232回归直线方程—最小二乘法PPT-(课件精选)
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822一元线性回归模型参数的最小二乘估计 课件(共23张PPT)
i 1
观测数据与直线 y bx a的“整体接近程度”.
探究新知
残差：实际值与估计值之间的差值，即 yi (bxi a )
n
| y
i 1
i
(bxi a ) |
n
残差平方和： Q(a, b) yi (bxi a )
2
i 1
求a, b的值，使Q(a, b)最小
的变化的方法称为回归分析.
探究新知
一元线性回归模型Y bx a e
对于响应变量Y,通过观测得到的数据为观测值,通过经验回归
方程得到的 ŷ称为预测值,观测值减去预测值称为残差,即eˆ y yˆ .
残差是随机误差的估计值，通过对残差的分析可判断回归模
型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，
C.a 0, b 0
D.a 0, b 0
6
n
i 1
i 1
2
(
x
x
)
17.5
x 5.5, y 0.25 ( xi x)( yi y) 24.5 i
25.5
b
1.4
17.5
â bˆ x y 7.95
利用公式(2)可以计算出b=0.839, a=28.957, 得到儿子身高Y
关于父亲身高x的经验回归方程为 y 0.839 x 28.957
相应的经验回归直线如下图所示：
儿子身高/cm
190
185
180
ŷ 0.839 x 28.957
175
170
165
160
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165
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175
探究新知
观测数据与直线 y bx a的“整体接近程度”.
探究新知
残差：实际值与估计值之间的差值，即 yi (bxi a )
n
| y
i 1
i
(bxi a ) |
n
残差平方和： Q(a, b) yi (bxi a )
2
i 1
求a, b的值，使Q(a, b)最小
的变化的方法称为回归分析.
探究新知
一元线性回归模型Y bx a e
对于响应变量Y,通过观测得到的数据为观测值,通过经验回归
方程得到的 ŷ称为预测值,观测值减去预测值称为残差,即eˆ y yˆ .
残差是随机误差的估计值，通过对残差的分析可判断回归模
型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，
C.a 0, b 0
D.a 0, b 0
6
n
i 1
i 1
2
(
x
x
)
17.5
x 5.5, y 0.25 ( xi x)( yi y) 24.5 i
25.5
b
1.4
17.5
â bˆ x y 7.95
利用公式(2)可以计算出b=0.839, a=28.957, 得到儿子身高Y
关于父亲身高x的经验回归方程为 y 0.839 x 28.957
相应的经验回归直线如下图所示：
儿子身高/cm
190
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ŷ 0.839 x 28.957
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探究新知
232回归直线方程—最小二乘法-PPT精品文档
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61
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
根据最小二乘法公式， 利用计算机可以求出 其回归直线方程
散 y 0 . 5 7 7 x 0 . 4 8 点 图
回 归 直 线
回归直线概念：散点图中心的分布从整体上看 大致是一条直线附近，该直线称为回归直线 求出回归直线的方程 我们就可以比较清楚地了解年龄与体 内脂肪含量之间的相关性
由此可以预测相应年龄段的脂肪含量 那我们又该如何具体求这个回归方程呢？
方法汇总
法一
1.选取两点作 直线 ps：使直线两 侧 的点的个 数基本相同。
Q=(y1-bx1-a) 2+(y2-bx2-a) 2+…+(yn-bxn-a) 2
当a，b取什么值时，Q的值最小，即总体偏差最小
求线性回归方程的步骤：
(1)求平均数 ； ；
(2)计算 xi 与 yi 的乘积,再求 (3)计算 ；
(4)将上述有关结果代入公式，写出回归 直线方程.
13
年 龄 脂 肪
？ ？
上面三种方法都有一定的道理，但总让人感到 可靠性不强. 回归直线与散点图中各点的位置用数学的方法 来刻画应具有怎样的关系？Fra bibliotek方法汇总
法一
1.选取两点作 直线 ps：使直线两 侧 的点的个 数基本相同。
法二
1.画一条直线 2.测量出各点 与它的距离 3.移动直线， 到达某一位置 使距离的和最 小，测量出此 时直线的斜率 与截距，得到 回归方程。
最小二乘法-PPT课件
请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程.
