不等式选讲资料

合集下载

不等式选讲

2
f（ x） f（ a ）＜２（ａ＋１）
证明：证明：f（ｘ） f（a）= x 2 a 2 x a）= x a x + a 1 （
＜ x + a 1 = x a + 2a 1 < x a + 2 a + 1 < 2( a + 1)
⑦ a,b,c ∈ R 事实上: 事实上
+
a b c 3 , 求证： + + ≥ b + c a + c a + b 2
1 1 1 [(b + c ) + (c + a ) + ( a + b)] + + ≥ (1 + 1 + 1) 2 = 9 b + c c + a a + b 1 1 1 即： a + b + c）（ 2 b + c + c + a + a + b ≥ 9 a b c a b c 3 （3 + 2 + + ） 9 ∴ ≥ + + ≥ b+c c+a a+b b+c c+a a+b 2
③ x, y ∈ R + 若 x + y ≤ a x + y 恒成立，求a的取值范围解：①
2 ) 2 )] x 2 + y 2 + ( 2 z ) 2 ≥ ( x + y + 2 z ) 2 = 1 1 2 2 2 ∴t = x + y + 2z ≥ 4 1 2 2 ( 2) ∵ x + y = 1 2 z x + y = 2 z 2 2 ∴ 12 + 12 x 2 + y 2 ≥ ( x + y ) 2 1 1 2 2 ∴ 2( 2 z ) ≥ (1 2 z ) 0 ≤ z ≤ 2 2 (1)

高中数学讲义微专题97 不等式选讲

微专题97 不等式选讲一、基础知识：（一）不等式的形式与常见不等式： 1、不等式的基本性质：（1）a b b a >⇔<（2）,a b b c a c >>⇒>（不等式的传递性）注：,a b b c a c ≥≥⇒≥，a c ≥等号成立当且仅当前两个等号同时成立（3）a b a c b c >⇒+>+（4）,0;,0a b c ac bc a b c ac bc >>⇒>><⇒< （5）()02,nna b a b n n N >>⇒>≥∈（6）)02,n n a b a b n n N >>>≥∈ 2、绝对值不等式：a b a b a b -≤+≤+ （1）a b a b +≤+等号成立条件当且仅当0ab ≥ （2）a b a b -≤+等号成立条件当且仅当0ab ≤（3）a b b c a c -+-≥-：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当()()0a b b c --≥ 3、均值不等式（1）涉及的几个平均数： ① 调和平均数：12111n nnH a a a =+++② 几何平均数：12nn n G a a a = ③ 代数平均数：12nn a a a A n+++=④ 平方平均数：22212nn a a a Q n+++=（2）均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===（3）三项均值不等式：①a b c ++≥ 2223a b c abc ++≥② 33a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭③a b c ++≤4、柯西不等式：()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++等号成立条件当且仅当1212nna a ab b b ===或120n b b b ====（1）二元柯西不等式：()()()22222a bc d ac bd ++≥+，等号成立当且仅当ad bc =（2）柯西不等式的几个常用变形 ① 柯西不等式的三角公式：()()()222222121122n n n b b b a b a b a b ++++≥±+±++±② ()222212121212n nn na a a a a ab b b b b b ++++++≥+++()()222212121212nn n n a a a b b b a a a b b b ⎛⎫⇔++++++≥+++ ⎪⎝⎭②式体现的是当各项22212,,,n a a a 系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充。

高三数学不等式选讲复习资料.doc

高三数学不等式选讲复习资料
高三数学不等式选讲复习资料
1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式
(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；
(2)|a－b|≤|a－c||＋|c－b|
(3)会利用绝对值的.几何意义求解以下类型的不等式：
|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≤a
2．了解柯西不等式的不同形式，理解他们的几何意义，并会证明
(1)柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|
(2) x1－x2 2＋ y1－y2 2＋ x2－x3 2＋ y2－y3 2
≥ x1－x3 2＋ y1－y3 2(通常称作平面三角不等式)
3．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．
4．了解证明不等式的根本方法：比拟法、综合法、分析法、反证法、缩放法.
近几年的高考试题增强了对密切联系生产和实际的应用性问题的考查力度．主要有两种方式：
1．线性规划问题：求给定可行域的面积；求给定可行域的最优解；求目标函数中参数的范围．
2．根本不等式的应用：用于求函数或数列的最值，侧重"正"、"定"、"等"条件的满足条件.。

不等式选讲

不等式选讲一、线性规划例变量,x y 满足430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，求下列表达式的最值（1）设y z x = （2） 2yz x =-（3） 3z x y =- （4） 3z x y =+ （5） 22z x y =+练习：1. 设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2+3x y 的最大值为A ．20B ．35C ．45D ．552. 已知实数,x y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值是-1，求m 的值；3. 若x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（）A ．（1-，2）B ．（4-，2）C ．(4,0]-D ． (2,4)-二、均值不等式（1）已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y9=1,求x +y 的最小值；（2）已知x ＜45,求函数y =4x -2+541-x 的最大值（3）若x ,y ∈(0,+∞)且2x +8y -xy =0，求x +y 的最小值（4）若-4＜x ＜1,求22222x x y x -+=-的最大值.(5)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.(6)已知正实数,x y ，12x y +=，求213x y x y++-的最小值。

（7）已知x ＞0,y ＞0，且31x y xy +-=-，求x y +的范围。

（8）已知x ＞0,y ＞0，且31x y xy +-=-，求xy 的范围。

（9）(2014·南昌模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．、三、绝对值不等式1.已知函数，，（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含，求的取值范围。

不等式选讲(用基本不等式证明不等式)

不等式选讲(用基本不等式证明不等式)一、用基本不等式证明不等式1．（2014年1卷）若0,0a b >>，且11a b +=．证明：（1）求33a b +的最小值；（2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由．【解析】（I11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b == 故33a b+≥≥，且当a b ==时取等号．所以33a b +的最小值为（II ）由（I）知，23a b +≥≥6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=．2.（2013年2卷）设均为正数，且，证明：（1）（2）【解析】（Ⅰ）2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得 222a b c ab bc ca ++≥++由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=．所以()31ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤ （Ⅱ）∵2222,2,2a b c b a c b a c b c a+≥+≥+≥ ,,a b c 1a b c ++=13ab bc ca ++≤2221a b c b c a++≥∴222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++ 即222a b c a b c b c a++≥++ ∴2221a b c b c a++≥3.（2019年1卷）已知a ，b ，c正数，且满足abc=1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++．【解析】（1）1abc = 111111abc bc ac ab a b c a b c ⎛⎫∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭ ()()()()2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++当且仅当a b c ==时取等号， ()22211122a b c a b c ⎛⎫∴++≥++ ⎪⎝⎭，即：222111a b c a b c ++++≥ （1） ()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等号又a b +≥b c +≥a c +≥（当且仅当a b c ==时等号同时成立）()()()3333a b b c c a ∴+++++≥⨯=又1abc()()()33324a b b c c a ∴+++++≥4.已知正数x 、y 、z ，且1xyz =.（1）证明：222x y z y z x y++≥+；（2）证明：()()()22212x y y z z x +++++≥.【详解】（1）因为x 、y 、z 为正数，且1xyz =，所以222x y y z +≥==，当且仅当32y zx =时等号成立，即4y x =时，等号成立；同理22y z z x +≥，22x z y x +≥22222x y z y z x z y ⎛⎛⎫++≥++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即222x y z y z x z y++≥+，当且仅当1x y z ===时等号成立；（2）因为()()()222x y y z z x +++++≥由二元均值不等式得x y +≥y z +≥，z x +≥，当且仅当x y z ==时，等号同时成立，所以()24x y xy +≥，()24y z yz +≥，()24z x xz +≥， ()()()()22226464x y y z z x xyz ∴+++≥=，因此，()()()22212x y y z z x +++≥=++，当且仅当1x y z ===时，等号同时成立.【点睛】本题考查利用三元和二元均值不等式证明不等式，考查推理能力，属于中等题.5.（2020年3卷）设a ，b ，c ∈R ，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a ，b ，c}表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c}．【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=. 当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .。

不等式选讲

抓住2个考点
突破3个考向
考点梳理
1．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法不等式 |x|<a |x|>a a>0 a＝0 ___ ∅ {x|x∈R且x≠0} _____________ a<0 ___ ∅ R
{x|－a<x<a} ___________
{x|x>a或x<－a} _____________
要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，
可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4. 答案 [－2,4]
抓住2个考点
突破3个考向
考向一
含绝对值不等式的解法
【例1】►设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.
(1)解不等式f(x)＞2； (2)求函数y＝f(x)的最小值．
1 －x－5 x＜－2， 1 (1)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝ 3x－3 －2≤x＜4， x＋5 x≥4.
(2)画出 f(x)的图象如图：
9 ∴f(x)min＝－ . 2
பைடு நூலகம்
抓住2个考点
突破3个考向
(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值． (2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，即通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
解析可根据绝对值不等式的性质进行变换，化绝对值不
等式为一元一次不等式求解．原不等式即|2x＋1|>2|x－1|， 1 两端平方后解得 12x>3，即 x> . 4 1 答案 xx>4

不等式选讲

C B
于是S = 4200x2 + 210×4xy + 80×2y2 MN0 <来自x < 10 2EF
课堂练习:
1．⑴已知 0 x 3 ,求函数 y x(3 2x) 的最大值. 2
⑵求函数 y 2x2 (x 3) 的最小值.⑶求函数 y x2 3 的最小值.
x3
x2 2
解⑴(重要不等式法)∵ 0 x 3 ,∴ x 0且3 2x 0, 2
探究：你能从几何的角度解释定理1吗？分析：a2与b2的几何意义是正方形面积，
ab的几何意义是矩形面积，可考虑从图形的面积角度解释定理。
b
如图把实数a，
AI
D
b作为线段长度，
H
K
以a≥b为例，在 a
正方形ABCD中，
G
F
b
AB=a；在正方形 CEFG中，EF=b.
B
J
a
C
E
b
则 S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2.
(9) a b 0, c d 0 a b ( × )
cd 2．设 A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R 且 x≠1，比较 A，B 的大小.
解:∵A-B=1+2x4-(2x3+x2)=(2x4 2x3 ) (1 x2 )
= 2x3 (x 1) (1 x)(1 x) = (x 1)(2x3 x 1)
∴ x(3 2x) = 1 2x(3 2x) ≤ 1 2x 3 2x = 3 2
2
2
2
4
当且仅当 x 3 时取等号. 4
∴函数 y x(3 2x) 的最大值为 3 2 ,当且仅当 x 3 取得.

