人教B版高中数学选修(2-2)-2.3《数学归纳法》说课稿
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 2.3.1 数学归纳法》0
2.3 数学归纳法(学案）学习目标：1、知识目标：理解数学归纳法原理，掌握用数学归纳法在证明与正整数n 有关的数学命题的方法和步骤。
2、能力目标：培养学生归纳、推理的能力；培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。
3、情感态度价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力和勇于探索的科学精神。
学习重点：了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。
学习难点：对数学归纳法原理的理解及在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
学法指导：1.先精读一遍教材，用红色笔进行勾画；再针对预习案二次阅读并回答；2.若预习完可对预习自测部分认真审题，做不完的正课时再做；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。
【探究案】探究一：归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法，这两者如何区分?问题 1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？{}?,,,,,1,2432111===++n a a n n a a a a a a a n n 由此归纳通项公式求：已知数列问题完全归纳法：不完全归纳法：探究二：多米诺骨牌游戏跟踪练习1 用数学归纳法证明：.{}都成立。
n 对一切.1)d (n 那么d,为是一个等差数列，公差如 1.N a a a 1n n +∈-+=果证明：2)127531.2n n =-++++（证明：()1114.313.211.21.3++=++++n n n n证明：121.+k A 221.+k B 221121.+++k k C 221121.+-+k k D2.已知f(n)=n 1+ 11+n +21+n +…+21n ，则下列说法正确的是 .①f(n)中共有n 项，当n=2时，f(2)=21+31②f(n)中共有n+1项，当n=2时，f(2)= 21+31+41 ③f(n)中共有n 2-n 项，当n=2时，f(2)=21+31 ④f(n)中共有n 2-n+1项，当n=2时，f(2)=21+31+41，左端增加的项数是到第二步证明从且用数学归纳法证明："1"),1(12131211.3+>∈<-+⋅⋅⋅++++k k n N n n n 12.-k A k B 2. 12.-k C 12.+k D4、用数学归纳法证明：12)12)(12(1751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 5. 用数学归纳法证明：整除。
2.3.数学归纳法-人教B版选修2-2教案
2.3 数学归纳法-人教B版选修2-2教案一、教学目标1.了解数学归纳法的基本思路和定义；2.掌握使用数学归纳法解决具体问题的方法；3.能够对于一些有规律的数列进行归纳总结，并利用数学归纳法进行验证。
二、教学重难点1.理解数学归纳法的基本思路及其应用；2.掌握数学归纳法的应用方法。
三、教学内容及安排时间内容教学活动学生活动教学方法5 min 课程介绍介绍本课程的学习内容、学习目标和教学重难点聆听讲授10 min 数学归纳法的定义与原理讲解数学归纳法的基本定义和思路聆听、记录讲授20 min 基本的数列归纳通过例题讲解数学归纳法的应用方法讨论、记录讲授、互动10 min 数学归纳法在证明中的应用教师通过具体例子讲解数学归纳法应用于证明中的方法及步骤讨论、记录讲授、互动15 min 练习题演练通过具体例子让学生练习数学归纳法的应用方法做题、记录讲授、互动5 min课后作业布置课后作业并提醒学生预习下一节课内容接受、记录讲授四、教学方法本节课采用讲授和互动相结合的方法，教师通过讲解基本定义和思路让学生理解数学归纳法的基本思路，通过具体例子让学生掌握数学归纳法的应用方法，同时也鼓励学生互相讨论和思考问题，培养其独立思考和解决问题的能力。
五、教学评估通过练习题演练和课堂互动等方式对学生进行评估，观察学生掌握数学归纳法的程度，是否能够应用数学归纳法解决具体问题，以评价本节课的教学效果，同时也为下一节课的教学准备奠定基础。
六、教学反思数学归纳法作为一种重要的数学证明方法，在教学中应当注重培养学生的独立思考、解决问题的能力，通过具体例子引导其理解基本思路和应用方法，并鼓励学生积极参与课堂互动，达到高效学习的效果。
人教版高中选修(B版)2-22.3数学归纳法教学设计
人教版高中选修(B版)2-22.3数学归纳法教学设计一、教学目标通过本节课的学习，学生应该能够：1.掌握数学归纳法的基本概念和方法；2.熟练掌握数学归纳法的证明过程；3.在实际问题中灵活运用数学归纳法。
二、教学重点1.数学归纳法的基本思想和方法；2.数学归纳法的证明过程。
三、教学难点1.数学归纳法在实际问题中的应用；2.数学归纳法证明过程的严密性和完整性。
四、教学内容1. 数学归纳法的基本概念和方法1.1. 数学归纳法的基本思想和概念1.2. 数学归纳法的基本方法2. 数学归纳法的证明过程2.1. 弱归纳法证明2.2. 强归纳法证明3. 数学归纳法在实际问题中的应用3.1. 例题分析3.2. 综合应用五、教学方法1.讲授法2.例题演练3.自主探究六、教学过程1. 导入（5分钟）1.1. 利用日常生活中的例子引入数学归纳法的概念和思想，如“一只鸟有两只翅膀，两只鸟有四只翅膀……”，“一个人有一个头，两个人有两个头……”。
1.2. 介绍本节课的教学目标和教学重难点。
2. 讲授与演示（20分钟）2.1. 讲授数学归纳法的基本思想和方法，包括弱归纳法和强归纳法的证明过程。
2.2. 进行例题演示，让学生熟悉数学归纳法的证明方法。
3. 实践与探究（25分钟）3.1. 让学生自主探究数学归纳法在实际问题中的应用，例如在排列组合问题、数学归纳法证明等领域的实际应用。
3.2. 带领学生完成一些综合应用的练习，并对练习过程中的问题进行讲解和答疑。
4. 总结与拓展（10分钟）4.1. 对本节课的重点和难点进行总结和回顾。
