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微分中值定理【高等数学PPT课件】
可导，且
证：设辅助函数
显然 在 因此至少存在
上满足罗尔定理条件, 使得
推广： 存在
使
例3. 若
可导, 试证在其两个零点间一定有 的零点.
的零点. 的零点.
(2) 提示: 欲证:
使
只要证
亦即
二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
例1. 证明等式 证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又 经验: 欲证
故所证等式在定义域
上成立.
时
只需证在 I 上
自证:
例2. 证明不等式 证: 设 中值定理条件, 因此应有
即 因为
故 推论2: 若函数f 和g 均在区间上可导,且
证: M 和最小值 m .
若M=m,则 因此
故在[ a , b ]上取得最大值
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得
注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且
至少存在一点
使
证: 问题转化为证
作辅助函数
显然 ,
在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 由罗尔定理知至少存在一点
思路: 利用逆向思维找即出定一理个结满论足成罗立尔.定证理毕条件的函数
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
高等数学微分中值定理
定理2（拉格朗日中值定理） 设函数 f ( x ) 在 a , b 上连续，在 a , b 内可导， 则至少存在一点 a, b ，
f (b ) f (a ) . 使得 f ( ) ba
分析：如 图3.3，定理2实际是让我们证明曲线 f ( x )
B 点所在直线 其切线平行于 A， 上存在一点 , f ， y f ( ) l ( x ) 0 l ( x )， 即 y f ( x)
y
C
y f ( x)
o a
1
2
b
x
物理解释: 变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零.
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定理1（罗尔定理） 设
f ( x ) 在 a , b 上连续，在
y
y f (x)
(a , b) 内可导，且 f (a ) f (b)， o
则至少存在一点 a, b 使得 f ( ) 0 ．
高等数学多媒体课件
§3.1 微分中值定理
第三章
微分中值定理与导数的应用
第二我们给出了函数导数的定义，研究了导性态与函数的图像．
由于函数在一点的导数只反映函数的局部性态，因此要
用导数来研究函数的性质及其图像，就必须在函数的定义域
内研究函数的自变量、因变量与导数之间的关系，这一理论 就是微分中值定理，微分中值定理是研究函数性态和函数图 像的理论基础．
f (b ) f (a ) . 使得 f ( ) ba
f ( ) l ( x ) 0 f ( x ) l ( x ) x = 0．
因此，只要证明 f ( x ) l ( x ) 在 a , b 上满足罗尔定理条件， 定理即可证明. 事实上, 易知
大学高等数学上册：3-2 微分中值定理
2
,
2
使 f cos f sin 成立．
【例4】 设 f x在0,1上可导 , 且f 1 0 , 求证：
至少存在一点 0,1 ,成立f f .
证明： 令F x xf x , 则F(x)在[0,1]上可导，
且F 0 0 , F 1 f 1 0
由罗尔定理知至少存在一点 0,1 ,使F 0 . 所以f f .
证明： a,b 使 f 1. 分析：f 1 f 1 0 f x 1 0 在 ( a, b ) 内有解 F x Fx ?
【证明】作辅助函数F(x) = f (x)－x
显然F(x) 在[ a, b ] 上连续，在 ( a, b ) 内可导，且
F(a) = F(b) = 0 由Rolle 定理得：
a,b 使 f 0
若用参数方程
x = g(t) y = f (t)
的图形与性质不变． y
f (b)
t a, b 来表示曲线，则曲线
x = g(t)
C
y = f (t)
B
f (a)
A
o g(a) g
D
g(b)
x
C 点切线与端点连线 AB 平行．
f
若记 C 点对应的参数为 ，则C
第3章 微分学基本定理
§3.2 微分中值定理
罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理
费马(Fermat) 定理：若f ( x ) 在 x0的某邻域N x0 内有定
义，f x0 是 f ( x ) 在 N x0 内的最大 (或最小) 值，则当f ( x )
在 x0 处可导时，必有 f x0 0．
故由Fermat 定理得 f 0.
由①②可知Rolle 定理成立．
注意
高等数学- 中值定理
例4 证明 arctan x arc cot x ( x ).
2
( x (0,1) ) .
拉四、格设朗a日 b(La0g，ranng1e，)中证值明定理主要用来证明不等式
nb n1 (a b) a n bn na n1 (a b) .
例五5、证明下列不等式：
1、 arctana arctanb a b ； 2、当x 1时，e x ex .
