几何直线型专题

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八年级数学暑假作业辅导第五讲直线型几何综合题试题

P DCBA 第五讲直线型几何综合题一、学习指引 1.知识要点：三角形及四边形的根本性质，特殊三角形、特殊四边形、全等三角形的断定和性质，轴对称、平移、旋转、相似等变换的性质，一次函数图象和性质。

2.方法指导：〔1〕解决动态几何型问题的策略：化“动〞为“静〞——利用运动中特殊点的位置将图形分类；“静〞中求“动〞——针对各类图形，分别解决动态问题。

〔2〕解决图形分割问题的思维方式是：从详细问题出发→观察猜测→实验操作→形成方案→严密计算与论证；图形分割问题的解题策略：比拟原图形与分割后图形在边、角、面积等方面的变化是解决图形分割问题的着手点；〔3〕新概念性几何题解题策略：正确理解问题中的“新概念〞，然后抓住 “新概念〞的特征，结合相关的数学知识综合解决问题。

二、典型例题例1．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=1，动点P 从点B 出发，沿道路B→C→D 作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是〔〕例2．如图，在矩形ABCD中，BC =20cm ，P，Q ，M ，N分别从A ，B ，C ，D 出发沿AD ，BC ，CB ，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停顿．在一样时间是内，假设BQ =x cm(0x )，那么AP =2x cm ，CM =3x cm ，DN =x 2cm ．〔1〕当x 为何值时，以PQ ，MN 为两边,以矩形的边〔AD 或者BC 〕的一局部为第三边构成一个三角形；〔2〕当x 为何值时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形；〔3〕以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?假如能，求x 的值；假如不能，请说明理由．例3．三张形状、大小完全一样的平行四边形透明纸片，分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合〔如图1、图2、图3〕．分别在图1、图2、图3中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两局部，并把这两局部重新拼成符合以下要求的几何图形．要求如下：〔1〕在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形；〔2〕裁成的两局部在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙；〔3〕所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合．ABDCPQ MN例4．如图，两个边长分别为4和3的正方形，请用线段将它们进展适当分割，剪拼成一个大正方形，请在以下图中分别画出两种不同的拼法，并将剪拼前、后的一样区域用一样数字序号标出．例5．如图，在梯形OABC 中，O 为直角坐标系的原点，A 、B 、C 的坐标分别为(14，0)，(14，3)，(4，3)．点P 、Q 同时从原点出发，分别做匀速运动，其中点P 沿OA 向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿OC 、CB 向终点B 运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停顿运动．图1矩形〔非正方形〕图2正方形图3有一个角是135°的三角形〔例3图〕拼法二备用图二备用图一拼法一〔1〕设从出发起运动了x秒，假如点Q的速度为每秒2个单位，试分别写出这时点Q在OC 上或者CB上时的坐标(用含x的代数式表示，不要求写出x的取值范围)；〔2〕设从出发起运动了x秒，假如点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半．①试用含x的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度；②试问：这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两局部？假如有可能，求出相应的x的值和P、Q的坐标，如不可能，请说明理由．例6．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10cm，CD=4cm，等腰直角三角形PMN的斜边MN=10cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右挪动，直到点N与点B重合为止。

小学数学几何直线型面积的计算完整版题型训练+详细答案

直线形面积的计算例题讲解：板块一：基础题型：1．如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AD=12（厘米），AB=8（厘米），BC= 15（厘米），且三角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等，阴影三角形DEF的面积是多少平方厘米？解析：四边形ABCD的面积是（12+15）×8÷2=108（平方厘米），108÷3=36（平方厘米）。

CF=36×2÷8=9(厘米)，FB=15-9=6(厘米)，AE=36×2÷12=6（厘米），EB=8-6=2（厘米）。

阴影三角形DEF的面积是36-2×6÷2=30（平方厘米）2．一块长方形的土地被分割成4个小长方形，其中三块的面积如图所示（单位：平方米），剩下一块的面积应该是多少平方米？解析：40×15÷30=20（平方米）3．如图，在三角形ABC中，BC是DC的3倍，AC是EC的3倍，三角形DEC的面积是3平方厘米．请问：三角形ABC的面积是多少平方厘米？解析：三角形ADC的面积是3×3=9（平方厘米），三角形ABC的面积是3×9=27（平方厘米）4．如图，E是BC上靠近C的三等分点，且ED是AD的2倍，三角形ABC的面积为36平方厘水．三角形BDE的面积是多少平方厘米？解析：三角形BAE的面积是36÷3×2=24（平方厘米），三角形BDE的面积24÷3×2=16（平方厘米）5．如图所示，已知三角形BEC的面积等于20平方厘米，E是AB边上靠近日点的四等分点，三角形AED的面积是多少平方厘米？平行四边形DECF的面积是多少平方厘米？解析：（1）三角形AED的面积是20×3=60（平方厘米）（2）三角形DEC的面积是20+60=80（平方厘米），三角形DEC的面积是平行四边形DECF 的面积的一半，也是平行四边形ABCD的面积的一半，所以平行四边形DECF的面积是80×2=160（平方厘米）6．如图，已知平行四边形ABCD的面积为36，三角形AOD的面积为8．三角形BOC的面积为多少？解析：根据一半模型可知，三角形AOD的面积和三角形BOC的面积是平行四边形ABCD 的面积的一半，所以三角形BOC的面积是36÷2-8=107．如图，长方形ABCD的面积是96平方厘米，E是AD边上靠近D点的三等分点，F是CD上靠近C点的四等分点．阴影部分的面积是多少平方厘米？解析：链接BD ，可知三角形ABD 的面积和三角形BDC 都是96÷2=48（平方厘米），三角形ABE 的面积是48×32=32（平方厘米）。

中考数学几何最值问题题型梳理

中考数学几何最值问题题型梳理专题1 单线段最值之单动点型例题．如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．【解析】ABCD 为矩形，AB DC ∴= 又=PAB PCD S S∴点P 到AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段AD 垂直平分线MN 上，连接AC ，交MN 与点P ，此时PC PD +的值最小，且PC PD AC +=====巩固1．如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（）ABC ．1D ．2【解析】连接OC ，作PE ⊥AB 于E ，MH ⊥AB 于H ，QF ⊥AB 于F ，如图，∵△ACB 为到等腰直角三角形，∴AC =BC=2AB，∠A =∠B =45°， ∵O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，OC 平分∠ACB ，OC =OA =OB =1，∴∠OCB =45°， ∵∠POQ =90°，∠COA =90°，∴∠AOP =∠COQ ，在Rt △AOP 和△COQ 中，A OCQ AO COAOP COQ ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴Rt △AOP ≌△COQ ，∴AP =CQ ，易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形，∴PE=2AP=2CQ ，QF2BQ ， ∴PE +QF=2，CQ +BQ，=2BC=2∵M 点为PQ 的中点， ∴MH 为梯形PEFQ 的中位线，∴MH =12，PE +QF ，=12，即点M 到AB 的距离为12，而CO =1，∴点M 的运动路线为△ABC 的中位线，∴当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长=12AB =1，选C ，巩固2．如图，在平面内，线段AB =6，P 为线段AB 上的动点，三角形纸片CDE 的边CD 所在的直线与线段AB 垂直相交于点P ，且满足PC =P A ．若点P 沿AB 方向从点A 运动到点B ，则点E 运动的路径长为______，【解析】如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为EE′，由平移的性质可知AC′=EE′，在Rt，ABC′中，易知AB=BC′=6，∠ABC′=90°，，EE′=AC巩固3．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．【解析】（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：∵∵ABC是等边三角形，∵AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，由旋转的性质得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，∵∠ACD=∠BCE，∵∵ACD≌∵BCE（S A S），∵AD=BE．（2）如图2，过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．∵∵ACD≌∵BCE，∵∠CBE=∠A=60°，∵点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，∵∠ACB=∠CBE=60°，∵AC∥EF，又∵AF⊥BE，∵AF⊥AC，在Rt∵ACF中，∵CF∵CD=CF=.例题．如图，点D 在半圆O 上，半径5OB =，4=AD ，点C 在弧BD 上移动，连接AC ，作DH AC ⊥，垂足为H ，连接BH ，点C 在移动的过程中，BH 的最小值是______．【解析】如图，设AD 的中点为点E ，则114222EA ED AD ===⨯= 由题意得，点H 的运动轨迹在以点E 为圆心，EA 为半径的圆上由点与圆的位置关系得：连接BE ，与圆E 交于点H ，此时BH 取得最小值，2EH = 连接BDAB 为半圆O 的直径，90ADB ∴∠=︒BD ∴===BE ∴===2BH BE EH ∴=-=巩固1．如图，长方形ABCD 中，AB =6，BC =4，在长方形的内部以CD 边为斜边任意作Rt ∵CDE ，连接AE ，则线段AE 长的最小值是_____．【解析】如图，点E '在以点F 为圆心，DF 为半径的圆上运动，当A ,E ,F 三点共线时，AE 值最小，DF =12×6=3，在长方形ABCD 中，AD =BC =4，由勾股定理得：AF ． ∵EF =12CD =12×6=3，∵AE =AF ﹣EF =5﹣3=2，即线段AE 长的最小值是2．巩固3．如图，Rt ABC △中，AB BC ⊥，6AB =，4BC =，P 是ABC △内部的一个动点，且满足90PAB PBA ︒∠+∠=，则线段CP 长的最小值为________.【解析】∵∠P AB +∠PBA =90°，∵∠APB =90°，∵点P 在以AB 为直径的弧上（P 在∵ABC 内），设以AB 为直径的圆心为点O ，如图，接OC ，交∵O 于点P ，此时的PC 最短∵AB =6，∵OB =3，∵BC =4，∵5OC ==，∵PC =5-3=2巩固4．如图，在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，4AC =，3BC =，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】如图，设∵O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP BC ⊥垂足为P 交∵O 于F ，此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP OF -，∵4AC =，3BC =，∵5AB =，∵90OPB ︒∠=，∵OP AC ∥∵点O 是AB 的三等分点，∵210533OB =⨯=，23OP OB AC AB ==，∵83OP =， ∵∵O 与AC 相切于点D ，∵OD AC ⊥，∵OD BC ∥，∵13OD OA BC AB ==，∵1OD =， ∵MN 最小值为85133OP OF -=-=，如图，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长， MN 最大值1013133=+=，513+=633,∵MN 长的最大值与最小值的和是6．选B ．巩固5．如下图所示，在矩形纸片ABCD 中，2AB =，3AD =，点E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将AEF 沿EF 所在直线翻折，得到'A EF △，则'A C 的长的最小值是( )A ．2B ．3C 1D 1【解析】以点E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接CE ，当点'A 在线段CE 上时，A'C 的长取最小值，如图所示，根据折叠可知：112A'E AE AB ===．在Rt BCE △中，112BE AB ==，3BC =，90B ∠=，CE ∴，A'C ∴的最小值1CE A'E =-=．选D ．技法1：借助直角三角形斜边上的中线例题1．如图，在∵ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（）A ．6B ．C ．D ．【解析】如图，取CA 的中点D ，连接OD 、BD ，则OD =CD =AC =×4=2，由勾股定理得，BD ==2，当O 、D 、B 三点共线时点B 到原点的距离最大，所以，点B 到原点的最大距离是2+2．技法2：借助三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边例题2．如图，已知等边三角形ABC 边长为A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C 在第四象限，连接OC ，则线段OC 长的最小值是（）A 1B ．3C ．3D 【解析】如图所示：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，连接OE ，∵∵ABC 是等边三角形，∵CE =AC ×si n 60°=3=，AE =BE ，∵∠AOB =90°，∵EO 12=AB =∵EC -OE ≥OC ， ∵当点C ，O ，E 在一条直线上，此时OC 最短，故OC 的最小值为：OC ＝CE ﹣EO ＝3B ．巩固1．如图，∠MON =90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB =4，BC =2.运动过程中点D 到点O 的最大距离是______．【解析】如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD ≤OE +DE ，∵当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，∵AB =4，BC =2，∵OE =AE =12AB =2，DE=∵OD 的最大值为，巩固2．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，N 是''A B 的中点，连接MN ，若4,60BC ABC =∠=︒，则线段MN 的最大值为（）A ．4B ．8C ．D ．6【解析】连接CN ，∵将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到''A B C ∆，∵''=90A CB ACB ∠=∠︒，''460'B C BC A B C ABC ==∠=∠=︒，，∵'30A ∠=︒，''8A B =，∵N 是''A B 的中点，∵1''42CN A B ==， ∵在△CMN 中，MN ＜CM +CN ，当且仅当M ，C ，N 三点共线时，MN =CM +CN =6， ∵线段MN 的最大值为6．选D ．技法3：借助构建全等图形例题3．如图，在∵ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝5，点P 是AC 上的动点，连接BP ，以BP 为边作等边∵BPQ ，连接CQ ，则点P 在运动过程中，线段CQ 长度的最小值是______．【解析】如图，取AB 的中点E ，连接CE ，PE ．∵∠ACB =90°，∠A =30°，∵∠CBE =60°， ∵BE =AE ，∵CE =BE =AE ，∵∵BCE 是等边三角形，∵BC =BE ，∵∠PBQ =∠CBE =60°， ∵∠QBC =∠PBE ，∵QB =PB ，CB =EB ，∵∵QBC ≌∵PBE （S A S ），∵QC =PE ，∵当EP ⊥AC 时，QC 的值最小，在Rt ∵AEP 中，∵AE =52，∠A =30°，∵PE =12AE =54，∵CQ 的最小值为54．巩固4．如图，边长为12的等边三角形ABC 中，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连结MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连结HN ．则在点M 运动过程中，线段HN 长度的最小值是（）A ．6B ．3C ．2D ．1．5【解析】如图，取BC 的中点G ，连接M G ，∵旋转角为60°，∵∠MBH +∠HBN =60°，又∵∠MBH +∠MBC =∠ABC =60°，∵∠HBN =∠G BM ，∵CH 是等边∵ABC 的对称轴，∵HB =12AB ，∵HB =B G ，又∵MB 旋转到BN ，∵BM =BN ，在∵MB G 和∵NBH 中，BG BH MBG NBH MB NB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵MB G ≌∵NBH （S A S ），∵M G=NH ，根据垂线段最短，当M G ⊥CH 时，M G 最短，即HN 最短，此时∠BCH =12×60°=30°，C G=12AB =12×12=6，∵M G=12C G=12×6=3，∵HN =3；选B ．技法4：借助中位线例题4．如图，在等腰直角∆ABC 中，斜边AB 的长度为 8，以AC 为直径作圆，点P 为半圆上的动点，连接BP ，取BP 的中点M ，则CM 的最小值为（）A． B．CD．【解析】连接AP 、CP ，分别取AB 、BC 的中点E 、F ，连接EF 、EM 和FM ，，EM 、FM 和EF 分别是，ABP 、，CBP 和，ABC 的中位线，EM ∥AP ，FM ∥CP ，EF ∥AC ，EF =12AC ，，∠EFC =180°－∠ACB =90° ，AC 为直径，，∠APC =90°，即AP ⊥CP ，，EM ⊥MF ，即∠EMF =90°，点M 的运动轨迹为以EF 为直径的半圆上，取EF 的中点O ，连接OC ，点O即为半圆的圆心，当O 、M 、C 共线时，CM 最小，如图所示，CM 最小为CM 1的长，，等腰直角∆ABC 中，斜边 AB 的长度为 8，，AC =BC AB =，EF =12AC =FC =12BC =，OM 1=OF =12EF根据勾股定理可得OC =，CM 1=OC －OM 1即CM ，选C ．巩固5．如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（）A ．2B ．2C ．52D ．3 【解析】∵2119y x =-，∵当0y =时，21019x =-，解得：=3x ±， ∵A 点与B 点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)，即：AO =BO =3，∵O 点为AB 的中点，又∵圆心C 坐标为(0，4)，∵OC =4，∵BC 长度5=，∵O 点为AB 的中点，E 点为AD 的中点，∵OE 为∵ABD 的中位线，即：OE =12BD ， ∵D 点是圆上的动点，由图可知，BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，∵BD 的最小值为4，∵OE =12BD =2，即OE 的最小值为2，选A . 专题2 单线段最值之双动点型技法1借助等量代换实现转化例题1．如图，ABC ∆中，90B ︒∠=，4AB =，3BC =，点D 是AC 上的任意一点，过点D 作DE AB ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，连接EF ，则EF 的最小值是_________．【解析】连接BD ，90,B DE AB DF BC ︒∠=⊥⊥，∴四边形BEDF 是矩形。

