江苏省南京师范大学附属中学2019-2020学年高一第一学期期末考试数学试卷(WORD版含答案)

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2019-2020学年江苏省南京师大附中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.己知集合A={−1,0，1，2}，B={x|x2=1}，则A∩B=()A. {0}B. {1}C. {−1,1}D. {0,1，2}2.下列函数中，在其定义域内是奇函数的是()(e是自然对数的底数)A. y=x+lnxB. y=e x2C. y=x3+sinxD. y=x3+3x3.函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是()A. B.C. D.4.函数f(x)=x2−4x+2在区间[1,4]上的值域为()A. [−1,2]B.C. (−2,2)D. [−2,2]二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）5.已知幂函数f(x)=x a(a为常数)的图象经过点(2,√2)，则f(9)=______．6.已知a=0.91.1，b=1.10.9，c=log20.9，则a、b、c按从小到大的顺序排列为__________．7.设集合A={x||x−2|<1}，B={x|x>a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是______．8.函数y=√8−4x的定义域是________．9.已知函数f(x)={2x(x>1),−x−2(x≤1),则f(f(−5))=__________.若f(a2+2)+f(1−a2)=4，则实数a的值是__________．10.已知2m=5n=10,则2m +2n=_________．11.已知函数f(x)=−2x，x∈[1,2]，则f(x)的最小值为______．12.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减，且f(3)=0.若f(m+1)>0，则实数m的取值范围是______ ．13.已知函数f(x)=log12ax−2x−1(a为常数)在区间(2,4)上是减函数，则实数a的取值范围是________．14.设偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(2x−1)≤f(1)的x的取值范围是_____．三、解答题（本大题共6小题，共58.0分）15. (1)(279)0.5+(0.1)−2+(21027)−13−3(π0)+712； (2)lg 32+lg 35+3lg2lg5；16. 设全集U =R ，集合A ={x|2≤x <4,x ∈R}，B ={x|3x −7≥8−2x,x ∈R}，求A ∪B ，(∁U A)∪(∁U B)17. 已知函数f(x)=log a (x +1),g(x)=log a (1−x)(a >0且a ≠1)(1)若F(x)=f(x)+g(x)，求函数F(x)的定义域；(2)若f(−14)<1，求a 取值范围．18. 已知定义域为R 的函数f(x)=−2x +b 2x+1+2是奇函数．(1)求b 的值；(2)解关于x 的不等式f(x)≤f(1)．19. 某服装批发市场销售季节性流行服装F ，当季节即将来临时，价格呈上升趋势，开始时每件定价为120元，并且每周(7天)每件涨价10元(第1周每件定价为120元，第2周每件定价为130元)，4周后开始保持每件160元的价格销售；8周后当季节即将过去时，平均每周每件降价10元，直到第12周末，该服装不再销售。

2019-2020学年江苏省南京市高一上学期期末考试数学试题与答案

17. （本小题满分 10 分）
已知向量 a = (2, m) ，=b (m −1,6) ．
⑴ 若 a / / b ，求实数 m 的值； ⑵ 若 a + b = a − b ，求实数 m 的值．【答案】⑴ 4 或 −3 ；⑵ 1 ；
4
【解析】⑴ 因为 a / / b ， a = (2, m) ，=b (m −1,6) ，所以 2 ×=6 m(m −1) ，
余的细沙量为 y = 101+at （单位： cm3 ），其中 a 为常数．经过 4 min 后发现容器内还剩余 5cm3 的沙
子，再经过 x min 后，容器中的沙子剩余量为1.25cm3 ，则 x = （）．
A. 4
B. 6
C. 8
D.12
2
高一数学
【答案】C；
2019-2020 学年第一学期 · 期末统考试卷
4, x > 4.
h ( x) ≤ 4 恒成立，故 C,D 正确．
12. 已知向量 a,b 是同一平面α 内的两个向量，则下列结论正确的是（）． A.若存在实数 λ ，使得 b = λa ，则 a 与 b 共线 B.若 a 与 b 共线，则存在实数 λ ，使得 b = λa C.若 a 与 b 不共线，对平面内任意向量 c ，均存在实数 λ ， µ ，使得=c λa + µb D.若对平面α 内任意向量 c ，均存在实数 λ ， µ ，使得=c λa + µb ，则 a 与 b 不共线

2x
+
π 4

的定义域为（
）．
A.
x
|
x
≠
kπ
+
π 2
,
k

【20套试卷合集】南京师范大学附属中学2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案

2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案一、选择题：(5*12=60分)1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={2,4}，B={1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A ．{1,3,4}B ．{4}C ．{4,5}D ．{2,4}2．若函数y=1-x 的定义域为集合A ，函数y=x 2+2的值域为集合B ，则A B ⋂=（） A ．[1,)+∞ B ．(1,)+∞C ．[2,)+∞D ．(0,)+∞3．如下图，可表示函数y=f(x)的图象的可能是( )4．已知：f （x1）=11+x ，则f （2）的值为（）A ．31 B ．32C ．3D ．235．下列函数中表示相同函数的是( ) A ．y=2log 2x 与y=log 2x 2 B ．y=2x 与y=(x )2 C ．y=x 与y=log 22x D ．42-=x y 与22+∙-=x x y6．若二次函数f(x)=(m-1)x 2+2mx+1是偶函数，则f(x)在区间(-∞,0]上是( ) A ．增函数 B ．先增后减函数 C ．减函数D ．先减后增函数7．如图：曲线C 1与C 2分别是y=x m ，y=x n 在第一象限的图象，则( ) A ．n<m<0 B ．m<n<0 C ．n>m>0 D ．8．已知f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<≥)0()0(2x x x x 则f(f(-2))的值是( )A ．2B ．-2C ．4D ．-4 9．设y 1=log 0.70.8,y 2=log 1.10.9,y 3=1.10.9则有( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 210．函数1)(2-+=ax ax x f ，若f (x)<0在R 上恒成立，则a 的取值范围为（）A ．0≤aB ．4-<aC ．04<<-aD ．04≤<-a11．函数 f(x)=x 2-4x+5在区间 [0,m]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（）A. ),2[+∞B.[2,4]C.(]2,∞- D ．[0,2]12．已知函数()f x 的定义域为D ，若对任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数．设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0f =；②1()()32x f f x =；③(1)2()f x f x -=-．则11()()38f f +=( ) A.32B. 1C. 2D.52二．填空题(5*4=20分)13．如果指数函数xa x f )1()(-=是R 上的减函数，则a 的取值范围是 ___________. 14．设函数()()()xa x x x f ++=1为奇函数，则实数=a .15．定义在[3-a,5]上的函数f(x)为奇函数，则log a (a+8)=____________. 16．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列4个结论①0abc >;②b a c <+;③420a b c ++>；④240b ac ->; 其中正确的结论是_________. 三、解答题：17．计算 (本题满分10分)（1）25lg 50lg 2lg )2(lg 2+⋅+ ；（2）03122322711.0412π+⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛--。

【新教材】南京师大附中2019~2020学年度高一第一学期期中数学试卷(考试版)