两个重要结论: (1) 如果函数 f ( x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f (x) 在区间 I 上是一个常数. 即x (a,b),若有 f ( x) 0 f ( x) C
(2) x (a,b),若有 f ( x) g( x) f (x) g(x) C
例3 验证 f (x) arctan x 在[0,1] 上满足 Lagrange中值定理的条件 .
则在 (a,b) 内至少存在一点 ，使 f() =0 .
例1 验证 f (x) x2 2x 3在区间[1,3]上满足 Rolle定理.
几何解释:
y
连续光滑曲线 y f (x)
C
在点 A、B处纵坐标相
等,则弧 AB 上至少有一
点C ,在该点处的切线是
水平的.
o a 1
y f (x)
2 b x
(1) f C[a,b] D(a,b) 且 f (a) f (b)
(a,b) , 使 f ( ) 0 ;
(2) f C[a,b] D(a,b)
(a,b)，使 f (b) f (a) f ( );
ba
f ( x) 在 x0, x1 之间满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 (在 x0, x1 之间),使得 f () 0. 但 f ( x) 5( x4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, x0为唯一实根.
2
( x (0,1) ) .
拉四、格设朗a日 b(La0g，ranng1e，)中证值明定理主要用来证明不等式
nb n1 (a b) a n bn na n1 (a b) .
例五5、证明下列不等式：
1、 arctana arctanb a b ； 2、当x 1时，e x ex .
两个重要结论: (1) 如果函数 f ( x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f (x) 在区间 I 上是一个常数. 即x (a,b),若有 f ( x) 0 f ( x) C
(2) x (a,b),若有 f ( x) g( x) f (x) g(x) C
例3 验证 f (x) arctan x 在[0,1] 上满足 Lagrange中值定理的条件 .
则在 (a,b) 内至少存在一点 ，使 f() =0 .
例1 验证 f (x) x2 2x 3在区间[1,3]上满足 Rolle定理.
几何解释:
y
连续光滑曲线 y f (x)
C
在点 A、B处纵坐标相
等,则弧 AB 上至少有一
点C ,在该点处的切线是
水平的.
o a 1
y f (x)
2 b x
(1) f C[a,b] D(a,b) 且 f (a) f (b)
(a,b) , 使 f ( ) 0 ;
(2) f C[a,b] D(a,b)
(a,b)，使 f (b) f (a) f ( );
ba
f ( x) 在 x0, x1 之间满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 (在 x0, x1 之间),使得 f () 0. 但 f ( x) 5( x4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, x0为唯一实根.
高等数学 微分中值定理与导数的应用
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b). 结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
f (b) f (a) f ( )
ba
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
有一点(a b),使等式
f (a) F (a)
f (b) F (b)
f F
' () 成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
结构图
特例
推广
Rolle定理
Lagrange定理
Cauchy定理
拉格朗日中值定理又称微分中值定理.
第二节 洛必达法则
一、0 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
1
2 b x
切线，在曲线弧AB上至少有一点C ,在该点处的
切线是水平的.
注① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导
区间端点处的函数值相等； 这三个条件只是充分条件，而非必要条件
如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足(3) 却在(-1,2)内有一点 x=0 使
第三章 微分中值定理与导数的应用
§3. 1 微分中值定理
一、罗尔(Rolle)定理
定理(Rolle) 若函数f ( x ) 满足 （1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导 （3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)
则在(a,b)内至少存在一点 , (a,b)使得函数 f ( x)在该点的导数为零，即 f ( ) 0
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b). 结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
f (b) f (a) f ( )
ba
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
有一点(a b),使等式
f (a) F (a)
f (b) F (b)
f F
' () 成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
结构图
特例
推广
Rolle定理
Lagrange定理
Cauchy定理
拉格朗日中值定理又称微分中值定理.
第二节 洛必达法则
一、0 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
1
2 b x
切线，在曲线弧AB上至少有一点C ,在该点处的
切线是水平的.
注① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导
区间端点处的函数值相等； 这三个条件只是充分条件，而非必要条件
如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足(3) 却在(-1,2)内有一点 x=0 使
第三章 微分中值定理与导数的应用
§3. 1 微分中值定理
一、罗尔(Rolle)定理
定理(Rolle) 若函数f ( x ) 满足 （1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导 （3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)
则在(a,b)内至少存在一点 , (a,b)使得函数 f ( x)在该点的导数为零，即 f ( ) 0
《高等数学》 第三章
1
1
2
(b
a)
，所以
arctan b arctan a
1
12
(b a)
„baBiblioteka ．第一节 微分中值定理例 3 证明 arctan x arccot x π ． 2
证明 令 f (x) arctan x arccot x ，则 f (x) 在 R 上可导，且 xR 有
x
第一节 微分中值定理
例 4 如 果 f (x) 在 [a ，b] 上 连 续 ， 在 (a ，b) 内 可 导 ， 并 且
f (a) f (b) 0 ．证明，至少存在一点 (a ，b) ，使得 f () f () ．
证明 令 F (x) f (x)ex ，由已知，不难验证 （1） F(x) 在闭区间[a ，b] 上连续；（2） F(x) 在开区间 (a ，b) 内可导． 又因为 f (a) f (b) 0 ，所以 F(a) F(b) 0 ．因此， F(x) 在 [a ，b] 满足
f (b) f (a) f ( ) ． g(b) g(a) g( )
第二节 洛必达法则
在讲述极限运算法则的时候，经常会遇到类似下面的问题：
（1） lim x2 1 ； x1 x 1
（2） lim x ． x 1 x2
第一节 微分中值定理
二、拉格朗日（Lagrange）中值定理
定理 2 （拉格朗日中值定理）如果函数 f (x) 满足： （1） f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续； （2） f (x) 在开区间 (a ，b) 内可导． 则在 (a ，b) 内至少存在一点 ，使
f ( ) f (b) f (a) ．
高等数学-第三章微分中值定理与导数的应用
(3) y f ( x x) x (0 1).
增量y的精确表达式. 注 由(3)式看出, 它表达了函数增量和某点的
导数之间的直接关系. 这里 ,未定, 但是增量、
导数是个等式关系. 这是十分方便的. 拉格朗日中值公式又称 有限增量公式.
拉格朗日中值定理又称 有限增量定理.
微分中值定理
f ( x)在[1,2]上连续, 在(1, 2)内可导,
f (1) 0 f (2) (2) 结论正确
方程f ( x) 0, 即3x2 8x 7 0有实根
1 x1 3 (4
1
37),
x2
(4 3
37)
其中 x2 (1,2), 符合要求.
罗尔定理肯定了 的存在性, 一般没必要知道
c0
c1 2
cn n1
0.
试证方程
证设
c0 c1 x cn xn 0在(0,1)内存在一个实根.
f
(x)
c0 x
c1 2
x2
cn n1
x n1 ,
f ( x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
f (0) 0 f (1)
罗尔定理
在(0,1)内至少存在一个实根 , 使得f ( ) 0,
即 c0 c1 cn n 0 即x 为所求实根.
微分中值定理
拉格朗日 Lagrange (法) 1736-1813
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日中值定理 若函数f ( x)满足 : (1) 在闭区间[a, b]上连续; (2)在开区间(a, b)内可导;
g( ) f ( ) f (b) f (a) 0.
增量y的精确表达式. 注 由(3)式看出, 它表达了函数增量和某点的
导数之间的直接关系. 这里 ,未定, 但是增量、
导数是个等式关系. 这是十分方便的. 拉格朗日中值公式又称 有限增量公式.
拉格朗日中值定理又称 有限增量定理.
微分中值定理
f ( x)在[1,2]上连续, 在(1, 2)内可导,
f (1) 0 f (2) (2) 结论正确
方程f ( x) 0, 即3x2 8x 7 0有实根
1 x1 3 (4
1
37),
x2
(4 3
37)
其中 x2 (1,2), 符合要求.
罗尔定理肯定了 的存在性, 一般没必要知道
c0
c1 2
cn n1
0.
试证方程
证设
c0 c1 x cn xn 0在(0,1)内存在一个实根.
f
(x)
c0 x
c1 2
x2
cn n1
x n1 ,
f ( x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
f (0) 0 f (1)
罗尔定理
在(0,1)内至少存在一个实根 , 使得f ( ) 0,
即 c0 c1 cn n 0 即x 为所求实根.
微分中值定理
拉格朗日 Lagrange (法) 1736-1813
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日中值定理 若函数f ( x)满足 : (1) 在闭区间[a, b]上连续; (2)在开区间(a, b)内可导;
g( ) f ( ) f (b) f (a) 0.