不等式选讲

f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5≥5.综上可知, f(x)的最小值为5,故原不等式恒成立只需a≤5即可,从而a的最大值为5.
3．若 a、b∈R，则使|a|＋|b|>1 成立的一个充分 b<－1 ．不必要条件是_________
4 ．不等式 |x － 5| ＋ |x ＋ 3|≥10 的解集是 (_____________________ －∞，－4]∪[6，＋∞) ．
而已知|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,
所以|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,此时x∈[0,1],y∈[0,1],
所以x+y∈[0,2].
例3
(2014 年高考新课标全国卷Ⅱ)
1 x ＋ f(x)＝ a＋|x－a|(a>0)．
设函数
(1)证明：f(x)≥2； (2)若 f(3)<5，求 a 的取值范围．
2．已知 f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式 f(x)>5 的解集为{x|x>2 或 x<－3}． (1)求 a 的值； (2)若不等式
x f(x)－f2≤k
在 R 上有解，求 k 的取值范围．
二、含绝对值不等式性质及应用例2(1)对于实数 x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为____ 5 ． (2)若存在实数 x 使|x－a|＋|x－1|≤3 成立，则实 [－2，4] ．数 a 的取值范围是________ 【解析】(1)解法一：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2) －2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2＋2＝5，当且仅当 x＝0，y＝3 时，|x－2y＋1|取最大值 5. 解法二： ∵|x－1|≤1， ∴－1≤x－1≤1， ∴0≤x≤2. 又∵|y－2|≤1，∴－1≤y－2≤1，∴1≤y≤3，从而－6≤－2y≤－2. 由同向不等式的可加性可得－6≤x－2y≤0， ∴－5≤x－2y＋1≤1，∴|x－2y＋1|的最大值为 5.

选修4-5 不等式选讲第一节绝对值不等式

第一节绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集(2)|ax＋①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类计论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．1．不等式|x －2|＞x －2的解集是________．解析：原不等式同解于x －2＜0，即x ＜2. 答案：x ＜22．已知|x －a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}，则实数a 等于________．解析：由|x －a |＜b 得a －b ＜x ＜a ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a ＋b ＝4，解得a ＝3，b ＝1.答案：33．若不等式|8x ＋9|＜7和不等式ax 2＋bx ＞2的解集相等，则实数a 、b 的值分别为________．解析：据题意可得|8x ＋9|＜7⇒－2＜x ＜－14，故由{x |－2＜x ＜－14}是二次不等式的解集可知x 1＝－2，x 2＝－14是一元二次方程ax 2＋bx －2＝0的两根，根据根与系数关系可知x 1x 2＝－2a ＝12⇒a ＝－4，x 1＋x 2＝－b a ＝－94⇒b ＝－9.答案：a ＝－4，b ＝－94．不等式|2x －1|＜3的解集为________．解析：原不等式可化为－3＜2x －1＜3，解得－1＜x ＜2.故所求解集为{x |－1＜x ＜2}．答案：{x |－1＜x ＜2}5．(2011年陕西)若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是______________.解析：令y ＝|x ＋1|＋|x －2|，由题意知应|a |≥y min ，而y ＝|x ＋1|＋|x －2|≥|x ＋1－x ＋2|＝3，∴a ≥3或a ≤－3.答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)例1 解不等式|x －1|＋|x ＋2|<5.【解析】法一：分别求|x －1|，|x ＋2|的零点，即1，－2. 由－2,1把数轴分成三部分：x ＜－2，－2≤x ≤1，x ＞1. 当x ＜－2时，原不等式即1－x －2－x ＜5，解得－3＜x ＜－2；当－2≤x ≤1时，原不等式即1－x ＋2＋x ＜5，因为3＜5，恒成立，即－2≤x ≤1；当x ＞1时，原不等式即x －1＋2＋x ＜5，解得1＜x ＜2.综上，原不等式的解集为{x |－3＜x ＜2}．法二：不等式|x －1|＋|x ＋2|＜5的几何意义为数轴上到－2,1两个点的距离之和小于5的点组成的集合，而－2，1两个端点之间的距离为3，由于分布在－2,1以外的点到－2，1的距离在－2,1外部的距离要计算两次，而在－2,1内部的距离则只计算一次，因此只要找出－2左边到－2的距离等于5－32＝1的点－3，以及1右边到1的距离等于5－32＝1的点2，这样就得到原不等式的解集为{x |－3＜x ＜2}．【点评】含绝对值的不等式的解法应想法去掉绝对值符号，转化为不含绝对值的方法求解．其方法有：(1)利用公式或平方法转化；(2)利用绝对值的定义转化；(3)利用数形结合思想转化；(4)利用“零点分段法”等．1．(2011年课标全国)设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．解析：(1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2 可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0. 此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.例2 已知函数f (x )＝1＋x 2，设a ，b ∈R ，且a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.【证明】证法一：|f (a )－f (b )|<|a －b | ⇔|1＋a 2－1＋b 2|<|a －b |⇔(1＋a 2－1＋b 2)2<(a －b )2⇔2＋a 2＋b 2－2(1＋a 2)(1＋b 2)<a 2＋b 2－2ab⇔1＋ab <(1＋a 2)(1＋b 2).①当ab ≤－1时，式①显然成立；当ab >－1时，式①⇔(1＋ab )2<(1＋a 2)(1＋b 2) ⇐2ab <a 2＋b 2.②∵a ≠b ，∴②式成立，故原不等式成立．证法二：当a ＝－b 时，原不等式显然成立；当a ≠－b 时，∵|1＋a 2－1＋b 2| ＝|(1＋a 2)－(1＋b 2)|1＋a 2＋1＋b 2<|a 2－b 2||a |＋|b |≤|(a ＋b )(a －b )||a ＋b |＝|a －b |，∴原不等式成立．证法三：设x ＝(1，a )，y ＝(1，b )，则|x |＝1＋a 2，|y |＝1＋b 2，x －y ＝(0，a －b )，|x －y |＝|a －b |，而||x |－|y ||≤|x －y |，∴|1＋a 2－1＋b 2|≤|a －b |，又a ≠b ，即|f (a )－f (b )|<|a －b |.证法四：设y ＝1＋x 2(x ∈R )，则y ＝1＋x 2表示双曲线y 2－x 2＝1上支的部分．其渐近线为y ＝±x ，设A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))为曲线y ＝1＋x 2上两不同的点．则|k AB |<1，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (b )－f (a )b －a <1.∴|f (a )－f (b )|<|a －b |.【点评】 (1)证法一用的是分析法；(2)证法二是综合法，其证明中用到的技巧有：①分子有理化，②不等式|a |＋|b |≥|a ＋b |，③放缩法；(3)证法三用的是构造向量，利用向量不等式；(4)证法四是数形结合思想．2．(2010年广东卷)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是平面直角坐标系xOy 上的两点，现定义由点A 到点B 的一种折线距离ρ(A ，B )为ρ(A ，B )＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|.对于平面xOy 上给定的不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)若点C (x ，y )是平面xOy 上的点，试证明：ρ(A ，C )＋ρ(C ，B )≥ρ(A ，B )； (2)在平面xOy 上是否存在点C (x ，y )，同时满足 ①ρ(A ，C )＋ρ(C ，B )＝ρ(A ，B )；②ρ(A ，C )＝ρ(C ，B )．若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明．解析：证明：∵ρ(A ，C )＝|x －x 1|＋|y －y 1|， ρ(C ，B )＝|x 2－x |＋|y 2－y |. ρ(A ，B )＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|，∴ρ(A ，C )＋ρ(C ，B )＝|x －x 1|＋|y －y 1|＋|x 2－x |＋|y 2－y | ＝(|x －x 1|＋|x 2－x |)＋(|y －y 1|＋|y 2－y |) ≥|(x －x 1)＋(x 2－x )|＋|(y －y 1)＋(y 2－y )| ＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|＝ρ(A ，B )．(2)注意到点A (x 1，y 1)与点B (x 2，y 2)不同，下面分三种情形讨论． ①若x 1＝x 2，则y 1≠y 2，由条件②得 |x －x 1|＋|y －y 1|＝|x 2－x |＋|y 2－y |，即|y －y 1|＝|y －y 2|，∴y ＝y 1＋y 22.由条件①得|x －x 1|＋|y －y 1|＋|x 2－x |＋|y 2－y |＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|.∴2|x －x 1|＋12|y 2－y 1|＋12|y 2－y 1|＝|y 2－y 1|，∴|x －x 1|＝0， ∵x ＝x 1.因此，所求的点C 为(x 1，y 1＋y 22)②若y 1＝y 2，则x 1≠x 2，类似于①，可得符合条件的点C 为(x 1＋x 22，y 1)．③当x 1≠x 2，且y 1≠y 2时，不妨设x 1<x 2.(ⅰ)若y 1<y 2，则由(1)中的证明知，要使条件①成立，当且仅当(x －x 1)(x 2－x )≥0与(y －y 1)(y 2－y )≥0同时成立，故x 1≤x ≤x 2且y 1≤y ≤y 2.从而由条件②，得x ＋y ＝12(x 1＋x 2＋y 1＋y 2)．此时所求点C 的全体为M ＝⎩⎨⎧(x ，y )|x ＋y ＝12(x 1＋x 2＋y 1＋y 2)，x 1≤x ≤x 2}且y 1≤y ≤y 2.(ⅱ)若y 1>y 2，类似地由条件①可得x 1≤x ≤x 2且y 2≤y ≤y 1，从而由条件②得x －y ＝12(x 1＋x 2－y 1－y 2)．此时所求点的全体为N ＝⎩⎨⎧(x ，y )|x －y ＝12(x 1＋x 2－y 1－y 2)，x 1≤x ≤x 2}且y 2≤y ≤y 1.例3 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)设a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．【解析】 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3. ①x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3，即－2x ≥3.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1f (x )≥3，的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32. ②当－1＜x ≤1时，不等式化为 1－x ＋x ＋1≥3，不可能成立．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ≤1，f (x )≥3的解集为∅.③当x ＞1时，不等式化为 x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，f (x )≥3的解集为⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 综上得，f (x )≥3的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. (2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件．若a ＜1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1， x ≤a ，1－a ， a ＜x ＜1，2x －(a ＋1)， x ≥1.即，f (x )的最小值为1－a . 若a ＞1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1， x ≤1，a －1， 1＜x ＜a ，2x －(a ＋1)， x ≥a .即，f (x )的最小值为a －1.所以∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，－1)∪[3，＋∞)．【点评】如果一个不等式中含有两个(或两个以上)的绝对值符号，应考虑用零点分段讨论法去掉绝对值符号，这时实质是将原不等式转化为n 个不等式组，把每个不等式组的解求出后，取它们的并集得到原不等式的解集．3．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在①的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解析：(1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)法一：当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ＜－3；5，－3≤x ≤2；2x ＋1，x ＞2.所以当x ＜－3时，g (x )＞5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x ＞2时，g (x )＞5. 综上可得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．法二：当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．一、填空题 1．不等式⎪⎪⎪⎪x －2x ＞x －2x 的解集是________．解析：由绝对值的意义知，原不等式同解于x －2x ＜0，即x (x －2)＜0，∴0＜x ＜2. 答案：(0,2)2．设集合A ＝{x ||x －a |＜1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |＞2，x ∈R }．若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足________．解析：由|x －a |＜1得a －1＜x ＜a ＋1. 由|x －b |＞2得x ＜b －2或x ＞b ＋2.∵A ⊆B ，∴a －1≥b ＋2或a ＋1≤b －2，即a －b ≥3或a －b ≤－3，∴|a －b |≥3. 答案：|a －b |≥33．已知不等式|x －m |＋|x |≥1的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：由绝对值不等式的几何意义知|x －m |＋|x |≥|(x －m )－x |＝|m |，故|m |≥1，∴m ≥1或m ≤－1.答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)4．若关于x 的不等式|x ＋1|＋k ＜x 有解，则实数k 的取值范围是________．解析：∵|x ＋1|＋k ＜x ， ∴k ＜x －|x ＋1|.若不等式有解则需k ＜(x －|x ＋1|)max . 设f (x )＝x －|x ＋1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≥－1，2x ＋1，x ＜－1.由解析式可以看出f (x )max ＝－1，∴k ＜－1. 答案：(－∞，－1)5．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋a |≤8的解集不是空集，则a 的最小值是________．解析：由|x －1|＋|x ＋a |≥|1－x ＋x ＋a |＝|a ＋1|知|a ＋1|≤8，故－9≤a ≤7，因此a 的最小值是－9.答案：－96．若不等式|x －a |＋|x －2|≥1对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由|x －a |＋|x －2|≥|(x －a )－(x －2)|＝|a －2|. ∴|a －2|≥1解之得a ≤1或a ≥3. 答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)7．不等式||x ＋3|－|x －3||＞3的解集为________．解析：由绝对值不等式的含义得到：x 到－3和3的距离之差的绝对值大于3，结合数轴不难得出x ＞32或x ＜－32，故x ∈{x |x ＞32或x ＜－32}．答案：{x |x ＞32或x ＜－32}8．(2011年江西)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________．解析：法一：|x －1|≤1⇒0≤x ≤2，|y －2|≤1⇒1≤y ≤3，可得可行域如图(阴影部分)．∵|x －2y ＋1|＝5，|x －2y ＋1|5.其中z ＝|x －2y ＋1|5为点(x ，y )到直线x －2y ＋1＝0的距离．当(x ，y )为(0,3)时z 取得最大值|0－2×3＋1|5＝55. 故|x －2y ＋1|max ＝5.法二：|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋2≤1＋2＋2＝5，当且仅当x ＝0，y ＝3时，|x －2y ＋1|取最大值为5.答案：59．给出下列四个命题：①若log a (a 2＋4)≤log a (4a )＜0，则a 的取值范围是(1，＋∞)； ②函数f (x )＝log 2(x 2－5x ＋1)的单调递减区间为(－∞，52)；③不等式|x |＋|log 2 x |＞|x ＋log 2 x |的解集为(0,1)； ④若|a ＋b |＜－c (a ，b ，c ∈R )，则|a |＜|b |－c . 以上四个命题中，正确命题的序号为________．解析：对于①，由于a 2＋4≥4a且log a (a 2＋4)≤log a (4a )，∴0＜a ＜1，∴①错；对于②，由x 2－5x ＋1＞0，得x ＞5＋212或x ＜5－212，∴f (x )＝log 2(x 2－5x ＋1)的递减区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，5－212，故②错；对于③，必有x ＞0且log 2 x ＜0， ∴0＜x ＜1故③正确．对于④，∵|a |－|b |≤|a ＋b |＜－c ， ∴|a |＜|b |－c ，故④正确．答案：③④ 三、解答题10．(2011年江苏)解不等式x ＋|2x －1|<3.解析：法一：原不等式可化为|2x －1|<3－x .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1<3－x 2x －1>x －3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x <43x >－2.∴原不等式的解集是{x |－2<x <43} 法二：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，x ＋(2x －1)<3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x －(2x －1)<3. 解得12≤x <43或－2<x <12. 所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <43. 11．(2011年福建)设不等式|2x －1|<1的解集为M .(1)求集合M ：(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．解析：(1)由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x <1，所以M ＝{x |0<x <1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0<a <1,0<b <1.所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0，故ab ＋1>a ＋b .12．已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的定义域为[－1,1]，且|f (x )|的最大值为M .(1)试证明|1＋b |≤M ；(2)试证明M ≥12； (3)当M ＝12时，试求出f (x )的解析式．解析：证明：(1)∵M ≥|f (－1)|＝|1－a ＋b |，M ≥|f (1)|＝|1＋a ＋b |，∴2M ≥|1－a ＋b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )＋(1＋a ＋b )|＝2|1＋b |，∴|1＋b | ≤M .(2)证明：依题意，M ≥|f (－1)|，M ≥|f (0)|，M ≥|f (1)|，又|f (－1)|＝|1－a ＋b |，|f (1)|＝|1＋a ＋b |，|f (0)|＝|b |，∴4M ≥|f (－1)|＋2|f (0)|＋|f (1)|＝|1－a ＋b |＋2|b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )－2b ＋(1＋a ＋b )|＝2，∴M ≥12. (3)当M ＝12时，|f (0)|＝|b |≤12，－12≤b ≤12① 同理－12≤1＋a ＋b ≤12② －12≤1－a ＋b ≤12③ ②＋③得－32≤b ≤－12④ 由①④得b ＝－12，当b ＝－12时，分别代入②③得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤a ≤00≤a ≤1⇒a ＝0，因此f (x )＝x 2－12.。