南京师大附中2019~2020学年度第一学期期中试卷高一数学一、单项选择题：本大题共10小题，每小题2分，共计20分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2,4,6,8,10A =，{}4,8B =，则A B =A ．{}4,8B ．{}2,6C ．{}2,6,10D ．{}2,4,6,10 2．若{}210,,x x ∈，则x =A ．1B ．1-C ．0或1D ．0或1- 3．函数ln(1)y x =+-的定义域为A ．()1,2B ．(]1,2C ．()2,1-D ．[)2,1-4．下列各组的函数，()f x 与()g x 是同一个函数的是A ．()||f x x =，()g x =B ．()1f x =，0()g x x =C ．()f x x =，2()g x =D ．()1f x =，()x g x x= 5．已知函数2,10(),01x x f x x x --⎧=⎨<⎩，则下列图象错误的是A B C D 6．已知2log 0x >，那么x 的取值范围是A ．()0+∞，B ．()1+∞，C ．()01，D ．(),1-∞7．若集合{}2|(2)210A x k x kx =+++=有且仅有1个元素，则实数k 的值是A ．2±或1-B ．2-或1-C ．2或1-D ．2-8．若函数2()(3)21f x k x kx =-++在区间(],0-∞上为增函数，则实数k 的取值范围是A ．[)0,3B ．[]0,3C ．(]0,3D ．()3,+∞ 9．已知函数21()x ax f x x++=若对任意()1+x ∈∞，不等式()1f x >恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．(),1-∞- B ．(],1-∞- C ．()1,-+∞ D ．[)1,-+∞10．若函数224,1()42,1x a x f x x ax a x ⎧+≤⎪=⎨-+>⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．(]1,4 B ．[]3,4 C ．(]1,3 D ．()4,+∞二、多项选择题：本题共3小题，每小题9分，共9分。

江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末统考数学试题Word版含答案

江苏省南京市2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合M ＝{x |0≤x ＜2}，N ＝{－1，0，1，2}，则M ∩ N ＝ ▲ ． 2．计算：lg4＋lg 52的值是 ▲ ．3．函数 f (x )＝(x －2)12的定义域是 ▲ ． 4．已知 tan α＝2，则 tan(α＋π4) 的值是 ▲ ．5．若函数 f (x )＝cos x ＋|2x －a | 为偶函数，则实数a 的值是 ▲ ．6．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，1)．若向量a －b 与向量k a ＋b 共线，则实数k 的值是 ▲ ． 7．已知角α的终边经过点P (12，5)，则sin(π＋α)＋cos(－α) 的值是 ▲ ．8．已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(2－x )，x ＜1，2x ，x ≥1，则 f (－2)＋f (log 23) 的值是 ▲ ．9．在△ABC 中，若 tan A ＞1，则角A 的取值范围是 ▲ ．10．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ．若|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为 π3，则线段BD 的长度为 ▲ ．11．已知α∈(0，π2)，且满足 sin 2α_x001F_－3cos 2α_x001F_sin αcos α ＝2，则tan α 的值是 ▲ ．12．已知函数 f (x )＝sin(ωx －π3) (ω＞0)，将函数 y ＝f (x ) 的图象向左平移 π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值是 ▲ ．13．如图，已知函数f (x )的图象为折线ACB (含端点A ，B )，其中A (－4，0)，B (4，0)，C (0，4)，则不等式 f (x )＞log 2(x ＋2) 的解集是 ▲ ．14．若m ＞0，且关于x 的方程 (mx －1)2－m ＝x 在区间 [0，1] 上有且只有一个实数解，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－3，4)．（1）求向量a ＋b 与向量a 夹角的大小；（2）若a ⊥(a ＋λb )，求实数λ的值．16．（本小题满分14分）已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ( A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π) 的图象如图所示．（1）求A ，ω，φ的值；（2）若x ∈[－π2，π12]，求f (x )的值域．(第16题图)已知sin α＝－437，α∈(－π2，0)．（1）求cos(π4＋α)的值；（2）若sin(α＋β)＝－3314，β∈(0，π2)，求β的值．18．（本小题满分16分）如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为 π3的扇形，点A 在弧 ⌒PQ 上(异于点P ，Q )，过点A 作AB ⊥OP ，AC ⊥OQ ，垂足分别为B ，C ．记∠AOB ＝θ，四边形ACOB 的周长为l ．（1）求l 关于θ的函数关系式；（2）当θ为何值时，l 有最大值，并求出l 的最大值．19．（本小题满分16分）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE →＝2EB →．M 是线段CE 上一动点．（1）若M 是线段CE 的中点，AM →＝m AB →＋n AD →，求m ＋n 的值；（2）若AB ＝9，CA →·CE →＝43，求 (MA →＋2MB →)·MC →的最小值．P（第18题图）MEDCBA(第19题图)如果函数f(x)在定义域内存在区间[a，b]，使得该函数在区间[a，b]上的值域为[a2，b2]，则称函数f(x)是该定义域上的“和谐函数”．（1）求证：函数f(x)＝log2(x＋1)是“和谐函数”；（2）若函数g(x)＝x2－1＋t (x≥1)是“和谐函数”，求实数t的取值范围．江苏省南京市2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{0，1} 2．1 3．[2，＋∞) 4．－3 5．06．－1 7．713 8．5 9．(π4，π2) 10．711．3 12．2 13．(－2，2) 14．(0，1]∪[3，＋∞)注：第1、3、13题的答案必须是集合或区间形式，第9、14题可以用不等式表示；其它题严格按标准执行。

2019-2020学年江苏南京高一上学期期末数学试卷详解版

2019~2020学年江苏南京高一上学期期末数学试卷(详解)一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。

）2.A.B.C.D.【答案】【解析】已知向量，，则向量的坐标为（）．D ∵向量，，∴，选项正确．故选．3.A.B.C.D.【答案】已知，，，则，，的大小关系是（）．B1.A.B.C.D.【答案】【解析】已知集合，集合，则（）．C ∵集合，集合，∴．故选．【解析】，，∵，∴，∴．故选．4.A. B.C.D.【答案】【解析】函数的定义域为（）．C ∵函数，则，，即，，∴函数的定义域为．故选．5.A.B.C.D.【答案】【解析】已知扇形的面积为，圆心角为弧度，则的长为（）．B∵扇形面积为，圆心角又为，∴，则，由，则．即，，解得．故的长为．故选．6.A.B.C.D.【答案】【解析】若向量，满足：，，，则（）．D 依题意，，，∴，，∴，∴，，∴，∴．故选．7.A.B.C. D.【答案】【解析】函数图象的大致为（）．A 的定义域为，故排除选项；，所以函数是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项；又当时，，，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故排除选项．故选．8.A.B.C.D.【答案】【解析】安装了某种特殊装置的容器内有细沙，容器倒置后，细沙从容器内流出，后容器内剩余的细沙量为（单位：），其中为常数．经过后发现容器内还剩余的沙子，再经过后，容器中的沙子剩余量为，则（）．C由题意可知，后，剩沙子，则，∴，又∵再过剩沙子，∴，∴，∴．故选．二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。

）9.A. B.C.D.【答案】A 选项：【解析】下列各选中，值为的是（）．AC根据换底公式有：，故正确；B 选项：C 选项：D 选项：，故错误；，故正确；原式的平方可得：，∴原式，故错误．故选 A C .10.A.B.C.D.【答案】A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：【解析】记函数的图象为，则下列结论正确的是（）．函数的最小正周期为函数在区间上单调递增直线是图象的一条对称轴将函数的图象向右平移个单位长度，得到图象ABC∵函数，∴函数的最小正周期为，故正确；令，，，，则函数在上单调递增，当时，在上单调递增，故正确；令，，则，，函数的对称轴为，，当时，函数的一对称轴为，故正确；将函数的图象向右平移个单位长度，得到，故错误．故选 A B C .11.A.B.C.D.【答案】【解析】已知函数，，则下列结论正确的是（）．若，则函数的最小值为若，则函数的值域为若，则函数有且仅有一个零点若，则恒成立BCD 若，则，故取得的最小值．所以选项错误．若，则当时，，当时，．所以当时，，当时，．故的值域为．所以选项正确．若，当时，，当时，，当时，．故当时，解得，只有一个零点．所以选项正确．当时，单调递增，此时有，所以恒成立．故选项正确．一综上所述，结论正确的有、、．故选、、．12.A.B.C.D.【答案】A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：【解析】已知向量，是同一平面内的两个向量，则下列结论正确的是（）．若存在实数，使得，则与共线若与共线，则存在实数，使得若与不共线，则对平面内的任一向量，均存在实数，，使得若对平面内的任一向量，均存在实数，，使得，则与不共线ACD若存在实数，使得，则不可能为零向量，所以与共线，故正确；若与共线，当为零向量时，不为零向量时，不存在实数，使得，故错误；若与不共线，则与可作为平面内一组基底，则存在实数，，使得平面内的任一向量，都可以表示成，故正确；若对平面内的任一向量，均存在实数，，使得，则与为平面内的一组基底，故与不共线，故正确．故选 A C D .三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。