高教社2024高等数学第五版教学课件-3.1 微分中值定理与洛必达法则
() = 时的特例.所以柯西中值定理又称为广义中值定理.
二
洛必达法则
1.未定式
当 → 0 （→ ∞ ） 若两个函数()与()都趋于零或者
()
都趋于无穷大，则极限
可能存在，也可能不存在.
()
→0
这种极限叫做未定式
通常把
0
∞
并简记为“ ”型或“ ”型．例如，
0
−
′ − ′()
显然 如果取() = 那么() − () = − ′ () = 1 从而柯西中值公
式就可以写成
() − () = ′ ()( − )
( < < ) .
这样就变成拉格朗日中值公式了，因此拉格朗日中值定理是柯西中值定理在取
′ () ≡ 0.
若 ≠ 由于() = ()，则最大值和最小值至少有一个在区间内部取
得，不妨设有一点 ∈ (, )使() = (如图3—1)．从而有
−
−
→
≥0
−
+
−
→
≤0
−′ = −
+′
=
故 ′ = 0.
→0
1
2
∞
这是1 型未定式,( )
1
2
+ ( ) =
→0
1
2
2
→0+
=
=
(
−
→0+ 2
1
)2
1
2
−
=
= .
2
,
0
0
∞
∞
本节的定理只能用于 或 型的函数的极限,对其他未定型必须先化为两种类
二
洛必达法则
1.未定式
当 → 0 （→ ∞ ） 若两个函数()与()都趋于零或者
()
都趋于无穷大，则极限
可能存在，也可能不存在.
()
→0
这种极限叫做未定式
通常把
0
∞
并简记为“ ”型或“ ”型．例如，
0
−
′ − ′()
显然 如果取() = 那么() − () = − ′ () = 1 从而柯西中值公
式就可以写成
() − () = ′ ()( − )
( < < ) .
这样就变成拉格朗日中值公式了，因此拉格朗日中值定理是柯西中值定理在取
′ () ≡ 0.
若 ≠ 由于() = ()，则最大值和最小值至少有一个在区间内部取
得，不妨设有一点 ∈ (, )使() = (如图3—1)．从而有
−
−
→
≥0
−
+
−
→
≤0
−′ = −
+′
=
故 ′ = 0.
→0
1
2
∞
这是1 型未定式,( )
1
2
+ ( ) =
→0
1
2
2
→0+
=
=
(
−
→0+ 2
1
)2
1
2
−
=
= .
2
,
0
0
∞
∞
本节的定理只能用于 或 型的函数的极限,对其他未定型必须先化为两种类
高等数学 第一节 微分中值定理
f ( x )
1 1 x
2
1 1 x
2
0
在 ( 1, 1 ) 内成立 .
所以 f ( x ) 在 ( 1, 1 ) 内取常数 c .
又 f (0) arcsin 0 arccos0 0 , 所以 c . 2 2 2 又 f ( 1) , 2 2 f ( 1) 0 . 2 2
2 2 为求 , 需解方程 cos x 2 . 1 sin x 2
9
设 y x, 2 y y 2 sin cos cos x sin y 2 2 cot y 2 . 则 2 2 1 sin x 1 cos y 2 sin 2 y 2 y tan 1 , y 2 arc tan 1 , 2 2 2 x y 2 arc tan 1 . 2 2 2 0 2 1 1 , 0 arctan 1 , 2 4 x 2 arc tan 1 0 , . 2 2 2 因此 , 取 2 arc tan 1 0 , . 2 2 2 ( ) ( 0) ( ) 2 确能使 ) (0) 成立 . 10 ( ) ( 2
使
或
y f (b) f (a ) f ( ) , ba f (b) f (a ) f ( ) (b a ) .
