例说常用三角恒等变换技巧
三角恒等式证明9种基本技巧
三角恒等式证明9种基本技巧三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。
根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。
1．化角观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。
例1求证：tan23x - tan 21x =xx x 2cos cos sin 2+ 思路分析：本题的关键是角度关系：x=23x -21x ，可作以下证明：2．化函数三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同（如化切为弦等）的思路，恰当选用公式，这也是证明三角恒等式的一种基本技巧。
例2 设AB A tan )tan(-+A C22sin sin =1，求证：tanA 、tanC 、tanB 顺次成等比数列。
思路分析：欲证tan 2C = tanA ·tanB ，将条件中的弦化切是关键。
3．化幂应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。
例3求证 cos4α-4cos2α+3=8sin 4α 思路分析：应用降幂公式，从右证到左：将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多。
如1=sin 2α+cos 2α=sec 2α-tan 2α=csc 2α-cot 2α=tan αcot α=sin αcsc α=cos αsec α，1=tan450=sin900=cos00等等。
如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。
例4 求证αααα22sin cos cos sin 21--=ααtan 1tan 1+-思路分析：将左式分子中“1”用“sin 2α+cos 2α”代替，问题便迎刃而解。
三角恒等变换的常见技巧(生)
三角恒等变换的常见技巧一、核心技巧方法1、三角恒等变换中的“统一”思想：三角恒等变换的主要目的是异名化同名、异次化同次、异角化同角、异构化同构，即化异为同，也就是将待证式左右两边统一为一个形式，或将条件中的角、函数式表达为问题中的角或函数式，达到以已知表达未知的目的。
基本切入点是统一角，往往从统一角入手便能全面达到化异为同的目的。
2、统一思想的应用——引入辅助角：对x b x a y cos sin +=型函数式的性质的研究，我们常常引入辅助角ϕ。
即化ab x b a x b x a y =++=+=ϕϕtan ),sin(cos sin 22，然后将该式与基本三角函数x A sin y =进行比照研究。
“位置相同，地位平等”是处理原则。
3、统一思想的应用——拆、拼角，如()()()()22β-α+β+α=αβ-β+α=αβ+β+α=β+α，，等等；4、统一思想的应用——弦切互化，如利用万能公式，把正余弦化为正切等等；对关于正余弦函数的齐次式的处理也属于“弦化切”技巧；5、统一思想的应用——公式变、逆用，主要做法是将三角函数式或其一部分整理成公式的一部分，然后利用公式的这一部分与另一部分的等量关系代入6、代换思想的应用——关于正余弦对等式的处理，常以21t x cos x sin ,t x cos x sin 2-==+代入，把函数式化为关于t 的函数式进行研究；另外，三角代换也是处理函数最值、值域等问题的重要技巧。
二、考点解析与典型例题考点一 引入辅助角研究三角函数的性质例. 设f （x ）=asin x ω+bcos x ω（0,,>ωb a ）的周期为π且最大值f （12π）=4； 1）求ω、a 、b 的值；2）若α、β为f （x ）=0的两个根（α、β终边不共线）， 求tan （α+β）的值。
考点二 拆、拼角 例. 已知cos （91)2-=-βα，sin （2α－β）=32，且,20,2πβπαπ<<<<求.2cos βα+考点三 化弦为切例. 当π04x <<时，函数22c o s ()c o s s i n s i n x f x x x x=-的最小值是（ ）． （A ）4 （B ） （C ）2 （D ） 考点四 巧用公式例. 求︒︒+︒+︒28tan 17tan 28tan 17tan 的值。
高一数学 三角恒等变换的技巧
高一数学三角恒等变换的技巧三角恒等变换以三角函数基本关系、诱导公式、两角和与差的三角函数公式，倍角公式、半角公式等三角公式为基础，常见策略是：(1)发现差异；(2)寻找联系；(3)合理转换．基础思想是根据试题特点，灵活运用三角公式，使用配凑角、切化弦、降次或升幂等技巧，达到解决问题的目的．三角函数公式众多，方法灵活多变，同学们若能熟练掌握三角函数变换的技巧和化简的方法，可达到事半功倍的效果．下面就三角函数恒等变换的部分方法予以简单介绍，供大家参考．一、直接利用公式【方法点拨】根据式子特征，直接用公式展开是三角函数化简常用的方法，基本思路是异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．化简的标准是三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．在化简时要注意角的取值范围．二、公式的逆用【方法点拨】直接运用两角和与差的正弦或余弦公式常能将某些三角函数式化简，但深入观察三角函数式的结构特征，有时能巧妙地逆用公式，不仅丰富了解题技巧，而且过程简捷，不易出错．逆用公式的一些常见变形：三、切化弦【方法点拨】切化弦一般适用于不知切值或式子不能构成有关正、余弦函数的齐次分式．不能整体化切时，一般考虑切化弦，其目的是将正切、余切函数用正弦、余弦函数表示，这是一种常用的解题方法．当涉及多种三角函数时，常用此法减少函数的种类．这里除用化切为弦外，也常用到化异角函数为同角函数的技巧．四、弦化切五、用已知角表未知角【方法点拨】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦公式的应用，转化过程中要特别注意符号的选取．观察式子特征，若已知角与所求角之间存在和、差、倍角、互余、互补等关系，即可用已知角表未知角的方法来求解．六、拆分角七、配凑【方法点拨】配凑法与方法五的基本思路一致，也是三角恒等变换中十分经典的一种方法．在解答时通过对目标式子中的角进行配凑，再利用三角公式和已知条件求得目标函数的值．在转换过程中同样要注意角的取值范围．常见的凑角技巧：总结三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”．这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”．看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”．观察和分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向．三角函数式的化简与求值是三角函数中的基础考点之一，也是高考中的常见题型，打好三角函数的基础对同学们高考也大有裨益．本文主要介绍了几种常用的方法，希望对同学们解决三角函数化简求值问题能有所帮助．。
进行三角恒等变换的三个技巧
