北师大版初中数学九年级上册第四章相似三角形(复习)

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2021-2022学年北师大版九年级数学上册《相似三角形》期末综合复习训练(附答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《相似三角形》期末综合复习训练（附答案）1．如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG．（1）求证：AG＝CG；（2）求证：△AEG∽△F AG；（3）若GE•GF＝9，求CG的长．2．如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，点G为边BC上一点，过点G作GE⊥AG，且GE＝2AG，GE交DC于点F，连接AE．（1）求证：△ABG∽△GCF；（2）连接CE，求证：∠DCE＝∠AEG；（3）当点E正好在BD的延长线上时，求BG的长．3．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，求CD的长．4．已知在△ABC中，D是边AC上的一点，∠CBD的角平分线交AC于点E，且AE＝AB，求证：AE2＝AD•AC．5．过平行四边形ABCD的顶点A作任一直线与BD、BC和DC分别交于点E、F、G．求证：AE2＝EF•EG．6．如图，在△ABC中．AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D．（1）求证：AB＝GF；（2）若GD＝10，AD＝3，求DC的长度；（3）在（2）的条件下，S△DCF＝7，求△ABC的面积．7．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC延长线上一点，连接AP，分别交BD，CD于点E，F，过点B作BG⊥AP于G，交线段AC于H．（1）若∠P＝25°，求∠AHG的大小；（2）求证：AE2＝EF•EP．8．如图，AC是▱ABCD的对角线，在AD边上取一点F，连接BF交AC于点E，并延长BF 交CD的延长线于点G．（1）求证：BE2＝EF•EG；（2）若2DG＝DC，BE＝6，求EF的长．9．如图，AC是▱ABCD的对角线，在AD边上取一点F，连接BF交AC于点E，并延长BF 交CD的延长线于点G．（1）若∠ABF＝∠ACF，求证：CE2＝EF•EG；（2）若DG＝DC，BE＝6，求EF的长．10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接CM 交BD于点N，且ON＝1．（1）求证：△DMN∽△BCN；（2）求BD的长；（3）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．11．已知：在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接AE分别交DC、DB于F、G．求证：（1）∠DAG＝∠DCG；（2）AG2＝GE•GF；（3）已知，，求该正方形的边长．12．在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB＝1：2，EF⊥CB，求证：EF＝CD．（2）如图2，AC：AB＝1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝8cm，点E在边AD上，AE：ED＝1：3，AC、BE交于点F．（1）求证：AC⊥BE；（2）求四边形EFCD的面积．14．已知：如图，▱ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于点H，BF、AD的延长线相交于点G．求证：（1）AB＝BH；（2）△ABG∽△HEB；（3）AB2＝GA•HE．15．如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N．（1）求证：△BFM∽△NF A；（2）求证：DF2＝FM•FN；（3）若AC＝BC，DN＝12，ME：EN＝1：2，求线段AC的长．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．（1）求证：△AEB∽△CFB；（2）求证：；（3）若CE＝5，EF＝2，BD＝6．求AD的长．17．如图，点P是正方形ABCD中BC延长线上一点，对角线AC，BD相交于点O，连接AP，分别交BD，CD于点E，F，过点B作AP的垂线，垂足为点G，交线段AC于H．（1）若∠P＝20°，求∠GBE的大小．（2）求证：AE2＝EF•EP．（3）若正方形ABCD的边长为1，CP＝1，求HG的长．18．如图，O为正方形ABCD对角线的交点，E为AB边上一点，F为BC边上一点，△EBF 的周长等于BC的长．（1）若AB＝24，BE＝6，求EF的长．（2）猜想∠EOF的度数，并说明理由．（3）若OE＝OF，求的值．19．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE＝∠DAF．（1）如图，若AD＝AF，延长AE、DC交于点G，求证：AF2＝DG•DF．（2）在第（1）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE＝4，EG＝12，求AH的长．20．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，∠BAC＝90°，∠B＝30°，D是BC上一点，AE⊥AD，∠ADE＝30°，连接CE．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）求证：△ACE∽△ABD；（3）设CE＝x，当CD＝2CE时，求x的值．参考答案1．（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，又AD＝CD，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴AG＝CG；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥CB，∴∠FCB＝∠F，由（1）可知△ADG≌△CDG，∴∠DAG＝∠DCG，∴∠DAB﹣∠DAG＝∠DCB﹣∠DCG，即∠BCF＝∠BAG，∴∠EAG＝∠F，又∠EGA＝∠AGF，∴△AEG∽△F AG；（3）解：由（2）得△AEG∽△F AG，∴，即GA2＝GE•GF＝9，∴GA＝3或GA＝﹣3（舍去），根据（1）中的结论得AG＝CG，∴CG＝3．2．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠D＝90°，∵GE⊥AG，∴∠AGB+∠CGF＝90°，∴∠BAG+∠AGB＝90°，∴∠BAG＝∠CGF，∴△ABG∽△GCF；（2）如图所示，连接AC，交GE于M点，∵GE＝2AG，BC＝2AB，∴＝，又∵∠AGE＝∠B＝90°，∴△AGE∽△ABC，∴∠AEG＝∠ACB，∵∠AME＝∠GMC，∴△AME∽△GMC，∴＝，又∵∠AMG＝∠EMC，∴△AMG∽△EMC，∴∠AGM＝∠ECM＝90°，即：∠BCD＝∠ECM＝90°，∴∠ACB＝∠DCE，∴∠AEG＝∠DCE；（3）如图，作EH⊥BC的延长线于H点，设BG＝x，∵△ABG∽△GHE，GE＝2AG，∴EH＝2BG＝2x，GH＝2AB＝4，则BH＝BG+GH＝4+x，∵△DCB∽△EHB，∴＝＝，∴＝，解得：x＝，经检验，x＝是原分式方程的解，∴BG的长为．3．解：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△BAD∽△BCA，∴．∵AB＝6，BD＝4，∴＝，∴BC＝9，∴CD＝BC﹣BD＝9﹣4＝5．4．证明：∵BE平分∠CBD，∴∠DBE＝∠CBE，∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE，∠AEB＝∠C+∠CBE，∴∠ABD＝∠C，∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴AB：AD＝AC：AB，即：AB•AB＝AD•AC，∵AE＝AB，∴AE•AE＝AD•AC．5．证明：四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ADE∽△FBE，△ABE∽△GDE，∴＝，＝，∴＝，∴AE2＝EF•EG．6．（1）证明：∵GD∥BA，∴∠BAE＝∠G，在△ABE和△GFE中，∵，∴△ABE≌△GFE（ASA），∴AB＝GF；（2）解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵GD∥BA，∴∠B＝∠DFC，∴∠C＝∠DFC，∴DF＝DC，设DC＝x，则AB＝AC＝3+x，∵DG＝10，∴FG+DF＝AB+DC＝10，即3+x+x＝10，∴x＝，∴DC＝；（3）解：连接AF，∵S△ADF：S△CDF＝AD：DC，∵S△DCF＝7，AD＝3，CD＝，∴S△ADF：7＝3：，∴S△ADF＝6，同理得：S△ADF：S△AFG＝DF：FG，即6：S△AFG＝：，∴S△AFG＝，由（1）知：△ABE≌△GFE，∴S△ABF＝S△AFG＝，∴S△ABC＝+6+7＝．7．（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∵∠ACB＝∠P+∠CAP，∴∠CAP＝20°，∵BG⊥AP，∴∠AGH＝90°，∴AHG＝90°﹣20°＝70°．（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴A，C关于BD对称，∠ACB＝∠ACD＝45°，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠ACB＝∠P+∠CAE＝45°，∠ECF+∠ECA＝45°，∴∠ECF＝∠P，∵∠CEF＝∠PEC，∴△CEF∽△PEC，∴＝，∴EC2＝EF•EP，∴EA2＝EF•EP．8．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵AB∥CG，∴△ABE∽△CGE，∴＝，∵AF∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴＝，∴＝，∴BE2＝EF•EG；（2）解：∵DF∥BC，∴＝＝＝，∴FG＝BF，设EF＝x，则BF＝6+x，FG＝（6+x），∵BE2＝EF•EG；∴62＝x[x+（6+x）]，整理得x2+2x﹣24＝0，解得x1＝﹣6（舍去），x2＝4，即EF的长为4．9．解：（1）∵AB∥CG，∴∠ABF＝∠G，又∵∠ABF＝∠ACF，∴∠ECF＝∠G，又∵∠CEF＝∠CEG，∴△ECF∽△EGC，∴，即CE2＝EF•EG；（2）∵平行四边形ABCD中，AB＝CD，又∵DG＝DC，∴AB＝CD＝DG，∴AB：CG＝1：2，∵AB∥CG，∴，即，∴EG＝12，BG＝18，∵AB∥DG，∴，∴BF＝BG＝9，∴EF＝BF﹣BE＝9﹣6＝3．10．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DMN＝∠BCN，∠MDN＝∠NBC，∴△DMN∽△BCN；（2）∵△DMN∽△BCN，∴＝，∵M为AD中点，∴MD＝AD＝BC，即＝，∴＝，即BN＝2DN，设OB＝OD＝x，则有BD＝2x，BN＝OB+ON＝x+1，DN＝x﹣1，∴x+1＝2（x﹣1），解得：x＝3，∴BD＝2x＝6；（3）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，∴MN：CN＝DN：BN＝1：2，∴S△MND＝S△CND＝1，S△BNC＝2S△CND＝4．∴S△ABD＝S△BCD＝S△BCN+S△CND＝4+2＝6，∴S四边形ABNM＝S△ABD﹣S△MND＝6﹣1＝5．11．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠ADG＝∠CDG＝45°，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG＝∠DCG；（2）∵AD∥BE，∴∠DAG＝∠E，∵△ADG≌△CDG，∴∠DAG＝∠GCD，AG＝CG，∴∠GCD＝∠E，∵∠GCE＝∠GCD+90°，∠GFC＝∠DAG+90°，∴∠GFC＝∠GCE，∴△GCF∽△GEC，∴CG2＝GE•GF，∴AG2＝GE•GF；（3）∵，，∴GE＝GF+EF＝3﹣3，∵CG2＝GE•GF，∴CG＝3﹣，∴GF：CG＝CF：CE＝1：，∵EF＝2﹣2，∴CF＝﹣1，CE＝3﹣3，∵CF∥AB，∴△EFC∽△EAB，∴，∴，解得：AB＝．12．（1）证明：如图1，在△ABC中，∵∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，∴∠CAD＝∠B＝90°﹣∠ACB．∵AC：AB＝1：2，∴AB＝2AC，∵点E为AB的中点，∴AB＝2BE，∴AC＝BE．在△ACD与△BEF中，，∴△ACD≌△BEF，∴CD＝EF，即EF＝CD；（2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，∴四边形EQDH是矩形，∴∠QEH＝90°，∴∠FEQ＝∠GEH＝90°﹣∠QEG，又∵∠EQF＝∠EHG＝90°，∴△EFQ∽△EGH，∴EF：EG＝EQ：EH．∵AC：AB＝1：，∠CAB＝90°，∴∠B＝30°．在△BEQ中，∵∠BQE＝90°，∴sin B＝＝，∴EQ＝BE．在△AEH中，∵∠AHE＝90°，∠AEH＝∠B＝30°，∴cos∠AEH＝＝，∴EH＝AE．∵点E为AB的中点，∴BE＝AE，∴EF：EG＝EQ：EH＝BE：AE＝1：＝：3＝．13．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠EAB＝∠ABC＝90°，BC＝AD，∵AB＝4cm，AD＝8cm，∴AB：BC＝1：2，∵AE：ED＝1：3，∴AE：BC＝1：4，∴AE：AB＝1：2，∴，∴△ABC∽△EAB，∴∠ABE＝∠ACB，∵∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠ACB+∠CBE＝90°，∴∠BFC＝90°，∴AC⊥BE；（2）解：∵∠AFE＝∠D＝90°，∠EAF＝∠DAC，∴△AEF∽△ACD，∴，∵AE＝AD＝2，AC＝＝4，∴＝，∵S△ACD＝，∴S△AEF＝．∴四边形EFCD的面积＝S△ACD﹣S△AEF＝．14．证明：（1）∵DE⊥BC于E，∠DBC＝45°，∴∠BDE＝45°，∴BE＝DE，∵BF⊥CD于F，DE⊥BC于E，∴∠HBE+∠C＝90°，∠CDE+∠C＝90°，∴∠HBE＝∠CDE，在△HBE和△CDE中，，∴△HBE≌△CDE（ASA），∴BH＝CD，∵▱ABCD中，AB＝CD，∴AB＝BH；（2）∵BF⊥CD于F，∴∠BFC＝90°，∵▱ABCD中，AB∥CD，∴∠ABG＝∠BFC＝90°，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠G＝∠HBE，∴△ABG∽△HEB；（3）∵△ABG∽△HEB，∴，∵由（1）知AB＝BH∴即AB2＝GA•HE．15．（1）证明∵DF⊥AB，AD，BE是△ABC的高，∴∠BFD＝∠AFD＝∠AEB＝∠ADB＝90°，∴∠FBM＝90°﹣∠BAC，∠N＝90°﹣∠BAC，∴∠FBM＝∠N，又∵∠BFD＝∠AFD，∴△BFM∽△NF A；（2）证明：∵△BFM∽△NF A，∴，∴FM•FN＝FB•F A，∵∠FBD+∠FDB＝90°，∠FBD+∠F AD＝90°，∴∠FDB＝∠F AD，∵∠BFD＝∠AFD，∠FDB＝∠F AD，∴△BFD∽△DF A，∴，∴DF2＝FM•FN；（3）解：∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC，∵∠ABC+∠FDB＝∠BAC+∠N＝90°，∴∠FDB＝∠N＝∠FBM，∴△ENM∽△FBM∽△FDB，∴，∴FB＝2FM，FD＝2FB＝4FM，∵DF2＝FM•FN，∴（4FM）2＝FM•（4FM+12），解得：FM＝1或0（舍去），∴FB＝2，FD＝4，FN＝FD+DN＝16，∵＝，∴AF＝8，AB＝AF+BF＝10，在Rt△BFD中，BD＝＝2，在Rt△ADB与Rt△ADC中，AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∴AC2﹣（AC﹣2）2＝102﹣（2）2，解得：AC＝5．16．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD为AB边上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∴△AEB∽△CFB．（2）证明：∵∠ABE＝∠CBE，∠A＝∠BCD，∴∠CFE＝∠BCD+∠CBE＝∠A+∠ABE，∵∠CEF＝∠A+∠ABE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∵△AEB∽△CFB，∴＝，∴＝．（3）解：如图，作CH⊥EF于H．∵CE＝CF，CH⊥EF，∴EH＝FH＝，∴CH＝＝＝2，由△BFD∽△CFH，∴＝，∴＝，∴DF＝3，CD＝CF+DF＝8，由△ACD∽△CBD，∴＝，∴＝，∴AD＝．17．解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，AC是正方形的对角线，∴∠ACB＝45°，∠DBC＝45°，∵∠GEB＝∠P+∠DBC，∠P＝20°，∴∠GEB＝20°+45°＝65°，∵BG⊥AP，∴∠BGE＝90°，∴∠GBE＝90°﹣∠GEB＝90°﹣65°＝25°．（2）如图所示，连接EC，∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于BD对称，∠ACB＝∠ACD＝45°，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠EFC＝180°﹣∠EAC﹣∠ACD，∠ECP＝180°﹣∠ECA﹣∠ACB，∴∠EFC＝∠ECP，又∵∠CEF＝∠PEC，∴△CEF∽△PEC，∴，∴EC2＝EF•EP，∴EA2＝EF•EP．（3）∵正方形的边长为1，∴AB＝BC＝＝AD＝1，又∵CP＝1，∴BP＝2，∴，，∵BG⊥AP，∴∠ABG+∠BAG＝∠BPG+∠APB＝90°，∴∠APB＝∠ABG，∴，即，∴，方法（一），连接DP，∵AD∥CP，AD＝CP，∴四边形ACPD为平行四边形，∴AC∥PD，∴∠CAP＝∠APD，过D点作DM⊥AP于M，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即HG的长为．方法（二），连接OF，∵AD∥PC，∴∠F AD＝∠FPC，∠FDA＝∠FCP，∵AD＝CP，∴△F AD≌△FPC（ASA），∴DF＝FC，即点F是CD的中点，∵点O是AC的中点，∴OF是△ADC的中位线，∴OF：AD＝1：2，OF∥AD，∴OE：OD＝1：2，∴OE：OD＝1：3，∴OE：OA＝1：3，∴tan∠OAE＝OE：OA＝1：3，∴tan∠HAG＝tan∠OAE＝HG：AG＝1：3，∴HG：＝1：3，∴HG＝．18．解：（1）设BF＝x，则FC＝BC﹣BF＝24﹣x，∵BE＝6，且BE+BF+EF＝BC，∴EF＝18﹣x，在Rt△BEF中，由BE2+BF2＝EF2可得62+x2＝（18﹣x）2，解得：x＝8，∴18﹣x＝18﹣8＝10，∴EF＝10；（2）猜想：∠EOF＝45°．理由如下：如图，在FC上截取FM＝FE，连接OM，∵C△EBF＝BE+EF+BF＝BC，则BE+EF+BF＝BF+FM+MC，∴BE＝MC，∵O为正方形中心，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCM＝45°，在△OBE和△OCM中，，∴△OBE≌△OCM（SAS），∴∠EOB＝∠MOC，OE＝OM，∴∠EOB+∠BOM＝∠MOC+∠BOM，即∠EOM＝∠BOC＝90°，在△OFE与△OFM中，，∴△OFE≌△OFM（SSS），∴∠EOF＝∠MOF＝∠EOM＝45°．（3）证明：由（2）可知：∠EOF＝45°，∴∠AOE+∠FOC＝135°，∵∠EAO＝45°，∴∠AOE+∠AEO＝135°，∴∠FOC＝∠AEO，∵∠EAO＝∠OCF＝45°，∴△AOE∽△CFO．∴＝＝＝，∴AE＝OC，AO＝CF，∵AO＝CO，∴AE＝×CF＝CF，∴＝．19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∴∠BAE＝∠AGD，∵∠BAE＝∠DAF，∴∠AGD＝∠DAF，又∵∠ADG＝∠FDA，∴△GAD∽△AFD，∴DA2＝DG•DF，∵AD＝AF，∴AF2＝DG•DF；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴△ABH∽△GDH，△AHD∽△EHB，∴，，∴，∴AH2＝EH•GH，∵HE＝4，EG＝12，∴GH＝EG+HE＝16，∴AH2＝4×16，解得AH＝8，即AH的长是8．20．（1）证明：∵AE⊥AD，∠BAC＝90°，∴∠EAD＝∠CAB＝90°，∵∠B＝30°，∠ADE＝30°，∴∠B＝∠ADE，∴△ADE∽△ABC；（2）证明：∵∠EAD＝∠CAB＝90°，∴∠EAC＝∠DAB＝90°﹣∠CAD，∵△ADE∽△ABC，∴＝，∴△ACE∽△ABD；（3）解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝4，∠B＝30°，∴BC＝2AC＝8，AB＝＝＝4，∵CE＝x，CD＝2CE，∴CD＝2x，∵△ACE∽△ABD，∴＝，∴＝，∴BD＝x，∴BC＝CD+BD＝2x+x＝8，解得：x＝16﹣8．。