4.2. 引导学生在课后继续探究数学归纳法的应用和证明过程，拓展数学学科知识和思维能力。
七、教学反思本节课以讲授法为主，通过例题演示和自主探究等教学方法，引导学生全面掌握数学归纳法的基本概念、方法和应用，同时注重培养学生的数学思维能力和创新意识。
但需要注意的是，在引入数学归纳法的应用问题和证明过程时，要让学生理解问题的本质和证明过程的严密性，引导学生养成严谨的数学思维习惯。
高中数学教案选修2-2《2.3数学归纳法》
教课目的：1．理解数学概括法的观点 ,掌握数学概括法的证明步骤．2．经过数学概括法的学习 ,领会用不完好概括法发现规律 ,用数学概括法证明规律的门路．教课要点：1．能用数学概括法证明一些简单的数学命题．2．难点：概括 →猜想 →证明．教课过程：一、预习1．思虑并证明：平面内有 n(n ≥2)条直线 ,此中任何两条不平行 ,任何三条可是同一点 ,证明交点的个数为 f(n)＝ n(n －1)．22．小结：数学概括法是一种证明与正整数相关的数学命题的重要方法．主要有两个步骤、一个结论：（ 1）证明当 n 取第一个值 n 0（如 n 0＝1 或 2 等）时结论正确．（ 2）假定 n ＝k 时,结论正确 ,证明 n ＝ k ＋ 1 时结论也正确（用上假定 ,递推才真）．（ 3）由（ 1）,（2）得出结论（结论写明 ,才算完好）．此中第一步是递推的基础 ,解决了特别性；第二步是递推的依照 ,解决了从有限到无穷的过渡．这两步缺一不行．只有第一步 ,属不完好概括法；只有第二步 ,假定就失掉了基础．二、讲堂训练例 1 设 n ∈ N *,F(n)＝5n＋2×3n ＿ 1＋1,（ 1）当 n ＝1,2,3,4 时 ,计算 f(n)的值．（ 2）你对 f(n)的值有何猜想？用数学概括法证明你的猜想．例 2 在平面上画 n 条直线 ,且任何两条直线都订交 ,此中任何三条直线不共点．问：这 n 条直线将平面分红多少个部分？1．用数学法明： 1＋2＋22＋⋯＋ 2n＿1＝ 2n－1 (n∈N* )．2．下边是某同学用数学法明命 1 ＋ 1＋＋1＝n的12 23n( n＋1)n＋1程,上 ,原命建立．3．求： (n＋ 1)(n＋2)⋯ (n＋n)＝2n·1·3·⋯·（2n－ 1）（ n∈N*）．四、堂小① 法：由特别到一般,是数学的重要方法；②数学法的科学性：基正确；可；③数学法程序化步：两个步,一个；④数学法点：战胜了完好法的繁、不行行的弊端,又战胜了不完全法不行靠的不足,是一种科学方法 ,使我到事情由到繁、由特别到一般、由有限到无．五、作本 P94 第 6,7,8 ．。
高中数学教案选修2-2《2.3 数学归纳法(1)》
教学目标：1．理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤．2．通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径．掌握从特殊到一般是应用的一种主要思想方法．教学重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法．教学难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．教学过程：一、预习1．问题：很多同学小时候都玩过这样的游戏，（教具摆设）就是一种码放砖头的游戏，码放时保证任意相邻的两块砖头，若前一块砖头倒下，则一定导致后一块砖头也倒下，这样只要推倒第一块砖头就会导致全部砖头都倒下（这种游戏称为多米诺骨牌游戏）．思考 这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？只要满足以下两个条件，所有的多米诺骨牌都能倒下：（1）__________________________________________________；（2）__________________________________________________．思考 你认为条件（2）的作用是什么？ 思考 如果条件（1）不要，能不能保证全部的骨牌都倒下？ 2．我们知道对于数列{a n }，已知a 1＝1，且（n ＝1，2，3…）通11nn na a a ＋＝＋过对n ＝1，2，3，4，前4项的归纳，我们可以猜想出其通项公式为，但1n a n＝归纳推理得出的猜想不一定成立，必须通过严格的证明．要证明这个猜想，同学们自然就会从n ＝5开始一个个往下验证，当n 较小时可以逐个验证，但当n 较大时，逐个验证起来会很麻烦，特别是证明n 取所有正整数时，逐个验证是不可能的．能不能寻求一种方法，通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数都成立．思考？你认为证明数学的通项公式是，这个猜想与上述多米诺骨牌游1n a n＝戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？多米诺骨牌游戏原理通项公式的证明方法1n a n＝（1）第一块骨牌倒下．（1）当n ＝ 时，猜想成立（2）若第k 块倒下时，则相邻的第k ＋1块也倒下．（2）若当n ＝ 时，猜想成立，即 ，则当n ＝ 时，猜想也成立，即 ．根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下．根据（1）和（2），可知对任意的正整数n ，猜想都成立．证明：（1） ．（2）假设 ，3．小结．数学归纳法的定义：一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值n 0时命题成立．（2）（归纳递推）假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．用框图表示为：注 这两个步骤缺一不可，只完成步骤（1）而缺少步骤（2），就做出判断可能得出不正确的结论，因为单靠步骤（1），无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确，我们无法判定．同样，只有步骤（2）而缺少步骤（1），也可能得出不正确的结论，缺少步骤（1）这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤（2）也就没有意义了．二、课堂训练例1 证明等差数列通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ．