高等量子力学习题汇总(可编辑修改word版)
高等量子力学习题
高等量子力学习题† 量子力学中的对称性1、 试证明：若体系在线性变换Qˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。
这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Qˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ-Q 。
进一步证明，若Q ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。
2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R ze的矩阵表示。
3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n转θd 角，在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψ =。
试导出转动算符),(θd n U的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。
4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。
5、 证明宇称算符的厄米性和幺正性，并证明宇称算符为实算符。
6、 试证明幺正算符U 与复数共轭算符K 的乘积为反幺正算符。
7、 试证明自旋不为零的粒子的时间反演算符可表为K e T y S i π-=。
8、 试讨论由时间反演不变性引起的Kramers 简并。
† 角动量理论1、 角动量算符可以从两个方面来定义，一种是按矢量算符三个分量所满足的对易关系定义，另一种是按坐标系转动时，态函数的变换规律来定义，试证明这两种定义是等价的。
2、 试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。
3、 定义角动量升降算符yx J i J J ˆˆˆ±=±，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数j ，相应的磁量子数m 的取值范围。
4、 给出角量子数1=j 情况下，角动量平方算符及角动量各分量的矩阵表示。
5、 设总角动量算符21J J J +=，1J 、2J相应的角量子数分别为1j 和2j ，试讨论总角动量量子数j 的取值情况。
6、 利用已知的C-G 系数的对称性关系，证明以下三个关系式：11332222221133111122332233221111212)1(1212)1(1212)1(32313m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j C j j C j j C j j C -+----+++-=++-=++-=7、 已知在3ˆs表象中，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102ˆ1 s ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=002ˆ2i i s ，问在1ˆs 表象中2ˆs 的矩阵表示是怎样的？ 8、 已知∑>>>=113322112211|||m m m j m j m j m j m j Cjm ，其中m m j j jm m j ''|''δδ>=<，1111''1111|''m m j j m j m j δδ>=<，2222''2222|''m m j j m j m j δδ>=<。
高等量子力学习题
高等量子力学习题班级成绩Chapter 7 晶体中电子在电场和磁场中的运动学号（the movement of crystal electron in electric姓名field and magnetic field）一、简要回答下列问题（answer the following questions）：1、何谓准自由电子？2、晶体中电子的速度是怎样描述的？证明对于能带中的电子，k 状态和－k状态的电子速度相等，方向相反。
3、何谓准动量？加速度和有效质量是怎样定义的？4、有效质量是否为电子的真实质量？引入有效质量的目的是什么？5、半导体和绝缘体的能带有何异同？6、当有电场后，满带中的电子能永远漂移下去吗？加电场后，空穴向什么方向漂移？二、解释下列物理概念（explain the following physics concepts）1、波包2、回旋共振和德?哈斯－范?阿尔芬效应3、金属与半金属三、已知一维晶格中电子的能带可写成 )2cos 81cos 87()(22ka ka ma k E +-=式中a 是晶格常数，m 是电子的质量，求1、能带宽度；2、电子的平均速度；3、在带顶和带底的电子的有效质量。
四、已知某简立方晶体的晶格常数为a ，其价电子的能带为B a k a k a k A E z y x +=)cos()cos()cos(1、已测得带顶电子的有效质量为22*2a m -= ，试求参数A ；2、求出能带宽度；3、求出布里渊区中心点附近电子的状态密度。
五、设电子等能面为椭球 222222312123()222k k k E k m m m =++外加磁场B 相对于椭球主轴方向余弦为,,αβγ，1、写出电子的准经典运动方程，2、求电子绕磁场的回转频率。
六、简述能带论的局限性。
高等量子力学练习题及答案解析