不等式选讲

不等式选讲一、基础知识：（一）不等式的形式与常见不等式：1、不等式的基本性质：（1）a b b a>⇔<（2）,a b b c a c >>⇒>（不等式的传递性）注：,a b b c a c ≥≥⇒≥，a c ≥等号成立当且仅当前两个等号同时成立（3）a b a c b c>⇒+>+（4）,0;,0a b c ac bc a b c ac bc >>⇒>><⇒<（5）()02,nna b a b n n N >>⇒>≥∈（6）)02,a b n n N >>⇒>≥∈2、绝对值不等式：a b a b a b -≤+≤+（1）a b a b +≤+等号成立条件当且仅当0ab ≥（2）a b a b -≤+等号成立条件当且仅当0ab ≤（3）a b b c a c -+-≥-：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当()()0a b b c --≥3、均值不等式（1）涉及的几个平均数：①调和平均数：12111n nnH a a a =+++ ②几何平均数：n G =③代数平均数：12nn a a a A n+++= ④平方平均数：n Q =（2）均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12na a a ===（3）三项均值不等式：①a b c ++≥2223a b c abc++≥②33a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭③a b c ++≤4、柯西不等式：()()()222222212121122n n n na a a bb b a b a b a b ++++++≥+++ 等号成立条件当且仅当1212n na a ab b b === 或120n b b b ==== （1）二元柯西不等式：()()()22222a bcd ac bd ++≥+，等号成立当且仅当ad bc=（2）柯西不等式的几个常用变形①柯西不等式的三角公式：②()222212121212n nn na a a a a ab b b b b b ++++++≥+++ ()()222212121212n n n n a a a b b b a a a b b b ⎛⎫⇔++++++≥+++ ⎪⎝⎭ ②式体现的是当各项22212,,,n a a a 系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充。

高考选考内容不等式选讲

(a12 a2 2 a32 )(b12 b 2 2 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2
b1 b2 b3 0
1、形如 | x a | | x b | c 的解法
1 在横轴上标出 b
a和
解题步骤
确定x的取值范围
3
2
找到离 a 、b 距离之和为c 的点
一个常用的不等式——三角不等式
| a | | b || a b || a | | b |
本质：三角形的两边之和大于第三边
例1、解不等式 2 x 1 x 1 解：1、移项得到 2 x 1 x 1 1 2、解出两个点和0，并在数轴上标出 2 1 1 3、得到三个区间 (, 0), (0, ), ( , ) 2 2 从左到右脱去绝对值，解出x
a b c n n
abcd
k

n
abc n
当题中出现 4 , b , c , n 与 abc n a
k
k
4
kabcd
在不等式中出现时，首选均值不等式 abc 这里a、b、c···n都 ···
3
abc 3
ab 2

ab
是大于零的数，所有不等式当且仅当 a=b=c=···=n取到等 ··· 号
关键：如果不等式中出现多个高次式之和，首选柯西公式进行解题
(a12 a2 2 a32 )(b12 b 2 2 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2
b1 b2 b3 0
a1 kb1 , a2 kb2 , a3 kb3
(a12 a2 2 a32 )(b12 b 2 2 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2