直线过定点问题

直线过定点问题解题技巧：证明动直线在一定的条件下过定点是解析几何中的一类重要题型，这类问题解题一般有两种解法.法 1：设直线，求解参数，一般的解题步骤为:(1)设出直线的方程 y = kx + b 或 x = my + t ;(2)通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，找到k 和b 、m 和t 的关系，或者解出b ,t 的值;(3)根据(2)中得出的结果，找出直线过的定点法 2：求两点，猜定点，证向量共线.一般的解题步骤为:(1)通过题于条件，求出直线上的两个点 A , B 的坐标(含参)；(2)取两个具体的参数值，求出对应的直线 AB ，并求出它们的交点 P ，该点即为直线过的定点；(3)证明 PA 与 PB 共线，得出直线 AB 过定点 P .注:上面的两个解法中，解法 2 的计算量通常要大一些，故一般首选解法 1.当解法 1 失效或处理起来较为复杂时再考虑解法 2.典型例题例 1、已知椭圆 C : 12222=+b y a x （a >b >0）的半焦距为c 离心率为21 ，左顶点 A 到直线x = ca 2的距离为6 ，点 P ,Q 是椭圆上的两个动点. （1）求椭圆C 的方程;（2）若直线 AP ⊥ AQ ，求证:直线 PQ 过定点 R ，并求出 R 点的坐标例 2、已知一动圆经过点 M (2,0)，且在 y 轴上截得的弦长为4 ，设该动圆圆心的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程;（2）过点 N (1,0) 任意作两条互相垂直的直线 l 1 ,l 2 ，分别交曲线C 于不同的两点A , B 和 D , E ，设线段 AB , DE 的中点分别为 P ,Q①求证:直线 PQ 过定点 R ，并求出定点 R 的坐标; ②求｜PQ ｜的最小值例 3、椭圆 C : 12222=+by a x （a >b >0）的上顶点为 B ，右焦点为 F ，点 B , F 都在直线3x + y - 3= 0 上.（1）求椭圆C 的标准方程;（2）M , N 为椭圆C 上的两点，且直线 BM , BN 的斜率之积为 41. 证明:直线MN 过定点，并求定点坐标.专题练习1、设椭圆E : 12222=+by a x （a >b >0）的右焦点到直线 x - y + 22 = 0的距离为3，且过点 (-1,-26） . （1）求 E 的方程;（2）设椭圆 E 的左顶点是 A ，直线l : x - my - t = 0 与椭圆 E 交于不同的两点M , N (均不与 A 重合)，且以MN 为直径的圆过点 A .试判断直线l 是否过定点，若是，求出定点坐标；若否，说明理由.2、抛物线C : y 2= 2 px ( p > 0) 上一点 M (1, y 0 )( y 0 > 0)满足｜MF ｜ = 2 ，其中 F 为抛物线的焦点. （1）求抛物线C 的方程（2）设直线MA 和MB 分别与抛物线C 交于不同于M 点的 A , B 两点，若MA ⊥ MB ，证明:直线 AB 过定点，并求此定点的坐标 .3、已知直线的方程为 y = x + 2 ，点 P 是抛物线 y 2= 4x 上距离直线l 最近的点，点 A 是抛物线上异于点 P 的点，直线 AP 与直线l 交于点Q ，过点Q 与 x 轴平行的直线与抛物线交于点 B . （1）求P 点的坐标; （2）证明:直线 A B 恒过定点，并求这个定点坐标。

2021年小学奥数几何专题——复杂直线型面积-13

进而可得，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积 (平方厘米)．
方法二：连接CF，那么CF平行BD，
所以，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积 (平方厘米)．
9．13.5
【解析】
解法一：寻找可利用的条件，连接、，如下图：
可得：、、，而
即；
而，．
所以阴影部分的面积是：
3．28
【解析】
本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．
连接、．
∵ ，
∴ ．
同理，，，
∴ (平方厘米)．
4．48
【解析】
把另外三个三等分点标出之后，正方形的个边就都被分成了相等的三段．把和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了个形状各不相同的三角形．这个三角形的底边分别是在正方形的个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了个三角形，右边三角形的面积和第第个三角形相等：中间三角形的面积和第第个三角形相等；左边三角形的面积和第个第个三角形相等．
17．如右图，过平行四边形内的一点作边的平行线、，若的面积为8平方分米，求平行四边形的面积比平行四边形的面积大多少平方分米？
18．如右图，正方形的面积是，正三角形的面积是，求阴影的面积．
19．如右图，正方形的面积是，正三角形的面积是，求阴影的面积．
参考答案
1．13/6
如右图所示，连接、、，则，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得，，所以阴影部分的面积就等于正方形的面积，即为平方厘米．
6．8
【解析】
这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接 (见右上图)，可以看出，三角形与三角形的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形是三角形与三角形的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形与三角形面积仍然相等．根据等量代换，求三角形的面积等于求三角形的面积，等于．

五年级几何直线型面积(四)学生版

知识要点燕尾定理：在ABC ∆中，D 、E 、F 是三边上的任意三点，AF 、BE 、CD 相交于点O 。

那么有：OFEDCBA:::AOB AOC BFO CFO S S S S BF CF ==V V V V :::AOC BOC AOD BOD S S S S AD BD ==V V V V :::BOC AOB COE AOE S S S S CE AE ==V V V V上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.直线型面积（四）三角形的燕尾定理【例1】如图所示，三角形ABC 的面积是30平方厘米，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，BE 和AD交于点F ，那么ABF ∆的面积是多少平方厘米？AB DCEF【拓展】如图（同例题），条件不变，求四边形DCEF 的面积？【例2】如图，在三角形ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AC 的三等分点，2AE EC =。

三角形ABC 的面积是60平方厘米，那么三角形ABF 的面积是多少平方厘米？ABCDEF【例3】如图，在三角形ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AC 的三等分点，2AE EC =。

三角形ABC 的面积是150平方厘米，那么三角形AFC 的面积是多少平方厘米？ABCDEF【例4】如图，在三角形ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AC 的三等分点，2AE EC =。

三角形ABC 的面积是60平方厘米，那么三角形EFC 的面积是多少平方厘米？ABCDEF【例5】如右图，已知BD=DC ，EC=2AE ，三角形ABC 的面积是36，求阴影部分面积。

【例6】如图，在三角形ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AC 的三等分点，2AE EC =。

小学奥数几何专题--复杂直线型面积-3(六年级)竞赛测试.doc

小学奥数几何专题--复杂直线型面积-3（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．【答案】8【解析】．【题文】如图，有三个正方形的顶点、、恰好在同一条直线上，其中正方形的边长为10厘米，求阴影部分的面积．【答案】100【解析】评卷人得分对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．如右图所示，连接、、，则，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得，，所以阴影部分的面积就等于正方形的面积，即为平方厘米．【题文】图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是厘米，求三角形的面积．【答案】8【解析】这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接(见右上图)，可以看出，三角形与三角形的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形是三角形与三角形的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形与三角形面积仍然相等．根据等量代换，求三角形的面积等于求三角形的面积，等于．【题文】如图，与均为正方形，三角形的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为多少．【答案】6【解析】如图，连接，比较与，由于，，即与的底与高分别相等，所以与的面积相等，那么阴影部分面积与的面积相等，为6平方厘米．【题文】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【答案】50【解析】方法一：三角形BEF的面积，梯形EFDC的面积三角形BEF的面积，而四边形CEFH是它们的公共部分，所以，三角形DHF的面积三角形BCH的面积，进而可得，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积(平方厘米)．方法二：连接CF，那么CF平行BD ，所以，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积(平方厘米)．【题文】已知正方形边长为10，正方形边长为6，求阴影部分的面积．【答案】20【解析】如果注意到为一个正方形的对角线(或者说一个等腰直角三角形的斜边)，那么容易想到与是平行的．所以可以连接、，如上图．由于与平行，所以的面积与的面积相等．而的面积为，所以的面积也为20．【题文】图中，和是两个正方形，和相交于，已知等于的三分之一，三角形的面积等于6平方厘米，求五边形的面积．【答案】49.5【解析】连接、，由于与平行，可知四边形构成一个梯形．由于面积为6平方厘米，且等于的三分之一，所以等于的，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知的面积为12平方厘米，的面积为6平方厘米，的面积为3平方厘米．那么正方形的面积为平方厘米，所以其边长为6厘米．又的面积为平方厘米，所以(厘米)，即正方形的边长为3厘米．那么，五边形的面积为：(平方厘米)．【题文】如下图，、分别是梯形的下底和腰上的点，，并且甲、乙、丙个三角形面积相等．已知梯形的面积是平方厘米．求图中阴影部分的面积．【答案】12.8【解析】因为乙、丙两个三角形面积相等，底．所以到的距离与到的距离相等，即与平行，四边形是平行四边形，阴影部分的面积平行四边形的面积的，所以阴影部分的面积乙的面积．设甲、乙、丙的面积分别为份，则阴影面积为份，梯形的面积为份，从而阴影部分的面积(平方厘米)．【题文】如图，已知长方形的面积，三角形的面积是，三角形的面积是，那么三角形的面积是多少？【答案】6.5【解析】方法一：连接对角线．∵是长方形∴∴，∴，∴∴．方法二：连接，由图知，所以，又由，恰好是面积的一半，所以是的中点，因此，所以【题文】如图，在平行四边形中，，．求阴影面积与空白面积的比．【答案】1：2【解析】方法一：因为，，所以，．因为，所以，所以，．同理可得，，．因为，所以空白部分的面积，所以阴影部分的面积是．，所以阴影面积与空白面积的比是．【题文】如图所示，三角形中，是边的中点，是边上的一点，且，为与的交点．若的面积为平方厘米，的面积为平方厘米．且是平方厘米，那么三角形的面积是多少平方厘米．【答案】10【解析】，，所以(平方厘米)．所以(平方厘米)．【题文】如图，在梯形中，，，且的面积比的面积小10平方厘米．梯形的面积是多少平方厘米？【答案】115【解析】根据题意可知，则，，而平方厘米，所以，则平方厘米．又，所以平方厘米．所以(平方厘米)．【题文】如图，是梯形的一条对角线，线段与平行，与相交于点．已知三角形的面积比三角形的面积大平方米，并且．求梯形的面积．【答案】28【解析】连接．根据差不变原理可知三角形的面积比三角形大4平方米，而三角形与三角形面积相等，因此也与三角形面积相等，从而三角形的面积比三角形的大4平方米．但，所以三角形的面积是三角形的，从而三角形的面积是(平方米)，梯形的面积为：(平方米)．【题文】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是，，．那么图中阴影部分的面积是多少？【答案】97【解析】三角形的面积三角形的面积长方形面积阴影部分面积；又因为三角形的面积三角形的面积长方形面积，所以可得：阴影部分面积．【题文】图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？【答案】【解析】如下图，为了方便说明，将某些点标上字母．有为直角，而，所以也为直角.而.与同高，所以面积比为底的比，及===，设的面积为“8”，则的面积为“5”．是由折叠而成，所以有、面积相等，是由、、组成，所以=“8”+“5”+“5”=“18”对应为，所以“1”份对应为，那么△ADE的面积为=平方厘米．即阴影部分的面积为平方厘米．【题文】如图，长方形的面积是2平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】平方厘米【解析】如下图，连接，、的面积相等，设为平方厘米;、的面积相等，设为平方厘米，那么的面积为平方厘米．，．所以有．比较②、①式，②式左边比①式左边多，②式右边比①式右边大0.5，有，即,．而阴影部分面积为平方厘米．【题文】如图，三角形田地中有两条小路和，交叉处为，张大伯常走这两条小路，他知道,且．则两块地和的面积比是多少【答案】1：2【解析】方法一：连接．设的面积为1，的面积，则根据题上说给出的条件，由得，即的面积为、;又有，、，而；得，所以．方法二：连接，设(份)，则,设则有，解得，所以方法三：过点作∥交于点，由相似得,又因为，所以，所以两块田地ACF和CFB的面积比【题文】如图，，，被分成个面积相等的小三角形，那么|【答案】24【解析】由题意可知，，所以，；又，所以，同样分析可得，所以．【题文】如图，在角的两边上分别有、、及、、六个点，并且、、、、的面积都等于1，则的面积等于．【答案】【解析】根据题意可知，，所以，．【题文】、分别为直角梯形两边上的点，且、、彼此平行，若，，，．求阴影部分的面积．【答案】25【解析】连接、．由于、、彼此平行，所以四边形是梯形，且与该梯形的两个底平行，那么三角形与、三角形与的面积分别相等，所以三角形的面积与三角形的面积相等．而三角形的面积根据已知条件很容易求出来．由于为直角梯形，且，，，，所以三角形的面积的面积为：．所以三角形的面积为25．【题文】已知为等边三角形，面积为400，、、分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形)【答案】43【解析】因为、、分别为三边的中点，所以、、是三角形的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形和三角形的面积都等于三角形的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有，即，所以．又，所以．【题文】如图，已知，，，，线段将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，求三角形的面积．【答案】40【解析】连接，．根据题意可知，；；所以，，，，，于是：；；可得．故三角形的面积是40．【题文】如图，点、、在线段上，已知厘米，厘米，厘米，厘米，将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是平方厘米，上边部分面积是平方厘米，则三角形的面积是多少平方厘米？【答案】128【解析】连接设的面积是,由于所以的面积是、的面积是由于上半部分的面积是平方厘米所以的面积是()平方厘米，因为下半部分的面积是平方厘米所以的面积是()平方厘米，因为是的2倍所以可以列方程为：()解得，的面积为平方厘米.【题文】如图，正方形的边长为10，四边形的面积为5，那么阴影部分的面积是多少【答案】40【解析】如图所示，设上的两个点分别为、．连接．根据面积比例模型，与的面积是相等的，那么与的面积之和，等于与的面积之和，即等于的面积．而的面积为正方形面积的一半，为．又与的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形的面积，所以阴影部分的面积为：．【题文】如图，正方形的边长为12，阴影部分的面积为60，那么四边形的面积是多少【答案】6【解析】如图所示，设上的两个点分别为、．连接．根据面积比例模型，与的面积是相等的，那么与的面积之和，等于与的面积之和，即等于的面积．而的面积为正方形面积的一半，为．又与的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形的面积，所以四边形的面积为：．【题文】如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，，，四边形的面积为多少？【答案】10【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形、和四边形的面积之和，以及三角形和的面积之和，进而求出四边形的面积．由于长方形的面积为，所以三角形的面积为，所以三角形和的面积之和为；又三角形、和四边形的面积之和为，所以四边形的面积为．另解：从整体上来看，四边形的面积三角形面积三角形面积白色部分的面积，而三角形面积三角形面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即，所以四边形的面积为．【题文】如图所示，矩形的面积为24平方厘米．三角形与三角形的面积之和为平方厘米，则四边形的面积是多少平方厘米？【答案】1.8【解析】因为三角形与三角形的面积之和是矩形的面积的一半，即12平方厘米，又三角形与三角形的面积之和为平方厘米，则三角形与三角形的面积之和是平方厘米，则四边形的面积三角形面积三角形与三角形的面积之和三角形面积(平方厘米)．【题文】如图所示，矩形的面积为36平方厘米，四边形的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】12【解析】因为三角形面积为矩形的面积的一半，即18平方厘米，三角形面积为矩形的面积的，即9平方厘米，又四边形的面积为3平方厘米，所以三角形与三角形的面积之和是平方厘米．又三角形与三角形的面积之和是矩形的面积的一半，即18平方厘米，所以阴影部分面积为(平方厘米)．【题文】如图，长方形的面积是36，是的三等分点，，则阴影部分的面积为多少？【答案】2.7【解析】如图，连接．根据蝴蝶定理，，所以；，所以．又，，所以阴影部分面积为：．【题文】如图，如果长方形的面积是平方厘米，那么四边形的面积是多少平方厘米？【答案】32.5【解析】如图，过、、、分别作长方形的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长为厘米，面积等于平方厘米．设、、、的面积之和为，四边形的面积等于，则，解得(平方厘米)．【题文】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为的正方形，则阴影部分四边形的面积是（）．【答案】48【解析】如图所示，分别过阴影四边形的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形，易知长方形的面积为平方厘米．从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的2倍，等于、、、四个长方形的面积之和，等于正方形的面积加上长方形的面积，为平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为平方厘米，那么阴影四边形的面积为平方厘米．【题文】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？【答案】68【解析】如图所示，分别过阴影四边形的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形，易知长方形的面积为平方厘米．从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的2倍，等于、、、四个长方形的面积之和，等于正方形的面积加上长方形的面积，为平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为平方厘米，那么阴影四边形的面积为平方厘米．【题文】已知正方形的边长为10，，，则？【答案】53【解析】如图，作于，于．则四边形分为4个直角三角形和中间的一个长方形，其中的4个直角三角形分别与四边形周围的4个三角形相等，所以它们的面积和相等，而中间的小长方形的面积为，所以．【题文】如图，三角形的面积是，、的长度分别为11、3．求长方形的面积．【答案】67【解析】如图，过作∥，过作∥，、交于，连接．则另解：设三角形、、的面积之和为，则正方形的面积为．从图中可以看出，三角形、、的面积之和的2倍，等于正方形的面积与长方形的面积之和，即，得，所以正方形的面积为．【题文】如图，长方形中，，．、分别是边上的两点，．那么，三角形面积的最小值是多少？【答案】717【解析】由于长方形的面积是一定的，要使三角形面积最小，就必须使、、的面积之和最大．由于、、都是直角三角形，可以分别过、作、的平行线，可构成三个矩形、和，如图所示．容易知道这三个矩形的面积之和等于、、的面积之和的2倍，而这三个矩形的面积之和又等于长方形的面积加上长方形的面积．所以为使、、的面积之和最大，只需使长方形的面积最大．长方形的面积等于其长与宽的积，而其长，宽，由题知，根据”两个数的和一定，差越小，积越大”，所以当与的差为0，即与相等时它们的积最大，此时长方形的面积也最大，所以此时三角形面积最小．当与相等时，，此时三角形的面积为：．(也可根据得到三角形的面积)【题文】是边长为12的正方形，如图所示，是内部任意一点，、，那么阴影部分的面积是（）．【答案】34【解析】（法1）特殊点法．由于是内部任意一点，不妨设点与点重合(如上中图)，那么阴影部分就是和．而的面积为，的面积为，所以阴影部分的面积为．（法2）寻找可以利用的条件，连接、、、可得右图所示：则有:同理可得：;而,即；同理：,,;所以：而；；所以阴影部分的面积是：即为：．【题文】如图所示，在四边形中，，，，分别是各边的中点，求阴影部分与四边形的面积之比．【答案】1【解析】(法1)设，，，．连接知，，，；所以；同理．于是；注意到这四个三角形重合的部分是四块阴影小三角形，没算的部分是四边形；因此四块阴影的面积和就等于四边形的面积．(法2)特殊值法(只用于填空题、选择题)，将四边形画成正方形，很容易得到结果．【题文】如图，、、、分别是四边形各边的中点，与交于点，、、及分别表示四个小四边形的面积．试比较与的大小．【答案】【解析】如图，连接、、、，则可判断出，每条边与点所构成的三角形都被分为面积相等的两部分，且每个三角形中的两部分都分属于、这两个不同的组合，所以可知．【题文】如图，四边形中，，，，已知四边形的面积等于4，则四边形的面积是多少？【答案】【解析】运用三角形面积与底和高的关系解题．连接、、、，因为，，所以，在中，，在中，，在中，，在中，．因为，所以．又因为，所以．【题文】如图，对于任意四边形，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形，求四边形的面积是四边形的几分之几？【答案】【解析】分层次来考虑：⑴如下左图，，，所以．又因为，，所以；．⑵如右上图，已知，；所以；所以，即是三等分点；同理，可知、、都是三等分点；所以再次应用⑴的结论，可知，．【题文】有正三角形，在边、、的正中间分别取点、、，在边、、上分别取点、、，使，当和、和、和的相交点分别是、、时，使．这时，三角形的面积是三角形的面积的几分之几？请写出思考过程．【答案】【解析】连接、、，显然，是正三角形将放大至如图⑵．连，由对称性知，．因此，．同理，．所以，．【题文】如图：已知在梯形中，上底是下底的，其中是边上任意一点，三角形、三角形、三角形的面积分别为、、．求三角形的面积．【答案】21【解析】如图，设上底为，下底为，三角形与三角形的高相差为．由于，所以．即．又，所以．【题文】如图，已知是梯形，∥，，，，求的面积．【答案】6【解析】本题是09年六年级试题，初看之下，是梯形这个条件似乎可以用到梯形蝴蝶定理，四边形内似乎也可以用到蝴蝶定理，然而经过试验可以发现这几个模型在这里都用不上，因为、这两个点的位置不明确．再看题目中的条件，，，这两个条件中的前一个可以根据差不变原理转化成与的面积差，则是与的面积差，两者都涉及到、以及有同一条底边的两个三角形，于是想到过、分别作梯形底边的平行线．如右图，分别过、作梯形底边的平行线，假设这两条直线之间的距离为．再过作的垂线．由于，所以，故．根据差不变原理，这个差等于与的面积之差．而与有一条公共的底边，两个三角形边上的高相差为，所以它们的面积差为，故．再看，它的面积等于是与的面积之差，这两个三角形也有一条公共的底边，边上的高也相差，所以这两个三角形的面积之差为，故．由于，所以，则，所以．【题文】如图，是一个四边形，、分别是、的中点．如果、与的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形的面积为多少．【解析】连接、、．由于是的中点，所以与的面积相等，而比的面积大1，所以比的面积大1；又由于是的中点，所以的面积与的面积相等，那么的面积比的面积大1，所以的面积为9．假设的面积为，则的面积为．根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知的面积为，的面积为．要使这两个三角形的面积为整数，可以为1，3或7．由于的面积为面积的一半，的面积为面积的一半，所以与的面积之和为四边形面积的一半，所以与的面积之和等于四边形的面积，即：，得．将、3、7分别代入检验，只有时等式成立，所以{{10l连接，，，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【题文】如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？【答案】15连接．∵∴又∵∴，∴．。

