专题十五函数与方程(组)、不等式
函数与方程不等式之间的关系
函数与方程不等式之间的关系
函数、方程和不等式是数学中的基本概念，它们之间存在密切的联系。
函数是描述两个变量之间关系的数学模型，通常表示为 y = f(x)，其中 x 和
y 是变量，f 是函数关系。
函数有多种类型，其中一次函数是最简单的一种，表示为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，a ≠ 0。
方程是含有未知数的等式，用来表示未知数和已知数之间的关系。
一元一次方程是最简单的一类方程，形如 ax + b = 0，其中 a 和 b 是已知数，a ≠ 0。
解这个方程可以得到未知数的值。
不等式是用不等号连结的两个解析式，表示两个量之间的大小关系。
一元一次不等式是最简单的一类不等式，形如 ax + b > 0 或 ax + b < 0，其中 a 和 b 是已知数，a ≠ 0。
解这个不等式可以得到满足不等式的值的范围。
函数、方程和不等式之间存在密切的联系。
一次函数和一元一次方程、一元一次不等式之间的关系特别重要。
对于一次函数 y = ax + b，当函数的值等于 0 时，自变量 x 的值就是一元一次方程 ax + b = 0 的解。
如果一次函数的值大于 0，则自变量 x 的值满足一元一次不等式 ax + b > 0；如果一次函数的值小于 0，则自变量 x 的值满足一元一次不等式 ax + b < 0。
因此，函数、方程和不等式是相互联系的，可以通过它们之间的关系来理解和解决数学问题。
知识总结,关于不等式的性质,以及函数方程不等式之间的联系
知识总结,关于不等式的性质,以及函数方程不等式之间的联系本文分析了不等式的定义、性质及函数方程不等式之间的联系。
首先，我们讨论了不等式概念的基本概念，包括不等式的类型和不等式组；其次，我们探讨了不等式的性质，比如非负性、可加性和对称性等；最后，我们研究了不等式方程与函数不等式之间的联系。
一、不等式的定义不等式是数学中最基本的概念之一，它表示两个数的大小关系。
它的具体定义可以表达为：如果a、b是数，且a≠b，那么根据其大小关系，存在如下不等式：a>b（a大于b）、a≥b（a大于等于b）、a<b（a小于b）、a≤b（a小于等于b）。
不等式组指的是由多个不等式组成的集合，它是一种非常有用的数学工具，可以被用来描述更多有趣且复杂的结果。
不等式组可以根据其形式来分类，常见的不等式组有：单不等式、多个不等式连续构成的多个不等式组、范围不等式组等。
二、不等式的性质不等式性质指的是不等式具有的一系列普遍性质，它们可以帮助我们协助理解不等式的表达和运用。
常见的不等式性质有：1.负性：我们知道大于号的符号表示结果大于零，而小于号的符号表示结果小于零，这就限定了不等式的结果一定是大于或小于零。
2.加性：任何两个不等式可以加在一起，等价于将两个不等式结合起来，例如a<b 与 c<d，把它们加在一起可以得到a+c < b+d。
3.称性：一个不等式的符号可以和相反的符号交换形成新的不等式，例如a<b 与 b>a，它们是等价的。
4.合性：一个不等式可以和多个不等式结合，并可以生成更大的不等式，例如a<b 与 c<d以构成a+c<b+d。
三、函数方程与不等式之间的联系在很多数学问题中，不等式和函数方程经常会被混合使用，因为它们之间有一定的联系。
函数方程与不等式之间的联系可以表示为：函数方程是一个数学表达式，它可以定义函数的输入和输出值之间的关系，例如 y=f(x)，表示y是x的函数；而不等式可以表示两个值之间的大小关系，例如y>f(x)，表示y大于x的函数。
中考数学复习：函数与方程、不等式的关系
中考数学复习：函数与方程、不等式的关系1．函数与方程的关系（1）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值；（2）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝mx＋n（am≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）与直线y＝mx＋n（m≠0）交点的横坐标的值．2．函数与不等式的关系（1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴上方的所有点的横坐标的值；（2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴下方的所有点的横坐标的值；（3）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；（4）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值．例题讲解例1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l：y＝－2x＋2的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的表达式．解：如图，因为抛物线的对称轴是x＝1，且直线l与直线AB关于对称轴对称．所以抛物线在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方．