解题宝典在解答三角函数问题时，经常需对三角函数式进行三角恒等变换，这就要求同学们熟练掌握一些进行三角恒等变换的技巧，以便能顺利化简三角函数式、求出三角函数式的值.那么怎样合理进行三角恒等变换呢？可以从以下三个方面进行.一、变换角当进行三角恒等变换时，首先要仔细观察已知角和所求角之间的差别，并建立两角之间的联系,如互余、互补、半角、倍角等，然后利用诱导公式、二倍角公式、两角的和差公式等求解.在进行角的变换时，还可将已知角、所求角与特殊角，如π6、π4、π3等建立联系，然后利用这些特殊角的函数值进行求解.例1.已知cos æèöøα+π4=35，π2≤α<3π2，求cos(2α+π4)的值.分析：先观察题目中的角可发现，已知角α+π4与所要求的角2α+π4之间相差一个α，可以找到一个关系：2æèöøα+π4−π4=2α+π4，用二倍角公式和诱导公式求出sin 2æèöøα+π4和cos 2æèöøα+π4的值，最后根据余弦的两角和公式cos ()α−β=cos α∙cos β+sin α∙sin β求出cos æèöø2α+π4的值.解：由于π2≤α<3π2，所以3π4≤α+π4<7π4，又因为cos æèöøα+π4=35>0，可知3π2≤α+π4<7π4，因此sin æèöøα+π4=−45，所以sin 2æèöøα+π4=2sin æèöøα+π4cos æèöøα+π4=−2425，cos 2æèöøα+π4=2cos 2æèöøα+π4−1=−725，因此cos æèöø2α+π4=cos éëêùûú2æèöøα+π4−π4=cos 2æèöøα+π4cos π4+sin 2æèöøα+π4sin π4=.二、变换函数名称有些三角函数式中的函数名称并不相同，此时，我们需变换函数的名称，如将正切、余切转化为正弦、余弦，将正弦化为余弦，将余弦化为正弦，等等，以达到统一函数名称的目的.在变换函数名称的过程中，常用到的公式有诱导公式sin ()2k π+α=sin α()k ∈Z 、cos ()2k π+α=cos α()k ∈Z 、tan ()2k π+α=tan α(k ∈Z)，重要关系式tan α=sin αcos α、sin 2α+cos 2α=1、辅助角公式a sin α+b cos α=a 2+b 2sin （α+φ）等.例2.化简2cos 2α−12tan æèöøπ4−αsin 2æèöøπ4+α.分析：这个式子中既含有正切函数也有正弦、余弦函数，我们第一步就是要想办法将正切函数转变为正弦函数.观察式子中角的特点，可发现æèöøπ4−α+æèöøπ4+α=π2，根据角的特征，可以利用诱导公式将函数式转化成函数名称一致的式子.解：原式=cos 2α2sin æèöøπ4−αcos æèöøπ4−αsin 2éëêùûúπ2−æèöøπ4−α=cos 2α2sin æèöøπ4−αcos æèöøπ4−α=cos 2αsin æèöøπ2−2α=1.三、变换幂的次数有些三角函数式中幂的次数不相同，此时，我们要对其作升幂或者降幂处理，以便使函数式中的次数相同.“升幂”可以通过二倍角公式cos 2α=cos 2α−sin 2α=2cos 2α−1=1−2sin 2α、tan 2α=2tan α1−tan 2α来实现，“降幂”可以通过二倍角公式sin 2α=2sin αcos α及变形式sin 2α=1−cos 2α2，cos 2α=1+cos 2α2.sin 2α=1−cos 2α2，cos 2α=1+cos 2α2来达到目的.例3.已知tan α=−13，求sin α−cos 2α1+cos 2α的值.分析：由于已知tan α=−13，目标式中含有正弦函数和余弦函数，且含有二次式，可以先利用二倍角公式把2α转变为α，使幂的次数统一，即将所求的式子转化为关于sin α、cos α的齐次式，然后依据tan α=sin αcos α，将目标式中的分子、分母同时除以cos 2α，得到只含有tan α的分式，将tan α=−13代入求解即可得到答案.解：原式=2sin αcos α−cos 2α2cos 2α=2sin α−cos α2cos α=tan α−12=−56.总而言之，在进行三角恒等变换时最重要的就是要做到“变异为同”，灵活使用各种三角函数公式，将角、函数名称、幂的次数不同的式子转化为角、函数名称、次数相同的式子.在解题的过程中，同学们要熟记各种三角函数公式，并灵活使用，根据角、函数名称、幂的特点合理进行变换，以实现“变异为同”.（作者单位：山东省聊城第一中学）41Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
三角恒等变换的方法与技巧
三角恒等变换的方法与技巧三角恒等变换是三角函数中的主要部分，是培养学生等价转化与化归思想、逻辑思维能力、知识的联系性与灵活性的重要内容。
下面举例说明三角恒等变换的方法与技巧。
一、变角角是研究三角函数问题的切入点.若表达式中出现了较多相异的角，必须对比分析变换对象与变换目标，其余的角都朝目标角转化.这是三角变换最基本的策略。
例1.已知cos（α-■）=-■，sin（■-β）=■（■<α<π，0<β<■）求cos（α+β）的值解析：由已知得■ <α-■<π，-■<■-β<■∴sin（α-■）=■，cos（■-β）=■∴cos■=cos[（α-■）-（■-β）]=cos（α-■）cos（■-β）+sin（α-■）sin（■-β）=-■∴cos（α+β）=2cos2■-1=-■点评：（α-■）-（■-β）=■ α+β=2·■注意角的拼凑、拆分，倍、半的相对性。
二、变函数名称若表达式中函数种类较多，变形困难，应尽量减少函数种类.这是恒等变换的又一策略。
例2.已知锐角α，β满足tan（α-β）=sin2β，求证：2tan2β=tanα+tanβ解析：∵sin2β=■∴■= ■t anα=■∴tanα+tanβ=■=2tan2β点评：弦化切，同一为切，正用、逆用公式.三、变结构对较复杂的表达式，一般先变形结论，再寻找由条件得到的有用结论，合理选择公式，建立差异间联系，解决问题。
例3.已知cos（■+x）=■，■<x<■，求■的值解析：■=■=■= 2sinxcosx·■=2sinxcosx·tan（■+x）由■<x<■得■<x+■<2π，又cos（■+x）=■∴sin（■+x）=-■，tan（■+x）=-■cosx=cos[（■+x）-■]=-■，sinx=-■∴■=-■点评：在综合变角、变名的基础上，首先对所求复杂式子结构恒等变形，再结合已知条件，寻找目标。
高中数学三角恒等式解题技巧
高中数学三角恒等式解题技巧在高中数学中，三角恒等式是一个重要的概念，经常出现在各种数学考试中。
掌握解题技巧对于学生来说是至关重要的。
本文将介绍一些常见的三角恒等式解题技巧，并通过具体的题目来说明这些技巧的应用。
一、基本的三角恒等式首先，我们需要掌握一些基本的三角恒等式。
这些恒等式是通过三角函数的定义和性质推导出来的，是解题的基础。
1. 余弦的平方加正弦的平方等于1：cos²θ + sin²θ = 1这个恒等式是最基本的三角恒等式，也是其他恒等式的基础。
2. 余弦的倒数等于正弦：cosθ =1/sinθ正弦的倒数等于余弦：sinθ = 1/cosθ这两个恒等式可以互相转化，并在解题过程中起到简化计算的作用。
二、应用题解析下面我们通过具体的题目来说明三角恒等式的解题技巧。
例题1：已知sinθ = 3/5，求cosθ。
解析：根据基本三角恒等式cos²θ + sin²θ = 1，我们可以得到cos²θ = 1 - sin²θ。
将已知的sinθ代入，得到cos²θ = 1 - (3/5)² = 1 - 9/25 = 16/25。
因此，cosθ =±√(16/25) = ±4/5。
例题2：已知sinθ = 2/3，求tanθ。
解析：根据tanθ = sinθ/cosθ，我们需要先求出cosθ。
根据基本三角恒等式cos²θ + sin²θ = 1，我们可以得到cos²θ = 1 - sin²θ。
将已知的sinθ代入，得到cos²θ = 1 -(2/3)² = 1 - 4/9 = 5/9。
因此，cosθ = ±√(5/9) = ±√5/3。
将sinθ和cosθ代入tanθ =sinθ/cosθ，得到tanθ = (2/3) / (√5/3) = 2/√5 = 2√5/5。
高中数学三角恒等变换的应用举例及解题思路
高中数学三角恒等变换的应用举例及解题思路引言：三角恒等变换是高中数学中的重要内容之一，它在解决各种三角函数相关问题时具有广泛的应用。
本文将通过具体的例题，结合解题思路，向高中学生和他们的父母介绍三角恒等变换的应用，帮助他们更好地理解和掌握这一知识点。
一、简化三角表达式在解决三角函数的化简问题时，三角恒等变换是一种非常有效的方法。