北师大版九年级上第四章相似三角形复习课件

6. 四边形ABCD是平行四边形,点E是 BC的延长线上的一点,而CE:BC=1:3,则 △ADG和△EBG的周长比3：4 ， 9：16 为面积比。
A
D
GF
B
CE
7. 举例说明三角形类似的一些应用．例如用类似测物体的高度
测山高
测楼高
D
E 1.2m
A 1.6m B 8.4m C
8. 如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝ 80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
3.如图,DE∥BC,AD:DB=1:2,DC,BE交于点O, 则△DOE与△BOC的周长之比是__1_:_3___, 面积比是___1_:_9___.
A
D
E
O
B
C
4、两类似三角形对应高之比为3∶4，周长之和为28cm，则两个三角形周长分别为 12cm与16cm
5、两类似三角形的类似比为3∶5，它们的面积和为 102cm2，则较大三角形的面积为 75cm2
C2
A
C
B
A2
C1 B2
A
A1 B1
C
B
4、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6， BC=12,点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q 从B点出发向C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B两地同时出发，几秒后△ PBQ与原三角形类似？
C
Q Q
B PP A
学以致用：
5.如图⊿ABC中，AB=8cm，BC=16cm ，点P从A点开始沿AB边向点B以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动。若点P、Q从A 、B处同时出发，经过几秒钟后， ⊿PBQ与⊿ABC类似？

北师大九年级数学上第四章相似三角形的性质及判定讲义

教学过程前课回顾1. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 2. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方错题重现1．若3x-7y=0, 则y∶x=_______, =________。

2．若a=7, b=4, c=5, 则b, a, c 的第四比例项d=_______。

3.若线段a=4, b=6, 则a, b 的比例中项为________。

4.已知：===, 则=______，=_________。

5.已知：a∶b∶c=3∶4∶5, a+b -c=4, 则4a+2b-3c=________。

知识详解知识点二：相似三角形的判定相似三角形的几种基本图形：A C E DB①E DCB A ②A③C BDE D BCA⑥A CB④D A CDBP⑤图①为“A ”型图，条件是DE ∥BC ，基本结论是△ADE ∽△ABC ；图②为“X ”型图，条件是ED ∥BC ，基本结论是△ADE ∽△ABC ；图③，图④是图①的变式；图⑤是图②的变式；图⑥是“母子”型图，条件是CD 为斜边上的高，基本结论是△ACD ∽△ABC ∽△CBD 。

典型例题作辅助线构造“A ”“X ”型例1、如图，1==DEAECD BD ，求BF AF 。

（试用多种方法解）方法一：方法二：方法三：例2、如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 上的一点，且AE=31AD ，CE 交AB 于点F ，若AF=1.2cm ，求AB 的长。

北师大版九年级数学上册第4章相似三角形判定定理的证明

证明: (1)∵D,F关于直线AE 对称,
∴易得 AD=AF,∠DAE=∠FAE=α.
∴∠DAF=2α=∠BAC.
∵ = , = , ∴
∴ ∼ .

=

,

例 4: 在△ABC中,AB=AC,点 D,E在BC 边上,∠BAC=2∠DAE=2α.
(2)如图②,在(1)的条件下,若α=45°,连接CF,求证: ² = ² + ².

∴ = ⋅ =
∵ =

− ⋅ = − ,

⋅ = × × = ,

∴当 = 时, − = × ,整理得 ² − + = ,解得 ₁
EF 是直角三角形,. ∴ ² = ² + ².
∵D,F关于直线AE 对称,∴易得 DE=EF. ∴ ² = ² + ².
【题型三】和相似有关的动点问题
例 5: 如图,在直角梯形 ABCD 中,AD=3,AB=11,BC=6,AB⊥BC,
点 P是线段AB 上一动点,如果满足△ADP 和△BCP 相似,求线
点 B以1cm/s的速度移动,点 Q从点 B 出发沿 BC 边向点 C以2cm/s的速度移动
(其中一点到达终点，另一点也停止运动)，设移动时间为 ts.
(1)如果 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发，那么几秒时，△PBQ的面

积等于△ABC面积的 ?
解: (1)由题意得 = , = ,则 = − ,
求AB 的长.
解: ∵∠A = ∠A,∠ABD = ∠C,
∴△ABD∽ , ∴

2024-2025北师大九年级数学(上)第四章图形的相似单元测试卷(含答案)

