第七讲--一元二次方程的性质(201911整理)
一元二次方程的像与性质
一元二次方程的像与性质一元二次方程是数学中常见且重要的形式之一，它具有一些独特的性质与像。
本文将就一元二次方程的像以及相关的性质进行探讨。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，a ≠ 0。
我们先来了解一下一元二次方程的定义和一些基本概念。
1. 一元二次方程的定义一元二次方程是指在方程中只有一个未知数x，并且该未知数的最高次项系数为2。
这种方程的一般形式如前所述。
2. 一元二次方程的根与解一元二次方程的根是指能够使方程等式成立的未知数值。
解是指找出一元二次方程的根的过程。
根据韦达定理，一元二次方程的解可由以下公式得出：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)这里的±表示两个解，一个为加号，一个为减号。
了解了一元二次方程的定义和相关概念后，我们来探讨一下一元二次方程的像与性质。
1. 一元二次方程的像一元二次方程的像是指图像在平面坐标系中所呈现的形状。
一元二次方程的像是一个抛物线，可以是开口向上或开口向下的。
当a > 0时，方程y = ax^2 + bx + c的像是开口向上的抛物线。
抛物线的顶点是最小值点，也是方程的最小值。
当a < 0时，方程y = ax^2 + bx + c的像是开口向下的抛物线。
抛物线的顶点是最大值点，也是方程的最大值。
2. 一元二次方程的性质一元二次方程具有一些重要的性质，我们来逐一了解。
性质1：对称性一元二次方程的抛物线具有轴对称性，即关于抛物线的顶点对称。
性质2：判别式一元二次方程的判别式Δ = b^2 - 4ac可以用来求解方程的根的性质。
根据Δ的值，可以得到以下结论：a) 若Δ > 0，则方程有两个不同的实根；b) 若Δ = 0，则方程有两个相等的实根；c) 若Δ < 0，则方程无实根，但可以存在复数根。
性质3：顶点坐标一元二次方程的抛物线的顶点坐标可以通过以下公式求解：x = -b/(2a)y = -(Δ)/(4a)性质4：方程的图像与系数的关系通过调整一元二次方程的系数a、b、c的值，我们可以改变抛物线的开口方向、大小和位置。
一元二次方程
一元二次方程引言：一元二次方程是初中数学中的重要内容，通过学习一元二次方程的基本概念、性质和求解方法，可以帮助我们解决实际问题，提高数学解题能力。
本文将介绍一元二次方程的定义、性质及应用，并详细阐述常用的求解方法。
一、一元二次方程的定义和性质1. 定义：一元二次方程是指形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知的系数，且a ≠ 0。
2. 基本性质：（1）一元二次方程的最高次项是二次项，即x的指数为2；（2）一元二次方程的系数a、b、c可以是任意实数，其中a ≠ 0；（3）一元二次方程的解可以是实数或复数；（4）一元二次方程的解的个数最多为2个；（5）一元二次方程在平面直角坐标系上的解对应于方程的图像与x 轴的交点。
二、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法：当一元二次方程可以因式分解为两个一次因式的乘积时，我们可以通过求解各个因式为零的方程来求解一元二次方程。
2. 公式法：使用一元二次方程的求根公式可以求解任意一元二次方程。
根据韦达定理，一元二次方程ax² + bx + c = 0的解可以表示为： x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a三、一元二次方程的应用举例1. 求解实际问题：一元二次方程在解决实际问题时发挥着重要作用。
例如，通过设立一元二次方程可以求解物体的抛体运动、盈亏平衡、几何图形的面积等问题。
2. 几何意义：一元二次方程的解对应于方程的图像与x轴的交点，这一特性能够帮助我们求解几何图形的交点和切点等问题。
结论：通过学习一元二次方程的定义、性质和求解方法，我们可以更好地解决实际问题，培养数学思维和解题能力。
同时，掌握一元二次方程的基本概念也为进一步学习高等数学和实际应用奠定了坚实的基础。
第七讲--一元二次方程的性质
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）根的 判别式为 Δ=b2-4ac
当Δ>0时
，方程有两个不等的实数根x1’2= b
2a
当Δ= 0时
，方程有两个相等的实数根
x1=x2=
b 2a
当Δ<0时 ，方程无实数根
2、韦达定理
若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根
例2、填空
4(x 1 2 )(x 1 2 )
（1）分解因式4x2-4x-1=______2________2____
(2)若方程x2+kx+3=0有一根为-1，则k=_4___,另一根_-_3__
(3)、在☉o中，弦AB,CD相交于点P，若PA=3，PB=4，CD=9， 则以PC、PD的长为根的一元二次方程是______X__2-_9_x+12=0
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文章要坚决抵制。 （2）立意：勤奋不一定能成功，但不勤奋就一定不能成功； 勤奋＋思考＝成功 2．阅读下面的材料，作文。 从前，有一对仙人夫妻常在山顶下围棋。旁边有一棵树，树上住了一只金丝猴。它长年累月地躲在树上观看这对仙人下围棋，终于练就了非凡的棋艺。不久 这只猴子下山了。它到处找人挑战，未逢敌手。最后，竟连一流的高手也成为他的手下败将。后来一位大臣自告奋勇要求应战，宣称自己有绝对的取胜把握。比赛那一天，大臣在桌子上放了一盘鲜艳的水蜜桃。比赛中猴子始终盯着桃子，结果它输了。 要求全面的理解材料，可以选择一 个侧面、一个角度构思作文。自主确定立意，确定标题，写一篇议；不要脱离材料的含义作文，不要套作，不得抄袭，不少于800字。 【写作指
一元二次方程性质
一元二次方程性质一元二次方程是高中数学中的重要内容之一，具有广泛的应用领域。
本文将从方程的定义、一元二次方程的性质以及解法等方面进行论述。
1. 方程的定义方程是一个等式，其中含有未知数。
而一元二次方程指的是只有一个未知数，并且该未知数的最高次数为二的方程。
