双势垒中的隧道效应及其应用-王鑫

双抛物线势场中的隧道效应

王 鑫

(陕西理工学院 物理系2007级物理学3 班 ，陕西 汉中 723000)

指导老师：王剑华

[摘要]量子力学中的隧道效应是一种重要的物理现象，有着非常广泛的应用. 本文从薜定谔方程出发,

讨论了求解双抛物线势场中的隧道效应，给出了相应的透射系数和反射系数，并对其进行讨论，研究其应用。

[关键词] 薜定谔方程与遂道效应；双抛物线势场中粒子的透射系数；双抛物线势场中粒子的透射系数；隧道效应及其应用

引言

在量子力学发展初期，德布罗意根据光的波粒二象性，提出了物质波假说，即认为微观粒子（电子、质子、中子等）也具有波动性。由于微观粒子具有波动性因而它在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒，这种现象称为隧道效应，隧道效应完全是由于微观粒子具有波动的性质而来的。1957年，江崎制成了隧道二极管，第一次令人信服地证实了固体中的电子隧道效应的存在。1960年贾埃弗利用隧道效应测量了超导能隙，验证了超导理论。1982年德国的宾尼等研制成功第一台扫描隧道显微镜，把隧道效应的应用推向一个新的阶段。近几

年来，人们十分关注分子和半导体量子阱中双势的隧道效应问题研究[4-8]

，氨分子作为一个典型的三角锥形模型，早在1927年Hund 就提出量子隧道效应会对三角锥形分子的内部结构

有很大的调整作用[1]

。适当选择外部条件便可在不同程度上控制分子结构的稳定性。近几年

来在介观尺度的隧道效应和光子隧道效应方面的研究日益成为热点[1-9]

，如在超导技术及纳

米技术方面的应用发展较为明显[3]。本文就双抛物线的隧道效应问题求解并进行讨论[2-3]

。

1 薛定谔方程与隧道效应

在量子力学中，微观体系的运动状态是用一个波函数来描写的，反映微观粒子运动规律的微分方程是()t r ,

ψ对时间的一阶微分方程，即:

ψ+ψ∇-=∂ψ∂)(22

2r U t i μ

(1.1) 我们称它为薛定谔方程（Schrödinger equation)，式中)r (U

是表征力场的函数。 如果作用在粒子上的力场是不随时间改变的，即力场是以势能)(r U

表征的，它不显含时间，这时

定态波函数所满足的方程为:

ψ=ψ+ψ∇-E r U )(22

2 μ

(1.3) 称为定态薛定谔方程（Schrödinger equation of stationary state )，其中E 表示微观

粒子处于这个波函数所描写的状态时的能量，且其能量具有确定值。

设一个粒子，沿x 轴正方向运动，其势能为:

⎩⎨⎧=0)(0

U x U （2.1）

这种势能分布称为一维势垒。 如图2.1所示，故称方势垒。虽然方势垒只是一种理想的情

况，但却是计算一维运动粒子被任意场散射的基础。粒子在0x <区域内，若其能量小于势垒高度，经典物理来看是不能超越势垒达到0x >的区域。在量子力学中，情况则不一样。为了讨论方便，我们把整个区域分为三个区域：Ⅰ()0x ≤，Ⅱ()0x a ≤≤，Ⅲ()x a ≥

图2.1 一维方型势垒

为了方便起见，将整个空间划分为三个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区，则其定态薛定谔方程为

2222

2

220 (0,),2()0(0).

d E x x a dx d E U x a dx μ

μ⎧ψ+ψ=≤≥⎪⎪⎨ψ⎪+-ψ=≤≤⎪⎩

(2.2) 当0U E >时，透射系数T ，反射系数为R

22

1222222212212

2222

122222222122124()sin 4()sin ()sin 4k k T k k k a k k k k k a R k k k a k k ⎧=⎪-+⎪⎨-⎪=⎪-+⎩

当0U E <时，只需令32ik k =即可，透射系数

)0(a x ≤≤ ),0(a x x ≥≤

（2.3）

（2.4）

22

132

22222

13313

4()4k k T k k sh k a k k =++ (2.5) 反射系数为

1R T =- (2.6)

如果粒子能量比势垒高度小得多，即0U E <<，同时势垒的宽度a 不太大，以致

13>>a k ，则a k a

k e e

33->> ，此时2

33a k e

a shk ≈

，于是

322

1322

2222131341()44

k a k k T k k e k k ≈

++ 3223131

1

1()116k a

k k e k k =

++ (2.7)

)(

1

3

31k k k k +为恒大于1的数值，当13>>a k 时432>>a k e

320

0k a

T T e T e -== (2.8)

当0E U >的时候，按照经典力学观点，在0E U >情况下，粒子应畅通无阻的全部通过势垒，而不会在势垒上发生反射。而在微观粒子的情形，则会发生发射。当0E U <的时候，从解薛定谔方程的结果来看，在势垒内部存在波函数。即在势垒内部找出粒子的概率不

为零，同时在x a >区域也存在波函数，所以粒子还可能穿过势垒进入x a >区域。 粒子在

总能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为遂道效应。 其中22

130222

1316()

k k T k k =+ 它的数量级接近于1，所以透射系数随势垒的加宽或加高而减小。

由上面的结果我们可以看到，微观粒子被势垒散射有与宏观粒子完全不同的效应。当一个宏观粒子的能量E 大于势垒高度0U 时，此粒子将通过区域（Ⅱ）而进入区域（Ⅲ）。但是对于一个能量0U E >的微观粒子，不但有穿过势垒的可能，而且还有被反射的可能。如果一个宏观粒子的能量0U E <，则当此粒子在区域（Ⅰ）内由左向右运动到达势垒边界时将被反射，所以粒子不可能穿过区域（Ⅱ）而进入区域（Ⅲ）。但是对于一个0U E <的微观粒子却不然，它既有被反射的可能，也有穿透势垒而进入区域（Ⅲ）的可能，这种贯穿势