五年级几何直线型面积(二)教师版

知识要点在小学的学习中几何是一个很重要的部分，每一个几何图形都非常美妙，几何图形的美妙不仅来源于它的外形，更重要的是在几何模型上出现的那些美妙的规律，下面我们就一起来看看几个美妙的几何模型：模型一：任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：②1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．模型二：梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①2213::S S a b =；②221324::::::S S S S a b ab ab =；③ABCD S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．直线型面积（二）S 4S 3S 2S 1O D C B A _ A _ B_ C_ D_ O _b_a_S _3 _S _2 _S _1 _S _4蝴蝶定理求面积【例1】（小学奥林匹克）如图，已知梯形ABCD 的面积是45平方米，高6米，底边BC 长10米，三角形AED 的面积是5平方米。

求阴影部分的面积。

B CDE【分析】根据梯形的面积公式，4526105AD =⨯÷-=（米）。

根据梯形蝴蝶定理，:1:4AED BEC S S =V V ，所以5420S =⨯=阴影（平方米）。

【例2】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：（1）三角形BGC的面积；（2）:AG GC =？A BDG321【分析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例3】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。

小学奥数平面直线型几何专题学生版

A
A1
L1
L2
B
C
若L1 //L2，则S△ABC=S△A1BC
技巧：平行线的来源 A、平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形 B、已知平行 C、并排摆放的正方形的同方向对角线（2）等底同高
A
B
D
C
若D为BC中点，则S△ABD=S△ACD
平面直线型几何专题
（3）等高等底
A
E
by 吴哲孙雪艳
h1
h2
S阴=
1 2
S平行四边形
图（2）为内部任意一点，相等于把图（1）中两个点变为一个点，
1
S上 +S下 =S左 +下S
= 2
S平行四边形
图（3）中为平行四边形内部一平行线，
S阴=
1 2
S平行四边形
平面直线型几何专题
拓展 2：
by 吴哲孙雪艳
（1）
（2）
图（1）为平行四边形到长方形的变化
图（2） S正=S长=2S阴
图（3） S正=S长=2S阴,图（3）是图（2）的变形
（3）
2、
梯形的一半模型：
S阴=
1 2
S梯形
（取梯形腰上中点连接三角形）
证明：
A
D
E
F B
C
延长 DE 交 CB 的延长线于 F，得到 S△ADE=S△FBE，S梯形=S△CDF ,因为 E 为 AB
的中点，显然
E
也为
DF
的中点，容易得到
S阴=
1 2
1 8
36
4.5
．
所以阴影部分的面积是： S阴影 18 SEBF 18 4.5 13.5 ．
例 3：（第 6 届走美杯 5 年级决赛第 8 题）央如图， A、B、C 都是正方形边的中点，△COD 比△AOB 大 15 平方厘米。△AOB 的面积为多少平方厘米？

五年级几何直线型面积(二)学生版

求阴影部分的面积。

B CDE【例2】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：（1）三角形BGC的面积；（2）:AG GC ？A BDG321【例3】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。

那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？7667ODCBA【例4】如图，22S =，34S =，求梯形的面积．【例5】 (2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD 的AB ∥CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB V 与BOC V 的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是__________平方厘米．3525OABCD【例6】如图，梯形ABCD 的上底AD 长为3厘米，下底BC 长为9厘米。

直线型几何从特殊到一般的解题策略

直线型几何从特殊到一般的解题策略一、概述直线型几何是数学中的一个重要分支，它研究了平面内的直线、角、三角形等重要概念和性质。

在解题过程中，我们常常会遇到特殊情况和一般情况并存的情况，因此需要掌握一定的解题策略。

本文将从特殊到一般的角度，探讨直线型几何题目的解题策略。

二、特殊情况的解题思路1. 先处理特殊图形当我们遇到一道直线型几何的题目时，首先应该尝试分析题目中的特殊情况。

如果题目提到了等边三角形、等腰三角形等特殊图形，我们可以先处理这些特殊情况，通过对特殊情况的分析解决一般情况的问题，从而简化解题的复杂性。

2. 利用特殊性质进行转化直线型几何中，我们经常会遇到垂直、平行、相似等特殊性质。

当遇到这些特殊性质时，我们可以利用其对应的定理和性质，将问题转化为更简单的形式。

当遇到平行线时，可以利用同位角、内外错角等性质来简化问题，从而更容易解决。

三、一般情况的解题思路1. 建立坐标系在处理一般情况时，我们可以考虑建立坐标系，通过坐标系的运算和变换，将问题转化为代数方程的形式。

这样，我们可以通过代数方法解决一般情况下的直线型几何问题，提高解题的效率和准确性。

2. 运用角度关系在直线型几何中，我们经常会遇到角度的关系。

当处理一般情况时，我们可以考虑运用角度的关系，通过角度的计算和推导，解决直线型几何题目中的一般情况。

利用角平分线、高度定理、内角和定理等角度的关系性质，来解决直线型几何题目。

3. 利用三角函数在处理一般情况下的直线型几何问题时，我们也可以考虑利用三角函数的关系，通过三角函数的计算和转化，解决直线型几何题目中的一般情况。

通过三角函数的运算和性质，我们可以更好地理解和解决直线型几何题目中的一般情况。

四、特殊情况与一般情况的综合运用在解决直线型几何问题时，特殊情况和一般情况是相辅相成的。

我们可以通过综合运用特殊情况和一般情况的解题方法，更好地理解和解决直线型几何问题。

当我们遇到复杂的题目时，可以先考虑特殊情况，通过特殊情况的分析简化问题，再综合运用一般情况的解题方法，从而更好地解决问题。

小学奥数题库《几何》-直线型-金字塔和沙漏模型-3星题(含解析)