例2 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n －1）＝．2n 例3 用数学归纳法证明 12＋22＋32＋…＋n 2＝（n ∈N *）．(1)(21)6n n n ＋＋练习：用数学归纳法证明：－1＋3－5＋…＋(－1)n (2n －1)＝(－1)n n ．三、巩固练习1．用数学归纳法证明：“”()2211111n n a a a a a na+N ＋＋－＋＋＋＋＝≠∈－L ，在验证n ＝1成立时，左边计算所得的结果是 ．2．已知：，则等于 ．111()1231f n n n n ⋅⋅⋅＝＋＋＋＋＋＋(1)f k ＋3．用数学归纳法证明：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)＝．1(1)(2)3n n n ＋＋4．用数学归纳法证明：．2222121(1)1234(1)(1)2n n n n n －－＋－＋－＋＋－＝－L 四、小结重点：两个步骤、一个结论；注意：奠基基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．五、作业课本P94第1，2，3题．。
人教B版高中数学选修2-2 第二章2.3.1数学归纳法-教案
2.3 数学归纳法2.3.1 数学归纳法【提出问题】观察下面几个关系式：1=121+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=521+3+5+7+9+11=36=62……请归纳提出一个一般性的命题。
观察后我们得出：1+3+5+……+（2n-1）=n2。
我们知道归纳推理是合情推理，它可以帮助我们发现规律，但是它不能用来证明数学结论。
那么，我们得到的命题如何证明呢？【获得新知】对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，这种证明方法就叫做数学归纳法．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确．由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确．【概念领悟】①第一步验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，根据题意的要求，有时可以为2或3等．②在利用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推，前一步是递推的基础，后一步是递推的依据，这两步缺一不可，缺少哪一步结论也不一定正确．③在证明n＝k＋1成立时，必须要用到n＝k时成立这个归纳假设，否则推理无法进行或推理无效，这样就不是数学归纳法了.【经典例题】例1用数学归纳法证明：1+3+5+……+（2n-1）=n2证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1所以，当n=1时，左边=右边，等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立，即1+3+5+……+（2k-1）=k2那么，当n=k+1时，1+3+5+……+（2k-1）+[2（k+1）-1]= k2+[2（k+1）-1]= k2+2k+1=(k+1) 2所以当n=k+1时，等式也成立。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 2.3.1 数学归纳法》8
数学归纳法教学设计人教版选修2-2第二章第三节古建能【教材分析】1、教学内容：数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。
2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。
教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。
【学情分析】高二理科学生继学习完归纳与类比推理，证明方法中的综合法与分析法、反证法的基础上，在学生已具备归纳的思想，进一步学习证明方法的过程中学习本节知识的。
【教学目标】知识与技能：1 了解由归纳法得出的结论具有不可靠性, 理解数学归纳法的原理与本质;2 掌握数学归纳法证题的两个步骤及其简单应用；3 培养学生观察、探究、分析、论证的能力, 体会类比的数学思想．过程与方法:1创设情境，激发学生学习兴趣，让学生体验知识的发生与发展过程;2通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生严谨的逻辑推理意识，并初步掌握论证方法;3通过发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力情感与价值观:1 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神；2通过对数学归纳法原理和本质的讨论，培养学生团结协作的精神；3通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神；【教学重点】（1）初步理解数学归纳法的原理．（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤．（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数有关数的恒等式． 【教学难点】（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性． （2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=1时结论正确． 【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法【教学手段】aichoo 教学软件，平板电脑，多媒体辅助课堂教学 【教学过程】一、创设情境，提出问题问题 、数列{}(),1,1,*11N n a a a a a nn n n ∈+==+已知通过对4,3,2,1=n 前4项归纳，猜想出：n a n 1=，如何证明？为了寻求一种能够证明与正整数有关的数学问题的方法，从而引入本节课的新课内容一数学归纳法。