例如，我们考虑以下例题：例题1：化简表达式：sin^2x + cos^2x - 2sin^2x解题思路：根据三角恒等变换中的“平方和恒等式”，我们知道sin^2x + cos^2x = 1。
将这个恒等式代入原表达式中，得到：sin^2x + cos^2x - 2sin^2x = 1 - 2sin^2x这样，我们就成功地将原表达式化简为1 - 2sin^2x。
通过这个例题，我们可以看到，三角恒等变换可以帮助我们简化复杂的三角表达式，使问题更加清晰明了。
二、证明三角恒等式三角恒等变换还可以用于证明各种三角恒等式，这对于理解三角函数的性质和关系非常有帮助。
下面我们来看一个例题：例题2：证明恒等式：tan^2x + 1 = sec^2x解题思路：我们可以利用三角恒等变换中的“平方和恒等式”和“余切定义恒等式”来证明这个恒等式。
首先，根据平方和恒等式，我们有tan^2x + 1 = sin^2x/cos^2x +cos^2x/cos^2x。
将这个式子进行通分，得到：tan^2x + 1 = (sin^2x + cos^2x)/cos^2x = 1/cos^2x接下来，我们利用余切定义恒等式tanx = sinx/cosx，将1/cos^2x进行变形，得到：1/cos^2x = sec^2x通过这个例题，我们可以看到，三角恒等变换可以帮助我们证明各种三角恒等式，深入理解三角函数之间的关系。
三、解决三角方程三角恒等变换在解决三角方程时也有重要的应用。
下面我们来看一个例题：例题3：解方程sin2x = cosx解题思路：我们可以利用三角恒等变换中的“二倍角恒等式”来解决这个方程。
三角恒等变换技巧
三角恒等变换技巧1.三角函数平方表示三角函数的平方表示可以将复杂的三角函数化简为简单的平方形式。
例如，可以利用以下恒等式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1这个三角恒等式表明，一个角的正弦平方与余弦平方之和等于1、利用这个恒等式，我们可以将复杂的三角函数式子简化为更简单的形式，从而更好地进行计算。
2.和差化积和差化积是指将三角函数的和差形式转化为积的形式。
例如，可以利用以下恒等式：sin(x) + sin(y) = 2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)这个三角恒等式表明，两个角的正弦之和可以表示为正弦和余弦的乘积形式。
同样地，我们也可以通过差化积将两个角的正弦之差转化为正弦和余弦的乘积形式。
3.积化和差积化和差是指将三角函数的积的形式转化为和差的形式。
例如，可以利用以下恒等式：cos(x)cos(y) = 1/2[cos(x+y) + cos(x-y)]这个三角恒等式表明，两个角的余弦之积可以表示为两个角的和与差的余弦之和的一半。
同样地，我们也可以通过积化和差将两个角的正弦之积转化为正弦和余弦的和差形式。
这些三角恒等变换技巧在解决问题时经常被使用。
通过灵活地运用这些恒等变换技巧，可以将复杂的三角函数式子简化为更简单的形式，从而更方便地进行计算和分析。
此外，在解析几何中，三角恒等变换技巧也有助于直观地理解和推导三角函数的性质和关系。
总结起来，三角恒等变换技巧是一种重要的数学工具，它通过对三角函数之间相互转化，将复杂的三角函数式子简化为更简单的形式。
掌握这些变换技巧不仅有助于解决数学问题，还可以提高数学理解和推导的能力。
因此，我们应该加强对这些三角恒等变换技巧的学习和掌握，使其成为解决各种问题的利器。
高二数学解三角恒等式的方法与技巧
高二数学解三角恒等式的方法与技巧解三角恒等式是高中数学中的重要内容，也是考试中常见的题型之一。
掌握解三角恒等式的方法与技巧，不仅有助于理解三角函数的性质，还能提高解题效率。
下面将介绍几种常用的解三角恒等式的方法与技巧。
一、代入法代入法是解三角恒等式中常用且简便的一种方法。
具体操作如下：1. 将待证的恒等式两边分别用三角函数表示。
2. 根据已知的三角恒等式或性质，将原恒等式中的某些项替换成等价形式。
3. 将等式两边进行化简和变形，最终使等式两边完全一致。
示例1：证明恒等式sinθ / cosθ = tanθ。
解：根据代入法，将等式左边用三角函数表示得sinθ / cosθ，而右边用三角函数表示得tanθ。
根据三角函数的定义和性质，可以将等式左边进行变形，得到sinθ / cosθ = sinθ / cosθ * cosθ / cosθ = (sinθ cosθ) / (cosθ^2) = sinθ / (1 - sin^2θ)。
然后再通过三角函数的定义，将等式右边变形为sinθ / (1 - sin^2θ)，经过化简后，等式左边和右边完全一致，从而证明了原恒等式。
二、化简法化简法是解三角恒等式的另一种常用方法，它通过一系列的化简和变形，将复杂的恒等式转化为简单的形式。
1. 利用三角函数的和差化积公式，将较复杂的三角函数表达式化简为简单的形式。
2. 运用三角函数的平方和差公式，将含有平方项的三角恒等式化简为不含平方项的形式。
3. 利用三角函数的倒数公式，将含有倒数的三角恒等式转化为不含倒数的形式。
示例2：证明恒等式sin^2θ - cos^2θ = -cos2θ。
解：根据化简法，利用平方差公式sin^2θ - cos^2θ = sin^2θ - (1 -sin^2θ) = 2sin^2θ - 1 = -cos(2θ)。
通过对等式两边进行化简和变形，可以得到等式左边和右边完全一致，从而证明了原恒等式。
9种常用三角恒等变换技巧总结
9种常用三角恒等变换技巧总结三角恒等变换是数学中常用的一种技巧，在解决三角函数相关问题时非常有用。
下面总结了九种常见的三角恒等变换技巧。
1.倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)这些公式可以用于将一个三角函数中的角度变为它的倍角，从而简化计算。
2.半角公式：sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / 2)cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / (1 + cosθ))这些公式可以用于将一个三角函数中的角度变为它的半角，从而简化计算。
3.和差公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)这些公式可以用于将两个角度的三角函数变成一个角度的三角函数，从而简化计算。
4.和差化积公式：sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)sinA - sinB = 2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)cosA + cosB = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)cosA - cosB = -2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)这些公式可以用于将和或差的三角函数转化为乘积的三角函数，从而简化计算。
5.积化和差公式：sinAcosB = 1/2(sin(A+B) + sin(A-B))cosAsinB = 1/2(sin(A+B) - sin(A-B))cosAcosB = 1/2(cos(A+B) + cos(A-B))sinAsinB = -1/2(cos(A+B) - cos(A-B))这些公式可以用于将乘积的三角函数转化为和或差的三角函数，从而简化计算。
9种常用三角恒等变换技巧总结复习课程
