αéù∈êúëû，π,02βéù∈-êúëû，则αβ-=（ ）A ．π4B ．3π4C ．5π4D ．π4或3π41．sin15cos15=o o （ ）A ．14B ．14-C D ．2．（2024·河南·二模）已知1sin cos 3x x +=，则πcos 22x æö-=ç÷èø（ ）A ．35-B ．35C ．89D ．89-3．（2024·四川自贡·三模）已知角α满足1cos 23sin 2αα-=，则sin 2α=（ ）A．BC ．35-D ．351．（2024·山东济南·三模）若sin cos αα-=，则tan α=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．（2024·山东·模拟预测）已知4sin25α=-，则tan2πtan 4αα=æö+ç÷èø（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．4-1．（山东·高考真题）已知3cos 4x =，则cos 2x =（ ）A ．14-B ．14C ．18-D ．182．（2022·北京·高考真题）已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ）A ．()f x 在,26ππæö--ç÷èø上单调递减B ．()f x 在,412ππæö-ç÷èø上单调递增C ．()f x 在0,3πæöç÷èø上单调递减D ．()f x 在7,412ππæöç÷èø上单调递增3．（2021·全国·高考真题）22π5πcoscos 1212-=（ ）A ．12BCD4．（全国·高考真题）函数44()cos sin f x x x =-的最小正周期是A ．2πB ．πC ．2πD ．4π1．（2020·全国·高考真题）若2sin 3x =-，则cos 2x =．2．（2024·北京顺义·三模）已知函数()22cossin 22x xf x =-，则（ ）A ．()f x 为偶函数且周期为4πB ．()f x 为奇函数且在ππ,412æö-ç÷èø上有最小值C ．()f x 为偶函数且在π0,3æöç÷èø上单调递减D ．()f x 为奇函数且π,04æöç÷èø为一个对称中心3．（2022·浙江·高考真题）若3sin sin 2παβαβ-=+=，则sin α=，cos 2β=．1．（浙江宁波·期末）12πsin 2=A B C ．34D ．142．（2024·浙江·模拟预测）若8tan 3cos αα=，则cos 2=α ．3．（2024·浙江·三模）已知ππ1cos cos 23264q q æöæö+-=ç÷ç÷èøèø，则πcos 23q æö+=ç÷èø（ ）A ．12-B ．12C ．D4．（2024·全国·模拟预测）已知,αβ为锐角，满足()1sin sin 9αβαβ+=+=-，则sin 2αβ+= ，()cos αβ-=．1．（2024·浙江绍兴·二模）若5π1sin 123αæö+=ç÷èø，则πcos 26αæö-=ç÷èø（ ）A B ．C ．79D ．79-2．（2024·安徽合肥·三模）已知2sin 1αα=+，则πsin 26αæö-=ç÷èø（ ）A ．18-B ．78-C ．34D ．783．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知π1sin 35ααæö+=ç÷èø，则sin 26παæö-=ç÷èø ．4．（2024·黑龙江·三模）已知()11cos ,sin sin 23αβαβ-==，则()cos 22αβ+=.5．（2024·湖南长沙·二模）已知 ππ12cos 2cos cos312124x x x æöæö+--=ç÷ç÷èøèø ，则 πcos 23x æö+=ç÷èø1．（2024高三·全国·专题练习）若1tan(π)2α-=，则tan 2α= ．2．（2024·安徽合肥·三模）已知ππ20,,tan tan 243q q q æöæö∈+=-ç÷ç÷èøèø，则tan 2q = .3．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知π(0,)2q ∈，且sin sin 2sin cos qq q q=+，则tan q =（ ）A1B1C1D11．（2024高三·全国·专题练习）2π1tan 8πtan 8-=．2．（2024·辽宁沈阳·二模）已知()0,πa ∈，且1sin cos 5a a +=，则tan2a =（ ）A ．127B ．127-C ．247D ．247-3．（2024·全国·模拟预测）已知π0,2q æö∈ç÷èø，2π1sin 842q æö+=ç÷èøπtan 24q æö-=ç÷èø（ ）A ．113B ．1731C ．3117D ．131．（2023·全国·高考真题）已知α为锐角，cos αsin 2α=（ ）．A B C D 2．（2024·湖南邵阳·二模）已知α为锐角，若1sin 4α=，则2cos2α=（ ）A B C D 3．（2023·浙江·二模）数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords ，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点C 为半圆O 上一点，CH AB ^，垂足为H ，记COB q Ð=，则由tan BHBCH CHÐ=可以直接证明的三角函数公式是（ ）A ．sin tan 21cos qq q =-B ．sin tan 21cos qq q =+C ．1cos tan2sin qq q-=D ．1cos tan2sin qq q+=1．（2024·全国·模拟预测）已知角α是第二象限角，且终边经过点()3,4-，则tan 2α=（ ）A ．3B ．12C ．2D ．12或22．（2023·全国·模拟预测）已知α是锐角，1cos 3α=，则πcos 26αæö+=ç÷èø（ ）A ．12B ．12C -D 3．若3sin 5q =，5π3π2q <<，则tan cos 22q q+=（ ）A ．3+B ．3C ．3D ．31．（2024·全国·高考真题）函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是 ．2．（2020·北京·高考真题）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为 ．3．（全国·高考真题）设当x q =时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos q = .4．（2024高三·湖北·二模）在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1cos 3C =，8c =，则当a b +取得最大值时，sin A = .1．（2024·湖北·二模）函数()3cos 4sin f x x x =-，当()f x 取得最大值时，sin x =（ ）A ．45B ．45-C ．35D ．35-2．（2024·四川南充·二模）已知函数()3sin 4cos f x x x =+．设x q =时，()f x 取得最大值．则πcos 4q æö+=ç÷èø（ ）AB．CD．3．（2024·山东·模拟预测）若函数()()πcos sin 3f x x x ϕæö=-++ç÷èø的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为 ．4．（2024·河北保定·三模）已知锐角α，β（αβ¹）满足sin 2cos sin 2cos ααββ+=+，则sin()αβ+的值为（ ）ABC ．35D ．451．（21-22高三上·四川成都·阶段练习）已知α为锐角且tan 23tan 4απα=-æö+ç÷èø，则sin 22παæö+ç÷èø的值是 ．2．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知πsin(212α-ππtan()tan()312αα++=．1．（2022·四川眉山·模拟预测）若0,2παæö∈ç÷èø，2sin 2cos αα=，则cos 2α的值为（ ）A ．35-B ．12-C ．0D ．352．（2024高三·全国·专题练习）已知ππsin 2sin 44ααæöæö+=-ç÷ç÷èøèø，则πsin 24αæö-=ç÷èø（ ）A ．BCD ．1．（2024高三·全国·专题练习）已知43cos cos ,sin sin 55αβαβ+=-=-，则()tan αβ-的值为（ ）A ．247-B ．724-C ．724D ．2472．（2024·安徽阜阳·一模）已知()sin sin ,cos cos 0a b ab αβαβ+=+=¹，则()cos αβ-= ，()sin αβ+= .3．（2024·广东·一模）已知()2211cos cos ,sin 124αβαβ-=--=，则()cos 22αβ+=（ ）A ．79-B ．79C ．29-D ．291．（2024·山东·模拟预测）已知1sin cos cos sin 2x y x y +=，1cos 2cos 24x y -=，则()sin x y -=（ ）A ．12B ．14C ．34-D ．14-2．（2024·全国·模拟预测）已知角A ，B ，C 满足πA B C ++=，且cos cos cos 1A B C ++=，则(1cos A -)(1cos B -)(1cos C -)=（ ）A ．0B ．1CD1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数()(1cos )f x x x =+的最大值为（ ）ABC ．58D ．942．（2024·新疆·一模）已知: ()()()sin 20sin 20sin 400q q q -+++-=o o o，则tan q =（ ）A．B．CD3．（2024·全国·模拟预测）已知角,αβ满足：()sin sin 5sin αβαβ+=-，其中π2πk αβ-¹+，π2πk α¹+，()π2πk k β¹+∈Z ，则tan 2tan2αβ=（ ）A ．1B ．32C ．2D ．524．（2024·辽宁丹东·一模）已知π(0,)2α∈1=，则sin 2α=（ ）ABCD1．（2024·安徽阜阳·一模）已知()sin sin ,cos cos 0a b ab αβαβ+=+=¹，则()cos αβ-= ，()sin αβ+= .2．（2024·重庆·三模）已知函数()f x 满足()1tan sin 2f x x=.若12x x 、是方程2202420240x x +-=的两根，则12()()f x f x += .3．