人教B版高中数学选修2-2 2-3 数学归纳法 教案 精品
2.3 数学归纳法一、教学目标 1、知识目标：使学生了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质．掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题． 2、能力目标：培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想．努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑的氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率；通过学习，让学生体会用归纳推理发现规律，再用数学归纳法证明规律。
3、情感、态度与价值观目标：通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神；通过数学归纳法的学习，开拓数学视野，体会数学的科学意义。
二、教学重点.难点重点：数学归纳法的两个条件极其内涵； 难点：数学归纳法的精髓； 三、学情分析在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。
教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。
四、教学方法类比启发探究式教学方法 五、教学过程一、创设问题情境，启动学生思维（说明引入数学归纳法的必要性） （情景一）问题1：口袋中有5个吃的东西，如何证明它们都是糖？ 问题2:数列{}(),1,1,*11N n a a a a a nn n n ∈+==+已知（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正确的吗？（情境二）数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例。
【设计意图：】以上两个情境分别是完全归纳法和不完全归纳法的体现，发现其结论正确性不同，而这里实际上体现了数学中的归纳思想。
归纳法分为“不完全归纳法（只验证几个个体成立，得到一般性结论，但结论不一定正确）”和“完全归纳法（验证每个个体都成立，得到一般性结论，其结论一定正确）”。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 2.3.1 数学归纳法》05
则相邻的第1块也倒下
传递
（2）假设当 时，猜想成，即
那么，当 时，
所以当 时，猜想也成立
根据1和2,可知不论有
多少块骨牌,都能全部倒下
由（1）（2）可知 ，有 成立
1块也倒下。
尝试用多米诺骨牌游戏的原理证明上述猜想
这种一种严格的证明方法──数学归纳法
提炼原理，得出概念：
一般地，证明一个与自然数有关的命题，可按下列步骤进行：
则当n=1时，代入135…2n－1=n2
得135…2－1 2 1－1
所以当n=1时，等式成立。
根据（1）和（2）可知，等式对任意 ，等式成立。
讲
授
新
课
课
堂
练
习
例2求证：
证明：（1）当n=1时，左边＝ ，右边= 等式成立。
（2）假设当n=时，等式成立，即
则当n=1时，
所以当n=1时，等式成立
根据（1）和（2）可知，等式对任意 ，等式成立。
概
念
形
成
概
念
形
成
观看多米诺骨牌的相关视屏，
要保证这个游戏成功，必须满足什么条件？
（1）第一块骨牌倒下；（基础）
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。（传递）
注：条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第块倒下时，相邻的第
多米诺骨牌游戏的原理
尝试证明猜想成立
⑴第一块骨牌倒下
基础
（1）当n=1时猜想成立
《数学归纳法》教案
教
学
目
标
（1）理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤。
（2）通过学习数学归纳法，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律。
人教版高中选修(B版)2-22.3.2数学归纳法应用举例课程设计
人教版高中选修(B版)2-22.3.2数学归纳法应用举例课程设计一、课程背景本课程是高中数学选修课程中的一部分，内容涉及数学归纳法的应用举例。
数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，它可以用来证明一些结论在自然数范围内成立。
在数学学科中的许多理论都是基于数学归纳法而建立的，因此掌握数学归纳法的应用技巧和方法对于学生们来说是至关重要的。
二、教学目标通过本课程的学习，学生将了解以下内容：1.掌握数学归纳法的基本概念和原理；2.学习数学归纳法的应用技巧和方法；3.能够使用数学归纳法解决数学问题；4.培养学生的逻辑推理能力和创新思维能力。
三、教学内容及方法1. 教学内容1.数学归纳法的基本概念和原理；2.数学归纳法的应用技巧和方法；3.数学问题的解决方法。
2. 教学方法1.讲授法：通过讲解数学归纳法的基本概念和原理，帮助学生理解数学归纳法的应用条件和方法；2.演示法：通过举一些具体的数学问题，演示数学归纳法的应用过程；3.组织实践活动：通过组织学生进行小组讨论，解决一些实际问题，帮助学生提高自己的解决问题的能力；4.课堂互动：通过提问、答疑等互动方式，促进学生参与课堂，激发学生学习的积极性。
四、教学过程设计1. 导入环节通过提出一个关于数学归纳法的问题引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
例如：如果证明一个命题在自然数n=1时成立，同时假设当n=k时成立，证明当n=k+1时也成立，我们会用到哪个方法呢？2. 分组讨论学生们分成小组进行讨论，解决一些实际问题，例如：1.证明1+2+3+…+n=n(n+1)/2；2.证明任何正整数的平方一定是奇数或偶数；3.证明2^n>n，n>=4；4.证明S(n)=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6。
学生们在小组内讨论，交流想法和解题方法，达到相互学习的效果。