9种常用三角恒等变换技巧总结对『•毎一个三角公式・教甘中仅翕出其塞本聪式・(U 我门若粥感N ：它变通形式常可M 开無解超思路* 例di sin 2a = 2sin trcosa 可貨逋为 cos a =l j sin a = 2 QOS a“门".-:J 'J >：: !j Id nr/ - f;;n - - /?'*( I + T ；mi tjn(^ - /> i - ' IU/r/ t ]n />' I [^- 41 在L |I ” c 如三内角 AJM ；」艮辱井数列•求 tan — + tan — + VItan — tan —2 2 2 2A + r ,-【樓新】T 三内角AC 成等荒数列* fU 刑m 二卜心12於 Xim 下匕二JJ巾两用和的正切公式tA Clan + lan 彳 「 川 「--- 2 ------ 二> tan — + tan — + tail — lan — - J5.AC 2 2 22I - tan tan2 2 井析JS 口的结构，韋程结构的特虬 通过升農.障次第乎段.为便用公成刨过条n ・这 峽皿隻换的“技叭加的:伙川宀心曲”+丁亠sin- - - l ~cosa t 这样町劭用f 氛T/fi^AiKP W ，从匚倒坨)利傣次〈从龙到右》 2 2 (H 5] L LHE sin la 4- sin 2a coscr — cos la ；1(<7已{0*巴))，求 sints? tana2【解祈】[!1 sin' 2a +sin 2ffcos6f - cos2or 二 \ 得4sin'(7cos' ct + 2sinacos' a -{\ + cos2(7) = 0:.4sin' ff cas ? a + 2sin crcos 2 a - 2cos a = 0:.2€OS " a(2sin ? a + sin a -1) = 0即 2cos'-IKsinrif + D = 0 Var e (0,) /. cos QTH O, sina -I A 2sin cr -1 = 0 sin<7 = — atana =— 2 b 3冷数学解忧铺2 sin a 1 鼻[；in a urn fli 亿b 均不曲岑时.利用gimv+/?cos x =+b~書inpr+p ）（其中卩对埔助翩Fl 满足 ti , b[ff!l 6 J }7 0 < a < /? < —,sin a + cos a = fl + cos/? = b 则(* (A ) a < h (B) a > b (C) ab <\ 【解析】J2sin(flf +^)t 6 = >/2sin(^ + ^)■ ■八 a 兀 托 XJT 7T .0<a<//<-=>—<a? + — </f + — < —4 4 4 4 2乂p 二耳in x 在(0，扌}上是Jfi 函数"二n 二JI 書i 门(【列7】匕他融&曲3上5“应錦蛙坡妙 血伏品«比坡稣 旳小 2 cos 2a = cos 2/?(证明】：丫 sin 8、sen er.cos B 成等差数列…：2sin a - sin^+cos 0 . 将上式平方薊 4sii>'« = l + 2sin6?cosfl ............................................. ①乂sin 夕鳥in /Leo%/?成竽比数列":.sin ; fl = sin^cos^ .................. •② ②代入⑴咼4sin‘ ff -2sin ' fi = \:* 2(1 -cos2cr)- (1 -cos 20) = 1^2cos2cr - cos 2#cosfl ； = .sinp = * "・)来柞变换也晁常用方眩*V<r' + A : J/ + k'兰）＜ *二J5两口（#屮壬）4 4 冷数学解忧铺【例9】化简cos2p+ cos2(a + 0)-2cosacos/Jcos(a + 0)【解析】令x = cos2 /?+ cos?(ar 十0) - 2 cos a cos p cos(tr + 0) y = sin /? 4- sin2(cz + 0)-2 sin a sin 0 cos(tr + p) 则片+ y = 2 - 2 cos(a + /?)cos(<z _ fl) ...................................................................i)x - y= cos 2/? + cos2(a -F/?)-2COS;(CT+ “) = cos2/? - I Wx-y =cos2/i-l......................... ②①十②得：2x= 2-2cus(a + /?)cos(a -/?) + cos2/?-l=I - cas 2a一cos 2/? + cas 2/J = l - cas 2iz = 2sin2 <7 x = sin2 tz ,即原sin2a【例卩】化简cos' fl + cos2(a + 0)- 2cosczcos p cos(a + 0)［解析】令X = CDS2 0 + COS2(fif + /?)- 2cos Of cos/3cos(f? +0) y = sin P +siir((7 + /?)- 2sinasin //cos(a + /?)则y - 2- 2cos(a + /?}cos(cr 一0) ......................................... Dx-y = CM2FL+ cos 2(a + p}-2cos2(a + 0) = cos 2^ -1即x-y -cos2/?- 1 ................. * .. ②①十②得：2工=2 - 2cos(a + /?)cos(cz 一0)+ cos 20 - 1二 1 -cos2a -cos2/? + cos2/? = l -cos2a= 2sin2erAx= sin2a f即原式= sin3a。
三角恒等变换的技巧
三角恒等变换的技巧三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是求三角函数极值与最值的一个过渡步骤，有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角的一个三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变换，有关三角恒等变换常考的题型及解析总结如下，供大家参考．技巧一：式的变换-→两式相加减，平方相加减例1已知11cos sin ,sin cos 23αβαβ+=-=求sin()αβ-的值. 解：两式平方得，221cos 2cos sin sin 4ααββ++= 两式相加得，1322(cos sin sin cos )36αβαβ+-= 化简得，59sin()72βα-=-，即59sin()72αβ-= 【方法评析】式的变换包括：（1）tan(α±β)公式的变用；（2）齐次式；（3） “1”的运用（1±sin α, 1±cos α凑完全平方）；（4）两式相加减，平方相加减；（5）一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）．技巧二：角的变换→已知角与未知角的转化例2已知7sin()2425παα-==，求sin α及tan()3πα+． 解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即57cos sin =-αα ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得，故51sin cos -=+αα ② 由①和②式得53sin =α，54cos -=α，于是3tan 4α=-故3tan()3πα-++=== 【方法评析】（1）本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含α）进行转换得到；（2）在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．技巧三：合一变换---辅助角公式例3设关于x的方程sin 0x x a ++=在(0,2)π内有相异二解βσ和.求a 的取值范围.解:∵1sin 2(sin )2sin()23x x x x x π=+=+，∴方程化为sin()32a x π+=-.∵方程sin 0x x a ++=在(0,2)π内有相异二解,∴sin()sin 332x ππ+≠=. 