第十一章教育评估统计论.

基本原理篇1第十一章教育评估统计论①统计是通过对事物量的综合分析来研究其质的一种技术和方法。

应用教育评估的测量技术与方法所获得的关于教育评估对象的信息，只有经过统计分析后才有评估意义。

本章重点探讨对教育评估对象的量进行综合分析的统计技术和方法。

第一节教育评估统计概述一、统计学的分类统计学是研究统计原理和方法的科学。

从广义来说，统计学是对于事物总体信息的收集和分析，并以此为根据进行推断的方法和理论。

统计学基本上分为两大类：一类是与研究对象的特征密切结合的应用统计学；另一类是数理统计学，它为应用统计学提供方法，其主要研究应用概率论分析和解释统计数据数量关系的模式。

另外，近年来发展起来的模糊统计学则是研究应用模糊集合论为基础分析和解释统计数据数量关系的模式。

本章则以数理统计学的原理为依据，研究如何科学地运用统计技术，以提高教育评估的质量。

关于模糊统计技术在教育评估中的应用问题，我们将在下一章讨论。

二、教育评估统计技术与方法的主要内容从统计技术应用于教育评估领域的角度来看，教育评估的统计技术和方法包括描述统计、推断统计、实验设计三部分主要内容。

（一）描述统计何兆华：《教育评估的技术和方法》，教育管理专业教材，陕西教育学院教育系，1990年2月。

对应用教育评估测量技术与方法所获得的信息进行整理、制 表、绘图，并计算各种代表量，如集中量数、差异量数、相关系数 等，使大量杂乱无章或零散的资料简缩、概括，进而揭示其分布特 征的过程，称为教育评估的描述统计。

1. 集中量数描述集中趋势的量数，在统计学上称集中量数。

在教育评估中, 集中量数是一组教育评估准则测值的代表值，能够描述其典型情 况；集中量数也可用于评估对象之间的比较，以分析评估对象之间的差异。

集中量数主要有平均数、中位数、众数。

(1) 平均数① 算术平均数算术平均数是评估对象某种属性的测量值 X 的总和与评估对象总数目之比，或所有评估对象在同一评估量表上的得分与评估对 象数目之比。

常用X 表示。

育评估的许多场所。

但是，由于其没有考虑各项评估指标的相对重 要程度，而把不等值的指标测量值叠加起来，显然不科学；另外， 其不能反映评估对象在各评估指标测量得分上所处的地位，优化工作，故在以改进为目的的形成性评估中，不宜采用这种方法来比较评估对象的集中程度。

② 加权算术平均数加权算术平均数是若干个价值大小不同的算术平均数的平均数，常用X t 表示：即 X tq 1 q 2 q n 式中q i 是评估指标i 的权重。

X X 算术平均数具有原理简单， 1 n -X i(11.1) 糾 X 2X n ) 便于掌握和运用的优点，常用于教不利于 qN q 2X 2 q n X n (11.2)基本原理篇3加权算术平均数是算术平均数的改进，其不仅考虑了评估对象在各项评估准则上的测量值，而且体现了准则体系中各指标的权重，是客观性较强的统计方法。

但是，应用加权算术平均数可能会 削峰填沟，使不同特色的评估对象分值拉平， 故仅从加权平均数的 大小上很难判断评估对象之间的差异。

③ 几何平均数几何平均数是 中程度。

如求学龄儿童的增加率、学校教育经费的增长率、教师工 资的增加率、学生阅读能力的进步率等。

④ 调和平均数调和平均数是一组测量值倒数的算术平均数的倒数，常用 表示。

X H -------------- : ---------- (11.4) 1 n 1 n 1调和平均数(倒数平均tfe i )1一(般用于求平均速率等测量值可能 表现为正逆两种指标的场合。

'在教育评估方面主要是用来描述学习 的速度，如阅读速度、解题速度、识字速度等。

(2) 中位数中位数是位于按一定顺序排列的一组测量值中央位置的数值， 在这一数值上、下各有一半次数分布，常用 M 表示。

根据中位数的定义，将一组测量值按大小顺序排列后，其计算 方法是：若测量值的次数为偶数， 则以中间的两个测值的算数平均 数为中位数；若测值的次数为奇数，则以位居中央的测值为中位数。

在教育评估中，若一组测量值有特大或特小的极端数值， 对测量单 位的性质有怀疑，且采用百分制计量体系时， 可用中位数粗略地描 述评估测值的趋中程度。

(3) 众数众数是频数分布理论曲线最高点相对应的横坐标上的一点， 俗而粗略地n 个测量值连乘积的n 次方根，常用X g 表示。

Xg 7X 1^2 X n (11.3)几何平均数常用于判断分析评估对象速率的集在教育评估中,基本原理篇5说，众数是一组测量值中次数出现最多的那个测值，用M O表示。

Q D Q 3 Q 1~2~ (11.7)众数的理论值求法很繁，一般是用经验公式求理论众数的近似 值，或用直接观察法寻找粗略的众数。

统计数学家皮尔逊 (K.Pearson)关于计算众数的经验公式为：Mo 3M d 2X (11.5)众数在教育评估中用来作为集中量数的价值很小，它只能大略 地估计一组测量值的集中趋势。