3.虚拟实验通过在电子课本或网上模拟工具上进行一些数学归纳法的应用实验，学生可以更加深入地了解数学归纳法的应用。
数学2-2人教新资料2.3数学归纳法说课稿
数学2-2人教新资料2.3数学归纳法说课稿我今天说课的题目是《数学归纳法》，我准备从教材分析、教学方法、学情分析、学法指导、教学过程、板书设计六个方面加以介绍，首先分析教材：【一】教材分析1、教材的地位和作用学习数学归纳法以前，学生已经学习了等差数列、等比数列，得到通项公式用的是不完全归纳法，其正确性还有待用数学归纳法加以证明，因此数学归纳法学习是数列知识的深入与拓展。
它既是高中代数中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法。
数学归纳法这一方法，贯穿了高中数学的几大知识点：不等式，数列，三角函数。
根据教学大纲“数学归纳法”教学分二个课时，这节课是第一课时，讲的是选修2—2 P92～P95的内容。
新教材的改革已开始关注探究性问题，因而通过对它的学习，能起到以下几方面的作用：提高学生的抽象思维能力；培养学生科学探索的创新精神，全面提高学生综合素质。
2、教学目标根据本节内容的作用、地位以及学生的具体情况，我把这节课的教学目标分为以下三个目标：〔1〕知识目标：理解数学归纳法的原理和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的恒等式。
〔2〕能力目标：培养学生观察、分析、论证能力，进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力。
〔3〕情感态度价值观：创设一种愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率知识目标主要是根据，《新课标》及学生原有的认知水平制定的；而能力目标和情感态度价值观是根据本节课内容的独特性及抽象性，为营造一种良好的学习氛围，有利于提高学生的学习兴趣和学习效果而制定的.3、教学重点与难点为了避免机械套用数学归纳法证题的两个步骤，造成学生思维的惰性与僵化，因而我把分析数学归纳法的原理和实质作为本节课的重点，考虑学生对第二步中的递推实质的理解感到较困难，因此把正确理解第二步中的递推思想作为难点。
【二】教学方法根据以上教学内容与教学目标根据前苏联教育家藏克夫的发展性教育理论确定本节可采用的教学方法为启发、引导、练习、归纳小结相结合的方法。
【教案】人教版高中《数学》选修2-2《数学归纳法》教学设计
人教版高中《数学》选修2-2§2.3 数学归纳法（第一课时）一、教学目标：1、了解数学归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握归纳法证明的两个步骤；2、会证明简单的与正整数有关的命题。
二、教学重点、难点：1、重点：借助具体实例，了解数学归纳法的基本思想，掌握基本步骤，会用它证明一些与正整数n 有关的命题；2、难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二步的作用，不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
三、教学手段：借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材辅助课堂教学；四、教学过程：（一）创设情境，引入课题师：前面我们学习推理，并且知道由推理得到的结论是否正确，需要我们进一步验证。
我们来看这样的一道题目：已知数列{}n a 中，*111,()1n n na a a n N a +==∈+，试猜想数列的通项公式n a = 生：分别求出12341111,,,234a a a a ====，从而猜测1n a n=。
师：那么这个猜想是否正确？我们又该如何证明这个猜想？生：方法1：从n=5逐个验证？（由于n 为正整数，为无限个，所以可行性不高）方法2：通过构造新数列{}n b ，其中1n nb a =，先求出数列{}n b 的通项公式，从而得到{}n a 的通项公式；（技巧性较高，且有时新数列{}n b 不易构造）方法3：能否通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数时，通项公式都成立？ 师：带着这个问题，我们来观察一个关于多米诺骨牌游戏的视频。
（二）观看视频，动手实验观看多米诺骨牌游戏视频后，由学生来展示骨牌游戏：实验步骤：1、摆好骨牌，并由教师动手轻轻碰了第一块（并未推倒），发现实验不成功；2、由学生自己动手推倒骨牌，实验成功；3、再次摆好骨牌，教师调整最后3块的距离，发现并未全部倒下，实验失败。
师：我们一起来总结3次实验，那么要使游戏成功，所需条件有哪些？生：（1）第一块骨牌要倒下；（2）相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块也倒下；师：若将每一块骨牌相应的看成数列的1234,,,a a a a ，那么这两个条件分别相当于：（1）首项1a 要符合n a 的通项公式；（2）假设n=k 时猜想成立，则必将导致n=k+1时猜想也成立；这样一来，就可以发现由n=1成立，就有n=2成立；n=2成立，就有n=3成立；n=3成立，就有n=4成立；n=4成立，就有n=5也成立……，所以对任意的正整数n ，猜想都成立。
2.3数学归纳法(一)教案(人教B版选修2-2)
教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.教学过程：一、复习准备：1. 问题1： 在数列{}n a 中，*111,,()1n n na a a n N a +==∈+，先算出a 2，a 3，a 4的值，再推测通项a n 的公式. （过程：212a =，313a =，414a =，由此得到：*1,n a n N n =∈） 2. 问题2：2()41f n n n =++，当n ∈N 时，()f n 是否都为质数？过程：(0)f =41，(1)f =43，(2)f =47，(3)f =53，(4)f =61，(5)f =71，(6)f =83，(7)f =97，(8)f =113，(9)f =131，(10)f =151，… (39)f =1 601．但是(40)f =1 681=412是合数3. 问题3：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.