（2024·湖北荆州·三模）设π02αβ<<<，tan tan m αβ=，()3cos 5αβ-=，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =， tan tan αβ=.4．（2024·四川成都·三模）若ABC V 为锐角三角形，当2tan 9tan 17tan A B C ++取最小值时，记其最小值为m ，对应的tan A n =，则mn =.1．（2024·上海·高考真题）下列函数()f x 的最小正周期是2π的是（ ）A ．sin cos x x +B ．sin cos x x C ．22sin cos x x+D ．22sin cos x x-2．（2024·河北保定·二模）若154tan sin αα=，则cos2α=（ ）A ．18B ．18-C ．78D ．78-3．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知2πsin2,0,34ααæö=∈ç÷èø，则πsin 4αæö+=ç÷èø（ ）A B ．56C D 4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知ππsin sin cos sin 63ααααæöæö+=-ç÷ç÷èøèø，则πtan 24αæö+=ç÷èø（ ）A ．2B ．2-C ．2D ．2-+5．（2024·江苏扬州·模拟预测）若ππ44αβ-<<<，且1cos sin 2αβ=，tan 2tan 3αβ=，则()cos αβ-=（ ）A B ．C D ．6．（2024·陕西·模拟预测）已知ππ,24αæö∈--ç÷èø，若3tan 2tan 24πααæö=-+ç÷èø，则2sin 22cos tan ααα+=（ ）A ．185-B ．25-C ．25D ．185二、填空题7．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：()cos 72cos 36°-°= .8．（2024·上海·模拟预测）已知7cos 9α=-，3(π,π)2α∈，则cos 2α= ．9．（2024·江苏苏州·三模）函数()|sin |cos f x x x =+的值域是.10．（2024·湖南·模拟预测）已知tan 3α=，tan()5αβ+=-，则tan(2)αβ+=.1．（2024·山东·模拟预测）已知π4cos cos 35ααæö--=ç÷èø，则πsin 26αæö+=ç÷èø（ ）A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-2．（2024·河北衡水·三模）已知sin(3)sin()tan(2)tan m n αβαβαβα-=--=，，则m ，n 的关系为（ ）A ．2m n=B ．1m n m+=C ．1m n m =-D ．11m n m +=-3．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知()()()cos 10cos 50cos 50ααα-+°°-°=+，则tan α=（ ）A B ．C D ．4．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设,αβ∈R ，则“()()cos 2cos sin 2sin sin cos cos sin 4444ππππαββαββααααæöæöæöæö+++=+--+-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø”是“ππ8k α=+，()k ∈Z ”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5．（2024·福建泉州·二模）若π3,0,,tan tan ,sin()25m αβαβαβæö∈=-=ç÷èø，且α与β存在且唯一，则tan tan m αβ+=（ ）A ．2B ．4C ．12D ．146．（2024·江苏南通·模拟预测）已知π02βα<<<，()4sin 5αβ-=，tan tan 2αβ-=，则sin sin αβ=（ ）A ．12B ．15C ．25D7．（2024·山西吕梁·三模）设函数()sin 1f x x x =++.若存在实数,,a b ϕ使得()()1af x bf x ϕ+-=对任意x ∈R 恒成立，则a b -=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．1±8．（2024·重庆·模拟预测）（多选）在ABC V 中，若22sin sin 1A B +=，则下列说法正确的是（ ）A ．sin cos A B=B ．π2A B +=C ．sin sin A B ×的最大值为12D ．tan tan 1A B ×=9．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知π,(0,)2a β∈，sin(2)2sin αββ+=，2tan 3α=，则tan()αβ+= ．10．（2024·山东泰安·模拟预测）已知()()()cos 20cos 20cos 400q q q °-+°+-°-=，则tan q = .1．（2023·全国·高考真题）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（ ）A ．1BCD2．（2021·北京·高考真题）函数()cos cos 2f x x x =-是A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为983．（2021·浙江·高考真题）已知,,αβg 是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββg g α三个值中，大于12的个数的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．（2020·全国·高考真题）已知πsin sin =31q q æö++ç÷èø，则πsin =6q æö+ç÷èø（ ）A ．12BC ．23D5．（2020·全国·高考真题）已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．26．（2020·浙江·高考真题）已知tan 2q =，则cos 2q =；πtan(4q -= ．7．（2020·江苏·高考真题）已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是 .8．（2020·全国·高考真题）若2sin 3x =-，则cos 2x =．9．（2019·全国·高考真题）已知α ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15BCD10．（2019·江苏·高考真题）已知tan 2π3tan 4αα=-æö+ç÷èø，则πsin 24αæö+ç÷èø的值是 .11．（2019·北京·高考真题）函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是．12．（2019·全国·高考真题）函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为 ．13．（2018·全国·高考真题）已知51tan 45παæö-=ç÷èø，则tan α= ．14．（2018·全国·高考真题）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+ ．15．（2018·全国·高考真题）若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-16．（2018·全国·高考真题）函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π17．（2018·全国·高考真题）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4。
三角恒等变换教案
三角恒等变换教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解三角恒等变换的概念和意义；（2）掌握三角恒等变换的基本公式；（3）能够运用三角恒等变换解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察和分析，培养学生的逻辑思维能力；（2）通过练习和应用，提高学生解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学学科的兴趣和好奇心；（2）培养学生的团队合作意识和解决问题的自信心。
二、教学内容1. 三角恒等变换的概念和意义（1）引入三角函数的定义和图像；（2）解释三角恒等变换的含义和作用。
2. 三角恒等变换的基本公式（1）sin(α±β)的公式；（2）cos(α±β)的公式；（3）tan(α±β)的公式。
三、教学过程1. 导入（1）复习相关三角函数的定义和图像；（2）提出问题，引导学生思考三角恒等变换的必要性。
2. 新课讲解（1）讲解三角恒等变换的概念和意义；（2）引导学生推导三角恒等变换的基本公式。
3. 练习与应用（1）布置相关的练习题，巩固学生对三角恒等变换的理解；（2）引导学生运用三角恒等变换解决实际问题。
四、教学评价1. 课堂讲解的评价：（1）观察学生在课堂上的参与度和理解程度；（2）通过提问和回答，检查学生对三角恒等变换的理解。
2. 练习题的评价：（1）检查学生完成练习题的情况和答案的正确性；（2）分析学生在解题过程中存在的问题和错误，及时进行反馈和指导。
五、教学资源1. 教学PPT：包含三角恒等变换的概念、意义和基本公式的讲解；2. 练习题：提供相关的练习题，供学生巩固和应用所学知识；3. 教学参考书：提供详细的三角恒等变换的讲解和例题。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的三角函数例子，让学生理解恒等变换的应用。
2. 小组讨论：让学生分组讨论三角恒等变换的性质，促进学生之间的交流和合作。
3. 问题解决：设计一些实际问题，让学生运用所学的三角恒等变换知识去解决，提高学生的应用能力。
数学必修4教学案：3.2 简单的三角恒等变换(教学案)
数学必修4教学案：3.2 简单的三角恒等变换（教学案）数学必修4教学案：3.2简单的三角恒等变换（教、学案）3.2简单三角恒等式变换【教学目标】能够用所学公式简化、评估和证明三角函数公式，引导学生推导半角公式、和差公式和和差积公式（公式不需要记忆），使学生进一步提高运用变换、变换、方程等数学思想解决问题的能力。