几何-直线型几何-金字塔和沙漏模型-3星题课程目标知识提要金字塔和沙漏模型• 金字塔模型CDCA =CECB =DEAB • 沙漏模型ABCD =AODO =BOCO精选例题金字塔和沙漏模型1. ABCD 是平行四边形，面积为72平方厘米，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，那么图中阴影局部的面积为平方厘米．【答案】48【分析】方法一：设G 、H 分别为AD 、DC 的中点，连接GH 、EF 、BD ．可得S △AED =14S 平行四边形ABCD ,对角线BD 被EF 、AC 、GH 平均分成四段，又OM ∥ EF ，所以DO:ED =24BD:34BD =2:3,OE:ED =(ED −OD ):ED =(3−2):3=1:3,所以S △AEO =13×14S 平行四边形ABCD =13×14×72=6(平方厘米),S △ADO =2×S △AEO =12(平方厘米).同理可得S △CFM =6(平方厘米),S △CDM =12(平方厘米).所以S△ABC−S△AEO−S△CFM=36−6−6=24(平方厘米),于是，阴影局部的面积为24+12+12=48(平方厘米).方法二：寻找图中的沙漏，AE:CD=AO:OC=1:2,FC:AD=CM:AM=1:2,因此O,M为AC的三等分点，S△ODM=16S平行四边形ABCD=16×72=12(平方厘米),S△AEO=14S△OCD=14×12×2=6(平方厘米),同理S△FMC=6(平方厘米),所以S阴影=72−12−6−6=48(平方厘米).2. 如下列图所示，将边长8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是平方厘米．【答案】43.2【分析】给图中标上字母，如下列图．根据沙漏模型OCOF =BCEF=812=23．所以OF=12×32+3=7.2(厘米)．S△EFO=7.2×12÷2=43.2(平方厘米)．3. 如图，△ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD=DF=FB，那么S△ADE:S四边形DEGF :S四边形FGCB=．【答案】1:3:5【分析】设S△ADE=1份，根据面积比等于相似比的平方，所以S△ADE:S△AFG=AD2:AF2=1:4，S△ADE:S△ABC=AD2:AB2=1:9，因此S△AFG=4份，S△ABC=9份，进而有S四边形DEGF =3份，S四边形FGCB=5份，所以S△ADE:S四边形DEGF :S四边形FGCB=1:3:5．4. 在下列图中，线段AE、FG将长方形ABCD分成了四块；其中两块的面积分别是2平方厘米、11平方厘米，且E是BC的中点，O是AE的中点．请问长方形ABCD的面积是平方厘米．【答案】28【分析】如下列图所示，延长AE、DC交于点H．由于E是BC的中点，由AB∥CH，有AE:EH=BE:EC=1:1，由于O是AE中点，那么AO:OH=1:3．由AF∥GH，有S△AOF:S△GOH=12:32=1:9．所以，S△GOH=2×9=18(平方厘米)，那么S△CEH=18−11=7(平方厘米)．所以，S平行四边形ABCD=4S△ABE=4S△CEH=4×7=28(平方厘米)．5. 如下列图所示，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D．张大伯常走这两条小路，他知道DF=DC，且AD=2DE．那么两块田地ACF和CFB的面积比是．【答案】1:2【分析】方法一：如下列图所示，ACF 和CFB 为同高三角形，所以面积比等于底边比AF:FB ．过F 作BC 的平行线，交AE 于G ，那么因为DF =DC ，所以三角形CED 和FGD 全等，GD =DE ．又因为AD =2DE ，所以D 和G 是AE 的三等分点，所以AF:FB =AG:GE =1:2．方法二：如下列图所示，连接BD ，设S △CED =1(份)，那么S △ACD =S △ADF =2(份)．设S △BED =x,S △BFD =y ，那么有{x +1=y 2x =y +2，解得{x =3y =4．所以S △ACF :S △CFB =(2+2):(4+3+1)=1:2．6. 图中的大小正方形的边长均为整数〔厘米〕，它们的面积之和等于52平方厘米，那么阴影局部的面积是平方厘米．【答案】10.8【分析】设大、小正方形的边长分别为m 厘米、n 厘米〔m >n 〕，那么m 2+n 2=52,所以m <8.假设m ⩽5，那么m 2+n 2<52×2=50<52,不合题意，所以m 只能为6或7．检验可知只有m =6、n =4满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4厘米．根据相似三角形性质，BG:GF =AB:FE =6:4=3:2,而BG +GF =6,得BG =3.6(厘米),所以阴影局部的面积为：12×6×3.6=10.8(平方厘米). 7. 如图，△ABC 中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD =DF =FM =MP =PB ，那么S △ADE :S 四边形DEGF :S 四边形FGNM :S 四边形MNQP :S 四边形PQCB =．【答案】1:3:5:7:9【分析】设S △ADE =1份，S △ADE :S △AFG =AD 2:AF 2=1:4，因此S △AFG =4份，进而有S 四边形DEGF =3份，同理有S 四边形FGNM =5份，S 四边形MNQP =7份，S 四边形PQCB =9份．所以有S △ADE :S 四边形DEGF :S 四边形FGNM :S 四边形MNQP :S 四边形PQCB =1:3:5:7:9. 8. 如图，DE 平行BC ，假设AD:DB =2:3，那么S △ADE :S △ECB =．【答案】4:15【分析】根据金字塔模型AD:AB =AE:AC =DE:BC =2:(2+3)=2:5，S △ADE :S △ABC =22:52=4:25，设S △ADE =4份，那么S △ABC =25份，S △BEC =25÷5×3=15份，所以S △ADE :S △ECB =4:15． 9. 如图，四边形ABCD 和EFGH 都是平行四边形，四边形ABCD 的面积是16，BG:GC =3:1，那么四边形EFGH 的面积=．【答案】3【分析】因为FGHE 为平行四边形，所以EC ∥AG ，所以AGCE 为平行四边形．BG:GC =3:1，那么GC:BC =1:4，所以S 平行四边形AGCE =14×S 平行四边形ABCD =14×16=4．又AE=GC，所以AE:BG=GC:BG=1:3，根据沙漏模型，FG:AF=BG:AE=3:1，所以S平行四边形FGHE =34S平行四边形AGCE=34×4=3．10. 如图，三角形ABC的面积为60平方厘米，D、E、F分别为各边的中点，那么阴影局部的面积是平方厘米．【答案】12.5【分析】阴影局部是一个不规那么的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差．而从图中来看，既可以转化为△BEF与△EMN的面积之差，又可以转化为△BCM 与△CFN的面积之差．〔法一〕如图，连接DE．由于D、E、F分别为各边的中点，那么BDEF为平行四边形，且面积为三角形ABC面积的一半，即30平方厘米；那么△BEF的面积为平行四边形BDEF面积的一半，为15平方厘米．根据几何五大模型中的相似模型，由于DE为三角形ABC的中位线，长度为BC的一半，那么EM:BM=DE:BC=1:2,所以EM=13 EB;EN:FN=DE:FC=1:1,所以EN=12 EF.那么△EMN的面积占△BEF面积的12×13=16，所以阴影局部面积为15×(1−16)=12.5(平方厘米).〔法二〕如图，连接AM．根据燕尾定理，S△ABM:S△BCM=AE:EC=1:1,S△ACM:S△BCM=AD:DB=1:1,所以S△BCO=13S△ABC=13×60=20(平方厘米),而S△BDC=12S△ABC=12×60=30(平方厘米),所以S△FCN=14S△BDC=7.5(平方厘米),那么阴影局部面积为20−7.5=12.5(平方厘米).【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：〔1〕利用面积公式：底×高÷2；〔2〕利用整体减去局部；〔3〕利用比例和模型．11. 梯形ABCD的面积为12，AB=2CD，E为AC的中点，BE的延长线与AD交于F，四边形CDFE的面积是．【答案】83【分析】延长BF、CD相交于G．由于E 为AC 的中点，根据相似三角形性质，CG =AB =2CD,GD =12GC =12AB,再根据相似三角形性质，AF:FD =AB:DG =2:1,GF:GB =1:3,而S △ABD :S △BCD =AB:CD =2:1,所以S △BCD =13S ABCD =13×12=4,S △GBC =2S △BCD =8.又S △GDF S △GBC =12×13=16, S △EBC =12S △GBC ,所以S CDFE =(1−12−16)S △GBC =13S △GBC =83.12. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，且图中两个阴影局部〔甲和乙〕的面积差是5.04，那么S △ABC =．【答案】20.16【分析】由于D ，E 都是中点，那么BC =2DE ，设DE 为1份，那么BC 为2份，根根据梯形中的蝴蝶模型，得到甲是1份，乙是4份，两个翅膀都是2份，由此可推出△ADE 为3份，且每份为5.04÷(4−1)=1.68,所以S △ABC =1.68×(3+1+4+2+2)=20.16 13. 如图，△ABC 中，AE =14AB ，AD =14AC ，ED 与BC 平行，△EOD 的面积是1平方厘米．那么△AED 的面积是平方厘米．【答案】53【分析】因为AE =14AB ，AD =14AC ，ED 与BC 平行，根据相似模型可知ED:BC =1:4，EO:OC =1:4，S △COD =4S △EOD =4平方厘米，那么S △CDE =4+1=5平方厘米，又因为S △AED :S △CDE =AD:DC =1:3，所以S △AED =5×13=53(平方厘米)． 14. 如图，EF 与BC 平行，AF:FB =1:2．AE =2,EF =3，那么CE 的长度是多少？AC 的长度是多少？BC 的长度是多少？【答案】4,6,9．【分析】AF FB =AE EC =12，可求出CE =4,AC =6,EF BC =AF AB =13，可求出BC =9．15. 如下图，DE 与BC 平行，AD =4,BD =5,△ADE 的面积为32，那么四边形DECB 面积是多少？【答案】130．【分析】AD:AB =4:9，那么AE:AC =4:9,△ADE 是△ABC 面积的1681，那么△ABC 的面积是162，四边形DEBC 的面积为130．16. 如图，平行四边形ABCD的面积是12,DE=13AD,AC与BE的交点为F，那么图中阴影局部面积是多少？【答案】4.4．【分析】AE:BC=2:3，设份数可知ABCD为30份，△AEF为4份，阴影局部占11份，面积为4.4．17. 如下图，图中的两个正方形的边长分别是10和6，那么阴影局部的面积是多少？【答案】40013．【分析】AHHG =ADBG=58，那么△ABH与△BGH的面积是10×16÷2×513=40013．18. 三角形ADE的面积为3平方厘米，D是AB边的三等分点〔靠近A点〕，且DE与BC平行．请求出三角形OBC的面积为多少平方厘米？【答案】13.5平方厘米．【分析】由金字塔模型知，AD:AB=DE:BC=1:3，设△ODE的面积为1份，那么△ODB的面积为3份，△OEC的面积为3份，△OBC的面积为9份，又因为△ADE与△DEC等高，可知△ADE的面积为2份，由此可知△OBC的面积为3÷2×9=13.5平方厘米．19. 如下图，梯形ABCD的面积是50，下底长是上底长的1.5倍，阴影三角形的面积是多少？【答案】18．【分析】上底与下底的长度比为2:3，设△OCD面积是4份，那么△AOD与△BOC的面积均为6份，△ABO的面积为9份，总面积为50，故一份所对应的面积为2，那么△ABO的面积为18．20. 如图，平行四边形ABCD的面积是90．E点是AB上靠近A点的三等分点，求阴影局部的面积．【答案】33．【分析】由沙漏模型知，BE:CD=BO:OD=EO:OC=2:3，设△OBE的面积为4份，那么△OBC的面积为6份，△OCD的面积为9份，△OBC的面积与△OCD的面积之和为整个四边形面积的一半，因此四边形的面积为30份，总面积为90，那么一份对应面积为3，阴影局部占了11份，面积为33．21. 如下图，在三角形ABC中，IF和BC平行，GD和AB平行，HE和AC平行．AG:GF:FC=4:3:2，那么AH:HI:IB和BD:DE:EC分别是多少？【答案】AH:HI:IB=3:4:2，BD:DE:EC=4:2:3．【分析】〔1〕因为AG:GF:FC=4:3:2，所以AF:FC=7:2．又因为IF∥BC，所以AI:IB=AF:FC=7:2．因为GD∥AB，所以GF:AG=OF:IO=3:4．由上可得AH:HI:IB=3:4:2．〔2〕因为AG:GF:FC=4:3:2，所以AG:GC=4:5．又因为GD∥AB，所以BD:DC=AG:GC=4:5．因为GF:FC=3:2，IF∥BC，所以OD:GO=FC:GF=2:3．又因为HE∥AC，所以DE:EC=OD:GO=2:3．由上可得BD:DE:EC=4:2:3．22. 如下列图，D、E、F、G均为各边的三等分点，线段EG和DF把三角形ABC分成四局部，如果四边形FOGC的面积是24平方厘米，求三角形ABC的面积．【答案】40.5【分析】设三角形以AB为底的高为ℎ，由于FG:AB=2:3,所以ED:FG=1:2;所以三角形OGF以GF为底的高是1 3ℎ×23=29ℎ;又因为三角形CFG以FG为底的高是23ℎ，所以三角形OGF的面积与三角形CGF的面积之比为29ℎ:23ℎ=1:3,所以三角形CFG的面积为24×33+1=18(平方厘米),而三角形CFG的面积占三角形ABC的23×23=49，所以三角形ABC的面积是18÷49=40.5(平方厘米).23. 如图，直角三角形ABC中，AB=4,BC=6，又知BE:EC=1:3，求∠CDE的面积．【答案】6.75．【分析】由金字塔模型知DE:AB=CE:CB=3:4那么DE=4×34=3又知道CE=6×34=4.5可求出△CDE的面积为3×4.5÷2=6.7524. 如下图，DE与BC平行，AD=4,BD=5,DE=16，那么BC的长度是多少？【答案】36．【分析】由金字塔模型，AD:AB=DE:BC=4:9,DE=16，那么BC=36．25. 如下图，正方形ABCD面积为1，E、F分别是BC和DC的中点，DE与BF交于M点，DE与AF 交于N点，那么阴影三角形MFN的面积是多少？【答案】130【分析】如下列图，延长AF、BC交于点G，在沙漏ADNEG中，AD:EG=2:3，所以DN:NE= 2:3，故DN=25DE．如下列图，延长BF、AD交于点H，在沙漏DHMBE中，DH:BE=2:1，所以DM:ME=2:1，故ME=13DE．所以NM=(1−25−13)DE=415DE，故S△MFN=415S△DFE=415×12×S△DCE=415×12×14=130.26. 长方形ABCD的面积为70厘米，E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，求阴影△EHO 的面积是多少平方厘米？【答案】3【分析】因为E 是AD 的中点，F 、G 是BC 边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长分成6份的话，那么ED =AD =3(份)、BF =FG =GC =2(份),在图形中找到沙漏EDOBG ：有ED:BG =3:4,所以OD:BO =3:4,相当于把BD 分成7份〔3+4〕，同理也可以在图中再次找到沙漏EDHBF ，ED:BF =3:2,由此可以推出：HD:BH =3:2,相当于把BD 分成5份〔3+2〕，那么我们就可以把BD 分成35份〔5和7的最小公倍数〕其中OD 占15份，BH 占14份，HO 占6份，连接EB 那么可知△BED 的面积为70÷4=352,在BD 为底的三角形中HO 占6份，那么面积为：352×635=3(平方厘米). 27. △ABC 中，DE 平行BC ，假设AD:DB =2:3，且S 梯形DBCE 比S △ADE 大8.5 cm 2，求S △ABC ．【答案】12.5cm 2【分析】根据金字塔模型AD:AB =DE:BC =2:(2+3)=2:5,S △ADE :S △ABC =22:52=4:25,设S △ADE =4份，那么S △ABC=25份，S 梯形DBCE =25−4=21份，S 梯形DBCE 比S △ADE 大17份，恰好是8.5 cm 2，所以S △ABC =12.5cm 2．28. 如图，三角形ABC 是一块锐角三角形余料，边BC =120毫米，高AD =80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？【答案】48【分析】观察图中有金字塔模型5个，用与边有关系的两个金字塔模型，所以有PN BC =AP AB ,PH AD =BPAB, 设正方形的边长为x 毫米，PN BC +PH AD =AP AB +BPAB=1, 即x 120+x 80=1, 解得x =48即正方形的边长为48毫米．29. 如右图，长方形ABCD 中，EF =16，FG =9，求AG 的长．【答案】15【分析】因为DG GB =AG GE =AG 25，且DG GB =FG GA =9AG ，所以AG 25=9AG 即AG 2=25×9=225，所以AG =15．30. 如下列图所示，点M是平行四边形ABCD的边CD上的一点，且DM:MC=1:2，四边形EBFC为平行四边形，FM与BC交于点G．假设三角形FCG的面积与三角形MED的面积之差为13cm2，求平行四边形ABCD的面积．【答案】60【分析】连接BD，因为DE∥BC，所以DE BC =EMMB=DMMC=12,所以S△DEM S△CEM =S△CEMS△CBM=S△DEMS△BDM=12.令S△DEM=a，那么S△CEM=S△BDM=2a，S△CBM=4a，所以S△BCF=S△BCE=2+4=6a.因为MB∥CF，所以CG GB =CFMB=EBMB=32.所以S△GCF S△BGF =CGGB=32.所以S△GCF=33+2×S△BCF=35×6=185a.因为S△GCF−S△DEM=13,所以18 5a−a=13;a=5.因为S△BCD=S△BDM+S△BCM=2a+4a=6a,所以S平行四边形ABCD=2×S BCD=2×6a=12a=12×5=60cm2.31. 图中ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角形，这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是多少？【答案】108cm2【分析】做GM垂直DC于M，交AB于N．因为EF∥DC，所以三角形GEF与三角形GDC相似，且为EF:DC=4:12=1:3,所以GN:GM=1:3,又因为MN=GM−GN=12,所以GM=18(cm),所以三角形GDC的面积为12×12×18=108(cm2).32. 如下图，在正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，正方形ABCD的面积为60平方厘米，求阴影局部的面积．【答案】10平方厘米．【分析】由条件知，BE=AD=1:2，那么BG:GD=1:2,BG=13BD，同理，DF:AB=1:2，那么DH:HB=1:2,DH=13BD，由此可得，GH=13BD，阴影局部面积为60÷2÷3=10平方厘米．33. 如图，长方形ABCD中，E为AD的中点，AF与BE、BD分别交于G、H，OE垂直AD于E，交AF于O，AH=5cm，HF=3cm，求AG．【答案】4013cm【分析】由于AB∥DF，利用相似三角形性质可以得到AB:DF=AH:HF=5:3,又因为E为AD中点，那么有OE:FD=1:2,所以AB:OE=5:32=10:3,利用相似三角形性质可以得到AG:GO=AB:OE=10:3,而AO=12AF=12×(5+3)=4(cm),所以AG=4×1013=4013(cm).34. 如下图，边长为8厘米和12厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影局部的面积．【答案】45平方厘米．【分析】由条件知，GF:BE=12:20=3:5，由沙漏模型知GO:OE=3:5，那么△GOF与△EOF的面积之比也是3:5,△OEF的面积为12×12÷2×58=45平方厘米．35. 下列图中正方形的面积为1，E、F分别为AB、BD的中点，GC=13FC．求阴影局部的面积．【答案】524【分析】题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影局部的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质．阴影局部为三角形，底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积．可以作FH垂直BC于H，GI垂直BC于I．根据相似三角形性质，CI:CH=CG:CF=1:3,又因为CH=HB,所以CI:CB=1:6,即BI:BC=(6−1):6=5:6,所以S △BGE =12×12×56=524. 36. 如下列图，正方形ABCD 的面积为1，M 是CD 边的中点，E,F 是BC 边上的两点，且BE =EF =FC ．连接AE,DF 分别交BM 分别于H,G ．求四边形EFGH 的面积．