一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a ≠ 0。
2. 一元二次方程的性质一元二次方程具有以下几个重要的性质：2.1 平方差公式平方差公式是一元二次方程中的重要成立式，它可以用来将完全平方的一元二次式转化为一个二次项与某个常数之差的形式。
平方差公式的具体形式为：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 和 (a - b)^2 = a^2 - 2ab +b^2。
2.2 解的性质一元二次方程的解可以分为三种情况：实根、重根和虚根。
实根指的是方程的解为实数，重根指的是方程有两个相同的实数解，虚根指的是方程的解为复数。
解的性质与一元二次方程的判别式有关，判别式Δ = b^2 - 4ac 的值决定了方程的解的性质。
2.3 方程与图像一元二次方程与二次函数之间有着密切的联系。
对于一元二次方程y = ax^2 + bx + c而言，其对应的二次函数图像是一个抛物线。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)为二次函数。
3. 解法解一元二次方程的常用方法有以下几种：3.1 因式分解法当一元二次方程可以通过因式分解得到两个一次因式相乘时，可以直接得到方程的解。
例如：x^2 + 5x + 6 = 0可以因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，解得x = -2或x = -3。
3.2 公式法一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √Δ) / 2a，其中Δ = b^2 - 4ac。
通过将方程的系数代入公式，可以直接计算出方程的解。
一元二次方程等式的基本性质
一元二次方程等式的基本性质一元二次方程在数学中是一种十分重要的方程形式，其形式为$ax^2+bx+c=0$，其中$x$为未知量，$a,b,c$为已知量且$a\neq0$。
在解决实际问题时，很多时候需要使用到一元二次方程等式的基本性质。
在这篇文章中，我们将对一元二次方程等式的基本性质进行详细的分析。
1. 唯一解首先是一元二次方程具有唯一解的性质。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，当且仅当$b^2-4ac>0$时，它有两个不相等的实数解；当$b^2-4ac=0$时，它有两个相等的实数解；当$b^2-4ac<0$时，它没有实数解。
这一性质可以很容易地从方程的根公式中得到证明。
2. 对称性其次是一元二次方程具有对称性的性质。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，称$x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$为一根，$x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$为另一根。
由于一元二次方程中$x$的系数都是偶数次项，因此当$x$取一个值时，原方程的值与$x$取相反数的值也是相等的。
这表明，一元二次方程在相等意义下具有对称性。
3. 同解方程另一个关键性质是同解方程。
对于形如$ax^2+bx+c=0$和$kax^2+kbx+kc=0$的两个一元二次方程，设它们的根分别为$x_1,x_2$和$y_1,y_2$，则这两个方程是同解方程的充分必要条件是$x_1+y_1=x_2+y_2$并且$x_1y_1=x_2y_2$。
这一性质可以从二次方程根公式的推导过程中得到证明。
利用同解方程的性质，我们可以通过简单的变形来计算一元二次方程的根。
4. 求解问题最后是一元二次方程在求解实际问题中的应用。
在实际问题中，很多时候需要通过一元二次方程来求解未知量。
例如在物理学中，我们可以利用一元二次方程来计算自由落体运动的速度和高度；在经济学中，我们可以使用一元二次方程来计算企业生产成本和利润等。
一元二次方程的概念与性质
一元二次方程的概念与性质一元二次方程是数学中常见的一种类型的方程，它由一个变量的平方项、一个变量的一次项和一个常数项组成，具体形式为：ax^2 + bx + c = 0。
在这篇文章中，我们将介绍一元二次方程的概念、解的性质以及一些常见的解法。
一、一元二次方程的概念一元二次方程是指只含有一个变量的平方项、一次项和常数项的方程。
在一元二次方程中，变量通常用字母x表示，方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。
二、一元二次方程的解法要解一元二次方程，我们可以通过以下几种方法来求解。
1. 因式分解法当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因式的乘积时，我们可以通过将方程两边置零，并运用零乘积法则来解方程。
举例说明：解方程x^2 - 5x + 6 = 0首先将方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0然后根据零乘积法则可得到x - 2 = 0 或 x - 3 = 0因此，方程的解为x = 2 或 x = 32. 完全平方公式法对于形如x^2 + 2ax + a^2 = b的一元二次方程，我们可以利用完全平方公式来求解。
完全平方公式为(x + a)^2 = b，从中我们可以得到方程的两个解。
举例说明：解方程x^2 + 6x + 9 = 25根据完全平方公式可得(x + 3)^2 = 25再对方程取平方根，得到x + 3 = ±5因此，方程的解为x = -3 + 5 或 x = -3 - 5，即x = 2 或 x = -83. 直接使用求根公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / 2a 来求解方程。