【教学重点、难点】教学重点：引导学生学习三角变换的内容、思想和方法，了解三角变换的特点，在现有公式的基础上提高其推理和计算能力，并以半角公式、和差公式和和差积公式的推导为基础训练。
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。
【教学过程】回顾介绍：回顾角度倍增公式s2?、c2、t2?首先，让学生写下三倍角度的公式，注意等号两侧角度之间的关系，并特别注意C2？。
既然我们可以用单角度来表示双角度，我们可以用双角度来表示单角度吗？半角公式的推导和理解：例1、试以cos?表示sin2?2,cos2?2,tan22?2．分析：我们可以通过双角度cos？？2cos角度公式？第二代？，21和cos??1?2sin2?2来做此题．（二倍（一代人？）22解决方案：cos？？1.因为什么？？2cos2？2.你能得到sin2吗？2.1.余弦？；2.2.1.你能得到Cos2吗？2.1.因为？。
2.你能用两个公式除以Tan 2吗？2.2.1.因为？。
？1.余弦？cos22sin2？Sin评论：⑴ 上述结果也可以表示为：21cos21cos2cos2tan21cos1cos并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2角的象限决定。
⑵ 在三角函数公式的简化、求值和证明中，广泛使用了降幂和增幂公式以及降幂和增幂公式。
⑶ 代数变换通常侧重于公式的子结构形式的变换。
三角恒等式变换通常首先寻找公式中包含的角度之间的联系，并在此基础上选择合适的公式来联系它们，这是三角恒等式变换的一个重要特征。
三角恒等变换学案
三角恒等变换导学案一、两角和与差的余弦公式1. cos(α+β)= 以-β代β得：2.cos(α+β)≠cos α+cos β 反例：cos =cos( + )≠cos + cos 3. 不查表，求下列各式的值. (1)cos105°（2）cos15°(3)cos(4)cos80°cos20°+sin80°sin20°(5)cos 215°-sin 215°(6)cos80°cos35°+cos10°cos55°4. 已知sin α= ，α ，cos β= - ,β是第三象限角，求cos （α-β）的值.5．求cos75°的值6.计算：cos65°cos115°-cos25°sin115°7.计算：-cos70°cos20°+sin110°sin20°8.已知锐角α，β满足cos α= ,cos(α-β)= - ,求cos β.二、两角和与差的正弦公式1、两角和的正弦公式：sin(α+β)= sin(α-β)=sin αcos β-sin αcos β 2、典型例题选讲：∈6π6π3π2π3π103sin 5sin 103cos 5ππππ-13554⎝⎛⎪⎭⎫ππ,213553χχ3χ求值sin(+60°)+2sin(-60°)-cos(120°-)3、已知sin(2α+β)=3sin β,tan α=1,求tan(α-β)的值.4、 已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= 求 的值.5、变式： 已知sin(α-β)= ,sin(α+β)= ,求tan α:tan β)的值.6、在△ABC 中，已知cosA = ,cosB= ,则cosC 的值为7.已知sin α+sin β= cos α+cos β= , 求cos(α-β)8.化简cos -sin 解：我们得到一组有用的公式：（1）sin α±cos α=sin =cos .（3）sin αcos α=2sin =2cos（4）αsin α+bcos α=sin （α+）=cos(α-) 9、化简cos2χ6χ223±22b a +ϕ22b a +θ3χχsin -3252βαtan tan 312131545354 ⎝⎛⎪⎭⎫±4πα ⎝⎛⎪⎭⎫4πα ⎝⎛⎪⎭⎫3πα ⎝⎛⎪⎭⎫±3πα三、两角和与差的正切公式（一）预习指导：1.两角和与差的正、余弦公式cos(α+β)= cos(α-β)= sin(α+β)= sin(α-β)= 2.新知tan(α+β)的公式的推导：(α+β)≠0tan(α+β) 注意：1°必须在定义域范围内使用上述公式tan α，tan β,tan(α+β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能用诱导公式。
三角恒等变换导学案
学案22 简单的三角恒等变换导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．自主梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝________________；(2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________；(3)tan 2α＝________________________ (α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2)．2．公式的逆向变换及有关变形(1)sin αcos α＝____________________⇒cos α＝sin 2α2sin α；(2)降幂公式：sin 2α＝________________，cos 2α＝________________； 升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________； 变形：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝________________________. 自我检测 1．(2010·陕西)函数f (x )＝2sin x cos x 是 ( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数 2．函数f (x )＝cos 2x －2sin x 的最小值和最大值分别为 ( )A ．－3,1B ．－2,2C ．－3，32D ．－2，323．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是 ()A ．－1B ．－12 C.12D ．14．(2011·清远月考)已知A 、B 为直角三角形的两个锐角，则sin A ·sin B ()A ．有最大值12，最小值0B ．有最小值12，无最大值C ．既无最大值也无最小值D ．有最大值12，无最小值探究点一 三角函数式的化简例1 求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值和最小值．变式迁移1 (2011·泰安模拟)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫－11π12的值； (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．探究点二 三角函数式的求值例2 已知sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin 2α＋tan α－1tan α－1的值．变式迁移2 (1)已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sin (α＋π4)cos (2α＋4π)的值．(2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α<3π2，求cos(2α＋π4)的值．探究点三 三角恒等式的证明例3 (2011·苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )． (1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析表达式；(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f (x )的值域．变式迁移3 求证：sin 2x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .转化与化归思想的应用例 (12分)(2010·江西)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x ＋m sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)当m ＝0时，求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的取值范围；(2)当tan α＝2时，f (α)＝35，求m 的值．【答题模板】解 (1)当m ＝0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋cos x sin x sin 2x ＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x2＝12⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1，[3分] 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤π8，3π4，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤0，5π4，[4分] 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，[5分] 从而得f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.[6分](2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m2cos 2x＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －m 2cos 2x＝12[sin 2x －(1＋m )cos 2x ]＋12，[8分] 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45，cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.[10分]所以35＝12⎣⎡⎦⎤45＋35(1＋m )＋12，[11分] 解得m ＝－2.[12分]【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．1．