又因为抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为－1．当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），将（－1，4）代入y＝mx2－2mx－2，得m＋2m－2＝4，则m＝2．所以抛物线的表达式为y＝2x2－4x－2．例2已知y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的自变量x与函数值y满足：当－1≤x≤1时，－1≤y≤1，且抛物线经过点A（1，－1）和点B（－1，1）．求a的取值范围．解：因为抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A（1，－1）和点B（－1，1），代入得a＋b＋c＝－1，a－b＋c＝1，所以a＋c＝0，b＝－1，则抛物线y＝ax²－x－a，对称轴为x＝12a．①当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝12a＜0，如图可知，当12a≤－1时符合题意，所以－12≤a＜0．当－1＜12a＜0时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．②当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝12a＞0．如图可知，当12a≥1时符合题意，所以0＜a≤12．当0＜12a＜1时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．综上所述，a的取值范围是－12≤a＜0或0＜a≤12．例3在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，'b）给出如下定义：1 '1b abb a ≥⎧=⎨-<⎩，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（﹣2，5）的限变点的坐标是（﹣2，﹣5）．（1）若点P在函数y＝﹣x＋3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣5≤b′≤2，求k的取值范围；（2）若点P在关于x的二次函数y＝x2﹣2tx＋t2＋t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．解：（1）依题意，y＝﹣x＋3（x≥﹣2）图象上的点P的限变点必在函数y＝313-21x xx x-+≥⎧⎨-≤<⎩的图象上．∴b′≤2，即当x＝1时，b′取最大值2．当b′＝﹣2时，﹣2＝﹣x＋3．∴x＝5．当b′＝﹣5时，﹣5＝x﹣3或﹣5＝﹣x＋3．∴x＝﹣2或x＝8．∵﹣5≤b′≤2，由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8．（2）∵y＝x2﹣2tx＋t2＋t＝（x﹣t）2＋t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2＋t]，即n＝﹣[（1﹣t）2＋t]．∴s＝m﹣n＝t＋（1﹣t）2＋t＝t2＋1．∴s关于t的函数解析式为s＝t2＋1（t≥1），当t＝1时，s取最小值2，∴s的取值范围是s≥2．1）；点B；5≤k≤8；s≥2．进阶训练1．若关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个不同的实数根m ，n （m ＜n ），方程x 2＋ax＋b ＝1有两个不同的实数根p ，q （p ＜q ），则m ，n ，p ，q 的大小关系为（ ）A ．m ＜p ＜q ＜nB ．p ＜m ＜n ＜qC ．m ＜p ＜n ＜qD ．p ＜m ＜q ＜nB【提示】 函数y ＝x 2＋ax ＋b 和函数y ＝x 2＋ax ＋b －1的图像如图所示，从而得到p ＜m ＜n＜q解：函数y ＝x 2＋ax ＋b 如图所示： xq n m p O2．在平面直角坐标系xOy 中，p （n ，0）是x 轴上一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线，交一次函数y ＝kx ＋b 的图像于点M ，交二次函数y ＝x ²－2x －3的图像于点N ，若只有当－2＜n ＜2时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的表达式．y ＝－2x ＋1【提示】 依据题意并结合图像可知，一次函数的图像与二次函数的图像的交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为（－2，5）和（2，－3）将交点坐标分别代入一次函数表达式即可3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2－（2m＋1）x＋m－5的图像与x轴有两个公共点，若m取满足条件的最小整数，当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值n的值为－2【提示】根据已知可得m＝1．图像的对称轴为直线x＝32．当n≤x≤1＜32时，函数值y随自变量x的增大而减小，所以当x＝1时，函数的值为－6，当x＝n时，函数值为4－n．所以n2－3n－4＝4－n，解得n＝－2或n＝4（不符合题意，舍去），则n的值为－2。