第四章测试卷(时间:100分钟满分:120分)一、选择题(每小题3分，共30分，)题号12345678910答案B C A D B C C C A C1.下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是( )2.在比例尺为1：500000的交通地图上，玉林到灵山的长度约为 23.6cm ，则它的实际长度约为( )A.0.118km B.1.18km C.118km D.1180km3.如图，以A ，B ，C 为顶点的三角形与以D ，E ，F 为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )A.2:1B.3:1C.4:3D.3:24.在△ABC 中,D 是AB 中点,E 是AC 中点,若△ADE 的面积是3，则△ABC 的面积是 ( )A.3 B.6 C.9 D.125.如图,在△ABC 中,点D 在AB 边上,过点 D 作DE ∥BC 交AC 于点E,DF ∥AC 交BC 于F,若AE:DF=2:3,则BF:BC 的值是 ( )A. 23 B. 35 C. 12D. 256.如图,在四边形ABCD 中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是 ( )A.∠DAC=∠ABC B. AC 是∠BCD 的平分线 C.AC²=BC ⋅CD D.ADAB =DCAC7. 若△ABC 的各边都分别扩大到原来的 2 倍，得到△A ₁B ₁C ₁，下列结论正确的是 ( )A.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的对应角不相等 B.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁不一定相似C.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为1:2 D.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为2:18.如图,点 E 是▱ABCD 的边 BC 延长线上的一点,AE 和CD 交于点G ，AC 是▱ABCD 的对角线，则图中相似三角形共有 ( )A.2 对B.3 对C.4 对D.5 对9.如图,已知E(-4,2),F(--2,--2),以O 为位似中心,把△EFO 缩小到原来的 12，则点E 的对应点的坐标为( )A.(2,一1)或(-2,1)B.(8,一4)或(一8,4)C.(2,-1)D.(8,-4)10.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 、F 分别在边AD 和CD 上,AF ⊥BE,垂足为G,若 AEED =2,则 AGGF 的值为( )A. 45B. 56C.67D.78二、填空题(每小题3分，共15分)11.若△ABC ∽△A'B'C',且相似比为3:5,已知△ABC 的周长为21,则△A'B'C'的周长为 .12.如图是一架梯子的示意图，其中 AA₁‖BB₁‖CC₁‖DD₁,且AB=BC=CD.为使其更稳固，在A ，D ₁间加绑一条安全绳( 线段AD ₁),量得 AE=0.4m,则 AD₁= m13.如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下3m 宽的亮区.已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE=7m ，窗口高AB=1.8m,那么窗口底边离地面的高BC 等于 m.14.如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC 与△CDE 的面积比为 .15.如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点，且 CF =14CD,下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE ∽△ECF,③AE ⊥EF,④△ADF ∽△ECF.其中正确的结论是 (填序号).三、解答题(本大题8个小题，共75 分)16.(8分)根据下列条件,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由. AB =3,BC =4,AC =5,A 'B '=12,B 'C '=16,C 'A '=2017.(9分)如图,D 是△ABC 的边AC 上的一点,连接BD,已知∠ABD=∠C,BC=6,BD=4,如果△ABD 的面积为4,求△BC D 的面积.18.(9分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(1，3)，B(4,1),C(1,1).(1)画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A ₁B ₁C ₁;(2)画出△ABC 以点O 为位似中心,相似比为 1:2的△A ₂B ₂C ₂.19.(9分)如图,四边形ABCD 是菱形,AF ⊥BC 交BD 于E,交 BC 于F.求证: AD 2=12DE ⋅DB.20.(10分)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸边的一颗大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了 B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆DE，使得点 E 与点C、A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得 BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m，测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽 AB.21.(10分)如图,E是平行四边形ABCD的边 DA 延长线上一点,连结 EC 交AB 于 P.(1)写出图中的三对相似三角形(不添加辅助线)；(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由.22.(10分)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题.角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,则ABAC =BDCD.下面是这个定理的部分证明过程.证明:如图2,过点C作CE∥DA,交 BA的延长线于点 E⋯任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5cm ,AC=4 cm,BC=7 cm.求 BD的长.23.(10分)在矩形 ABCD中,点 E 是对角线AC 上一动点,连接 DE,过点 E 作EF⊥DE 交AB 于点 F.(1)如图1,当DE=DA时,求证:AF=EF;(2)如图2，点E 在运动过程中，DEEF的值是否发生变化?请说明理由.第四章测试卷答案一、选择题1、B2、C3、A4、D5、B6、C7、C8、C9、A 10、C 二、填空题11、35 12、1.2m 13、2.4m 14、4:1 15、②③三、解答题16、解：相似，理由： ∵AB A 'B '=312=14,BC B 'C '=416=14,AC A 'C '=520=14,∴ABA 'B'=BCB 'C '=ACA 'C ',∴ABC ∽A 'B 'C '.17、解:∵∠ABD=∠C,又∠A=∠A,∴△ABD ∽△ACB,S ABD S ACB=(BD CB )2=(46)2=49,18、解：如图所示19、证明:连接AC 交 BD 于点O,∵四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD,BO=OD,∵AE ⊥AD,∴△AOD ∽△EAD, ∴AD OD=ED AD,∴A D 2=ED ⋅OD,即 A D 2=12DE ⋅DB.20、解:∵CB ⊥AD,ED ⊥AD, ∴∠CBA =∠EDA =90°.∵∠CAB=∠EAD, ∴ABCOADE,∴AB AD=BC DE,∴AB AB +8.5=11.5,∴AB =17,.∴河宽为17m.21、解:(1)△EAP ∽△CBP,△AEP ∽△DEC,△BCP ∽△DEC.(2)选. △EAPO △CBP,理由如下:在▱ABCD 中AD ∥BC,∴∠EAP=∠B.又∵∠APE=∠BPC,∴△EAP ∽△CBP.22、解:(1)证明:如图2,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E, ∵CEDA,∴BDCD =BAEA,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠E,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∠ACE=∠E,∴AE=AC,∴ABAC =BDCD；(2)∵AD是角平分线, ∴ABAC =BDCD,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm, C.54=BD7−BD,解得BD=359cm.23、解:(1)证明:如图,连接 DF，在矩形ABCD 中,∠DAF=90°,又∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∵AD=DE,DF=DF,∴Rt△DAF≌Rt△DEF(HL),∴AF=EF;(2)DEEF 的值不变.如图,过点E作EM⊥AD于点M,过点E 作EN⊥AB 于点 N,∵EM∥CD,EN∥BC,∴EMCD =AEAC,ENBC=AEAC,∴EMEN=CDBC,∵∠DEF=∠MEN=90°,∴∠DEM=∠FEN,又·∴∠DME=∠ENF=90°,∴△DME⊗△FNE,∴DEEF =EMEN,∴DEEF=CDBC,∵CD 与BC 的长度不变, ∴DEFF的长度不变.。

北师大版九年级数学上册第四章相似三角形培优专题 (含答案)

