序列的平稳性及其检验
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3. DFGLS检验
在经验研究中，尽管DF检验的DF 统计量是应用最广泛 的单位根检验，但是它的检验功效偏低，尤其是在小样本 条件下，数据的生成过程为高度自相关时，检验的功效非 常不理想。另外，DF检验和ADF检验对于含有时间趋势的 退势平稳序列的检验是失效的。因此，为了改进DF和ADF 检验的效能，Elliott，Rothenberg和Stock (1996) 基于GLS 方法的退势DF检验，简称为DFGLS检验，其基本原理如下：
上面描述的单位根检验只有当序列为AR(1)时才有效。 如果序列存在高阶滞后相关，这就违背了扰动项是独立同 分布的假设。在这种情况下，可以使用增广的DF检验方 法（augmented Dickey-Fuller test ）来检验含有高阶序列 相关的序列的单位根。
6
2. ADF检验
考虑 yt 存在p阶序列相关，用p阶自回归过程来修正，
下判断高阶自相关序列是否存在单位根。
9
但是，在进行ADF检验时，必须注意以下两个实际 问题：
（1）必须为回归定义合理的滞后阶数，通常采用 AIC准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数。在实际 应用中，还需要兼顾其他的因素，如系统的稳定性、模 型的拟合优度等。
（2）可以选择常数和线性时间趋势，选择哪种形 式很重要，因为检验显著性水平的 t 统计量在原假设下 的渐近分布依赖于关于这些项的定义。
1
1. DF检验 为说Leabharlann BaiduDF检验的使用，先考虑3种形式的回归模型
yt yt1 ut
(5.3.5)
yt yt1 a ut
(5.3.6)
yt yt1 a t ut
(5.3.7)
其中 a 是常数， t 是线性趋势函数，ut ～ i.i.d. N (0, 2) 。
2
(1) 如果 -1< <1，则 yt 平稳（或趋势平稳）。 (2) 如果 =1，yt 序列是非平稳序列。(5.3.4)式可写成：
yt yt1 ut
(5.3.8)
yt yt1 a ut
(5.3.9)
yt yt1 a t ut
其中： = -1。
(5.3.10)
4
其中： = -1，所以原假设和备选假设可以改写为
HH10
: :
0 0
可以通过最小二乘法得到 的估计值，并对其进行
显著性检验的方法，构造检验显著性水平的 t 统计量。
不存在单位根。序列 yt可能还包含常数项和时间趋势项。
判断 的估计值 ˆ 是接受原假设或者接受备选假设，进而
判断一个高阶自相关序列AR(p) 过程是否存在单位根。
类似于DF检验，Mackinnon通过模拟也得出在不同回
归模型及不同样本容量下检验 ˆ 不同显著性水平的 t 统计
量的临界值。这使我们能够很方便的在设定的显著性水平
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首先定义序列 yt 的拟差分序列如下：
d ( yt
|
a)
yt
yt
ayt1
if t 1 if t 1
并且构造如下回归方程：
t = 1, 2, , T
d( yt | a) d(xt | a) δ(a) ut t = 1, 2, , T (5.3.14)
p
yt yt1 iyti ut i 1
(5.3.11)
p
yt yt1 a iyti ut i 1
(5.3.12)
p
yt yt1 a t iyti ut i 1
(5.3.13)
8
扩展定义将检验
HH10
: :
0 0
(5.3.14)
原假设为：至少存在一个单位根；备选假设为：序列
10
① 若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择 含有常数，意味着所检验的序列的均值不为0；若原序列 中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数，意味着所 检验的序列具有线性趋势，一个简单易行的办法是画出检 验序列的曲线图，通过图形观察原序列是否在一个偏离 0 的位置随机变动或具有一个线性趋势，进而决定是否在检 验时添加常数项。
第九章 序列的平稳性及其检验
检查序列平稳性的标准方法是单位根检验。有6种单 位 根 检 验 方 法 ： ADF 检 验 、 DFGLS 检 验 、 PP 检 验 、 KPSS检验、ERS检验和NP检验，本节将介绍DF检验、 ADF检验。
ADF检验和PP检验方法出现的比较早，在实际应用 中较为常见，但是，由于这2种方法均需要对被检验序列 作可能包含常数项和趋势变量项的假设，因此，应用起 来带有一定的不便；其它几种方法克服了前2种方法带来 的不便，在剔除原序列趋势的基础上，构造统计量检验 序列是否存在单位根，应用起来较为方便。