高考数学大讲义第十六章不等式选讲理

第十六章不等式选讲第一节绝对值不等式对应学生用书P1871．绝对值三角不等式(1)定理1：若是a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)定理2：若是a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集(2)|ax＋b|≤①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，表现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，表现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图像求解，表现了函数与方程的思想．1．关于绝对值三角不等式，易轻忽等号成立的条件．对|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当a>－b>0时，等号成立，对|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，若是a<－b<0当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时左侧等号成立，当且仅当ab≤0时右边等号成立．2．形如|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处置及c的符号判定，假设c<0那么不等式解集为R.[试一试]1．已知不等式|2x －t |＋t －1<0的解集为(－12，12)，那么t ＝________________. 解析：|2x －t |<1－t ，t －1<2x －t <1－t ，2t －1<2x <1，t －12<x <12，∴t ＝0. 答案：02．不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，那么实数k 的取值范围为________．解析：法一：依照绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点别离为P ，A ，B ，那么原不等式等价于|PA |－|PB |>k 恒成立．∵|AB |＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤－1，2x －1，－1<x <23，x ≥2，，要使|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，从图像中能够看出，只要k <－3即可．故k <－3知足题意．答案：(－∞，－3)含绝对值不等式的经常使用解法1．大体性质法：对a ∈R ＋，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a .2．平方式：两边平方去掉绝对值符号．3．零点分区间法(或叫概念法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．4．几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．5．数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图像，利用函数图像求解．[练一练]1．在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为____________．解析：法一：分类讨论去绝对值号解不等式．当x >12时，原不等式转化为4x ≤6⇒x ≤32；当－12≤x ≤12时，原不等式转化为2≤6，恒成立；当x <－12时，原不等式转化为－4x ≤6⇒x ≥－32.综上知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32. 法二：利用几何意义求解．原不等式可化为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3，其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x ＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32时，知足题意，那么原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32. 答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－32≤x ≤32 2．假设存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，那么实数a 的取值范围是________．解析：利用绝对值不等式的性质求解．∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|，要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.答案：[－2,4]对应学生用书P188考点一绝对值不等式的解法 1.不等式|解析：原不等式等价于|x －2|>|x －1|，那么(x －2)2>(x －1)2，解得x <32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，322．(2021·西安质检)假设关于x的不等式|x－a|<1的解集为(1,3)，那么实数a的值为________．解析：原不等式可化为a－1<x<a＋1，又知其解集为(1,3)，因此通过对照可得a＝2.答案：23．若是关于x的不等式|x－3|－|x－4|<a的解集不是空集，那么实数a的取值范围是________．解析：注意到||x －3|－|x －4||≤|(x －3)－(x －4)|＝1，－1≤|x －3|－|x －4|≤1.假设不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集是空集，那么有|x －3|－|x －4|≥a 对任意的x ∈R 都成立，即有(|x －3|－|x －4|)min ≥a ，a ≤－1.因此，由不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集可得，实数a 的取值范围是a >－1.答案：(－1，＋∞)[备课札记][类题通法]利用零点分类讨论法解绝对值不等式时，注意分类讨论时要不重不漏．考点二绝对值不等式的证明[典例] M .(1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |.解：(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1，当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1；当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4，∴－1≤x ≤1；当x >1时，由2x <4，得1<x <2，∴M ＝(－2,2)．(2)证明：a ，b ∈M 即－2<a <2，－2<b <2.∵4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)·(4－b 2)<0，∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2，∴2|a ＋b |<|4＋ab |.[备课札记]本例中f(x)若变为“f(x)＝|x＋1|＋|x－1|－a”且f(x)≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围.解：由f (x )≥0知a ≤|x ＋1|＋|x －1|，又|x ＋1|＋|x －1|≥|(x ＋1)－(x －1)|＝2，∴a ≤2.故a 的取值范围为(2，＋∞)．[类题通法]证明绝对值不等式要紧有三种方式(1)利用绝对值的概念去掉绝对值符号，转化为一般不等式再证明；(2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明；(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．[针对训练]设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|.(1)求证：f (x )≥1；(2)假设f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，求x 的取值范围．解：(1)证明：f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1.(2)∵a 2＋2a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1≥2，∴要使f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，需且只需|x －1|＋|x －2|≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，1－x ＋2－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x <2，x －1＋2－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －1＋x －2≥2，解得x ≤12或x ≥52，故x 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞. 考点三绝对值不等式的综合应用[典例](1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x－3＜0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，那么y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1.其图像如下图．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0.因此原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.因此x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立．故－a 2≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－1，43. [备课札记][类题通法]1．研究含有绝对值的函数问题时，依照绝对值的概念，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是经常使用的思维方式．2．关于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x ＋a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值．[针对训练](2021·镇江模拟)已知f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－1时，解关于x 的不等式f (x )>5；(2)已知关于x 的不等式f (x )＋a <2 014(a 是常数)的解集是非空集合，求实数a 的取值范围．解：(1)构造函数g (x )＝|x －1|＋|x －2|－5，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2x ≤1，－41<x <2，2x －8x ≥2.令g (x )>0，那么x <－1或x >4，∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．(2)∵f (x )＋a ＝|x ＋a |＋|x －2|＋a ≥|a ＋2|＋a ，又关于x 的不等式f (x )＋a <2 014的解集是非空集合，∴|a ＋2|＋a <2 014，解得a <1 006.对应学生用书P189[课堂练通考点]1．(2021·江西高考)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________．解析：依题意得－1≤|x －2|－1≤1，即|x －2|≤2，解得0≤x ≤4.答案：[0,4]2．(2021·重庆高考)假设关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，那么实数a 的取值范围是________．解析：|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，故a ≤8.答案：(－∞，8]3．(2021·南昌模拟)假设对任意的a ∈R ，不等式|x |＋|x －1|≥|1＋a |－|1－a |恒成立，那么实数x 的取值范围是________．解析：由|1＋a |－|1－a |≤2得|x |＋|x －1|≥2，当x <0时，－x ＋1－x ≥2，x ≤－12；当0≤x ≤1时，x ＋1－x ≥2，无解；当x >1时，x ＋x －1≥2，x ≥32.综上，x ≤－12或x ≥32. 答案：(－∞，－12]∪[32，＋∞) 4．(2021·西安检测)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .假设函数f (x )的图像恒在函数g (x )图像的上方，那么m 的取值范围为________．解析：函数f (x )的图像恒在函数g (x )图像的上方，即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立．因为对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x＋3)|＝5，因此m<5，即m的取值范围是(－∞，5)．答案：(－∞，5)5．(2021·长春模拟)已知实数t ，假设存在t ∈[12，3]使得不等式|t －1|－|2t －5|≥|x －1|＋|x －2|成立，求实数x 的取值范围．解：∵t ∈[12，3]，∴|t －1|－|2t －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －t ＋4，t ≥52，3t －6，1<t <52，t －4，t ≤1，可得其最大值为32. ∴只需解不等式|x －1|＋|x －2|≤32即可，当x ≥2时，可解得2≤x ≤94，当1<x <2时不等式恒成立，当x ≤1时可解得34≤x ≤1，综上可得x 的取值范围为[34，94]． [课下提升考能]1．(2021·福建高考)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A . (1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．解：(1)因为32∈A ，且12∉A ，因此⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，因此a ＝1. (2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号．因此f (x )的最小值为3.2．设函数f (x )＝|x －a |＋2x ，其中a >0.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥2x ＋1的解集；(2)假设x ∈(－2，＋∞)时，恒有f (x )>0，求a 的取值范围．解：(1)a ＝2时，|x －2|＋2x ≥2x ＋1，∴|x －2|≥1，∴x ≥3或x ≤1.∴不等式的解集为(－∞，1]∪[3，＋∞)．(2)依题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －a ，x ≥a ，x ＋a ，x <a ，∵a >0，∴当x >－2时，f (x )≥x ＋a >－2＋a ，要使f (x )>0，只需－2＋a ≥0即可，∴a ≥2.故a 的取值范围为[2，＋∞)．3．已知函数f (x )＝|x －a |－2|x －1|(a ∈R )．(1)当a ＝3时，求函数f (x )的最大值；(2)解关于x 的不等式f (x )≥0.解：(1)当a ＝3时，f (x )＝|x －3|－2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －1，x ≥3，－3x ＋5，1<x <3，x ＋1，x ≤1.当x ≤1时，f (x )＝x ＋1，因此f (x )在(－∞，1]上单调递增；当1<x <3时，f (x )＝－3x ＋5，因此f (x )在(1,3)上单调递减；当x ≥3时，f (x )＝－x －1，因此f (x )在[3，＋∞)上单调递减．因此当x ＝1时，函数f (x )取得最大值2.(2)由f (x )≥0得|x －a |≥2|x －1|，两边平方得，(x －a )2≥4(x －1)2，即3x 2＋2(a －4)x ＋4－a 2≤0，得[x －(2－a )][3x －(2＋a )]≤0，故①当a >1时，不等式的解集为2－a ，2＋a 3； ②当a ＝1时，不等式的解集为{x |x ＝1}；③当a <1时，不等式的解集为[2＋a 3，2－a ]． 4．已知函数f (x )＝|x －1|.(1)解关于x 的不等式f (x )＋x 2－1>0；(2)假设g (x )＝－|x ＋3|＋m ，f (x )<g (x )的解集非空，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意原不等式可化为：|x －1|>1－x 2，即x－1>1－x2或x－1<x2－1，由x－1>1－x2得x>1或x<－2；由x－1<x2－1得x>1或x<0.综上，原不等式的解为x>1或x<0.(2)原不等式等价于|x －1|＋|x ＋3|<m 的解集非空．令h (x )＝|x －1|＋|x ＋3|，即h (x )min <m ，又|x －1|＋|x ＋3|≥|x －1－x －3|＝4，因此h (x )min ＝4，因此m >4.5．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|－a .(1)当a ＝5时，求函数f (x )的概念域；(2)假设函数f (x )的概念域为R ，试求a 的取值范围．解：(1)当a ＝5时，f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|－5，由|x ＋1|＋|x ＋2|－5≥0 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥－1，2x －2≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤x <－1，－4≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，－8－2x ≥0，解得x ≥1或x ≤－4.即函数f (x )的概念域为{x |x ≥1或x ≤－4}．(2)由题可知|x ＋1|＋|x ＋2|－a ≥0恒成立，即a ≤|x ＋1|＋|x ＋2|恒成立，而|x ＋1|＋|x ＋2|≥|(x ＋1)－(x ＋2)|＝1，因此a ≤1，即a 的取值范围为(－∞，1]．6．已知函数f (x )＝|x －2|＋2|x －a |(a ∈R )．(1)当a ＝1时，解不等式f (x )>3；(2)不等式f (x )≥1在区间(－∞，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，原不等式可化为 ①⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2＋2x －2>3，解得x >73；②⎩⎪⎨⎪⎧1<x <2，2－x ＋2x －2>3，现在无解； ③⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，2－x ＋2－2x >3，解得x <13， ∴不等式的解集为(－∞，13)∪(73，＋∞)． (2)当a >2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2＋2a ，x ≤2，－x ＋2a －2，2<x <a ，3x －2－2a ，x ≥a ；当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋6，x ≤2，3x －6，x >2；当a <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2＋2a ，x ≤a ，x －2a ＋2，a <x <2，3x －2－2a ，x ≥2.∴f (x )的最小值为f (2)或f (a )，则⎩⎪⎨⎪⎧ f a ≥1，f 2≥1，解得a ≤1或a ≥3. 故实数a 的取值范围为(－∞，1]∪[3，＋∞)．7．(2021·郑州模拟)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)假设不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，假设f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )≤3得，|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，因此⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2. (2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2，因此当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5. 综上可得，g (x )的最小值为5.从而假设f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，那么m的取值范围为(－∞，5]．8．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)知足以下条件：①当x∈R时，f(x)的最小值为0，且f(x－1)＝f(－x－1)恒成立；②当x∈(0,5)时，x≤f(x)≤2|x－1|＋1恒成立．(1)求f(1)的值；(2)求f(x)的解析式；(3)求最大的实数m(m>1)，使得存在实数t，当x∈[1，m]时，f(x＋t)≤x恒成立．解：(1)在②中令x＝1，有1≤f(x)≤1，故f(1)＝1.(2)由①知二次函数的图像关于直线x＝－1对称，且开口向上，故设此二次函数为f(x)＝a(x＋1)2(a>0)．因为f (1)＝1，因此a ＝14，因此f (x )＝14(x ＋1)2. (3)f (x )＝14(x ＋1)2的图像开口向上，而y ＝f (x ＋t )的图像是由y ＝f (x )的图像向左或向右平移|t |个单位取得的，要在区间[1，m ]上使得y ＝f (x ＋t )的图像在y ＝x 的图像下方，且m 最大，那么1和m 应当是方程14(x ＋t ＋1)2＝x 的两个根．令x ＝1代入方程，得t ＝0或－4.当t ＝0时，方程的解为x 1＝x 2＝1(这与m >1矛盾，舍去)；当t ＝－4时，方程的解为x 1＝1，x 2＝9，因此m ＝9.又当t ＝－4时，对任意x ∈[1,9]，y ＝f (x －4)－x ＝14(x －3)2－x ＝14(x 2－10x ＋9)＝14(x －5)2－4≤0，即f (x －4)≤x 恒成立．因此最大的实数m 为9.第二节不等式的证明及柯西不等式对应学生用书P189 1．