北师大版九年级上册第四章相似三角形培优专题（含答案）一、单选题1．如图，过点0(0,1)A 作y 轴的垂线交直线:3l y x =于点1A ，过点1A 作直线l 的垂线，交y 轴于点2A ，过点2A 作y 轴的垂线交直线l 于点3A ，…，这样依次下去，得到012A A A ∆，234A A A ∆，4564A A ∆，…，其面积分别记为1S ，2 S ，3 S ，…，则100S （）A ．1002⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．100C ．1994D ．39522．如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，//DE BC ，ACD B ∠=∠，若2A D B D=，6BC =，则线段CD 的长为（）A．B ．C ．D ．53．如图，在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E ．使得15CDE ︒∠=，连接BE 并延长BE 到F ，使CF CB =，BF 与CD 相交于点H ，若1AB =，有下列结论：①BE DE =；②CE DE EF +=；③1412DEC S ∆=-；④1DH HC =-．则其中正确的结论有（）A ．①②③B ．①②③④C ．①②④D ．①③④4．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=6，若点E ，F 分别在AB,CD 上，且BE=2AE ，DF=2FC ，G ，H 分别是AC 的三等分点，则四边形EHFG 的面积为（）A ．1B ．32C ．2D ．45．如图，在等腰三角形ABC ∆中，AB AC =，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，ABC ∆的面积为42，则四边形DBCE 的面积是（）A ．20B ．22C ．24D ．266．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点E ，:AD AB =，将ABD △沿BD 折叠，点A 的对应点为F ，连接AF 交BC 于点G ，且2BG =，在AD 边上有一点H ，使得BH EH +的值最小，此时BH CF=（）A ．2B ．3C ．2D ．327．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，BD ，AE 交于点O ，若随机向平行四边形ABCD 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（）A ．116B ．112C ．18D ．168．如图，在平面直角坐标系中，已知()()()3,2,0,-2,3,0,A B C M ---是线段AB 上的一个动点，连接CM ，过点M 作MN MC ⊥交y 轴于点N ，若点M N 、在直线y kx b =+上，则b 的最大值是（）A ．78-B ．34-C ．1-D ．09．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝6，BD ＝8，P 是对角线BD 上任意一点，过点P 作EF ∥AC ，与平行四边形的两条边分别交于点E 、F .设BP ＝x ，EF ＝y ，则能大致表示y 与x 之间关系的图象为( )A ．B ．C ．D ．10．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 的中点，AE 与BD 交于点P ，F 是CD 上的一点，连接AF 分别交BD ，DE 于点M ，N ，且AF ⊥DE ，连接PN ，则下列结论中:①4ABM FDM S S =；②PN =；③tan ∠EAF=34；④.PMN DPE ∽正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④11．如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线,AC BD 的交点，过点O 作射线分别交,OM ON 于点,E F ，且90EOF ∠︒＝，交,OC EF 于点G ．给出下列结论：COE DOF V V ①≌;OGE FGC V V ②∽C ；③四边形CEOF 的面积为正方形ABCD 面积的14；22•DF BE OG OC +④＝．其中正确的是（）A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．③④12．如图，在ABC ∆中，D 在AC 边上，12AD DC ：＝：，O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于E ，则BE EC ：＝（）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．2：313．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知2)B ，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，P 是对角线OB 上一动点（不与原点重合），连接PC ，过点P 作PD PC ⊥，交x 轴于点D ．下列结论：①OA BC ==②当点D 运动到OA 的中点处时，227PC PD +=；③在运动过程中，CDP ∠是一个定值；④当△ODP 为等腰三角形时，点D 的坐标为3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．如图，在ABC △中，点D 为BC 边上的一点，且2AD AB ==，AD AB ⊥，过点D 作DE AD ⊥，DE 交AC 于点E ，若1DE =，则ABC △的面积为( )A ．B ．4C ．D ．8二、填空题 15．如图，在等腰Rt ABC ∆中， 90C =∠，15AC =，点E 在边CB 上， 2CE EB =，点D 在边AB 上，CD AE ⊥，垂足为F ，则AD 长为_____．16．如图，在正方形ABCD 中，AB=8，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM=6. P 为对角线BD 上一点，则PM —PN 的最大值为___.17．如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边,BO CO 分别在x 轴，y 轴上，A 点的坐标为(8,6)-，点P 在矩形ABOC 的内部，点E 在BO 边上，满足PBE ∆∽CBO ∆，当APC ∆是等腰三角形时，P 点坐标为_____．18．如图，正方形ABCD 的对角线AC 上有一点E ，且CE ＝4AE ，点F 在DC 的延长线上，连接EF ，过点E 作EG ⊥EF ，交CB 的延长线于点G ，连接GF 并延长，交AC 的延长线于点P ，若AB ＝5，CF ＝2，则线段EP 的长是_____．19．如图，ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且点A 、C 、E 在同一直线上，AD 与BE 、BC 分别交于点F 、M ，BE 与CD 交于点N ．下列结论正确的是_______（写出所有正确结论的序号）．①AM BN =；②ABF DNF ∆∆≌；③180FMC FNC ︒∠+∠=；④111A C N C EM =+20．如图，正方形ABCD 中，1124AB AE AB ==，，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ EP ⊥，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为_______．21．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”. 由边长为ABCD 可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH 内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型(其中点Q R 、分别与图2中的点E G 、重合，点P 在边EH 上)，则“拼搏兔”所在正方形EFGH 的边长是_____.22．如图，ABCD 的对角线,AC BD 交于点O ，CE 平分BCD ∠交AB 于点E ，交BD 于点F ，且60,2ABC AB BC ∠=︒=，连接OE ．下列结论：①EO AC ⊥；②4AOD OCF S S =；③:7AC BD =；④2•FB OF DF =．其中正确的结论有__________（填写所有正确结论的序号）23．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点ADE ，则GE的长落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若5为__________．参考答案1．D【解析】【分析】本题需先求出OA 1和OA 2的长，再根据题意得出OA n =2n ，把纵坐标代入解析式求得横坐标，然后根据三角形相似的性质即可求得S 100．【详解】∵点0A 的坐标是(0,1)，∴01OA =，∵点1A 在直线3y x =上， ∴12OA =，013A A = ∴24OA =，∴38OA =，∴416OA =，得出2n n OA =， ∴12·3n n n A A +=∴1981982OA =，19819819923A A = ∵113(41)3322S =-⋅= ∵21200199A A A A ∥，∴012198199200∆∆∽A A A A A A ， ∴2198100133S S ⎛=， ∴396395332332S == 故选D ．【点睛】本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．2．C【解析】【分析】设2AD x =，BD x =，所以3AB x =，易证ADEABC ∆∆，利用相似三角形的性质可求出DE 的长度，以及23AE AC =，再证明ADE ACD ∆∆，利用相似三角形的性质即可求出得出AD AE DE AC AD CD==，从而可求出CD 的长度. 【详解】解：设2AD x =，BD x =，∴3AB x =，∵//DE BC ，∴ADEABC ∆∆， ∴DE AD AE BC AB AC==， ∴263DE x x=， ∴4DE =，23AE AC =， ∵ACD B ∠=∠，ADE B ∠=∠，∴ADE ACD ∠=∠，∵A A ∠=∠，∴ADEACD ∆∆， ∴AD AE DE AC AD CD==，设2AE y =，3AC y =， ∴23AD y y AD=， ∴6AD =，4CD=，∴26CD=故选：C.【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型. 3．A【解析】【分析】①由正方形的性质可以得出AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，通过证明△ABE≌△ADE，就可以得出BE=DE；②在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，再通过条件证明△DEC≌△FGC就可以得出CE+DE=EF；③过B作BM⊥AC交于M，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式即可求出高DM，根据三角形的面积公式即可求得13412DECS∆=-；④解直角三角形求得DE，根据等边三角形性质得到CG=CE，然后通过证得△DEH∽△CGH，求得31DH DEHC CG==．【详解】证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB AD=，90ABC ADC︒∠=∠=，45BAC DAC ACB ACD︒∠=∠=∠=∠=．在ABE∆和ADE∆中，AB ADBAC DACAE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADE SAS∆≅∆，∴BE DE=，故①正确；②在EF上取一点G，使EG EC=，连结CG，∵ABE ADE∆≅∆，∴ABE ADE∠=∠．∴CBE CDE∠=∠，∵BC CF =，∴CBE F ∠=∠，∴CBE CDE F ∠=∠=∠．∵15CDE ︒∠=，∴15CBE ︒∠=，∴60CEG ︒∠=．∵CE GE =，∴CEG ∆是等边三角形．∴60CGE ︒∠=，CE GC =，∴45GCF ︒∠=，∴ECD GCF ∠=．在DEC ∆和FGC ∆中，CE GC ECD GCF CD CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DEC EGC SAS ∆≅∆，∴DE GF =．∵EF EG GF =+，∴EF CE ED =+，故②正确；③过D 作DM AC ⊥交于M ，根据勾股定理求出2AC =，由面积公式得：1122AD DC AC DM ⨯=⨯， ∴22DM =，∵45DCA ︒∠=，60AED ︒∠=， ∴22CM =，66EM =， ∴2626CE CM EM =-=- ∴1132412DEC S CE DM ∆=⨯=-，故③正确； ④在Rt DEM ∆中，623DE ME ==∵ECG ∆是等边三角形， ∴262CG CE ==- ∵60DEF EGC ︒∠=∠=，∴DE CG ∥，∴DEH CGH ∆∆∽， ∴633126DH DE HC CG ===+，故④错误；综上，正确的结论有①②③，故选A ．【点睛】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键． 4．C【解析】【分析】如图，延长FH 交AB 于点M ，由BE ＝2AE ，DF ＝2FC ，G 、H 分别是AC 的三等分点，证明EG//BC ，FH//AD ，进而证明△AEG ∽△ABC ，△CFH ∽△CAD ，进而证明四边形EHFG 为平行四边形，再根据平行四边形的面积公式求解即可.【详解】如图，延长FH 交AB 于点M ，∵BE ＝2AE ，DF ＝2FC ，AB=AE+BE ，CD=CF+DF ，∴AE ：AB=1：3，CF ：CD=1：3，又∵G 、H 分别是AC 的三等分点，∴AG ：AC=CH ：AC=1：3，∴AE ：AB=AG ：AC ，CF ：CD=CH ：CA ，∴EG//BC ，FH//AD ，∴△AEG ∽△ABC ，△CFH ∽△CDA ，BM ：AB=CF ：CD=1：3，∠EMH=∠B ，∴EG ：BC=AE ：AB=1：3，HF ：AD=CF ：CD=1：3，∵四边形ABCD 是矩形，AB=3，BC=6，∴CD=AB=3，AD=BC=6，∠B=90°，∴AE=1，EG=2，CF=1，HF=2，BM=1，∴EM=3-1-1=1，EG=FH ，∴EG //FH ，∴四边形EHFG 为平行四边形，∴S 四边形EHFG ＝2×1=2，故选C.【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握和灵活运用相关内容是解题的关键.5．D【解析】【分析】利用AFH ADE ∆~∆得到2916AHF ADE S FH S DE ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以9,16,AFH ADE S x S x ∆∆==则1697x x -=，解得1x =，从而得到16ADE S ∆=，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE 的面积．【详解】如图，根据题意得AFH ADE ∆~∆， ∴2239416AHF ADE S FH S DE ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设9AFH S x ∆=，则16ADE S x ∆=，∴1697x x -=，解得1x =，∴16ADE S ∆=，∴四边形DBCE 的面积421626=-=．故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．6．B【解析】【分析】设BD 与AF 交于点M ．设AB=a ，3，根据矩形的性质可得△ABE 、△CDE 都是等边三角形，利用折叠的性质得到BM 垂直平分AF ，BF=AB=a ，3．解直角△BGM ，求出BM ，再表示DM ，由△ADM ∽△GBM ，求出3，再证明3B 点关于AD 的对称点B′，连接B′E ，设B′E 与AD 交于点H ，则此时BH+EH=B′E ，值最小．建立平面直角坐标系，得出B （3，3B′（3，3E （03B′E 的解析式，得到H （1，0），然后利用两点间的距离公式求出BH=4，进而求出23BH CF ==233．【详解】如图，设BD 与AF 交于点M ．设AB=a ，3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，tan∠ABD=3 ADAB=∴22AB AD+，∠ABD=60°，∴△ABE、△CDE都是等边三角形，∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=a，∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，∴BM垂直平分AF，BF=AB=a，3，在△BGM中，∵∠BMG=90°，∠GBM=30°，BG=2，∴GM=12BG=1，33，∴3∵矩形ABCD中，BC∥AD，∴△ADM∽△GBM，∴AD DMBG BM=3233a a-=，∴3∴3，AD=BC=6，3易证∠BAF=∠FAC=∠CAD=∠ADB=∠BDF=∠CDF=30°，∴△ADF是等边三角形，∵AC平分∠DAF，∴AC垂直平分DF，∴作B 点关于AD 的对称点B′，连接B′E ，设B′E 与AD 交于点H ，则此时BH+EH=B′E ，值最小．如图，建立平面直角坐标系，则A （3，0），B （3，3B′（3，3E （03），易求直线B′E 的解析式为33∴H （1，0），∴22(31)(230)-+-， ∴23BH CF =23 故选：B ．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形、垂直平分线、相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线的解析式，轴对称-最短路线问题，两点间的距离公式等知识．综合性较强，有一定难度．分别求出BH 、CF 的长是解题的关键．7．B【解析】【分析】根据E 为BC 的中点，可得12BO OE BE OD AO AD ===，根据边长的比值即可计算出图阴影部分的面积与平行四边形面积的比值，由此即可求得答案.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC//AD ，BC=AD ，∴△BOE ∽△DOA ，∴BO OE BE OD AO AD== 又∵E 为BC 的中点， ∴12BO OE BE OD AO AD ===， ∴13BO BD =， ∴BOE AOB 1S S 2=，AOB ABD 1S S 3=， ∴BOE ABD ABCD 11S S S 612==，∴米粒落在图中阴影部分的概率为112，故选B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，几何概率，熟练掌握相关知识是解题的关键.8．A【解析】【分析】当点M 在AB 上运动时，MN ⊥MC 交y 轴于点N ，此时点N 在y 轴的负半轴移动，定有△AMC ∽△NBM ；只要求出ON 的最小值，也就是BN 最大值时，就能确定点N 的坐标，而直线y=kx+b 与y 轴交于点N （0，b ），此时b 的值最大，因此根据相似三角形的对应边成比例，设未知数构造二次函数，通过求二次函数的最值得以解决．【详解】解：连接AC ，则四边形ABOC 是矩形，90A ABO ︒∴∠=∠=，又MN MC ⊥，90CMN ︒∴∠=，AMC MNB ∴∠=∠，~AMC NBM ∴∆∆，AC AM MB BN∴=，设,BN y AM x ==．则3,2MB x ON y =-=-， 23x x y∴=-，即：21322y x x =+ ∴当33212222b x a =-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，21333922228y ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭最大直线y kx b =+与y 轴交于()0,N b当BN 最大，此时ON 最小，点()0,N b 越往上，b 的值最大，97288ON OB BN ∴=-=-=，此时， 70,8N ⎛⎫- ⎪⎝⎭ b 的最大值为78-．故选：A ．【点睛】本题综合考查相似三角形的性质、二次函数的性质、二次函数的最值以及一次函数的性质等知识；构造相似三角形、利用二次函数的最值是解题的关键所在．9．A【解析】【分析】根据图形先利用平行线的性质求出△BEF ∽△BAC ，再利用相似三角形的性质得出x 的取值范围和函数解析式即可解答【详解】当0≤x ≤4时，∵BO为△ABC的中线，EF∥AC，∴BP为△BEF的中线，△BEF∽△BAC，∴BP EFBO AC=，即46x y=，解得32y x=y，同理可得，当4＜x≤8时，3(8)2y x =-.故选：A.【点睛】此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于利用三角形的相似10．