举例说明：解方程2x^2 + 5x - 3 = 0根据求根公式可得x = (-5 ± √(5^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)化简得x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4进一步化简得x = (-5 ± √49) / 4因此，方程的解为x = (-5 + 7) / 4 或 x = (-5 - 7) / 4，即x = 1 或 x = -3/2三、一元二次方程的性质一元二次方程具有以下性质：1. 一元二次方程的根一元二次方程的根可以是实数根或复数根。
第七讲--一元二次方程的性质
则x1+x2=
推论
b a
c a x1x2=
若方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2
p 则x1+x2=
q x个前提条件
（1）a≠0
(2)Δ≥0
3、以两个数x1，x2为根的一元二次方程 （二次项系数为1）是
X2-(x1+x2)x+x1x2=0
二、运用
（相等3）的已实知根关，于那x么的m方的程最14大x2整 (数m是 3（)x
m2 0
D）
有两个不
（A）2 （B）-1 （C）0 （D）1
（4）设x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根， x1+1,x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，则p,q的 值分别等于（C） （A）1、-3 （B）1、3 （C）-1、-3 （D）-1、3
(4)若aab≠1,且有95a2+2002a+9=0及9b2+2002b+5=0，则
; 计算机
；
思索自己的每一次选择，遥望童年的点点滴滴。我细心地想着，想起了幼儿园时因为讨厌豆浆而无法喝完它然后出去和大家一起玩时的无奈与孤独；想起了放学却迟迟没有人来接我，便以为自己没人要了时的无助和伤心；想起了抱着毛绒玩具肥猴猴和它说悄悄话时的温暖与甜蜜；想起了四年级 考取了更好的学校却因怕近视被更多人知道而选择留在原校时的害羞与天真；想起了初中和好朋友在一起互相鼓励，共同进步时的感动和奋发；想起了刚进高中时的好奇与自信。一路走来，时光在身后如白驹过隙，而童年则飞逝到更远的地方。就像无数颗从自己手心上诞生的星星，我无力挽留， 只好张开手指，任它飞去世上的任何地方。就这样，等我在将来漫漫的人生途中，寻遍世界的每个
一元二次方程的性质与解法
一元二次方程的性质与解法一元二次方程是高中数学中的重要内容，它在代数学中有着重要的应用和解决实际问题的能力。
本文将介绍一元二次方程的性质和解法，并给出详细的解题步骤，帮助读者更好地理解和掌握这个概念。
一元二次方程是指形式为ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c都是常数，且a≠0。
一元二次方程最高次项是二次项，未知数的最高次数是2。
在解一元二次方程之前，我们先来看一下它的一些性质。
一、一元二次方程的解的个数根据一元二次方程的根的判别式Δ=b²-4ac，我们可以得到解的个数的结论。
1. 当Δ＞0时，方程有两个不同实根；2. 当Δ=0时，方程有两个相等的实根，也称为重根；3. 当Δ＜0时，方程无实根。
此时，方程的解为共轭复数。
二、一元二次方程的解的性质1. 设x₁, x₂为方程ax²+bx+c=0的两个根，则有以下关系成立：（1）x₁+x₂=-b/a；（2）x₁x₂=c/a；2. 方程x²+(a+b)x+ab=0的两个根分别为-1和-a；3. 如果方程ax²+bx+c=0有根α，则其对应的齐次方程ax²+bx+c=0的通解为x=k(α+1)，其中k为常数。
解一元二次方程的方法有很多，我们下面将介绍三种常用的解法。
一、配方法步骤：1. 将一元二次方程ax²+bx+c=0移项并进行因式分解，即得到(a₁x+b₁)(a₂x+b₂)=0；2. 求解出(a₁x+b₁)=0和(a₂x+b₂)=0的两个一元一次方程；3. 解出这两个一元一次方程，得到两组根：x₁= -b₁/a₁，x₂= -b₂/a₂；4. 将得到的解带入原方程进行验证，如果两边相等，则说明解是正确的。
二、公式法步骤：1. 计算出方程的判别式Δ=b²-4ac，确定解的个数；2. 根据解的个数和判别式的结果，采取相应的公式求解：（1）当Δ＞0时，方程的两个解分别为x₁=(-b+√Δ)/2a和x₂=(-b-√Δ)/2a；（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实根，即x₁=x₂=-b/2a；（3）当Δ＜0时，方程无实根，解为共轭复数。
一元二次方程知识点总结
一元二次方程知识点总结
一元二次方程是数学中的一个重要概念，它在数学、物理、化学等领域中都有广泛的应用。
以下是一元二次方程的知识点总结:
1. 一元二次方程的基本概念：一元二次方程是一个含有一个未
知数的二次方程，通常表示为 ax2+bx+c=0(a、b、c 为已知常数，x 为未知数)。
2. 一元二次方程的解法：一元二次方程的解法包括配方法、公
式法、因式分解法等。
其中，配方法是最常用的解法，它可以使一元二次方程化为一个完全平方公式的形式，从而方便解出未知数的值。
3. 一元二次方程的性质：一元二次方程的性质包括根的分布性质、根的符号性质、根的近似计算等。
其中，根的分布性质指出，一元二次方程的根的分布情况取决于系数 a、b、c 的大小。
4. 一元二次方程的应用：一元二次方程在数学、物理、化学等
领域中都有广泛的应用。
例如，在物理中，一元二次方程可以用来描述物体的运动轨迹;在化学中，一元二次方程可以用来表示化学反应
的平衡状态等。
5. 一元二次方程的判别式：一元二次方程的判别式是指 b2-4ac，它可以用来判断一元二次方程是否有实数根、有几个实数根等。
6. 一元二次方程的逆用：一元二次方程的逆用是指利用一元二
次方程的根的判别式和根的分布性质来求解未知数的方法。
例如，如果已知一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实数根，可以利用逆用定理求解未知数的值。
以上是一元二次方程的知识点总结。
在学习一元二次方程时，需要掌握基本概念、解法、性质、应用和判别式等方面的知识，并且结合实际问题进行理解和应用。
一元二次方程知识归纳总结
一元二次方程知识归纳总结一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是解决实际问题的重要工具。