求值中主要有三类求值问题：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等．(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2，α2是α4的二倍角等． (3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·平顶山月考)已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)等于 ( ) A.13 B ．－13 C.16 D ．－162．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于 ( ) A.1318 B.1322 C.322 D.163．(2011·石家庄模拟)已知cos 2α＝12(其中α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0)，则sin α的值为 ( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－324．若f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为 ( ) A ．－433B ．8C ．43D ．－435．(2010·福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC 中，若cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，则sin B 的值是 ( )A.12B.2C.3 D ．1 题号 1 2 3 4 5 答案 6．(2010·全国Ⅰ)已知α为第二象限的角，且sin α＝35，则tan 2α＝________.7．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．8．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)化简：(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°； (2)3－4cos 2α＋cos 4α3＋4cos 2α＋cos 4α.10．(12分)(2011·南京模拟)设函数f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x －12. (1)求f (x )的最小正周期；(2)当∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值和最小值．11．(14分)(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．答案 自主梳理1．(1)2sin αcos α (2)cos 2α－sin 2α 2cos 2α 2sin 2α(3)2tan α1－tan 2α2.(1)12sin 2α (2)1－cos 2α2 1＋cos 2α2 2cos2α2 2sin 2α2 (sin α±cos α)2 自我检测1．C 2.C 3.B 4.D 课堂活动区例1 解题导引 化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．解 y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x ＝7－2sin 2x ＋4cos 2x (1－cos 2x ) ＝7－2sin 2x ＋4cos 2x sin 2x＝7－2sin 2x ＋sin 22x ＝(1－sin 2x )2＋6，由于函数z ＝(u －1)2＋6在[－1,1]中的最大值为z max ＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为z min＝(1－1)2＋6＝6，故当sin 2x ＝－1时，y 取得最大值10， 当sin 2x ＝1时，y 取得最小值6. 变式迁移1 解 (1)f (x )＝(1＋cos 2x )2－2cos 2x －1sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x＝cos 22xsin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x＝2cos 22x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝2cos 22x cos 2x ＝2cos 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫－11π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫－11π6＝2cos π6＝ 3. (2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∵x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4，∴2x ＋π4∈⎣⎡⎭⎫π4，3π4， ∴当x ＝π8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min ＝1.例2 解题导引 (1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．解 由sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝sin(π4＋2α)·cos(π4＋2α)＝12sin(π2＋4α)＝12cos 4α＝14， ∴cos 4α＝12，又α∈(π4，π2)，故α＝5π12，∴2sin 2α＋tan α－1tan α－1＝－cos 2α＋sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－cos 2α＋－2cos 2αsin 2α＝－cos 5π6－2cos5π6sin 5π6＝532.变式迁移2 解 (1)∵α是第一象限角，cos α＝513，∴sin α＝1213.∴sin (α＋π4)cos (2α＋4π)＝22(sin α＋cos α)cos 2α＝22(sin α＋cos α)cos 2α－sin 2α＝22cos α－sin α＝22513－1213＝－13214.(2)cos(2α＋π4)＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝22(cos 2α－sin 2α)， ∵π2≤α<32π， ∴3π4≤α＋π4<74π. 又cos(α＋π4)＝35>0，故可知32π<α＋π4<74π，∴sin(α＋π4)＝－45，从而cos 2α＝sin(2α＋π2)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2×(－45)×35＝－2425.sin 2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－2×(35)2＝725.∴cos(2α＋π4)＝22(cos 2α－sin 2α)＝22×(－2425－725)＝－31250.例3 解题导引 本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第(3)小题则利用基本不等式求解即可．(1)证明 由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin [(α＋β)＋α] ＝3sin [(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α， ∴tan(α＋β)＝2tan α.(2)解 由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy ＝2x ，∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x1＋2x 2.(3)解∵角α是一个三角形的最小内角，∴0<α≤π3，0<x ≤3， 设g (x )＝2x ＋1x ，则g (x )＝2x ＋1x ≥22(当且仅当x ＝22时取“＝”)． 故函数f (x )的值域为(0，24]． 变式迁移3 证明 因为左边＝2sin x cos x [sin x ＋(cos x －1)][sin x －(cos x －1)]＝2sin x cos x sin 2x －(cos x －1)2＝2sin x cos x sin 2x －cos 2x ＋2cos x －1＝2sin x cos x －2cos 2x ＋2cos x ＝sin x 1－cos x＝sin x (1＋cos x )(1－cos x )(1＋cos x ) ＝sin x (1＋cos x )sin 2x ＝1＋cos x sin x＝右边． 所以原等式成立．课后练习区1．D [∵0<α<π，3sin 2α＝sin α，∴6sin αcos α＝sin α，又∵sin α≠0，∴cos α＝16， cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－16.] 2．C [因为α＋π4＋β－π4＝α＋β， 所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4. 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322.] 3．B [∵12＝cos 2α＝1－2sin 2α， ∴sin 2α＝14.又∵α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0， ∴sin α＝－12.] 4．B [f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2x 212sin x ＝2tan x ＋2cos x sin x＝2sin x cos x ＝4sin 2x∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sin π6＝8.] 5．C [由cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0化简变形，得2cos 2B －3cos B ＋1＝0，∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)． ∴sin B ＝32.] 