从函数的观点看方程及不等式
从函数的观点看方程及不等式新疆布尔津县初级中学 刘海燕关键词：函数，方程(组)，不等式（组），关系。
摘要：研究目的：加深对函数与方程（组），函数与不等式（组）的理解。
研究内容：函数与方程（组），函数与不等式(组)之间的关系。
基本结论：它们可以相互转化。
数学是研究现实世界量的关系的学科———恩格斯。
由于数学概念﹑理论和方法都源于实际,是从现实世界的材料中抽象出来的。
数学内容之间相互联系,充满运动变化和对立统一的辨证关系。
函数和方程（方程组）及不等式的这种对应关系正是这种辨证关系的真实写照。
一、函数与方程的关系。
（一）、从关系式上看：一次函数的关系式为：y=ax+b(a ≠0)，一元一次方程的一般形式为：ax+b=0(a ≠0) 从形式上可以看出，当把一次函数关系式中的因变量y 改写为整数0就可将函数式转化为方程式；反之，把一元一次方程一般式等号右边的0改写为一个变量y 就可将方程式转化为函数式。
同理，二次函数的关系式为y=ax 2+bx+c(a ≠0)，一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0(a ≠0),当把二次函数关系式中的因变量y 改写为整数0就可将函数式转化为方程式；将方程式右边的0换成一个变量y 则方程式变为函数式。
（二）、从函数的图象与方程的解来看。
一次函数的图象是一条直线，这条直线必与x 轴相交，其交点坐标为（－ab ,0）,也就是当因变量y=0时其自变量x=－ab ,这个x 的值就是方程ax+b=0(a ≠0)的解，换句话说方程ax+b=0(a ≠0)的解就是相对应函数的图象,直线y=ax+b 上无数个点中的与x 轴相交的那一点的横坐标；二次函数的图象是一条抛物线，这条抛物线与x 轴的位置关系有三种情况：当抛物线与x 轴有一个交点时，相对应的方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)就有两个相等的实数根x 1=x 2=－ab 2,当抛物线与x 轴有两个交点时，相对应的方程ax 2+bx+c=0(a≠0)就有两个不相等的实数根x1=a acb b24 2-+-，x2=a acb b24 2---,当抛物线与x轴没有交点时，相对应的方程ax2+bx+c=0(a≠0)就没有实数根。
函数方程不等式以及它们的图像
k 2m
k (2m 1) m Z
由①②可知，实数k的取值范围是
{k k m, m Z}
例题5、函数 f ( x ) 在 (1,1) 上有定义，
1 f ( ) 1 且满足 x, y (1,1) 时，有 2 xy f ( x ) f ( y) f 1 xy 。（1）证明：
x轴有两个交点且都在 (c,) 内，
又图像开口向上
解：
y
o
c
x
解：
(c 1) 2 4(c 2 c) 0 1 c c 2 2 f ( c ) 3 c 2 c 0
解：
1 c0 3
4 8 1 1 c , 1 c2 1 3 9 4 8 2 2 a b (1, ) , a b ( ,1) 3 9
x 3 。 例题7、已知函数 f (x) logm x 3 （1）若 f ( x ) 的定义域为 [, ] (0 ) ，
判断 f ( x ) 在定义域上的增减性，并用定 义证明；（2）当 0 m 1 时，使 f ( x )
的值域为 [logm m( 1), logm m( 1)]
解： 又f(x)是R上的偶函数 f ( x ) f (x )
f [2 (x )] f (x ) f (2 x) f (x)
f (2 x ) f ( x )
即f(x)是以2为周期的周期函数
解：（3）
由（2）知2n也是f(x)的周期
1 1 f (2n ) f ( ) 2n 2n 1 1 1 1 2n f (1) f ( ) [f ( )] 2n 2n 2n 2n 1 （把1分为2n个 的和） 2n
35函数与方程(组)不等式PPT课件
中考热点1:一次函数与一元一次方 程、一元一次不等式的综合应用.
• 例1(2008河南)某校八年级举行英语演讲比赛, 派了两位老师去学校附近的超市购买笔记本 作为奖品,经过了解得知,该超市的A、B两种 笔记本的价格分别是12元和8元,他们准备购 买这两种笔记本共30本.
• (1)如果他们计划用300元购买奖品,那么能买 这两种笔记本各多少本?
课堂小结
• 说说本节课我们学了什么,还有什么不太 清楚的地方吗?
自主训练
•1.(1)y1=12x+50;(2)y2=18x; • (3)当x=6时y2=108,而y1=122,y2<y1,没有超过小 明;
• (4)由18x>12x+50,得x>25/3,所以至少要9个月
后小丽存款数超过小明
•2.(1) •3.y=-
• 1.小明准备将平时的零用钱节约一些储存起 来,他已存有50元,从现在起每个月存12元.
• (3)半年以后小丽的存款数是多少?是否超过 了小明?
自主训练1(4)
• 1.小明准备将平时的零用钱节约一些储存起 来,他已存有50元,从现在起每个月存12元.
• (4)至少几个月后小丽的存款数超过小明?
自主训练2(1)
中考热点4: 二次函数与方程、不等 式的综合应用(1)
• 例4抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点.