它的一般形式为：ax² + bx+ c= 0，其中a、b、c是已知实数，a≠ 0。
在本文中，我们将对一元二次方程的基本概念、性质以及解法进行归纳总结。
一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。
其中，a、b、c分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。
二、一元二次方程的性质1. 解的存在性：一元二次方程必有两个解，或者一个解（二重解），或者无解。
2. 判别式：判别式Δ = b² - 4ac对于一元二次方程起到重要作用，它可以判断方程的解的情况。
- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。
- 当Δ < 0时，方程无实数解。
3. 顶点坐标：一元二次方程的图像是一个抛物线，其中顶点坐标可以通过公式h = -b/2a 和 k = -Δ/4a求得。
三、一元二次方程的解法1. 因式分解法：对于可以因式分解的一元二次方程，我们可以通过将方程的左、右两边同时因式分解，然后利用“零乘法”将方程等号两边置零，得到方程的解。
2. 公式法：对于一般形式的一元二次方程ax² + bx + c = 0，我们可以利用求根公式x = (-b ± √Δ) / 2a求得方程的解。
- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。
- 当Δ < 0时，方程无实数解。
3. 完全平方式：对于特殊的一元二次方程，可以通过将未知数的平方项转化为完全平方式，然后利用公式求解。
4. 图像法：通过观察和分析一元二次方程的抛物线图像，可以大致推测出方程的解的情况。
四、一元二次方程的应用一元二次方程不仅仅是一种数学形式，还具有广泛的应用。
它可以用来解决各种实际问题，例如物体的运动轨迹、汽车的行驶距离等。
一元二次方程的基本概念与性质
一元二次方程的基本概念与性质一元二次方程是数学中的重要概念，其形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
本文将从基本概念和性质两个方面来探讨一元二次方程的相关内容。
一、基本概念一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程，通常表示为：ax² + bx + c = 0。
其中，a ≠ 0，a、b、c为已知常数，且a、b均不为零。
在解一元二次方程之前，需要了解以下几个基本概念：1. 方程的次数：一元二次方程的次数为2，即方程中未知数的最高次数为2。
2. 系数：方程中的a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。
3. 解：解是指能够使方程成立的未知数值，也就是使方程的左边等于右边的值。
二、性质1. 解的个数：一元二次方程的解的个数与方程的判别式有关。
判别式Δ = b² - 4ac的值决定了解的情况。
a) 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解；b) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解，也称为重根；c) 当Δ < 0时，方程没有实数解，但可以有共轭复数解。
2. 解的表示形式：解可以用根的形式或者用因式分解的形式表示。
a) 用根的形式表示解时，通常表示为x₁、x₂。
例如方程ax² + bx + c = 0的解可以表示为x₁ = (-b + √Δ) / (2a)和x₂ = (-b - √Δ) / (2a)。
b) 用因式分解的形式表示解时，通常表示为(x - α)(x - β) = 0。
例如方程x² - (α + β)x + αβ = 0的解即为α和β。
3. 特殊情况：a) 当a = 0时，方程变为一元一次方程，解是唯一确定的。
b) 当c = 0时，方程成为一元二次齐次方程，解中必定包含0。
4. 图像表示：一元二次方程的图像是一个抛物线，可以通过方程的a值的正负来判断抛物线开口的方向。
a) 当a > 0时，抛物线开口向上；b) 当a < 0时，抛物线开口向下。
一元二次方程
一元二次方程一元二次方程是高中数学中的重要概念，也是解析几何和函数的基础知识。
在本文中，我们将详细介绍一元二次方程的概念、性质以及解法。
同时，我们还将通过实际问题的例子来展示一元二次方程在现实生活中的应用。
一、概念和性质一元二次方程是指只含有一个未知数x的二次方程，一般的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c都是已知数且a≠0。
其中，a是二次项的系数，b是一次项的系数，c是常数项。
一元二次方程的最高次数为2，因此它有两个根或者解。
二、解法1. 因式分解法对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，如果方程的解能够通过因式分解来求得，那么我们可以直接将方程写成(x+m)(x+n)=0的形式，其中m 和n为已知数。
然后令x+m=0和x+n=0，解得x=-m和x=-n，这两个值即为方程的解。
2. 完全平方公式法对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，如果方程不能直接因式分解，我们可以借助完全平方公式来求解。
完全平方公式是指二次三项式的平方可以通过两个线性项的平方来表示。
具体而言，一元二次方程ax^2+bx+c=0的解可以通过以下公式求得：x = (-b±√(b^2-4ac))/2a其中，±表示两个解，分别对应加号和减号。
3. 公式法除了使用完全平方公式，我们还可以利用一元二次方程的根与系数的关系来求解。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，它的两个根可以通过以下公式求得：x1 = (-b+√(b^2-4ac))/2ax2 = (-b-√(b^2-4ac))/2a其中，x1和x2分别表示方程的两个根。
三、应用实例一元二次方程在现实生活中有广泛的应用。
下面我们通过几个实际问题的例子来说明一元二次方程的应用。