f (b) f (a ) 注 . 1. 弦的斜率 k . ba
2 . 若令 f (a ) f (b) ,
o
a
b
xБайду номын сангаас
《高等数学教学课件》§4.1微分中值定理
证明方法
柯西中值定理的证明
应用实例2
求解某些复杂函数的导数问题。
应用实例3
研究函数的单调性、极值和拐点等问题。
应用实例1
证明等式$lim_{x to a} frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)$。
柯西中值定理的应用实例
感谢观看
THANKS
详细描述
罗尔定理的表述
总结词：罗尔定理的证明基于中值定理和闭区间上连续函数的性质。通过构造一个新函数并利用中值定理证明存在至少一个点使得导数为零。
详细描述：证明罗尔定理的步骤如下
1. 构造新函数$F(x) = f(x) - f(a) - [f(b) - f(a)] cdot x$。
2. 证明$F(x)$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导。
《高等数学教学课件》§4.1微分中值定理
目录
微分中值定理的概述 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理
01
微分中值定理的概述
定义与性质
定义
微分中值定理是描述函数在某区间内至少存在一个点，使得在该点的导数等于该函数在此区间内两个端点处的函数值的差的定理。
性质
微分中值定理具有普遍性，适用于所有连续可导的函数；同时，它也是导数存在定理的推论，为研究函数的单调性、极值等问题提供了重要的理论依据。
3. 利用中值定理，存在至少一个点$c in (a, b)$，使得$F'(c) = 0$。
4. 由于$F'(c) = f'(c) - [f(b) - f(a)]$，所以$f'(c) = 0$。
罗尔定理的证明
总结词：罗尔定理在数学分析、微积分和实变函数等领域有广泛的应用，它可以用于证明一些重要的数学结论和解决一些数学问题。
柯西中值定理的证明
应用实例2
求解某些复杂函数的导数问题。
应用实例3
研究函数的单调性、极值和拐点等问题。
应用实例1
证明等式$lim_{x to a} frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)$。
柯西中值定理的应用实例
感谢观看
THANKS
详细描述
罗尔定理的表述
总结词：罗尔定理的证明基于中值定理和闭区间上连续函数的性质。通过构造一个新函数并利用中值定理证明存在至少一个点使得导数为零。
详细描述：证明罗尔定理的步骤如下
1. 构造新函数$F(x) = f(x) - f(a) - [f(b) - f(a)] cdot x$。
2. 证明$F(x)$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导。
《高等数学教学课件》§4.1微分中值定理
目录
微分中值定理的概述 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理
01
微分中值定理的概述
定义与性质
定义
微分中值定理是描述函数在某区间内至少存在一个点，使得在该点的导数等于该函数在此区间内两个端点处的函数值的差的定理。
性质
微分中值定理具有普遍性，适用于所有连续可导的函数；同时，它也是导数存在定理的推论，为研究函数的单调性、极值等问题提供了重要的理论依据。
3. 利用中值定理，存在至少一个点$c in (a, b)$，使得$F'(c) = 0$。
4. 由于$F'(c) = f'(c) - [f(b) - f(a)]$，所以$f'(c) = 0$。
罗尔定理的证明
总结词：罗尔定理在数学分析、微积分和实变函数等领域有广泛的应用，它可以用于证明一些重要的数学结论和解决一些数学问题。
高等数学》课件4.微分中值定理与导数的应用
思考题
1． 将拉格朗日中值定理中的条件 f (x) “在 闭区间[a,b]上连续”换为“在开区(a,b) 内连续” 后,定理是否还成立?试举例(只需画图)说明．
2． 罗尔(Rolle)中值定理是微分中值定理中一 个最基本的定理．仔细阅读下面给出的罗尔中值定理 的条件与结论,并回答所列问题．
罗尔(Rolle)中值定理 若 f (x)满足如下 3 条: (1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; (3) 在 区 间 [a,b] 端 点 出 的 函 数 值 相 等 , 即
例1
求
lim
x1
x3 x3 x
3x 2
x
2
． 1
解
lim
x 1
x3 x3 x
3x 2
x
2
1
=
lim
x 1
3x2 3x2
3 2x
1
= lim 6x = 6 = 3 ．
x1 6x 2
4
2
例 2 求lim1 cos x ． xπ tan x
解 lim1 cos x = lim sin x = 0．
推 论 2 如 果 对 (a,b) 内 任 意 x ， 均 有 f (x) g(x)，则在(a,b) 内 f (x)与 g(x)之间只差一个 常数，即 f (x) g(x) C （C 为常数）．
证 令F (x) f (x) g(x)，则F(x) 0，由推论 1 知 ， F(x) 在 (a,b) 内 为 一 常 数 C ， 即 f (x) g(x) C, x (a,b)，证毕．
f (a) f (b),则在开区间(a,b) 内至少存在一点 ,使 得 f ( ) 0．
需回答的问题: (1) 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与
高等数学上3.1中值定理.ppt
即ln(1 x) xf ( ), (0 x)
又 f ( x) 1 , 1 x
ln(1 x) x ,
1
又0 x 1 1 1 x
1 1 1,
1 x 1
x x x, 1 x 1
即 x ln(1 x) x. 1 x
证毕
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[x0, x0 x] (a,b), 上的拉格朗日定理，
零点定理 用不上!