练习28.1 证明: ()[]()t G t G -=-++00证明: 根据公式(28.4)()()()00H t t ie t t it t G '--±'±='-θ可知()()00tH ie t it G-+-=θ()()()00H t i e t i t G ---+=-θ则()[]()()000tH i tH i e t ie t i t G θθ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-++()()()t G e t i H t i-==---00θ #28.2证明下列二式成立：()()()()⎰∞∞-±±±±--+-=-''dt 't t VG ''t t G 't t G 't t G 00()()()()⎰∞∞-±±±±--+-=-''dt 't ''t VG ''t t G 't t G 't t G 00证明：因为：()()()⎰∞+∞---±±π=-dE e E G 21't t G 't t E i()()()⎰∞+∞---±±π=-dE e E G 21't t G 't t E i00又因为：()()()()E VG E G E G E G 00±±±±+=即有()()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G dE e E VG E G 21't t G dE e E VG E G 21dE e E G 21dE e E VG E G E G 21dE e E G 21't t G '00't t E i00't t E i 0't t E i 0't t E i00't t E i00--+-=π+-=π+π=+π=π=-±∞+∞-±±∞+∞---±±±∞+∞---±±∞+∞---±∞+∞---±±±∞+∞---±±⎰⎰⎰⎰⎰⎰又因为()()()()()()()E VG E G E G E VG E G E G E G 0000±±±±±±±+=+=同理可证得()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G '00--+-=-±+∞∞-±±±⎰综上所述()()()()()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G ''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G '0'00--+-=---+-=-±∞+∞-±±±±+∞∞-±±±⎰⎰两式成立。
（完整版）高等量子力学习题汇总
（完整版）⾼等量⼦⼒学习题汇总第⼀章1、简述量⼦⼒学基本原理。
答：QM 原理⼀描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的⽮量,只相差⼀个复数因⼦的两个⽮量，描写挺⼀个物理状态。
QM 原理⼆ 1、描写围观体系物理量的是Hillbert空间内的厄⽶算符(A)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、⼀个任意态总可以⽤算符A ?的本征态ia 展开如下：ψψi i i iia C a C==∑；⽽物理量A 在ψ中出现的⼏率与2i C 成正⽐。
原理三⼀个微观粒⼦在直⾓坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[]ij j i i p x δη=?,? 原理四在薛定谔图景中，微观体系态⽮量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔⽅程给()()t H t ti ψψ?=??η在海森堡图景中，⼀个厄⽶算符()()t A H ?的运动规律由海森堡⽅程给出：()()()[]H A i t A dt d H H ?,?1?η= 原理五⼀个包含多个全同粒⼦的体系，在Hillbert 空间中的态⽮对于任何⼀对粒⼦的交换是对称的或反对称的。
服从前者的粒⼦称为玻⾊⼦，服从后者的粒⼦称为费⽶⼦。
2、薛定谔图景的概念？答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态⽮随时间⽽变⽽x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来⾃()t ψ⽽x 来⾃x ，这叫做薛定谔图景.3、已知.10,01= =βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=±>=±x S 4、已知：P 为极化⽮量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为：求证：答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2则：P x =2(x 1x 2+y 1y 2) P y =2(x 1y 2-x 2y 1) P z =x 12+y 12-x 22-y 22 P 2=P x 2+P y 2+P z 2=4(x 1x 2+y 1y 2)2+4(x 1y 2-x 2y 1)2+(x 12+y 12-x 22-y 22)2=4(x 12x 22+y 12y 22+x 12y 22+x 22y 12)+(x 14-2x 12x 22-2x 12y 22-2x 22y 12-2y 12y 22-2x 22y 22+y 14+x 24+y 24) =(x14+2x 12x 22+2x 12y 22+2x 22y 12+2y 12y 22+2x 22y 22+y 14+x 24+y 24) =(x 12+y 12+x 22+y 22)2 =(|C 1|2+|C 2|2)2 5、6、证明不确定关系.————答案:对于两个可观测量A ∧和B ∧成⽴不等式：（1）先证明⼀个引理----schwarz 不等式：对于两个态⽮|α?和|β?，必有：（2）此不等式类似于对实欧式空间的两个⽮量a,b ，必有：（3）对任意复常数λ，我们有：（4）取||βαλββ??=-，代⼊上式可得（2）.现在证明（1）式：取（5）这⾥⽤态|?来强调对任何ket ⽮量都适⽤，于是（2）式给出：（6）因：（7）其中对易⼦,,A B A B ∧∧∧∧=???是⼀个反厄⽶算符，它的平⽅值恒为纯虚数，⽽反对易⼦},A B ∧∧是厄⽶算符，它的平⽅值恒为实数，于是：的模的平⽅等于。