二、讲授新课：1. 教学数学归纳法概念：① 给出定义：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般. 不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法.完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.② 讨论：问题1中，如果n =k 猜想成立，那么n =k +1是否成立？对所有的正整数n 是否成立？③ 提出数学归纳法两大步：（i ）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立；（ii ）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立. 关键：从假设n =k 成立，证得n =k +1成立.2. 教学例题：① 出示例1：2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈. 分析：第1步如何写？n =k 的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？ 小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形. ② 练习：求证：2*1427310(31)(1),n n n n n N ⨯+⨯+⨯+++=+∈.③ 出示例2：设an…(n ∈N *)，求证：a n <12(n ＋1)2. 关键：a 1k +<12(k ＋1)2+＝12(k +1)2+<12(k +1)2+(k +32)＝12(k +2)2 小结：放缩法，对比目标发现放缩途径. 变式：求证a n >12n (n ＋1) 3. 小结：书写时必须明确写出两个步骤与一个结论，注意“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n =k 到n =k +1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.三、巩固练习： 1. 练习：教材108 练习1、2题 2. 作业：教材108 B 组1、2、3题.教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：经历试值、猜想、归纳、证明的过程来解决问题.教学过程：一、复习准备：1. 练习：已知()*()13521,f n n n N =++++-∈，猜想()f n 的表达式，并给出证明？ 过程：试值(1)1f =，(2)4f =，…，→ 猜想2()f n n = → 用数学归纳法证明.2. 提问：数学归纳法的基本步骤？二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：已知数列1111,,,,2558811(31)(32)n n ⋅⋅⋅⨯⨯⨯-⨯+，猜想n S 的表达式，并证明. 分析：如何进行猜想？（试值1234,,,S S S S →猜想n S ） → 学生练习用数学归纳法证明 → 讨论：如何直接求此题的n S ？ （裂项相消法）小结：探索性问题的解决过程（试值→猜想、归纳→证明）② 练习：是否存在常数a 、b 、c 使得等式132435......(2)n n ⨯+⨯+⨯+++=21()6n an bn c ++对一切自然数n 都成立，试证明你的结论.解题要点：试值n =1,2,3， → 猜想a 、b 、c → 数学归纳法证明2. 练习：① 已知 0(1,2,,)i a i n >=，考察111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥；123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥之后，归纳出对12,,,n a a a 也成立的类似不等式，并证明你的结论.② （89年全国理科高考题）是否存在常数a 、b 、c ，使得等式 （答案：a =3,b =11,c =10） 12222(1)223.....(1)()12n n n n an bn c +⨯+⨯+++=++对一切自然数n 都成立？并证明你的结论3. 小结：探索性问题的解决模式为“一试验→二归纳→三猜想→四证明”.三、巩固练习：1. 平面内有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n 个圆将平面分成f (n )=n 2－n +2个部分.2. 是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意正整数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. （答案：m =36）3. 试证明面值为3分和5分的邮票可支付任何(7,)n n n N >∈的邮资.证明：（1）当8,9,10n =时，由835,9333,1055=+=++=+可知命题成立；（2）假设(7,)n k k k N =>∈时，命题成立. 则当3n k =+时，由（1）及归纳假设，显然3n k =+时成立.根据（1）和（2），可知命题成立.小结：新的递推形式，即（1）验证00(),(1),,P n P n + 0(1)P n l +-成立()l N ∈；（2）假设()P k 成立，并在此基础上,推出()P k l +成立. 根据(1)和(2)，对一切自然数0()n n ≥,命题()P n 都成立.2. 作业：教材108 A 组1、2题.。
2.3数学归纳法教案(人教B版选修2-2)
4.1.2数学归纳法教学目标：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
教学难点：明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用。
