理解傅里叶级数

2 π
x2 2
π 0
A
11
a n 1 π π π F (x )cn o d x x s1 π π π f(x )cn o d x x s π 20 πxco nd s x xπ 2 xsninn x cn 2 o n s x0 π
4
n22π(cosnπ1) 0(2k1)2
A
14
a1E π 0πsi2 ntdt0
a n π 20 π u ( t)cn o td t sπ 20 π E sticn n o d tts Eπ [sn i 1 n )t (sinn 1 )t( ]d t
π0
4E
(4k2 1)
n 2k
0
n 2k 1
(k1,2,)
从而函数 u(t) 的傅里叶级数是一个余弦级数
(πxπ)
12
.
10.5.4 正弦级数和余弦级数
一、正弦级数和余弦级数
定理2 对于周期为 2 的奇函数 f (x),其傅里叶
级数为正弦级数，即傅里叶系数为
a n0(n0,1,2,L),
bn20 f(x)sinxd, x(n1,2,L)
周期为2 的偶函数 f (x), 其傅里叶级数为
余弦级数，即傅里叶系数为
在一个周期内连续或只有有限个第一类间断 点 在一个周期内至多只有有限个极值点 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 并且：
(1) 当 x 是 f (x) 的连续点时 级数收敛于f (x);
(2) 当 x 是 f (x) 的间断点时 级数收敛于
1[f(x0)f(x0).] 2
A
7
例1 设 f (x) 是周期为 2的周期函数 它在
A
13
an20 f(x)consx,d(xn1,2,L)
b n 0 (n1,2,L).
例3 将周期函数 u(t)Esitn展开成傅里叶
级数，其中 E为正常数．
解 不妨将u(t)看成是2 为周期的函数，满足
收敛定理，先计算傅里叶系数
bn0(n1,2,L)
a 0 π 20 π u (t)d t π 20 πE stid n t 4 π E
将傅里叶系数值代入 f (x) 展开式的右端
f(x)a 2 0k 1(akco k s xbksikn )x
得到的三角级数
a20n 1(ancons xbnsinn)x
称为函数 f (x) 的傅里叶级数．
A
6
定理1（收敛定理，狄利克雷充分条件）设
f (x) 是周期为 2 的周期函数 如果它满足
2
2
当 x k 时级数收敛于 f (x).
傅里叶系数计算如下
an
1
f(x)cosnxdx
1 0 ( 1 )c o sn x d x 10 1 c o sn x d x 0(n0,1,2,L)
bn
1
f(x)sinxdx
1 0 ( 1 )sAinnxd 10 x1sinnxd9 x
第十章 无穷级数
A
1
10.5 傅里叶级数*
10.5.1 三角级数与三角函数系的正交性
10.5.2 以 2 为周期的函数的傅里叶级数
10.5.3 区间 [ , ] 上函数的傅里叶级数
10.5.4 正弦级数和余弦级数
10.5.5 以 2l 为周期的函数的傅里叶级数
10.5.6 小结
A
2
10.5.1 三角级数与三角函数系的正交性
函数项级数
a 20n 1(ancons xbnsinn)x
称为三角级数，其中 a 0,a n,b n(n 1 ,2 , )是常数． 称函数族
1 , c x , s o x , c i 2 x s , n s o 2 x , i , s c n n , s o n , x is n
为三角函数系．
u(t)2π E4π EAk 14k1 21co 2ksx
15
4 E (1 1 c2 o t 1 s c4 o t 1 s c6 o t s ) π23 15 35 ( t) .
A
3
三角函数系的正交性是指：三角函数系中
任何两个不同的函数的乘积在区间 [ , ]上
的积分等于零 即
consxdx0 n1,2,L ,
sinnxdx0 n1,2,L ,
sikncxonsx d0x
k,n1,2,L,
siknsxinnxd 0x
k,n1,2,L,
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k
n
cokscxonsx d0xk,n1,2,L,
1[cn o n]s0 x 1[cn o n]s 0 x n 1 [1co nsco ns1 ]
2 (1(1)n)
n
n4 n1,3,5,
0 n2,4,6,
于是 f (x) 的傅里叶级数展开式为
f( x ) 4 [x s 1 s i3 n x i n 1 s2 i k 1 n ) x ( ]
[ , ) 上的表达式为
f(x) 1 10xx0,
将 f (x) 展开成傅里叶级数．
解 所给函数 f (x) 满足收敛定理的条件，
函数在点 x k (k0,1,2,L) 处不连续
在其它点处连续，从而由收敛定理知道
f (x) 的傅里叶级数收敛，并且当 x k
时收敛于
A
8
1 [f(x 0 ) f(x 0 ) ]1 ( 1 1 ) 0
k
n
A
4
12dx2,
co2snxdx n1,2,L ,
sin2nxdx n1,2,L .
10.5.2 以 2 为周期的函数的傅里叶级数
通常，由下述公式确定的 a 0,a n,b n(n 1 ,2 , ) 称为函数 f (x) 的傅里叶系数．
a0
1
f(x)dx,
A
5
an1f(x)consx,dxn1,2,L , bn1f(x)sinx,dxn1,2,L .
3A
2 k 1
10
10.5.3 区间 [ , ] 上函数的傅里叶级数
例2
将函数
f(x) xx,,
πx0展开成
0xπ
傅里叶级数．
解 将函数 f (x) 延拓成以 2为周期的函数
F(x), 易知，函数 F(x) 满足收敛定理的条
件，傅里叶系数为
a 0 1 π π π F ( x )d x 1 π π π f( x )d x π 2 0 π x d x
n2k1
(k1,2,)
n2k
b n 1 π π π F ( x ) sn id n x x 1 π π π f( x ) sn id n x x 0
所以，函数 f (x) 的傅里叶级数展开式为
f(x ) π 2 π 4 (c o sx 3 1 2c Ao s3 x 5 1 2c o s5 x L )