高等量子力学试题库
高等量子力学试题库一、简述题1. (§1.4)试以一维线性谐振子基函数所构成的空间为例，说明一般矢量空间的维数与位形空间维数的区别 2. (§2.4)试述幺正算符的性质 3. (§3.2)试述本征子空间的概念 4. (§3.3)试述厄米算符完备组的概念和建立厄米算符完备组的必要性 5. (§6.2)试述量子力学的基本原理 6. (§11)试述相互作用绘景与薛定谔绘景、海森伯绘景的区别和联系7. (§17.2)设氢原子的定态狄拉克方程为 ψψβαE r e mc P c =-+⋅)ˆ(212 ，为求氢原子哈密顿算符Hˆ 确切的本征矢量，试确定包含Hˆ在内的厄米算符完备组 8. (§19)若系统的哈密顿具有下列对称性（1）空间反演（2）空间平移（3）空间转动（4）SO(4)（5）时间平移，试分别给出这些对称性所带来的守恒量9. (§21.2)对于 Fermi 子，试讨论由时间反演引起的简并。
（提示：参阅曾书335页） 10. (§23)试述角动量耦合与3j ，6j 和9j 符号之间的关系11. (§23.7)对具有两个价电子的原子，设两电子的轨道和自旋角动量分别为21,L L 和21,S S，试在希尔伯特空间中给出两组可能的耦合基矢 12. (§34.4)试给出位置表象中的Hartree-Fock 方程并叙述其物理意义 二、证明题1. (§1.1)利用矢量空间的加法运算法则证明零矢量是唯一的2. (§1.1)利用矢量空间的数乘运算法则证明：若0=a ψ，则0=a 或0=ψ3. (§1.2)对于任意ψ和ϕ，试证：ϕψϕψ+≤+4. (§1.5)试证明：若三个右矢ψ、ϕ和χ满足χϕψ=+，则有χϕψ=+5. (§2.3)证明定理：在复矢量空间中，若算符A 对其定义域中的任意ψ满足0=ψψA ，则必有0=A6. (§2.4)证明定理：算符H 为厄米算符的充要条件是对其定义域中的所有矢量ψ满足=ψψH 实数7. (§2.4)证明：若I U U =+，则对任意ψ和ϕ，U 满足ϕψϕψ=U U ，进而证明，幺正变换不改变矢量的模8. (§2.4)设U 是幺正算符，试证明：在矢量空间中，若{}iν是一组基矢，则{iU ν也是一组基矢9. (§2.5)证明投影算符是厄米算符，并由全空间的投影算符证明基矢的完全性关系 10. (§3.1)证明：复空间中厄米算符的本征值都是实数11. (§3.1)证明：厄米算符属于不同本征值的两个本征矢量互相正交12. (§3.1)证明：若B A ,两算符相似，则二者有相同的本征值谱，且每一本征值都有相同的简并度 13. (§6.6)设i a 是算符A 属于本征值i a 的本征函数，即满足i i i a a a A =，且定义物理量在状态ψ中的平均值为ψψA A =。
高等量子力学30节练习
a b a b a b a b 0 a b a† b a† b a b b b
(31.4) (31.6)
N b a† b a† b N b a† b a b a† b a† b a† b a b
2 3
3 1 3
1 类似可证： 112 112 , 111 111 1 3 (2)对于费米子系统 1 p 123 132 1 P 1 1 1 1 2 2 3 2 3 3 2 3 3! p 1 1 1 1 1 2 2 3 2 3 3 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 3 1 2 2 2 2 3 3 1 3 3! 1 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 2 3 1 1 2 1 2 2 1 2 3 3 3 3 1 1 2 1 2 2 3 2 3 3 1 3
(31.6)
a† b a† b a b a† b b b a† b a† b a b
(31.2)
a † b a † b a b b b a † b a † b a b
1 6
1 6
1 1 类似可证： 12 12 , 123 123 2 6
† 练习31.6 证明 N b 同 a b及 a b 的对易关系为(31.10)式 PF:已知 a† b a† b a† b a† b 0 (31.2)
d b d x d x x b b x † x x
1†
PF: N d bN b d ba b a b (31.21)
† x x d x a † b a b d b N N b †
高等量子力学习题1
k ijk j i S i S S ε=],[2322212S SS S ++=>>=+0|)(!1|n b n n ⎰=++-x x x x e e d ****2φφφφπφ高等量子力学第一章习题：1、 两个态矢量|+＞和|－＞形成完全集。
在它们所构成的Hilbert 空间中定义如下三个算符：试证明它们满足如下对易和反对易关系： ij j i S S δ2},{2=+ 并求出两个态矢量 |+＞和|－＞之间的翻转变换算符及算符 的表达式2、 二能级系统的哈密顿算符一般可表达为：H ＝a|1><1| + b|2><2| + c|1><2| + d|2><1|其中|1>和|2>分别表示二能级的状态，形成正交归一集。
问：H 的厄密性对系数a,b,c,d 有何限制?求该系统的能量本征值及相应的本征态矢量(表示为|1>和|2>的线性叠加)。