A【解析】【分析】利用正方形的性质，得出∠DAN＝∠EDC，CD＝AD，∠C＝∠ADF即可判定△ADF≌△DCE（ASA），再证明△ABM∽△FDM，即可解答①；根据题意可知：AF＝DE＝AE5得出③；作PH⊥AN于H．利用平行线的性质求出AH＝24585453HN==，即可解答②；利用相似三角形的判定定理，即可解答④【详解】解：∵正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠C＝∠ADF＝90°，CE＝BE＝1，∵AF⊥DE，∴∠DAF+∠ADN＝∠ADN+∠CDE＝90°，∴∠DAN＝∠EDC，在△ADF与△DCE中，CAD CDCDE⎧⎪=⎨⎪⎩∠ADF=∠∠DAF=∠，∴△ADF≌△DCE（ASA），∴DF＝CE＝1，∵AB∥DF，∴△ABM∽△FDM，∴24S ABM ABS FDM DF∆⎛⎫==⎪∆⎝⎭，∴S△ABM＝4S△FDM；故①正确；根据题意可知：AF ＝DE ＝AE ∵12 ×AD ×DF ＝12×AF ×DN ， ∴DN 25 ， ∴EN ＝355，AN ＝455， ∴tan ∠EAF ＝34EN AN =，故③正确，作PH ⊥AN 于H ．∵BE ∥AD ， ∴2PA AD PE BE==， ∴P A 25 ∵PH ∥EN ， ∴23AH PA AN AE ==， ∴AH ＝24585453HN ==， ∴2265PA AH -= ∴PN 22265PH HN +②正确， ∵PN ≠DN ，∴∠DPN ≠∠PDE ，∴△PMN 与△DPE 不相似，故④错误．故选：A ．【点睛】此题考查三角函数，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质难度较大，解题关键在于综合掌握各性质11．B【解析】【分析】根据全等三角形的判定（ASA ）即可得到①正确；根据相似三角形的判定可得②正确；根据全等三角形的性质可得③正确；根据相似三角形的性质和判定、勾股定理，即可得到答案.【详解】解：Q ①四边形ABCD 是正方形，,OC OD AC BD ∴⊥＝，45ODF OCE ∠∠︒＝＝，90MON ∠︒Q ＝，COM DOF ∴∠∠＝，COE DOF ASA ∴V V ≌（），故①正确；90EOF ECF ∠∠︒Q ②＝＝，∴点,,,O E C F 四点共圆，∴,EOG CFG OEG FCG ∠∠∠∠＝＝，∴OGE FGC V ∽，故②正确；③COE DOF QV V ≌，COE DOF S S ∴V V ＝，14OCD ABCDCEOF S S S ∴==V 正方形四边形，故③正确； COE DOF QV V ④≌，OE OF ∴＝，又90EOF ∠︒Q ＝，EOF ∴V 是等腰直角三角形，45OEG OCE ∴∠∠︒＝＝，EOG COE ∠∠Q ＝，OEG OCE ∴V V ∽，::OE OC OG OE ∴＝，2•OG OC OE ∴＝，122OC AC OE EF Q ＝，＝， 2•OG AC EF ∴＝，,CE DF BC CD Q ＝＝，BE CF ∴＝，又Rt CEF Q V 中，222CF CE EF +＝，222BE DF EF ∴+＝，22•OG AC BE DF ∴+＝，故④错误，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定（ASA ）和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定（ASA ）和性质、相似三角形的性质和判定.12．B【解析】【分析】过O 作BC 的平行线交AC 与G ，由中位线的知识可得出12AD DC ：＝：，根据已知和平行线分线段成比例得出2121AD DG GC AG GC AO OF ＝＝，：＝：，：＝：，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出BF FC ：的比．【详解】解：如图，过O 作//OG BC ，交AC 于G ，∵O 是BD 的中点，∴G 是DC 的中点．又12AD DC ：＝：，AD DG GC ∴＝＝，2121AG GC AO OE ∴：＝：，：＝：，2AOB BOE S S ∆∆∴：＝设2BOE AOB S S S S ∆∆＝，＝，又BO OD ＝，24AOD ABD S S S S ∆∆∴＝，＝，12AD DC ：＝：，287BDC ABD CDOE S S S S S ∆∆∴四边形＝＝，＝，93AEC ABE S S S S ∆∆∴＝，＝，3193ABE AEC S BE S EC S S ∆∆∴=== 故选：B ．【点睛】考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．13．D【解析】【分析】①根据矩形的性质即可得到23OA BC ==①正确；②由点D 为OA 的中点，得到132OD OA ==2222272(3)PC PD CD OC OD +==+=+=，故②正确；③如图，过点P 作PF OA ⊥于F ，FP 的延长线交BC 于E ，PE a =，则2P F E F P E a=-=-，根据三角函数的定义得到33BE PE a ==，求得2333(2)CE BC BE a a =-==-，根据相似三角形的性质得到3FD =，根据三角函数的定义得到60PDC ︒∠=，故③正确； ④当ODP ∆为等腰三角形时，Ⅰ、OD PD =，解直角三角形得到3333OD OC ==， Ⅱ、OP ＝OD ，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到10590OCP ︒︒∠=>，故不合题意舍去；Ⅲ、OP PD =，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到10590OCP ︒︒∠=>，故不合题意舍去；于是得到当ODP ∆为等腰三角形时，点D 的坐标为3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．故④正确．【详解】解：①∵四边形OABC 是矩形，(23,2)B ，23OA BC ∴==①正确；②∵点D 为OA 的中点，132OD OA ∴==， 2222222237PC PD CD OC OD ∴+++＝＝＝（）＝，故②正确；③如图，过点P 作PF OA ⊥ A 于F ，FP 的延长线交BC 于E ，PE BC ∴⊥，四边形OFEC 是矩形，2EF OC ∴＝＝，设PE a ＝，则2PF EF PE a ＝﹣＝﹣，在Rt BEP ∆中，PE OC 3BE BC 3tan CBO ∠===， 33BE PE a ∴==，2333(2)CE BC BE a a ∴=-==-，PD PC ⊥，90CPE FPD ︒∴∠∠=，90CPE PCE ︒∠+∠=，,FPD ECP ∴∠=∠，90CEP PFD ︒∠=∠=，CEP PFD ∴∆∆∽，PE CP FD PD∴=， 3(2)a a FD -∴=FD ∴=， tan 33PC a PDC a PD∴∠===， 60PDC ︒∴∠=，故③正确； ④(23,2)B ，四边形OABC 是矩形，3,2OA AB ∴==，3tan AB AOB OA ∠== 30AOB ︒∴∠=，当ODP ∆为等腰三角形时，Ⅰ、OD PD ＝，30DOP DPO ∴∠∠＝＝， 60ODP ∴∠＝， 60ODC ∴∠＝， 3333OD ∴== Ⅱ、OP OD =75ODP OPD ∴∠∠＝＝，90COD CPD ∠∠＝＝，10590OCP ∴∠＝＞，故不合题意舍去；Ⅲ、OP PD ＝，30POD PDO ∴∠∠＝＝， 15090OCP ∴∠＝＞故不合题意舍去，∴当ODP ∆为等腰三角形时，点D 的坐标为23⎫⎪⎪⎝⎭．故④正确，故选：D ．【点睛】考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，构造出相似三角形表示出CP 和PD 是解本题的关键．14．B【解析】【分析】先证CDE CBA V :V ，利用相似三角形性质得到12DC DE BC BA ==，即12DC BD DC =+，在直角三角形ABD 中易得22BD =，从而解出DC ，得到△ABC 的高，然后利用三角形面积公式进行解题即可【详解】AB AD DE AD ∴⊥⊥，90BAD ADE ∴∠=∠=o//AB DE ∴易证CDE CBA V :V12DC DE BC BA ∴== 即12DC BD DC =+ 由题得22BD =∴解得22DC =ABC △2112422422ABC S BC ∴=⨯=⨯=V 故选B【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的高，本题关键在于找到相似三角形求出DC 的长度15．【解析】【分析】过D 作 DH AC ⊥于H ，则∠AHD=90°由等腰直角三角形的性质可得15AC BC ==，45CAD ∠=，进而可得AH DH =，由此得CH=15-DH ，再证明~ACE DHC ∆∆，由相似三角形的对应边成比例可得DH CH AC CE=，求出CE=10，代入相关数据可求得DH=9，继而根据勾股定理即可求得AD 长.【详解】过D 作 DH AC ⊥于H ，则∠AHD=90° 在等腰Rt ABC ∆中，90C =∠，15AC =， 15AC BC ∴==，45CAD ∠=，∴∠ADH=90°-∠CAD=45°=∠CAD ，AH DH ∴=，∴CH=AC-AH=15-DH ，CF AE ⊥，90DHA DFA ∴∠=∠=，又∵∠ANH=∠DNF ，HAF HDF ∴∠=∠，~ACE DHC ∴∆∆，DH CH AC CE∴=， 2CE EB =，CE+BE=BC=15，∴10CE =， ∴151510DH DH -=， 9DH ∴=，2292AD AH DH ∴=+=，故答案为：92．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.16．2.【解析】【分析】如图所示，以BD 为对称轴作N 的对称点N '，连接PN '，根据对称性质可知，PN PN ='，由此可得PM PN MN '-≤'，当,,P M N '三点共线时，取“=”，此时即PM —PN 的值最大，由正方形的性质求出AC 的长，继而可得22ON ON '==62AN '=，再证明13CM CN BM AN '='=，可得PM ∥AB ∥CD ，∠CMN '=90°，判断出△N CM '为等腰直角三角形，求得N M '长即可得答案. 【详解】如图所示，以BD 为对称轴作N 的对称点N '，连接PN '，根据对称性质可知，PN PN ='，∴PM PN MN '-≤'，当,,P M N '三点共线时，取“=”，∵正方形边长为8，∴282∵O 为AC 中点，∴AO=OC=2∵N 为OA 中点，∴ON=22 ∴22ON ON '== ∴62AN '=∵BM=6，∴CM=AB-BM=8-6=2， ∴13CM CN BM AN '='=， ∴PM ∥AB ∥CD ，∠CMN '=90°，∵∠N CM '=45°，∴△N CM '为等腰直角三角形，∴CM=N M '=2，故答案为：2.【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.17．326()55-，或(43)-，【解析】【分析】根据题意分情况讨论：①当P 点在AC 的垂直平分线上时，点P 同时在BC 上，AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ，根据PBE ∆∽CBO ∆求出PE ，②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上，圆弧与BC 的交点为P ，过点P 作PE BO ⊥于E ，根据PBE ∆∽CBO ∆，求出PE ，BE ，则可得到OE ，故而求出点P 点坐标.【详解】解：∵点P 在矩形ABOC 的内部，且APC ∆是等腰三角形，∴P 点在AC 的垂直平分线上或在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上；①当P 点在AC 的垂直平分线上时，点P 同时在BC 上，AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ，如图1所示：∵PE BO ⊥，CO BO ⊥，∴//PE CO ，∴PBE ∆∽CBO ∆，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(8,6)-，∴点P 横坐标为﹣4，6OC =，8BO =，4BE =，∵PBE ∆∽CBO ∆，∴PE BE CO BO =，即468PE =，解得：3PE =，∴点(4,3)P -；②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上，圆弧与BC 的交点为P ，过点P 作PE BO ⊥于E ，如图2所示：∵CO BO ⊥，∴//PE CO ，∴PBE ∆∽CBO ∆，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(-8,6)，∴8AC BO ==，8CP =，6AB OC ==， ∴222208610BC BO C +=+=，∴2BP =，∵PBE ∆∽CBO ∆， ∴PE BE BP CO BO BC ==，即：26810PE BE ==，解得：65PE =，85BE =， ∴832855OE =-=， ∴点326()55P -，；综上所述：点P 的坐标为：326()55-，或(43)-，；故答案为：326()55-，或(43)-，．【点睛】此题主要考查正方形的综合，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、矩形的性质及圆的性质.13218【解析】【分析】如图，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再证明△CEF∽△FEP，可得EF2＝EC•EP，由此即可解决问题．【详解】如图，作FH⊥PE于H．∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，∴AC＝2∠ACD＝∠FCH＝45°，∵∠FHC＝90°，CF＝2，∴CH＝HF2∵CE＝4AE，∴EC＝2，AE2，∴EH＝2在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（2）2+2）2＝52，∵∠GEF＝∠GCF＝90°，∴E，G，F，C四点共圆，∴∠EFG ＝∠ECG ＝45°，∴∠ECF ＝∠EFP ＝135°，∵∠CEF ＝∠FEP ，∴△CEF ∽△FEP ， ∴EF EC EP EF=， ∴EF 2＝EC•EP ，∴EP 132242= 故答案为：1322．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．19．①③④【解析】【分析】①根据等边三角形性质得出AC BC =，CE CD =，60ACB ECD ︒∠=∠=，求出BCE ACD ∠=∠，根据SAS 推出两三角形全等即可；②根据60ABC BCD ︒∠==∠，求出//AB CD ，可推出ABF DNF ∆∆∽，找不出全等的条件； ③根据角的关系可以求得60AFB ︒∠=，可求得120MFN ︒=，根据60BCD ︒∠=可解题； ④根据CM CN =，60MCN ︒∠=，可求得60CNM ︒∠=，可判定//MN AE ，可求得N DN CD CN AC CD CDM -==，可解题．【详解】明：①∵ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，∴AC BC =，CE CD =，60ACB ECD ︒∠=∠=，∴ACB ACE ECD ACE ∠+∠=∠+∠，即BCE ACD ∠=∠，在BCE ∆和ACD ∆中，BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BCE ACD SAS ∆∆≌，∴AD BE =，ADC BEC ∠∠=，CAD CBE ∠=∠，在DMC ∆和ENC ∆中，60MDC NEC DC BCMCD NCE ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴()DMC ENC ASA ∆∆≌，∴DM EN =，CM CN =，∴AD DM BE EN -=-，即AM BN =；②∵60ABC BCD ︒∠==∠，∴//AB CD ，∴BAF CDF ∠=∠，∵AFB DFN ∠=∠，∴ABF DNF ∆∆∽，找不出全等的条件；③∵180AFB ABF BAF ︒∠+∠+∠=，FBC CAF ∠=∠，∴180AFB ABC BAC ︒∠+∠+∠=，∴60AFB ︒∠=，∴120MFN ︒∠=，∵60MCN ︒∠=，∴180FMC FNC ︒∠+∠=；④∵CM CN =，60MCN ︒∠=，∴MCN ∆是等边三角形，∴60MNC ︒∠=，∵60DCE ︒∠=，∴//MN AE ，∴MN DN CD CN AC CD CD-==， ∵CD CE =，MN CN =， ∴MN CE MN AC CE-=， ∴MN MN 1AC CE =-，两边同时除MN 得111AC MN CE=-， ∴111MN AC CE=+．故答案为①③④【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，考查了平行线的运用，考查了正三角形的判定，本题属于中档题．20．4【解析】【分析】先证明BPE CQP ∆∆∽，得到与CQ 有关的比例式，设CQ y BP x ＝，＝，则12CP x ＝﹣，代入解析式，得到y 与x 的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．【详解】解：9090BEP BPE QPC BPE ∠+∠︒∠+∠︒＝，＝，BEP CPQ ∴∠∠＝．又90B C ∠∠︒＝＝，BPE CQP ∴∆∆∽．BE BP PC CQ∴= 设CQ y BP x ＝，＝，则12CP x ＝﹣．912x x y ∴=-，化简得()21129y x x =--，整理得21(6)49y x =--+，所以当6x ＝时，y 有最大值为4．故答案为4．【点睛】考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想．21．5【解析】【分析】如图3中，连接CE 交MN 于O ，先利用相似求出OM 、ON 的长，再利用勾股定理解决问题即可．【详解】如图3，连结CE 交MN 于O .观察图1、图2可知， 4,8EN MN CM ===，90ENM CMN ∠=∠=︒.图3∴EON COM ∆∆∽， ∴12EN ON CN OM ==， ∴1428,3333ON MN OM MN ====. 在Rt ENO ∆中，224103OE ON EN =+= ，同理可求得103OG =， ∴2)2GF OE OG =+=，即“拼搏兔”所在正方形EFGH 的边长是5故答案为：5【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22．①③④【解析】【分析】①根据已知的条件首先证明ECB 是等边三角形，因此可得EA EB EC ==，所以可得90ACB ∠=︒，再根据O 、E 均为AC 和AB 的中点，故可得90AOE ACB ∠=∠=︒，便可证明EO AC ⊥；②首先证明OEF BCF ∽，因此可得12OE OF BC FB ==，故可得AOD S 和OCF S 的比. ③根据勾股定理可计算的AC ：BD ；④根据③分别表示FB 、OF 、DF ，代入证明即可.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,,CD AB OD OB OA OC ==∥，∴180DCB ABC ∠+∠=︒，∵60ABC ∠=︒，∴120DCB ∠=︒，∵EC 平分DCB ∠， ∴1602ECB DCB ∠=∠=︒， ∴60EBC BCE CEB ∠=∠=∠=︒，∴ECB 是等边三角形，∴EB BC =，∵2AB BC =，∴EA EB EC ==，∴90ACB ∠=︒，∵,OA OC EA EB ==，∴OE BC ∥，∴90AOE ACB ∠=∠=︒，∴EO AC ⊥，故①正确，∵OE BC ∥，∴OEF BCF ∽， ∴12OE OF BC FB ==， ∴13OF OB =， ∴3AOD BOC OCF S S S ==，故②错误，设BC BE EC a ===，则2AB a =，3AC a =，22372OD OB a a ⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴7BD a =， ∴:37217AC BD a a ==，故③正确， ∵1736OF OB a ==， ∴73BF a =， ∴22277777,99BF a OF DF a ⎫=⋅=⋅+=⎪⎪⎝⎭， ∴2BF OF DF =⋅，故④正确，故答案为①③④．【点睛】本题是一道平行四边形的综合性题目，难度系数偏大，但是是常考点的组合，应当熟练掌握. 23．4913【解析】【分析】先根据勾股定理得出AE 的长，然后根据折叠的性质可得BF 垂直平分AG ，再根据ABM ~ADE ,求出AM 的长，从而得出AG,继而得出GE 的长【详解】解：在正方形ABCD 中，∠BAD=∠D =090，∴∠BAM+∠FAM=090在Rt ADE中，2222+1DE2315=+=A ADE∵由折叠的性质可得ABF GBF≅∴AB=BG，∠FBA=∠FBG∴BF垂直平分AG，∴AM=MG，∠AMB=090∴∠BAM+∠ABM=090∴∠ABM=∠FAM∴ABM~ADE∴AM ABDE AE=，∴12513AM=∴AM=6013, ∴AG=12013∴GE=5-12049 1313=【点睛】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键。