江苏省南京师大附中2019-2020学年度第一学期高一年级期中考试数学试卷(简答)

南京xx 学校2019-2020学年度第1学期高一年级期中考试数学试卷一、单选题：本大题共10小题，每小题2分，共计20分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{2,4,6,8,10}A =，{4,8}B =，则A C B =（）.A. {4,8}B. {2,6}C. {2,6,10}D. {2,4,6,8,10}【答案】C2. 若21{0,,}x x ∈，则x =（）.A. 1B. 1-C. 0或1D. 0或1-【答案】B 3. 函数ln(1)y x =+-的定义域为（）. A. (1,2)B. (1,2]C. (2,1)-D. [2,1)-【答案】C4. 下列各组的函数，()f x 与()g x 是同一个函数的是（）.A. (),()f x x g x ==B. 0()1,()f x g x x ==C. 2(),()f x x g x ==D. ()1,()xf xg x x==【答案】A5. 已知函数2,10() ,01x x f x x x --≤≤⎧=⎨<≤⎩，则下列图像错误．．的是（）.A.(1)y f x =-的图像B.()y f x =的图像C.()y f x =-的图像D.()y f x =的图像【答案】B6. 已知2log 0x >，那么x 的取值范围是（）.A. (0,)+∞B. (1,)+∞C. (0,1)D. (,1)-∞【答案】B7. 若集合2{(2)210}A x k x kx =+++=有且仅有1个元素，则实数k 的值是（）.A. 2±或 1-B. 2-或1-C. 2或1-D. 2-【答案】A8. 若函数2()(3)21f x k x kx =-++在(,0]-∞上为增函数，则k 的取值范围是（）.A. [0,3)B. [0,3]C. (0,3]D. [3,)+∞【答案】B9. 已知函数21()x ax f x x++=，若对任意(1,)x ∈+∞，不等式()1f x >恒成立，则实数a 的取值范围是（）.A. (,1)-∞-B. (,1]-∞-C. (1,)-+∞D. [1,)-+∞【答案】D10. 若函数224 ,1()42,1x a x f x x ax a x ⎧+≤⎪=⎨-+>⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）. A. (1,4] B. [3,4] C. (1,3] D. [4,)+∞【答案】B二、多选题：本大题共3小题，每小题3分，共计9分.每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对者得3分，其他情况不得分. 11. 若指数函数x y a =在区间[1,1]-上的最大值和最小值的和为52，则a 的值可能是（）. A. 2 B.12C. 3D. 13【答案】AB12. 在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y （单位：千克）与时间x （单位：小时）的函数图像，则以下关于该产品生产状况的正确判断是（）. A. 在前三小时内，每小时的产量逐步增加 B. 在前三小时内，每小时的产量逐步减少 C. 最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同 D. 最后两小时内，该车间没有生产该产品【答案】BD13. 下列四个说法中，错误．．的选项有（）. A. 若函数()f x 在(,0]-∞上是单调增函数，在(0,)+∞上也是单调增函数，则函数()f x 在R 上是单调增函数B. 已知函数的解析式为2y x =，它的值域为[1,4]，这样的函数有无数个C. 把函数22x y =的图像向右平移2个单位长度，就得到了函数222x y -=的图像D. 若函数()f x 为奇函数，则一定有(0)0f = 【答案】ACD三、填空题：本大题共4小题5个空，共计15分，每空填对得3分，其他情况不得分. 14. 若22,1()log ,1x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则((0))f f = .【答案】115. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()(21)x f x x =+.则当0x >时，函数()f x = . 【答案】(21)x x --+16. 某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入. 若该公司2018年全年投入研发资金100万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长8%，则该公司全年投入的研发资金开始超过1000万元的年份是年.（参考数据：lg1.080.033≈）【答案】204917. 已知关于x 的方程1()202x t --=有两个不等的实数根1x 和2x ，且12x x <.①实数t 的取值范围是；②212x x -的取值范围是 . 【答案】(0,2);(1,)-+∞四、解答题：本大题共6小题，共计56分. 18.（本小题满分8分）求下列各式的值：（1）02(2)π-+- （2）9log 423(lg5)lg 2lg50++⨯.【答案】19.（本小题满分8分）解关于x 的不等式()(1)0()x a x a R --≤∈. 【答案】1[,1];1{1};1[1,];a a a a a <=>若，解集为若，解集为若，解集为20.（本小题满分10分）已知集合2{280},{0},{12}1xA x x xB xC x a x a x =--<=>=+≤≤+. （1）求AB ；（2）若A C A =，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)(2,1)(0,4);(2)(,2)A B a =--∈-∞21.（本小题满分10分）暑假期间，某旅行社为吸引游客去某风景区旅游，推出如下收费标准：若旅行团人数不超过30，则每位游客需交费用600元；若旅行团人数超过30，则游客每多1人，每人交费额减少10元，直到达到70人为止.（1）写出旅行团每人需交费用y （单位：元）与旅行团人数x 之间的函数关系式；（2）旅行团人数为多少时，旅行社可以从该旅行团获得最大收入？最大收入是多少？【答案】600 ,130,*(1);10900,3070*(2)4520250x x N y x x x N ≤≤∈⎧=⎨-+<≤∈⎩人，最大收入为元22.（本小题满分10分）已知函数()131x mf x =++为奇函数. （1）求实数m 的值；（2）判断函数()f x 的单调性；（3）求不等式21(1)02f x x --+<的解集. 【答案】(1)2;(2)()(3)(0,1)m f x R =-在上单增；不等式的解集为23.（本小题满分10分）已知函数21()log [4(1)2]2x x f x k k k =⋅--++.（1）当0k =时，求函数的值域；（2）若函数()f x 的最大值是1-，求k 的值；（3）已知01k <<，若存在两个不同的正数,a b ，当函数()f x 的定义域为[,]a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围. 【答案】(1)(1,);(2)11(3)12k k -+∞=-<<；。