2. 差异量数描述离中趋势的量数称为差异量数。

在教育评估中，差异量大， 表示评估测量值分布得范围广、不整齐；差异量小，表示评估测量 值分布较集中，变动范围小。

在教育质量的综合评估中， 差异量数 可以较好地反映若干个评估对象之间的差异情况，便于比较鉴别。

差异量数主要有全距、四分位距、百分位距、平均差、 标准差等，其中方差是最完善的差异量数。

(1) 全距、四分位距、百分位距① 全距全距是教育评估的一组测量值中最大值与最小值之差， 值差，常用R 表示。

R X max X min (11.6)全距虽然具有意义明确、计算十分简单之优点，但它没有充分 利用中间测量值的信息，因此，它是一种灵敏性很差的、十分粗略 的差异量数，只能作为判断评估测值差异程度的辅助量数。

② 四分位距将评估对象在某一方面的测量值按大小顺序排列或构成频数 分布表，并把总频数分成相等的四等分，每等分含总频数 25%勺测 值。

所谓四分位就是第 3四分位数(Q 3)与等1四分位数(Q 1)差的一 半。

其中第1四分位数是指量表上相应于第 25%百分位数的那一点。

所谓第3分位数是指量表上第 用Q 表示。

方差和也称极 75殆分位数的那一点。

四分位距常基本原理篇7四分位距这种差异量数不受极值的影响，因此比全距可靠。

在教育评估中，一般地若用中位数表示集中量数时，则用四分位距表示差异量数。

但是，由于四分位距忽略了左、右各25%勺测量值的差异信息，且不便于进行代数运算，故一般很少用它来表示评估对象之间的差异。

③百分位距百分位距就是两个百分位数之间的差距。

常用的百分位距有两种，一种是P10与P90百分位距，中间包括80%勺频数；另一种为P7与P93百分距，中间包括86%勺频数。

实际上，四分位距是第25%与第75%百分位距的一半，即Q D P75P25(2) 平均差平均差是每一个测量值与该组测量值的中位数离差的绝对值的算术平均数，常用MD表示。

|Xi M d|MD —L_! -----------(或算术平均数) (11.8)X i M (11.9)反映了全部数值 MD ----------------- n 平均差是由每一个测量值参加计算而求得的，的变动情况，受极值的影响较小，但计算时要用绝对值，不便于进 行代数运算，故在教育评估中应用较少。

(3)方差和标准差 方差是离差平方和的算术平均数，用』2(X i X)2 x n 方差的算术平方根则称为标一h I (X i X)2V表示。

(11.10) (11.11)方差和标准差可以直接地、概括地、 异大小。

对于同性质的测量信息来说， 值的变异程度越小，即测值越整齐， 各项指标的达成度越接近；n 平均地描述评估对象之间的差 方差或标准差越小，表明测 分布范围越集中，评估对象对标准差和方差越大，表明测值的变异程 n 度越大，即测值参差不齐，分布范围广泛，评估对象在各项指标上 的达成度差异越大。

因此，方差和标准差是最重要、 最常用的差异 量指标，在教育评估中适用于由评估等距量表获得的测量信息的分 析处理，并与算术平均数配合试用。

上述全距、四分位距、方差和标准差都是与原测量值有相同的 单位名称，统称为绝对差异量。

但在教育评估实践中，往往要对不 同单位的测量值(如身高与体重)的差异，或者需要对单位相同而平 均数相差较大的两组测量值的差异进行比较分析，这就需要借助相对差异量数(标准差系数)来比较。

(4) 标准差系数所谓标准差系数， CV 表示。

相对差异量是以大，表明评估对象之间的差异程度越大，反之亦然。

就是标准差与其算术平均数的百分比，常用CT 」100% (11.12)X 为单位来衡量差异的程度。

标准差系数越基本原理篇93. 相关系数集中量数和差异量数限于对单一变量数列分布特征的描述。

为了探讨双变量数列之间的联系，统计学中提出了“相关”的方法，并用相关系数来表示。

在教育评估过程中，常常要研究某种教育现象与另一种教育现象及其与教育效果的关系，如在学生评估中，学生两门学科成绩之间的关系、知识获得与智力发展的关系、智力因素与非智力因素及其与学习效果的关系等；在学校办学水平的综合评估中，要研究办学条件、管理水平、教育成果等各自与办学水平的关系，等等。

这些，都需要借助反映两个变量之间的变化关系的相关系数进行描述。

(1)积差相关系数英国统计学家皮尔逊(K -Pearson)将积差相关系数定义为两个变量标准分数乘积之和除以N所得之商。

用公式可表示为：(X 基本原理篇10 r _______ X _____ y _____ n 式中：b X ---- X 变量的样本标准差；b y ―― Y 变量的样本标准差。

在实际计算时，一般不用定义式 (11.16)(n 1) S x S y 在教育评估中，，对于等距量表获得的连续测量值，可用积差相 关系数来描述其相关程度， 如初一 (X)与初二(Y)数学成绩，某年级 某班的某科成绩与另外学科之间的相关，以加强基础学科的教学 等。

严格地讲，只有两个变量的总体都接近正态分布，至少是单峰 对称的分布，且样本容量的总体大于30时，才能应用积差相关系数描述两列连续变量之间的相关程度。

(2)等级相关当两个变量值以等级次序排列，或以等级次序表示，两个变量 的总体分布不一定是正态分布， 或者根本不是正态分布， 样本容量 n 小于30时，表示这两个变量之间的相关量，称为等级相关。

统 计学家斯皮尔曼(Spearman)的等级相关系数计算公式为： r p 1 ■(壬⑴.17)式中：rp ——等级相关系数n D ---- 两个变量每对测量值等级的差数；n ――两个变量测量值的对数。

等级相关不受变量分布特点的限制， 不管双变量是否是正态分布，也不管双变量是否是连续变量均可采用。