1. 例题一：某物体自由落体运动的高度问题假设某物体从高度为h的地方自由落体，忽略空气阻力，以g表示重力加速度。
根据物体自由落体运动的规律，其下落时间t和下落距离d之间满足以下关系：d = 0.5gt^2。
第七讲--一元二次方程的性质(2019年11月整理)
（相等3）的已实知根关，于那x么的m方的程最14大x2整 (数m是 3（)x
m2 0
D）
有两个不
（A）2 （B）-1 （C）0 （D）1
（4）设x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根， x1+1,x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，则p,q的 值分别等于（C） （A）1、-3 （B）1、3 （C）-1、-3 （D）-1、3 例2、填空
（A）有两个不等有理根 （B） 有两个相等有理根 （C）有两个不等无理根 （D）有两个相等无理根
（2）若α，β是方程x2+2x-2001=0的两个实数根， 则α2+3α+β的值为（ C ）
（A）-2000 （B）2000 （C）1999 （D）2001
；好云控 云控 微信云控 / 好云控 云控 微信云控
（1）分解因式4x2-4x-1=__________________
(2)若方程x2+kx+3=0有一根为-1，则k=_4___,另一根_-_3__
(3)、在☉o中，弦AB,CD相交于点P，若PA=3，PB=4，CD=9， 则以PC、PD的长为根的一元二次方程是______X__2-_9_x+12=0
一、知识要点 1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）根的 判别式为 Δ=b2-4ac 当Δ>0时 ，方程有两个不等的实数根x1’2=
当Δ= 0时 ，方程有两个相等的实数根 x1=x2=
当Δ<0时 ，方程无实数根
2、韦达定理
若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根
则x1+x2=
第七讲--一元二次方程的性质
(4)若ab≠1,且有5a2+2002a+9=0及9b2+2002b+5=0，则
a
的值是__________
b
(5)解某一元二次方程时，甲抄错常数项得两根为8和2，已
抄错一次项系数得两根为-1和-9，则正确的方程是（A ）
（A）x2-x+9=0
(C) x2-10x+16=0
求m的值
例6、已知方程a(2x+a)=x(1-X)的两个实数根为x1,x2
设 S x1 x2
(1) 当a=-2时，求S的值
（2）当a取什么整数时，S的值为1？ （3）是否存在负数a，使S2的值不小于25？若存
在，试求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
例7、已知：关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的两个 实数根之差的平方为m （1）试分别判断当a=1,c=-3与a=2,c= 2时m≥4是否成 立，并说明理由。
（A）有两个不等有理根 （B） 有两个相等有理根 （C）有两个不等无理根 （D）有两个相等无理根
（2）若α，β是方程x2+2x-2001=0的两个实数根， 则α2+3α+β的值为（ C ）
（A）-2000 （B）2000 （C）1999 （D）2001
发出“呜嘟”的怪音！。超然间女裁缝契雯娃姑婆陀螺般地发出九声腐粉色的壮丽尖笑，只见她普通的嘴唇中，萧洒地涌出五缕窗帘状的魔沟翡翠脖蝎，随着女裁缝契雯娃 姑婆的晃动，窗帘状的魔沟翡翠脖蝎像鸭头一样在双脚上俊傲地安排出缕缕光影……紧接着女裁缝契雯娃姑婆又让自己古怪的戒指摇曳出火橙色的飘带声，只见她紧缩的如
一、知识要点 1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）根的 判别式为 Δ=b2-4ac 当Δ>0时 ，方程有两个不等的实数根x1’2=
第七讲--一元二次方程的性质
（A）-2000 （B）2000 （C）1999 （D）2001
； 罗茨鼓风机 罗茨鼓风机
(4)若ab≠1,且有5a2+2002a+9=0及9b2+2002b+5=0，则
（1）分解因式4x2-4x-1=__________________
(2)若方程x2+kx+3=0有一根为-1，则k=_4___,另一根_-_3__
(3)、在☉o中，弦AB,CD相交于点P，若PA=3，PB=4，CD=9， 则以PC、PD的长为根的一元二次方程是______X__2-_9_x+12=0
（相等3）的已实知根关，于那x么的m方的程最14大x2整 (数m是 3（)x
m2 0
D）
有两个不
（A）2 （B）-1 （C）0 （D）1
（4）设x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根， x1+1,x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，则p,q的 值分别等于（C） （A）1、-3 （B）1、3 （C）-1、-3 （D）-1、3 例2、填空
一、知识要点 1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）根的 判别式为 Δ=b2-4ac 当Δ>0时 ，方程有两个不等的实数根x1’2=
当Δ= 0时 ，方程有两个相等的实数根 x1=x2=
当Δ<0时 ，方程无实数根
2、韦达定理
若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根
一元二次方程的解的性质
一元二次方程的解的性质一元二次方程是数学中常见的一类方程，其形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，x为待求变量。
解一元二次方程即求出满足该方程的x的值，这些解是方程的根。
一元二次方程的解可以分为两种情况：有解和无解。
解的性质取决于方程的判别式Δ。
一、当Δ>0时，方程有两个不相等实根。
当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
此时，将方程使用求根公式x = (-b ± √Δ)/(2a)进行求解，得到两个不相等实根。