(1)求出m的值 并画出这条抛 物线;
中考热点4: 二次函数与方程、不等 式的综合应用(2)
• 例4抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点.
(2)求它与x轴的 交点和抛物线顶 点的坐标;
• 1. 一次函数与一元一次方程、一元一次不等 式的关系,一次函数与二元一次方程(组)的关 系,二次函数与一元二次方程、不等式的关系, 题型以解答题为主.
函数,方程,不等式之间关系
数学补习（一）一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系1、一元一次方程、一次函数的关系由于任何一元一次方程都可以转化为 的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当 时，求 的值。
从图象上看，这相当于已知 ，确定 的值。
2、一元一次不等式与一次函数的关系 （1）一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0（a ≠0）是一次函数y=ax+b （a ≠0）•的函数值的情形．（2）直线y=ax+b 上使函数值y>0（x 轴上方的图像）的x 的取值范围是ax+b 0 的解集；使函数值y<0（x 轴下方的图像）的x 的取值范围是ax+b 0的解集．典型例题例1 如图是一个一次函数，请根据图像回答问题： （1）当x ＝0时，y ＝ ，当y ＝0时，x ＝ ； （2）写出直线对应的一次函数的表达式 ；（3）一元一次方程 12 x+2=0和一次函数 y= 12x+2 有什么联系？一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系（填写下表）1．二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程c bx ax y ++=2就是二次函数c bx ax y ++=2当函数y 的值为0时的情况． (2)二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x 的值，即一元二次方程02=++c bx ax 的根．(3)当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根 2．一元二次不等式与二次函数的关系一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况填上表。
函数不等式知识点归纳总结
函数不等式知识点归纳总结函数不等式是解决数学问题中常见的一种形式，它涉及到函数的不等关系及其解集。
本文将对函数不等式的概念、解法和应用进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用函数不等式。
一、函数不等式的概念函数不等式是指含有函数的不等式关系，其中函数可以是一元函数或多元函数。
函数不等式可以包含一个或多个变量，并且其解集通常是一个或多个实数区间。
解函数不等式的主要目标是确定变量的取值范围，以满足不等式关系。
二、一元函数不等式的解法解一元函数不等式的方法主要包括图像法、代数法和符号法。
图像法借助函数的图像找到不等式的解集；代数法借助代数运算和推导解出不等式的解集；符号法则通过符号变换和符号性质推导解出不等式的解集。
2.1 图像法图像法是通过函数的图像来解不等式的方法。
首先，绘制函数的图像，并观察函数图像的凹凸性、单调性和零点等信息。
然后，根据函数图像的性质确定不等式的解集。
2.2 代数法代数法是通过代数运算和推导来解不等式的方法。
利用一元函数的性质，将不等式进行化简、移项和分式分解等操作，最终得到不等式的解集。
2.3 符号法符号法是通过符号变换和符号性质来解不等式的方法。
不等式中的符号可根据不等式的性质进行变换，并利用符号性质推导出不等式的解集。
常见的符号性质包括非负性、相反性、单调性和倍数性等。
三、多元函数不等式的解法解多元函数不等式的方法主要包括图像法和代数法。
其中，图像法借助多元函数的图像确定不等式的解集；代数法则通过代数运算和推导解出不等式的解集。
3.1 图像法图像法是通过多元函数的图像来解不等式的方法。
首先，绘制多元函数的图像，并观察函数图像的变化趋势。
然后，根据函数图像的性质确定不等式的解集。
3.2 代数法代数法是通过代数运算和推导来解不等式的方法。
利用多元函数的性质，将不等式进行化简、移项和分式分解等操作，最终得到不等式的解集。
四、函数不等式的应用函数不等式在数学和实际问题中有着广泛的应用。
中考数学专题复习课件 --- 第十五讲函数与方程(组)、不等式
的取值范围.
【思路点拨】把(-1，0)，(0，3)分别代入y=-x2+bx+c，得关
于b、c的二元一次方程组,解方程组得b、c的值,从而得到函 数值y为正数时，自变量x的取值范围.
【自主解答】(1)把(-1，0)，(0，3)分别代入y=-x2+bx+c， 得 1 b c 0 ，解得
所以直线AB与直线CD的交点坐标为(-2，2).