yt a 1 yt1 2 yt2 p yt p ut
在上式两端减去 yt-1，通过添项和减项的方法，可得
其中
p1
Δ yt a yt1 i Δ yti ut i1
p
i 1 i 1
p
i j j i 1
7
ADF检验方法通过在回归方程右边加入因变量 yt 的滞 后差分项来控制高阶序列相关
yt yt1 yt ut
显然 yt 的差分序列是平稳的。
(3) 如果 的绝对值大于1，序列发散，且其差分序列
是非平稳的。
yt ( 1) yt ut
3
因此，判断一个序列是否平稳，可以通过检验 是
否严格小于1来实现。也就是说：
原假设H0： =1，备选假设H1： < 1
从方程两边同时减去 yt-1 得，
② 若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择 含有常数和趋势，意味着所检验的序列具有线性趋势；若 原序列中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数和趋 势，意味着所检验的序列具有二次趋势。同样，决定是否 在检验中添加时间趋势项，也可以通过画出原序列的曲线 图来观察。如果图形中大致显示了被检验序列的波动趋势 呈非线性变化，那么便可以添加时间趋势项。
但是，Dickey-Fuller研究了这个t 统计量在原假设下 已经不再服从 t 分布，它依赖于回归的形式(是否引进了 常数项和趋势项) 和样本长度T 。
5
Mackinnon进行了大规模的模拟，给出了不同回归模 型、不同样本数以及不同显著性水平下的临界值。这样， 就可以根据需要，选择适当的显著性水平，通过 t 统计量 来决定是否接受或拒绝原假设。这一检验被称为DickeyFuller检验(DF检验)。
3. DFGLS检验
在经验研究中，尽管DF检验的DF 统计量是应用最广泛 的单位根检验，但是它的检验功效偏低，尤其是在小样本 条件下，数据的生成过程为高度自相关时，检验的功效非 常不理想。另外，DF检验和ADF检验对于含有时间趋势的 退势平稳序列的检验是失效的。因此，为了改进DF和ADF 检验的效能，Elliott，Rothenberg和Stock (1996) 基于GLS 方法的退势DF检验，简称为DFGLS检验，其基本原理如下：
上面描述的单位根检验只有当序列为AR(1)时才有效。 如果序列存在高阶滞后相关，这就违背了扰动项是独立同 分布的假设。在这种情况下，可以使用增广的DF检验方 法（augmented Dickey-Fuller test ）来检验含有高阶序列 相关的序列的单位根。
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2. ADF检验
考虑 yt 存在p阶序列相关，用p阶自回归过程来修正，
下判断高阶自相关序列是否存在单位根。
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但是，在进行ADF检验时，必须注意以下两个实际 问题：
（1）必须为回归定义合理的滞后阶数，通常采用 AIC准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数。在实际 应用中，还需要兼顾其他的因素，如系统的稳定性、模 型的拟合优度等。
（2）可以选择常数和线性时间趋势，选择哪种形 式很重要，因为检验显著性水平的 t 统计量在原假设下 的渐近分布依赖于关于这些项的定义。
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1. DF检验 为说Leabharlann BaiduDF检验的使用，先考虑3种形式的回归模型
yt yt1 ut
(5.3.5)
yt yt1 a ut
(5.3.6)
yt yt1 a t ut
(5.3.7)
其中 a 是常数， t 是线性趋势函数，ut ～ i.i.d. N (0, 2) 。
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(1) 如果 -1< <1，则 yt 平稳（或趋势平稳）。 (2) 如果 =1，yt 序列是非平稳序列。(5.3.4)式可写成：
yt yt1 ut
(5.3.8)
yt yt1 a ut
(5.3.9)
yt yt1 a t ut
其中： = -1。
(5.3.10)
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其中： = -1，所以原假设和备选假设可以改写为
HH10
: :
