专题1.1 集合的概念-2020-2021学年高一数学同步培优专练(人教A版2019必修第一册)

专题1.1 集合的含义

知识储备

集合与元素

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

【提醒】互异性即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或 表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

(4)常见数集的记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号N N*(或N＋)Z Q R

【思考】能否用

点拨：

能力检测

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是()

A．P是由元素1，3，π组成的集合，Q是由元素π，1，|－3|组成的集合

B．P是由π组成的集合，Q是由3.141 59组成的集合

C ．P 是由2，3组成的集合，Q 是由有序数对(2，3)组成的集合

D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数组成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集

【答案】A

【解析】由于A 中P ，Q 元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B 、C 、D 中元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.

2．若以集合A 的四个元素a ，b ，c ，d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )

A ．梯形

B ．平行四边形

C ．菱形

D ．矩形

【答案】A

【解析】由于a ，b ，c ，d 四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．

3．由实数－a ，a ，|a |，2a 所组成的集合最多含有的元素个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 【答案】B

【解析】当a ＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a ≠0时，⎩⎨⎧<->==0

,0,2a a a a a a ，所以一定与a 或－a 中的一个一致．故组成的集合中最多含有两个元素，故选B.

4．方程组⎩⎨⎧=-=+9

122y x y x 的解集是( ) A ．(－5，4)

B ．(5，－4)

C ．{(－5，4)}

D ．{(5，－4)}

【答案】D 【解析】解方程组⎩

⎨⎧=-=+9122y x y x 得⎩⎨⎧-==45y x ，故解集为{(5，－4)}，选D.

5.集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是()

A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B

C．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B

【答案】C

【解析】集合A中元素y是实数，不是点，故选项B、D不对．集合B的元素(x，y)是点而不是实数，2∈B不正确，所以A错．

6．对于任意两个正整数m，n，定义运算“※”：当m，n都为偶数或奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为偶数，另一个为奇数时，m※n＝mn.在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是()

A．18B．17

C．16D．15

【答案】B

【解析】因为1＋15＝16，2＋14＝16，3＋13＝16，4＋12＝16，5＋11＝16，6＋10＝16，7＋9＝16，8＋8＝16，9＋7＝16，10＋6＝16，11＋5＝16，12＋4＝16，13＋3＝16，14＋2＝16，15＋1＝16，1×16＝16，16×1＝16，且集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个，故选B.

7．(多选)下列说法正确的是()

A．N*中最小的数是1

B．若－a∉N*，则a∈N*

C．若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2

D．x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素

【答案】AC

【解析】N*是正整数集，最小的正整数是1，故A正确；当a＝0时，－a∉N*，且a∉N*，故B错误；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故C正确；由集合元素的互异性知D是错误的．故A、C正确．

8．(多选)已知x ，y ，z 为非零实数，代数式

xyz xyz z z y y x x +++的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )

A ．0∉M

B ．2∈M

C ．－4∈M

D ．4∈M

【答案】CD 【解析】x ，y ，z 同为正数时，代数式的值为4，所以4∈M ；当x ，y ，z 中只有一个负数或有两个负数时，代数式的值为0；当x ，y ，z 同为负数时，代数式的值为－4.故选C 、D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

9．以方程x 2－5x ＋6＝0和方程x 2－x －2＝0的根为元素的集合中共有________个元素．

【答案】3

【解析】方程x 2－5x ＋6＝0的根是2，3，方程x 2－x －2＝0的根是－1，2.根据集合中元素的互异性知，以两方程的根为元素的集合中共有3个元素．

10．定义P *Q ＝{ab |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，1，2}，Q ＝{1，2，3}，则P *Q 中元素的个数是________．

【答案】6

【解析】若a ＝0，则ab ＝0；若a ＝1，则ab ＝1，2，3；若a ＝2，则ab ＝2，4，6.故P *Q ＝{0，1，2，3，4，6}，共6个元素．

11．集合A 中的元素y 满足y ∈N ，且y ＝－x 2＋1.若t ∈A ，则t 的值为________．

【答案】0或1

【解析】因为y ＝－x 2＋1≤1，且y ∈N ，所以y 的值为0，1，即集合A 中的元素为0，1.又t ∈A ，所以t ＝0或1.

12．(一题两空)已知a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，则：

(1)若A 中只有1个元素，则a ＝________；

(2)若A 有且只有2个元素，则集合A 的个数是________．