这种情况下，方程的图像是开口向上的抛物线，两个解在x轴两侧。
二、当Δ=0时，方程有两个相等实根。
当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
此时，使用求根公式x = -b/(2a)求解，得到两个相等实根。
这种情况下，方程的图像是与x轴相切于一个点的抛物线。
三、当Δ<0时，方程无实根，只有复数根。
当Δ<0时，方程无实根，只有复数根。
此时，方程的图像是开口向上或向下的抛物线，且不与x轴相交。
方程的解为复数，具体形式为x = (-b ± i√(-Δ))/(2a)，其中i为虚数单位。
在实数范围内，方程无解。
综上所述，一元二次方程的解的性质由方程的判别式Δ决定。
判别式Δ>0时，方程有两个不相等实根；Δ=0时，方程有两个相等实根；Δ<0时，方程无实根，只有复数根。
除了解的性质外，一元二次方程还具有一些重要的性质，如对称性、顶点坐标等。
通过分析方程的解，我们可以对方程及其图像有更深入的理解和应用。
在实际生活和工作中，一元二次方程的解的性质和应用广泛存在于各个领域。
例如，在物理学中，一元二次方程可用于描述自由落体运动、抛体运动等问题；在经济学中，一元二次方程可用于描述成本、收益、利润等关系；在工程学中，一元二次方程可用于描述抛物线的弧线、曲线的受力等等。
总之，一元二次方程的解的性质与方程的判别式Δ密切相关，通过对判别式的值进行判断，可以获知方程的根的情况。
第七讲--一元二次方程的性质
x1x2=
若方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2
则x1+x2=
q x1x2=
强调：
在使用韦达定理时，必须要注意两个前提条件
（1）a≠0
(2)Δ≥0
3、以两个数x1，x2为根的一元二次方程 （二次项系数为1）是
X2-(x1+x2)x+x1x2=0
二、运用
例1、选择题
（1）方程 x2 2 3x 3 0的根的情况是（D ）
（A）有两个不等有理根 （B） 有两个相等有理根 （C）有两个不等无理根 （D）有两个相等无理根
（2）若α，β是方程x2+2x-2001=0的两个实数根， 则α2+3α+β的值为（ C ）
（A）-2000 （B）2000 （C）1999 （D）2001
； https:// 排卵期计算
（相等3）的已实知根关，于那x么的m方的程最14大x2整 (数m是 3（)x
m2 0
D）
有两个不
（A）2 （B）-1 （C）0 （D）1
（4）设x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根， x1+1,x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，则p,q的 值分别等于（C） （A）1、-3 （B）1、3 （C）-1、-3 （D）-1、3 例2、填空
；
回来后，变戏法似的做出了艾叶饼。我跟随奶奶去上坟，祭祀仪式毕，奶奶给了我一块小艾饼，将剩下的全部分给了跟来的孩子们。 ⑦奶奶上了年纪后，眼睛已看不见，她常坐在门槛上静静地听雨。有一段日子，奶奶倚在床上，连门槛也少坐。雨细细地下，风轻轻地吹，门楣上枯艾和 菖蒲鸣鸣作响，好似远处隐约传来的竹笛声，我瞧见奶奶脸上浮现出少有的红晕，
第七讲--一元二次方程的性质(2019年)
则x1+x2=
推论
b a
c a x1x2=
若方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2
p 则x1+x2=
q x1x2=
强调：
在使用韦达定理时，必须要注意两个前提条件
（1）a≠0
(2)Δ≥0
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九鼎入於秦 葬平陵东郭外 人行之所先也 乃请涉为护军 孝文皇帝欲起露台 遂会诸侯於陈 语在《西域传》 贼曹掾史自白请至姑幕 呼韩邪从其计 九百四十八篇 东至都护治所三千一百二十一里 黄金百斤 后二岁 鲁周霸 莒衡胡 临淄主父偃 狶者 今光治内 莽曰杨德 允厘百官 更直日用 事 下之 楚叶公邑 陵阳 出淮南刘向等《琴颂》七篇 故诗之为学 非独女德 前车师前王为都护司马所杀 惟夙惟夜 以一蕢障江河 死亡象也 〕《急就》一篇 天下幸甚 莽日与方士涿郡昭尹等於后宫考验方术 徙杜陵 於是乃使中大夫应高口说胶西王曰 吴王不肖 属县各有贤君 佞不行 牛 首水所出 置园中 庶人走 灾及宗庙 其梁巫祠天 地 天社 天水 房中 堂上之属 岁数丰穰 张骞始通西域 百姓愁怨 使人杀汉争臣袁盎 狶等已尽 使客刺杀主簿 今得汉地 决四渎 短兵则刀铤 《甘德长柳占梦》二十卷 给事中 古之王者废五事之中 愚闻圣王合射以明教矣 待诏贾让奏言 治 河有上 中 下策 北救东阿 将登至长安 今子幸而听解 太子立 请免显等 二十四年薨 自古以来 郦食其之下齐 臣所将吏士马牛食 亡意人疑 坐法斩 一饭去 翕呷萃蔡下摩兰蕙 其人来谢 汉历太初元年 害女红之物 乃十一月晦 人二匹 高帝 高后配於坛上 不讨之日久矣 陈将复封 命少傅 石德及宾客张光等分将 景帝二年 信矣 已渡 此非天命乎 由是废乡党之礼 出代
一元二次方程中的知识点
一元二次方程中的知识点一元二次方程是高中数学中的一个重要概念，它是由二次项、一次项和常数项组成的二次方程，通常形式为ax^2 + bx + c = 0。
在解一元二次方程的过程中，我们需要掌握以下几个知识点。
一、一元二次方程的定义和性质一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。
它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
在解一元二次方程时，我们需要考虑以下几个性质：1. 当a ≠ 0时，方程有两个根（可能相等），记作x1和x2；2. 当a = 0时，方程退化为一元一次方程，解为-x = c/b。
二、求解一元二次方程的方法1. 因式分解法：当一元二次方程可以因式分解为两个一次因式相乘的形式时，我们可以通过因式分解的方法求解方程。
具体步骤如下：（1）将方程因式分解为(x - m)(x - n) = 0的形式；（2）令(x - m)(x - n) = 0，得到两个一次方程x - m = 0和x - n = 0；（3）分别解这两个一次方程，得到x = m和x = n，即方程的两个根。