不等式证明的方式(1)比较法：①求差比较法：明白a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b 只要证明a －b >0即可，这种方式称为求差比较法．②求商比较法：由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时，要证明a >b ，只要证明ab>1即可，这种方式称为求商比较法．(2)综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方式叫综合法．即“由因导果”的方式． (3)分析法：证明不等式时，有时能够从求证的不等式动身，分析使那个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是不是具有的问题，若是能够确信这些充分条件都已经具有，那么就能够够判定原不等式成立，这种方式叫作分析法．即“执果索因”的方式．(4)反证法和放缩法：①先假设要证的命题不成立，以此为起点，结合已知条件，应用公理、概念、定理、性质等，进行正确的推理，取得和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方式叫作反证法． ②证明不等式时，通过把不等式中的某些部份的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方式叫作放缩法．2．几个经常使用大体不等式(1)柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设a 1，a 2，b 1，b 2均为实数，那么(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2(当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时，等号成立)．②柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，那么|α||β|≥|α·β|.③二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么 x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥ x 1－x 22＋y 1－y 22.④柯西不等式的一样形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，那么(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(2)平均值不等式：①定理：若是a ，b ，c 为正数，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．②咱们称a ＋b ＋c 3为正数a ，b ，c 的算术平均值，3abc 为正数a ，b ，c 的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式．③一样形式的算术—几何平均值不等式：若是a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，那么a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 1．利用柯西不等式或平均值不等式时易轻忽等号成立的条件． 2．易混淆分析法与综合法，分析法是执果索因，综合法是由因导果．[试一试]1．已知x 2＋y 2＝10，那么3x ＋4y 的最大值为______．解析：∵(32＋42)(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2，当且仅当3y ＝4x 时等号成立，∴25×10≥(3x ＋4y )2，∴(3x ＋4y )max ＝510.答案：510 2．已知a ，b ，c ∈R ＋，那么1a ＋1b ＋1c 与1ab ＋1bc ＋1ac的大小关系是________．解析：21a ＋1b ＋1c ＝1a ＋1b ＋1b ＋1c ＋1c ＋1a ≥2ab ＋2bc ＋2ca. 因此1a ＋1b ＋1c ≥1ab ＋1bc ＋1ac. 答案：1a ＋1b ＋1c ≥1ab ＋1bc ＋1ac放缩法证明不等式的技术(1)放缩法原理简单，但放缩技术性强，而且应用普遍，经常使用的放缩法有增项、减项，利用分式的性质、函数的性质、不等式的性质等．其理论依据是不等式的传递性，利用此方式时要注意把握放大或缩小的度．(2)常见的放缩技术有：①1k k －1>1k 2>1k k ＋1(k ≥2，k ∈N *)；②2k－1＋k>22k>2k＋k＋1(k≥2，且k∈N*)．[练一练]设M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，那么M与1的大小关系是__________．解析：∵210＋1>210,210＋2>210，…，211－1>210，∴M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋…＋1210＝1.210个答案：M<1对应学生用书P190考点一比较法证明不等式1.设t＝a2解析：∵s－t＝a＋b2＋1－a－2b＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴s≥t.答案：s≥t2．已知c>b>a，求证：a2b＋b2c＋c2a<ab2＋bc2＋ca2.证明：ab2＋bc2＋ca2－(a2b＋b2c＋c2a)＝a(b2－c2)＋b(c2－a2)＋c(a2－b2)＝a(b2－c2)＋b(c2－b2＋b2－a2)＋c(a2－b2)＝a(b2－c2)＋b(c2－b2)＋b(b2－a2)＋c(a2－b2)＝(c2－b2)(b－a)＋(b2－a2)(b－c)＝(b－a)·(c－b)[b＋c－(b＋a)]＝(b－a)(c－b)(c－a)．∵c>b>a，∴b－a>0，c－b>0，c－a>0.∴ab2＋bc2＋ca2>a2b＋b2c＋c2a.即a2b＋b2c＋c2a<ab2＋bc2＋ca2.3．求证：当a ，b ∈(0，＋∞)时，a a b b ≥(ab )a ＋b 2.证明：a a b b ab a ＋b 2＝a a －b 2b b －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2，当a ＝b 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2＝1. 当a >b >0时，a b >1，a －b2>0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2>1. 当b >a >0时，0<a b <1，a －b2<0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2>1. 综上可知，当a ，b ∈(0，＋∞)时，a a b b ≥(ab )a ＋b 2成立．[备课札记][类题通法]关于多项式的大小比较问题通常能够用比较法，而比较法中最经常使用的是作差法和作商法．作差法中作差后的关键是对差的符号进行判定，通常运用配方、因式分解等方式，作商法要注意两式的符号．考点二综合法与分析法[典例] (1)已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c≥9. (2)已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a .[证明]：(1)法一：1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋b ＋c )1a ＋1b ＋1c ≥3·3abc ·3·31abc ＝9(当且仅当a ＝b＝c ＝13时等号成立)．法二：1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．) (2)要证b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2.∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2，只需证2a 2－ab －b 2>0，只需证(a －b )(2a ＋b )>0，只需证(a －b )(a －c )>0.∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0.∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立. 在本例(1)的条件下求证：(a ＋1a )2＋(b ＋1b)2＋(c ＋1c )2≥1003. 证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2 ＝13(12＋12＋12)·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2 ≥13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2 ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋a ＋b ＋c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2 ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋c a ＋a c 2 ≥13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3＋2 b a ·a b ＋2 c b ·bc ＋2 a c ·c a2 ＝13×(1＋9)2＝1003. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立． [备课札记][类题通法]分析法与综合法常常结合利用，实际是以分析法为主，借助综合法，使证明的问题明朗化．[针对训练]已知a>0，b>0,2c>a＋b，求证：c－c2－ab<a<c＋c2－ab.证明：法一(分析法)要证c－c2－ab<a<c＋c2－ab，即证－c2－ab<a－c<c2－ab，即证|a－c|<c2－ab，即证(a－c)2<c2－ab，即证a2－2ac<－ab.因为a>0，因此只要证a－2c<－b，即证a＋b<2c.由已知条件知，上式显然成立，因此原不等式成立．法二(综合法)因为a＋b<2c，因此a－2c<－b.又因为a>0，因此a2－2ac<－ab，因此(a－c)2<c2－ab，因此|a－c|<c2－ab，因此－c2－ab<a－c<c2－ab，因此c－c2－ab<a<c＋c2－ab.考点三放缩法证明不等式[典例] 123n x1＋x2＋x3＋…＋x n＝1.求证：1x1－x31＋1x2－x32＋1x3－x33＋…＋1x n－x3n>4.[证明] ∵0<x i<1，∴1x i－x3i>1x i，其中i＝1,2,3，…，n，1x1－x31＋1x2－x32＋1x3－x33＋…＋1x n－x3n>1x1＋1x2＋1x3＋…＋1x n≥nn1x1x2x3…x n.∴∵ n x 1x 2x 3…x n ≤x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n n ＝1n ， ∴ n1x 1x 2x 3…x n ≥n ， ∴1x 1－x 31＋1x 2－x 32＋1x 3－x 33＋…＋1x n －x 3n >n 2≥22＝4， ∴1x 1－x 31＋1x 2－x 32＋1x 3－x 33＋…＋1x n －x 3n >4.[备课札记][类题通法]放缩法证明不等式时，常见的放缩依据和技术是不等式的传递性．缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头．[针对训练]设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)<1. 证明：由2n ≥n ＋k >n (k ＝1,2，…，n )，得12n ≤1n ＋k <1n. 当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n； …当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n， ∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n＝1. 考点四柯西不等式求最值[典例] (2021·南通模拟)假设正数a ，b ，c 知足a ＋b ＋c ＝1，那么13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值为________．解析：由柯西不等式知：⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)]≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13a ＋2×3a ＋2＋13b ＋2×3b ＋2＋13c ＋2×3c ＋22＝32＝9. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[3(a ＋b ＋c )＋6]≥9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2×9≥9. ∴13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1. 当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13时，取到最小值1. 答案：1[备课札记][类题通法]利用柯西不等式求最值的一样结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在利用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．[针对训练]已知实数a ，b ，c ，d 知足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，求证：1≤a ≤2. 证明：由柯西不等式得(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2，即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2，由已知可得2b2＋3c2＋6d2＝5－a2，b＋c＋d＝3－a，∴5－a2≥(3－a)2，即1≤a≤2.当且仅当2b12＝3c13＝6d16，即2b＝3c＝6d时等号成立．对应学生用书P192[课堂练通考点]1．(2021·陕西高考)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，那么(am＋bn)(bm＋an )的最小值为________．解析：(am ＋bn )(bm ＋an )＝ab (m 2＋n 2)＋mn (a 2＋b 2)≥2abmn ＋mn (a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(2ab ＋a 2＋b 2)＝2(a ＋b )2＝2(当且仅当m ＝n ＝2时取等号)．答案：2 2．已知x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，那么利用柯西不等式判定a 2＋b 2与(x ＋y )2的大小关系为________．解析：∵x 2a 2＋y 2b 2＝1，∴a 2＋b 2＝(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a 2＋y 2b 2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·x a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ·y b 2 ＝(x ＋y )2.答案：a 2＋b 2≥(x ＋y )23．设x ，y ，z 均为实数，那么2x ＋y －z x 2＋2y 2＋z 2的最大值是________．解析：由柯西不等式知(x 2＋2y 2＋z 2)[ 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋(－1)2 ]≥(2x ＋y －z )2⇒2x ＋y －z x 2＋2y 2＋z 2≤222. 当且仅当x2＝2y ＝－z >0时等号成立．答案：222 4．(2021·全国卷Ⅱ)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，因此3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .因此a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.[课下提升考能]1．已知x ，y ，z ∈R ，假设x 4＋y 4＋z 4＝1.求证：x 2＋y 2＋z 2≤ 3.证明：x ，y ，z ∈R ，且x 4＋y 4＋z 4＝1为定值，利用柯西不等式取得 (x 2＋y 2＋z 2)2≤(12＋12＋12)[(x 2)2＋(y 2)2＋(z 2)2]．从而(x 2＋y 2＋z 2)2≤3⇒x 2＋y 2＋z 2≤3. 当且仅当x 21＝y 21＝z 21时取“＝”号，又x 4＋y 4＋z 4＝1，因此x 2＝y 2＝z 2＝33时取“＝”号． 2．(2021·大连模拟)已知a >0，b >0，c >0，a ＋b >c . 求证：a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c. 证明：∵a >0，b >0，∴a 1＋a >a 1＋a ＋b ，b 1＋b >b 1＋a ＋b. ∴a 1＋a ＋b 1＋b >a ＋b1＋a ＋b .而函数f (x )＝x 1＋x ＝1－11＋x在(0，＋∞)上递增，且a ＋b >c ，∴f (a ＋b )>f (c )，则a ＋b 1＋a ＋b >c1＋c ，因此a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c，故原不等式成立．3．已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . 证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b >0，因此a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0，从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .4．已知a ，b ，c ∈R ＋.求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥c ba ＋a cb ＋b ac .证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴b 2a ＋c 2b ≥2 b 2a ·c 2b ＝2c ba ，同理，c 2b ＋a 2c ≥2a c b ，a 2c ＋b 2a ≥2b ac，三式相加可得b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥c ba ＋a cb ＋b ac .5．已知f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，求证|f (a )－f (b )|<|a －b |.证明：∵|f (a )－f (b )|＝|1＋a 2－1＋b 2|＝ |a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b 2＝|a －b ||a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2. 又|a ＋b |≤|a |＋|b |＝a 2＋b 2<1＋a 2＋1＋b 2. ∴|a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2<1.∵a ≠b ，∴|a －b |>0，∴|f (a )－f (b )|<|a －b |.6．(2021·金华模拟)已知x，y，z是正实数．求证：x2y＋z＋y2x＋z＋z2x＋y≥x＋y＋z2.证明：∵x ，y ，z 是正实数，令a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x y ＋z ，y x ＋z ，z x ＋y ， b ＝(y ＋z ，x ＋z ，x ＋y )，∵|a·b|2≤|a|2|b|2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x y ＋z ·y ＋z ＋y x ＋z ·x ＋z ＋z x ＋y ·x ＋y 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y ＋z ＋y 2x ＋z ＋z 2x ＋y [(y ＋z )＋(x ＋z )＋(x ＋y )]，当且仅当x ＝y ＝z 时，等号成立．即(x ＋y ＋z )2≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2z ＋y ＋y 2x ＋z ＋z 2x ＋y ·(x ＋y ＋z )， ∴x 2y ＋z ＋y 2x ＋z ＋z 2x ＋y ≥x ＋y ＋z2. 7．设a ，b ，c 均为正实数．求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b . 证明：∵a ，b ，c 均为正实数，∴12⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ≥12ab ≥1a ＋b，当且仅当a ＝b 时等号成立； 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c ≥12bc ≥1b ＋c ，当且仅当b ＝c 时等号成立； 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＋12a ≥12ca ≥1c ＋a，当且仅当c ＝a 时等号成立；三个不等式相加即得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．8．(1)设x 是正实数，求证：(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3；(2)假设x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是不是仍然成立？若是成立，请给出证明，若是不成立，请举出一个使它不成立的x 值．解：(1)证明：x是正实数，由大体不等式知，x＋1≥2x，1＋x2≥2x，x3＋1≥2x3，故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2x·2x·2x3＝8x3(当且仅当x＝1时等号成立)．(2)假设x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立．由(1)知，当x >0时，不等式成立；当x ≤0时，8x 3≤0.而(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)(x 2－x ＋1) ＝(x ＋1)2(x 2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥0，现在不等式仍然成立．。