又sin()13x π+≠± (和1±时仅有一解),∴122a a <≠且-,即2a a <≠且∴ a的取值范围是(2,(3,2)--. 【方法评析】要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0,2)π这一条件. 例4 若cos 2sin αα+=求tan α的值.解： 方法一：(“1”的运用)将已知式两端平方得方法二：(合一变换)()αϕ+=1tan 2ϕ=， 再由()sin 1αϕ+=-知,()22k k παϕπ+=-∈Z ，所以22k παπϕ=--， 所以sin cos 2tan tan 2tan 222sin cos 2k πϕππϕαπϕϕπϕϕ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--=--=== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭方法三：(式的变换)令sin 2cos t αα-=，和已知式平方相加得255t =+，故0t =，即sin 2cos 0αα-=，故tan 2α=．方法四：(与单位圆结合)我们可以认为点()cos ,sin M αα在直线2x y +=而点M 又在单位圆221x y +=上，解方程组可得5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而tan 2y x α==．这个解法和用方程组22cos 2sin sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩求解实质上是一致的．方法评析：本题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常见的“已知()1sin cos ,0,5βββπ+=∈，求tan β的值（人教A 版必修4第三章复习题B 组最后一题第一问）”之类的题目,背景是熟悉的,但要解决这个问题还需要学生具有相当的知识迁移能力．有关三角恒等变换的一般解题思路为“五遇六想”，即：遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角.。
三角函数恒等变形技巧
三角函数恒等变形技巧三角函数是数学中非常重要的一部分，它们在几何、解析和应用数学中都广泛应用。
在处理三角函数方程和恒等式时，有时我们需要利用一些技巧来进行变形，以便简化方程的形式或证明两个三角函数的恒等式。
本文将介绍一些常用的三角函数恒等变形技巧。
1.利用和差角公式：和差角公式是三角函数的基本变形公式之一、它可以将一个三角函数形式的和（差）角转化为一个含有同一函数的乘积形式。
例如，对于正弦函数来说，和差角公式可以表示为：sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B。
2.利用倍角公式：倍角公式是将角度加倍后的三角函数值与原始三角函数值之间的关系。
例如，对于正弦函数来说，倍角公式可以表示为：sin(2A) = 2sin A cos A。
3.利用半角公式：半角公式是将角度减半后的三角函数值与原始三角函数值之间的关系。
例如，对于正弦函数来说，半角公式可以表示为：sin(A/2) = ±√[(1 - cos A) / 2]。
4.利用倒角公式：倒角公式是将角度的倒数与三角函数的倒数之间的关系。
例如，对于正弦函数来说，倒角公式可以表示为：sin(A) / sin(π - A) = csc A。
5.利用平方公式：平方公式是将一个三角函数平方与其他三角函数之间的关系。
例如，对于正弦函数来说，平方公式可以表示为：sin² A + cos² A = 16.利用互余公式：互余公式是将一个三角函数与其余补角的关系。
例如，对于正弦函数来说，互余公式可以表示为：sin A = cos (π/2 - A)。
7.利用对称性：三角函数具有一些对称性质，如正弦函数和余弦函数的奇偶性、正切函数和余切函数的周期性等。
利用这些对称性质可以简化一些三角函数的表达式。
以上是一些常见的三角函数恒等变形技巧，它们在解决三角函数方程和证明三角函数恒等式时非常有用。
当遇到复杂的三角函数问题时，我们可以尝试结合这些技巧进行变形，以便更好地理解和求解问题。
三角恒等变换的常用技巧
三角恒等变换的常用技巧三角恒等变换是一组用于变换三角函数的等式，它们可以用于简化和证明三角函数的性质和恒等关系。
在解决三角函数方程和化简复杂的三角函数表达式时，常常需要运用三角恒等变换的技巧。
以下是一些常用的三角恒等变换技巧。
1.用基本恒等变换开始：角度的和差公式（sin(A±B)和cos(A±B)的展开式）二倍角公式（sin(2A)和cos(2A)的展开式）半角公式（sin(A/2)和cos(A/2)的展开式）余角公式（sin(π/2 - A)和cos(π/2 - A)的展开式）2.用倒数恒等变换：sin(A) = 1/csc(A)cos(A) = 1/sec(A)tan(A) = 1/cot(A)3.用商数恒等变换：tan(A) = sin(A)/cos(A)cot(A) = cos(A)/sin(A)sec(A) = 1/cos(A)csc(A) = 1/sin(A)4.用三角函数的倒数、商数和平方的恒等变换：sin(A)^2 + cos(A)^2 = 1tan(A)^2 + 1 = sec(A)^2cot(A)^2 + 1 = csc(A)^25.用平均根式恒等变换：sin(A)sin(B) = (cos(A - B) - cos(A + B))/2cos(A)cos(B) = (cos(A - B) + cos(A + B))/2sin(A)cos(B) = (sin(A + B) + sin(A - B))/2sin(A)sin(B)sin(C) = (cos(A) - cos(B+C) + cos(B)cos(C))/26.用和差化积公式：sin(A)sin(B) = (cos(A - B) - cos(A + B))/2cos(A)cos(B) = (cos(A + B) + cos(A - B))/2sin(A)cos(B) = (sin(A + B) + sin(A - B))/2sin(A)sin(B)sin(C) = (cos(A) - cos(B+C) + cos(B)cos(C))/27.用倍角公式：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A) tan(2A) = 2tan(A)/(1 - tan^2(A))cot(2A) = (cot^2(A) - 1)/2cot(A)sec(2A) = (sec^2(A) + 1)/(2sec(A))csc(2A) = (csc^2(A) + 1)/(2csc(A))8.用半角公式：sin(A/2) = √((1 - cos(A))/2)cos(A/2) = √((1 + cos(A))/2)tan(A/2) = sin(A)/(1 + cos(A))cot(A/2) = (1 - cos(A))/sin(A)sec(A/2)= √((1 + sec(A))/2)csc(A/2) = √((1 + csc(A))/2)以上便是一些常用的三角恒等变换的技巧。
利用三角恒等变换简化计算
利用三角恒等变换简化计算三角恒等变换是数学中常用的一种技巧，可以将繁琐的三角函数计算简化为更简洁的形式。
在这篇文章中，我们将介绍几个常见的三角恒等变换，并演示如何利用它们来简化计算。
一、正弦和余弦的平方和差恒等式首先，让我们来看看正弦和余弦的平方和差恒等式：1. 正弦和差恒等式：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)利用这个恒等式，我们可以将正弦和差的计算简化为正弦和余弦的乘积。
2. 余弦和差恒等式：cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)同样地，利用这个恒等式，我们可以将余弦和差的计算简化为正弦和余弦的乘积。
