电路微分方程解法

第七章 二阶电路用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并）联情况。

◆ 重点：1． 电路微分方程的建立 2． 特征根的重要意义 3． 微分方程解的物理意义◆ 难点：1． 电路微分的解及其物理意义 2． 不同特征根的讨论计算7.0 知识复习一、二阶齐次微分方程的通解形式0'''=++cy by ay ，其特征方程为：02=++c bp ap ，特征根：aac b a b p 44222,1-±-=。

当特征方程有不同的实根1p 、2p 时，t p t p e A e A y 2121+= 当特征方程有相同的实根p 时，pt e t A A y )(21+=当特征方程有共轭的复根ω±δ-=j p 2,1时，)sin cos (21)(t A t A e e y t t j ω+ω==δ-ω+δ-二、欧拉公式β+β=βsin cos j ej2)sin()()(j e e t t j t j β+ω-β+ω-=β+ωβ-β=β-sin cos j ej2)cos()()(β+ω-β+ω+=β+ωt j t j e e t 7.1 二阶电路的零输入响应7.1.1 二阶电路中的能量振荡在具体研究二阶电路的零输入响应之前，我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。

+ U 0C L _-_C L+(d)图8-1 LC 电路中的能量振荡设电容的初始电压为0U ，电感的初始电流为零。

在初始时刻，能量全部存储于电容中，电感中没有储能。

此时电流为零，电流的变化率不为零（0≠==dt di Lu u L C ，0≠∴dtdi），这样电流将不断增大，原来存储在电容中的电能开始转移，电容的电压开始逐渐减小。

当电容电压下降到零时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流达到最大值I 0，此时电场能全部转化为电磁能，存储在电感中。

电容电压虽然为零，但其变化率不为零（00≠===dt du C I i i C L C ，0≠∴dtduC ），电路中的电流从I 0逐渐减小，电容在电流的作用下被充电（电压的极性与以前不同），当电感中的电流下降到零的瞬间，能量再度全部存储在电容中，电容电压又达到，只是极性与开始相反。

之后电容又开始放电，此时电流的方向与上一次电容放电时的电流方向相反，与刚才的过程相同，能量再次从电场能转化为电磁能，直到电容电压的大小与极性与初始情况一致，电路回到初始情况。

上述过程将不断重复，电路中的电压与电流也就形成周而复始的等幅振荡。

可以想象，当存在耗能元件时的情况。

一种可能是电阻较小，电路仍然可以形成振荡，但由于能量在电场能与电磁能之间转化时，不断地被电阻元件消耗掉，所以形成的振荡为减幅振荡，即幅度随着时间衰减到零；另一种可能是电阻较大，电容存储的能量在第一次转移时就有大部分被电阻消耗掉，电路中的能量已经不可能在电场能与电磁能之间往返转移，电压、电流将直接衰减到零。

7.1.2 二阶电路的微分方程二阶电路如下，其中电容电压的初始值为0)0()0(U u u C C ==-+，电感电流的初始值为0)0()0(==-+L L i i 。

图8-2 R 、L 、C 串联的二阶电路根据该电路列写电路方程为0=++-L R C u u u其电路电流为：dtdu Ci C-= 因此：dtdu RC Ri u C R -==，22dt u d LC dt diL u C R -== 所以，电路方程为：022=++C CC u dtdu RC dt u d LC7.1.3 二阶电路微分方程的求解方程022=++CC C u dtdu RC dt u d LC 的特征方程为012=++RCp LCp 。

特征根为： LC L R L R p 1222-⎪⎭⎫⎝⎛±-= 其中：LC L R L R p 12221-⎪⎭⎫⎝⎛+-= LC L R L R p 12222-⎪⎭⎫⎝⎛--= 由特征根的性质（不等的实数、相等的实数或共轭的复数）就可以确定通解的具体形式。

再据电路的初始条件即可得出通解中的待定系数。

7.1.4 二阶电路特征根的讨论分别讨论特征根的情况。

一、过阻尼情况——非振荡放电过程 1．过阻尼的条件当LC L R 122>⎪⎭⎫⎝⎛，即C L R 2>（C L R 42>）时，特征根1p 、2p 为不相等的负实数。

此时固有频率为不相等的负实数， 2．过阻尼时的响应当特征根为不相等的实数时，方程的解的形式为t p t p C e A e A t u 2121)(+=其中：LC L R L R p 12221-⎪⎭⎫⎝⎛+-= LC L R L R p 12222-⎪⎭⎫⎝⎛--= 而dtdu C i C=，CI dt du t C0-=+=，且电路的初始条件，0)0(I i L =+，有 而0)0(U u C =+，0)0()0(==+-L L i i同时dtdu Ci C=，0000=-=-=+=CC I dt du t C因此，初始条件为：0)0(U u C =+，00=+=t C dtdu代入电路方程t p t p C e A e A t u 2121)(+=中，就可以解出其中的待定系数，得出)()(1221210t p t p C e p e p p p U t u --=)()()()(212121021210t p t p t p t p C L e e p p L U e e p p p p CU dt du Ct i --=--=-= 由此可见，)(t u C 和)(t i L 均为随着时间衰减的指数函数，电路的响应为非振荡响应。