证明：设F(x) 4ax3 3bx2 2cx a b c F( x) ax4 bx3 cx2 (a b c)x
?!
F(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导, F(0) F(1) 0,
由Rolle定理知，至少 (0，1),使F( ) 0,
即: 4a 3 3b 2 2c a b c 0.
k过M或D点红线 ,
X F(x)
C
Y f ( x)
M
B
在曲线弧AB上至少有一点 A
N
C(F ( ), f ( )),在该点处的
切线平行于弦AB.
o F(a) F(1) F(x)
D
F (2 )F (b)
X
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柯西（Cauchy）中值定理 若函数 f ( x )及 F ( x )满足：
例2. 证明方程
正实根 .
有且仅有一个小于1 的
证: 1) 存在性 .
存在 x0 (0,1),
使
f ( x ) 0, 0
2) 唯一性 .
假设另有
使f ( x ) 0, 1
f ( x)在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 ,
在 x0 , x1 之间 至少存在一点
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第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
三、柯西中值定理
定理3.1.3 （柯西中值定理）
设函数y=f(x)与y=g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间 (a,b)内可导，且 g(x)在(a,b)内恒不为零，则至少存在 一点 ∈(a,b)，使得
f (b) f (a ) f ( ) g(b) g(a ) g( )
（或稳定点、临界点)．
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
引理的直观意义: 可导函 数极值点处的切线平行于 x 轴.
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
定理3.1.1 （罗尔中值定理）设函数y= f(x)在区间 [a,b]上有定义，如果
（1）函数 f (x)在闭区间[a，b]上连续； （2）函数 f (x)在开区间（a，b）内可导； （3）函数 f (x)在区间两端点处的函数值相等，即
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
第一节 微分中值定理
本节主要内容:
一.罗尔中值定理
二.拉格朗日中值定理 三.柯西中值定理
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
一、罗尔中值定理
费马（Fermat）引理 函数y=f(x)在N(x0, )有定义， y=f (x0)存在， f(x) f(x0) (f(x) f(x0)) 定义3.1.1 导数等于零的点称为函数的驻点
上面两式相比即得结论.
两个 不 一定相同
错!
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
几何意义：
弦的斜率
切线斜率
b) f (a) O g (a ) g ( )
dy f ( t ) 注意： dx g ( t )
g(b)x
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
f ( x)
'
1
由推论1知 又因为 所以 C
1 x2 f (x)=C
1 1 x2
0
f (0) arcsin 0 arccos 0 0
2
即
2 2 π arcsin x arccos x (1 ≤ x ≤ 1) 2
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
罗尔定理的几何意义：如果连续函数除两个端 点外处处有不垂直于x轴的切线，并且两端点处纵坐
标相等，那么在曲线上至少存在一点 ，在该点处
的切线平行于x 轴(如下图）。
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
两点说明： 1.罗尔定理中的ξ是(a,b)内的某一点，定理仅从理论 上指出了它的存在性，而没有给出它的具体取值； 2.罗尔定理的条件是充分非必要条件，只要三个条件 均满足，就充分保证结论成立。但如果三个条件不全 满足，则定理的结论可能成立也可能不成立。看如下
注意：拉格朗日中值定理是柯西中值定理当g(x)=x时 的一种特例。
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
分析: g(b) g(a ) g( )(b a ) 0 a b
f (b) f (a ) g( ) f ( ) 0 问题转化为证 g(b) g(a )
所以至少存在一点ξ (在x1 ，x0之间),使得f (ξ)=0
但f (x)=5x4-5<0 , x∈(0,1),矛盾,所以为唯一实根.