解 根据上表数据，可以计算出：x 4.5, y 25.5 其他数据如下表
-
19
i 1 2 3 4 5 6 7 8 合计
，
xi
yi
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
6
36
7
49
8
64
36
204
x2 i
xi yi
1
1
4
8
9
27
16
64
25
125
36
216
49
343
d bxi yi a b2 1
方法二:
xi,abix
yi a bxi 2 0 -
yabx
x
4
显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离， 而且比方法一计算更方便，所以我们用它来表示二者 之间的接近程度.
-
5
思考2.怎样刻画多个点与直线的接近程度？ 提示：
例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2， y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5），与直 线y=a+bx的接近程度：
使上式达到最小值的直线y=a+bx就是所要求的直线， 这种方法称为最小二乘法.
-
7
思考3：怎样使 [y1 (a bx1)]2 [yn (a bxn )]2 达到最小值？
先来讨论3个样本点的情况
…………………①
-
8
3 a 2 - 2 （ a y - b x ) ( y 1 - b x 1 ) 2 ( y 2 - b x 2 ) 2 ( y 3 - b x 3 ) 2
解 根据上表数据，可以计算出：x 4.5, y 25.5 其他数据如下表
-
19
i 1 2 3 4 5 6 7 8 合计
，
xi
yi
1
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x2 i
xi yi
1
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216
49
343
d bxi yi a b2 1
方法二:
xi,abix
yi a bxi 2 0 -
yabx
x
4
显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离， 而且比方法一计算更方便，所以我们用它来表示二者 之间的接近程度.
-
5
思考2.怎样刻画多个点与直线的接近程度？ 提示：
例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2， y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5），与直 线y=a+bx的接近程度：
使上式达到最小值的直线y=a+bx就是所要求的直线， 这种方法称为最小二乘法.
-
7
思考3：怎样使 [y1 (a bx1)]2 [yn (a bxn )]2 达到最小值？
先来讨论3个样本点的情况
…………………①
-
8
3 a 2 - 2 （ a y - b x ) ( y 1 - b x 1 ) 2 ( y 2 - b x 2 ) 2 ( y 3 - b x 3 ) 2
高中数学：.《线性回归方程》课件(共10张PPT)
在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平 方和,可以用来衡量
直线 yˆ bxa 与图中六个点的接近 程度,所以,设法取 a , b 的值,使 Q ( a , b )
达到最小值.这种方法叫做最小平方法 (又称最小二乘法) .
线性相关系：
像这样能用直线方程 yˆ bxa
近似表示的相关关系叫做线性相关关系.
问题：
某小卖部为了了解热茶销售量与气温
之间的关系，随机统计并制作了某6天 卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：
气温 /0C
26
18
13
10
4
-1
杯数 20 24 34 38 50 64
如果某天的气温是-50C，你能根据这些
数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗?
为了了解热茶销量与
气温的大致关系,我们
以横坐标x表示气温，
……………… 怎样的直线最好呢?
建构数学
1.最小平方法：
用方程为 yˆ bxa 的直线拟合散点图中
的点，应使得该直线与散点图中的点最接近
那么，怎样衡量直线 yˆ bxa 与图中六
个点的接近程度yˆ 呢？
我们将表中给出的自变量 x 的六个值
带入直线方程,得到相应的六个值：
2 6 b a , 1 8 b a , 1 3 b a , 1 0 b a , 4 b a , b a
2
选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气
…y 3
y n 当a,b使
事实上数学和物理成绩都是
Q ( y b x a ) ( y b x a ) . . . ( y b x a ) 但还存在着另一种非确定
数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗?
2
2
像这样能用直线方程1 1
直线 yˆ bxa 与图中六个点的接近 程度,所以,设法取 a , b 的值,使 Q ( a , b )
达到最小值.这种方法叫做最小平方法 (又称最小二乘法) .
线性相关系：
像这样能用直线方程 yˆ bxa
近似表示的相关关系叫做线性相关关系.
问题：
某小卖部为了了解热茶销售量与气温
之间的关系，随机统计并制作了某6天 卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：
气温 /0C
26
18
13
10
4
-1
杯数 20 24 34 38 50 64
如果某天的气温是-50C，你能根据这些
数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗?
为了了解热茶销量与
气温的大致关系,我们
以横坐标x表示气温，
……………… 怎样的直线最好呢?