2019-2020学年江苏省南京师大附中2019级高一上学期期末考试数学试卷及解析

2019-2020学年江苏省南京师大附中2019级高一上学期期末考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、单项选择题：本小题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.已知集合 U = R ,集合{}2|320A x x x =-+>,则U C A =（）A. (1,2)B. [1,2 ]C. (-2,-1 )D. [ -2,-1]【答案】B【解析】解一元二次不等式化简集合A 的表示,再利用补集的定义,结合数轴求出即可.【详解】因为A ()(),12,=-∞+∞,U = R ,所以U C A =[1,2]．故选：B2.设13331log ,4,log 24a b c ===,则a ,b ,c 的大小关系为（）． A. c >a > bB. b > a > cC. c > b > aD. b > c > a【答案】D【解析】根据指数函数、对数函数的单调性,利用中间值比较方法判断出三个数的大小. 【详解】103333331log log 10,441,0log 1log 2log 314a b =<==>==<<=, 所以 b > c > a ．故选：D3.如图,已知点 C 为△OAB 边AB 上一点,且AC =2CB ,若存在实数m ,n ,使得OC mOA nOB =+,则m n -的值为（）．A. 13-B. 0C. 13D. 23【答案】A【解析】根据平面向量的基本定理和共线定理,结合已知求出m n -的值. 【详解】1111233333BC B OC OB OB OB A BO O OA O A B =+=+=++=+,所以13m n -=-. 故选：A4.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示,则ϕ的值为（）．A. 6πB. 6π-C. 4π-D. 4π 【答案】D【解析】利用最高点和最低点的坐标,求出周期,利用周期公式求出ω的值,把其中一个点的坐标代入函数解析式中,最后求出ϕ的值.【详解】由图可知,322T π=,所以223T πω==,所以()22sin 3f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,又因为328f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以232382k ππϕπ⨯+=+,解得()24k k Z πϕπ=+∈,因为2πϕ<,所以4πϕ=. 故选：D。

江苏省南京师大附中2019-2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)

江苏省南京师大附中2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、单选题：本大题共10小题，每小题2分，共计20分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{2,4,6,8,10}A =，{4,8}B =，则A C B =（）. A. {4,8} B. {2,6} C. {2,6,10}D.{2,4,6,8,10}【答案】C 【解析】【分析】A CB 表示A 中不包含B 的集合，容易选出答案。

【详解】A C B 表示A 中不包含B 的集合，即A C B ={2,6,10}.故选：C【点睛】此题考查集合的补集，熟知补集概念容易做出题目，属于简单题目. 2.若21{0,,}x x ∈，则x =（）. A. 1 B. 1-C. 0或1D. 0或1-【答案】B 【解析】【分析】根据集合中元素的确定性得出1肯定是x 或者2x 的一个，又由互异性可知1只能为2x ，较易解出答案.【详解】根据集合中元素的确定性和互异性可知，只能21x =，且1x ≠；所以1x =-。

故选：B【点睛】此题考查集合元素三特性中的确定性和互异性，重点是互异性的理解，即同一个集合里不能出现两个相同的元素，属于简单题目.3.函数ln(1)y x =+-的定义域为（）.A. (1,2)B. (1,2]C. (2,1)-D. [2,1)-【答案】C 【解析】【分析】根号里面大于等于零，分母不等于零，对数函数真数大于零，列出不等式即可求出定义域的取值范围.【详解】由题意可得：24010x x ⎧->⎨->⎩，即21x -<<故选：C【点睛】此题考查具体函数求定义域，根据根号里面大于等于零，分母不等于零，对数函数真数大于零，列出不等式求交集较易求的定义域，属于简单题目. 4.下列各组的函数，()f x 与()g x 是同一个函数的是（）.A.(),()f x x g x ==B. 0()1,()f x g x x == C. 2(),()f x x g x == D. ()1,()xf xg x x==【答案】A 【解析】【分析】同一函数指定义域和对应法则都相同，根据这一标准即可进行判断. 【详解】A 选项：()f x x=和()g x 的定义域都是R ，且()g x x ==即()f x 和()g x 的对应法则也一样，所以是同一函数，所以A 正确.B 选项：()1f x =的定义域是R ，而0()g x x =的定义域是0x ≠，所以B 不正确.C 选项：()f x x =的定义域是R ，而2()g x =的定义域是0x >，所以C 不正确.D 选项：()1f x =的定义域是R ，而()xg x x=的定义域是0x ≠，所以D 不正确. 故选：A【点睛】此题考查同一函数概念，只有定义域和对应法则都相同时才是同一函数，属于简单5.已知函数2,10(),01x x f x x x --≤≤⎧=⎨<≤⎩，则下列图像错误的是（）.A. (1)=-y f x 的图像B. ()y f x =的图像C. ()y f x =-的图像D. ()y f x =的图像【答案】B 【解析】【分析】先画出()f x 的图像，再分析每个选项的函数对应()f x 是怎样变化了即可较易选出答案。

【解析】江苏省南京师大附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

南京师大附中2019-2020学年度第1学期高一年级期中考试数学试卷一、单选题：本大题共10小题，每小题2分，共计20分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{2,4,6,8,10}A =，{4,8}B =，则A C B =（）. A. {4,8} B. {2,6} C. {2,6,10}D.{2,4,6,8,10}【答案】C 【分析】A CB 表示A 中不包含B 的集合，容易选出答案。

【详解】A C B 表示A 中不包含B 的集合，即A C B ={2,6,10}.故选：C【点睛】此题考查集合的补集，熟知补集概念容易做出题目，属于简单题目. 2.若21{0,,}x x ∈，则x =（）. A. 1 B. 1-C. 0或1D. 0或1-【答案】B 【分析】根据集合中元素的确定性得出1肯定是x 或者2x 的一个，又由互异性可知1只能为2x ，较易解出答案.【详解】根据集合中元素的确定性和互异性可知，只能21x =，且1x ≠；所以1x =-。

故选：B【点睛】此题考查集合元素三特性中的确定性和互异性，重点是互异性的理解，即同一个集合里不能出现两个相同的元素，属于简单题目.3.函数ln(1)y x =+-的定义域为（）.A. (1,2)B. (1,2]C. (2,1)-D. [2,1)-【答案】C 【分析】根号里面大于等于零，分母不等于零，对数函数真数大于零，列出不等式即可求出定义域的取值范围.【详解】由题意可得：24010x x ⎧->⎨->⎩，即21x -<<故选：C【点睛】此题考查具体函数求定义域，根据根号里面大于等于零，分母不等于零，对数函数真数大于零，列出不等式求交集较易求的定义域，属于简单题目. 4.下列各组的函数，()f x 与()g x 是同一个函数的是（）.A.(),()f x x g x ==B. 0()1,()f x g x x == C. 2(),()f x x g x == D. ()1,()xf xg x x==【答案】A【分析】同一函数指定义域和对应法则都相同，根据这一标准即可进行判断. 【详解】A 选项：()f x x=和()g x 的定义域都是R ，且()g x x ==即()f x 和()g x 的对应法则也一样，所以是同一函数，所以A 正确.B 选项：()1f x =的定义域是R ，而0()g x x =的定义域是0x ≠，所以B 不正确.C 选项：()f x x =的定义域是R ，而2()g x =的定义域是0x >，所以C 不正确.D 选项：()1f x =的定义域是R ，而()xg x x=的定义域是0x ≠，所以D 不正确. 故选：A【点睛】此题考查同一函数概念，只有定义域和对应法则都相同时才是同一函数，属于简单5.已知函数2,10(),01x x f x x x --≤≤⎧=⎨<≤⎩，则下列图像错误的是（）.A. (1)=-y f x 的图像B. ()y f x =的图像C. ()y f x =-的图像D. ()y f x =的图像【答案】B 【分析】先画出()f x 的图像，再分析每个选项的函数对应()f x 是怎样变化了即可较易选出答案。

2019-2020学年01月14日南师附中高一上数学期末试卷+解析

=
2 ，所以
2 × 3π 38
+ϕ
=
π 2
+ 2kπ
，解得 ϕ
= π + 2kπ (k ∈ Z) ，
4
因为 ϕ < π ，所以ϕ = π ．
2
4
5.
函数 f ( x)=
log2
1− 1+
x x
+