【答案】23210【分析】过M 点做MQ 平行于BC 交FD 于Q ，过E 点做EP 交BM 于P ，那么因为M 为CD 的中点，所以QM:FC =1:2，所以QM:BF =1:4，所以GM:GB =1:4，所以BG:BM =4:5，又因为BF:BC =2:3，所以S △BFG =45×23S △BCM =215,因为E 为BC 边上三等分点，所以EP:CM =1:3，所以EP:AB =1:6，所以BH:HP =6:1，所以BH:HM =6:15=2:5，所以BH:BM =2:7，又因为GM:GB =1:4，所以BH:BG =5:14，所以S △BEH =514×12S △BFG =142,因此，S 阴=215−142=23210.37. 如下图，P 是三角形ABC 内一点，DE 平行于AB ，FG 平行于BC ，HI 平行于CA ，四边形AIPD 的面积是12，四边形PGCH 的面积是15，四边形BEPF 的面积是20．请问：三角形ABC 的面积是多少？【答案】72【分析】当两个平行四边形的高相等时，它们底边的比等于面积比．考虑平行四边形BEPF 和AIPD ，分别以PE 和PD 为底边，它们的高相等，因此它们底边的比等于面积比，即EP PD=S 平行四边形BEPF S 平行四边形AIPD =2012=53．由于IH ∥AC ，所以EH HC=EP PD=53，转化为面积比：得到：S △PEH S 平行四边形PGCH=12×EH HC=12×53=56.而平行四边形PGCH 的面积是15，那么△PEH 的面积是15×56=252.类似的方法可以求出△FPI 和△DPG 的面积分别是8和92，因此这三个小三角形的面积分别是92、8、252，所以大△ABC 的面积就是12+15+20+92+8+252=72．38. 如下图，梯形的面积是48平方厘米，下底是上底的3倍，求阴影局部的面积．【答案】27平方厘米．【分析】上底与下底之比为1:3，由沙漏模型可知四个三角形的面积之比是1:3:3:9，那么阴影局部的面积是48÷(1+3+3+9)×9=27平方厘米.39. 如下图，三角形ABC 的面积为1平方厘米，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点．求三角形OBC 的面积．【答案】13平方厘米．【分析】由D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，可知DE 与BC 平行，且DE =12BC ．如下列图所示，沙漏DEOBC 中，有OD OC =OE OB =DE BC =12. 把线段的比例关系转化为面积的比例关系，得到S △BOD =2S △DOE ,S △COE =2S △DOE ,S △BOC =2S △COE =4S △DOE ,那么梯形DECB 的面积就是(1+2+2+4)×S △DOE =9S △DOE .由于△ABC 的面积为1平方厘米，那么△ADE 的面积是14平方厘米．而梯形DECB 的面积是1−14=34(平方厘米).因此S △DOE =19×S 梯形BCDE =19×34=112(平方厘米),从而S △BOC =4S △DOE =4×112=13(平方厘米).40. 在图中的正方形中，A 、B 、C 分别是ED 、EG 、GF 的中点．请问：三角形CDO 的面积是三角形ABO 面积的几倍？【答案】3倍．【分析】不妨设正方形的边长是2，所以FC =CG =GB =BE =EA =AD =1.又A 、C 分别是所在边的中点，所以AC ∥GE ，即OA ∥BE ，由此可见OA 是△DBE 的中位线，有OA BE =12，所以△OAD 的面积是 12×1÷2=14. △AOB 的面积等于△BAD 的面积减去△AOD 的面积，等于1×1÷2−14=14.△COD 的面积等于△CAD 的面积减去△AOD 的面积，等于2×1÷2−14=34.由此可得，△CDO 的面积是△ABO 面积的3倍．41. 如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长1和3，割出图中的阴影局部，求阴影局部的面积是多少？【答案】130【分析】根据相似三角形的对应边成比例有：NF 1+2=32+3, EM 2+3=11+2, 那么NF =59,EM =53,所以S 阴=12×(2−95)×(2−53)=130.42. 如图，三角形PDM的面积是8平方厘米，长方形ABCD的长是6厘米，宽是4厘米，M是BC的中点，那么三角形APD的面积是平方厘米．【答案】8【分析】此题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一点做垂线．取AD的中点N，连接MN，设MN交PD于K．那么三角形PDM被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边MK，可知三角形PDM的面积等于1 2×MK×BC=8(平方厘米),所以MK=83(厘米),那么NK=4−83=43(厘米).因为NK是三角形APD的中位线，所以AP=2×NK=83(厘米),所以三角形APD的面积为1 2×83×6=8(平方厘米).43. 如下图，正方形ABCD的边长是6，E点是BC的三等分点．△AOD的面积是多少？【答案】13.5．【分析】由沙漏模型，BE:AD=BO:OD=1:3,△AOB与△AOD等高，面积比为1:3，因此△AOD的面积为6×6÷2×34=13.5．44. 两盏4米高的路灯相距10米，有一个身高1.5米的同学行走在这两盏路灯之间，那么他的两个影子总长度是多少米？【答案】6【分析】根据题意画出如下图的图，延长FE与AC交于I，那么△AEI和△EFH以及△CEI和△EFG都能组成沙漏三角．不难看出，EI=4−1.5=2.5(米)．而在沙漏AIEFH中，又有AEEH =IEEF=2.51.5=53．在沙漏ACEGH中，有ACGH =AEEH=53．由此可知GH=35AC=35×10=6(米)，这就是两个影子的总长度．45. 如下图，梯形ABCD的上底AD长10厘米，下底BC长15厘米．如果EF与上、下底平行，那么EF的长度为多少？【答案】12厘米．【分析】在沙漏ADOBC中，OAOC =ADBC=23，于是AOAC=25〔如下图〕．由于EO∥BC，因此EOBC =AOAC=25，即EO=25×BC=25×15=6(厘米)．同理，OF也等于6厘米，所以EF=EO+OF=6+6=12(厘米)．46. 如图，长方形ABCD中，E、F分别为CD、AB边上的点，DE=EC，FB=2AF，求PM:MN:NQ．【答案】7:18:10【分析】如图，过E作AD的平行线交PQ于G．由于E是DC的中点，所以G是PQ的中点．由于DE=EC,FB=2AF,所以AF:DE=2:3,BF:CE=4:3.根据相似性，PM:MG=AM:ME=AF:DE=2:3,GN:NQ=EN:NB=EC:BF=3:4,于是PM=25 PG,MN=35PG+37GQ=3635PG,NQ=47GQ=47PG,所以PM:MN:NQ=25:3635:47=7:18:10.47. 如图，正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中点，E是DC边上的点，且DE:EC=1:3，AF 与BE相交于点G，求S△ABG．【答案】3211【分析】方法一：连接AE，延长AF，DC两条线交于点M，构造出两个沙漏，所以有AB:CM=BF:FC=1:1,因此CM=4，根据题意有CE=3，再根据另一个沙漏有GB:GE=AB:EM=4:7,所以S△ABG=44+7S△ABE=411×(4×4÷2)=3211.方法二：连接AE,EF，分别求S△ABF=4×2÷2=4,S△AEF=4×4−4×1÷2−3×2÷2−4=7,根据蝴蝶定理S△ABF:S△AEF=BG:GE=4:7,所以S△ABG=44+7S△ABE=411×(4×4÷2)=3211.48. 如图，正方形ABCD的边长是6，E点是BC的中点，求△AOD的面积．【答案】12．【分析】连结DE，因为BE与AD之比是1:2，可如下图设份数，可知△AOD的面积是正方形面积的三分之一，是12．49. 如图：MN平行BC，S△MPN:S△BCP=4:9，AM=4cm，求BM的长度．【答案】2cm【分析】在沙漏模型中，因为S△MPN:S△BCP=4:9，所以MN:BC=2:3，在金字塔模型中有：AM:AB=MN:BC=2:3，因为AM=4cm，AB=4÷2×3=6cm，所以BM=6−4=2cm．50. 如图，线段AB与BC垂直，AD=EC=4，BD=BE=6，那么图中阴影局部面积是多少？【答案】15【分析】解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看．作辅助线BO，那么图形关于BO对称，有S△ADO=S△CEO,S△DBO=S△EBO,且S△ADO:S△DBO=4:6=2:3.设△ADO的面积为2份，那么△DBO的面积为3份，直角三角形ABE的面积为8份．因为S△ABE=6×10÷2=30,而阴影局部的面积为4份，所以阴影局部的面积为30÷8×4=15.解法二：连接DE、AC．由于AD=EC=4,BD=BE=6,所以DE∥AC，可知DE:AC=BD:BA=6:10=3:5,根据梯形蝴蝶定理，S△DOE:S△DOA:S△COE:S△COA=32:(3×5):(3×5):52=9:15:15:25,所以S阴影:S梯形ADEC=(15+15):(9+15+15+25)=15:32,即S阴影=1532S梯形ADEC;又S梯形ADEC =12×10×10−12×6×6=32,所以S阴影=1532S梯形ADEC=15.51. 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为15厘米，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处〔DE平行AB〕，那么小玻璃管口径DE是多大？【答案】10厘米．【分析】有一个金字塔模型，所以DE:AB=DC:AC，DE:15=40:60，所以DE=10厘米．52. 在图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，△CDO的面积是△ABO面积的几倍？【答案】3【分析】连接BC，易知OA∥EF，可知OB:OD=AE:AD，且OA:BE=DA:DE=1:2，所以△CDO的面积等于△CBO的面积；由OA=12BE=14AC可得CO=3OA，所以S△CDO=S△CBO=3S△ABO，即△CDO的面积是△ABO面积的3倍．53. 如图，S △ABC =14，点D,E,F 分别在AB,BC,CA 上，且AD =2,BD =5,AF =FC ，S 四边形DBEF =S △ABE 那么S △ABE 是多少？【答案】10【分析】△ABC 的面积，假设知道△ABE 的面积占△ABC 的几分之几就可以计算出△ABE 的面积．连接CD ．因为S 四边形DBEF =S △ABE , 所以S △DEF =S △ADE . 所以AC 与DE 平行，所以 S △ADE =S △CDE , 所以S △ABE =S △CDB . 因为AD =2，BD =5，所以 S △ACD :S △CDB =2:5, 所以S △ABB=S △CDB =5S △ABC 7=57×14=10.54. 如图，正方形ABCD 中E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形DEF 的面积是2，那么正方形ABCD 的面积是_________．【答案】12【分析】左边梯形ABED ，因为E 为BC 的中点，所以BE:AD =1:2所以BF:FD =1:2又因为三角形DEF 的面积是2所以三角形BEF 的面积是1，三角形ABF 的面积为2，三角形AFD 的面积为4而S △BED =S △DEC ，所以S △DEC =3S △ABCD =1+2+2+4+3=1255. 三角形ABC 的面积为a ，AF:FC =2:1，E 是BD 的中点，且EF ∥BC ，交CD 于G ，求阴影局部的面积．【答案】a18【分析】AF:FC =2:1，且EF ∥BC ，可知EF:BC =AF:AC =2:3，所以EF =23BC ，且S △AEF :S △ABC =4:9．又因为E 是BD 的中点，所以EG 是三角形DBC 的中位线，那么EG =12BC ，EG:EF =12:23=3:4，所以GF:EF =1:4，可得S △CFG :S △AFE =1:8，所以S △CFG :S △ABC =1:18，那么S △CFG =a18． 56. 如下图，平行四边形ABED 与平行四边形AFCD 的面积都是30平方厘米．其中AF 垂直于ED于O ，AO 、OD 、AD 分别长3、4、5厘米．求三角形OEF 的面积和周长．【答案】面积为13.5平方厘米，周长为18厘米．【分析】平行四边形ABED 的面积等于AO ×DE =3×DE =30,由此可以求得DE =10,OE =6.平行四边形AFCD 的面积等于DO×AF=4×AF=30,由此可以求得AF=7.5,OF=4.5.那么△OEF的面积等于EO×OF÷2=6×4.5÷2=27÷2=13.5(平方厘米).由沙漏模型得AO:OF=AD:EF=2:3,那么EF=7.5.所以△OEF的周长为4.5+6+7.5=18(厘米).57. 如图，ABCD是直角梯形，AB=4,AD=5,DE=3，那么梯形ABCD的面积是多少？【答案】40【分析】分别计算△AOD,△AOB,△DOC,△BOC的面积，再求和．延长EO交AB于F点，可得DE:BF=DO:OB=3:1,所以S△AOD:S△AOB=3:1;S△DOC:S△BOC=3:1,S△AOD=S△BOC.又因为S△ABD=12×4×5=10,得到S△AOD=34S△ABD=7.5,S△AOB=2.5,S△BOC=7.5,S△DOC=3S△BOC=3×7.5=22.5.所以S梯形ABCD=7.5+2.5+7.5+22.5=40.58. 如下列图所示，三角形AEF、三角形BDF、三角形BCD都是正三角形，其中AE:BD=1:3，三角形AEF的面积是1．求阴影局部的面积．【答案】15【分析】S△AEF:S△BDF=AE2:BD2=1:9，△AEF面积是1，那么S△BDF=S△BDC=9，因为△AEF与△ACE的高之比是1:7，所以S△ACE=7，因为AD与BC平行，所以S△ABC=S△BCD=9，所以S△ABC:S△AEC=BI:IE=9:7．假设BE为16份，那么BI=9,IE=7，又知道BF:FE=3:1，所以BF=12,FE=4，所以IF= 3,S△AEF:S△AIF=FE:FI=4:3，所以S△AIF=0.75，又有S△AIF:S△BCI=AF2:BC2=1:9，所以S△BCI=6.75，于是可求阴影局部面积是(0.75+6.75)×2=15．59. 如下图，O是长方形ABCD一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积3和4，那么阴影直角三角形的面积是多少？【答案】318【分析】由S△AOD=4可知S△BCD=12×S长方形ABCD=12×4×S△AOD=8．而△CDF与△CDB从C出发的高相同，那么DFDB =S△CDFS△CDB=58．由于EF ∥CD ，把线段的比例转移到BC 上，那么有CE BC =DF DB =38，从而得到BE BC =1−38=58，所以阴影△BEF 的面积是△BCF 面积的58．于是阴影三角形的面积是58×S △BCF =58×(S △BCD −S △CDF )=58×(8−3)=258. 60. 如下图，在直角三角形ABC 中，AC 的长3厘米，CB 的长4厘米，AB 的长5厘米，有一只小虫从C 点出发，沿CB 以1厘米/秒的速度向B 爬行；另一只小虫从B 点出发，沿BA 以1厘米/秒的速度向A 爬行．请问经过多少秒后，两只小虫所在的位置D 、E 与B 组成的三角形DBE 是等腰三角形？〔请写出所有答案〕【答案】2秒、2013秒或3213秒．【分析】设经过了x 秒，那么BE =x 厘米，CD =x 厘米，两只小虫所在的位置D 、E 与B 组成的三角形DBE 是等腰三角形的情况有三种：〔1〕以B 为等腰三角形顶角所在的顶点，即BD =BE 〔如图1〕．这个最好算，BD =4−x ，BE =x ，故x =4−x ，解得x =2；〔2〕以E 为等腰三角形顶角所在的顶点，即ED =EB ，如图2，从E 向BD 作垂线，垂足为F ，在金字塔BEFAC 种，BE BA =BF BC ，即x 5=BF 4，所以BF =45x ．利用CD +DF +FB =4列出方程x +45x +45x =4，解得x =2013；〔或者利用△BEF 和△BAC 相似，得BE BF =54，即x BF =54，所以BF =45x 〕〔3〕以D 为等腰三角形顶角所在的顶点，即ED =DB ，如图3，从D 向AB 作垂线，垂足为F ，利用△BFD 和△BCA 相似得BF BD =45，即BF 4−x=45，所以BF =45(4−x)．利用BE =2BF 列出方程x =45(4−x)×2，解得x =3213．综上，经过2秒或2013秒或3213秒后，两只小虫所在的位置D 、E 与B 组成的三角形DBE 是等腰三角形．61. 如图，在长方形ABCD 中，AB =6厘米，AD =2厘米，AE =EF =FB ，求阴影局部的面积．【答案】3.5平方厘米【分析】连接DE 、FC ，在梯形CDEF 中，由梯形根本结论知：EF:DC =EO:OC =1:3，S 长ABCD =6×2=12由一半模型得所以S △DEC =6又EO:OC =1:3，S △DEO =6×14=1.5〔平方厘米〕又S △ADE =2×2÷2=2〔平方厘米〕所以S 阴=2+1.5=3.5〔平方厘米〕62. 正方形ABCD ，过C 的直线分别交AB 、AD 的延长线于点E 、F ，且AE =10cm ，AF =15cm ，求正方形ABCD 的边长．【答案】6【分析】方法一：此题有两个金字塔模型，根据这两个模型有BC:AF =CE:EF,DC:AE =CF:EF,设正方形的边长为xcm ，所以有BC AF +DC AE =CE EF +CFEF=1, 即x 15+x 10=1, 解得x =6,所以正方形的边长为6cm ．方法二：或根据一个金字塔模型，列方程即x 10=15−x 15, 解得x =6.63. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是________平方厘米．【答案】14【分析】EG:GC =EB:CD =1:2，所以EG =13EC ，S △EBG =12×12AB ×13BC =112×120=10连接BH ，设S △BGH ="1"，那么S △AGH ="2"，由燕尾模型知S △DHC ="3"，所以S △DGC ="5"，又因为S △DGC =4S △EBG =40，所以S △BGH =8，S BGHF =S △DBF −S △DGH =14S ▱ABCD −"2"=30−16=1464. 如图，在△ABC 中，有长方形DEFG ，G 、F 在BC 上，D 、E 分别在AB 、AC 上，AH 是△ABC 边BC 的高，交DE 于M ，DG:DE =1:2，BC =12厘米，AH =8厘米，求长方形的长和宽．【答案】长和宽分别是487厘米，247厘米．【分析】观察图中有金字塔模型5个，用与边有关系的两个金字塔模型，所以DE BC =AD AB ,DG AH =BDAB, 所以有DE BC +DG AH =AD AB +BDAB=1, 设DG =x ，那么DE =2x ，所以有2x 12+x8=1, 解得x =247,2x =487,因此长方形的长和宽分别是487厘米，247厘米．65. 如下图，小高测出家里瓷砖的长为24厘米，宽为10厘米，而且还测出了边上的中间线段均为4厘米，那么中间菱形的面积是多少平方厘米？【答案】64【分析】利用平行线中的线段比例关系来计算．把瓷砖右下角的直角三角形标上字母〔如下图〕，同时过B 作BC ⊥AG 于C ，DE ⊥FG 于E ．由于BC 与FG 平行，所以BC FG =AC AG =214=17, 因此BC =17×FG =17×7=1.由于DE 与AG 平行，所以DE AG =FE FG =27, 因此DE =27×AG =27×14=4.由此可得菱形的两条对角线分别为：24−4×2=16(厘米),10−1×2=8(厘米).那么菱形的面积就是16×8÷2=64(平方厘米).66. ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．〔丙是三角形HBC〕【答案】43【分析】因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有S△ABC−S丙=S△ABN+S△AMC−S AMHN，即400−S丙=200+200−S AMHN，所以S丙=S AMHN．又S阴影+S△ADF=S甲+S乙+S AMHN，所以S阴影=S甲+S乙+S丙−S△ADF=143−14×400=43．67. 如下图，正六边形的面积是6，那么阴影局部的面积是多少？【答案】223【分析】方法一：连结阴影局部的对角线，如下图1．这条辅助线平分阴影局部，也正好把正六边形平分成两个等腰梯形．那么每个梯形的面积为6÷2=3.要求出阴影局部的面积，只需求出其中的一半即可．画出其中一个梯形，给它的各个顶点标上字母，如下图2，△BCD和△ABD是一对等高三角形，并且底边BC是AD的2倍，所以△BCD的面积是△ABD面积的2倍，于是△BCD面积为3×23=2.在沙漏ADOBC中，ODOB =12，所以S△BOC=23S△BDC=113.因此正六边形中的阴影局部面积为113×2=223.方法二：利用正六边形中的格点，将其分割，如下图3．观察图形可知，这时正六边形被分割成18个三角形，这些三角形面积全都相等．阴影局部由8个三角形组成，所以阴影局部面积为6÷18×8=22 3 .68. 边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？【答案】16.2【分析】给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为ABCD，小正方形为MNDE，EB分别交AC,AD于O,H两点，AO:OC=AB:EC=12:20=3:5,AH:BC=AO:OC=3:5,所以。