二、正弦和余弦的倍角恒等式接下来，让我们来看看正弦和余弦的倍角恒等式：1. 正弦的倍角恒等式：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)利用这个恒等式，我们可以将正弦的倍角计算简化为正弦和余弦的乘积。
2. 余弦的倍角恒等式：cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A)同样地，利用这个恒等式，我们可以将余弦的倍角计算简化为正弦和余弦的平方。
三、正切的和差恒等式正切的和差恒等式是用来简化正切函数的和差计算的：tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B)) / (1 ∓ tan(A)tan(B))利用这个恒等式，我们可以将正切的和差计算简化为正切的乘积和商。
要注意的是，当tan(A)tan(B)的值等于1时，分母为0，此时恒等式不成立。
四、利用三角恒等变换简化计算的示例现在，让我们通过几个实际的例子来演示如何利用三角恒等变换简化计算。
例1：简化sin(75°)的计算我们知道sin(75°) = sin(45° + 30°)。
根据正弦和差恒等式，sin(45° + 30°) = sin(45°)cos(30°) +cos(45°)sin(30°)。
三角恒等变换的类型和技巧
ʏ岳立红三角恒等变换是三角运算㊁化简㊁求值及证明过程中必不可少的手段,理解和掌握基本的三角恒等变换技巧并能灵活运用是提高解决三角问题能力的必要条件㊂下面谈谈三角恒等变换的基本类型和技巧㊂一㊁角的变换在三角的化简㊁求值及证明过程中,条件与结论中往往出现比较多的相异角,此时可根据角之间的和差倍半关系及互余㊁互补关系,寻找已知角与待求角之间的关系,整体使用三角公式求解㊂例1 已知π4<α<3π4,0<β<π4,c o s π4-α =35,s i n 3π4+β=513,求s i n (α+β)的值㊂解:寻求关系α+β=3π4+βπ4-απ2,利用诱导公式及两角差公式求解㊂由已知可得-π2<π4-α<0,所以s i n π4-α=-45㊂因为3π4<3π4+β<π,所以c o s 3π4+β=-1213㊂所以s i n (α+β)=-c o s 3π4+β - π4-α =-c o s 3π4+β ㊃c o s π4-α -s i n 3π4+β ㊃s i nπ4-α =1213ˑ35-513ˑ-45 =5665㊂评注:一般情况下角的变换有三类:和差变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)-(α-β),α-β=(α-γ)-(β-γ)等;倍半变换,如α与2α,α2与α4等;互余与互补变换,如π3+α与π6-α,2π3+α与π3+α等㊂二㊁常值代换在三角求值过程中,有时可打破常规,用式子代替常数,特别是 1 的代换,常常能出奇制胜,事半功倍㊂例2 已知t a n α+π4=2,求12s i n αc o s α+c o s 2α的值㊂解:由已知可得t a n α的值,考虑到弦化切,利用c o s 2α+s i n 2α代换分子中的1求解㊂由已知得1+t a n α1-t a n α=2,所以t a n α=13㊂原式=c o s 2α+s i n 2α2c o s αs i n α+c o s 2α=1+t a n 2α2t a n α+1=1+1322ˑ13+1=23㊂评注:通常情况下,常值代换可分为两类:公式类,如1=c o s 2α+s i n 2α=s e c 2α-t a n 2α=c s c 2α-c o t 2α等;特殊值类,如22=s i n 45ʎ=c o s 45ʎ,1=t a n 45ʎ=c o t 45ʎ等㊂三㊁降次或升次变换一般地,如果三角式子中出现较高次数或根式时,可借助降次或升次进行变换㊂例3 化简:c o s 8α-s i n 8α+14s i n2α㊃s i n 4α-12+1212+c o s 8α2,αɪ-π2,0㊂解:利用降次,统一角求解㊂原式=(s i n 4α+c o s 4α)(c o s 4α-s i n 4α)+14s i n 2αs i n 4α-12+12c o s 4α=[(c o s 2α+s i n 2α)2-2c o s 2αs i n 2α]㊃(c o s 2α+s i n 2α)㊃(c o s 2α-s i n 2α)+14s i n2αs i n4α-c o s 2α=7知识结构与拓展高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.1-12s i n 22αco s 2α+14s i n2α㊃2s i n2α㊃c o s 2α-c o s 2α=c o s 2α-12s i n 22αc o s 2α+12s i n 22αc o s 2α-c o s 2α=0㊂评注:升降次的方法一般有两类:利用倍角㊁半角公式,如c o s 2α=1+c o s 2α2,s i n 2α=1-c o s 2α2,c o s αs i n α=12s i n 2α及平方关系式;利用乘法公式及因式分解,如c o s 8αʃs i n 8α,c o s 6αʃs i n 6α,c o s 4αʃs i n 4α等㊂四㊁结构变换在三角求值㊁化简及证明过程中,常需要对所给的条件及结论进行适当的结构调整,从而使条件便于运用或结论更容易求出㊂例4 已知s i n α+s i n β+s i n γ=0,c o s α+c o s β+c o s γ=0,求c o s (α-β)的值㊂解:对条件式子的结构进行适当变形,产生结论式子所需要的结构,以便于求解㊂由已知得s i n α+s i n β=-s i n γ,c o s α+c o s β=-c o s γ,两式两边分别平方再相加得2+2(c o s αc o s β+s i n αs i n β)=1,所以c o s (α-β)=-12㊂评注:三角函数式结构变化的典型方法有:利用s i n θʃc o s θ与s i n θc o s θ的转化关系;利用辅助角公式,即a s i n θ+b c o s θ=a 2+b 2si n (θ+φ),其中φ由t a n φ=ba确定;利用万能公式;利用三角函数的积化和差与和差化积等㊂五㊁公式的变形应用在三角函数的求值㊁化简及证明过程中,有时使用公式的变形形式,往往会产生事半功倍的效果㊂例5 求(1+t a n 21ʎ)(1+t a n 20ʎ)(1+t a n 25ʎ)(1+t a n 24ʎ)的值㊂解:注意到21ʎ+24ʎ=20ʎ+25ʎ=45ʎ,故可两两组合求解㊂(1+t a n21ʎ)(1+t a n24ʎ)=t a n21ʎ+t a n 24ʎ+t a n21ʎt a n24ʎ+1,由t a n45ʎ=t a n (21ʎ+24ʎ)=t a n 21ʎ+t a n 24ʎ1-t a n 21ʎt a n 24ʎ=1,可得1-t a n21ʎt a n24ʎ=t a n21ʎ+t a n24ʎ,即t a n 21ʎ+t a n24ʎt a n21ʎ+t a n24ʎ=1,所以(1+t a n21ʎ)(1+t a n24ʎ)=2㊂同理可得,(1+t a n20ʎ)(1+t a n25ʎ)=2㊂故(1+t a n 21ʎ)(1+t a n20ʎ)(1+t a n25ʎ)(1+t a n 24ʎ)=4㊂评注:三角公式的典型变形形式有:t a n (α+β)=t a n α+t a n β+t a n (α+β)t a n α㊃t a n β,c o s α=s i n 2α2s i n α,2s i n 2α=1-c o s2α,2c o s 2α=1+c o s 2α等㊂六㊁消元变换消元法是基本的数学方法之一,在三角变换中常常使用它消去某一个角或某一个三角函数,从而使问题得到简化㊂例6 设α,β,γ满足0<α<β<γ<2π,若对任意x ɪR ,c o s (x +α)+c o s (x +β)+c o s (x +γ)=0恒成立,则γ-β=()㊂A .2π3 B .4π3C .2π3或4π3D .无法确定解:三个变量满足同一个关系,依据目标意识和特殊化处理,构建方程寻求切入求解㊂令x =-α得c o s (γ-α)=-1-c o s (β-α),令x =-β得c o s (γ-β)=-1-c o s (β-α),所以c o s (γ-α)=c o s (γ-β)㊂令x =-γ得c o s (γ-β)+c o s (γ-α)=-1,所以c o s (γ-α)=-12㊂因为0<α<β<γ<2π,所以γ-α=2π3或4π3,γ-β=4π3或2π3㊂注意到0<α<β<γ<2π,所以γ-α=4π3,γ-β=2π3㊂故γ-β=2π3㊂应选A ㊂评注:对任意实数x 恒成立的等式,实质是关于x 的方程有无数解的问题,可利用特殊赋值㊁降元构建方程组求解,但要注意隐含条件的挖掘和应用㊂作者单位:甘肃省兰州市第三十四中学(责任编辑 郭正华)8知识结构与拓展 高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