教学过程一、复习：1、数学归纳法:对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n=k(k ∈N*，k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2、数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n =n 0时，命题成立，再假设当n =k (k ≥n 0，k ∈N *)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n =k +1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.3、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确；(2)假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n =k +1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确二、引入新课 例1：求证：333)2()1(++++n n n 能被9整除，+∈N n 。
证明：（1）当n =1时，36)21()11(1333=++++，36能被9整除，命题成立；（2）假设n ＝k (k ≥1)时，命题成立，即333)2()1(++++k k k 能被9整除。
当n ＝k +1时， [])33(9)2()1(33333)2()1()3()2()1(2333322333333+++++++=+∙+∙+++++=+++++k k k k k k k k k k k k k由假设可知，上式的两部分都能被9整除。
故n ＝k +1时，命题也成立。
根据（1）和（2）可知对任意的+∈N n ，该命题成立。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 2.3.2 数学归纳法应用举例》6
数学归纳法【教学目标】知识与技能：理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的步骤；过程与方法：经历观察、思考、分析、抽象、概括出数学归纳法的两个步骤，初步形成归纳、猜想和发现的能力；情感态度价值观：通过数学归纳法的学习初步形成严谨务实的科学态度和严谨的数学思维品质与数学理性精神。
【教学重点】理解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤。
【教学难点】运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
【教后反思】【教学过程】一、探索新知1、了解多米诺骨牌游戏，可得，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。
思考：条件（1）（2）的作用是什么？2、用多米诺骨牌原理解决数学问题。
思考：你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？分析：3、数学归纳法的原理一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值0n 时命题成立（0n 为n 取的第一个值 ）；（2）（归纳递推）假设),(*0N k n k k n ∈≥=时命题成立，证明当1+=k n 时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立。
上述证明方法叫做数学归纳法。
注：（1）这两步步骤缺一不可；（2）用数学归纳法证明命题时第二步必须用到归纳假设；（3）数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。
二、例题讲解例一、已知数列{}n a ,111,1n n n a a a a +==+，用数学归纳法证明其通项公式为1n a n =。
【教学预设】 【教学过程】【学生活动】例二、用数学归纳法证明：等差数列{a n }中，a 1为首项，d 为公差，则通项公式为d n a a n )1(1-+= 。
【教学预设】 【教学过程】【学生活动】例三、用数学归纳法证明：2)1()13(1037241+=+++⨯+⨯+⨯n n n n 。
人教版高中选修(B版)2-22.3.2数学归纳法应用举例教学设计
人教版高中选修(B版)2-22.3.2数学归纳法应用举例教学设计一、教学目标1.理解和掌握数学归纳法的基本思想和应用方法；2.能够运用数学归纳法解决基础数学问题；3.提高学生的逻辑思维能力和数学综合运用能力。
二、教学重点1.数学归纳法的基本思想和应用方法；2.运用数学归纳法解决数学问题。
三、教学难点1.如何将具体问题抽象成数学问题；2.如何运用数学归纳法解决一般的数学问题。
四、教学过程1. 导入（5分钟）教师请一名学生出示一个简单的数学问题，如“证明1+2+3+…+n=n(n+1)/2”，引出本节课的主题：数学归纳法。
2. 讲解数学归纳法（10分钟）教师讲解数学归纳法的基本思想和应用方法，包括三个步骤：证明基本事实、证明归纳假设、证明结论，引导学生了解数学归纳法的逻辑和掌握数学归纳法的基本思想和方法。
3. 运用数学归纳法解决数学问题（50分钟）教师让学生分组进行练习，举例几个基础问题，如证明1+2+3+…+n=n(n+1)/2、证明2^n>n，引导学生将具体的问题进行抽象，转化为数学问题，然后让他们运用数学归纳法解决问题，并让学生完成作业。
4. 拓展与归纳（15分钟）教师让学生讨论数学归纳法的应用领域，如证明等式、不等式或算术关系、结合律、分配律等，进一步理解数学归纳法的实际应用和重要意义。
5. 课堂小结（5分钟）教师对本节课的重难点进行总结，并留下必要的作业以巩固学生的掌握程度。
五、教学评价1.利用分组小结的方式，让学生进行交流与讨论，提高了课堂参与度和教学效果；2.教师讲解生动有趣，能够引起学生兴趣，提高了学生对数学归纳法的掌握程度；3.通过将数学归纳法运用于实际问题的解决中，提高了学生的数学应用能力和逻辑思维能力；4.教师对学生的独立思考与解决问题进行及时指导和帮助，有助于提高学生的学习效果和学术水平。
六、教学反思1.教学重点难点过于简单，在以后的教学中需要加强。
2.运用数学归纳法解决一些基础问题，应该鼓励学生将现实中不同的难题抽象成数学问题，并运用数学归纳法解决。
数学归纳法
陵县一中 张勇
说 课内容
1、教材分析 2、教学方法 3、学法指导
4、教学过程
5 、效果分析
一、
教材分析
1、教材的地位和作用
2、 重点、难点
3、 教学目标
（一）教材的地位和作用