1.(2010· 孝感中考)若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3(m为常 数)的交点在第四象限，则整数m的值为( (A)-3，-2，-1，0 )
(B)-2，-1，0，1
(C)-1，0，1，2
(D) 0，1，2，3
【解析】选B.解方程组 x 2y 2m
x 2 2 x 2 8. (2010·黄冈中考)若函数 y , 则当函数值 2x x 2
y＝8时，自变量x的值是( (A) 6 (C) 6 或4
)
(B)4 (D)4或 6
【解析】选D.本题函数有两种情况(1)y=x2+2,当 y＝8时 ,有
3 y x，整理得 3.5 2
4.(2011·连云港中考)因长期 干旱，甲水库蓄水量降到了正 常水位的最低值.为灌溉需要， 由乙水库向甲水库匀速供水， 20 h后，甲水库打开一个排灌闸为农田匀速灌溉，又经过20 h，甲水库打开另一个排灌闸同时灌溉，再经过40 h，乙水库 停止供水.甲水库每个排泄闸的灌溉速度相同，图中的折线表
【例3】(2010 ·株洲中考)二次函数 y=x2-mx+3的图象与x轴的交点如图所 示,根据图中信息可得到m的值是_____. 【思路点拨】由图象可以看出抛物线与 x轴的一个交点的坐标,把这个交点坐标 代入二次函数y=x2-mx+3,解方程得m的值.
函数、方程与不等式的关系
函数、方程与不等式的关系在数学中，函数、方程和不等式是常见的数学概念。
它们在数学问题的建模和解决中起着重要的作用。
本文将介绍函数、方程和不等式之间的关系，包括它们的定义、特点以及它们之间的相互转换等方面。
一、函数的定义与方程不等式的关系函数是指自变量与因变量之间的一种关系。
函数可以通过方程或不等式来表示和描述。
在代数中，函数通常由一个公式、图表或图形来表示，其中自变量和因变量的关系可以通过一个方程或不等式来表示。
方程是指一个等式，其中包含一个或多个变量，并且通过一个或多个数值来满足等式。
方程可以是一元的或多元的。
一元方程中只有一个未知量，例如：x + 2 = 5多元方程中有两个或更多的未知量，例如：2x + 3y = 7不等式是指一个不等式关系，其中包含一个或多个变量，并且不等号可以是小于、大于、小于等于或大于等于等不等关系。
不等式可以是一元的或多元的。
一元不等式的例子包括：x + 3 > 7多元不等式的例子包括：2x + 3y ≤ 10二、函数、方程与不等式之间相互转换函数、方程和不等式之间存在一定的相互转化关系。
在某些情况下，函数可以通过方程或不等式来表示，而方程和不等式也可以通过函数来表示。
1. 方程转化为函数：当给定一个方程时，我们可以根据方程中的变量和其他已知的数值，构造出一个函数。
例如，对于方程y = 2x + 3，我们可以构造一个函数f(x) = 2x + 3，其中x为自变量，y为因变量。
这样，方程就转化为了函数的表示形式。
2. 函数转化为方程：对于一个给定的函数，我们可以根据函数的定义和性质，得到相应的方程。
例如，对于函数f(x) = 2x + 3，我们可以得到方程y = 2x + 3。
这样，函数就转化为了方程的形式。
3. 方程转化为不等式：在某些情况下，一个方程可以转化为一个不等式。
例如，对于方程2x + 3 ≤ 10，我们可以得到不等式2x + 3 < 10或2x + 3 ≤ 10。
高中数学_函数与方程不等式之间的关系教学课件设计
f ( x) 0的解集为
, 2 1,1.
【变式】求函数 f x x x 22 x 3 的零点，并作出函数图像 的示意图，写出不等式 f x 0 和 f x 0 的解集.
解：函数的零点为0， 2, 3.
函数的定义域被这三个点分成了四部分，每
一部分函数值的符号如下表所示.