建构数学
1.最小平方法：
用方程为 yˆ bxa 的直线拟合散点图中
的点，应使得该直线与散点图中的点最接近
那么，怎样衡量直线 yˆ bxa 与图中六
个点的接近程度yˆ 呢？
我们将表中给出的自变量 x 的六个值
带入直线方程,得到相应的六个值：
2 6 b a , 1 8 b a , 1 3 b a , 1 0 b a , 4 b a , b a
2
选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气
…y 3
y n 当a,b使
事实上数学和物理成绩都是
Q ( y b x a ) ( y b x a ) . . . ( y b x a ) 但还存在着另一种非确定
数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗?
2
2
像这样能用直线方程1 1
最小二乘法线性详细说明.ppt
19
3. 回归方程的精度和相关系数
用最小二乘法确定a, b存在误差。 总结经验公式时，我们初步分析判断所假定
的函数关系是正确，为了解决这些问题，就 需要讨论回归方程的精度和相关性。 为了估计回归方程的精度，进一步计算数据
点 xi,yi 偏离最佳直线y=a+bx的大小，我们 引入概念——剩余标准差 s ，它反映着回
一种可能是各数据点与该线偏差较小，一种可能是各数据 点与该线偏差较大。
当R 1时，s 减小，一般的数据点越靠近最佳值两旁。两
变量间的关系线性相关，可以认为是线性关系，最佳直线 所反应的函数关系也越接近两变量间的客观关系。同时还 说明了测量的精密度高。
当条“R 最佳1时”，直线s 增。大然，而根，据数数据据点点与的“分最布佳，”也直许线能的得偏到差一过
14
根据二元函数求极值法，把③式对a和b分 别求出偏导数。得：
n
v2 i
i1
a n
2yi a bxi
4
v2 i
i1 2
b
yi a bxi xi
15
令④等于零，得：
n
n
yi na b xi 0
i1 n
i1
n
n
5
yixi
i1
a xi i1
b
x2 i
i1
0
解方程，得：
而且: b 1.993 0.006
31
第二节 二元线性回归
已知函数形式(或判断经验公式的函数形式)为 y a b1x1 b2x2
式中，均为独立变量，故是二元线性回归。 若有实验数据：
x1 x11, x12,......... .x1n x2 x21, x22,......... .x2n
3. 回归方程的精度和相关系数
用最小二乘法确定a, b存在误差。 总结经验公式时，我们初步分析判断所假定
的函数关系是正确，为了解决这些问题，就 需要讨论回归方程的精度和相关性。 为了估计回归方程的精度，进一步计算数据
点 xi,yi 偏离最佳直线y=a+bx的大小，我们 引入概念——剩余标准差 s ，它反映着回
一种可能是各数据点与该线偏差较小，一种可能是各数据 点与该线偏差较大。
当R 1时，s 减小，一般的数据点越靠近最佳值两旁。两
变量间的关系线性相关，可以认为是线性关系，最佳直线 所反应的函数关系也越接近两变量间的客观关系。同时还 说明了测量的精密度高。
当条“R 最佳1时”，直线s 增。大然，而根，据数数据据点点与的“分最布佳，”也直许线能的得偏到差一过
14
根据二元函数求极值法，把③式对a和b分 别求出偏导数。得：
n
v2 i
i1
a n
2yi a bxi
4
v2 i
i1 2
b
yi a bxi xi
15
令④等于零，得：
n
n
yi na b xi 0
i1 n
i1
n
n
5
yixi
i1
a xi i1
b
x2 i
i1
0
解方程，得：
而且: b 1.993 0.006
31
第二节 二元线性回归
已知函数形式(或判断经验公式的函数形式)为 y a b1x1 b2x2
式中，均为独立变量，故是二元线性回归。 若有实验数据：
x1 x11, x12,......... .x1n x2 x21, x22,......... .x2n
最小二乘法PPT课件
第2页/共74页
一、问题背景
• 在多数估计和曲线拟合的问题中，不论是 参数估计还是曲线拟合，都要求确定某些(或 一个)未知量，使得所确定的未知量能最好地 适应所测得的一组观测值，即对观测值提供 一个好的拟合。
• 解决这类问题最常用的方法就是最小二乘 法。
• 在一些情况下，即使函数值不是随机变量， 最小二乘法也可使用。
数
，aˆ1
，…，
aˆ2
。这样aˆk求出的参数叫参数的最小二乘估计。
第6页/共74页
正规方程
=最小
• 根据数学分析中求函数极值的条件：
共得k个方程，称正规方程，求此联立方程的解可得出诸参数估计值