数学归纳法数学归纳法是人教B版普通高 中课程标准实验教科书选修2-2第2章第三 小节的内容，此前学生刚学习了合情推理， 合情推理用的是不完全归纳法，结论的正 确性有待证明。通过本节课的学习，对培 养学生的抽象思维能力和创新能力，深化 不等式、数列等知识，提高学生的数学素 养，有重要作用。
3、有效训练
用数学归纳法证明： 1、1+2+3+…+n=n(n+1)/2 2、首项为a1，公比为q 的等比数列 的通项公式为：an=a1qn-1 (n∈N﹡)
作业:P72 1、3
课后思考题：归纳结论并证明：
S=1/(1•3)+1/(3•5)+1/(5•7)+…+1/[(2n-1)•(2n+1)]
=a1+[(k+1)-1]d
(进行恒等变形)
这就是说当n=k+1时，等式也成立 由(1)(2)可以断定，等式对任何正整数都 成立
合作探究
例2、用数学 归纳法证明
2 1+3+5+…+(2n-1)=n
精讲点拨
知识小结：数学归纳法证明的步骤 递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉
2、课内探究
多米诺骨牌游戏成功依赖两个条件 (1)第一张牌被 推倒
(1)当n=1时,命题成立
(2)假设前一张牌被推倒，则后 一张牌也被推倒
2022年高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 2.3.1 数学归纳法》
数学归纳法
一教学目标
理解数学归纳法的原理和实质,并能初步运用
学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程,提高创新
能力。
二学情分析
数学归纳法是人教A版普通高中课程标准实验教科书选修2-2第2章第三小节的内容,此前学生刚学习了合情推理,合情推理用的是不完全归纳法,结论的正确性有待证明。
三数学归纳法的证明过程从特殊到一般的认识过程
四教学过程
第一学时
教学活动
活动1【导入】数学归纳法假设中间有一个骨牌发生意外没有倒下,情况又会怎么样
从而得到骨牌要全部倒下依赖两个条件:一、第一张骨牌被推倒。
二、假设某一张牌倒下, 那么它的后一张牌必定倒下。
如此,骨牌就会全部倒下。
要证明等差数列通项公式的正确性,即证明对所有正整数N命题都成立,而要使得骨牌全部倒下,那么需要每一张骨牌都要倒下。
他们存在着相似点,假设用第一张骨牌倒下对应n=1时命题成立,用第二张骨牌倒下对应n=2时命题成立,以此类推,当骨牌全部倒下时,命题对所有的N成立。
活动2【讲授】数学归纳法二、假设n=时命题成立,证明n=1时命题也成立。
从而命题对所有正整数n都成立。
教师指出这种证明问题的方法就是数学归纳法,并板书数学归纳法的定义
活动3【练习】数学归纳法
例1、用数学归纳法证明:首项是a,公差是d的等差数列的通项公式例2、练习见t
活动4【作业】数学归纳法。
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数学归纳法（说课稿）
今天我说课的题目是《数学归纳法》，我将从教材分析、目标分析、教学过程、教法学法、评价分析五方面进行说课。
一、 教材分析
数学归纳法是人教B 版普通高中课程标准实验教科书选修2-2第2章第三小节的内容，此前学生刚学习了合情推理，合情推理用的是不完全归纳法，结论的正确性有待证明。
通过本节课的学习，对培养学生的抽象思维能力和创新能力，深化不等式、数列等知识，提高学生的数学素养，有重要作用。
根据课程标准，本节分为两课时，此为第一课时。
教学重点：了解数学归纳法的基本思想和掌握用数学归纳法证明问题的基本步骤 教学难点：正确理解第二步递推思想的实质
二、 目标分析
知识与技能：理解数学归纳法的原理和实质，并能初步运用。
过程与方法：学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力。
三、教学过程
（一）创设问题情景
1.情景创设
情景一：生活中的实际例子（摸出球的颜色问题）
情景二：已知数列{}5
a 的通项公式22(55)n a n n =-+，学生分别计算1a 、2a 、3a 、4a 的值，猜想n a 的值，计算5a 的值。
请学生创设一个由有限多个特殊事例得出一般
结论的数学公式。
情景三（学生自己创设）：学生共同回顾等差数列{}5a 通项公式推导过程：
11
213143123(1)n a a a a d
a a d
a a d
a a n d ==+=+=+=+
-
2.学生观察、分析以上三个情景，提出与分析问题，得出结论。
3.结论：这些用有限多个特殊事例得出的结论，有的正确，有的不正确。
因此不
能作为论证的方法。
（二）探索解决问题的方法
1.多媒体演示多米诺骨牌游戏。
师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：
（1）第一块要倒下;
（2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下;
当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下。
2.学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型）。
（1）n 取第一个值0n (例如 01n =)时命题成立;
（2）假设 n=k(k ∈*0,N k n ≥)命题成立，利用它证明n=k+1 时命题也成立。
满足这两个条件后，命题对一切n ∈*N 均成立。
（三）方法尝试
师生共同用探究出的方法尝试证明等差数列通项公式。
其中假设n=k 时等式成立，证明n=k+1时等式成立的证明目标和如何利用假设主要由学生完成。
（四）理解升华
1.置疑
对上面的证明方法，充分让学生置疑、提问。
2.论证（说理）
师生共同探讨数学归纳法的原理，理解他的严密性、合理性。
从而由感性
认识上升为理性认识。
本阶段用逻辑推理的形式展开研究：当一个命题满足上面（1）、（2）两个条件时
n=1⎫⎪⎬⎪⎭
⇒时命题成立因为有（2）正确（这时k=1）1,2n k =+⎫⎬⎭⇒即n=时命题成立因为有（2）正确(这时k=2)2, 3 n k n =+=⎫⎬⎭⇒即时命题成立因为有（2）正确（这时k=3） 14n k =+=时命题成立⇒5n =时命题成立⇒……即对一切*n N ∈，命题均成立。
让学生对以上逻辑推理进行充分置疑师生共同探讨数学归纳法的合理性。
思考：根据以上逻辑推理。