1 3
2x
−1
的定义域是（
）．
A. [1, +∞)
B. (0,1)
C. (−1,0]
D. (−∞, −1]
A. (1, 2)
B.[1, 2]
C. (−2, −1)
【答案】B；
【解析】因为 A = (−∞,1) (2, +∞) ，U = R ,所以 U A = [1, 2] ．
D. [−2, −1]
2.
设
a
=
log3
1 4
，
b
=
1
43
，
c
=
log3
2
，则
a, b, c
的大小关系为（
）．
A. c > a > b
11. 设 a 为实数，则直线 y = a 和函数 =y x4 + 1 的图象的公共点个数可以是（）．
A. 0
B.1
C. 2
D. 3
【答案】ABC；
【解析】 =y x4 + 1 是偶函数，且在 [0, +∞) 上递增，画出草图，可知 y = a 与该函数的交点个数可能为 0，
1，2．
12. 设函数 f ( x) 的定义域为 D ，若对于任意 x ∈ D ，存在 y ∈ D 使 f ( x) − f ( y) = C （ C 为常数）成立，则

【40套试卷合集】南京师范大学附属中学2019-2020学年数学高一上期末模拟试卷含答案

2019-2020学年高一上数学期末模拟试卷含答案本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名、考号填写在答题卷上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。

第一部分（基础检测100分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．67sinπ的值为（ *** ） A ．21B ．23C ． 21-D ．23-2．已知,2,21tan παπα<<-=则αsin 等于（ *** ） 55.552.55.552.D C B A --3．函数y ＝cosx·|tanx| ⎝⎛⎭⎫－π2<x<π2 的大致图象是( *** )4．在锐角ABC ∆中，若31tan ,55sin ==B A ，则=+B A （ *** ） 434.ππ或A 4.πB 43.πC 22.D 5．下列不等式中，正确的是（ *** ）A ．tan513tan413ππ< B ．sin )7cos(5ππ->NMDCBAC ．tan ⎝⎛⎭⎫－13π7<tan ⎝⎛⎭⎫－15π8D ．cos )52cos(57ππ-< 6．函数]0,[),3sin(2)(ππ-∈-=x x x f 的单调递增区间是（ *** ）A ．]65,[ππ-- B ．]6,65[ππ-- C ．]0,3[π- D ．]0,6[π- 7．已知函数sin cos 1212y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（ ***） A ．此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭8．已知2tanα·sinα＝3，－π2<α<0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π6的值是(*** ) A ．0 B.32 C ．1 D.129．若10sin 3cos =-αα，则=αtan （*** ） A ．3； B ．53-; C ．3-; D ．8310．定义在R 上的函数满足，当时，，则（*** ）A ．B ．C ．)45(tan)6(tanππf f < D ．二、填空题： (每题5分,共20分)11. 已知扇形的弧长和面积的数值都是2，则其圆心角的正的弧度数为____***____.12．若集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ sinθ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪cosθ≤12，0≤θ≤π，则M∩N=___***___.13．如图,在正方形ABCD 中,M 是边BC 的中点,N 是边CD 的中点,设α=∠MAN ,那么αsin 的值等于_______***_____.14．给出下列四个结论：①若角的集合{|,},{|,}244k A k B k k πππααββπ==+∈==±∈Z Z ，则A B =；②函数|tan |x y =的周期和对称轴方程分别为)(2,Z k k x ∈=ππ ③ 已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝14，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝78 ④要得到函数cos()24x y π=-的图象，只需将sin 2x y =的图象向右平移2π个单位；其中正确结论的序号是 *** ．（请写出所有正确结论的序号）。