x （2）图像法给出的函数可据图写零点。
掌握了零点的概念，就解决了函数与方程的关系
函数零点的
【问题】设α是函数零点，请分析函数图像通过点(α,0)性时质函数 值符号的变化情况？每相邻两个零点间函数值的符号有什么特 点？
（1）函数图像通过点(α,0)且穿过x轴时，函数值符号改 变；而通过点(α,0)且不穿过x轴时，函数值符号不改变. （2）每相邻两个零点之间所有的函数值保持同号
x
, 0
0, 2
2, 3
3,
f (x)
由此作出函数图像的示意图，如图示:
由图可知f ( x) 0的解集为
, 0 (3, );
f ( x) 0的解集为
0, 3
用函数理解方程和不等式是高中数学的的基本思想方法
如何用函数的观点理解方程f (x) 0与不等式f (x) 0？
方程f (x)=0的解：
x (, 2) (2, )
x 2
【探究】利用函数求下列不等式的解集
（1） ax2 bx c 0 a 0 （2） ax2 bx c 0 a 0
f (x) 0判别式
0
0
0
函数
y ax2 bx c(a 0)
图象
y
x1 0
x2 x
y
0 x0
x
y
0
x
函数不等式基本知识点总结
函数不等式基本知识点总结1. 函数的概念在开始了解函数不等式之前，我们首先需要了解函数的概念。
函数是数学中的一个基本概念，它描述了一个变量如何与另一个变量相关联。
一般来说，一个函数包含两个变量，输入和输出。
在数学中，我们通常用字母表示函数，比如f(x)或者y=f(x)。
其中，f(x)表示函数名称，x表示输入变量，y表示输出变量。
函数的定义域是所有可能的输入值，函数的值域是所有可能的输出值。
2. 函数不等式的概念函数不等式是指含有未知数的函数所组成的不等式。
一般来说，函数不等式的解是不确定的，它可能不只有一个解，也可能没有解。
解函数不等式通常需要用到函数的图像、不等式的性质和函数的特点等知识。
函数不等式的解集可以用不等式集合或者图像来表示。
3. 函数不等式的解法解函数不等式的方法有很多种，下面我将介绍一些常见的解法：- 将函数不等式化简成一元不等式：对于含有函数的不等式，我们可以尝试将其化简为一元不等式，这样可以方便我们进行后续的求解。
- 利用函数的图像：函数的图像可以很直观地表示函数的性质，我们可以通过观察图像来解析函数不等式的解。
- 利用函数的性质：不同的函数拥有不同的性质，我们可以根据函数的性质来求解函数不等式。
- 利用不等式的性质：不等式具有传递性和对称性等特点，我们可以根据不等式的性质进行变形和求解。
4. 函数不等式的性质函数不等式具有一些特殊的性质，了解这些性质对于解题很有帮助。
- 两个函数的大小比较：当两个函数的大小关系不确定时，我们可以考虑它们的图像或者借助其性质来比较大小。
- 函数的单调性：函数的单调性可以帮助我们判断函数的取值范围和不等式的解集。
- 函数的周期性：周期函数的周期性可以帮助我们求解函数不等式的解。
5. 函数不等式的应用函数不等式在数学和生活中都有广泛的应用，下面我将列举一些常见的应用场景：- 应用于优化问题：在工程和经济等领域，我们经常需要优化某个目标函数，这时就会涉及到函数不等式。
函数方程不等式之间的关系
函数、方程和不等式的关系很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。
实际上，他们之间的联系非常紧密。
如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。
★函数与方程之间的关系。
先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。
对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。
如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。
我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。
所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。
这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。
这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。
举例说明如下：例如函数23y x =-的图像如右所示： 该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2，也就是在函数 解析式23y x =-中，令0y =即可。
令0y =也 就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元 一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交 点的横坐标是相同的。
接下来推广到二次函数：例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示： 很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标 正是方程22520x x -+=的解。
如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线 的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。
在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得 很精准。
有时候只需要作出大致图像即可。
既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间 的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制 对应的函数图象呢？函数2252y x x =-+对应的方程是22520x x -+=，先求出这个方程的两个解。
很容易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为12和2。
函数与方程组不等式
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
第 十 四 讲
二次函数与一元二次不等式
第 十
五
讲
1. 一元二次不等式 ax2+ bx+ c> 0(或< 0)的解集,即函数 y= ax2+ bx+ c 使其
讲
第
次方程 x2- 6x+ n= 0 的一个解为 x1= 1,则另一个解 x2=
.
十
五
讲
【答案】 5
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
7. (2011·江苏南京)已知函数 y= m x2- 6x+ 1(m 是常数).
第
十
四
(1)求证:不论 m 为何值,该函数的图象都经过 y 轴上的一个定点;
(3)在(2)的条件下,哪种生产方案获利最大?并求出最大利润.
复习目标
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重点解析
探究拓展
真题演练
【解析】 (1)设生产 A 种产品 x 件,则生产 B 种产品(10- x)件,于是有
第
十
四
x+ 3(10- x)= 14,解得 x= 8,
讲
第
则 10- x= 10- 8= 2(件)∴应生产 A 种产品 8 件,B 种产品 2 件.
2. 解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大于(或小于)0 时,求
相应的取值范围.