6．－247解析 因为α为第二象限的角，又sin α＝35， 所以cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 7．1－2解析 ∵y ＝2cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x ＋1＋cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， ∴当sin(2x ＋π4)＝－1时，函数取得最小值1－ 2. 8.12解析 ∵cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α) ＝－2(sin α＋cos α)＝－22， ∴cos α＋sin α＝12. 9．解 (1)∵sin 2α＝2sin αcos α，∴cos α＝sin 2α2sin α，…………………………………………………………………………(2分) ∴原式＝sin 40°2sin 20°·sin 80°2sin 40°·12·sin 160°2sin 80°＝sin (180°－20°)16sin 20°＝116.……………………………………………………………………(6分) (2)原式＝3－4cos 2α＋2cos 22α－13＋4cos 2α＋2cos 22α－1………………………………………………………(9分) ＝(1－cos 2α)2(1＋cos 2α)2＝(2sin 2α)2(2cos 2α)2＝tan 4α.………………………………………………………(12分) 10．解 f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x －12＝32sin 2x －12cos 2x －1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1.…………………………………………………………………………(4分) (1)T ＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π.…………………………………………………(6分) (2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6. 所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值0， ……………………………………………………………………………………………(10分)当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )有最小值－32. ……………………………………………………………………………………………(12分)11．解 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.………………………………………………………………………(4分) (2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R .………………………………………………………………(10分) 因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73.…………………………………………………(14分)（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
高中数学教案《三角恒等变换》
教学计划：《三角恒等变换》一、教学目标知识与技能：学生能够理解并掌握三角恒等变换的基本公式，包括和差化积、积化和差、二倍角公式等。
学生能够熟练运用三角恒等变换公式进行化简、求值及证明。
培养学生的逻辑推理能力和代数运算能力。
过程与方法：通过观察、分析、归纳等数学活动，引导学生发现三角恒等变换的规律。
采用“公式推导—例题讲解—练习巩固”的教学模式，帮助学生逐步掌握三角恒等变换的方法。
鼓励学生自主探究，通过小组合作解决复杂问题，培养团队协作能力。
情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，感受数学的美妙与和谐。
培养学生的耐心和细心，养成严谨的科学态度。
引导学生认识到数学在解决实际问题中的重要性，增强应用数学的意识。
二、教学重点和难点重点：三角恒等变换的基本公式及其推导过程;运用公式进行化简、求值及证明。
难点：灵活运用三角恒等变换公式解决复杂问题;理解并记忆众多公式的内在联系。
三、教学过程1. 导入新课（5分钟）情境引入：通过展示一些与三角恒等变换相关的实际问题(如天文学中的角度计算、物理学中的波动分析等)，引导学生思考这些问题背后可能涉及的数学知识，从而引出三角恒等变换的主题。
复习旧知：简要回顾三角函数的基本性质、图像及诱导公式，为学习三角恒等变换做好铺垫。
明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握三角恒等变换的基本公式及其应用。
2. 公式推导（15分钟）和差化积公式推导：通过图形展示和代数运算相结合的方式，引导学生推导出和差化积公式。
强调公式的推导过程，帮助学生理解公式的来源和含义。
积化和差公式推导：类比和差化积公式的推导过程，引导学生自主推导积化和差公式。
鼓励学生提出疑问和见解，促进课堂互动。
二倍角公式推导：利用三角函数的倍角关系，引导学生推导出二倍角公式。
强调公式的记忆方法和应用技巧。
3. 例题讲解（10分钟）基础例题：选取具有代表性的基础例题进行讲解，如利用三角恒等变换公式化简表达式、求三角函数值等。
三角恒等变换学案
必修4第三章三角恒等变换 3．1．1 两角差的余弦公式【学习目标】1．能用向量法推导两角差的余弦公式，并能说出该公式的结构特征． 2．会用两角差的余弦公式进行简单的求值、化简、证明．3．通过公式的推导，体会向量这一工具的作用和价值．通过公式的运用，体会化归思想在数学中的应用．【学习重点】两角差的余弦公式的推导与运用． 【难点提示】两角差的余弦公式的证明.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材124127P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备前面我们学习了三角函数及相关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白处，同时思考下列问题：1.什么叫单位圆？你能做出任意角α的正弦线、余弦线吗？2.几组诱导公式的的口诀是 ，它有几层含义？3.同角三角函数关系式为 、 ，它们各有哪些特征？在运用是应注意一些什么问题？热身练习 1.计算下列各组式的值：(1)cos30cos(6030)__,cos60cos30__,=--=(2)cos90cos(6030)__,cos60cos30__,=++=(3)cos60cos30sin60sin30- (4)cos60cos30sin60sin30-.解后反思 大家知道306030=-，那么cos(6030)cos60cos30-=-成立吗？906030=+，那么cos90cos(6030)cos60cos30=+=+成立吗？如果不成立，观察上面的练习，大胆的猜想cos()__________αβ-=，cos()__________αβ+=. 这就是本节课要探究的问题？ 二．学习探究生活情境 请同学们认真阅读教材P124页中的生活实例，你会从该实例说明生活中需要求解任意两角的和与差的正弦、余弦、正切值.在“学习准备”的热身练习与反思，我们已经大胆猜想了任意两角差的余弦展开式为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，我们的猜想是否正不正确呢？请同学们发挥想象，作出判定与决策！如果不正确，请找出反例；若正确，请给出证明过程.证法1：证法2：快乐体验 1.教材P126页例1和P127页练习的1、2题2.化简下列各式：（1）cos150cos1050+ sin150sin1050=（2）cos80°cos35°+cos10°cos55°= ；（3）020215sin 15cos -= ；（4）sin(x ＋y)sin(x －y)＋cos(x ＋y)cos(x －y)= ．同学们通过生活情境、猜想、证明、体验，对两角差的余弦公式有哪些感悟？你能对它们进行深度思考和挖掘拓展吗？挖掘拓展 1.该公式的两种证明方法都掌握了吗？那个方法更简单？为什么？方法2中，为什么要用两个图？为什么不直接写成θ=βα-？而讨论Z k k ∈±=-,2θπβα？2.该公式我们记为)(βα-C ，请仔细观察发现它有何特征？你怎样记忆与掌握该公式？3.公式)(βα-C 及其证明太重要了，两个证明方法的名称是？（链接1）4.该公式中α、β的取值范围如何？共有几个量？如何运用该公式？5.你能通过教材P127页练习的第1题，运用类比方法证明其它的诱导公式呢？ 三．典例赏析例1.教材第127页例2，请认真审读例题，先独立解答，再阅读教材解题过程.解：解后反思 该题的题型怎样？你的求解与教材的解答与表述谁更好？求解时运用了哪些知识与思想方法？有易错点吗？如果去掉条件α∈(2π,π)，怎么解？变式练习 已知），，（，且2,0,1411)cos(,71cos πβαβαα∈-=+=求βcos 的值． 解：例2.已知,0sin sin sin =++γβα,0cos cos cos =++γβα求证21)cos(-=-γα． 证：解后反思 该题的题型怎样？求解的关键点在哪里？你还能变式出其它结论吗？ 变式练习 已知△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，若32)s i n (=+B A ，43cos -=B ，求A cos 的值．解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？ 你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：公式C （α－β）的证明、特征、运用都掌握了吗？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.本节课见到那些题型，都能求解了吗？你对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与课堂美在哪里吗？五、学习评价1下列关系式中一定成立的是（ ）A ． βαβαcos cos )cos(-=-B ． )cos(βα-＜βαcos cos -C ． ααπsin )2cos(=- D ．ααπsin )23cos(=- 2.cos(035-α)cos(250+α)+sin(035-α)sin(250+α)的值为 （ ） A ． 21-B ． 21C ． 23- D ． 233已知),2,23(,53sin ππαα∈-=则)4cos(απ-的值为（ ） A ．102B ． 102-C ．1027 D ． 1027- 4已知cos(βα-)=31,则22)cos (cos )sin (sin βαβα+++= ． 5函数56sin 2sin 5cos 2cos ππx x y -=的递增区间是 ．6. 化简 0020cos 20sin 10cos 2-= ．7. 已知91)2cos(-=-βα，32)2sin(=-βα，且2π＜α＜π，0＜β＜,2π求2cosβα+的值． （提示：=+2βα)2()2(βαβα---．） 解：8.（2008年高考广东卷）已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，（1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值. 解：【学习链接】链接1. 公式)(βα-C 的两个证明方法都是运用的构造法，它是后面要学习的所有的三角公式的“上位知识”，后面要学习的所有的三角公式是它的“下位知识”，请领悟！。
