几种数值积分算法的误差分析
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Hale Waihona Puke Baidu
时牛顿-柯特斯求积公式出现不稳定现象而高斯型求积公式总是稳定 的.高斯求积公式的代数精度高达8，是具有最高代数精度的插值型求
积公式.
总结
通过理论分析和比较可以得出以下结论: 一般来说, Newton- Cotes方法的代数精度越 高,数值积分的效果越好;当积分区间较大时 候,可以采用复化积分方法可以得到较好的效 果;Romberg 积方法可以更好得到的积分序列 得到更为精确的数值结果,是一个较好的数值 积分方法.
h
2
f
(
)
（2）复化辛普森公式的截断误差
RSn
(
f
)
h 180
(h)4 2
f
(4)
( ),
(a,b)
（3）复化Cotes公式的截断误差
RCn
(
f
)
2(b a) 945
(h)6 4
f
(6)
( ),
(a,b)
小结 ：1、 Tn、Sn、Cn 收敛速度一个比一个快，一个比一个准确.
( n 1)
插值余项
R[
f
]
b
a
(
x)
f (n
(1))!n1
(
x)dx
知插值型求积公式的代数精度
n
不可能低于 n
，另一方面，若取f
(x)
2 n1
(
x)
(x
xi
)2
则有R[ f ] 0
i0
说明插值型求积公式的代数精度不可能达到 2n 2 ,高斯型求积公式
是具有最高阶代数精度的求积公式. 高斯型求积公式代数精度比牛顿柯特斯代数精度高，当 n 8
2、在使用函数值个数相等的情况下， T8、S 4、C2 精度逐渐升高.
3、龙贝格求积公式的误差分析
龙贝格求积公式是具有8阶精度的算法，收敛且稳定,比 Tn、Sn、Cn
收敛的快.
余项为：
b
Rm,k ( f ) a f (x)dx Tm,k
B2m2
(b a)2m3 f (2m2) ( )
（3）Cotes公式（n=4）
b
f (x)dx C
a
b a 90
7
f
(
x0
)
32
f
(
x1
)
12
f
(
x2
)
32
f
(
x3
)
7
f
(
x4
)
2、复化求积公式
（1）复化梯形求积公式
Tn
h 2
f
(a)
n1
2
k 1
f
(xk
)
f
(b)
（2）复化Simpton求积公式
2 ! (m1)(m2k ).2m
Romberg积分法高速有效，易于编程，适合于计算机计算.但它 有一个主要的缺点是，每当把区间对分后，就要对被积函数 f (x) 计算它在 新分点处的值，而这些函数值的个数是成倍的增加的.
4、高斯求积公式的误差分析
高斯求积公式可分为带权求积公式和不带权求积公式两大类.由
1、Newton-Cotes求积公式的误差分析
（1）梯形公式的截断误差 （2）辛普森公式截断误差 （3）柯特斯公式截断误差
RT
f ( ) (b a)3, 12
(a,b)
RS
(b a)5 2880
f
(4) ( ), (a,b)
RC
2(b a) 945
(b
1
n
f (x，)dx
1
Ak f (xk )
k 0
1 1
f (x) 1 x2
dx
n
Ak
k 0
f (xk )
ex f (x)dx
0
n
Ak f (xk )
k 0
e x2 f (x)dx
n
Ak f (xk )
k 0
二、数值积分方法的误差比较及算例
a)6 4
f
(6) ( ),
(a,b)
小结：Simpson公式的插值节点只比梯形公式多一个，但其
代数精确度却比梯形公式高2，它们都是最为常用的数值积分公
式，尤其是Simpson公式逻辑结构简单，且精度又比较高.
2、复化求积公式的误差分析
（1）复化梯形公式的截断误差
RTn
(
f
)
ba 12
几种数值积分方法的误差 理论总结及讨论
学生：于欣蕊 指导教师：任文秀
课程设计的基本思路
本课程设计通过总结与比较各类数值积分方法及 列出具体算例，通过余项、代数精度等比较各种方法 的异同。在我们解题时，用一些方法只能解决很狭隘 的一部分积分，在它的范围外通常采用各种近似计算 的方法。在近似计算过程中，肯定会产生误差，我们 必须想办法使得产生的误差尽可能的小。因此，一个 好的数值求积公式应该满足：计算简单、误差小、代 数精度高并且稳定。为了提高运算速度和准确性，我 们要重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论识， 从而使运算速度更快、更准。
一、几种数值积分的算法
1、Newton-Cotes求积公式
（1）梯形公式（n=1）
b f (x)dx T b af (a) f (b)
a
2
（2）Simpson（辛普森）公式（n=2）
b
f (x)dx S
a
b
6
a
f
(a)
4
f
(a
2
b)
f
(b)
Sn
h 6
f
n1
(a) 2
k 1
f
n
(xk ) 4
k 1
f
(
x k
1
)
2
f
(b)
（3）复化Cotes求积公式
h
n1
3
n1
n1
Cn
90
7
f
(a) 32( (
k 0
f
(
x k
1
)
4
f
(xk
4
))
12
k
0
(
x k
1 2
)
14
k
1
f
(xi ) 7
f
(b)
3、龙贝格求积公式
Tm,k
4 T m m1,k 1
Tm1,k
4m 1
, m 1,2,
i, k
im
4、高斯求积公式
（1）高斯-勒让德求积公式 （2）高斯-切比雪夫求积公式 （3）高斯-拉盖尔求积公式 （4）高斯-埃尔米特求积公式
时牛顿-柯特斯求积公式出现不稳定现象而高斯型求积公式总是稳定 的.高斯求积公式的代数精度高达8，是具有最高代数精度的插值型求
积公式.