第22讲不等式选讲讲义

第22讲不等式选讲1.[2019·全国卷Ⅱ]已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.2.[2018·全国卷Ⅰ]已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.3.[2019·全国卷Ⅰ]已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1) + + ≤a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.方法解决含绝对值不等式问题解形如|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)的不等式主要有两种方法:①分段讨论法:将数轴分为(-∞,a],(a,b],(b,+∞)(此处设a<b)三个部分,在每部分区间内去掉绝对值符号并分别列出对应的不等式求解,然后取各个不等式解集的并集;②图像法:作出函数y1=|x-a|+|x-b|和y2=c的图像,结合图像求解.不等式的恒成立问题一般有两种解法:①利用函数思想转化为函数的最值问题进行分析;②通过数形结合构造出两个函数,通过寻找临界状态得到参数的取值范围.不等式证明的主要方法:①分析法;②综合法.解答1含绝对值的不等式的解法1已知函数f(x)=2|x+2|+|x-1|.(1)求不等式f(x)<5的解集;(2)若存在x∈R,使f(x)<|2a-4|,求实数a的取值范围.【考场点拨】(1)对于形如|f(x)|≥|g(x)|的不等式,可利用不等式两边同时平方的技巧,去掉绝对值;(2)对于形如|f(x)|±|g(x)|≥a,|f(x)|±|g(x)|≤a的不等式,可利用零点分区间法去掉绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.【自我检测】已知函数f(x)=|2x+3|-|x-a|(a∈R).(1)当a=1时,解不等式f(x)≥2;(2)若关于x的不等式f(x)≥|x-3|的解集包含[3,5],求a的取值范围.解答2不等式的证明2已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|a-x|+|x+b|+c.(1)若ab=a+b,且c=1,证明:f(x)≥5;(2)若函数f(x)的最小值为1,证明:a2+b2+c2≥ .【考场点拨】(1)证明不等式的基本方法有综合法、分析法,也常用到基本不等式进行证明;(2)对于含有绝对值的不等式证明,常涉及绝对值三角不等式;(3)对于含有根号的不等式证明,可用平方法(前提是不等式两边均为正数).【自我检测】(1)已知a,b,c>0,且a+b+c=1,证明: + + ≥9;(2)已知a,b,c>0,且abc=1,证明: + + ≤ + + .解答3含绝对值不等式的恒成立问题3已知函数f(x)=|x-m|-|2x+3m|(m>0).(1)当m=1时,求不等式f(x)≥1的解集;(2)若对任意的实数x,t,不等式f(x)<|2+t|+|t-1|恒成立,求实数m的取值范围.【考场点拨】利用绝对值不等式恒成立求参数的值或范围,处理原则是分离参数法,然后使用结论:(1)若f(x)>g(a)恒成立,则转化为f(x)min>g(a);(2)若f(x)<g(a)恒成立,则转化为f(x)max<g(a).【自我检测】已知函数f(x)=|x-1|+2|x-3|.(1)解关于x的不等式f(x)≤4;(2)若f(x)-m2-m>0恒成立,求实数m的取值范围.。

第4节不等式选讲

(2 )因为 f(a ) 0 ,所以 a 1 . 当 a 1 ,x ( ,1 )时 ,f(x ) (a x )x (2 x )(x a ) 2 (a x )(x 1 ) 0 . 所以 ,a 的取值范围是 [1 , ).
11.(2015新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
10.(2019新课标II卷)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a). (1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集； (2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.
【解析】(1)当 a1时 ,f(x)|x1|x|x2|(x1). 当 x1时 ,f(x)2(x1)20;当 x1时 ,f(x)0. 所以 ,不等式 f(x)0的解集为 ( ,1).
2
x
,
x
1 2
【
解
析
】
(1)
f
(x)
1,
1 2
x
1. 2
2
x
,
x
1 2
当 x 1 时 ,由 f ( x) 2得 2 x 2, 解得 1 x 1 ;
2
2
当 1 x 1 时 ,由 f ( x) 2,即1 2恒成立 , 解得 1 x 1 ;
2
2
2
2
当 x 1 时 ,由 f ( x) 2即 2 x 2, 解得 1 x 1.
g (x) g (1) 11 3 5;
当 1 x 2时, g (x) x2 3x 1, 其图象开口向下,
对称轴为x 3 (1, 2), g(x) g( 3) 9 9 1 5 ;

第二十一章§21.3 不等式选讲

ａ＋ｂ
ｃ２＋ａ＋ｂ
ｂ＋ｃ
ａ２＋ｂ＋ｃ
ｃ＋ａ
ｂ２
ö２
÷
ｃ＋ａ ø
＝
１２
（ａ＋ｂ＋ｃ）２．
因为ａ，ｂ，ｃ都是正数，
��
＋ａ２２
）
（
ｂ
２１
＋
ｂ２２
）
≥
（
ａ１
ｂ１
＋
ａ２
ｂ
２
）
２
（
当
且
仅
当
ａ１ｂ２
＝ａ２ｂ１
时，等号成
立）．
②柯西不等式的向量形式：设 α，β 为平面上的两个向量，则
｜ α｜｜ β ｜ ≥ ｜ α·β ｜．
③ 三角不等式：设ｘ１，ｙ１，ｘ２，ｙ２，ｘ３，ｙ３ ∈ Ｒ，则
（ｘ１－ｘ２）２＋（ｙ１－ｙ２）２
所以ｂａ＋２ｃ＋
ｂ２ｃ＋ａ
＋
ｃ２ａ＋
≥ ｂ
１２
（ａ＋ｂ＋ｃ）．
２－２（２０１９常州期末，２１Ｃ）已知ａ＞０，ｂ＞０，求证：ａ＋ｂ＋１≥
ａｂ＋ａ＋ｂ．
２－２证明因为ａ＋ｂ≥２ａｂ，ａ＋１≥２ａ，ｂ＋１≥２ｂ，
��

