函数可积、原函数存在、变上限函数的关系解读(绝对原创)

有关函数可积、连续、间断、可导等问题的探究

一、 基本概念： ① 原函数：

()()()()()()'

f x F x F x f x F x f x 已知函数是一个定义在某区间的函数，如果存在函数，使得在该区间内的任一点都有=，则在该区间内就称函数为函数的原函数。 ② 函数可积：

()[]()[]()[])())[]()(),,,,,,b

a f x a

b f x a b f x i f a x dx

ii a b a b a b b ⎰定积分注：“可积”的说法只是针对定积分而言，即闭区间改成开区间后对定积如果在上的存在，我们就说在上可积分的值不影响，即定积分在开区间。即是上的可积函数。依然存在

③ 变上限函数：

()[][]()[]()[](),,,,x

a x

a

x

a

f x a b x a b f x dx x a b x f x dx a b f t dt

⎰⎰⎰设函数在区间上，并且设为上的一点，考察定积分如果积分上限在区间上

任意变动，则对于每一个取定的值，定积分有一个对应值，所以它在上定义了一个函数，

记积分上限函数连续

二、函数可积与原函数理论： ①函数可积的几个条件：

()[][]()

)()[])()[])()[]()[])),,,,,,ii ii f x a b a b i f x a b ii f x a b f x a b iii f x b i a ⇒⎫

⎪

⇒⎬⎪

⎭

：在可积则它必在上界，

即函数可积函数在该区间上有界但有界函数不一定可积，如：狄利克雷函数在上连续

：在上至多有有限个第一类间注：函数可积的充分条件中的和中的“有界”是排除函数出现无穷间断点的情况，在能够保证函数

不存在断点且有界在上无穷间断点时可积

在上单，“有界条调且有”的界函数可积的必要条件函数可积的充分条件件可以舍去

②可积函数的原函数的存在性讨论：

())()[]()()

()[]()()[]()()

[](),,,'=,x

a i f x a

b f x f x a b x f t dt a b x f x a b f x Φ=Φ⎰由函数可积的充分条件可知，有三种函数即满足上述三个条件其中任意一个的一定可积，但这三种函数的原函数的存在性情况是是不一样的，现归纳如下：

如果在上连续，则的原函数一定存在此处引出变上限函数定理：如果函数在上，在上，并且

因此在上的连续函连续则变上限函数连续且可导的原函数在这种条件下就都于它的变上限函数相差一个常数数变上限函数定理())()[]()()()()()()[]()()[]()[]()()00,1,,2,x

a ii f x a

b f x f x f x a b x f t d f x f x f x t f a b f x x a b x x x Φ=∈Φ⎰如果在上有第一类间断点时，下面就发生间断时，讨论和其变上限函数之间的显然此时的变上限函数是的一个原函数

的原函数一定不存在，但此时的变上限函数依然存在，但不是的原函数

可积则变上限函数上一些关系：

、：如果函数在上，在、若在间断非无穷间断，则在也未必可导如：符号连续，

但未必函可导

变上限函数定理的弱化定理()

()[]()()()()()()()

()()()[]()()[]()()

()()0

000000003,'=lim ,4,5'''x x f x x a b x f x f x f x f x x a b f x a b f x f x x f x x x x f →∈Φ≠∈ΦΦ≠Φ数就不可导、若在产生，，

这也就是为什么此时的变上限函数不是的原函数的原因此处类似于左右导数的概念，可去间断点则存在，但是跳跃间断点，则不存在

无穷间断点原函数不存在但变上限函数依然存在原函数存在且存在间断若在产生、若在上有，则的、若的，点这个间断点一定是第二那么类间断点())()[]()6,f x iii f x a b f x 中非无穷性型的存在第二类间断点中非无穷性型的间断点，它的原函数可能存在也可能不存在单、若如果在上，则调有界必存在原函数

③原函数存在的函数的可积性的：

()[]()()[]()[][]()()[],,,,,f x a b f x a b f x a b a b f x f x a b 若在上连续 则它必存在原函数，则在上可积；若在上不连续，一般来说，即使在上的原函数存在，在上也不一定可积

小结：从上面的讨论可知，函数的可积性和原函数的存在性是两个不同的概念，它们互不蕴含，这就是说，可积函数的原函数可能存在，也可能不存在；原函数存在的函数可能可积，也可能不可积，当然也存在既不可积，又不存在原函数的函数 三、关于变上限函数的奇偶性与周期性;

()()())()()())()()())()()()()0==a T

x

f x x f t dt i f x x f x ii f x f x iii f x T dx x x f x ΦΦΦΦ⎰⎰设连续，是其原函数，则

若是奇函数，及其的所有原函数均为偶函数

若是偶函数，的所有原函数中，其只有是奇函数且0余原函数都是一个奇函数加上一个非零常数若是以为周期的函数，，则具有相同周期要完全掌握并理解证明过程