江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

南京市2019－2020学年度第一学期期末调研测试高一数学注意事项：1．本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置.3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.5．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1.已知集合A ＝{1，2，3}，集合B ＝{x |x 2≤4，x ∈R }，则A ∩B ＝（） A. ∅ B. {1}C. {1，2}D. {1，2，3}【答案】C 【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得AB .【详解】由24x ≤，解得22x -≤≤，故{}2B x x =|-2≤≤，所以{}1,2A B =.故选：C【点睛】本小题主要考查集合交集，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.已知向量(1,2)OA =-，(1,1)OB =-，则向量AB 的坐标为（） A. （－2，3） B. （0，1）C. （－1，2）D. （2，－3）【答案】D 【解析】【分析】利用向量减法运算，求得AB .【详解】依题意()()()1,11,22,3AB OB OA =-=---=-. 故选：D【点睛】本小题主要考查平面向量减法的坐标运算，属于基础题.3.已知a ＝log 0.81.2，b ＝1.20.8，c ＝sin 1.2，则a ，b ，c 的大小关系是（） A. a ＜b ＜c B. a ＜c ＜bC. c ＜a ＜bD. c ＜b ＜a【答案】B 【解析】【分析】利用0,1分段法，判断出,,a b c 的大小关系.【详解】0.80.8log 1.2log 10a =<=，0.801.2 1.21b =>=，由于ππ1.232<<，所以0sin1.21c <=<，所以a c b <<.故选：B【点睛】本小题主要考查指数式、对数式和三角函数比较大小，属于基础题. 4.函数()tan 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域为（） A. ,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z B. 2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C. ,28k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D. ,8x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】分析】根据正切型三角函数定义域的求法，求得()f x 的定义域. 【详解】由ππ2π42x k +≠+，解得ππ28k x ≠+，所以()f x 的定义域为,28k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.故选：C【点睛】本小题主要考查正切型三角函数定义域的求法，属于基础题. 5.已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则AB 的长为（） A. 2 B. 4 C. 2π D. 4π【答案】B 【解析】【分析】利用扇形面积公式求得扇形的半径，进而求得AB 的长. 【详解】设扇形的半径为r ，依题意2124,22r r ⋅⋅==.所以AB 224r α=⋅=⋅=. 故选：B【点睛】本小题主要考查扇形面积公式，考查扇形弧长计算，属于基础题. 6.若向量,a b 满足：()()1,,2a a b a a b b =+⊥+⊥，则a b -=（） A. 1 B. 2 C. 5【答案】D 【解析】【分析】利用已知条件求得2,a b b ⋅，由此求得a b -的值.【详解】由()()1,,2a a b a a b b =+⊥+⊥得()()222102220a b a a a b a b a b b a b b a b b ⎧+⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨+⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩，化简得212a b b ⎧⋅=-⎨=⎩.所以()22221225a b a b a a b b -=-=-⋅+=++=故选：D【点睛】本小题主要考查平面向量数量积运算，考查两个向量垂直的表示，考查向量模的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 7.函数212ln ||()x f x x ⋅=图象的大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性，选出正确选项.【详解】由于函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，且()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，由此排除B,C 选项.由于()()222221212212,f e f e e e e e ==⋅<，所以当0x >时，()f x 存在减区间，由此排除D 选项. 故选：A【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题. 8.安装了某种特殊装置的容器内有细沙10cm 3，容器倒置后，细沙从容器内流出，tmin 后容器内剩余的细沙量为y ＝101+at （单位：cm 3），其中a 为常数．经过4min 后发现容器内还剩余5cm 3的沙子，再经过xmin 后，容器中的沙子剩余量为1.25cm 3，则x ＝（） A. 4 B. 6C. 8D. 12【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件求得a 的值，由此列方程，求得x 的值.【详解】当4t =时5y =，所以14510a +=，即11114lg5,4lg51lg,lg 242a a a +==-==⋅.设经过min y 后，剩余沙子为111lg 425104y +⋅=，即1411lg 1011241lg 421510101024y y y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭+⋅⎢⎥⎣⎦⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭，即1341122y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13,124y y ==.所以再经过的时间1248x =-=. 故选：C【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数解析式，考查对数运算，考查运算求解能力，属于中档题.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填写在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分．9.下列各选项中，值为1的是（） A. log 26·log 62 B. log 62＋log 64C. ()()112222+⋅D. ()()112222+-【答案】AC 【解析】【分析】对选项逐一化简，由此确定符合题意的选项.【详解】对于A 选项，根据log log 1a b b a ⋅=可知，A 选项符合题意. 对于B 选项，原式()66log 24log 81=⨯=≠，B 选项不符合题意. 对于C选项，原式((11222211⎡⎤==⎣⎦⋅-=，C 选项符合题意.对于D选项，由于(()(()1111222222222222+--+⎡⎤=⎣⋅⎢⎥⎦4221=-=≠，D 选项不符合题意. 故选：AC【点睛】本小题主要考查对数、根式运算，属于基础题. 10.记函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为G ，则下列结论正确的是（） A. 函数f （x ）的最小正周期为π B. 函数f （x ）在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C. 直线12x π=-是图象G 的一条对称轴D. 将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移3π个单位长度，得到图象G 【答案】ABC 【解析】【分析】根据三角函数的图像与性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，故A 选项正确. 由πππ2232x -≤-≤，解得π5π1212x -≤≤，所以函数f （x ）在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 选项正确. 由于ππππsin 2sin 1121232f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以直线12x π=-是图象G 的一条对称轴，故C 选项正确.sin 2y x =向右平移π3得到π2πsin 2sin 233y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 选项错误.故选：ABC【点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质，包括周期性、单调性、对称性和图像变换等知识，属于基础题.11.已知函数f （x ）＝x ，g （x ）＝x －4，则下列结论正确的是（） A. 若h （x ）＝f （x ）g （x ），则函数h （x ）的最小值为4 B. 若h （x ）＝f （x ）|g （x ）|，则函数h （x ）的值域为RC. 若h （x ）＝|f （x ）|－|g （x ）|，则函数h （x ）有且仅有一个零点D. 若h （x ）＝|f （x ）|－|g （x ）|，则|h （x ）|≤4恒成立【答案】BCD 【解析】【分析】对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项.【详解】对于A 选项，()()()224424h x x x x x x =-=-=--，当2x =时，函数()h x 的最小值为4-，所以A 选项错误.对于B 选项，()224,444,4x x x h x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，画出()h x 图像如下图所示，由图可知，()h x 的值域为R ，故B 选项正确.对于C 选项，()4,0424,044,4x h x x x x x x -<⎧⎪=--=-≤≤⎨⎪>⎩，画出()h x 图像如下图所示，由图可知，()h x 有唯一零点2，故C 选项正确.对于D 选项，由C 选项的分析，结合()h x 图像可知()4h x ≤恒成立，故D 选项正确. 故选：BCD【点睛】本小题主要考查函数的最值、值域和零点，考查分段函数，考查数形结合的思想方法，属于基础题.12.已知向量,a b 是同一平面α内的两个向量，则下列结论正确的是（） A. 若存在实数λ，使得b a λ=，则a 与b 共线 B. 若a 与b 共线，则存在实数λ，使得b a λ=C. 若a 与b 不共线，则对平面α内的任一向量c ，均存在实数,λμ，使得c a b λμ=+D. 若对平面α内的任一向量c ，均存在实数,λμ，使得c a b λμ=+，则a 与b 不共线【答案】ACD 【解析】【分析】根据平面向量共线、平面向量的基本定理判断出正确选项. 【详解】根据平面向量共线的知识可知A 选项正确.对于B 选项，若a 与b 共线，可能0a =，当b 为非零向量时，不存在实数λ，使得b a λ=，所以B 选项错误.根据平面向量的基本定理可知C 、D 选项正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查平面向量共线、平面向量的基本定理，属于基础题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13.已知a 和b 都是单位向量，且0,2a b c a b ⋅==+，则向量b 与c 的夹角的余弦值是____．【解析】【分析】利用cos ,b c b c b c⋅=⋅求得向量b 与c 的夹角的余弦值.【详解】依题意cos ,b c b c b c⋅=⋅()222254442b a ba ab bb a b ⋅+====++⋅+⋅+. 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积、模的运算，考查向量夹角的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 14.在△ABC 中，已知7sin cos 13A A ＋＝，则sinAcosA 的值为____，tanA 的值为____．【答案】 (1). 60169- (2). 125- 【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系式，求得sin cos ,tan A a A 的值.【详解】由7sin cos =13A A +两边平方得496012sin cos ,sin cos 169169A A A A +==-.由于A是三角形的内角，故A 为钝角，所以sin cos 0A A ->，而()2289sin cos 12sin cos 169A A A A -=-=，所以17sin cos 13A A -=.由17sin cos 137sin cos 13A A A A ⎧-=⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝解得125sin ,cos 1313A A ==-，所以sin 12tan cos 5A A A ==-. 故答案为：（1）60169-（2）125- 【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.15.已知函数f （x ）（x ∈R ）是周期为4的奇函数，且当0≤x ≤2时，(1),01()sin ,12x x x f x x x π-⎧=⎨<⎩则376f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．