最新高考数学总复习-不等式选讲资料

第三节不等式选讲 ( 选修 4-5)考纲解读1.认识绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值 .2.认识柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位.3.认识基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.4.会用综合法、剖析法、反证法及数学概括法证明不等式.命题趋向研究本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容. 题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般地点，难度为中档.知识点精讲一、不等式的性质1.同向合成（ 1）a b, b c a c；（ 2）a b,c d a c b d ；（ 3）a b0,c d0ac bd .（合成后为必需条件）2. 同解变形（ 1）a b a c b c ；（ 2）a b c0, ac bc c0, ac bc ；（ 3）a b 0110a b 0 .b a（变形后为充要条件）3.作差比较法a b a b 0, a b a b0二、含绝对值的不等式（ 1）a0,| x | a a x a ； a 0,| x | a x a, 或x a（ 2）| a | |b |a2b2（ 3）| x a | | x b | c零点分段议论三、基本不等式（ 1）a2b22ab （当且仅当等号建立条件为a b ）（ 2）a0,b 0, a b2 ab （当且仅当等号建立条件为a b ）；2a 0,b0,c0, ab c3 abc （当且仅当 a b c 时等号建立）（ 3）柯西不等式3(a2b2 )(c2 d 2 )(ac bd )2（当且仅当 ad bc 时取等号）①几何意义： | a b |≤| a || b || ad bc |a2b2c2 d 2②推行： (a12a22L a n2 )(b12b22L b n2 ) (a1b1a2b2 L a n b n ) 2. 当且仅当向量 a = (a1 , a2 ,L, a n ) 与向量 b = (b1 ,b2 ,L , b n ) 共线时等号建立.四、不等式的证明（ 1）作差比较法、作商比较法.（2）综合法——由因到果 .（3）剖析法——执果索因 .（4）数学概括法 .（5）结构协助函数利用单一性证明不等式.（6）反证法 .（7）放缩法 .题型概括即思路提示题型 201含绝对值的不等式一、解含绝对值的不等式思路提示对于含绝对值的不等式问题，第一要考虑的是依据绝对值的意义去掉绝对值. 常用的去绝对值方法是零点分段法. 特别用于多个绝对值的和或差不等式问题. 若单个绝对值的不等式常用以下结论：| f (x) | g (x)g( x) f (x)g( x) ；| f ( x) | g (x) f ( x) g ( x)或 f ( x)g( x) ；| f (x) | | g( x) | f 2 ( x) g 2 ( x)( f ( x) g (x))( f ( x) g( x))0 .有时去绝对值也可依据| x |2x2往来绝对值.例 16. 14在实数范围内，不等式|| x 2 |1| 1的解集为.解析由于 || x 2 |1| 1 ，即 1 | x 2 | 1 1 ，即 | x2| 2，所以2 x 2 2 ，所以 0 x 4.所以不等式的解集为[0, 4] .变式 1不等式| x5| | x 3| 10 的解集是（）A.[ 5,7]B.[ 4,6]C.( , 5] U[7,)D.( , 4] U[6,)变式 2已知函数 f ( x) | x 2 | | x5| .（ 1）证明： 3 f (x) 3；（ 2）求不等式 f ( x) x28x15 的解集.二、含绝对值不等式恒建立，求参数问题例 16. 15（2012辽宁理24）已知 f ( x) | ax 1| (a R ) ,不等式 f ( x) 3 的解集为x | 2 x 1 .(1)求 a 的值；(2)若 | f (x)2f ( x) |k 恒建立，求 k 的取值范围. 2分析（ 1）由| ax1| 3 得4ax 2 ，又f (x) 3 的解集为x | 2 x 1 ，所以当a 0时，不合题意.当 a0 时，42得 a 2 . axa1, x1(2) 记h( x) f (x) 2 f ( x) ，则 h( x)4x3,1x 1 ，2121, x2所以 | h(x) | 1 ，所以k 1 ，即 k 的取值范围是[1,) .变式 1（ 2012 新课标理24）已知函数f (x)| x a || x 2 | .（ 1）当a 3 时，求不等式 f ( x)3的解集；（ 2）若f(x)| x 4 | 的解集包括[1,2]，求 a 的取值范围.变式 2(2013 重庆理 16)若对于实数 x 的不等式 | x 5 || x3| a 无解，则实数 a 的取值范围是.变式 3(2013 全国新课标 I理 24)已知函数 f ( x)| 2x1|| 2x a |, g( x) x 3 . (1)当 a 2 时，求不等式 f (x)g( x) 的解集；(2)设 a 1 ，且当 x[a1g( x) ，求 a 的取值范围. ,) 时， f ( x)22三、含绝对值（方程）不等式有解，求参数问题例 16. 16 若对于 x 的不等式 | a | | x 1| | x 2 | 存在实数解，则实数a 的取值范围是.分析不等式 | a | | x 1|| x 2 |有解，则 | a | (| x 1| | x 2 |)min 3 ，故实数 a 的取值范围是 ( , 3] U[3,) .变式 1 (2012 陕西理 15) 若存在实数 x 使 | xa | | x 1| 3 建立，则实数 a 的取值范围是.变式 2已知 aR ，对于 x 的方程 x 2x | a 1 | | a | 0 有实根，求 a 的取值范围 .4四、已知含绝对值不等式的解集，求参数的值或范围例 16. 17 （ 2013 福建理 23）设不等式 | x2 | a(a N )的解集为 A ，且3 A, 1A .2 2(1)求 a 的值；(2) 求函数 f ( x) | x a | | x 2 |的最小值 .剖析先依据不等式的状况求出字母取值，在利用不等式求解最值 .分析（1）由于3A, 且 1 A ，所以 |32 | a ，且 |12 | a ，解得 1 a3 . 又2 22 22 2a N ，所以 a 1 .(2)因为 | x 1| | x 2 ||( x 1) ( x 2) | 3 ，当且仅当 ( x 1)(x 2) 0 ，即1 x2 时取等号，所以 f ( x) 的最小值为3 .变式 1 设函数 f ( x) | x a | 3x ，此中 a 0 .(1)当 a 1 时，求不等式f ( x) 3x 2的解集；(2) 若不等式 f ( x) 0 的解集为x | x 1 ，求 a 的值 .变式 2 (2013 辽宁理 24) 已知函数 f ( x) | xa |，此中 a 1 .(1) 当 a2时，求不等式 f ( x) 4 | x4 | 的解集；(2) 已知对于 x 的不等式 | f (2 x a) 2 f ( x) | 2 的解集为 x |1 x 2 ，求 a 的值 .变式 3(2012 山东理 13)若不等式 | kx 4 | 2 的解集为 x |1 x3 ，则实数 k =.题型 202 不等式的证明一、比较法（差值法和比值法）思路提示将待比较的两个代数式经过作差或作商，与0 与 1进行比较，获得大小关系 .例 16. 18已知 a, b, m 均为正实数，且ab ，求证：am a .比较am与 a的大小可经过作差法 .b mb剖析b mb分析a m a b(am) a(b m) bm am (b a) m . 由于 a,b, m R ，bmbb(b m) b(b m)b(b m)ab ，所以 b a 0 , m0 , b m 0 . 故ama (b a)m 0 . 所以am a .bm b b(b m)b m b评注作差比较的基本步骤为：（ 1）作差 . （ 2）变形 . （ 3）判断符号 .变式 1 已知 a, b, R ，且 a b , nN .求证： (a b)(a nb n ) 2( a n 1 b n 1 ) .二、利用函数的单一性证明思路提示使用对象：在某区间建立的函数不等式、数值不等式的证明往常是经过协助函数达成的.解题程序：（ 1）移项（有时需要作简单的恒等变形），使不等式一端为 0 ，另一端为所作协助函数 f ( x) .（ 2）求 f ( x) 并考证 f (x) 在指定区间上的单一性 .（ 3）求出区间端点的函数值（或极限值），此中起码有一个为 0 或已知符号，作比较即得所证 .例 16. 19 已知 0 x 1，求证： x sin x1 x 3 .60 ，另一端为所作的协助函数，剖析属于在某区间上建立的不等式，经过移项使得一端为利用函数的单一性证明 .分析原不等式等价于 sin x x1 x 30(0 x 1) .令 f ( x) sin x x1x 3 (0 61 1 x 22sin 2x1 x2 .x 1) ， f ( x) cos x62 2 2令 g( x) 故 g( x)sinxx.sin x x (0 x 1) ，则 g ( x) 1 cos x1 0 ，2 2 2 2 2 sin xx在 [0,1) 上是减函数，所以当 0 x 1 时， g(x) g(0) 0 ，故2 2 故 f ( x)x ) 2 x 22( 0 ，所以 f (x) 在 [0,1) 上是增函数 .又 f (0)0 ，所以当0 x1时， f (x) 0建立.于是x sin x1x3建立.6变式 1证明：当 0x时，2xsin x x .2三、综合法与剖析法思路提示字母 A, A1 , A2 ,L , A n , B 分别表示一组不等式，此中B为已知不等式，A为待证不等式.如有 A A1A2L A n B ，综合法是由B行进式地推导 A ，剖析法是由 A 倒退式地剖析到 B .用剖析法时，一定步步可逆.1.综合法（由因到果）例 16. 20证明：2367 .分析观察到2 3 与67是负数，被开方数分别为 2,3,6,7，明显知足23671，这样能够考虑将分子有理化 .分析231，671，11，23672367故11，即2367 . 2367评注近似的问题能够总结为m m1m1m 2 d的形式或许更宽泛的形式m m1m k m k1(k N ) .变式 1设 f (x)1x2 (a b) ，求证：| f (a) f (b) | | a b | .2.剖析法（由果索因）例 16. 21设 a1 , a2 ,b1, b2R，求证：(a1b1 )(a2 b2 )a1a2bb1 2.剖析利用剖析法将证明的不等式进行恒等变形，进而探访证明的打破口.分析要证明(a1b1 )( a2b2 )a1a2bb1 2，只需证(a1b1 )(a2b2 )a1a2bb122a1a2bb1 2，即证 a b a b2 a a bb .12211212由于 a, a , b ,b R，所以 a ba b2 a a bb .1 22 11 212故原不等式建立 .评注在证明不等式时，常常用剖析法探访证明思路，再用综合法表述证明过程，有些不等式的证明需要一边剖析，一边综合，在使用剖析法证明时，要注意剖析过程步步可逆.变式 1若 ab c ，且 a b c0 ，求证：b 2aca 3 .四、反证法思路提示从否认结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证明结论的否认是错误的，进而一定原结论是正确的 . 它的依照是原命题与逆否命题同真假 .例 16. 22已知 a, b, c 为不小于 1的正数，求证： a(1 c),b(1 a), c(1 b) 不行能同时大于1 . 4剖析假定三式都大于1 ，经过推理，导出矛盾，证明结论的否认是错误的，进而一定原4结论的正确性 .分析假定三式都大于1 ，即 a(1 c) 1, b(1 a)1, c(1 b) 1，444 4有1a(1 c) a 1 c①22同理1b(1 a)b 1 a ②221 c(1 b) c 1 b③22三式相加得33 ，矛盾，故原命题建立 .2 2评注对于从正面证明不易着手，但从反面证明相对简单的命题，利用反证法解题会很方便 .这也表现了数学中“正难则反”的思想.变式 1已知 a,b,R ， a 3 b 32 ,求证： a b 2 .五、放缩法思路提示预证 AB ，可经过适合放大或减小，借助一个或多此中间量，使得B B 1 , B 1 B 2 ,L , B KA 或 AA 1, A 1A 2 ,L , A KB ，再利用传达性，达到证明目的，常有的放缩门路有“添舍”放缩、 “分母”放缩和“单一”放缩.例 16. 23 已知正数 a, b, c 知足 ab c1，求证： 6a 16b 16c 1 6 .剖析采纳“添项”放缩法22同理 6b 1 3b 1 ②6c 1 3c1③① +② +③得 6a16b 1 6c 13(a bc) 3 6 .评注放缩法的主要依照是不等式的传达性，往常，若所证不等式两边形式差别较大，则应试虑用放缩法 . 