小学奥数题库《几何》-直线型-等积变形-5星题(含解析)

几何-直线型几何-等积变形-5星题课程目标知识提要等积变形•概念等积变形：如果两个三角形同底等高，那么他们的面积相等．•夹在一组平行线之间的等积变形S△ABC=S△BCD精选例题等积变形1. 如图，正方形的边长为12，阴影局部的面积为60，那么四边形EFGH的面积是．【答案】6【分析】如下图，设AD上的两个点分别为M、N．连接CN．根据面积比例模型，△CMF与△CNF的面积是相等的，那么△CMF与△BNF的面积之和，等于△CNF与△BNF的面积之和，即等于△BCN的面积．而△BCN的面积为正方形ABCD面积的一半，为122×12=72．又△CMF与△BNF的面积之和与阴影局部的面积相比拟，多了2个四边形EFGH的面积，所以四边形EFGH的面积为：(72−60)÷2=6．2. 如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为16厘米，求阴影局部的面积．【答案】256平方厘米．【分析】如下图，连接FK、GE、BD，那么这三条线互相平行，可以得到S△DGE=S△GBE,S△GEK=S△GEF.所以阴影局部的面积就等于中间正方形的面积即为S阴影=16×16=256(平方厘米).3. 如下图，ED 垂直于等腰梯形ABCD 的上底AD ，并交BC 于G ，AE 平行于BD ，∠DCB =45∘，且三角形ABD 和三角形EDC 的面积分别是75、45，那么三角形AED 的面积是多少？【答案】30【分析】的△CDE 的底边是ED ，高是CG ；所求的△AED 的底边是ED ，高是AD ；它们有公共的底边ED ．另一个的三角形是△ABD ，如果能找到一个以ED 为底边的三角形，它的面积等于△ABD 的面积，那么底边ED 就成了这三个三角形的公共底边．如图1，连结BE ．由于AE ∥BD ，把△ABD 作等积变换，变成△BDE ，此时△BDE 以DE 为底边以BG 为高，且面积是75．这样一来，这3个三角形有相同的底边DE ．于是来看看它们的高BG 、CG 、AD 之间有什么关系．由于四边形ABCD 是等腰梯形，如下图2，再作分别从A 、D 出发与BC 垂直的垂线AH 、DG ．容易看出，BH =GC ，AD =HG ，因此BG =BH +HG =GC +AD ．在等式两边同时乘以DE ÷2，可得BG ×DE ÷2=(GC +AD)×DE ÷2．用乘法分配律得BG ×DE ÷2=GC ×DE ÷2+AD ×DE ÷2．而S △BDE =BG ×DE ÷2,S △DEC =CG ×DE ÷2,S △AED =AD ×DE ÷2，因此所求的三角形的面积就是75−45=30．4. 如下图，三角形ABC 的面积为1．D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 是BC 边上的三等分点，请问：三角形DEF 的面积是多少？三角形DOE 的面积是多少？【答案】14；320．【分析】注意到D 、E 分别为AB 、AC 的中点，那么DE 就是△ABC 的中位线，连结CD ，如下图1．那么△DEF 与△CDE 面积相等，因此 S △DEF =S △CDE =12S △ACD =12×12×S △ABC =14. 在沙漏EDOFG 中，OE OF =DE FG 〔如图2〕．而DE =12BC ，FG =13BC ，因此OE OF =DE FG =32, 即有 OE EF =33+2=35, 转化为面积比S △DOE S △DEF =35．而S △DEF =14，所以 S △DOE =35×S △DEF =35×14=320. 5. 如下列图所示，三角形AEF 、三角形BDF 、三角形BCD 都是正三角形，其中AE:BD =1:3，三角形AEF 的面积是1．求阴影局部的面积．【答案】15【分析】S △AEF :S △BDF =AE 2:BD 2=1:9，△AEF 面积是1，那么S △BDF =S △BDC =9，因为△AEF 与△ACE 的高之比是1:7，所以S △ACE =7，因为AD 与BC 平行，所以S △ABC =S △BCD =9，所以S △ABC :S △AEC =BI:IE =9:7．假设BE 为16份，那么BI =9,IE =7，又知道BF:FE =3:1，所以BF =12,FE =4，所以IF =3,S △AEF :S △AIF =FE:FI =4:3，所以S △AIF =0.75，又有S △AIF :S △BCI =AF 2:BC 2=1:9，所以S △BCI =6.75，于是可求阴影局部面积是(0.75+6.75)×2=15．6. 如下列图所示，在长方形ABCD 中，EF ∥AB ，GH ∥AD ，EF 与GH 相交于O ，HC 与EF 相交于I ．AH:HB =AE:ED =1:3，△COI 的面积为9平方厘米，求长方形ABCD 的面积．【答案】128平方厘米【分析】如下列图所示，连接GI，显然△GOI的面积=△COI的面积=9平方厘米，于是△HOI的面积=3平方厘米，所以△HOC的面积=12平方厘米．因此△OGC的面积=36平方厘米，于是长方形OFCG的面积=72平方厘米，从而 $\text{长方形$ HBFO $的面积}=\text{长方形$ EOGD $的面积}=24$ 平方厘米，长方形AHOE的面积=8平方厘米．故长方形ABCD的面积为8+24+24+72=128(平方厘米)．。

解析几何——直线专题(答案)

解析几何——直线专题参考答案1．D 【解析】试题分析：直线斜率2142-=-=-=B A k ．考点：直线的斜率．2．A 【解析】试题分析：∵直线经过两点(2,4)A ，(1,)B m ，∴直线AB 的斜率4421k m π-==--，又∵直线的倾斜角为045，∴1k =，∴3m =．故选：A ．考点：直线的斜率；直线的倾斜角． 3．033=-+y x 【解析】试题分析：AB 直线斜率12312k --==-，所以高线斜率为13-，高线方程为()1023303y x x y -=--∴+-= 考点：直线垂直的位置关系及直线方程 4．A 【解析】试题分析：两直线平行，系数满足()()3122,02a a a a ⨯-=⨯-∴=，0a =时两直线重合32a ∴=考点：直线平行的判定 5．A 【解析】试题分析：因为所求直线与直线220x y --=平行，所以设所求直线为20x y m -+=，又过点()1,0，代入求出1m =-，所以所求直线为210x y --=，故选A 。

考点：两直线的平行 6．C 【解析】试题分析：由两直线垂直需满足：“1212..0A A B B +=”可得()6210m m ⨯-+=，解得613m =考点：平面直线的位置关系 7．C 【解析】试题分析：由点到直线的距离公式求得，点()2,1A 及直线30x y ++=的距离是213322d ++==，则AP 的最小值是32．考点：点到直线的距离 8．A 【解析】试题分析：设圆心为C ，直线:0l x y -=，则|||||06|2222C l PQ PC r d r -≥-≥--=-=，所以选A.考点：直线与圆位置关系 9．B 【解析】试题分析：由平行直线可得364=m ，得m=8，在利用平行线间距离公式算的286|182|22=++=d ，注意计算距离时两平行线方程中x,y 前系数要一致. 考点：两直线平行的充要条件，平行线间距离. 10．B 【解析】试题分析：根据题意可知，由于直线02=-y x 与直线042=+-a y x 是平行线，那么可知，运用平行线之间的距离公式1222|C -C |d A B =+，那么将方程统一形式，得到为x-2y=0,x-2y+2a=0故可知距离为2|-0|2=5a 102+1a ∴=±,故选B. 考点：本试题考查了两平行直线的距离。

小学奥数题库《几何》-直线型-鸟头模型-3星题(含解析)

几何-直线型几何-鸟头模型-3星题课程目标知识提要鸟头模型•概念两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。

