数学实验分形实例

数学实验报告
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实验二分形
（一）练习题1
一．实验目的
1．了解分形几何的基本情况；
2．了解通过迭代方式，产生分形图的方法；
3．了解matlab软件中简单的程序结构。

二. 问题描述
对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为Koch雪花。

编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。

三．实验过程
仿照Koch曲线代码对三角形的每条边进行Koch曲线化，建立函数“snow”的输入参数有三角形的边长R和迭代次数k,输出Koch雪花图形以及雪花所围面积S.
源代码如下：
function snow(R,k)
p=[0;R/2+1i*R*sin(pi/3);R;0];
S=0;
n=3;
A=exp(1i*pi/3);
for s=1:k
j=0;
for i=1:n
q1=p(i,:);
q2=p(i+1,:);
d=(q2-q1)/3;
j=j+1;r(j,:)=q1;
j=j+1;r(j,:)=q1+d;
j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A;
j=j+1;r(j,:)=q1+2*d;
end
n=4*n;
clear p
p=[r;q2];
end
figure
q(:,1)=real(p(:,1));
q(:,2)=imag(p(:,1));
plot(q(:,1),q(:,2))
fill(q(:,1),q(:,2),'b')
for i=0:k
S=S+(3.^(0.5-i))*0.25*(R.^2); end
S
axis equal
按照以上程序，输入参数，有以下结果：>> snow(1,1) S =0.5774 图形如下:
>>snow(1,2) S =0.6255 图形如下: >>snow(1,3) S =0.6415 图形如下:
>>snow(1,4) S =0.6468 图形如下: >>snow(1,5) S =0.6486 图形如下:
四．总结分析和心得体会
根据观察迭代的面积规律，即可推得面积递推公式：
,其中
即：面积公式，也就等于
分形维数，根据迭代的规律得到：
相似形个数：m=4
边长放大倍数c=3，
维数d=ln m/ln c=ln 6/ln 3=1.631
（二）练习题2
一．实验目的
1．了解分形几何的基本情况；
2．了解通过迭代方式，产生分形图的方法；
3．了解matlab软件中简单的程序结构。

二. 问题描述
对一条竖线段，在其三分之一分点处，向左上方向画一条线段，在其三分之二点处，向右上方向画一条线段，线段长度都是原来的三分之一，夹角都为30度，迭代一次后变成图3-22.继续迭代得到分形图，可模拟树木花草，编制程序绘制出它的图形。

三．实验过程
代码如下：
function tree(z1,z2,N,n)
if n>N
return
end
if n==1
d=(z2-z1)/3;
q1=z1+d+d*exp(1i*pi/6);
q2=z1+2*d+d*exp(-1i*pi/6);
plot([z1+d,q1])
hold on
axis equal
plot([z1+2*d,q2])
plot([z1,z2])
tree(z1,z2,N,n+1)
else
d=(z2-z1)/3;
q1=z1+d+d*exp(1i*pi/6);
q2=z1+2*d+d*exp(-1i*pi/6);
plot([z1+d,q1])
plot([z1+2*d,q2])
tree(z1+d,q1,N,n+1);
tree(z1+d,z1+2*d,N,n+1);
tree(z1+2*d,q2,N,n+1);
tree(z1+2*d,z2,N,n+1);
end
其中N为迭代次数，n的初始值为1，输入以下代码：tree (0,10i,2,1) 图形如下：
tree (0,10i,3,1) 图形如下：tree (0,10i,4,1) 图形如下：tree (0,10i,5,1) 图形如下：
tree (0,10i,6,1) 图形如下：
四．总结分析和心得体会
通过本次的实验，我更了解了几合分形图以及用matlab软件产生几合分形图的方法、程序结构。

总的来说，通过本次实验，学习到了matlab软件的一种
新的用法，对自己的数学实验能力又提升了不少。

体验了通
过图形迭代方式产生分形图的过程，迭代的规则非常简单，产生的结果却异常奇妙，并且这些图形很好地反映出了分形所具有的自相似的层次结构。