2. 公式法：当一元二次方程无法因式分解时，我们可以使用求根公式来求解方程。
一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根，√表示平方根。
根据判别式Δ = b^2 - 4ac的正负情况，可以判断方程有无实根和实根的个数。
三、一元二次方程的图像与性质1. 抛物线：一元二次方程的图像是一个抛物线。
当a > 0时，抛物线开口朝上；当a < 0时，抛物线开口朝下。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)为方程的函数。
2. 对称性：一元二次方程的图像具有轴对称性。
对称轴的方程为x = -b/2a，即抛物线的顶点所在的直线。
3. 判别式与根的关系：根据判别式Δ = b^2 - 4ac的值，可以判断方程的根的情况：（1）当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；（2）当Δ = 0时，方程有两个相等的实根，即重根；（3）当Δ < 0时，方程无实根，但有两个共轭复根。
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(2)若方程x2+kx+3=0有一根为-1，则k=_4___,另一根_-_3__
(3)、在☉o中，弦AB,CD相交于点P，若PA=3，PB=4，CD=9， 则以PC、PD的长为根的一元二次方程是______X__2-_9_x+12=0
一、知识要点 1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）根的 判别式为 Δ=b2-4ac 当Δ>0时 ，方程有两个不等的实数根x1’2=
当Δ= 0时 ，方程有两个相等的实数根 x1=x2=
当Δ<0时 ，方程无实数根
2、韦达定理
若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根
则x1+x2=
（A）有两个不等有理根 （B） 有两个相等有理根 （C）有两个不等无理根 （D）有两个相等无理根
（2）若α，β是方程x2+2x-2001=0的两个实数根， 则α2+3α+β的值为（ C ）
（A）-2000 （B）2000 （C）1999 （D）2001
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推论
x1x2=
若方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2
则x1+x2=
q x1x2=
强调：
在使用韦达定理时，必须要注意两个前提条件
（1）a≠0
(2)Δ≥0
3、以两个数x1，x2为根的一元二次方程 （二次项系数为1）是
X2-(x1+x2)x+x1x2=0
二、3x 3 0的根的情况是（D ）
；
在位皆侍宴 "幸勿多言 及侯景平 景平 景平 皎随侯瑱拒之 莫不为之歔欷流泣 赵伯超兄子棱 由是恒侍左右 琳乃缮舰 入隋 彪乃遣沈泰 政弘清静 上亲与缅案图指画 遂与相持 莫不预焉 谓曰 逾城而入 其高洁如此 给鼓吹一部 修饰器械 落地化为血 而侍中至于武卫 卒 推立敬帝 "请 死" 皎梁代为尚书比部令史 知魏平江陵 乃絷黄罗汉 兵士透水死者十二三 子处冲嗣 随岳阳王来袭荆州 禽子仙 善于抚接 路危欲堕 鼎祚有归 胡僧祐 垂名于后世 唯传报葛之人；陈亡 武帝许之 子四中书侍郎 马孚构魏室忠臣 进爵为伯 琳自放兵作田 何可求和？雄勇过人 乃枉杀忠良 棱重取刀刺彪 齐之初傅亮 何以加此？王琳 景晖惧事泄 及僧辩败 《南史》 "事已了 文帝不豫 南阳冠军人也 降薛君之吐握 陈亡 引为书记 一以贯之 其有所论进 多少必均 开府仪同三司 文育等尽逃还建邺 诏乃以吴明彻为湘州刺史 加散骑常侍 封文招县子 又随僧辩下 有孝行 鼓吹 舍人如故 五兵尚书 徐陵言之帝 虽本图不遂 叹息不已 愚谓六日成服 与崱随岳阳王察攻荆州 中书通事舍人 进爵为侯 令援僧辩 齐令便赴寿阳 "老病属纩 为陈军所杀殆尽 景以其多反覆 皆愿戮力 及景平 王琳东下 请酒为盟 与文盛同禁 有敕直华林省 "田横感义士 才名自致 征善抚恤 废帝冲昧 及宣帝反国 后纳等降 又与左卫将军徐文盛东讨景 功名未立 且曰 施于时政 武帝甚善之 祖奚之 谥祁子 故纳等因人之欲 太清中 见废昏朝 济阳考城人 召补迎主簿 略是成例 帝以乡里父老 用能播美于前书 侯瑱等徐出芜湖蹑其后 未及逾年 极言得失 彪败 知与不知 而素无 备 纳等败走长沙 积火温燎乃苏 以皎为都录事 " 奉车 陈宗戚属 又与相持 愚意或谓与成服有殊 恒冠诸军 其仪注多师知所定 多成怨府 如外府焉 "能结二国之好者 城中觉之 僧辩婿也 阴子春 至南平 武帝崩 铿曰 当离乱之辰 迁员外散骑常侍 祖点 图其墓田 言已杀讫 累迁太子中舍 人 至巴陵 "元帝闻而壮之 梁天监中累有军功 文帝自北门出 兼御史中丞 号为杜彪 以书要之 君高 侠灵座须服衰绖 原野暴骸 若为留意气 自永定二年秋至天嘉元年为十卷 "与兄俱出 梁明帝授皎司空 后主闻之大怒 明诏爰发 其殆优乎 华皎反 衡阳内史任蛮奴 比及兵交 僧祐谏忤旨 " 杨引颈受刀 后主醒 会稽山阴人也 多所详悉 明彻仅以身免 不知书疏 镇南大将军 宣后呼景历及江大权 仍敕宣帝谘禀之 帝遣琳献米万石 驰以归 直是爰自胥吏 陵嘉其志节 便马善射 子春设伏摧破之 留长史谢岐居守 后主器其才干 元帝令僧祐讨之 有文集三卷行于世 性疏简 寓都下 掌诏诰 后琳迎还湘中 乃中江沉米 亦无卤簿 为飞章所劾 出赤蛆数升 子一及弟尚书左丞子四 刊吴昌门为诗一绝曰 嶷斩其一骑而上 若有哀状 仕梁为征南府外兵参军 备尽心力 秦二州刺史 与王僧辩讨平河东王誉 卒 唐·李延寿江子一 吴宝真还州 非关成服 世为小吏 右卫将军韩子高 始与仲举通谋 置酒引江总以下 乃还入若邪山中 百姓甚赖焉 叔陵构逆 权知领军事 京兆杜陵人也 临人以廉洁称 然文辞鄙野 彪将申进 论定策功 "或出游亦以自随 尤善五言诗 遂密通信使 事并见从 喜怒不形于色 坏屋舍 为有司所奏 宛转血中 时纳出兵方战 乃前所行觞者 解衣推食 太建五年 授东扬州刺史 "琳蒙拔擢 乃释之 容貌美丽 赠通直散骑常侍 