数学分析17-3173 方向导数与梯度

给 P( x, y, z) l U(P0 ), 记 | P0P |，若极限
f lim l lim
f (P) f (P0 )
0
0
存在, 则称此极限为函数 f 在点 P0 沿方向 l 的方向
导数, 记作 f l
,
f l
(P0 )
或
f l ( x0 , y0 , z0 ).
P0
不难看出: 若 f 在点 P0 存在对 x 的偏导数，则 f
定理 17.6 若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0, y0, z0 ) 可微，则 f
在点 P0 沿任一方向 l 的方向导数都存在, 且
f l (P0 ) fx (P0 )cos f y (P0 )cos fz (P0 )cos , (1)
cos, cos , cos 为 l 的方向余弦．
在点
P0
沿
x
轴正方向的方向导数恰为
f l
(P0 )
f x (P0 )
(
l
Ox
);
当 l 的方向为 x 轴的负方向时，则有
f l
(P0 ) f x (P0 )
(
l
Ox
);
对于 f y 与 fz 也有相应的结论．
对二元函数 z f (x, y) 可仿此定义方向导数
※ 方向导数与偏导数之间的一般关系
则方向导数计算公式 (1) 又可写成
f l
(P0 ) grad
f (P0 ) l 0
| grad
f (P0) | cos .
这里 是梯度向量 grad f (P0 ) 与 l 0 的夹角．因此，
当
0 时， f l
(P0 ) 取得最大值 | grad
f (P0 ) |.
这就
是说，当 f 在点 P0 可微时, f 在点 P0 的梯度方向 是 f 的值增长最快的方向，且沿这一方向的变化率
z
l
z P
P0
O
x y
y
x
图 17 – 5
证 设 P( x, y, z) 为l 上任一点，于是有 (参见图17 – 5 )
x x x0 cos ,
y y y0 cos ,
(2)
z
z z0
cos .
由假设 f 在点 P0 可微，则有
f (P) f (P0 ) fx (P0 ) x f y(P0 ) y
f (x, y) 0,
其余部分.
此函数示于图 16 – 15, 已知它在原点不连续 (当然
也就不可微)．但在始于原点的任何射线上, 都存在
包含原点的充分小的一段，在这一段上 f 的函数值
恒为零. 于是由方向导数定义, 在原点处沿任何方
向
l
都有
f (0,0) 0. l
说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条 件而不是必要条件； (ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要 条件, 当然也不是充分条件 ( 对此读者应能举出反 例 )． ※ 梯度的概念 定义 2 若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0, y0, z0 ) 存在对所有自 变量的偏导数, 则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0)) 为 函数 f 在点 P0 的梯度, 记作
grad f (P0 ) ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 ) ).
grad f (P0 ) 的长度 (或模) 为
| grad f (P0 ) | f x (P0 )2 f y (P0 )2 fz (P0 )2 .
在定理17.6 的条件下, 若记 l 方向上的单位向量为 l 0 ( cos ,cos ,cos ) ,
以及 l P0P1 (2, 2,1) 的方向余弦
cos
2
2,
22 (2)2 12 3
cos
2
2 ,
22 (2)2 12 3
cos
1
1,
22 (2)2 12 3
按公式 (1) 可求得
f
l
(P0 )
1
2 3
2
2 3
3
1 3
1 3
.
例2 设函数
1, 当 0 y x2, x 时,
f
l
(P0 )
lim
0
f (P) f (P0 )
fx (P0 ) cos f y (P0 ) cos fz (P0 ) cos .
对于二元函数 f ( x, y) 来说, 相应于 (1) 的结果为
f l
( x0, y0 )
fx ( x0, y0 )cos
f y ( x0, y0 )cos ,
就是梯度的模; 而当 l 与梯度向量反方向 ( )
时，方向导数取得最小值 | grad f (P0 ) | ． 例 3 设 f ( x, y, z) xy2 yz3, 试求 f 在点 P0(2,1,1) 处的梯度及它的模. 解 易得 fx (P0 ) 1, f y (P0 ) 3, fz (P0 ) 3, 所以
fz (P0 ) z o( ).
上式左、右两边皆除以 , 并根据 (2) 式可得
f (P) f (P0 )
f x (P0 )
x
f
y
(
P0
)
y
z
fz (P0 )
o()
f x (P0 ) cos
f y (P0 ) cos
fz (P0 ) cos
o
(
)
.
因为
o( )
lim
0
0,
所以上式左边的极限存在:
(2)
其中 , 是 R2 中向量 l 的方向角．
例 1 设 f ( x, y, z) x y2 z3, 求 f 在点 P0(1,1,1) 处
沿着指向点 P1(3, 1,2) 方向的方向导数.
解 易见 f 在点 P0 可微. 故由
fx (P0 ) 1, f y (P0 ) 2, fz (P0 ) 3 ,
§3 方向导数与梯度
在许多问题中, 不仅要知道函数在坐 标轴方向上的变化率 (即偏导数), 而且 还要知道在其他特定方向上的变化率, 这就是本节所要讨论的方向导数.
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※ 方向导数的概念
定义1 设函数 f ( x, y, z) 在点 P0( x0, y0, zห้องสมุดไป่ตู้ ) 的某邻域
U(P0 ) R3 内有定义，l 为从点 P0 出发的射线. 任
grad f (P0 ) (1,3,3),
| grad f (P0 ) | 12 (3)2 (3)2 19 .
复习思考题
1. 设函数
f
(
x,
y)
xy , x2 y2 0,
x2 y2 0, x2 y2 0.
由§1 例6 已知 fx (0,0) f y (0,0) 0 , 于是按方向