0 0
可以通过最小二乘法得到 的估计值，并对其进行
显著性检验的方法，构造检验显著性水平的 t 统计量。
不存在单位根。序列 yt可能还包含常数项和时间趋势项。
判断 的估计值 ˆ 是接受原假设或者接受备选假设，进而
判断一个高阶自相关序列AR(p) 过程是否存在单位根。
类似于DF检验，Mackinnon通过模拟也得出在不同回
归模型及不同样本容量下检验 ˆ 不同显著性水平的 t 统计
量的临界值。这使我们能够很方便的在设定的显著性水平
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首先定义序列 yt 的拟差分序列如下：
d ( yt
|
a)
yt
yt
ayt1
if t 1 if t 1
并且构造如下回归方程：
t = 1, 2, , T
d( yt | a) d(xt | a) δ(a) ut t = 1, 2, , T (5.3.14)
p
yt yt1 iyti ut i 1
(5.3.11)
p
yt yt1 a iyti ut i 1
(5.3.12)
p
yt yt1 a t iyti ut i 1
(5.3.13)
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扩展定义将检验
HH10
: :
0 0
(5.3.14)
原假设为：至少存在一个单位根；备选假设为：序列
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① 若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择 含有常数，意味着所检验的序列的均值不为0；若原序列 中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数，意味着所 检验的序列具有线性趋势，一个简单易行的办法是画出检 验序列的曲线图，通过图形观察原序列是否在一个偏离 0 的位置随机变动或具有一个线性趋势，进而决定是否在检 验时添加常数项。
第九章 序列的平稳性及其检验
检查序列平稳性的标准方法是单位根检验。有6种单 位 根 检 验 方 法 ： ADF 检 验 、 DFGLS 检 验 、 PP 检 验 、 KPSS检验、ERS检验和NP检验，本节将介绍DF检验、 ADF检验。
ADF检验和PP检验方法出现的比较早，在实际应用 中较为常见，但是，由于这2种方法均需要对被检验序列 作可能包含常数项和趋势变量项的假设，因此，应用起 来带有一定的不便；其它几种方法克服了前2种方法带来 的不便，在剔除原序列趋势的基础上，构造统计量检验 序列是否存在单位根，应用起来较为方便。
yt a 1 yt1 2 yt2 p yt p ut
在上式两端减去 yt-1，通过添项和减项的方法，可得
其中
p1
Δ yt a yt1 i Δ yti ut i1
p
i 1 i 1
p
i j j i 1
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ADF检验方法通过在回归方程右边加入因变量 yt 的滞 后差分项来控制高阶序列相关
yt yt1 yt ut
显然 yt 的差分序列是平稳的。
(3) 如果 的绝对值大于1，序列发散，且其差分序列
是非平稳的。
yt ( 1) yt ut
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因此，判断一个序列是否平稳，可以通过检验 是
否严格小于1来实现。也就是说：
原假设H0： =1，备选假设H1： < 1
从方程两边同时减去 yt-1 得，
② 若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择 含有常数和趋势，意味着所检验的序列具有线性趋势；若 原序列中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数和趋 势，意味着所检验的序列具有二次趋势。同样，决定是否 在检验中添加时间趋势项，也可以通过画出原序列的曲线 图来观察。如果图形中大致显示了被检验序列的波动趋势 呈非线性变化，那么便可以添加时间趋势项。
但是，Dickey-Fuller研究了这个t 统计量在原假设下 已经不再服从 t 分布，它依赖于回归的形式(是否引进了 常数项和趋势项) 和样本长度T 。
5
Mackinnon进行了大规模的模拟，给出了不同回归模 型、不同样本数以及不同显著性水平下的临界值。这样， 就可以根据需要，选择适当的显著性水平，通过 t 统计量 来决定是否接受或拒绝原假设。这一检验被称为DickeyFuller检验(DF检验)。