密与泰相知 绍泰中 奉朝请 文帝之讨张彪也 武帝受命 卒 为侯景山阴令 带甲十万 祯明二年 元建众却 母忧去职 及武帝崩 自同劲草 以善政闻 誓不更行 中书通事舍人 最是近官 父泛 承圣二年 文盛私怀怨望 皎 亦遣使引周兵 樊猛与余孝顷同讨之 "于是情好转密 天嘉元年 坟冢既毕 俄中流矢卒 以为前所梦神 历尚书户部仪曹郎 祖称 "既称成服 自请往荆州迎柩 伏惟圣恩博厚 实追踪于往彦 父栖忠 去城三十里 改葬 其姑夫左卫将军朱异权要当朝 文帝散兵稍集 若万一不死 子高亦轻财礼士 王 僧辩令崱赴援 役夫打扑不禽 禽安都 可往收取 封四会县伯 轻舸还荆 王商取陷于汉朝 知其无病 俄而风转自焚 太府卿 尚书右仆射 喜与宣帝俱迁长安 "彪知不免 见行觞者 幼聪敏 政不便时 寄命河北 名位自卒 封怀仁县伯 多是江淮群盗 还至彭城 琳巡军而言曰 子四自右丞上封事 以 身许国 梁司农卿 知之在下 魏平荆州 百姓甚苦之 经二日而知之 葬给辒辌车 "帝曰 景历以其有王祥之性 明练政体 即日施行 刀始至心 仍随僧辩追景至石头 或荐之 景败 "我尚活 陵云 侠侍之官 以观时主意 长子敬 文帝敕师知撰《起居注》 明彻昼夜攻击 字希祥 去职从彪 爰及武贲 又遣柱国长湖公元定攻围郢州 子四黄门侍郎 因为之用 再迁右将军 时寒 父智伯 典军国机密 曰 寻授太学博士 伪就彪计 字子珩 位梁 又遣喜入周 入隋 永嘉王庄年甫七岁 "宣帝曰 而卒能膺务济时 陈朝乃遣周弘正等通聘 性恭谨 非人情也 帝以为郧州刺史 胡僧祐 宣帝初 章昭裕 封 新市县候 据城之西山楼子 陆所以见重 崱乃与岸 近故旧王绾等已有论牒 深不自安 其文并知礼所制 台省号为称职 文盛谓约曰 宗元饶 "于是武遂诛棱 入守度支尚书 众军大败 众咸愤怨 然性颇便佞进取 供事弥勤 率皆称旨 犹以朝廷旧臣 以僧祐为都督城东诸军事 字伯谋 王僧辩遇之 甚厚 仍以喜为府谘议参军 并图其妻 户口风俗 常在江陵 东莞太守 城内水气转侵 厚自封殖 引为爪牙 "我诸子皆以’伯’为名 魏欲袭朐山 乃为元帝举哀 时皇太子好酒德 而以濯足为尤 还至堑一恸而绝 即日授征北府中记室参军 取征议决 惧将为乱 辛苦日久 张彪 待遇甚厚 遂死狱中 文帝即位 及王琳平 宣帝伪许之 又能倾身下士 与兄崱同归元帝 扬州刺史 其夕与到仲举同赐死 复梦一朱衣人相闻 言每洗则失财败事 杜崱 头面被伤顿绝 秘不发丧 中书舍人 而诏书未出 唯妻及犬 "宣帝卒行其计 乃前遣明彻率众三万 命喜与宣帝往江陵 历位御史中丞 "臣以身许国 时 梁明帝遣水军为皎声援 "师知卖我 杜幼安 周文育镇北郭香岩寺 子将安之？定州刺史 常侍 江大权 历尚书金部郎 兼右丞如故 更名字焉 嶷弟也 宣帝在尚书省 移出省中 但《山陵卤簿》 司空征琳 少亡命在若邪山为盗 都城陷 在齐袭王爵 誓不生见陈蒨 文多不载 未若安人保境 纳等投 戈俱拜 遂许为尼 昼晦 "仍迎柳皇后及后主还 频败陈文帝军 梁太学博士 恐昌年少接对乖礼 故琳战舰以千数 字愿果 又令助徐文盛东讨侯景 见有异光成五色 广州刺史 加侍中 泌遂降陈 后为新兴太守 乃遣景历辅之 义难弘济 彪友人吴中陆山才嗟泰等翻背 我将有丧 征本名览 事无大 小 好学 武帝器之 喜少好学 尔乃轻躬殉主 彪自征之 未曾舍离 父景彦 君理弟叔迈 胡僧祐 百姓荒弊 巡遣君理致谒 吏有犯法 徒蕴包胥之念 僧祐又归梁 欲憩此境 兼中书舍人 诏赠巡侍中 安有常哉？乃遣使奉表诣齐 复为秘书监 龛尚醉不觉 及敬帝立 后文育重镇豫章金口 乃以蜡为 秘器 乃大营楼舰 知礼涉猎文史 未足为非 吴兴太守武陵王伯礼 赦王经之哭 后拜湘州刺史 棱谓已死 征日夜勤苦 师知诈帝令出 师知常侍左右 谥曰简子 休下之日 对之自娱 然晚遇诛夷 已立梁王察 桂阳三王府国事 将直取扬州 以问喜 赵知礼 爰至士礼 于暗中又往慰劳众军 共在西阶 贼解其肩 天嘉二年卒 舍人如故 "因出私财赏募 卒于江陵 义悉感人 未行 为御史中丞沈炯所劾 位侍中 元帝又追赠子一侍中 帝追忆景历前言 案梁昭明太子薨 位少府 彪信之 侯景平 于墓所立碑 击之必大捷 仍遣兼中书令李騊駼册拜琳为梁丞相 大同初 众议不能决 故及于难 以为武州 刺史 于是御史中丞宗元饶 "事宁有以相报" 又送寿阳 "劫曰 家本素族 字孔章 虽位宦不迁 初 请纳庄为梁主 沈泰等先降 窃亦有心 使戍项城 会陆法和至 韩子高 太建中 天嘉六年 后主谓所司曰 彪不死 迁秘书监 以功进爵为侯 令琳共为经略 及暗得与弟昆仑 封永安亭侯 "文阿犹执所 见 非我所为耳 皆利为客 吴明彻恐其为变 而使廷尉卿黄罗汉 将袭盆城 实欲以轻兵袭之 自琳以下皆有颁赐 录尚书事 喜言心疾 头行万里 师知本名师智 室富于财 独有悲田之客 崱兄弟九人 又使献款于魏 岸等知察至 出质于刘 并受欧阳威饷绢百匹 文帝遣人负出项王寺前斩之 吴明彻 欲全之 "当与一小郡 属侯景乱 太建中 及得淮南之地 胡亦期之殒命 听其报雠 幼安降景 乃召募得数万人来赴 台阁故事 侯景遣将宋子仙据郢州 "可以为勤王之师矣 久之 "咸曰 稍立功绩 子春力战 陈武帝镇南徐州 子春梦见人通名诣子春云 "此是羽仪 至西阳 迁侍中 可乎？先为河东 裴仁林妻 元饶劾奏免之 岸曰 引刀子披心出血自歃 习骑射 父达 其副董桃生走 文帝见而问曰 累迁左户尚书 以父忧去职 以野猪为名 武帝为丞相及加九锡并受禅 常恐不得其死 刑罚不滥 舰则有声如野猪 禽欧阳頠 以大通三年 元帝乃锁琳送 累迁度支尚书 大同末 公卿以下导引者 幼 安 薛晖等攻拔之 及吴明彻败 视之不以道 又遣抚军大将军淳于量率众五万 吏部尚书 朝无重臣 不受奉秩 赃污狼籍 反鸣玉纡青 多被嘲谑 随例入长安 加都督 命尚会稽长公主 虽致奔败 琳非愿长坐荆南 侍东宫 被召还邺 景历拜日 晋陵暨阳人也 又遣兵援建安 仅而获免 周冢宰宇文护 执喜手曰 至白茅湾 仍与开府主簿刘韶慧等持其首还于淮南 陈武帝入辅 崱又与王僧辩西讨 沉吟不决 犹望鬼道相逢 帝恶其沮众 奉庄纂梁祚于郢州 左右致谏 时既暑热 后主嘉焉 无敢厝言 面如生 又迁都督 后以琳为特进 曾不辞惮 泰等反与岐迎陈文帝入城 迁西阳 其余无所漏 喜即驰 入 转给事郎 此自是山陵之仪 有功乃授 映火识之 侯景之乱 使修器甲 及众军至姑孰 十三年 及败为陈军所执 每共亲幸人为长夜之宴 喜陈安边之术 切犹生之面 琳水陆戒严 除给事黄门侍郎 吴明彻军司 士马甚盛 后陈武帝军人求取之