北师大版九年级数学上册第四章图形的相似复习测试题(含详解)

2019下学期九年级数学第四章图形的相似复习测试题一、选择题1、如图4-2-6所示，已知直线a∥b∥c，直线m分别交a,b,c于点A,C,E,直线n分别交a,b,c于点B,D,F,AC=4,CE=6,BD=3,则BF的长为（）A. B. C.6 D.2、若图4-3-4中的两个四边形相似，则的∠α度数是（)A.87°B.60°C.75°D.120°二、填空题3、在比例尺为1 ：5 000的地图上，量得中、乙两地的图上距离是3.2 cm，把它画在新的比例尺是1：8000的地图上，应画 cm.5、如图4-2-11所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC.若DE=2AD，AE= 2,则 EC = .6、如图4-4-8所示，在△ABC中，AB= 9, AC=6,点M在AB边上,且AM=3,点N在AC边上，当AN= 时, △AMN与原三角形相似.7、如图4-8-8所示，在平面直角坐标系中，点A，B，E，D，F的坐标分别是A（4，3），B（4，0），E（5，0），D（13，6），F（13，0），△DEF是由△AOB经过位似变换得到的，则位似中心的坐标是。

三、解答题8、如图4-1-2所示，点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上，9、已知1，，2三个数，请再添上一个数，写出一个比例式.10、如图4-2-8所示，在△ABC中，线段AD平分∠BAC，求证:.11、如图4-3-2所示，把矩形ABCD对折，折痕为MN,矩形DMNC与矩形ABCD相似，己知AB = 4.(1)求AD的长；(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比.12、如图4-3-6所示，点E为矩形ABCD的边AB上一点且满足A EA B =B EA E，当四边形ADFE为正方形时，矩形ABCD和矩形EFCB相似吗？为什么？13、某机械厂承接了一批焊制矩形钢板的任务，已知这种矩形钢板在图纸上（比例尺为1 : 400)的长和宽分别为3 cm和2 cm,该厂所用原料是边长为4 m的正方形钢板，那么焊制一块这样的矩形至少要用几块边长为4 m的正方形钢板(焊制损耗不汁)？14、根据下列各组条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似,并说明理由.(1)AB=3.5,BC=2.5,CA=4, A′B′=24.5, B′C′=17.5, C′A′=28;(2)∠A=35°,∠B=104°, ∠C′=44°, ∠A′=35° ；(3)AB=3,BC=2.6, ∠B=48°,A′B′=1.5, B′C′=1.3, ∠B′=48°.15、如图4-4-11所示，已知DE∥BC,DF∥AC,AD=4cm，BD=8cm，DE=5cm,求线段BF的长.16、如图4-4-13所示，在边长为1的正方形网格中有△ABC和△DEF,试说明这两个三角形相似.17、在人体脚底到肚脐的高度与身高的比例上，理想的肚胳的位置是黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的高度与身高的比为0.60,她的身高为1.60 m,她选择穿多高的高跟鞋看起来会更美？18、如图4-5-4所示，△A BC为等边三角形，D,E分別是AC,BC上的点（不与顶点重合），∠BDE =60° .(1)求证：△DEC ∽△BDA;(2)若△ABC的边长为 4,并设DC=x，BE=y，试求y与x之间的函数关系式.19、如图4-5-6所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AE丄BC，垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.(1)求证：△ADF ∽△DEC;(2)若AB=8,AD=63,AF=43,求AE的长.20、如图4-5-8所示，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°,∠B=90°,AB=7,AD=2,BC=3.试在边AB上确定点P的位置，使得以P,A,D 为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.21、如图4-5-10所示，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点O，直线l∥BD且与AB,DC,BC,AD及AC的延长线分别相交于点M,N,R,S和P.求证：PM•PN=PR•PS.22、小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一幢楼下，发现对面墙上有这幢楼的影子.针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：示意图如图4-6-7①所示，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这幢楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同.此时，测得小明落在墙上的影子的高度CD=1.2m，且测得CE=0.8m，CA=30m（点A,E,C在同一直线上）.已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1m).23、周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C,A共线.已知：CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1m，DE=1.5m，BC=8.5m.测量示意图如图4-6-9所示.请根据相关测量信息，求河宽AB.24、如图4-6-11①所示，小华在测量电线杆AB的高度时，发现电线杆的影子恰好落在坡面CD和水平地面BC上，影子CD=4m，BC=10m，CD与地面成30°角，且此时测得1m长的标杆的影长为2m，求电线杆的高度（结果精确到0.1m，取1.41，取1.73）.25、如图4-7-5所示，在△ABC中,D,E分别为BC, AC边的中点，AD, BE相交于点G,若S△DEG = 1,求S△ABC.26、如图4-7-7所示，路边的两根电线杆(AB，CD)相距4 m,分别在离地面高3 m的A处和高6m的C处用铁丝将两电线杆固定,求铁丝AD与铁丝BC的交点M离地面的高度.27、如图4-7-9所示，已知△ABC中, AB= 5, BC= 3,AC=4,PQ∥AB,点P在AC上(与点A,C不重合),点Q在BC上.(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长.图4-7-9(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长，(3)试问:在AB上是否存在一点M,使得△PQM为等腰直角三角形?若不存在,请简要说明理由;若存在,请求出PQ的长.28、如图4-8-11所示，已知点O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为（3，-1），（2，1）。

第四章小结与复习课件 2023--2024学年北师大版九年级数学上册

解：如图所示. O
A′ B′
C′ x
(3) 计算
y
△A′B′C′的面
积 S.
解：
S 1 48=16. 2 O
A′ B′
C′ x
当堂小结
定义
定义、判定、性质
相似
相似图形
相似多边形相似三角形
平行线分线段成比例
判定
性质
位似
性质平面直角坐标系中的位似
应用
课后练习
见教材章末练习
=1 : 2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积与 △DFA 的面积之比为 1 : 9 .
A
D
F
BE
C
考点二相似的应用
例3 如图，某一时刻一根 2 m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2 m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成 30°角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的距离是 3.6 m，求树 AB 的长．
3. 相似三角形的性质 ◑对应角相等、对应边成比例 ◑对应高、中线、角平分线的比等于相似比 ◑周长比等于相似比 ◑面积比等于相似比的平方
4. 相似三角形的应用 (1) 测高 (不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.
(2) 测距 (不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解.
∵ EF//BC，∴△AEF ∽ △ABC.
∴ EF AM . BC AD
又∵ AM＝AD－MD＝80－x，
则 x 80 x . 120 80
解得 x = 48.
B
A EM F
G DH C

北师大版数学九年级上册第四单元图形的相似单元复习课件

11.如图，是的中线，是线段上的一点，且，连接并延长，交于点 .若，
（1）求的值；
（2）求的长.
（1）求的值；
解： , . .
（2）求的长.
[答案] 如图，过点作，交的延长线于点 .
，， . . 是的中线，
A
A. B. C. D.
3.如图，点，在的边上，点在边上，且， .
（1）求证： .
（2）如果，求证： .
（1）求证： .
证明：， . , . . .
（2）如果，求证： .
[答案] ， . ， .又， . . ， . . .
6.如图，在中，，，则图中类似三角形有( )
C
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
Ⅳ.“旋转型”
7.如图，在和中，， .
（1）写出图中两对类似三角形（不得添加字母和线）；
（2）请说明其中一对三角形类似的理由.
（1）写出图中两对类似三角形（不得添加字母和线）；
Ⅱ.斜“A字形”（不平行）
4.如图，，两点分别在的边，上，与不平行.当添加条件_______________（写出一个即可）时，．
如
5.如图，在中，，，．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点
Ⅱ.反“8字形”（不平行）
9.如图，在中，平分交于点，点在的延长线上，且 .
（1）求证： .
（2）求证： .
（1）求证： .
证明：平分， . , . .
（2）求证： .
[答案] ， . ， .又， . ，即 .

北师大九年级数学上第四章相似三角形经典题(含答案)

相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似．（2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似．（4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．（2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1．解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2．解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3．又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CD F S ．例3 分析由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =．在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析（1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同．（3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、，则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆．（4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确．例5．解：画法略．例6．分析本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GFEC DF =，从而可以求出BC 的长．解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =．又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//， ∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =．又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米．例7．分析根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）．说明这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ，又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆．说明遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解（1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆；（2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆．例10．解（1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等；（2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等；（4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等；（5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等；（6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ．又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2．说明（1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ，又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ．例13．分析判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ．由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米）所以旗杆的高为21.5米．说明在具体测量时，方法要现实、切实可行．例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米．例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．）例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长．解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4．如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FC AB GF =，即2232xx -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEG F S 正方形．如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1， ∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x x x -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形因此，正方形的面积为3612-或121348156-．。

北师大版九年级数学上册第4章相似三角形的性质

纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A’B’C’， CD和C’D’分别
是它们的立柱。
（1）试写出△ABC与△A’B’C’的对应边之间的关系，对应角之间的关系。
（2）△ACD与△A’C’D’相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。
（3）如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁原有一
A.5
B.10
C.40
D.80
例2：已知两个相似三角形的周长比为 2：3，它们的面积之差为40，那
104
么它们的面积之和为_________
例 3：如图，在△ABC中，两条中线 BE，CD 相交于点 O，
A
则
:
= _____
∆
∆
A.1：4
B.2：3
C.1：3
D.1：2
例 4: 如图,已知 AD 为△ABC 的角平分线,DE∥AB 交 AC 于点 E,如
果

.

=

,那么等于

.

(

.

B)

.

本节课我们学习了相似三角形的性质，主要内容有：
1.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的
比等于什么？
（相似比）
2.如何求相似三角形的周长比、面积比？
（周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方）
1.教材习题：完成课本110-111页习题 1，
全等三角形的对应高，对应中线、对应角平分线相等
大家思考一下相似三角形又有哪些性质？
自主探究
1.请同学们阅读课本 106-107页，109-110页内容.