进行三角恒等变换的几个技巧
很多三角函数题目侧重于考查三角恒等变换的技巧.进行三角恒等变换的关键是选择合适的公式或变形式，将三角函数式中的角、函数名称、幂等进行灵活的转化，从而顺利化简三角函数式，求出三角函数式的值.下面，笔者介绍几个进行三角恒等变换的技巧，以供大家参考.一、拆角与补角有些三角函数式中的角不相同，就需要运用拆角与补角的技巧，将题目中的角进行转化.在转化角时，要先联系已知条件和所求目标，将角进行拆分、拼凑，再灵活运用诱导公式、二倍角公式、两角的和差公式等进行变换.例1.已知cos (α+π4)=35，π2≤α≤3π2，求cos (2α+π4)的值.解：由于π2≤α≤3π2，所以3π4≤α+π4≤7π4，因为cos (α+π4)=35＞0，可知3π2≤α+π4≤7π4，因此sin (α+π4)=-45，所以sin 2(α+π4)=2sin (α+π4)cos (α+π4)=-2425，cos 2(α+π4)=2cos 2(α+π4)-1=-725，因此cos (2α+π4)=cos[2(α+π4)-π4]=cos 2(α+π4)cos π4+sin 2(α+π4)sin π4=.观察题目中的各个角，可以发现：已知角α+π4与所要求的角2α+π4之间相差一个α，可得2(α+π4)-π4=2α+π4，用二倍角公式和诱导公式求出sin 2(α+π4)和cos 2(α+π4)的值，最后根据余弦的两角和公式，即可求出cos(2α+π4)的值.二、降幂与升幂当三角函数式中出现高次或者次数不一的式子时，就要运用降幂与升幂的技巧来解题.常用到的公式有cos 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α、tan 2α=2tan α1-tan 2α、sin 2α+cos 2α=1.例2.证明cos 2α+cos 2(x +π3)+cos 2(x -π3)的值与x 的取值无关.证明：cos 2α+cos 2(x +π3)+cos 2(x -π3)=1+cos 2x 2+1+cos(2x +23π)2+1+cos(2x -23π)2=32+12[cos 2x +cos(2x +23π)cos(2x -2π3)]=32+12(cos 2x -12cos 2x -2x -12cos 2x +2x )=32.该式与x 无关，命题得证.该三角函数式较为复杂，cos 2α、cos 2(x +π3)、cos 2(x -π3)均为二次式，且各个角不相等，需先利用余弦函数的二倍角公式降幂，将其转化为一次式，然后再进行化简，这样运算起来就会容易很多.三、弦切互化当函数式中出现多种不同的三角函数名称时，就需要通过弦切互化，将不同名函数化为同名函数.常用的办法是利用tan α=sin αcos α或sin 2α+cos 2α=1将切化弦或将弦化切.例3.已知tan α=2，求4sin α-2cos α5cos α+3sin α的值.解：因为tan α=2，所以cos α≠0，所以4sin α-2cos α5cos α+3sin α=4sin α-2cos αcos α5cos α+3sin αcos α=4tan α-25+2tan α=611.解答本题，需挖掘题目中的隐含信息cos α≠0，将所求目标式的分子、分母同时除以cos α，利用tan α=sin αcos α，使所求目标式中的函数名称统一为正切函数，最后将已知值代入，求得目标函数式的值.无论是对函数名称、角，还是对幂进行转化，都需要灵活运用三角函数中的基本公式及其变形式，有时也要学会逆用公式.在进行三角恒等变换时，要注意仔细观察三角函数式，选择恰当的三角恒等变换技巧.（作者单位：江苏省射阳县高级中学）解题宝典40。
三角恒等变换公式的灵活使用
三角恒等变换 知识重点1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。
2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。
3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=。
（2）辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，sin cos ϕϕ==其中。
4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
点评：（1）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如()()()()()()()()。
，，，βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβααββαββα+=+++--+=++=-+=+++tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1tan cos sin sin cos cos题型2：二倍角公式例3．化简下列各式：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+-ππαα2232cos 21212121，， （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-απαπαα4cos 4cot 2sin cos 222。
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n g例说常用三角恒等变换技巧【摘要】解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。
本文结合三角函数问题中常见的“角的差异、函数名的差异和运算种类的差异”等特点，从“角变换技巧”、“名变换技巧”、“常数变换技巧”、“边角互化技巧”、“升降幂变换技巧”、“公式变用技巧”、“辅助角变换技巧”、“换元变换技巧”、“万能置换技巧”九个方面解读三角恒等变换的常用技巧。
【关键词】 三角 公式 恒等变换 技巧解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。
三角恒等变换的公式很多，主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“和、差、倍、半角公式”、“辅助角公式（化一公式）”、“万能置换公式”等，这些公式间一般都存在三种差异，如角的差异、函数名的差异和运算种类的差异，只有灵活有序地整合使用这些公式，消除差异、化异为同，才能得心应手地解决问题，这是三角问题的特点，也是三角问题“难得高分”的根本所在。
本文从九个方面解读三角恒等变换的常用技巧。
1 “角变换”技巧角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。
例1 已知，，求的值。
【分析】考虑到“已知角”是，而“未知角”是和，注意到，可直接运用相关公式求出和。