3、 已知一线性谐振子在其哈密顿表象中的本征态矢量为其中，基态|0>满足b|0>=0,并且b 和b +与其坐标和动量算符的关系为试求态矢量|n>转换到坐标表象表达式<x|n>。
4、 设某系统的哈密顿算符为: H(t)=a 1(t)J ++a 2(t) J 0+a 3(t) J －其中a i (t),i=1 , 2 , 3为任意时间t 的函数，J + , J 0 , J －为SU(1,1)群的生成元，其满足下述对易关系: [J + , J －]=－2 J 0 , [J 0 , J ±]=±J ±试证明该系统的时间演化算符可表示为:U(t,0)=exp[C 1(t)J +]exp[C 2(t)J 0]exp[C 3(t)J －] , 并导出确定C i (t)的方程.。
5、 已知算符b 和b +的对易关系为[b , b +]=1,在 b + b 对角表象的本征态矢量为且基态满足b|0>=0, 引入算符b 的本征态b|z>=z|z>试求归一化态矢量|z>在b + b 对角表象的表示式,由基矢量组|z>构成的表象称作为相干态表象，试求态矢量|n>在相干态表象的波函数6、 题的已知条件与题5相同，并可利用题5的结果，试证明：（i ）相干态表象的基矢量不具有正交性，并说明其原因。
量子力学试题及答案
量子力学试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 量子力学中的波函数描述了粒子的哪种属性？A. 位置B. 动量C. 能量D. 概率密度答案：D2. 哪个原理表明一个粒子的波函数可以展开成一组完备的本征函数？A. 泡利不相容原理B. 薛定谔方程C. 玻恩规则D. 量子态叠加原理答案：D3. 量子力学中，哪个算符代表粒子的位置？A. 动量算符B. 能量算符C. 位置算符D. 角动量算符答案：C4. 量子力学中，哪个原理描述了测量过程对系统状态的影响？A. 海森堡不确定性原理B. 量子纠缠C. 量子退相干D. 量子测量原理答案：D5. 哪个方程是量子力学中描述粒子时间演化的基本方程？A. 薛定谔方程B. 狄拉克方程C. 克莱因-戈登方程D. 麦克斯韦方程答案：A二、填空题（每题2分，共10分）1. 量子力学中，粒子的状态由______描述，而粒子的物理量由______表示。
答案：波函数；算符2. 根据量子力学，粒子的位置和动量不能同时被精确测量，这被称为______。
答案：海森堡不确定性原理3. 在量子力学中，粒子的波函数在空间中的变化遵循______方程。
答案：薛定谔4. 量子力学中的______原理指出，一个量子系统在任何时刻的状态都可以表示为该系统可能状态的线性组合。
答案：态叠加5. 量子力学中，粒子的波函数必须满足______条件，以保证物理量的概率解释是合理的。
答案：归一化三、计算题（每题10分，共20分）1. 假设一个粒子处于一维无限深势阱中，势阱宽度为L。
求该粒子在基态时的能量和波函数。
答案：粒子在基态时的能量E1 = (π^2ħ^2) / (2mL^2)，波函数ψ1(x) = sqrt(2/L) * sin(πx/L)，其中x的范围是0 ≤ x ≤ L。
2. 考虑一个粒子在一维谐振子势能中运动，其势能表达式为V(x) = (1/2)kx^2。
求该粒子的能级和相应的波函数。
答案：粒子的能级En = (n + 1/2)ħω，其中n = 0, 1, 2, ...，波函数ψn(x) = (1/sqrt(2^n n!)) * (mω/πħ)^(1/4) * e^(-mωx^2/(2ħ)) * Hn(x)，其中Hn(x)是厄米多项式。
高等量子力学习题
⾼等量⼦⼒学习题⾼等量⼦⼒学习题1、对于⼀维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作⽤是()()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。
设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x ei pa a D -=??= exp 。
2、当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。
3、若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。
4、给定算符B A ,，证明[][][]....,,!21,+++=-B A A B A B Bee AAξξ。
5、给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。
证明Glauber公式CA B C BA BA ee e ee e e2121==-+。
6、设U 为⼳正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满⾜122=+B A 和[]0,=B A 。
试找出A 和B ，并证明U 可以表⽰为iH e U =，H 为厄密算符。
7、已知⼆阶矩阵A 和B 满⾜下列关系：02=A ，1=+++AA A A ，A A B +=。
试证明B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。
8、对于⼀维谐振⼦，求湮灭算符a的本征态，将其表⽰为谐振⼦各能量本征态n 的线性叠加。
已知1?-=n n n a 。
9、从谐振⼦对易关系[]1,=+a a 出发，证明a e ae eaaaa λλλ--=++。
10、证明谐振⼦相⼲态可以表⽰为0*aa eααα-+=。