北师大版九年级数学相似三角形的复习

相似三角形的复习课前测试【题目】课前测试1如图，点D、E分别是△ABC边BC、AB上的点，AD、CE相交于点G，过点E作EF∥AD 交BC于点F，且CF2=CD•CB，联结FG。

（1）求证：GF∥AB；（2）如果∠CAG=∠CFG，求证：四边形AEFG是菱形。

【答案】（1）证明：∵CF2=CD•CB，∴=，∵EF∥AD，∴=，∴=，∴GF∥AB；（2）解：联结AF，∵GF∥AB，∴∠CFG=∠B，∵∠CAG=∠CFG，∴∠CAG=∠B，∵∠ACD=∠ACB，∴△CAD∽△CBA，∴=，即CA2=CD•CB，∵CF2=CD•CB，∴CA=CF，∴∠CAF=∠CFA，∵∠CAG=∠CFG，∴∠GAF=∠GFA，∴GA=GF，∵GF∥AB，EF∥AD，∴四边形AEF是平行四边形，∴四边形AEFG是菱形．【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定，平行线的判定，（1）证明：∵CF2=CD•CB，∴=，∵EF∥AD，∴=，∴=，∴GF∥AB；（2）解：联结AF，∵GF∥AB，∴∠CFG=∠B，∵∠CAG=∠CFG，∴∠CAG=∠B，∵∠ACD=∠ACB，∴△CAD∽△CBA，∴=，即CA2=CD•CB，∵CF2=CD•CB，∴CA=CF，∴∠CAF=∠CFA，∵∠CAG=∠CFG，∴∠GAF=∠GFA，∴GA=GF，∵GF∥AB，EF∥AD，∴四边形AEF是平行四边形，∴四边形AEFG是菱形．总结：熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键，（1）根据已知条件得到CD：CF=CF：CB，根据平行线分线段成比例定理得到CG：CE=CD：CF，等量代换得到CF：CB=CG：CE，于是得到结论；（2）联结AF，根据平行线的性质得到∠CFG=∠B，等量代换得到∠CAG=∠B，根据相似三角形的性质得到CA2=CD•CB，等量代换得到CA=CF，根据等腰三角形的性质得到∠CAF=∠CFA，于是得到结论。

【难度】4【题目】课前测试2如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值为。

北师大版数学九上第四章《相似三角形的基本图形》专题复习(教案)

3.直角三角形中，30°-60°-90°和45°-45°-90°三角形的性质及其应用。
4.利用相似三角形解决实际问题的方法。
5.本章典型例题与习题的复习巩固，如相似三角形的应用题、图形的放大与缩小等。
6.相似多边形的性质及判定方法。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观能力，通过观察、分析相似三角形的基本图形，提高学生对几何图形的理解和识别能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形的基本图形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量不可到达的距离或高度的情况？”（如测量旗杆的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形的奥秘。
在小组讨论环节，学生们表现得非常积极，能够主动提出自己的观点并与他人交流。但在分享成果时，部分学生的表达能力还有待提高。为了提高学生的表达能力，我计划在接下来的课程中增加一些课堂演讲或辩论环节，让他们有更多机会锻炼自己的口头表达能力。
最后，从这节课的教学过程中，我也意识到了关注学生个体差异的重要性。有些学生可能需要更多的时间来消化和理解相似三角形的知识点，因此在课后，我要针对这些学生进行个别辅导，帮助他们克服学习难点。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握相似三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）。
-掌握相似三角形的性质，尤其是对应角相等和对应边成比例。
-能够运用相似三角形解决实际问题，如测量不可到达的距离或高度。
-理解并运用直角三角形特殊比例关系（30°-60°-90°和45°-45°-90°）。
其次，在解决实际问题时，部分学生构建相似三角形模型的能力较弱。针对这一点，我打算在接下来的课程中，设计一些更具挑战性的问题，让学生们通过小组合作的方式，一起探讨如何将实际问题转化为数学模型。这样既能提高他们的解决问题的能力，也能培养他们的团队合作精神。

北师大版九年级数学上册第四章图形的相似相似三角形判定定理的证明

AD A' C'
AE A' C'
∴ AE = A′C′ .
而 ∠A = ∠A′，
∴ △ADE ≌△A′B′C′.
∴ △ABC∽△A′B′C′.
D B
B'
A E
A' C C'
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，AB BC AC .
AB BC AC
求证：△ABC ∽ △A'B'C' .
九年级上册数学（北师版）
第四章图形的相似
*4.5 相似三角形判定定理的证明
复习导入问题：相似三角形的判定方法有哪些？
① 两角对应相等，两三角形相似. ② 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. ③ 三边对应成比例，两三角形相似.
探究新知
1 证明相似三角形的判定定理
在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节
∠1=∠B，∠2 =∠C，AD = AE . (平行于三角形一边的
AB AC
直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例).
A′
过点 D 作 AC 的平行线，交 BC 于点 F，则 B′
AD = CF (平行于三角形一边的直线与其他两 A
AB CB
边相交，截得的对应线段成比例).
D1 2
∴
AE = CF . AC CB
C
∴ AB = 4.
DA
例2 如图，∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = 2，当 AB 的长为时，△ACB 与△ADC 相似．
A 解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = 2 ，

北师大版九年级上册数学第四章相似三角形专题(含答案)