复习目标
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重点解析
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真题演练
第
3. 每个二元一次方程组都对应两个一次函数,于是也对应两条直线,从
十 四
讲
“数”的角度看,解方程组相当于考虑自变量为何值时两个
2020届高三数学复习 函数与方程、不等式 讲座 课件(共20张PPT)
借助于二次函数的图像特征来求解
尝试分离参数的方法，来回避分类讨论
总结
01 函数思想是一种思维习惯，要用变量和函数的
观点来思考问题
02 求 y f (x) 的零点和解 f (x) 0 求根是一致的，但方法是多样的，
特别要注意数形结合的使用。
如果要判断函数有几个零点，则必须结合其图像与性质（单调性、奇偶性）。
02 函数 f (x) 在[a,b]上是连续不断的曲线，且 f (a) f (b) 0 ，满足这些条件一定有零点。 但不满足这些条件也不能说一定没有零点。
产品介绍 Product introduction
关于零点存在性定理
如图：
已知 x, y 0 ，则有： x y 2 xy （当且仅当 x y 等号成立）
若 x y S (和为定值)，
则当 x y 时，积 xy 取得最大值 S 2 ； 4
即： xy （ x+y）2 = S 2 24
若 xy P (积为定值)
则当 x y 时，和 x y 取得最小值 2 P
则 f (x) a fmin (x) a
因为 x 0 ，由平均值不等式： x+ 1 2（当且仅当 x 1 ，即： x 1时等号成立），
x
x
所以： f (x)min 2 故： a 2
产品介绍 Product
introduction 函数与不等式
【例 3.】变式：关于 x 的不等式 x+ 1 a 0 对 x [2, ) 恒成立， x
【例 1】关于 x 的一元二次方程 x2 ax 3 a 0 ，求当 a 为何值时，分别有以下的结论：
函数方程不等式专题
函数、方程、不等式综合应用专题一、专题介绍函数思想就是用联系和变化的观点看待或提出数学对象之间的数量关系。
函数是贯穿在中学数学中的一条主线；函数思想方法主要包括建立函数模型解决问题的意识，函数概念、性质、图象的灵活应用等。
函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念。
也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，在初中阶段，应该深刻认识函数、方程、不等式三部分之间的内在联系，并把这种内在联系作为学生学习的基本指导思想，这也是初中阶段数学最为重要的内容之一。
而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度。
因此，第二轮中考复习，对这部分内容应予以重视。
这一专题，往往以计算为主线，侧重决策问题，或综合各种几何知识命题，近年全国各地中考试卷中占有相当的分量。
这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活。
考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想。
解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决。
三、考点精讲考点一:一次函数，反比例函数，二次函数综合1.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y bx c =+和反比例函数a y x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是【 】 A ．B ．C ． D解析：∵二次函数图象开口向下，∴a ＜0，∵对称轴x=- b/2a ＜0，∴b ＜0，∵二次函数图象经过坐标原点，∴c=0，∴一次函数y=bx+c 过第二四象限且经过原点，反比例函数y= a x 位于第二四象限， 纵观各选项，只有C 选项符合．故选C ．课堂练习：1已知：M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线 上，点N 在直线y=x+3上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数y=﹣abx2+（a+b）x（）A．有最大值，最大值为 B．有最大值，最大值为C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为2.某公司销售一产品，已知每件产品的进价为40元，经销过程中测出销售量y（万件）与销售单价x（元）存在如图所示的关系，每年销售该产品的总开支z（万元）（不含进价）与年销量y（万件）存在函数关系z=10y+．（1）求y关于x的函数关系式；（2）写出该公司销售该产品年获利w（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式；（年获利=年销售总金额一年销售产品的总进价一年总开支金额）当销售单价x为何值时，年获利最大最大值是多少（3）若公司希望该产品一年的销售获利不低于万元，请你利用（2）小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围．在此条件下要使产品的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元考点二：函数与方程（组）综合应用例2．某乡镇决定对小学和初中学生用餐每生每天3元的标准进行营养补助，其中家庭困难的学生的补助标准为：小学生每生每天4元，初中生每生每天5元，已知该乡镇现有小学生和初中学生共1000人，且小学、初中均有2%的学生为家庭困难寄宿生．设该乡镇现有小学生x人．（1）用含x的代数式表示：该乡镇小学生每天共需营养补助费是____元．该乡镇初中生每天共需营养补助费是_____元．