此题也可用柯西不等式证明：( 6a1 6b 16c 1)23(6a 1 6b 1 6c 1) 27 36 ，所以 6a 16b 16c 1 6 .变式 1证明： n n (n 1)n 1( n 2, n N ) .例 16. 24 求证： 1b c da2(, , , R ) .a b c b c d c d a d a ba b c d剖析采纳“分母”放缩法证明 .分析由题意， a,b, c, dR ，则b cd a a b c d1，a b c b c d c d a d a b a b c db c da b cda.2a b c b c d c d a d a b a b c d c d a b所以原不等式建立 .例 16. 25 设 a,b, c, mR ，且知足 a mb mc m ，问 m 取何值时，以 a,b,c 为边可组成三角形，并判断该三角形的形状 .分析由幂函数性质可知a b ，a c ，要组成三角形，只需 b c a ，故 (b c)m a m ，即证明 (b c)m b m c m ，只需证明 1( b )m ( c ) m ，b c b c即 (b)m ( c ) mb bcb c . ①b cb cc由 m0 ，且b b , c(0,1) ，c b c由指数函数 y a x (0 a 1) 单一递减可知，要使得式①建立，只需m 1.所以可知，要 bc a建立 . 只需 m 1建立 .当 m2 时， a 2 b 2 c 2 ，三角形为直角三角形；当 1 m 2 时， a 2a m a 2 m(b m c m ) a 2 mb m a 2 mc m a 2 mb bc c 22精选文档即 a 2b2c 2 ，此时三角形为钝角三角形；当 m 2 时， a 2a m a 2 m(b m c m ) a 2 mb m a 2 mc m a 2 mb m b 2 mc m c 2 mb 2c 2即 a 2b 2c 2 ，此时三角形为锐角三角形 .六、三角换元法思路提示2 若 x 2y 21， x2y1等为已知条件，求证不等式时，利用三角换元法较简单，2可是务必注意换元前后参数的范围变化.例 16. 26设实数 a, b, x, y 知足 a 2b 2 1 ， x 2 y 23 ，求证： ax by3 .剖析由 a 2 b 2 223联想到三角换元 .1 ， x y分析令 acos , b sin([0,2 )) ， x3 cos , y3 sin ([0,2 )) ，ax bycos 3 cos sin3sin3 cos( )3 .当0 ，即时， ax by 获得最大值3，证毕.评注三角换元在不等式证明以及求函数的最值、分析几何中参数的范围及最值方面有着极大的作用，常常可化难为易 .变式 1设 x, y R ， x2y21，求证： |x y| 5.3 412七、结构法思路提示一般说来，用结构法证明不等式，常有的结构方法以下：（ 1）结构协助函数 . （ 2）结构协助数列 .（ 3）结构几何图形 .例 16. 27 设 x, yR ， b 0 ，若 0 a1 ，求证： b b2 1 .结构一次函数证明 .ba1剖析分析0 a1 即 a (0, 1) . 若视 a 为未知数，并用 x 取代，即证明x (0, 1) 时，b b b(b b 2 )( x 1)1 . 即证 (b b2 )( x 1) 1 0 .设 f (x)(b b 2 )( x 1) 1 (b b 2 )x b b 2 1 ,精选文档即证 x1(0, ) 时， f ( x) 0 .b1而 f (x) 是对于 x 的一次函数，且f (0)b b 21(b 2b 1) 0 ， f ( )b 2 0 ，(0, 1) 时， f ( x)b所以当 x0 建立，进而原不等式建立 .b1 bb，b评注此题也可利用以下解法： a (0, 1) ，( ,1) ，即证 b b 2b0 ，ba1 b 11即证 1 b1，即 1 b21，由 b20 ，得 1 b21，故 b b2b建立 .b 1ab cb 1例 16. 28已知 a,b, c 为三角形的三边长，求证：.1 a1b 1 c分析不等式左右两边的 3个式子拥有同样的结构形式x ，故考虑结构函数x1f ( x)x .1 x x1+x x1分析f ( x)( xR ) ， f ( x)0 ，说明函数 122x（1 x ）（1 x ）单一递加，又 a,b, c 为三角形的三边长，故 a b c ，则ab c b c b c .1 a 1 b c 1 b c 1 b c 1 b 1 c变式 1证明：| a b | | a ||b | .1 | a b | 1 | a | 1 | b |变式 2已知 x0 且 x 1 ， m n 0 ，求证： x m1 x n1x mx n.例 16. 29 证明：当 x 1 且 x 0 时，有 (1 x)n 1 nx(n N ) .剖析此题经过结构协助数列证明 .分析结构数列 a n1nx ，由于 a n 1an1 (n 1)x 1 nx(1(1 x) n(1 x) n 1 (1 x)n以数列 { a n } 为单一递减数列 . 所以 1 nxa 1 1 ，即 (1 x)n1 nx(n(1 x)n评注此题将 x 看作参数结构协助数列 { a n } ，判断数列的单一性进而证明结论例 16. 30 设 a,b,c R ，求证：a 2b 2 b 2c 2 a 2 c 22( a 剖析依据已知式的形式特色联想勾股定理，结构几何图形证明 .分析如图 16-34 所示，结构正方形ABCD ，f ( x) 在 R 上nx 2 0 ，所x)n 1N ) ..b c) .D CacCCb c c2B C1bbA a A1 b B1c B图 16-34设 AA1a, A1B1b, B1B c ， BC1 b, C1C 2c, CC2 a,则|AB |a2b2 ,| B C |b2c2 ,| CC |a2c2，则a2b2b2c2a2c2|AC|2( a b c) .变式 1设 x, y R ，求证：x23x 3y2 3 y 3x23xy y2 6 .八、利用柯西不等式证明不等式思路提示柯西不等式不单拥有优美的代数表现形式及向量表现形式，并且有明显的几何意义，它与基本不等式拥有亲密的关系，其作用近似于基本不等式可用来求最大（小）值或证明不等式，可是它的特色更明显应用更直接.1. 二维形式的柯西不等式设 x1 , x2 , y1, y2R ， (x12y12 )( x22y22 )( x1x2 y1 y2 ) 2. 等号建立x1 y2 x2 y1.证明设 a ( x1 , y1), b( x2 , y2 ) ，由a b| a || b | cos a,b，得 cos a,b a b ，| a || b |又 | cos a,b | 1，即| ab |1， | a b | | a || b |，故 (x1x2y1 y2 )2( x12y12 )( x22y22 ) | a || b |等号建立刻 x1 y2x2 y1.2.一般形式的柯西不等式设 a1, a2 ,L , a n及 b1 ,b2 ,L ,b n为随意实数，则 (a1b1a2b2L a n b n )2(a12a22L a n2 )(b12b22L b n2 ) ，当且仅当a1a2Lan（规定 a i0 时 bi0 ， i 1,2,L , n ）时等号建立. b1b2b n证法一：当 a i全为0时，命题明显建立.na i20 ，考察对于 x 的二次函数 f ( x)nb i )2，明显 f (x)0恒建立.不然(a i xi 1i 1n n n n注意到 f ( x)(a i2 ) x22(a i b i ) x b i2，而 f ( x)0 恒建立，且a i20，i1i1i1i 1n n n故 f (x) 的鉴别式不大于零，即4(a i b i )24a i2b i20 ，i 1i 1i 1na i2nb i2na ib i ) 2.整理后得(i 1i 1i 1证法二：向量的内积证法 .令 a(a1 , a2 ,L, a n ) ， b(b1, b2 ,L , b n ) ，为 a 与b的夹角.由于 a b| a || b | cos a,b，且 | cos a,b| 1 ，所以 | a b || a || b || cos a,b || a || b || a b |2 |a |2| b |2，即 (a1b1a2b2 L a n b n )2( a12a22L a n2 )(b12b22L b n2 ) ，等号建立0或 180a,b 平行a1a2La n. b1b2b n柯西不等式提示了随意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系，应用它能够简单地证明很多复杂的不等式，下边举例说明.例 16. 31已知函数 f ( x)m| x 2 |,m R ，且 f ( x2)0的解集为 [1,1].①求 m 的值；②若 a, b, c R111m ，求证： a2b3c9 .，且2b3ca分析①由于 f ( x2)m| x | ， f (x 2)0等价于 | x | m .由 | x |m 有解，得m0 ，且其解集为 { x |m x m} .又 f (x2)0的解集为 [1,1]，故 m1.②由①知111 1 ，又a, b, c R，a2b3c3c)(11 1 )由柯西不等式得a2b3c(a2ba2b3c ( a12b13c 1 )29 .变式 1已知 a b c 1， a0, b 0, c 0 ，求证： 3a13b13c1 32 .变式 2已知 a 0, b 0, c 0 ， a cos 2b sin 2c .求证：a cos 2b sin 2c .例 16. 32设实数 a, b, c 知足 a 22b 2 3c 23 ，求证： 3 a 9 b 27 c 1.2分析由柯西不等式，(a2b 3c) 2[12 ( 2) 2 +( 3) 2 ][ a 2 ( 2b)2 ( 3c)2 ] 9 .所以 a2b 3c3，所以 3 a9 b 27 c33 3 (a 2b 3c)33331 .评注有些证明不等式的题，表面上看与柯西不等式没关，但是经过对原不等式作适合的变形改造后却能够应用柯西不等式加以解决，自然详细怎样变形改造是重点，也是难点，这常常需要经过察看、直觉、猜想、推理等.变式 1已知 nN , 且 n111 1 1 L1 122 ，求证：23 42n 12n.72变式 2已知正实数 a, b, c 知足 abc1，求证：11 1 3 .a 3 (b c) b 3 (c a) c 3 (a b) 2最有效训练题 61( 限时 45 分钟 )1. 不等式 | 2x 1| 2 3x 的解集是（）A.x | x 1 B.x |1x3 C. x | x3 D. x | x32 25552. 设 a, b, c (,0) ，则 a1 , b 1, c 1 （）b c aA. 都不大于 2B.都不小于 2 C. 起码有一个不大于2 D. 起码有一个不小于23. 若 P aa7 ， Qa 3a 4( a0) ，则 P, Q 的大小关系是（）A.PQB.PQ C. P Q D. 由 a 的取值决定4. 用数学概括法证明某不等式，左侧1 1 11 L1 1 1 ，“从 n k 到 nk1”应将左侧加上（2 3 42n 2n）A.1 B.1 1 C.1 D.112k 22k 1 2k 2k 1 2k 1 2k 4f ( x) 2 x 3 1 x 的最大值为（A. 512131352 B. C. D.2 136. 若正数a,b知足ab a b3 ，则① ab 的取值范围是；② a b 的取值范围是.7.在实数范围内，不等式| 2x1|| 2x 1| 6的解集为.8.若存在实数 x 使 | x a || x1| 3 建立，则实数 a 的取值范围是.9.已知 a 0, b 0, c0 ,a ba b cc .求证：a 1 b.1 1 c10. 已知函数 f (x) | x a | | x 2 | .(1)当 a 3 时，求不等式 f ( x) 3的解集；(2)若 f ( x) | x 4 |的解集包括1,2 ，求a的取值范围.11. 已知函数f ( x) m| x 2 |, m R ，且 f (x2)0 的解集为 [ 1,1].①求 m 的值；②若 a, b, c R1112b3c 9 .，且2bm ，求证： aa3c12. 已知函数f (x)x3( x1).设数列a n知足a11， a n 1 f (a n ) ，数列b n满x1足 b n | a n 3 | ，S n b1b2L b n ( n N ) .（1）用数学概括法证明：(31)nb n2n1；23（2）证明：S n.3。

不等式选讲资料

不等式选讲

高中数学讲义微专题97 不等式选讲

高三数学不等式选讲复习资料.doc

不等式选讲

不等式选讲(用基本不等式证明不等式)

不等式选讲

不等式选讲

不等式选讲

选修4-5 不等式选讲 第一节 绝对值不等式

不等式选讲

高考选考内容 不等式选讲

高考数学大讲义第十六章 不等式选讲 理

第22讲 不等式选讲讲义

第4节 不等式选讲

第二十一章§21.3 不等式选讲

最新高考数学总复习-不等式选讲资料

选修4-5 不等式选讲第一节绝对值不等式

高考选考内容不等式选讲

高考数学大讲义第十六章不等式选讲理

第22讲不等式选讲讲义

第4节不等式选讲