(j＝1，2，…，k)。 aˆ 等精度观测的情况，若诸观测值yi是不等精度的观测，即它们服从不 同的方差σi2的正态分布N(0，1)，那么也不难证明，在这种情况下，最小二乘 法可改为：
正规方程(5—19)组，还可表示成如下形式
表示成矩阵形式为
第23页/共74页
线性参数正规方程的矩阵形式
又因
（5-21）
有 即 若令 则正规方程又可写成 若矩阵C是满秩的，则有
（5-22）
（5-22） （5-23）
第24页/共74页
的数学期望Xˆ
因 可见 Xˆ 是X的无偏估计。
式中Y、X为列向量(n ×1阶矩阵和t×l阶矩阵)
例5．3
• 试求例5．1中铜棒长度的测量精度。
已知残余误差方程为 将ti，li，值代人上式，可得残余误差为
第43页/共74页
（二）不等精度测量数据的精度估计
不等精度测量数据的精度估计与等精度测量数据的精度估计相似，只是公 式中的残余误差平方和变为加权的残余误差平方和，测量数据的单位权方差 的无偏估计为
一、问题背景
• 在多数估计和曲线拟合的问题中，不论是 参数估计还是曲线拟合，都要求确定某些(或 一个)未知量，使得所确定的未知量能最好地 适应所测得的一组观测值，即对观测值提供 一个好的拟合。
• 解决这类问题最常用的方法就是最小二乘 法。
• 在一些情况下，即使函数值不是随机变量， 最小二乘法也可使用。
数
，aˆ1
，…，
aˆ2
。这样aˆk求出的参数叫参数的最小二乘估计。
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正规方程
=最小
• 根据数学分析中求函数极值的条件：
共得k个方程，称正规方程，求此联立方程的解可得出诸参数估计值
(j＝1，2，…，k)。 aˆ 等精度观测的情况，若诸观测值yi是不等精度的观测，即它们服从不 同的方差σi2的正态分布N(0，1)，那么也不难证明，在这种情况下，最小二乘 法可改为：
正规方程(5—19)组，还可表示成如下形式
表示成矩阵形式为
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线性参数正规方程的矩阵形式
又因
（5-21）
有 即 若令 则正规方程又可写成 若矩阵C是满秩的，则有
（5-22）
（5-22） （5-23）
第24页/共74页
的数学期望Xˆ
因 可见 Xˆ 是X的无偏估计。
式中Y、X为列向量(n ×1阶矩阵和t×l阶矩阵)
例5．3
• 试求例5．1中铜棒长度的测量精度。
已知残余误差方程为 将ti，li，值代人上式，可得残余误差为
第43页/共74页
（二）不等精度测量数据的精度估计
不等精度测量数据的精度估计与等精度测量数据的精度估计相似，只是公 式中的残余误差平方和变为加权的残余误差平方和，测量数据的单位权方差 的无偏估计为
高中数学人教A版必修三2.3.2《线性回归方程》课件
2、回归直线方程
定义：一般地，设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应 于n组观测值的n个点（xi,yi）（i＝1，2，…，n）大致分布在 一条直线附近，求在整体上与这n个最接近的一条直线.设此直 线方程为y^=bx+a.
这里在y的上方加记号“^”，是为了区分实际值y，表示当 x取值xi（i＝1，2，…n）时，y相应的观察值为yi，而直线上对 应于xi的纵坐标是yi^=bxi+a. y^=bx+a叫做y对x的回归直线方 程，a、b叫做回归系数.
2.3 变量间的相关关系
2.3.2 线性回归方程
本课主要学习变量间的相关关系的相关内容，具体 包括线性回归方程的求解。
本课开始回顾了上节课所学变量间的相关关系与散 点图的相关内容，紧接着引入回归直线的定义及特征， 回归直线方程的定义及求法（最小二乘法），并且通过 例题和习题进行讲解。最后通过习题进行加深巩固。
有部分课件由于控制文件大小，内容不完整，请联系购买完整版
1. 理解线性回归。 2. 了解回归直线方程的求解方法。
（1）如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来 描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系．
（2）如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就 有相关关系。
（3）如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就 有线性相关关系 .
y 水稻产量
500
450
400
350
(施化肥量)
300
10 20
30
40
50
x
3、最小二乘法
假设我们已经得到两个具有线性相关的变量的一组数 据（x1，y1），（x2,y2），…（xn,yn）.
n
n
(xi x)( yi y)