【答案】14【解析】【分析】根据函数()f x 的周期性、奇偶性和分段函数解析式，求得所求表达式的值. 【详解】依题意3711111111π42sin 66666f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ1sin 2πsin 662⎛⎫=--== ⎪⎝⎭.371111162224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：14【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题. 16.已知A ，B 是函数()sin2xf x π=的图象与函数()cos2xg x π=的图象的两个不同的交点，则线段AB 长度的最小值是______．【解析】【分析】求得()(),f x g x 在一个周期内的两个交点坐标，由此求得AB 长度的最小值.【详解】()f x 和()g x 的周期为2π4π2T ==，由()()f x g x =得ππsin cos 22x x =，在[]0,4x ∈时，有ππ24x =或π5π24x =，记得12x =或52x =，不妨设15,,22A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，所以AB 长度的最小值为AB ==.【点睛】本小题主要考查正弦函数与余弦函数，考查两点间的距离公式.四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17.已知向量()()2,,1,6a m b m ==-．（1）若//a b ，求实数m 的值；（2）若a b a b +=-，求实数m 的值．【答案】（1）3-或4；（2）14【解析】【分析】（1）利用两个向量平行的条件列方程，解方程求得m 的值；（2）将a b a b +=-两边平方，求得0a b ⋅=，根据向量数量积的坐标运算列方程，解方程求得m 的值.【详解】（1）由于//a b ，所以()2610m m ⋅--=，解得3m =-或4m =.（2）将a b a b +=-两边平方得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，所以0a b ⋅=，即()2160m m -+=，解得14m =.【点睛】本小题主要考查两个向量平行的坐标表示，考查向量模的运算、数量积的运算，考查方程的思想，属于基础题.18.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为O ，始边为x 轴的正半轴，终边经过点P （－3，m ），且4sin 5α．（1）求实数m 的值；（2）求sin(2)cos()3sin cos 22παππααπα-++⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【答案】（1）4；（2）17【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义列方程，解方程求得m 的值.（2）由（1）求得cos α的值，利用诱导公式化简求得表达式的值. 【详解】（1）由于角α的终边经过点()3,P m -，且4sin 05α=>，所以0m >，且4sin 5α==，从而()2225169m m =+，即216m =，解得4m =. （2）由（1）知()4,3,4m P =-，所以3cos 5α==-，所以sin(2)cos()sin cos 13cos sin 7sin cos 22ππααππαααααα-++--==-⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查诱导公式和同角三角函数的基本关系式，属于基础题.19.已知函数()2x x e ae f x --=是奇函数，其中e 是自然对数的底数．（1）求实数a 的值；（2）若f （lgx ）＋f （－1）＜0，求x 的取值范围．【答案】（1）1；（2）()0,10 【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质，利用()00f =列方程，解方程求得a 的值. （2）利用函数的奇偶性和单调性化简不等式，并由此求得不等式的解集.【详解】（1）函数()f x 的定义域为R ，且为奇函数，所以()1002af -==，解得1a =. （2）由（1）得()122x x e f x e =-，由于1,2xx e e -都在R 上递增，所以函数()122x xe f x e=-在R 上递增，根据()f x 为奇函数得()()()lg 11f x f f <--=，所以lg 1x <，解得010x <<.即不等式的解集为()0,10.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.20.如图，摩天轮的半径为50m ，圆心O 距地面的高度为65m ．已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每30min 转动一圈．游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱．（1）游客进入摩天轮的舱位，开始转动tmin 后，他距离地面的高度为h ，求h 关于t 的函数解析式；（2）已知在距离地面超过40m 的高度，游客可以观看到游乐场全景，那么在摩天轮转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间是多少？【答案】（1）π6550cos ,015t h t ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭；（2）20min 【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据摩天轮的转动速度，结合三角函数的知识，求得h 关于t 的解析式.（2）由40h >列不等式，解不等式求得距离地面超过40m 的时间范围，由此求得游客可以观看到游乐场全景的时间.【详解】（1）如图以摩天轮的圆心为坐标原点，水平方向为x 周，建立平面直角坐标系.设游客的位置为点P .因为摩天轮按逆时针方向匀速转动，且每30min 转动一圈，所以OP 在min t 内所转过的角为2πt πt3015=.因为游客是从摩天轮的最低点进入摩天轮的舱位，所以，以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角为πt π152-，因此P 点的纵坐标为ππ50sin 152t ⎛⎫- ⎪⎝⎭.从而游客距离地面的高度πππ50sin 656550cos 15215t t h ⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0t ≥. （2）令π6550cos 4015t h ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，得π1cos 152t ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以ππt 5π2π2π3153k k +<<+，即3053025k t k +<<+，k ∈N ，令0k =，则525t <<.由于在距离地面超过40m 的高度，游客可以观看到游乐场全景，因此，在转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间为25520min -=.【点睛】本小题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查三角不等式的解法，属于中档题.21.在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝3，D 为BC 中点，2AE EB =,12AF FC =．（1）若3A π∠=，求AD EF ⋅的值；（2）若0DE DF ⋅=，求AB AC ⋅的值．【答案】（1）12-；（2）818【解析】【分析】（1）利用向量加法、减法和数量积运算，化简求得AD EF ⋅的值.（2）利用向量加法、减法和数量积运算，结合0DE DF ⋅=，化简求得AB AC ⋅的值. 【详解】（1）由于D 是BC 的中点，所以()12AD AB AC =+，由于2AE EB =,12AF FC =，所以21,33AE AB AF AC ==.所以AD EF ⋅()112233AB AC AC AB ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭2212112333AB AB AC AC ⎛⎫=--⋅+ ⎪⎝⎭22111366AB AB AC AC =--⋅+22111166333626-⨯-⨯⨯⨯+⨯33121222=--+=-.（2）()21113262DE AE AD AB AB AC AB AC =-=-+=-， ()11113226DF AF AD AC AB AC AB AC =-=-+=--，所以11116226DE DF AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2211212129AB AC AB AC=-++⋅323049AB AC =-++⋅=,解得818AB AC ⋅=.【点睛】本小题主要考查向量加法、减法和数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.22.已知函数f （x ）＝sinx ，g （x ）＝lnx ．（1）求方程()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[0，2π]上的解；（2）求证：对任意的a ∈R ，方程f （x ）＝ag （x ）都有解；（3）设M 为实数，对区间[0，2π]内的满足x 1＜x 2＜x 3＜x 4的任意实数x i （1≤i ≤4），不等式()()()()()()122334Mf x f x f x f x f x f x -+-+-成立，求M 的最小值．【答案】（1）π4或5π4；（2）详见解析；（2）4【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合同角三角函数的基本关系式求得tan x 的值，由此求得方程的解.（2）将a 分成0a =和0a ≠两种情况，结合零点存在性证得结论成立.（3）先证得4M ≥，再证得()()()()()()1223344f x f x f x f x f x f x ≥-+-+-，由此求得M 的最小值为4.【详解】（1）因为，()()πsin ,2f x x f x f x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以πsin sin 2x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即sin cos x x =，且[]0,2πx ∈.若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x +=矛盾.所以cos 0x ≠，从而tan 1x =.又[]0,2πx ∈，所以π4x =或5π4x =. （2）当0a =时，由()()f x ag x =得sin 0x =，即πx =是该方程的一个解；当0a ≠时，令()1ln sin h x x x a =-.因为()h x 的图像在区间22,a ae e -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦上连续不断，且2221211sin 0a a h e e a a a a a --⎛⎫⎛⎫=--≤-+=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2221211sin 0a a h e e a a a a a -⎛⎫⎛⎫=-≥-=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据零点存在性定理可知，存在220,aax e e-⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭，使得()00h x =.因此，当0a ≠时，方程()()f x ag x =有解0x x =. 综上所述，对任意a R ∈，方程()()f x ag x =都有解. （3）先证：4M ≥. 取1234π3π0,,,2π22x x x x ====，122334sin sin sin sin sin sin 1214M x x x x x x ≥-+-+-=++=.再证：当123402πx x x x ≤<<<≤时，都有()()()()()()1223344f x f x f x f x f x f x ≥-+-+-，即1223344sin sin sin sin sin sin x x x x x x --≥+-+.①若2πx ≤，因为234π2πx x x ≤<<≤，于是2341sin ,sin ,sin 0x x x -≤≤，所以2334sin sin 1,sin sin 1x x x x -≤-≤，而12sin sin 2x x -≤，所以122334sin sin sin sin sin sin 4x x x x x x --+-+≤.②若3πx ≤，1223sin sin 1,sin sin 1x x x x -≤-≤，34sin sin 2x x -≤，所以122334sin sin sin sin sin sin 4x x x x x x --+-+≤；③若23πx x <<，1223sin sin 1,sin sin 2x x x x -≤-≤，34sin sin 1x x -≤，所以122334sin sin sin sin sin sin 4x x x x x x --+-+≤，于是对任意满足条件的1234x x x x <<<，都有1223344sin sin sin sin sin sin x x x x x x --≥+-+.综上所述，M 的最小值为4.【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查零点存在性定理，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析、思考与解决问题的能力，属于难题.。