其中当电流的变化率为零的时刻m t 时电流达到最大值。

02121=-=t p t p Le p e p dtdi 而：1221ln 1p p p p t m -=3．过阻尼时的响应曲线图8-3 非振荡放电过程的响应曲线二、临界阻尼情况 1．临界阻尼的条件当LC L R 122=⎪⎭⎫⎝⎛，即C L R 2=（C L R 42=）时，特征根1p 、2p 为相等的负实数p ；此时固有频率为相等的负实数，2．临界阻尼时的响应当方程的特征根相同时，pt C e t A A t u )()(21+=，然后可以按照初值求取待定系数；也可以利用非振荡放电过程的解，令α-=-==→LRp p p 221，取极限得出。

非振荡放电过程的解为：)()(*1221210t p t p C e p e p p p U t u --=，令α-=-==→LRp p p 221，取极限，根据罗必塔法则：)1()()()(lim )(0102122210111212t e U te p e U dp p p d dp e p e p d U t u t t p t p t p t p p p C α+=-=--=α-→tC L te LU dt du Ct i α-=-=0)( 由此可见，)(t u C 和)(t i L 也为随着时间衰减的指数函数，仍然为非振荡响应。

其中α=1m t 3．临界阻尼时的响应曲线临界阻尼时响应曲线的变化规律与过阻尼时的情况类似。

t三、欠阻尼情况 1．欠阻尼的条件当LC L R 122<⎪⎭⎫⎝⎛，即C L R 2<（C L R 42<）时，特征根1p 、2p 为一对共轭复数，其实部为负数。

2．欠阻尼时的响应令LR2=α，2221⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωL R LC ，则微分方程的特征根ω+α-=j p 1，ω-α-=j p 2。

如图所示，设ω与α及0ω之间存在三角关系即 220ω+δ=ω，αω=βarctg则 βω=αcos 0，βω=ωsin 0。

根据欧拉公式：β+β=βsin cos j e j2)sin()()(j e e t t j t j β+ω-β+ω-=β+ωβ-β=β-sin cos j ej2)cos()()(β+ω-β+ω+=β+ωt j t j e e t 可将特征根写为：β-ω-=j e p 01，βω-=j e p 02因此：[]tj j t j j t p t p C e e e e j U e p e p p p U t u )(0)(00212102)()(12ω-α-β-ω+α-βω+ω-ω-=--=)sin(200)()(00β+ωωω=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ωω=α-β+ω-β+ωα-t e U j e e e U tt j t j tt e LU dt t du Ct i t i tc C L ωω=-==α-sin )()()(0 由此可见，)(t u C 和)(t i L 均为幅值随着时间按指数规律衰减的振荡函数，电路的响应为衰减振荡响应。

3．欠阻尼时的响应曲线4．无阻尼的情况无阻尼情况是欠阻尼的一种特殊情况。

当0=R 时，0=α，LC 10=ω=ω，2π=β，此时的响应为)2sin()(00π+ω=t U t u Ct LCU t L U t i L 00000sin sin )(ω=ωω=由此可见，)(t u C 和)(t i L 均为正弦函数，其幅值不随时间衰减，电路的响应为等幅振荡响应，称为系统的固有频率，当二阶电路的激励为同频率的正弦函数时，称此时电路发生了谐振，其物理意义类似于机械系统的共振。

7.2 二阶电路的阶跃响应与冲激响应7.2.1 二阶电路的阶跃响应一、定义二阶电路在阶跃激励下的零状态响应，称为阶跃响应。

(t )L 图8-7 RLC 串联的二阶电路的阶跃响应电路二、求解的步骤二阶电路的阶跃响应的求取类似于一阶电路的阶跃响应的求取方法。

其步骤为 1．计算电路的初始值)0(+L i 、+0dt di L)0(+C u 、+0dtdu C2．列写电路微分方程根据KCL 或KVL 定理列写将电路方程，将其整理成有关电容电压或电感电流（状态变量）的二阶微分方程。

3．计算电路方程的特解因为是阶跃响应，所以电路方程的特解为常数A ，且A 可以根据初始值最后确定为阶跃激励的强度。

4．计算电路方程的通解而电路方程的通解为齐次方程的解，因此根据其特征方程求得电路方程得特征根为s 当s 为两个不相等的实数1p 、2p 时，t p t p e A e A y 2121+= 当s 为两个相同的实根p 时，pt e t A A y )(21+=当s 为两个共轭的复根1p 、2p 时，ω±α-=j p 2,1时，)sin cos (21)(t A t A e e y t t j ω+ω==α-ω+α。