【简解】因为，所以，又因为，所以，，从而，. 原式=.【反思】（1）若先计算出，则在计算时，要注意符号的选取；（2）本题的另一种自然的思路是，从已知出发，用和角公式展开，结合“平方关系”通过解二元二次方程组求出和. 但很繁琐，易出现计算错误；（3）本题也可由，运用诱导公式和倍角公式求出。
例2 已知，其中，求证：【分析】所给条件中出现的“已知角”是与，涉及的“未知角”是与，将三个角比较分析发现，，把“未知”角转化为两个“已知”角的代数和，然后用相关公式求解。
【简证】【反思】（1）以上除了用到了关键的角变换技巧以外，还用到了“弦化切”技巧.；（2）本题也可由已知直接求出与的关系，但与目标相差甚远，一是函数名称不同，二是角不同，所以较为困难；（3）善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，是有效进行角变换的前提。
常用的角变换关系还有：，，，，，等.2 “名变换”技巧名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题常常有明显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是“切弦互化”，但实际上，诱导公式、倍角公式和万能置换公式，平方关系也能进行名变换。
例3已知向量，，求的定义域和值域；【分析】易知，这是一个“切弦共存”且“单、倍角共在”的式子，因此既要通过“切化弦”减少函数名称，又要用倍角公式来统一角，使函数式更简明。
【简解】由得，，所以，.的定义域是，值域是.【反思】本题也可以利用万能置换公式先进行“弦化切”，变形后再进行“切化弦”求解.例4 已知都是锐角，且，求的值。
【分析】已知条件中，等式的右边是分式，符合和差解的正切公式特征，可考虑“弦化切”，另一方面，若是“切化弦”，则很快出现待求式，与目标很近.【简解1】显然时，，因为都是锐角，所以，所以，.【简解2】由得，，设，则，所以，，，即.【反思】简解1说明当分子分母都是同角的正弦、余弦的齐次式时，很容易“弦化切”；简解2很巧妙，其基本思想是整体换元后利用平方关系消元.3 “常数变换”技巧在三角恒等变形过程中，有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式，以利于完善式子结构，运用相关公式求解，如，，等.例5 （1）求证: ；（2）化简：.【分析】第（1）小题运用和把分子、分母都变成齐次式后进行转化；第（2）小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟悉的的形式，有利于系统研究函数的图象与性质.【简解】（1）左边=.（2）原式=【反思】“1”的变换应用是很多的，如万能置换公式的推导，实际上是利用了把整式化成分式后进行的，又如例4中，也是利用了，把分式变成了整式.4 “边角互化”技巧解三角形时，边角交互呈现，用正、余弦定理把复杂的边角关系或统一成边，运用代数运算方法求解，或统一成角，运用三角变换求解.例6 在中，分别为角的对边，且2a sin A = (2b+c sin B + (2c+b sin C，（1）求角的大小；（2）若，证明是等腰三角形.【分析】本题的条件集三角形的六元素于一身，看似复杂，但等式是关于三边长和三个角的正弦的齐次式，所以可用正弦定理把“角”化为边或把边化为“角”来求解。
【简解】（1）（角化边）由正弦定理得，，整理得，，所以，因为，所以.（2）法一：（边化角）由已知和正弦定理得，即，从而，又，所以.所以，是等腰三角形.法二：由（1）知，，代入得，，所以，，所以，，是等腰三角形.【反思】第（1）小题“化角为边”后，把已知条件转化为边的二次齐次式，符合余弦定理的结构，第（2）小题的法一之所以“化边为角”，是因为不易把条件化为边的关系，而把条件转化为边的关系却很容易；法二的基本思路是消元后统一角，再利用“化一公式”简化方程.5 “升降幂变换”技巧当所给条件出现根式时，常用升幂公式去根号，当所给条件出现正、余弦的平方时，常用“降幂”技巧，常见的公式有：，，，可以看出，从左至右是“幂升角变半”，而从右至左则是“幂降角变倍”.例7 化简：【分析】含有根号，需“升幂”去根号.【简解】原式==因为，所以，，所以，原式.例8 求函数，的最大值与最小值．【分析】函数式中第一项是正弦的平方，若“降幂”后“角变倍”，与第二项的角一致..【简解】．又，，即，．【反思】以上两例表明，“升降幂技巧”仅仅是解题过程中的一个关键步骤，只有有效地整合各种技巧与方法才能顺利地解题。
如例7中用到了常数“变换技巧”，例8中用到了“辅助角”变换技巧.6 “公式变用”技巧几乎所有公式都能变形用或逆向用，如，，等，实际上，“常数变换”技巧与“升降幂”技巧等也是一种公式变用或逆用技巧.例9 求值：（1）；（2）。
【分析】第（1）小题中，除是特殊角外，其他角成倍角，于是考虑使用倍角公式；第（2）小题中两角差为，而是两角差的正切值，所以与两角差的正切公式有关。
【简解】（1）原式＝。
（2）原式＝＝。
【反思】第（1）小题的一般性结论是：.例10 求证：。
【分析】左边通项是两角正切的积，且两角差为定值，而在正切的和、差角公式中出现了两角正切的积，可尝试.【简证】因为，所以，左边==【反思】这里通过“角变换”和公式变形得出裂项公式，然后累加消项，这也是数列求和的一种常见技巧.7 “辅助角变换”技巧通常把叫做辅助角公式（也叫化一公式），其作用是把同角的正弦、余弦的代数和化为的形式，来研究其图象与性质. 尤其是当，，时，要熟记其变换式，如，等.例11 求函数的值域.【分析】初看此题，似无从下手，若把分式变成整式，就出现了，然后利用三角函数的有界性建立关于y的不等式.【简解】由得，所以，从而，其中辅助角由，决定.所以，由解得.【反思】（1）解答本题的方法很多，比较多用的方法是类比斜率计算公式，把问题转化为直线斜率问题，也有用万能置换后，转化为分式函数求解的.（2）辅助角公式的形成，也可以看成是“常数变换”的结果.事实上，=，可设，再进行“切化弦”变换，就得到了“化一公式”..8 “换元变换”技巧有些函数，式子里同时出现（或）与，这时，可设（或），则（或），把三角函数转化为熟悉的函数来求解.例12 求函数的值域．【分析】同时出现与时，可用.【简解】设，因为，，所以，又由得，， 所以，，由得，.【反思】（1）本题若不换元，则需要用到“添、凑、配”技巧，而怎样进行“添、凑、配”，则是因题而异，无明显特征.；（2）引进“新元”后，一定要说明“新元”的取值范围；（3）平方关系的变式应用广泛，如在解答命题“已知，是方程的两根，求的值．”时，关键步骤是在运用韦达定理后，利用变式消元后求解。
例13 求证：。
【分析】所证等式中每个分式与两角差的正切相似，而所证等式与三角形中的结论相似，从而尝试换元，利用三角知识证代数问题。
【简解】设，因为，所以，，变形整理得所以，即，【反思】本题解法也体现了类比思维的作用，若用常规方法处理，则运算十分繁琐.9 “万能置换”技巧“万能置换”技巧，实际从属于“名变换”技巧，其特征是用半角的正切值表示原角的正弦、余弦与正切.例14 讨论函数的最大值与最小值.【分析】本题可通过求导或利用基本不等式求解. 但类比函数式的结构与万能置换公式相同，于是问题得到转化.【简解】设，则，当且仅当也就是时，，当且仅当也就是时，.【反思】（1）当问题条件中出现单角的正切与倍角三角函数问题时，可考虑使用万能置换公式；（2）运用万能置换技巧既可以把代数问题转化成三角函数问题，也可以把三角问题转化为代数问题，如例11中，可设，则，即，然后可用判别式法求解.最后还要指出，这里介绍的所谓技巧只是解决问题时关键步骤的一种特定的做法，每一个问题的解决常常伴随着几种技巧的综合运用，所以，只有准确理解三角公式的内在关系及其基本功能，善于发现问题中角、名、结构的差异，准确地选择转换策略，化异为同，才能准确有效地运用三角恒等变换的常用技巧解决问题.【参考文献】1．汪江松著《高中数学解题方法与技巧》，湖北教育出版社2．解恩泽著《数学思想方法》，山东教育出版社3．罗增儒著《数学解题学引论》，陕西师范大学出版社4．张泉著《世纪金榜》（高中全程得以方略），延边大学出版社。