•特征共角三角形的面积比等于共角〔相等角或者互补角〕两夹边的乘积之比。

$S_{\triangle ABC}\mathbin{:}S_{\triangle ADE}=(AB\times AC)\mathbin{:}(AD\times AE)$精选例题鸟头模型1. 如下列图所示，点Qʹ和Rʹ三等分XʹX，Rʹ和Pʹ三等分YʹY，Qʹ和Pʹ三等分ZʹZ．△PQR 面积是△PʹQʹRʹ面积的倍．【答案】25【分析】连接ZYʹ,XʹY,XZʹ，根据鸟头模型，可以得到△PʹYʹZ,△XʹYRʹ,△XQʹZʹ都是△PʹQʹRʹ的4倍，那么可以得到平行四边形PZPʹYʹ、XʹRʹYR、XQʹZʹQ均为△PʹQʹRʹ的8倍，图中的三个小三角形的面积都与△PʹQʹRʹ的面积相等，那么△PQR面积是△PʹQʹRʹ面积的8×3+1= 25(倍)．2. 如下图，正方形ABCD边长为6厘米，AE=13AC，CF=13BC．三角形DEF的面积为平方厘米．【答案】10【分析】由题意知AE=13AC、CF=13BC,可得CE=23 AC.根据〞共角定理〞可得，S△CEF:S△ABC=(CF×CE):(CB×AC)=(1×2):(3×3)=2:9;而S△ABC=6×6÷2=18;所以S△CEF=4;同理得，S△CDE:S△ACD=2:3,S△CDE=18÷3×2=12,S△CDF=6故S△DEF=S△CEF+S△DEC−S△DFC=4+12−6=10(平方厘米).3. 如下列图所示，三角形ABC的面积为1，且AD=13AB,BE=14BC,CF=15CA，那么三角形DEF的面积是．【答案】512【分析】先分别求出△ADF、△BDE、△CEF的面积，再用△ABC的面积减去这三个三角形的面积即为△DEF的面积．因为，AD=13AB,CF=15CA，所以，AF=45AC，根据“鸟头定理〞，S△ADF=45×13S△ABC=415，同理可得，S△BDE=23×14×1=16，S△CEF=34×15×1=320，所以S△DEF=1−415−16−320=512．4. 如图，三角形ABC中，延长BA到D，使DA＝AB，延长CA到E，使EA＝2AC，延长CB 到F，使FB＝3BC．如果三角形ABC的面积是1，那么三角形DEF的面积是．【答案】7【分析】S△CAB:S△CEF=(1×1):(3×4)=1:12，所以S△CEF=12，S△ABC:S△ADE=(1×1):(1×2)=1:2，所以S△ADE=2，S△BAC:S△BDF=(1×1):(2×3)=1:6，所以S△BDF=6，所以S△DEF=S△CEF−S△ABC+S△ADE−S△BDF=12−1+2−6=7.5. 如图．将三角形ABC的AB边延长1倍到D，BC边延长2倍到E，CA边延长3倍到F．如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是．【答案】18【分析】〔法1〕连接AE、CD．因为S△ABCS△DBC =11，S△ABC=1，所以S△DBC=1．同理可得其它，最后三角形DEF的面积=18．〔法2〕用共角定理因为在△ABC和△CFE中，∠ACB与∠FCE互补，所以S△ABC S△FCE =AC⋅BCFC⋅CE=1×14×2=18.又S△ABC=1，所以S△FCE=8．同理可得S△ADF=6，S△BDE=3．所以S△DEF=S△ABC+S△FCE+S△ADF+S△BDE=1+8+6+3=18.6. 如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，假设四边形ABCD的面积为5，那么四边形EFGH的面积是．【答案】60【分析】连接AC、BD．由于BE=2AB,BF=2BC,于是S△BEF=4S△ABC,同理S△HDG=4S△ADC,于是S△BEF+S△HDG=4S△ABC+4S△ADC=4S ABCD,再由于AE=3AB,AH=3AD,于是S△AEH=9S△ABD,同理S△CFG=9S△CBD,于是S△AEH+S△CFG=9S△ABD+9S△CBD=9S ABCD,那么S EFGH=S△BEF+S△HDG+S△AEH+S△CFG−S ABCD=4S ABCD+9S ABCD−S ABCD=12S ABCD=60.7. 正方形ABCD边长为6厘米，AE=13AC,CF=13BC．三角形DEF的面积为平方厘米．【答案】10【分析】正方形的面积为6×6=36(平方厘米)，那么根据鸟头模型可以得出S△ADE=13×S△ACD=13×12×36=6(平方厘米),S△CDF=13×S△BCD=13×12×36=6(平方厘米),S ABFE=S△ABC−S△CEF=18−18×13×23=14(平方厘米),阴影局部面积为36−6−6−14=10(平方厘米)．8. 如图，在△ABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，假设△ABC的面积为1，那么四边形CDMF的面积是．【答案】730【分析】由于点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，如果能求出BN、NM、MD三段的比，那么说分成的六小块的面积可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF的面积．连接CM、CN．根据燕尾模型，S△ABM:S△ACM=BF:CF=2:1,S△ACM=2S△ADM,S△ABM=2S△ACM=4S△ADM,那么BM=4DM，即BM=45 BD.那么S△BMF=BMBD×BFBC×S△BCD=45×23×12=415,S 四边形CDMF =12 − ４15=730.另解：得出 S △ABM =2S △ACM =4S △ADM 后，可得S △ADM =15S △ABD =15×12=110,那么S 四边形CDMF =S △ACF −S △ADM =13−110=730.9. 如图，P 为四边形 ABCD 内部的点，AB:BC:DA =3:1:2，∠DAB =∠CBA =60°．图中所有三角形的面积都是整数．如果三角形 PAD 和三角形 PBC 的面积分别为 20 和 17，那么四边形 ABCD 的面积最大是．【答案】 147【分析】延长 AD ，BC 交于点 Q ，连接 PQ ．∠DAB =∠CBA =60°，所以三角形 ABQ 为正三角形．由于AB:BC:DA =3:1:2,所以 PCQD 的面积为20÷2+17×2=44;而三角形QCD面积占QAB面积的1 3×23=29,ABCD面积是QCD面积的(1−29)÷29=72.注意到ABCD中各三角形面积均为整数，所以QAB面积为9的倍数．QCD面积是2的倍数，所以QCD面积最大为42，ABCD面积最大为42×72=147.10. 如图，AD=DB，AE=EF=FC，阴影局部面积为5平方厘米，△ABC的面积是平方厘米．【答案】30平方厘米【分析】S△ADE=S△DEF，S△ADE:S△ABC=(AD×AE):(AB×AC)=(1×1):(2×3)=1:6,所以S△ABC=5×6=30(平方厘米).11. 如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=2CF，三角形AFE〔图中阴影局部〕的面积为8平方厘米．平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？【答案】48平方厘米【分析】S△AEF:S△ABC=(AE×AF):(AB×AC)=(1×2):(2×3)=1:3,S△ABC=3S△AEF=3×8=24,S四边形ABCD=2×24=48(平方厘米)．12. △CEF的面积为9平方厘米，BE=CE,AD=2BD，CF=3AF，求△DEF的面积．【答案】7平方厘米．【分析】S△CEF:S△ABC=(CE×CF):(CB×CA)=(1×3):(2×4)=3:8=9:24,所以三角形ABC的面积为24平方厘米S△BDE:S△ABC=(BD×BE):(BA×BC)=(1×1):(2×3)=1:6=4:24,S△ADF:S△ABC=(AD×AF):(AB×AC)=(2×1):(3×4)=1:6=4:24,所以S△DEF=24−4−4−9=7(平方厘米).13. 如图，把三角形DEF的各边向外延长1倍后得到三角形ABC，三角形ABC的面积为1．三角形DEF的面积是多少？【答案】17【分析】令三角形DEF为1份，那么根据共角模型，有：S△DEF S△AFC =EF×DFCF×FA=12.所以三角形AFC的面积为2份，同理，三角形ABD的面积为2份，三角形BEF的面积为2份．那么三角形ABC的面积为7份，对应面积为1，所以S三角形DEF =17．14. 如图，三角形ABC的面积为3，其中AB:BE＝2:5，BC:CD＝3:2，三角形BDE的面积是多少？【答案】12.5【分析】BC:BD=3:(3+2)=3:5，S△ABC :S△BDE=(2×3):(5×5)=6:25，S△ABC=25 6S△BDE=256×3=12.5．15. ，AC:AE＝5:1，BC:CD＝4:1，BA:BF＝6:1，那么，△DEF的面积是△ABC的几分之几？【答案】61120【分析】S△AEFS△ABC =AE×AFAC×AB=1×55×6=16，S△BDF S△ABC =BD×BFBC×BA=3×14×6=18，S△CDE S△ABC =CD×CECB×CA=1×44×5=15，S△DEFS△ABC=S△ABC−S△AEF−S△BDF−S△CDES△ABC=1−16−18−15=61120.16. 如下列图所示，在三角形ABC中，BC=6BD、AC=5EC、DG=GH=HE、AF= FG．请问三角形FGH与三角形ABC的面积比为何？【答案】19【分析】根据鸟头模型，S△ADC=56S△ABC,S△AED=45S△ADC,S△AGE=23S△AED,S△GHF=12×12×S△AGE,最后可以得出S△GHF=56×45×23×12×12×S△ABC=19S△ABC.17. 如图， AE =13AC ，CD =14BC ，BF =15AB ，试求 $\dfrac{\text{三角形$ DEF $的面积}}{\text{三角形$ ABC $的面积}}$ 的值？【答案】 512【分析】 S △AEF S △ABC=AE×AF AC×AB =1×43×5=415，S △BDF S △ABC=BD×BF BC×BA=1×35×4=320，S △CDES △ABC=CD×CE CB×CA=1×24×3=16，所以S △DEF S △ABC=S △ABC −S △AEF −S △BDF −S △CDES △ABC=1−415−320−16=512.18. 如图，把三角形 DEF 的各边向外延长 2 倍后得到三角形 ABC ，三角形 ABC 的面积为 1. 三角形 DEF 的面积是多少？【答案】 119【分析】令三角形 DEF 为 1 份，那么根据共角模型，有：S△DEF S△AFC =EF×DFCF×FA=16.所以三角形AFC的面积为6份，同理，三角形ABD的面积为6份，三角形BEF的面积为6份．那么三角形ABC的面积为1+6+6+6=19份，对应面积为1，所以S三角形DEF =119．19. 如图，四边形EFGH的面积是75平方米，EA=AB，CB=BF，DC=CG，HD=DA，求四边形ABCD的面积．【答案】15平方米．【分析】连接BD，由鸟头知：S△BCD S△FCG =BC⋅DCFC⋅CG=1×12×1=12S△ABD S△AEH =AD⋅ABAH⋅AE=1×12×1=12,所以S△FCG+S△AEH=2S四边形ABCD 连接AC，同理可得：S△BEF+S△DHG=2S四边形ABCD,S四边形EFGH =5S四边形ABCD又因为四边形EFGH的面积是75平方米所以四边形ABCD的面积是75÷5=15(平方米).20. 如图，△ABC的面积是36，并且AE=13AC，CD=14BC，BF=15AB，试求△DEF的面积．【答案】15【分析】详解：由鸟头模型可得，S△AEF=36×45×13=485,S△BED=36×15×34=275,S△CDE=36×14×23=6,S△DEF=36−485−275−6=15.21. 分别延长四边形ABCD的四个边，使得AB=BAʹ,BC=CBʹ,CD=DCʹ,DA=ADʹ〔如下列图所示〕．如果四边形ABCD的面积是1平方厘米，请问四边形AʹBʹCʹDʹ的面积为多少平方厘米？【答案】5【分析】连接BD，根据鸟头模型，可得S△AAʹDʹ=1×2×S△ABD=2S△ABD,S△CCʹBʹ=1×2×S△BCD=2S△BCD,那么可得S△AAʹDʹ+S△CCʹBʹ=2S四边形ABCD连接AC，同理可得：S△DDʹCʹ+S△BBʹAʹ=2S四边形ABCD所以整个图形的面积是2+2+1=5(平方厘米).22. 如图，平行四边形ABCD，BE＝AB，CF＝2CB，GD＝3DC，HA＝4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．【答案】1:18【分析】连接AC，根据共角定理：S△ABC S△FBE =BA×BCBE×BF=1×11×3=13,又因为S△ABC=1，所以，S△FBE=3，同理可得：S△GCF=8,连接BD，S△DHG=15,S△AEH=8．所以S EFGH=S△AEH+S△CFG+S△DHG+S△BEF=8+8+15+3+2=36,S ABCD:S EFGH=2:36=1:18．23. 如图，三角形ABC面积为1，延长BA至D，使得DA=AB；延长CA至E，使得EA=2AC；延长CB至F，使得FB=3BC，求三角形DEF的面积？【答案】7【分析】S△ADE S△ABC =AD×AEAB×AC=2,S△CEF S△ABC =CE×CFCA×CB=3×4=12,S△DBF S△ABC =DB×BFBA×CB=2×3=6,S△DEF=S△ADE+S△CEF−S△DBF−S△ABC =2+12−6−1=7.24. 三角形ABC中，BD的长度是的AB的14，AE的长度是AC的13．三角形AED的面积是8，那么三角形ABC的面积是多少？【答案】32【分析】简答：8÷(34×13)=32．25. 如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD＝5:2，AE:EC＝3:2，S△ADE＝12平方厘米，求△ABC的面积．【答案】50平方厘米【分析】S△ADE:S△ABC=(AD×AE):(AB×AC)=(3×2):(5×5)=6:25,因为S△ADE=12(平方厘米)，所以S△ABC=12÷6×25=50(平方厘米)．26. 如图，在三角形ABC中，AD的长度是BD的3倍，AC的长度是EC的3倍．三角形AED 的面积是10，那么三角形ABC的面积是多少？【答案】20【分析】详解：AD 是 AB 的 34，AE 是 AC 的 23，根据鸟头模型，有 △ADE 的面积是 △ABC 面积的 34×23=12．那么 △ABC 的面积是 20．27. 如图， AE =15AC ，CD =14BC ，BF =16AB ，那么 S△DEF S △ABC 等于多少？【答案】 61120【分析】设 S △ABC =1，那么根据悬空=整体−空白,S △DEF =S △ABC −S △AEF −S △BDF −S △DEC现在分别去求 S △AEF 、S △BDF 、S △DEC ，由鸟头定理知道：S △AEF =(AF AB ×AE AC )S △ABC =(56×15)S △ABC =16S △ABC同理：S △BDF =(BF AB ×BD BC )S △ABC =16×34S △ABC =18S △ABC S △DEC =(EC AC ×DC BC )S △ABC =45×14S △ABC =15S △ABC所以： S △DEF =(1−16−18−15)S △ABC =61120S △ABC,S △DEF S △ABC =61120.28. 如图，在三角形 ABC 中，D 为 BC 的中点，E 为 AB 上的一点，且 BE =13AB ，四边形 ACDE 的面积是 35，求三角形 ABC 的面积．【答案】42【分析】S△BDE:S△ABC=(BD×BE):(BC×BA)=(1×1):(2×3)=1:6,那么S△BDE=16S△ABC，S四边形ACDE=S△ABC−16S△ABC=56S△ABC，所以：S△ABC=35÷56=42．29. 边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？【答案】16.2【分析】给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为ABCD，小正方形为MNDE，EB分别交AC,AD于O,H两点，AO:OC=AB:EC=12:20=3:5,AH:BC=AO:OC=3:5,所以AO:AC=3:8,AH:AD=3:5,S△AHO:S△ADC=9:40.因为S△ADC=12×122=72,所以S△AHO=940S△ADC=940×72=16.2.30. 如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？【答案】15【分析】S△ADE :S△ABC=(1×1):(5×3)=1:15，S△ABC=15S△ADE=15×1=15．31. 如下图，正方形ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？【答案】12【分析】连接AF、EG．因为S△CDE=14×82=16，根据“当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比〞，S△AEF=8，S△EFG=8，再根据“当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比〞，得到S△BFC=16，S ABFE=32，S△ABF=24，所以S△ABG=12(平方厘米).32. 如图，AD:DB=1:4，AE:EC=1:5，如果△ABC的面积是120，那么△ADE的面积是多少？【答案】4【分析】简答：由条件得AD:AB=1:5,AE:AC=1:6,利用“共角三角形〞性质得三角形AED的面积是120×15×16=4.33. 如图，三角形ABC被分成了甲、乙两局部BD=DC=4,BE=3,AE=6，乙局部面积是甲局部面积的几倍？【答案】5【分析】BD:BC=4:(4+4)=1:2,BE:BA=3:(3+6)=1:3，S△BDE :S△ABC=(1×1):(3×2)=1:6，S△BDE =16S△ABC，S四边形ACDE=S△ABC−16S△ABC=56S△ABC，S△BDE:S四边形ACDE =16:56=1:5．34. 如图，三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC至E，使CE=2BC；延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积．【答案】18【分析】S△ADFS△ABC =AD×AFAB×AC=2×31×1=6，S△BDE S△ABC =BD×BEAB×BC=1×31×1=3，S△CEF S△ABC =CE×CFBC×AC=2×41×1=8．所以S△DEF S△ABC =S△ADFS△ABC+S△BDES△ABC+S△CEFS△ABC+S△ABCS△ABC =6+3+8+1=18,S△DEF=18S△ABC=18．35. 如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中AB:BE=2:5，BC:CD=3:2，三角形BDE的面积是多少？【答案】12.5平方厘米．【分析】由于∠ABC+∠DBE=180∘，所以可以用共角定理，设AB=2份，BC=3份，那么BE=5份，BD=3+2=5份，由共角定理S△ABC:S△BDE=(AB×BC):(BE×BD)=(2×3):(5×5)=6:25,设S△ABC=6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25×0.5=12.5(平方厘米),三角形BDE的面积是12.5平方厘米．36. 如图，长方形的面积是16，BE=3BD，CE=CF．请问：三角形BEC的面积是多少？【答案】3【分析】详解：连结DF，根据鸟头模型，可知△BCE面积是△DEF面积的3 4×12=38.那么△BCE的面积是16×12×38=3.37. 如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且2AN=BN．那么，阴影局部的面积是多少？【答案】512【分析】S△ABD=12，S△AMN:S△ABD=(AM×AN):(AB×AD)=1:6，S△AMN=112，所以阴影局部的面积为S阴=12−112=512．38. 如图，在△ABC中，延长AB至D，使BD=AB，延长BC至E，使CE=12BC，F是AC 的中点，假设△ABC的面积是2，那么△DEF的面积是多少？【答案】 3.5【分析】因为在△ABC和△CFE中，∠ACB与∠FCE互补，所以S△ABC S△FCE =AC⋅BCFC⋅CE=2×21×1=41.又因为S△ABC=2，所以S△FCE=0.5．同理可得S△ADF=2，S△BDE=3．所以S△DEF=S△ABC+S△CEF+S△DEB−S△ADF=2+0.5+3−2=3.5.39. 如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:BD=5:7，AE:EC=3:2，S△ADE=36平方厘米，求△ABC的面积．【答案】150平方厘米【分析】S△ADE:S△ABC=(AD×AE):(AB×AC)=[3×(7−5)]:[5×(3+2)]=6:25,因为S△ADE=36(平方厘米)，所以S△ABC=36÷6×25=150(平方厘米)．40. △DEF的面积为7平方厘米，BE＝CE，AD＝2BD，CF＝3AF，求△ABC的面积．【答案】24平方厘米【分析】S△BDES△ABC =BD×BEBA×BC=1×13×2=16，S△CEF S△ABC =CE×CFCB×CA=1×32×4=38，S△ADF S△ABC =AD×AFAB×AC=2×13×4=16，S△DEFS△ABC=S△ABC−S△BDE−S△CEF−S△ADFS△ABC=1−16−38−16=724,又△DEF的面积为7平方厘米，所以S△ABC=7÷724=24(平方厘米).41. 鸟和大虾在武林大会上相遇，争夺武林盟主的地位．三百回合大战后，两人不分胜负．突然，菜鸟向对手发出一枚飞镖．说时迟，那时快，飞镖已经接近大虾的胸口，只见大虾迅速抽身向左闪开，同时用手中的宝剑向飞镖劈去，只听见“嘡〞的一声，飞镖被劈成了两半．如下列图所示，菜鸟的飞镖是正六角星的形状，边长为5．被大虾劈开的刀口如虚线所示，那么较小的那局部残片占到整体面积的几分之几？【答案】107300【分析】对图形进行分割，分割过程如下：即所给我我们的图形共有12个小正三角形组成，令每一个小正三角形的面积为1，那么根据共角模型有：S三角形BDE S三角形BAC =BD×BEAB×AC=11×1315×15=143225.所以四边形ACDE的面积为：(1−143225)×9=8225.所以较小的残片的面积为：82 25+1=10725.所以较小残片占整个面积的：10725 12= 107 300.42. 如图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积为4.6平方厘米，BE=EF=FD，求三角形ABF、CDF、ABD、ACD的面积．【答案】9.2平方厘米；9.2平方厘米；13.8平方厘米；13.8平方厘米．【分析】S△ABF:S△ABE=(AB×FB):(AB×EB)=2,所以S△ABF=2×S△ABE=9.2(平方厘米);因为△ABD和△ACD同底等高，所以S△ABD=S△ACD,因而S△CDF=S△ACD−S△AFD=S△ABD−S△AFD=S△ABF=9.2(平方厘米);S△ABD:S△ABE=(AB×DB):(AB×EB)=3,所以S△ABD=3×S△ABE=13.8;所以S△ACD=S△ABD=13.8(平方厘米).43. 如图，三角形ABC中，AB是AD的6倍，EC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？【答案】24【分析】S△ADE:S△ABC=(1×1):(6×4)=1:24，S△ABC=24S△ADE=24×1=24．44. 把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新的四边形EFGH．如果ABCD的面积是5平方厘米，那么EFGH的面积是多少？【答案】65平方厘米【分析】连接BD，由共角定理知：S△ABD S△AEH =AB×ADAE×AH=1×12×3=16,S△BCD S△CFG =BC×CDCF×CG=1×13×2=16,S△AEH+S△CFG=6S ABCD,同理连接AC，可得：S△BEF+S△DGH=6S ABCD,所以S EFGH=(6+6+1)S ABCD=13×5=65cm2．45. 如图，把四边形ABCD的各边都延长1倍，得到一个新四边形EFGH．如果ABCD的面积是5平方厘米，那么EFGH的面积是多少平方厘米？【答案】25平方厘米【分析】连接BD，有△ABD中∠EAD+∠BAD=180∘，又夹成两角的边EA、AH、AB、AD的乘积比，EA×AHAB×AD=2，所以S△EAH=2S△EAD．类似的，还可得S△FCG=2S△BCD，有S△EAH+S△FCG=2(S△ABD+S△BCD)=10,同理可证：S△EBF+S△DHG=2(S△ABD+S△BCD)=10,所以四边形EFGH的面积是10+10+5=25(立方厘米)．46. 下列图中的三角形ABC被分成了甲〔阴影局部〕、乙两局部，BD=DC=4,BE=3,AE= 6．求甲局部面积占乙局部面积的几分之几．【答案】15【分析】BEBA =33+6=13,BDBC=44+4=12，根据鸟头模型，甲局部占整个图形面积的13×12=16，那么甲局部占乙局部的15．47. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD:AB＝2:5，AE:AC＝4:7，S△ADE＝16平方厘米，求△ABC的面积．【答案】70平方厘米【分析】S△ADE:S△ABC=(AD×AE):(AB×AC)=(2×4):(7×5)=8:35,因为S△ADE=16(平方厘米)，所以S△ABC=16÷8×35=70(平方厘米)．48. 长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影局部面积是多少？【答案】13.5平方厘米【分析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下列图：可得：S△EHB=12S△AHB、S△FHB=12S△CHB、S△DHG=12S△DHC,而S ABCD=S△AHB+S△CHB+S△CHD=36(平方厘米).即S△EHB+S△BHF+S△DHG=12(S△AHB+S△CHB+S△CHD)=12×36=18.而S△EHB+S△BHF+S△DHG=S阴影+S△EBFS△EBF=12×BE×BF=12×(12×AB)×(12×BC)=18×36=4.5.所以阴影局部的面积是：S阴影=18−S△EBF=18−4.5=13.5(平方厘米).解法二：特殊点法．找H的特殊点，把H点与D点重合，那么图形就可变成下列图：这样阴影局部的面积就是△DEF的面积，根据鸟头定理，那么有：S阴影7=S ABCD−S△AED−S△BEF−S△CFD=36−12×12×36−12×12×12×36−12×12×36=13.549. 如下图，平行四边形ABCD的面积是1，E、F是AB、AD的中点，BF交EC于M，求△BMG的面积．【答案】130【分析】解法一：由题意可得，E、F是AB、AD的中点，得EF∥BD，而FD:BC=FH:HC=1:2,EB:CD=BG:GD=1:2.所以CH:CF=GH:EF=2:3,并得G、H是BD的三等分点，可得BG=GH，所以BG:EF=BM:MF=2:3,所以BM=25 BF,S△BFD=12S△ABD=12×12S平行四边形ABCD=14;又因为BG=13 BD,所以S△BMG=13×25×S△BFD=13×25×14=130.解法二：延长CE交DA于I，如下列图，可得，AI:BC=AE:EB=1:1,从而可以确定M的点的位置，BM:MF=BC:IF=2:3,BM=25 BF,BG=13 BD可得S△BMG=25×13S△BDF=25×13×14S平行四边形ABCD=130.50. 如下图，在长方形ABCD中，DE=CE，CF=2BF，如果长方形ABCD的面积为18，那么阴影局部的面积是多少？【答案】6【分析】简答：由于长方形ABCD的面积为18，可知三角形BCD的面积为9，三角形CEF 的面积为三角形BCD的面积的1 2×23=13,那么阴影局部的面积是9×(1−13)=6.51. 如图，△ABC中，AD:AB＝2:3，AE:AC＝4:5，求：△AED的面积是△ABC面积的几分之几？【答案】815【分析】S△ADE:S△ABC=(AD×AE):(AB×AC)=(2×4):(3×5)=8:15,所以△AED的面积是△ABC面积的815．52. 如图，长方形ABCD的面积是48，BE:CE=3:5，DF:CF=1:2．三角形CFE面积是多少？【答案】10【分析】简答：48×12×58×23=10．53. 如下图，∠A=∠B=60∘，且AB=24，BD=16，AC=8，而且三角形CDE的面积等于四边形ABEC的面积．请问：DE的长度是多少？【答案】14【分析】如下列图所示，延长AC和BD交于点F．由于∠A=∠B=60∘，因此△ABF为等边三角形，那么AF=BF=AB=24.而BD=16，AC=8，由此可得CF=16，DF=8，所以△CDF是△ABF的16×8 24×24= 2 9.又知△CDE的面积等于四边形ABEC的面积，△CDE的面积是△ABF的(1−29)×12=718,那么DF:DE=29:718=4:7,因此DE=14．54. 如下图，在直角三角形ABC中，AC的长3厘米，CB的长4厘米，AB的长5厘米，有一只小虫从C点出发，沿CB以1厘米/秒的速度向B爬行；另一只小虫从B点出发，沿BA以1厘米/秒的速度向A爬行．请问经过多少秒后，两只小虫所在的位置D、E与B组成的三角形DBE是等腰三角形？〔请写出所有答案〕【答案】2秒、2013秒或3213秒．【分析】设经过了x秒，那么BE=x厘米，CD=x厘米，两只小虫所在的位置D、E与B 组成的三角形DBE是等腰三角形的情况有三种：〔1〕以B为等腰三角形顶角所在的顶点，即BD=BE〔如图1〕．这个最好算，BD=4−x，BE=x，故x=4−x，解得x=2；〔2〕以E为等腰三角形顶角所在的顶点，即ED=EB，如图2，从E向BD作垂线，垂足为F，在金字塔BEFAC种，BEBA =BFBC，即x5=BF4，所以BF=45x．利用CD+DF+FB=4列出方程x+45x+45x=4，解得x=2013；〔或者利用△BEF和△BAC相似，得BEBF=54，即xBF=54，所以BF=45x〕〔3〕以D为等腰三角形顶角所在的顶点，即ED=DB，如图3，从D向AB作垂线，垂足为F，利用△BFD和△BCA相似得BFBD =45，即BF4−x=45，所以BF=45(4−x)．利用BE=2BF列出方程x=45(4−x)×2，解得x=3213．综上，经过2秒或2013秒或3213秒后，两只小虫所在的位置D、E与B组成的三角形DBE是等腰三角形．55. 长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影局部面积是多少？【答案】 13.5【分析】解法一：寻找可利用的条件，连接 BH 、HC ，如下列图：可得：S △EHB =12S △AHB 、S △FHB =12S △CHB 、S △DHG =12S △DHC ，而 S ABCD =S △AHB +S △CHB +S △CHD =36．即S △EHB +S △BHF +S △DHG=12(S △AHB +S △CHB +S △CHD )=12×36=18;而 S △EHB +S △BHF +S △DHG =S 阴影+S △EBF ，S △EBF =12×BE ×BF=12×(12×AB)×(12×BC)=18×36=4.5. 所以阴影局部的面积是：S 阴影=18−S △EBF =18−4.5=13.5．解法二：特殊点法．找 H 的特殊点，把 H 点与 D 点重合，那么图形就可变成下列图：。