2019-2020学年江苏省南京师大附中高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年江苏省南京师大附中高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合 U = R ，集合{}2|320A x x x =-+>，则U C A =（） A ．(1,2) B ．[1,2 ] C ．(-2，-1 ) D ．[ -2，-1]【答案】B【解析】解一元二次不等式化简集合A 的表示，再利用补集的定义，结合数轴求出即可. 【详解】因为A ()(),12,=-∞+∞，U = R ,所以U C A =[1,2]．故选：B 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合补集的定义，属于基础题.2．设13331log ,4,log 24a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）．A ．c >a > bB ．b > a > cC ．c > b > aD ．b > c > a【答案】D【解析】根据指数函数、对数函数的单调性，利用中间值比较方法判断出三个数的大小. 【详解】103333331log log 10,441,0log 1log 2log 314a b =<==>==<<=,所以 b > c > a ．故选：D 【点睛】本题考查了指数式、对数式的大小比较，考查了对数函数和指数函数的单调性，属于基础题.3．如图，已知点 C 为△OAB 边AB 上一点，且AC =2CB ，若存在实数m ，n ，使得OC mOA nOB =+，则m n -的值为（）．A ．13- B ．0 C ．13D ．23【答案】A【解析】根据平面向量的基本定理和共线定理，结合已知求出m n -的值. 【详解】1111233333BC B OC OB OB OB A BO O OA O A B =+=+=++=+，所以13m n -=-.故选：A 【点睛】本题考查了平面向量基本定理和共线定理，属于基础题. 4．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则ϕ的值为（）．A ．6π B ．6π-C ．4π-D ．4π 【答案】D【解析】利用最高点和最低点的坐标，求出周期，利用周期公式求出ω的值，把其中一个点的坐标代入函数解析式中，最后求出ϕ的值. 【详解】由图可知，322T π=，所以223T πω==，所以()22sin 3f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为328f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以232382k ππϕπ⨯+=+，解得()24k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以4πϕ=.故选：D【点睛】本题考查了通过函数图象求函数的解析式，考查了识图能力，属于基础题.5．函数()21log 1x f x x -=++的定义域是 ( ) A ．[1,+∞ ) B ．(0,1) C ．(-1,0 ] D ．(−∞ −1]【答案】C【解析】根据对数的真数大于零，被开偶次方根数为非负数，得到两个不等式，解不等式组即可. 【详解】由题意可得：101x x->+且21103⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭x，解得11x -<<且x ≤0 ，所以定义域为 (-1,0 ]．故选：C 【点睛】本题考查了求函数的定义域，考查了数学运算能力.6．设a ，b 是实数，已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (a ，1 )，B (-2，b )，且1sin 3θ=，则ab 的值为（）．A ．-4B ．-2C ．4D ．±4【答案】A【解析】根据三角函数的定义，得到两个方程，解方程即可求出ab的值. 【详解】由三角函数的定义，13==，且a < 0，解得b a ==-，所以4ab=-. 故选：A 【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了数学运算能力.7．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令()2sin 2xf x x =，因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．8．若函数()()lg 12f x x =-+，则对于任意的()12,1,x x ∈+∞，()()122f x f x +与122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是（）．A ．()()122f x f x +≥122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭ B ．()()122f x f x +≤122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭C ．()()122f x f x +=122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．不确定【答案】B【解析】画出函数的图象利用数形结合思想可以判断出大小关系. 【详解】观察图象，可得函数“凹凸性”如图.故选：B 【点睛】本题考查了利用数形结合思想判断函数值之间的大小关系,属于基础题.二、多选题9．下列计算结果为有理数的有（）． A ．23log 3log 2⋅ B ．lg 2 +lg 5C ．1ln22e-D ．5sin6π 【答案】ABCD【解析】根据对数的运算公式和特殊角的三角函数值进行计算，根据结果判断出正确选项. 【详解】23log log 132⋅=；lg 2+ lg 5=1；1ln220e -=；51sin62π=，故选：ABCD 【点睛】本题考查了对数运算公式和特殊角的三角函数值，考查了数学运算能力. 10．对于定义在 R 上的函数()f x ，下列判断错误的有（）． A ．若()()22f f ->，则函数()f x 是 R 的单调增函数 B ．若()()22f f -≠，则函数()f x 不是偶函数 C ．若()00f =，则函数()f x 是奇函数D ．函数()f x 在区间 (−∞，0]上是单调增函数，在区间 (0,+∞)上也是单调增函数，则()f x 是 R 上的单调增函数【答案】ACD【解析】利用单调性的定义及性质，奇偶函数定义进行判断即可. 【详解】A 选项，由()()22f f ->，则()f x 在 R 上必定不是增函数；B 选项，正确；C 选项，()2f x x =，满足()00f =，但不是奇函数；D 选项，该函数为分段函数，在x =0 处，有可能会出现右侧比左侧低的情况，故错误．故选：ACD 【点睛】本题考查了函数的单调性的定义和性质，考查了函数奇偶性的性质，属于基础题. 11．设 a 为实数，则直线y =a 和函数41y x =+的图象的公共点个数可以是（）． A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】ABC【解析】利用方程的思想即可判断出公共点的个数. 【详解】y =a 和41y x =+联立消去y 得，4411a x x a =+⇒=-. 当1a >时，方程有两个不相等的实根，故有两个公共点；当1a =时，方程有一个实根，故有一个交点；当1a <时，方程无实根，故没有交点. 故选：ABC 【点睛】本题考查了两个函数图象交点个数问题，考查了一元二次方程根的判别，属于基础题. 12．设函数()f x 的定义域为D ，若对于任意x ∈D ，存在y ∈D 使()()2f x f y C-=（C 为常数）成立，则称函数()f x 在D 上的“半差值”为C ．下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为1的函数是（）． A ．()31y x x R =+∈B ．()2xy x R =∈C ．()()ln 0,y x x =∈+∞D ．y =sin 2x +1( x ∈R )【解析】根据函数的定义域和特殊自变量的取值，结合所给的定义进行判断即可. 【详解】即对任意定义域中的 x ，存在 y ，使得f (y )=f (x )-2；由于AC 值域为R ，故满足；对于B ，当x =0时，函数值为1，此时不存在自变量y ，使得函数值为-1，故B 不满足；对于D ，当2x π=-时，函数值为0，此时不存在自变量y ，使得函数值为−2 ,故D 不满足. 故选：AC 【点睛】本题考查了新定义题，考查了数学阅读能力，属于基础题.三、填空题13．设m 为实数，若函数()22f x x mx =+-在区间 (−∞,2)上是单调减函数，则m的取值范围是_______________．【答案】m ≤−4【解析】求出二次函数的对称轴，根据题意得到不等式，解不等式即可求出m 的取值范围. 【详解】()f x 为开口向上的二次函数，对称轴为直线2mx =-,要使得函数在(−∞,2)上递减，则22m-≥，解得4m ≤-. 故答案为：4m ≤- 【点睛】本题考查了已知函数的单调性求参数问题，属于基础题. 14．把函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到图象为1C ；再把1C 上每一点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象为2C ，则2C 对应的解析式为____________．【答案】2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【解析】根据正弦型函数的图象的变换规律直接写出解析式即可.因为函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到图象为1C ，所以1C 的解梦式为:sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,再把1C 上每一点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象为2C ，所以2C 的解析式为:2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.. 故答案为：2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了正弦型函数图象变换规律，属于基础题.15．若()()cos ,1,2cos ,2sin AB AC θθθ=-=，其中θ∈[0,π]，则BC 的最大值为__．【答案】3【解析】利用平面向量的减法的几何意义，结合平面向量数量积的坐标表示公式，求出BC 平方的表达式，最后根据同角的三角函数关系式化为关于正弦函数的二次函数，最后求出BC 的最大值. 【详解】()cos ,2sin 1,BC AC AB θθ=-=+ 所以()2222cos 2sin 13sin 4sin 2,BC θθθθ=++=++因为[]0,θπ∈，令[]sin 0,1t θ=∈，所以22342,BC t t =++所以当t =1时，取最大值 9，所以BC 的最大值为 3．【点睛】本题考查了平面向量的减法几何意义，考查了求向量模的最值问题，考查了同角的三角函数关系式，考查了二次函数的单调性的应用. 16．已知函数()22,1,1x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩，那么()()3f f =________；若存在实数a ，使得()()()f a f f a =，则a 的个数是_______________．【答案】1 4【解析】（1）直接代入求值即可；（2）运用换元法，结合函数的图象，分类讨论求出a 的个数. 【详解】（1）()()()311;ff f =-=（2）令()f a t =，即满足()f t t =， ①t =1，即a =±1时，经检验，均满足题意；②t <1，即 −1 <a <1 或 a >1时，()2f t t =，由2t t =，解得t =0或1（舍去）；再由()0t f a ==解得a = 0或 2 ；③t > 1，即a < − 1时，()2f t t =-，由t = 2−t ，解得 t = 1 （舍去）；综上所述：共有 4 个 a ．【点睛】本题考查了求函数值，考查了方程有解求实数个数问题，考查了分类讨论法、换元法。