高二数学简单的三角恒等变换教案(通用11篇)
高二数学简单的三角恒等变换教案（通用11篇）高二数学简单的三角恒等变换教案 1教学目标1、理解并掌握基本的三角恒等式，如和差化积、积化和差公式。
2、能够运用三角恒等式进行简单的三角恒等变换。
3、培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
教学重点1、三角恒等式的理解和记忆。
2、三角恒等变换的方法和步骤。
教学难点三角恒等式的灵活运用和复杂三角表达式的化简。
教学准备1、多媒体课件，包含三角恒等式、例题和练习题。
2、黑板和粉笔。
教学过程一、导入新课复习上节课内容，回顾三角函数的定义和性质。
提出问题：如何利用已知的三角函数公式推导出新的三角恒等式？二、新课讲解1、讲解三角恒等式的基本概念，介绍和差化积、积化和差等公式。
2、通过实例演示如何使用三角恒等式进行三角恒等变换。
3、引导学生总结三角恒等变换的.一般方法和步骤。
三、课堂练习布置一些简单的三角恒等变换练习题，让学生尝试运用所学知识解决问题。
教师巡视指导，及时纠正学生的错误，并给予适当的提示和帮助。
四、巩固提升分析一些较复杂的三角恒等变换问题，引导学生思考如何灵活运用三角恒等式进行化简。
鼓励学生相互讨论，分享解题思路和方法。
五、课堂小结总结本节课的重点内容，强调三角恒等变换的重要性和应用价值。
布置课后作业，要求学生完成一些三角恒等变换的练习题，以巩固所学知识。
教学反思本节课通过实例演示和课堂练习，使学生初步掌握了三角恒等变换的基本方法和步骤。
但在处理较复杂问题时，部分学生仍显得不够熟练，需要进一步加强练习和指导。
在今后的教学中，可以设计更多具有针对性的练习题，帮助学生巩固和提高三角恒等变换的能力。
同时，也要注重培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
高二数学简单的三角恒等变换教案 2理解并掌握三角恒等变换的基本公式，包括正弦、余弦、正切的和差公式，二倍角公式，半角公式等。
能够运用三角恒等变换解决一些简单的三角函数化简、求值及证明问题，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
《简单的三角恒等变换》教案与导学案
《简单的三角恒等变换》教案与导学案导学案（简单的三角恒等变换）一、知识导入1.请同学们回忆一下三角函数的定义及其在单位圆中的几何意义。
2.提问：在任意角A上可以建立正弦、余弦、正切的函数关系。
那么这些函数关系是否有规律可循呢？二、概念引入1.引入三角恒等变换的概念，即正弦、余弦、正切之间存在一些特定关系，这些关系称为三角恒等变换。
三、常见的三角恒等变换公式1.正弦函数的恒等变换：(1) 正弦函数的余角关系：sin(π/2 - A) = cosA(2) 正弦函数的余弦关系：sinA = cos(π/2 - A)(3) 正弦函数的补角关系：sin(π - A) = sinA(4) 正弦函数的周期性关系：sin(A + 2πn) = sinA，其中n为整数2.余弦函数的恒等变换：(1) 余弦函数的余角关系：cos(π/2 - A) = sinA(2) 余弦函数的正弦关系：cosA = sin(π/2 - A)(3) 余弦函数的补角关系：cos(π - A) = -cosA(4) 余弦函数的周期性关系：cos(A + 2πn) = cosA，其中n为整数3.正切函数的恒等变换：(1) 正切函数的余角关系：tan(π/2 - A) = 1/tanA(2) 正切函数的倒数关系：tanA = 1/tan(π/2 - A)(3) 正切函数的补角关系：tan(π - A) = -tanA(4) 正切函数的周期性关系：tan(A + πn) = tanA，其中n为整数四、常见的三角恒等变换推导1.根据角和差公式，推导正弦、余弦函数的恒等变换公式。
2.根据正切函数的定义，推导正切函数的恒等变换公式。
五、例题解析1. 求证：sinA + cosA = 1解析：根据余弦函数的余角关系cos(π/2 - A) = sinA，原式可写为sinA + cos(π/2 - A) = 1、因此，根据三角恒等变换公式，原式成立。
2. 求证：1 + tan^2A = sec^2A解析：根据正切函数的余角关系tan(π/2 - A) = 1/tanA，原式可写为 1/tan^2A + 1 = 1/cos^2A。
简单的三角恒等变换教案
简单的三角恒等变换教案（一）一．教学目标1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。
2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。
3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．二、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．三、教学设想：（一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式（二）新课讲授：1、由二倍角公式引导学生思考：2αα与有什么样的关系？学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台． 例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例2．已知135sin =α，且α在第三象限，求2tan α的值。
§3.2 简单的三角恒等变换(导学案)(学生版)
1、知识目标：以已有的十一个公式为依据，以求三角函数的周期，最值，三角函数恒等式的证明为基本训练，学习三角变换的内容，思路和方法。
2、能力目标：体会三角变换的特点，提高推理，运算的能力。
能运用化归转化的数学思想方法对三角函数的变换过程进行设计，不断提)B ϕ+的周期，最值，单调区间： 2. 三角函数和差角公式： 3.三角函数二倍角公式： 4.辅助角公式： 二、问题设置： 问题1、求函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=+--的周期，最大值和最小值。
问题2、证明：21cos 2tan 1cos 2θθθ-=+三、知识探究：探究问题1：思考1：求解函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=+--的周期，最值与求函数y sin()A x B ϖϕ=++的周期，最值有什么区别与联系吗？答：问题都是一样的；如果能把函数22tan tan 2y cos)tan 2tan αααααα=--转化为函数y sin()A x B ϖϕ=++，那么，函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=--的周期和最值就可以求解了。
思考2：如何将函数22tan tan 2y cos )tan 2tanαααααα=+--转化为y sin()A x B ϖϕ=++的形式呢？思考3：观察函数22tan tan 2y cos )tan2tan αααααα=+--与函数y sin()A x B ϖϕ=++形式的差别，有哪些？答：函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=--中三角函数的种类多，角也是两种不同的角思考4：在问题3中所找到的差别，我们能否转化消除？如果能，怎样转化消除？答：正切化正弦，可以减少一种三角函数，tan 2α可以通过正切的二倍角公式转化为单角，这样就可以和其它三角函数的角一样了 思考5：当我们把函数22tan tan 2y cos )tan2tan αααααα=--中与y sin()A x B ϖϕ=++不同的地方全部转化消除了，是否意味着我们可以求函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=--的周期，最大值和最小值？思考6：如何书写此问题的解答过程？请在下面写出来： 解答：反思总结：探究问题2：思考7：这是三角恒等式的证明问题，在学习同角三角函数关系的时候，我们已经接触过三角函数恒等式的证明问题，请问三角恒等式的证明有哪些方法？思考8：若用“从等式的左边推证得出等式的右边”的方法证明此恒等式，你认为其核心思想是什么？与思考1问题解决的核心思想有什么样的关系？思考9：结合思考1的解题思路，给出思考2的解答反思总结：四．知识巩固：1、求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值： （1）y sin 2cos 2x x =（2）2y 2cos 12x=+（3）y sin 4x x =+2、求证：（1）2(sin 2cos2)1sin 4x x x -=- （2）12tan 2tan tan2θθθ-=-（3）1sin 2cos sin cos sin θθθθθ+=++ （4）1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ+-=++（5）tan()tan()2tan 2424xx x ππ++-=（6）21cos 22sin 2x x ++= ）。
第三章 三角恒等变换全章导学案