11、谐振⼦的产⽣和湮灭算符⽤a 和+a 表⽰，经线性变换得++=va ua b 和++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满⾜关系122=-v u 。
试证明：对于算符b 的任何⼀个本征态，2=p x 。
12、某量⼦体系的哈密顿量为，()223235++++=a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡+++a a aaa a 。
高等量子力学习题
高等量子力学习题1．分别取动量算符和初坐标算符为力学量完全集，求解一维自由粒子的薛定谔方程。
2．对于一维谐振子体系，在相干态中，计算坐标、动量、能量等物理量的平均值及其涨落。
3．均匀磁场i B B=中，有一定域电子，其哈密顿量为 x x eB H σωσμˆˆ2ˆ == 设0=t 时，电子自旋2=z S ，求t 时刻电子自旋S ˆ 的平均值。
4．电荷为q 的自由谐振子，置于均匀电场ε中，其哈密顿量为x q x m p m H εω-+=22221ˆ21ˆ 试确定该体系的能级。
5．不考虑自旋，取Landau 规范，带电粒子在垂直于均匀磁场k B B =的平面内运动的哈密顿量为 ()[]22ˆˆ21ˆqBx p p H y x -+=μ若取力学量完全集{}yp H ˆ,ˆ，则它们的共同本征函数可写为 ()()y p i y ex y x φ=ψ,试确定该体系的能级。
6．证明：在角动量z L ˆ的本征态下，角动量x L ˆ和yL ˆ的平均值均为0。
7．设量子体系的束缚态能级和归一化能量本征矢分别为n E 和n ，设λ为哈密顿量Hˆ含有的一个参数。
试证明 n H n E n λλ∂∂=∂∂ˆ 8．讨论一维无限深势阱()L x ≤≤0中电子气体的性质。
9．讨论边长为L 的二维盒子中电子气体的性质。
10． 讨论边长为L 的三维盒子中电子气体的性质。
11． 设力学量Aˆ满足最简单的代数方程 ()0ˆˆˆ2=++=βαA A Af βα,为常数。
试证明A ˆ有两个本征值，它们都是方程()0=x f 的根。
12． 以a a ,+表示费米子体系的某个单粒子的产生和消灭算符，它们满足关系()0,0,122===++++a a a a aa 。
以a a n +=ˆ表示该单粒子态上的粒子数算符。
（1）求nˆ的本征值；（2）计算[][]a n a n,ˆ,,ˆ+。
13． 试说明自由粒子量子力学的平面波解（箱归一化） ()()∞→<<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-L L x L e L t x t m p px i p ,,21,22 φ的经典极限不描述单粒子、而描述系综。
高等量子力学考试题
1.一个包含两个质量和频率都相同的线性谐振子系统，它们之间存在相互作用，其哈密顿算符为：121222222ˆˆˆ()()1ˆ()...(1,2)22i i i H H x H x x x H x m x i m x λω=++∂=-+=∂ (1) 试证明该系统可以表述为两个非耦合谐振子系统(2) 求出该系统的能量2.由李普曼-许温格方程01V E H i ϕε±±ψ=+ψ-± 试计算下列关系式： (1)b a ++ψψ(2) b a -+ψψ3.已知混沌场密度算符1H k T B Z e ρ--=，其中H k T B Z Tre -=，系统的哈密顿量1ˆ()2H a a ω+=+，求此混沌场系统中ˆN a a +=和2ˆN 平均值。
4.设两种系统的哈密顿能量分别为：221ˆˆˆˆˆ()()2H b b b b ωα++=+++和ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(1)()Ha ab b ab a b ωα++++=++++，其中ˆˆa b 、和++ˆˆa b 、为玻色子算符，求两种系统的元激发谱。
5.已知位移算符*ˆˆˆ()exp()Db b ααα+=-，α为非零复数，ˆb +是声子产生算符，ˆb 是声子消灭算符。
(1) 试计算关系式4()()?D b D αα+= (2) 将位移算符作用于声子真空态得到相干态()0D αα=，试证明相干态α就是ˆb的本征态，对应的本征值为α。
(3) 计算相干态在坐标表象中的结果：?x α=(4) 试证等式*()b αααααα+∂=+∂和*()b αααααα∂=+∂ (5) 试判断声子产生算符ˆb +是否存在本征态，并证明你的判断。
量子力学习题汇集
量⼦⼒学习题汇集第⼀章习题１．证明下列算符等式[][][][][][][][][][][][][][][]0,,,,,,,,,,,,,,,=+++=+=+=+B A C A C B C B A BC A C B A C AB CB AC A B BC A C A B A C B A２．设粒⼦波函数为),,(z y x ψ，求在()dx x x +, 范围内找到粒⼦的⼏率．３．在球坐标中，粒⼦波函数为()??ψ,,r ，试求：１）在球壳(r,r+dr)中找到粒⼦的⼏率；２）在()??,⽅向的⽴体⾓Ωd 中找到粒⼦的⼏率．４．已知⼒学量F 的本征⽅程为n n n F ?λ?=求在状态波函数332211ψc c c ++=下测⼒学量F 的可能值，相应的⼏率及平均值（假设波函数ψ已归⼀或不归⼀的情况）．第⼆章习题１．⼀粒⼦在⼆维势场∞=,,0),(y x V 其它by a x <<<<0,0中运动，求粒⼦的能级和波函数．能级是否简并２．由哈密顿算符()2232222212222z y x m m H ωωω+++?-=η所描述的体系，称各向异性谐振⼦．求其本征态和本征值．３．利⽤递推关系--=+-11212)(n n n n n x dx d ψψαψ证明()22222)2)(1()12()1(2并由此证明在n ψ态下2,0nE T P ==第四章习题１．证明 )cos sin (cos i A +=ψ为2L 和y L 的共同本征态，并求相应的本征值。