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
例3 不求函数f (x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数，说明方 程 f (x)=0有几个实根．
解 函数f(x)在R上可导,所以在区间[1,2],[2,3]上满足 罗尔定理的条件,所以在区间（1,2)（2,3)内分别至少有 一实根；
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
由罗尔定理知, 至少存在一点
使
即
f (b) f (a ) f ( ) . g(b) g(a ) g ( )
思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?
f (b) f (a ) f ( )(b a ), (a , b) g(b) g(a ) g( )(b a ), (a , b)
连线，其斜率为
f (b) f (a ) k f ( ) ba
'
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
推论1
设 y=f (x) 在 [a, b] 上连续，若在(a, b)内
的导数恒为零，则在[a, b]上 f (x) 为常数.
f ( x ) 0 f ( x ) C
推论2 如果函数y=f(x)与y=g(x)在区间(a,b)内的
因此可取 (a,b) 内任意一点作为而使得f (ξ)=0成立。
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
(2) 若 m<M，因为 f(a)=f(b)，因此m、M 不可能同时
是两端点的函数值，即最小值 m 和最大值 M至少有一
个在开区间(a,b)内部取得，
不妨设 f (ξ)=M， ξ∈ (a,b). 由条件(2)和费马定理推知 f (ξ)=0.
例子：
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
x 0 x 1时 例 f ( x) x 1时 0 (1) f ( x )在[0,1]上连续 (2) f ( x )在(0,1) 内可导
y
( 3) f (0) f (1).
不 , 使f ( ) 0.
f ( x ) x , x [1,1]; 例 连续 (1) f ( x )在[1,1]上
x ln(1 x ) x 例5 证明：当x>0时， 1 x
证明 设f (x)=ln(1+x),则f (x)在[0,x]上满足拉格朗日 中值定理的条件，即
f ( x ) f (0) f ( )( x 0),(0 x ) 1 由于 f (0) 0, f ( x ) 1 x x 所以上式变为 ln(1 x ) 1 x x x 因为0<<x，所以 1 x 1 x ln(1 x ) x 即 1 x
内可导 (2) f ( x )在( 1,1)
0 y
1
x
(3) f ( 1) f (1).
不 , 使f ( ) 0.
1
0
1
x
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
例
f ( x ) x , x [0,1];
(1) f ( x )在[0,1]上 连续 (2) f ( x )在(0,1) 内可导
（2） f (x)=3x2+8x-7在（-1,2）内存在；
（3）f (-1)=f (2)= 0； 所以 f(x)满足定理的三个条件. 令f (x)=3x2+8x-7=0 解得 x 4 37
37 4 则 ( 1 , 2) 就是要找的点，显然有f (ξ)=0. 3
3
第三章 导数的应用
构造辅助函数
( )
f (b ) f (a ) ( x) g( x ) f ( x ) g(b) g(a ) f (b ) f (a ) g( x ) f ( x ) 证: 作辅助函数 ( x ) g(b) g(a ) 则 ( x) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 f (b) g(a ) f (a ) g(b) (a ) (b) g (b ) g (a )
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
定理的证明 因为函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，函数 f(x) 在闭区 间 [a,b] 上必能取到最大值 M 和最小值 m ,考虑两种可能 的情况： (1) 若 m=M,则 f(x) 在 [a,b] 上恒等于常数 M(或 m),
因而在 (a,b) 内处处有f (x)=0，
内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
费马引理
f (b) f (a )
拉格朗日中值定理
g( x ) x f (b) f (a ) g( x ) x 2. 微分中值定理的应用 (1) 证明恒等式 (2) 证明不等式 (3) 证明有关中值问题的结论
罗尔定理 柯西中值定理
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
即
f (b) f (a ) ( ) f ( ) 0 ba f (a)- f (b)= f ()(b-a)
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
几点说明： 1.拉格朗日中值定理的两个条件是使结论成立的充
分不必要条件；
2.当f (a)=f (b)时，拉格朗日中值定理即为罗尔中值 定理； 3.设f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导,x0,x0+x∈(a,b) 则有
又 f (x)=0是二次方程,至多有二个实根； 所以方程f (x)=0 有且仅有两个实根,它们分别落在区 间（1,2) （2,3)内．
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
二、拉格朗日中值定理
定理3.1.2 （拉格朗日中值定理）
设函数 y=f(x)满足 （1）在闭区间[a，b]上连续； （2）在开区间（a，b）内可导； 那么在(a，b)内至少存在一点 (a< <b) ，使得 f (b)- f (a)= f ()(b-a)或
f (a)= f (b)；则在（a，b）内至少存在一个点 a< <b， 使得f ()=0 . 例如, f ( x ) x 2 2 x 3 ( x 3)( x 1).
在[1,3]上连续, 在( 1,3)上可导, 且 f ( 1) f ( 3) 0, f ( x ) 2( x 1), 取 1, (1 ( 1,3)) f () 0.