3. 1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式三维目标1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.2.通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.重点难点教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式.教学难点:探索过程的组织和适当引导.教学过程1、提出问题①请学生猜想cos(α-β)=?②利用向量的知识,如何推导发现cos(α-β)=?如图2,在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O,以Ox 为始边作角α、β,它们的终边与单位圆O 的交点分别为A 、B,则== ,∠AOB=.③细心观察C (α-β)公式的结构,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？填空,cos(A-B)=__________,cos(θ-φ)=__________OB④如何正用、逆用、灵活运用C (α-β)公式进行求值计算？.如①cos75°cos45°+sin75°sin45°=？②cos α =cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β.是否成立2、应用示例例1 利用差角余弦公式求cos15°的值.变式训练1. 利用差角余弦公式求sin75°,sin15°的值2. 利用差角余弦公式求:cos110°cos20°＋sin110°sin20°.的值例2 已知sin α=,α∈(,π),cos β=,β是第三象限角,求cos(α-β)的值.542π135-变式训练已知sinα=,α∈(0,π),cosβ=,β是第三象限角,求cos(α-β)的值.例3 已知cosα=,cos(α+β)=,且α、β∈(0, ),求cosβ的值.变式训练课本习题3.1 A 组4、5.题54135-711411-2π课堂练习课后练习1、2、3、4、题课堂小结1、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.2.、本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.多对题目进行一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的.作业布置课本习题3.1 A组2、3、4、5.题3. 1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式三维目标1.在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.教学过程1、提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请写出。
数学导学案：2简单的三角恒等变换(第2课时)
第2课时三角恒等变换的应用1．掌握三角恒等变换的方法．2．会利用三角恒等变换解决三角函数问题．三角恒等变换(1)a sin α＋b cos α＝______sin(α＋θ)（ab≠0），其中tan θ＝____，a和b的符号确定θ所在的象限．仅仅讨论错误!＝±1、±错误!、±错误!的情况．(2）sin2x＝错误!，cos2x＝错误!,sin x cos x＝__________.(3)讨论三角函数的性质时，通常经过三角恒等变换，将三角函数的解析式化为f（x)＝__________的形式来解决．【做一做1－1】sin x－cos x等于（）A．sin 2x B。
错误!sin错误!C。
错误!sin错误!D．sin错误!【做一做1－2】函数y＝sin 2x cos 2x的最小值等于__________．答案:(1）错误!错误!(2)错误!sin 2x(3)A sin(ωx＋φ)【做一做1－1】C 原式＝错误!错误!＝错误!sin错误!.【做一做1－2】－错误!y＝错误!sin 4x，则最小值为－错误!.三角恒等变换问题剖析:三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换．三角恒等变形是解决有关三角问题的重要环节,它以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍角公式，和差化积和积化和差公式为基础．在恒等变形中要注意三角函数式中的“角"的特点，即有没有特殊角，有没有与特殊角相关联的角,有没有互余、互补的角,角与角之间有没有和、差、倍、半的关系,什么角需要保留，什么角需要化掉等．在恒等变形中，化简三角函数式是核心，而化简的要求是:尽量减少三角函数式中角的个数（最好只含有相同的角）；尽量减少三角函数式中函数名称的种类（最好只含有同名函数)；在函数名称较多的情况下，最好只保留正弦和余弦;在选择使用三角变换公式时,应根据三角函数式中角的特点选择恰当的公式；在化简过程中，要合理使用代数手段，诸如整式、分式、根式运算以及因式分解．对化简的结果，应该尽量减少项数；尽量减少函数种类和次数；尽量化为整式；对含有特殊角的三角函数要求写出其值来．题型一讨论三角函数的性质【例1】已知函数f（x）＝sin2x＋a sin x cos x－cos2x，且f错误!＝1.（1)求常数a的值及f（x)的最小值；(2)当x∈错误!时，求f（x)的单调增区间．分析：(1）利用f错误!＝1求得a，再将函数f（x)的解析式化为f(x）＝A sin(ωx＋φ)的形式后求出最小值；（2）利用(1)求出函数f(x）在R 上的单调增区间，再与错误!取交集．反思：解答此类综合题的关键是利用三角函数的和、差、倍角、半角公式化成f（x)＝A sin（ωx＋φ)的形式，然后借助于三角函数的图象及性质去研究f(x)的相应性质，解答过程中一定要注意公式的合理应用，以免错用公式，导致化简失误．题型二在实际中的应用【例2】要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样截取，才能使长方形截面面积最大？分析:用三角函数表示长方形的面积,转化为求三角函数式的最大值．反思:本题中，将长方形面积表示为三角函数式，利用三角恒等变换转化为讨论函数y＝A sin（ωx＋φ）＋b的最值问题，从而使问题得到简化．这个过程蕴涵了化归思想．题型三易错辨析【例3】当函数y＝sin x＋错误!cos x，x∈R取最大值时，求自变量x的取值集合S。
《简单的三角恒等变换》 导学案
《简单的三角恒等变换》导学案一、学习目标1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式。
2、能运用上述公式进行简单的三角恒等变换，包括化简、求值、证明等。
二、学习重难点1、重点（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用。
（2）二倍角公式的应用。
（3）三角恒等变换的基本思路和方法。
2、难点（1）公式的灵活运用和变形使用。
（2）角的合理变换和整体代换思想的运用。
三、知识梳理1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）＼（＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta\）（2）＼（＼sin(＼alpha ＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＼cos\alpha\sin\beta\）（3）＼（＼cos(＼alpha ＋＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＼sin\alpha\sin\beta\）（4）＼（＼cos(＼alpha ＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＋＼sin\alpha\sin\beta\）（5）＼（＼tan(＼alpha ＋＼beta) ＝＼frac{＼tan\alpha ＋＼tan\beta}｛1 ＼tan\alpha\tan\beta}＼）（6）＼（＼tan(＼alpha ＼beta) ＝＼frac{＼tan\alpha ＼tan\beta}｛1 ＋＼tan\alpha\tan\beta}＼）2、二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）＼（＼sin 2\alpha ＝ 2\sin\alpha\cos\alpha\）（2）＼（＼cos 2\alpha ＝＼cos^2\alpha ＼sin^2\alpha ＝2\cos^2\alpha 1 ＝ 1 2\sin^2\alpha\）（3）＼（＼tan 2\alpha ＝＼frac{2\tan\alpha}｛1 ＼tan^2\alpha}＼）3、辅助角公式＼（a\sin\alpha ＋ b\cos\alpha ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼sin(＼alpha ＋＼varphi)＼），其中\（＼tan\varphi ＝＼frac{b}｛a}＼）四、典型例题例 1 化简：＼（＼sin 15^｛＼circ}＼cos 75^｛＼circ} ＋＼cos 15^｛＼circ}＼sin 75^｛＼circ}＼）解：＼＼begin{align}＆＼sin 15^｛＼circ}＼cos 75^｛＼circ} ＋＼cos 15^｛＼circ}＼sin 75^｛＼circ}＼＼＝＆＼sin(15^｛＼circ} ＋ 75^｛＼circ}）＼＼＝＆＼sin 90^｛＼circ}＼＼＝＆1＼end{align}＼例 2 已知\（＼sin\alpha ＝＼frac{3}｛5}＼），＼（＼alpha\）为第二象限角，＼（＼cos\beta ＝＼frac{5}｛13}＼），＼（＼beta\）为第三象限角，求\（＼cos(＼alpha ＼beta)＼）的值。