说明当体系处在此状态时，z L 没有确定值。
２．对于⼀转动惯量为I 的平⾯转⼦，其能量算符为IL H z 2=，求体系的能量本征态。
如??ψsin )0,(A =，求),(t ?ψ。
３．量⼦化对称陀螺的哈密顿量可写成()222212121z y x L I L L I H ++=试求该对称陀螺的能量本征值。
４．⼀质量为m 的粒⼦被限制在半径为a r = 和b r =的⼆个不可穿透同⼼球⾯之间运动，不存在其它势。
量子力学习题集
量⼦⼒学习题集量⼦⼒学习题第⼀章绪论1.1 由⿊体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极⼤值所对应的波长λm 与温度T 成反⽐，即λm T=b (常量）；并近似计算b 的数值，准确到⼆位有效数字。
1.2 在0K 附近，钠的价电⼦能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
1.3 氦原⼦的动能是E=3kT/2（k 为玻⽿兹曼常数），求T=1K 时，氦原⼦的德布罗意波长。
1.4 利⽤玻尔－索末菲的量⼦化条件，求：（1）⼀维谐振⼦的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电⼦轨道的可能半径。
已知外磁场H =10特斯拉，玻尔磁⼦M B =9×10-24焦⽿/特斯拉，试计算动能的量⼦化间隔?E ，并与T =4K 及T =100K 的热运动能量相⽐较。
1.5 两个光⼦在⼀定条件下可以转化为正负电⼦对。
如果两光⼦的能量相等，问要实现这种转化，光⼦的波长最⼤是多少？第⼆章波函数和薛定谔⽅程2.1 由下列两定态波函数计算⼏率流密度： (1) ψ1=e ikr /r , (2) ψ2=e -ikr /r .从所得结果说明ψ1表⽰向外传播的球⾯波，ψ2表⽰向内（即向原点）传播的球⾯波。
2.2 ⼀粒⼦在⼀维势场ax a x x x U >≤≤∞∞=00,,0,)(中运动，求粒⼦的能级和对应的波函数。
2.3 求⼀维谐振⼦处在第⼀激发态时⼏率最⼤的位置。
2.4 ⼀粒⼦在⼀维势阱ax a x U x U ≤>??>=,0,0)(0中运动，求束缚态(02.5 对于⼀维⽆限深势阱(0x 和?x ，并与经典⼒学结果⽐较。
2.6 粒⼦在势场xa a x x V x V ≤<<≤??-∞=00,0,,)(0中运动，求存在束缚态(E <0)的条件( ，m ，a ，V 0关系)以及能级⽅程。
2.7 求⼆维各向同性谐振⼦[V =21k (x 2+y 2)]的能级，并讨论各能级的简并度。
2.8粒⼦束以动能E =mk222从左⽅⼊射，遇势垒00,,0)(0≥=x x V x V求反射系数、透射系数。
高等量子力学习题一
1．1证明实直线是一个度量空间。
1．2在实数集合上，能定义一个度量吗？ 2(,)()d x y x y =−1．3证明(,)d x y =在实数集合上定义了一个度量。
1．4证明：12{,,,}n x x x "，其中i i x t =，是空间中的线性无关组。
[,]C a b 1．5证明：在维线性空间中，任一n V φ作为给定基矢量，，"，的线性组合，起表达式是唯一的。
1e 2e n e 1．6证明：同一个域上的两个线性空间和的卡氏积1V 2V 12=×V V V ，按下述方式定义代数运算12121122(,)(,)(,)φφψψφψφψ+=++1212(,)(,)c c c φφφφ=则它成为一个线性空间。
1．7求的基{的对偶基。
3\(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}1．8设123{,,}f f f 的对偶基是，其中123{,,}e e e 1(1,1,1)e =，2(1,1,1)e =−，3(1,1,1)e =−−是的一个基。
求3\1()f x ，2()f x ，3()f x ，其中。
(1,0,0)x =1．9证明内积空间上模数||||(,)φφφ≡满足平行四边形等式222||||||||2(||||||||)φψφψφψ++−=+21．10在内积空间中，若对所有的φ都有等式(,)(,)φεφη=，证明εη=。
1．11证明：任一有限维的内积空间都有一个正交归一基n 1{,,}n εε"。
1．12设()i ε是内积空间中的任一正交归一序列。
证明对任意的I φ，ψ∈I ，有1|(,)(,)|||||||||nk k k φεψεφψ=≤⋅∑1．13设和是希尔伯特空间H 到的线性算符。
若对一切1T 2T H φ∈H 都有12(,)(,)φφφ=T T φ，证明12=T T 。
1．14设T ：是用22[0,1][0,1]L L →()()()x t tx t =T 定义的算符。
高等量子力学练习3-5,4-4,4-5
( A − ai ) jiα
⇒ 它们线性无关，关于 正交 它们线性无关，关于j正交 则 ∑ ( A − a ) jiα ≠ 0 同（ ）矛盾， 矛盾，
j j
这种情况不可取
⇒ ( A − ai ) jiα = 0
A jiα = ai jiα
符合（ ② =0符合（ ） 符合
0 2 − 2 2 2
显然可验证: 显然可验证
M −1 = M †
(5)
0 2 0 0 −1 −1 M AM = 8 2 , M BM = −2 12 0 0
det S = ∏ S nn =∏ e
n
=e
i
∑ Hn
n
= exp ( i tr H )
附 ：
Hψ Sψ
( n)
= Hn ψ =e
iH
(n)
(n)
ψ
(n)
1 m m (n) =∑ i H ψ m m!