直线型动态几何

０．．ＥＣ＝２—０．＝１５．５．‘ ．５．
猜想、探究、计算与证明等考查方式出现．
此时，ｔＱ－ｔＱ．ＲＡＡＭ＇ＲＡＣＥ＂
．
一
范例解析
例１（００年成宁）图１直角梯形ＡＣ中，２１如，ＢＤ
一Ａ —ＥＣ‘ Ｍ
ＭＡ
一
为直角三角形，ｔ求的值；（）ｔ２时，３当＞连接ＰＱ交线段ＡＣ于点Ｒ请探究．
，ｎ ’
—Ｐ — ＥＱ
图２
由（），Ｑ＝Ｍ — Ｍｃ１知ＥＥＱ４— ｆ２，
而Ｊ：Ｃ—ＣＰＰＥＰＥ＝Ｃ一（Ｃ—ＤＤＥ）
例２（００年青岛）２１已知：ＲＺＡＣ和ＲＺＤＦ把ｔＸＢｔＸＥ按图４摆放（ｃ与点Ｅ重合）点，（）Ｆ在同一条点，ｃＥ，直线上，ＡＢ＝／ＥＦ＝０，ＤＦ＝５，Ｃ＝８ｍ，／Ｃ＿＿Ｄ９。／Ｅ４。Ａ＿ｃ
＝ｔ２一ｔ一（）＝２一２，ｔ
是否为定值，若是，求这个定值；不是，说明理试若请
由．
Байду номын сангаас
‘
Ｄ
Ｃ
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虿，了’ ‘ 。＇
综述，１妻上所ｔ或．：
ＡＡＢ
（为值３定＿）篙
当ｔ＞２时，图３如，
Ｐ：ＤＡ —ＤＰＡ
（）３探究的比值时，必须把它与不变的元素结合

第一讲：直线型几何(1) 燕尾定理结合比和比例为重点,三角形、梯形、不规则图形

第一讲直线型几何一、直接计算面积和长度1、（第四届希望杯）如图所示，长方形ABCD的长为25，宽为15。

四对平行线截长方形各边所得的线段的长已在图上标出，且横向的两组平行线都与BC平行。

求阴影部分的面积。

2、（希望杯培训题）如图，两个完全一样的直角三角形有一部分重叠在一起，阴影部分的面π≈）积是_____cm2（ 3.143、（第三届走进美妙的数学花园）如下图，正方形ABCD边长为10厘米，BO长8厘米，AE 长为多少厘米。

4、（小数报03届）下图中，BC=15厘米，CD=8厘米，三角形AFB的面积比三角形DEF的面积大30平方厘米，求DE的长。

面积二、利用比例关系求解面积5、（第11届迎春杯）如图，点D、E、F与点G、H、N分别是三角形ABC与三角形DEF各边的中点。

那么，阴影部分的面积与三角形ABC的面积比是_____。

6、（第13届迎春杯）如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且AN =12BN 。

那么，阴影部分的面积等于__________。

三角形面积比7、（第10届迎春杯）如图，已知长方形ADEF 的面积是16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是________。

8、一个长方形和一个等腰直角三角形如图放置，图中六块的面积分别为1,1,1,1,2,3．大长方形的面积是．9、（第12届迎春杯）已知四边形ABCD 是直角梯形，上底AD =8厘米，下底BC =10厘米，直角腰CD =6厘米，E 是AD 的中点，F 是BC 上的点，BF =23BC ，G 为DC 上的点，三角形DEG 的面积与三角形CFG 的面积相等。

那么，三角形ABG 的面积是_________平方厘米。

比例10、（第二届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛）如图，长方形ABCD 中，67AB =，30BC =.E F 、分别是AB BC 、边上的两点，49BE BF +=．那么，三角形DEF 面积的最小值是．3 21 1 11三、与梯形有关的问题（沙漏与四边形对角线）11、（第10届迎春杯）一个直角梯形，它的上底是下底的60％。

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