回归分析(5)讲解

因为线性回归的“线性”是针对
参数而言，而不是针对自变量而言，
所以有些非线性回归模型可以通过变
量代换转化为线性回归模型。
例如，
y 0 1ebx (b已知) y 0 1x px p
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y aebxe
y aebx
对模型1，只要令 x ebx 即可化 为线性回归模型
数据散点图
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线性回归
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指数回归
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回归效果图
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需要说明的是，回归分析的一个 重要应用是预测，而预测的方法有多 种，如拟合(回归)、灰色模型、时间 序列和神经网络等。
相比较而言，Origin的拟合功能 更强，提供了更多的线型，可以图形 的帮助下选择较合适的线型。
和一元三次模型
y 0 1x 11x2 111x3
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三次及以上的多项式回归模型较
少使用，因为此时回归系数的解释比
较困难，回归模型的数值稳定性也不
太高，不利于应用。
多元多项式回归比较复杂，较少
使用。二元多项式回归模型为
y 0 1x1 2 x2 11x12
1989
9
16909.2 17560.04 -650.84
1990 10 18547.9 20938.89 -2390.99
1991 11 21617.8 24967.89 -3350.09
1992 12 26638.1 29772.14 -3134.04
1993 13 34634.4 35500.81 -866.41
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例10.1 对下表中的GDP数据进行 非线性回归。
解 首先做数据散点图。 分析->回归->曲线估计。 分别选线性和复合函数进行回归, 结果见下。
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年份
t
y
y1
e
1981
1
4862.4 4296.35 566.05
1982
2
5294.7 5123.04 171.66
除了上述曲线外，还有下列几种 常用回归曲线。
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(1) 双曲函数
y x 即1 ab1
ax b y
x
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(2) S型函数II
y

a

1 be x
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此函数显然有两条渐近线y=0和y =1/a。
S型函数有多种，其共同特点是 曲线首先缓慢增长，在达到某点后迅 速增长，在超过某点后又缓慢增长， 最终趋于一个稳定值。
1994 14 46759.4 42331.77 4427.63
1995 15 58478.1 50477.13 8000.97
1996 16 67884.6 60189.80 7694.80
1997 17 74462.6 71771.35 2691.25
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1998 18 79395.7 85581.38 -6185.68
第10章 非线性回归
线性回归的理论较为成熟，应用 也较为广泛。但当被解释变量与解释 变量之间呈某种曲线关系时，就必须 用非线性回归。
本章首先介绍可线性化的非线性 回归，然后介绍多项式回归，最后简 要介绍了一般的非线性回归模型。
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§1 可线性化的非线性回归
1. 线性化的含义及途径
1983
3
5934.5 6108.80 -174.30
1984
4
7171.0 7284.24 -113.24
1985
5
8964.4 8685.86 278.54
1986
6
10202.2 10357.16 -154.96
1987
7
11962.5 12350.06 -387.56
1988
8
14928.3 14726.42 201.88
原模型化为线性回归模型
y 0 1x
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(1) 新引进的自变量只能依赖于 原始变量，而不能与未知参数有关。 若模型1中的b未知，则模型1不能线 性化。
可线性化的非线性回归模型称为 本质线性回归模型，不可线性化的非 线性回归模型称为本质非线性回归模 型。
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Origin拟合效果图
90000
60000 adj.R2 0.9934
30000
B
0
0
8
16
A
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§2 多项式回归
多项式回归是一种较为重要的非 线性回归模型，有较广泛的应用。
1. 几种常见的多项式回归模型
常见的多项式回归模型有一元二
次模型
y 0 1x 11x2
例如，模型3常简记为 y aebx。
2. 常用可线性化的曲线回归方程 SPSS 中 给 出 了 11 种 常 见 的 可 线
性化的非线性回归方程，见下表。
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显然，上述曲线中的复合函数、 增长函数和指数函数等价，只是形式 不同。
若选用上述曲线进行回归，只需 选用分析->回归->曲线估计菜单即可, 而不必做任何变换。
S型函数在许多领域都有广泛的 应用，例如产品的销售量、农作物的
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生长、病毒的传播速率与时间的关系
等都可以用S型函数研究。 SPSS中的S型函数y=exp(b0+b1/t)
当b1<0时属通常意义的S型函数; 当b1 >0时不属通常意义的S型函数。
另外，SPSS中的Logistic函数也 是S型函数。
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(2) 非线性化模型能否线性化不 仅与回归函数的形式有关，而且与误 差项的形式也有关。
例如，模型3的误差项为乘性误 差项，可以线性化，而模型4的误差 项为加性误差项，不可以线性化。
在对非线性回归模型进行线性化 时，总是假定误差项满足可线性化条
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析，所以通常略去误差项，而仅写出 回归函数。
22 x22 12 x1x2
y 0 1x
对模型2，令 x1 x, x2 x2 , , x p x p
原模型化为多元线性回归模型
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y 0 1x1 p x p
对模型3，可先两边取对数，得
ln y lna bx
然后再令
y ln y, 0 lna, 1 b