1 m m (n) iH n ( n) = ∑ i Hn ψ =e ψ m m!
矩阵的行列式和迹均与表象的选择无关，故上式适用于任何表象。 矩阵的行列式和迹均与表象的选择无关，故上式适用于任何表象。 算符的表象变换是一种相似变换。 二矩阵相似， 注：算符的表象变换是一种相似变换。若A、B二矩阵相似， 二矩阵相似
非简并
） :对n=4维空间 例:对n=4维空间
z
非简并
{ iα }
{
jβ
o x z
y
（简并）本征子空间(xoy) 简并）本征子空间
}
非简并
o x
y
非简并
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2i i i j i j ± 第一章1、简述量子力学基本原理。
答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。
QM 原理二1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符( Aˆ )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ˆ 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 Aˆ 的本征态 a i 展开如下： = ∑Ci aiiC i = a i ；而物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。
原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符 x ˆ 和相应的正则动量算符 p ˆ 有如下对易关系： [x ˆ , x ˆ ]= 0 ， [p ˆ , p ˆ ]= 0 ， [xˆi, p ˆ j]= i ij原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量(t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给i ∂ ∂t(t ) = Hˆ (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 Aˆ(H )(t ) 的运动规律由海森堡方程给出： d A ˆ(H ) (t ) = 1 [A ˆ(H ), H ˆ ]原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt iHillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。
服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。
2、薛定谔图景的概念？ 答：(x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t来自 ψ(t ) 而 x 来自 x，这叫做薛定谔图景.⎛1 ⎫ ⎛ 0⎫ 3、 已知= ⎪,= ⎪. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭1 ⎛1 ⎫ 1 | S x ± >=⎪ = ⎝ 1⎭ (± ).4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为：求 证：2 21 12 2 x y z 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 21 12 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2则：P x =2(x 1x 2+y 1y 2)P y =2(x 1y 2-x 2y 1) P z =x 2+y 2-x 2-y 2P 2=P 2+P 2+P 2=4(x x +y y )2+4(x y -x y )2+(x 2+y 2-x 2-y 2)2=4(x 2x 2+y 2y 2+x 2y 2+x 2y 2)+(x 4-2x 2x 2-2x 2y 2-2x 2y 2-2y 2y 2-2x 2y 2+y 4+x 4+y 4)=(x 4+2x 2x 2+2x 2y 2+2x 2y 2+2y 2y 2+2x 2y 2+y 4+x 4+y 4)=(x 2+y 2+x 2+y 2)2=(|C 1|2+|C 2|2)2 5、∧∧6、证明不确定关系.————答案:对于两个可观测量 A 和 B 成立不等式：（1）先证明一个引理 --- schwarz 不等式：对于两个态矢|〉 和| 〉 ，必有：（2）此不等式类似于对实欧式空间的两个矢量 a,b ，必有：对任意复常数，我们有：（3）（4）〈|〉 取= - 〈| 〉，代入上式可得（2）.现在证明（1）式：取（5）这里用态|〉 来强调对任何 ket 矢量都适用，于是（2）式给出：（6） 因：⎡ ∧ ∧ ⎤ ⎡ ∧ ∧ ⎤ （7） 其中对易子⎢∆ A , ∆ B ⎥ = ⎢ A , ∆ B ⎥ 是一个反厄米算符，它的平方值恒为纯虚数，而反⎢⎣ ⎦⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎧ ∧ ∧}对易子⎨∆ A , ∆ B ⎩是厄米算符，它的平方值恒为实数，于是：的模的平方等于。