相似三角形专题一、选择题1．(3分)如图,已知△ABC与△ADE中,∠C=∠AED=90°,点E在AB上,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC∽△DAE的是( )A．∠B=∠D B．=C．AD∥BC D．∠BAC=∠D2．(3分)如图,在四边形ABCD中,E,F分别在AD和BC上,AB∥EF∥DC,且DE=3,DA=5,CF=4,则FB 等于( )A．B．C．5 D．63．(3分)如图,在▱ABCD中,E是AB的中点,连接EC,BD,相交于点F,则△BEF与△DCF的面积比为( )A．B．C．D．4．(3分)下列说法中正确的有( )①位似图形都相似;②两个等腰三角形一定相似;③两个相似多边形的面积比为4∶9,则周长的比为16∶81;④若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2 cm,则这两个三角形一定相似.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．(3分)如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC边上,DE∥BC,若=,AD=9,则AB等于( )A．10 B．11 C．12 D．166．(3分)如图所示,给出下列条件:①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB;③=;④AC2=AD·AB.其中能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．47．(3分)如图,在四边形ABCD中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是( )A．∠DAC=∠ABC B．CA是∠BCD的平分线 C．AC2=BC·CD D．=8．(3分)如图,已知AB、CD、EF都与BD垂直,垂足分别是B、D、F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是( )A．B．C．D．9．(3分)如图,△DEF是由△ABC经过位似变换得到的,点O是位似中心,D,E,F分别是OA,OB,OC的中点,则△DEF 与△ABC的面积比是( )A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：610．(3分)如图,等腰Rt△OAB和等腰Rt△OCD中,∠OAB=∠OCD=90°,AO=AB,CO=CD,等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形,O为位似中心,相似比为1∶2,若点B的坐标为(1,0),则点C的坐标为( )A．(1,1) B．(2,2) C．(,) D．二、填空题11．(3分)如图,正方形ABCD的边长为3,点E在边CD的延长线上,连接BE交边AD于F,如果DE=1,那么AF=________.12．(3分)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,∠BDC=∠CED,如果DE=4,CD=6,那么AD∶AE等于________.13．(3分)如图,在▱ABCD中,AB=6,AD=4,∠BAD的平分线AE分别交BD、CD于F、E,那么=______.14．(3分)如图,在平行四边形ABCD中,点E在BC边上,且CE∶BC=2∶3,AC与DE相交于点F,若S△AFD=9,则S△EFC=________.15．(3分)在△ABC中,AB=6,AC=9,点D是AB边所在直线上的一点,且AD=2,过点D作DE∥BC,交AC边所在直线于点E,则CE=________.16．(3分)如图,△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD=BD=3,CD=2,点E从点B出发沿线段BA的方向移动到点A处后停止,连接CE.若△ADE与△CDE的面积相等,则线段DE的长度是________.17．(3分)在矩形ABCD中,∠ABC的平分线BE与AD交于点E,∠BED的平分线EF与DC交于点F,若AB=9,DF=2FC,则BC=________.(结果保留根号)18．(3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点F在边AC的延长线上,且FD⊥AB,垂足为点D,如果AD=6,AB=10,ED=2,那么FD=________.19．(3分)在ABCD中,点E为CD的中点,连接BD交AE于点F,则AF∶FE=__________.三、解答题20．(12分)已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC、BD交于点E,点F在边AB上,连接CF 交线段BE于点G,CG2=GE·GD.(1)求证:∠ACF=∠ABD;(2)连接EF,求证:EF·CG=EG·CB.21．(12分)如图,在△ABC中,AC=BC,点D在边AC上,AB=BD,BE=ED,且∠CBE=∠ABD,DE与CB交于点F.求证:(1)BD2=AD·BE;(2)CD·BF=BC·DF.22．(12分)在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,E是OC上任意一点,AG⊥BE于点G,交BD于点F.(1)如图1,若四边形ABCD是正方形,判断AF与BE的数量关系;明明发现,AF与BE分别在△AOF和△BOE中,可以通过证明△AOF和△BOE全等,得到AF与BE的数量关系.请回答:AF与BE的数量关系是________;(2)如图2,若四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,请参考明明思考问题的方法,求的值.23．(12分)已知△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,D是腰AC上的一个动点,过C作CE垂直于BD,交BD的延长线于点E,如图1.(1)求证:AD·CD=BD·DE;(2)若BD是边AC的中线,如图2,求的值;(3)如图3,连接AE,若AE=EC,求的值.24．(12分)如图①,平行四边形ABCD中,AB=AC,CE⊥AB于点E,CF⊥AC交AD的延长线于点F.(1)求证:△BCE∽△AFC;(2)连接BF,分别交CE、CD于G、H(如图②),求证:EG=CG;(3)在图②中,若∠ABC=60°,求.25．(12分)如图,在正方形ABCD中,E为对角线AC上一点,连接EB、ED,延长BE交AD于点F.(1)求证:∠BEC=∠DEC;(2)当CE=CD时,求证:DF2=EF·BF.26．(12分)将一副三角尺如图①摆放(在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°.在Rt△DEF中,∠EDF=90°,∠E=45°).点D为AB的中点,DE交AC于点P,DF经过点C,且BC=2.(1)求证:△ADC∽△APD;(2)求△APD的面积;(3)如图②,将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<60°),此时的等腰直角三角尺记为△DE'F',DE'交AC于点M,DF'交BC于点N,试判断的值是否会随着α的变化而变化,如果不变,请求出的值;反之,请说明理由.答案与解析1．(3分)【答案】 A【解析】[解析] ∵∠C=∠AED=90°,∠B=∠D, ∴△ABC∽△ADE,故选项A 符合题意; ∵∠C=∠AED=90°, =,∴△ABC∽△DAE,故选项B 不符合题意; ∵AD∥BC,∴∠B=∠DAE,∵∠C=∠AED=90°,∴△ABC∽△DAE,故选项C 不符合题意; ∵∠BAC=∠D,∠C=∠AED=90°,∴△ABC∽△DAE,故选项D 不符合题意. 故选A.2．(3分)【答案】 B【解析】[解析] ∵AB∥EF∥DC,∴=,∵DE=3,DA=5,CF=4,∴=,∴CB=,∴FB=CB-CF=-4=. 故选B.3．(3分)【答案】 C【解析】[解析] ∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵E是AB的中点,∴BE=AB=CD,∵BE∥CD,∴∠BEF=∠DCE,又∠EFB=∠DFC,∴△BEF∽△DCF,∴==.故选C.4．(3分)【答案】 A【解析】易知①正确,②错误;两个相似多边形的面积比为4∶9,则周长的比为2∶3,③错误;此时两个三角形的三边不一定成比例,④错误.故选A.5．(3分)【答案】 C【解析】[解析] ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴==,又∵AD=9,∴AB=12.故选C.6．(3分)【答案】 C【解析】∵∠A=∠A,∴加①②④中的任一个都可以判定△ABC∽△ACD.故选C.7．(3分)【答案】 C【解析】[解析] ∵∠ADC=∠BAC,∠DAC=∠ABC,∴△ADC∽△BAC,故A不符合题意;∵CA是∠BCD的平分线,∴∠DCA=∠BCA,又∠ADC=∠BAC,∴△ADC∽△BAC,故B不符合题意;∵=,∠ADC=∠BAC,∴△ADC∽△BAC,故D不符合题意;由AC2=BC·CD,∠ADC=∠BAC不能判定△ADC与△BAC相似,故C符合题意.故选C.8．(3分)【答案】 C【解析】[解析] ∵AB、CD、EF都与BD垂直,∴AB∥CD∥EF,∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD,∴=,=,∴+=+==1.∵AB=1,CD=3,∴+=1,∴EF=.9．(3分)【答案】 B【解析】[解析] 由已知条件可知,△DEF与△ABC的位似比为, ∴=,故选B.10．(3分)【答案】 A【解析】[解析] 由题意易得A,∵△AOB∽△COD,相似比为1∶2,∴C(1,1).故选A.11．(3分)【答案】【解析】[解析] ∵四边形ABCD为正方形,∴∠A=∠ADC=90°,AB∥CD,∴∠EDF=180°-∠ADC=90°=∠A,∠ABF=∠DEF,∴△ABF∽△DEF,∴==3,∵AF+DF=AD=3,∴AF=AD=.12．(3分)【答案】3∶2【解析】[解析] ∵DE∥BC,∴∠EDC=∠BCD,又∠BDC=∠DEC,∴△BDC∽△CED,∴===,∵DE∥BC,∴==. 13．(3分)【答案】[解析] 在ABCD中,∵AB∥CD,∴∠AED=∠EAB,∵AE平分∠BAD,∴∠DAE=∠BAE,∴∠DAE=∠AED,∴DE=AD=4,又∵∠DFE=∠AFB,∴△DEF∽△BAF,∴===.14．(3分)【答案】4[解析] 在ABCD中,AD BC,∴△AFD∽△CFE,∴===,∴S△CFE=S△AFD=×9=4.15．(3分)【答案】【解析】[解析] 如图,分两种情况:①当AD1=2时,∵D1E1∥BC,∴△AD1E1∽△ABC,∴==,∴AE1= AC=3,∴E1C=6.②同理可得E2C=12.综上,CE=6或12.16．(3分)【答案】【解析】[解析] 在直角△ACD中,AD=3,CD=2,则由勾股定理得AC===.易得当DE∥AC时,△ADE与△CDE的面积相等,此时△BDE∽△BCA,所以=,因为AD=BD=3,CD=2,AC=,所以=,所以DE=.17．(3分)【考点】【答案】6+3【解析】[解析] 延长EF交BC的延长线于点G,∵矩形ABCD中,∠ABC的平分线BE与AD交于点E, ∴∠ABE=∠EBC=45°,又AD∥BC,∴∠EBC=∠AEB=45°,∴AB=AE=9,在直角三角形ABE中,BE==9,∵∠BED的平分线EF与DC交于点F,∴∠BEG=∠DEF,∵AD∥BC,∴∠G=∠DEF,∴∠BEG=∠G,∴BG=BE=9,由∠G=∠DEF,∠EFD=∠GFC,可得△EFD∽△GFC,∴===,设CG=x,则DE=2x,AD=9+2x=BC,∵BG=BC+CG,∴9=9+2x+x,解得x=3-3, ∴BC=9+2×(3-3)=6+318．(3分)【考点】【答案】12【解析】[解析] ∵FD⊥AB,∴∠BDE=∠ADF=90°,∵∠ACB=90°,∠CEF=∠BED,∴∠F=∠B,∴△ADF∽△EDB,∴=,即=,解得DF=12.19．(3分)【答案】2∶1[解析] 在ABCD中,AB CD, ∴△ABF∽△EDF,∴AF∶FE=AB∶DE=2∶1. 20．(12分)【考点】【答案】[解析] (1)∵CG2=GE·GD,∴=.又∵∠CGD=∠EGC,∴△GCD∽△GEC.∴∠GDC=∠GCE.∵AB∥CD,∴∠ABD=∠BDC.∴∠ACF=∠ABD.(2)∵∠ABD=∠ACF,∠BGF=∠CGE,∴△BGF∽△CGE.∴=.又∵∠FGE=∠BGC,∴△FGE∽△BGC.∴=.∴FE·CG=EG·CB.21．(12分)【考点】【答案】[解析] (1)∵∠CBE=∠ABD,∴∠ABC=∠DBE,∵AC=BC,∴∠A=∠ABC,∴∠A=∠DBE,∵AB=BD,∴∠A=∠ADB,∵BE=DE,∴∠DBE=∠BDE,∴∠A=∠ADB=∠DBE=∠BDE,∴△ABD∽△DEB,∴=,∴BD2=AD·BE.(2)在△ABC与△DBE中,∴△ABC≌△DBE,∴∠C=∠E,BC=BE,∵∠CFD=∠EFB,∴△CFD∽△EFB,∴=,∴=,∴CD·BF=BC·DF.【考点】【答案】[解析] (1)AF=BE;相等.(2)∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,∴AC⊥BD,∠ABO=60°.∴∠FAO+∠AFO=90°.∵AG⊥BE,∴∠EAG+∠BEA=90°.∴∠AFO=∠BEA.又∵∠AOF=∠BOE=90°,∴△AOF∽△BOE.∴=.∵∠ABO=60°,AC⊥BD,∴=tan 60°=. ∴=.23．(12分)【考点】【答案】[解析] (1)证明:∵CE⊥BE,∴∠A=∠E=90°,∵∠ADB=∠EDC,∴=,∴AD·CD=BD·DE.(2)设CD=AD=a,则AB=AC=2a.在Rt△ABD中,由勾股定理得BD=a, 由(1)知△BAD∽△CED,∴=,∴=,解得CE=a,∴==.(3)如图,延长CE、BA相交于点F.∵AE=EC,∴∠EAC=∠ECA,又∵∠EAC+∠FAE=∠ECA+∠F=90°,∴CE=EF,∴CF=2CE,∵∠ABD+∠ADB=∠CDE+∠ACF=90°,且∠ADB=∠CDE,∴∠ABD=∠ACF,在△ABD和△ACF中,∴△ABD≌△ACF(ASA),∴BD=CF,∴BD=2CE,∴=2.24．(12分)【考点】【答案】[解析] (1)证明:∵CE⊥AB,CF⊥AC,∴∠BEC=∠ACF=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CB,∴∠CAF=∠ACB,又∵AB=AC,∴△BCE∽△AFC.(2)证明:由(1)知△BCE∽△AFC,∴==,∵AD∥BC,AB∥CD,∴==, ∴BE=CH,∵AB∥CD,∴∠BEG=∠HCG,∠EBG=∠CHG,在△BGE与△HGC中,∴△BGE≌△HGC,∴EG=CG. (3)∵∠ABC=60°,AB=AC,∴△ABC是等边三角形,∵CE⊥AB,∴BE=AE,∵BE=CH,∴CH=DH,∵AB∥DH,∴BH=FH,由(2)知BG=GH,∴BG∶GF=1∶3.【解析】25．(12分)【考点】【答案】[解析] (1)∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,且∠BCE=∠DCE.又∵CE是公共边,∴△BEC≌△DEC,∴∠BEC=∠DEC.(2)连接BD.∵CE=CD,∴∠DEC=∠EDC.∵∠BEC=∠DEC,∠BEC=∠AEF,∴∠EDC=∠AEF.∵∠AED=∠AEF+∠FED=∠EDC+∠ECD,∴∠FED=∠ECD.∵四边形ABCD是正方形,∴∠ECD=∠BCD=45°,∠ADB=∠ADC=45°,∴∠ECD=∠ADB.∴∠FED=∠ADB.又∵在△FDE和△FBD中,∠BFD是公共角,∴△FDE∽△FBD,∴=,即DF2=EF·BF.【解析】26．(12分)【考点】【答案】[解析] (1)证明:由题意知CD是Rt△ABC中斜边AB上的中线,∴AD=BD=CD.∵在△BCD中,BD=CD且∠B=60°,∴△BCD为等边三角形,∴∠BCD=∠BDC=60°,∴∠ACD=90°-60°=30°,∠ADE=180°-∠BDC-∠EDF=180°-60°-90°=30°,∴∠ACD=∠ADE=30°,又∵∠A是公共角,∴△ADC∽△APD.(2)∵△BCD为等边三角形,∴DC=BC=2.在Rt△PDC中,∠PCD=30°,∴PD=DCtan 30°=,由(1)得∠ADE=30°,又∠PAD=90°-60°=30°,∴△PAD是等腰三角形,∴AP=PD=,AD=2,作PH⊥AD于H,在Rt△PAH中,由∠PAH=30°得PH=AP=×=,S△PAD=AD·PH=×2×=.(3)的值不会随着α的变化而变化.∵∠MPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°,∴∠MPD=∠BCD=60°.∵在△MPD和△NCD中,∠MPD=∠NCD=60°,∠PDM=∠CDN=α,∴△MPD∽△NCD,∴=,由(1)知AD=CD,∴=.∵在△APD中,∠A=∠ADE=30°,∴在等腰△APD中, ==,∴=.。

北师大版九年级数学(上)第四章图形的相似：相似三角形讲义

相似三角形综合运用讲义【考点剖析】相似三角形是几何中较难的部分，也是每年中考的热点，相似三角形对圆的学习以及各种类型的综合性问题的解决都有很大的帮助。

在此，我们对相似三角形中经常出现的解答方法与技巧进行讲解。

【例题巧解点拨】一、运用三角形相似的条件进行解答。

例1.已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点．求证：△ADQ ∽△QCP ．目标训练1.已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：BP 2＝PE ·PF ．2.如图，BD 、CE 为△ABC 的高，求证∠AED ＝∠ACB ．二、相似与函数的运用。

例2.在△ABC 中，∠C ＝90°，P 为AB 上一点，且点P 不与点A 重合，过点P 作PE ⊥AB ，交AC 边于E 点，点E 不与点C 重合，若AB=10，AC=8，设AP 的长为x ，四边形PECB 的周长为y ，求y 与x 之间的函数关系式。

目标训练1.在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC=25，斜边AB 在x 轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点A 的坐标为（2，0），求直角边BC 所在直线的解析式。

2.已知梯形ABCD 中，AD//BC （AD<BC ），AD=5，AB=DC=2。

（1）如图1，P 为AD 上一点，满足∠BPC=∠A 。

①求证：△ABP ∽△DPC ； ②求AP 的长。

（2）如图2，若点P 在AD 上移动（与A 、D 点不重合），且满足∠BPE=∠A ，PE 交BC 于点E ，交DC 的延长线于点Q ，设AP=x ，CQ=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。

三、阅读理解类问题。

例3.阅读下列材料，补全证明过程：（1）已知：如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点．（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．目标训练1.如图1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF 旋转到如图3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．2.已知：△ABC 中，AB ＝10 ⑴如图①，若点D 、E 分别是AC BC 边的中点，求DE 的长； ⑵如图②，若点A 1、A 2把AC 边三等分，过A 1、A 2作AB 边的平行线，分别交BC 边于点B 1、B 2，求A 1B 1＋A 2B 2的值； P A C E A B CO B A C D P B A C D P E D F O N D EF O N C OD ( F )⑶如图③，若点A 1、A 2、…、A 10把AC 边十一等分，过各点作AB 边的平行线，分别交BC 边于点B 1、B 2、…、B 10。

北师大版九年级数学上册第四章图形的相似利用相似三角形测高

∵人、标杆、旗杆都垂直于地面，
E
∴∠ABF =∠EFD =∠CDF = 90°.
A
M
N
BF
D
∴AB∥EF∥CD . ∴∠EMA =∠CNA.
∵∠EAM =∠CAN， ∴△AEM ∽ △ACN .
∴ EM = AM .
CN AN
方法 3：利用镜子反射
如图，每个小组选一名同学作为观测者，在观测
者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个
度应为
(A)
A. 45 米 B. 40 米 C. 90 米 D. 80 米
2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( A )
A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D . 2.2 m
怎样利用相似三角形求得线段
AH 及 HB 的长呢？请你试一试!
CE
H
B FD G
CB = ED = 3丈 = 30尺，BD = 1 000步 = 6 000尺， BF = 123步 = 738尺，DG = 127步 = 762尺.
由 △AHF ∽ △CBF，得
AH HF ；
CB BF
由 △AHG ∽ △EDG，得 AH HG ；
九年级上册数学（北师版）
第四章图形的相似
4.6 利用相似三角形测高
情境导入台
北
101
怎样测量这些非常
大
高大物体的高度？
楼
世界上最高的树
—— 红杉
乐山大佛
埃及金字塔
探究新知
1 利用相似三角形测量高度
据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.

北师大版数学九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题

北师大版九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化；5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识点网络】【知识点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 知识点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； 2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多形．知识点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．知识点诠释：（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（d 也叫第四比例项）（2）若a :b=b :c ，则 =ac （b 称为a 、c 的比例中项）． 4.平行线分线段成比例：基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 知识点二、相似三角形 1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似. 知识点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2b知识点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.知识点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

北师大版初中数学九年级上 册第四章相似三角形(复习)

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