（2）设该乡镇小学和初中生每天共需营养补助费为y元，求y与x之间的函数关系式；（3）若该乡镇小学和初中学生每天共需营养补助费为3029元，问小学生、初中生分别有多少人解答：解：（1）小学生每天所需营养费=4×2%x+3（1﹣2%）x=；中学生所需营养费=5×2%（1000﹣x）+3×（1﹣2%）（1000﹣x）=3040﹣；（2）根据题意得y=+3040﹣=3040﹣；（3）令y=3029,故3040﹣=3029解得：x=550,故中学生为1000﹣550=450人．答：小学生有550人，中学生有450人．课堂练习3．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克．（1）现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多4.体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD．设边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB＜AD，请求出此时AB的长.考点三：函数与不等式（组）综合应用例3.国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价y1（万元）之间满足关系式y1=170-2x，月产量x（套）与生产总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系.（1）直．接写出．．．y2与x之间的函数关系式；（2）求月产量x的范围；（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大最大利润是多少解：（1）y2=500+30x.（2）依题意得：⎩⎨⎧≥-≤+.902170,5030500x x x 解得：25≤x ≤40（3）∵W =xy 1-y 2=x (170-2x )-(500+30x )=-2x 2+140x -500,∴W =-2(x -35)2+1950.而25<35<40, ∴当x =35时，1950=最大W .即月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元．课堂练习：5.某校为开展好大课间活动，欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个．（1）设购买排球数为x （个），购买两种球的总费用为y （元），请你写出y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）如果购买两种球的总费用不超过6620元，并且篮球数不少于排球数的3倍，那么有哪几种购买方案（3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算6.为了扶持农民发展农业生产，国家对购买农机的农户给予农机售价13%的政府补贴．某市农机公司筹集到资金130万元，用于一次性购进A 、B 两种型号的收割机共30台．根据市场需求，这些收割机可以全部销售，全部销售后利润不少于15万元．其中，收割机的进价和售价见下表：设公司计划购进A 型收割机x 台，收割机全部销售后公司获得的利润为y 万元．（1）试写出y 与x 的函数关系式；（2）市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择 （3）选择哪种购进收割机的方案，农机公司获利最大最大利润是多少此种情况下，购买这30台收割机的所有农户获得的政府补贴总额W 为多少万元7．去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某，乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．（1）求饮用水和蔬菜各有多少件（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部．．运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案请你帮助设计出来；（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少最少运费是多少元8.某工厂有一种材科，可加工甲、乙、丙三种型号机械配件共240个．厂方计划由20个工人一天内加工完戚．并要求每人只加工一种配件．根据下表提供的信息。
反比例函数与不等式-课件
求△ABC 的面积
(1)一次函数表达式为：y1＝x＋5
(2)由题意得C(3，2)，联立yy＝＝x6x＋5，解得xy11＝＝16，，
x2＝－6， y2＝－1，
∴B(－6，－1)，作CD∥x轴交AB于点D，则点
D的坐标为(－3，2)，CD＝3－(－3)＝6，∴S△ABC＝SADC＋
1
1
S△BDC＝2×6×4＋2×6×3＝21
11反比例函数yy22mmxx的图象过点aa225555mm22mm10即反比例函数的表达式为yy10xx一次函数yy11kxbb的图象过点aa2255和cc0077bb77kk11即一次函数表达式为yyxx7722解方程组?????yyxx77yy10xx得?????xx1122yy1155或?????xx2255yy2222另一交点bb的坐标为5522根据图象可知当0x2或x5时yy11y224
(1)求反比例函数和直线 EF 的表达式； (2)求△OEF 的面积； (3)请结合图象直接写出不等式 k2x＋b－kx1>0 的解集．
解：(1)∵四边形DOBC是矩形，且D(0，4)，B(6，0)，∴C点坐标为(6，
4)，∵点A为线段OC的中点，∴A点坐标为(3，2)，∴k1＝3×2＝6，∴反
比例函数表达式为y＝
m
m
解：(1)∵反比例函数y2＝ x 的图象过点A(2，5)，∴5＝ 2 ，m＝
10 10，即反比例函数的表达式为y＝ x ，∵一次函数y1＝kx＋b的图
象过点A(2，5)和C(0，7)，∴b＝7，k＝－1，即一次函数表达
式为y＝－x＋7
(2)解方程组yy＝＝1－x0x，＋7，得xy11＝＝25，，或xy22＝＝52，，∴另一交点B的
6 x