7、证明：幺正算符的本征态互相正交.解: 设 |n ⟩ 是幺正算符 S 的一个本征态, 本征值为 n, 则 ⟨n|S |n ⟩ = n => ⟨n|S = ⟨n|n => S +|n ⟩ = n +|n ⟩即|n ⟩ 也是 S +的本征态，而 H = S + S + 是厄米算符， H |n ⟩ = (n + n +)|n ⟩故|n ⟩ 也是 H 的本征态，而厄米算符的本征态相互正交, 所以幺正矩阵的本征态相互正交.8、试证明：若体系在算子变换Q 下保持不变，则必有[H,Q]=0。
这里H 为哈密顿算符，变换Q 不显含时间，且存在逆变换Q-1。
9、论述态矢,波函数与图景,表象的关系,并说明薛定谔图景和海森堡图景的区别.答案: 态矢与图景有关而与表象无关,波函数作为态矢在基态上的投影却与表象有关和图景无关。
海森堡图景,态矢|（t（〉S依赖时间t 而基矢|x〉不含t,而对于海森堡图景而言，|〉H不含t，于是时间依赖性完全转移到|x,t〉H中去了。
10、求证11、请写出一维谐振子的经典哈密顿量2m ⎛ ⎝ 答：一维谐振子的经典哈密顿量： H =1 (P 2+ m 2w 2q 2 ) 2m12、产生,湮灭算符的定义,为什么把它们叫产生湮灭算符?答案: 产生,湮灭算符的定义如下：定义粒子数算符可以得到：∧ †由此可知 a ∧ | n 〉 和 a ∧| n 〉 分别是 N 的本征值为（n+1）和（n-1）的本征态。
故称其为产生湮灭算符。
13、证明谐振子在激发态中2 2⎛ 1 ⎫2∧∧∧ +⎫ ∧m ⎛ ∧ + ∧ ⎫ (∆x ) (∆p )= n + ⎪ 2证明： x = a + a ⎪ , p = i a - a ⎪ ⎝∧∧⎛ 2 ⎭∧ ⎫2⎛ ∧ ⎫2⎭∧ 2 ⎛ ∧ ⎫2 2 ⎝ ⎭ x = 0, p = 0x ⎪ = x ⎪ - x = x ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ ∧ ⎫2⎛ ∧ ⎫2∧ 2 ⎛ ∧ ⎫2同理： p ⎪ = p ⎪ - p = p ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ ∧ ⎫2⎛ ∧ 2 ∧ + 2 ∧ + ∧ ∧ ∧ + ⎫ ⎛ ∧ 2 ∧ + 2 ∧ + ∧ ⎫ x ⎪ = 2m a + a + a a + a a ⎪ = 2m a + a +1+ 2 a a ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ ∧ ⎫2m ⎛ ∧ 2 ∧ + 2 ∧ + ∧ ⎫p ⎪ = 2 - a - a +1+ 2 a a ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭对于激发态 n ⎛ ∧ ⎫2x ⎪ =(1+ 2n )⎛ ∧ ⎫2p ⎪= m (1+ 2n )⎝ ⎭⎛ ∧ ⎫2⎛ ∧ ⎫2⎛ 12m⎫2 ⎝ ⎭2 x ⎪ p ⎪ = + n ⎪ 2⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ 2 ⎭14、请构造相干态.解:相干态为最小不确定态，同时是的本征态，记为L x y z在 N 表象中解此方程，展开：由 得又有，所以由归一化条件得：15、简述：从经典力学过渡到量子力学的三种途径————薛定谔的表述形式，即波动力学，它重视描述粒子“波粒二重性”运动的波函数。
（1） 海森波的矩阵力学，它重视可观察量。
把可观察量和算符间建立了一一的对应关系，研究算符的运动方程，它包含有对易关系的运算。
（2） 第三种是狄拉克和费曼发现的，他们着眼于经典作用量和量子力学中相位之间的关系，重视“传播函数”或“传播子”的作用。
16、由最小作用量原理推导拉格朗日方程。
第二章17、势散射：两粒子的相互作用，可以是能用二者的相互作用势能V (r 1r 2 ) 表达的引力或斥力，这时的散射称为势散射. 18、证明 S 算符是么正的证明：因为 s + s = Ω(+)+Ω(-)Ω(-)+Ω(+)且所以所以算符 S 是么正的第三章19、试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。
轨道角动量ˆ = r ⨯ p ；[L , L ] = iLxyxyˆ自旋角动量S ；[S x , S y ] = i S z[L , S ] = 0 → J = L + S 仍为角动量[J x , J y ] = [L x + S x , L y + S y ]证： = [L , L ] +[S , S ]= i L z + i S z = i J z一般地若两角动量满足[J 1, J 2 ] = 0 则 J = J 1 + J 2 也是角动量进一步：任意个两两对易的角动量算符之和仍为角动量算符设 J n ⨯ J m = i J n nm即[J nx , J my ] = i J nz nm则对于 J = J n n =1⇒ J =∑n =1 J ˆn ; = x , y , z[J x , J y ] = [∑ J nx , ∑ J my ] = ∑∑[J nx , J my ]n =1m =1 n =1 m =1= ∑∑i J n nm = ∑i J nz =i J zn =1 m =1n =1k kk k k kk k k∑。