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三角恒等变换导学案一、两角和与差的余弦公式1. cos(α+β)= 以-β代β得：2.cos(α+β)≠cos α+cos β 反例：cos =cos( + )≠cos + cos 3. 不查表，求下列各式的值. (1)cos105°（2）cos15°(3)cos(4)cos80°cos20°+sin80°sin20°(5)cos 215°-sin 215°(6)cos80°cos35°+cos10°cos55°4. 已知sin α= ，α∈ ，cos β= - ,β是第三象限角，求cos （α-β）的值.5．求cos75°的值6.计算：cos65°cos115°-cos25°sin115°7.计算：-cos70°cos20°+sin110°sin20°8.已知锐角α，β满足cos α= ,cos(α-β)= - ,求cos β.二、两角和与差的正弦公式1、两角和的正弦公式：sin(α+β)= sin(α-β)=sin αcos β-sin αcos β 2、典型例题选讲：103sin 5sin 103cos 5ππππ-54⎝⎛⎪⎭⎫ππ,2135531352π3π6π3π6π求值sin(χ+60°)+2sin(χ-60°)-3cos(120°-χ)3、已知sin(2α+β)=3sin β,tan α=1,求tan(α-β)的值.4、 已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= 求 的值.5、变式： 已知sin(α-β)= ,sin(α+β)= ,求tan α:tan β)的值.6、在△ABC 中，已知cosA = ,cosB= ,则cosC 的值为7.已知sin α+sin β= cos α+cos β= , 求cos(α-β)8.化简2cos χ-6sin χ 解：我们得到一组有用的公式：（1）sin α±cos α=2sin =2cos .（3）sin α3±cos α=2sin =2cos（4）αsin α+bcos α=22b a +sin （α+ϕ）=22b a +cos(α-θ) 9、化简3cos χχsin -3252βαtan tan 312131545354 ⎝⎛⎪⎭⎫±4πα ⎝⎛⎪⎭⎫4πα ⎝⎛⎪⎭⎫±3πα ⎝⎛⎪⎭⎫3πα三、两角和与差的正切公式（一）预习指导：1.两角和与差的正、余弦公式cos(α+β)= cos(α-β)= sin(α+β)= sin(α-β)= 2.新知tan(α+β)的公式的推导：(α+β)≠0tan(α+β) 注意：1°必须在定义域范围内使用上述公式tan α，tan β,tan(α+β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能用诱导公式。
2°注意公式的结构，尤其是符号。
（二）典型例题选讲：例1：已知tan α= ,tan β=-2 求①tan(α+β),②tan(α-β), ③α+β的值，其中0°＜α＜90°，90°＜β＜180°例2：求下列各式的值： （1）（2）tan17°+tan28°+tan17°tan28°（3）tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°【课堂练习】1.若tan A tan B =tan A +tan B +1，则cos(A +B )的值为 .31︒-︒+75tan 175tan 12.在△ABC 中，若0＜tanA ·tanB ＜1则△ABC 一定是 .3. = .四．二倍角的三角函数（1）（一）预习指导：1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切方式： sin(α+β)= (S βα+) cos(α+β)= (C βα+)tan(α+β)= (T βα+) (α,β, α+β≠k π+ ,Z ∈κ) (二)基本概念 2.二倍角公式的推导在公式（S βα+），（C βα+），（T βα+）中，当α=β时，得到相应的一组公式： sin2α= (S α2) cos2α= (C α2) tan2α= (T α2)注意：1°在（T α2）中2α≠ +κπ,α≠ +κπ(Z ∈κ)2°在因为sin 2α+cos 2α=1，所以公式（C α2）可以变形为cos2α= 或cos2α= (C ′α2) 公式（S α2），（C α2），（C ′α2），（T α2）统称为二倍角的三角函数公式，简称二倍角公式。
（二）典型例题选讲： 例1不查表，求下列各式的值(1)( ) (2) (3) (4)1+2θθ2cos cos 2-例2求tan θ=3，求sin2θ-cos2θ的值例3已知sin (0＜θ＜ ),求cos2θ,cos( +θ)的值。
︒︒︒+︒+︒40tan 20tan 120tan 40tan 20tan 2π2π2π125cos 125sin ππ+)125cos 125(sin ππ-2sin 2cos 44αα-ααtan 11tan 11+--135)4(=-θπ4π4π二、sin α,cos α,sin α±cos α,sin α·cos α之间的关系例4已知sin θ+cos θ= , θ ,求cos θ,cos ·cos θ,sin2θ,cos2θ,sin θ, cos θ的值。
练习： 1.求值：（1）sin22°30’cos22°30’= （2）2 = （3） = （4） = 2.已知sin , ，求sin2α,cos2α,tan2α的值。
3.已知tan2α= ,求tan α的值。
五．二倍角的三角函数（2）【学习目标】1.熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）2.特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：，这两个形式今后常用！要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强灵活运用数学知识和逻辑推理能力【学习过程】（一）预习指导 1.有关公式：51⎝⎛⎪⎭⎫∈43,2ππ18cos 2-π8cos 8sin 22ππ-12cos24cos 48cos 48sin 8ππππ135=α⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,23122cos 1cos 2αα+=22cos 1sin 2αα-=（1） = ；（2） = ；（3） = ； （二）典型例题选讲： 1.化简：8cos 228sin 12+++2．利用三角公式化简：sin50°(1+︒10tan 3)3.若 ≤α≤ ，则ααsin 1sin 1-++等于 .4.4cos 2sin 22+-的值等于 .5.已知 ，则的值等于 . 6.求 的值。
一、选择题【2017，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【2015，8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）2sin 2α2cos 2α2tan 2α25π27π215sin -=χ)4(2sin πχ-︒-︒10cos 310sin 1A ．13(,),44k k k ππ-+∈Z B ．13(2,2),44k k k ππ-+∈Z C ．13(,),44k k k -+∈Z D ．13(2,2),44k k k -+∈Z【2015，2】sin 20cos10cos160sin10-=（ ）A ．BC ．12-D ．12【2014，8】设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ） A ．32παβ-=B ．22παβ-=C ．32παβ+=D ．22παβ+=【2011，5】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ．45-B ．35-C ．35D ．45（2016·7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）A ．()26k x k Z ππ=-∈ B ．()26k x k Z ππ=+∈ C ．()212k x k Z ππ=-∈D ．()212k x k Z ππ=+∈（2016·9）若3cos()45πα-=，则sin 2α =（ ） A ．725B ．15C ．15-D ．725-二、填空题【2011，16】在ABC 中，60,B AC ==2AB BC +的最大值为 ．（2017·14）函数()23sin 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． （2016·13）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos 45A =，1cos 53C =，a = 1，则b = . （2014·14）函数()sin(2)2sin cos()f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.（2013·15）设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=_________.三、解答题【2017，17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长【2016，17】ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c A b B a C =+)cos cos (cos 2． （Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若7=c ，ABC ∆的面积为233，求ABC ∆的周长．【2013，17】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°．(1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c +--=．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC ，求b ，c ．（2017·17）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2BA C +=． （1）求cosB ；（2）若6a c += , ABC ∆面积为2，求.b ．（2015·17）在∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍．（Ⅰ）求 sin sin BC∠∠；（Ⅱ） 若AD =1，DC ，求BD 和AC 的长．（2013·17）在△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB . （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.（2012·17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a . （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2，△ABC 的面积为3，求b ，c .---精心整理，希望对您有所帮助。