总结
通过理论分析和比较可以得出以下结论: 一般来说, Newton- Cotes方法的代数精度越 高,数值积分的效果越好;当积分区间较大时 候,可以采用复化积分方法可以得到较好的效 果;Romberg 积方法可以更好得到的积分序列 得到更为精确的数值结果,是一个较好的数值 积分方法.
h
2
f
(
)
（2）复化辛普森公式的截断误差
RSn
(
f
)
h 180
(h)4 2
f
(4)
( ),
(a,b)
（3）复化Cotes公式的截断误差
RCn
(
f
)
2(b a) 945
(h)6 4
f
(6)
( ),
(a,b)
小结 ：1、 Tn、Sn、Cn 收敛速度一个比一个快，一个比一个准确.
( n 1)
插值余项
R[
f
]
b
a
(
x)
f (n
(1))!n1
(
x)dx
知插值型求积公式的代数精度
n
不可能低于 n
，另一方面，若取f
(x)
2 n1
(
x)
(x
xi
)2
则有R[ f ] 0
i0
说明插值型求积公式的代数精度不可能达到 2n 2 ,高斯型求积公式
是具有最高阶代数精度的求积公式. 高斯型求积公式代数精度比牛顿柯特斯代数精度高，当 n 8
2、在使用函数值个数相等的情况下， T8、S 4、C2 精度逐渐升高.
3、龙贝格求积公式的误差分析
龙贝格求积公式是具有8阶精度的算法，收敛且稳定,比 Tn、Sn、Cn
收敛的快.
余项为：
b
Rm,k ( f ) a f (x)dx Tm,k
B2m2
(b a)2m3 f (2m2) ( )
（3）Cotes公式（n=4）
b
f (x)dx C
a
b a 90
7
f
(
x0
)
32
f
(
x1
)
12
f
(
x2
)
32
f
(
x3
)
7
f
(
x4
)
2、复化求积公式
（1）复化梯形求积公式
Tn
h 2
f
(a)
n1
2
k 1
f
(xk
)
f
(b)
（2）复化Simpton求积公式
2 ! (m1)(m2k ).2m
Romberg积分法高速有效，易于编程，适合于计算机计算.但它 有一个主要的缺点是，每当把区间对分后，就要对被积函数 f (x) 计算它在 新分点处的值，而这些函数值的个数是成倍的增加的.
4、高斯求积公式的误差分析
高斯求积公式可分为带权求积公式和不带权求积公式两大类.由
1、Newton-Cotes求积公式的误差分析
（1）梯形公式的截断误差 （2）辛普森公式截断误差 （3）柯特斯公式截断误差
RT
f ( ) (b a)3, 12
(a,b)
RS
(b a)5 2880
f
(4) ( ), (a,b)
RC
2(b a) 945
(b
1
n
f (x，)dx
1
Ak f (xk )
k 0
1 1
f (x) 1 x2
dx
n
Ak
k 0
f (xk )
ex f (x)dx
0
n
Ak f (xk )
k 0
e x2 f (x)dx
n
Ak f (xk )
k 0
二、数值积分方法的误差比较及算例
a)6 4
f
(6) ( ),
(a,b)
小结：Simpson公式的插值节点只比梯形公式多一个，但其
代数精确度却比梯形公式高2，它们都是最为常用的数值积分公
式，尤其是Simpson公式逻辑结构简单，且精度又比较高.
2、复化求积公式的误差分析
（1）复化梯形公式的截断误差
RTn
(
f
)
ba 12
几种数值积分方法的误差 理论总结及讨论
学生：于欣蕊 指导教师：任文秀
课程设计的基本思路
本课程设计通过总结与比较各类数值积分方法及 列出具体算例，通过余项、代数精度等比较各种方法 的异同。在我们解题时，用一些方法只能解决很狭隘 的一部分积分，在它的范围外通常采用各种近似计算 的方法。在近似计算过程中，肯定会产生误差，我们 必须想办法使得产生的误差尽可能的小。因此，一个 好的数值求积公式应该满足：计算简单、误差小、代 数精度高并且稳定。为了提高运算速度和准确性，我 们要重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论识， 从而使运算速度更快、更准。
一、几种数值积分的算法
1、Newton-Cotes求积公式
（1）梯形公式（n=1）
b f (x)dx T b af (a) f (b)
a
2
（2）Simpson（辛普森）公式（n=2）
b
f (x)dx S
a
b
6
a
f
(a)
4
f
(a
2
b)
f
(b)
Sn
h 6
f
n1
(a) 2
k 1
f
n
(xk ) 4
k 1
f
(
x k
1
)
2
f
(b)
（3）复化Cotes求积公式
h
n1
3
n1
n1
Cn
90
7
f
(a) 32( (
k 0
f
(
x k
1
)
4
f
(xk
4
))
12
k
0
(
x k
1 2
)
14
k
1
f
(xi ) 7
f
(b)
3、龙贝格求积公式
Tm,k
4 T m m1,k 1
Tm1,k
4m 1
, m 1,2,
i, k
im
4、高斯求积公式
（1）高斯-勒让德求积公式 （2）高斯-切比雪夫求积公式 （3）高斯-拉盖尔求积公式 （4）高斯-埃尔米特求积公式