随机事件频率与概率
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【技法点拨】 随机事件概率的理解及求法 （1）理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反 映了随机事件发生的可能性的大小.当试验的次数越来越多时， 频率越来越趋近于概率.当次数足够多时，所得频率就近似地 看作随机事件的概率.
n A m 计算出频率，再由频率 （2）求法：通过公式 f（ A ） n n n
例1. 下列事件：①一个口袋内装有5个红球，从中任取一球是 红球；②抛掷两枚骰子，所得点数之和为9；③x2≥0（x∈R）； ④方程x2-3x+5=0有两个不相等的实数根；⑤巴西足球队会在 下届世界杯足球赛中夺得冠军，其中随机事件的个数为（ （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 ）
பைடு நூலகம்
例2.指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件. （1）某地1月1日刮西北风； （2）手电筒的电池没电，灯泡发亮； （3）一个电影院某天的上座率超过50%.
（7）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；
（8）没有水分，种子能发芽；
（9）在常温下，焊锡熔化. 【解析】事件（1），（4）都是一定会发生的，是必然事件 . 事件（2），（8），（9）是一定不会发生的，是不可能事件 . 事件（3），（5），（6），（7）有可能发生，也有可能不发 生，是随机事件.
概率及其求法
2.（1）如下表
（2）根据频率与概率的关系，可以认为射手射击一次，击中 靶心的概率约是0.91.
【总结】利用频率求近似概率的技巧 随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定在概率上，所以确定概 率时，重点根据试验次数多的对应频率来确定即可.
试验与重复试验的结果的分析
【技法点拨】
分析试验结果的方法 （1）首先要准确理解试验的条件、结果等有关定义，并能使 用它们判断一些事件，指出试验结果，这是后续学习求事件的 概率的前提和基础. （2）在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确 事件发生的条件，根据日常生活的经验，按一定的次序一一列
估算概率.
例3.某射手射击标有6环、7环、8环、9环、10环的靶子，射击 一次，解释以下事件的含义： （1）脱靶；（2）射中8环以上.
例4.某射手在同一条件下进行射击，结果如下表：
（1）计算表中击中靶心的各个频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
【解析】1.（1）事件发生，意味着射手没有打中靶子 . （2）事件发生意味着射手射中了9环或10环.
②不正确；当事件A的概率趋近于0时，事件A发生的可能性很 小，③不正确. 答案：①
1.“频率”和“概率”的区别 （1）频率具有随机性,它反映的是某一随机事件出现的频繁程 度,它反映随机事件出现的可能性.
（2）概率是一个客观常数,它反映了随机事件的属性.
大量重复试验时,任意结果（事件）A出现的频率尽管是随机的,
【变式训练1】判断下列事件是必然事件，不可能事件，还是
随机事件. （1）抛一石块，下落； （2）在标准大气压下且温度低于0 ℃时，冰融化； （3）某人射击一次，中靶； （4）如果a＞b,那么a－b＞0; （5）掷一枚硬币，出现正面；
（6）从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，
得到4号签；
n
m . n
3.下列说法正确的有_________（填序号）.
①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值； ②任意事件A发生的概率P（A）总满足0＜P（A）＜1； ③若事件A的概率趋近于0，即P（A）→0，则事件A是不可能事 件.
【解析】根据频率与概率的关系，①正确；随机事件的概率满
足0＜P（A）＜1，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，
1.事件的分类是确定的吗？ 提示：事件的分类是相对于条件来讲的，在不同的条件下，
必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化.
2.在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为 m ，当n很
n
大时，那么P（A）与
m 的关系是______. n
【解析】根据频率与概率的关系，当n很大时，P（A）≈ 答案：P（A）≈ m
却“稳定”在某一个常数附近,试验的次数越多,频率与这一常
数的偏差大的可能性越小.这一常数就成为该事件的概率.
2．概率的性质
必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件A的概
率为0＜P（A）＜1，必然事件和不可能事件看作随机事件的两
个极端情形.
事件的分类
【技法点拨】 对事件分类的两个关键点 （1）条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没 有条件，无法判断事件是否发生； （2）结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含 的各种情况.
加，事件A发生的频率fn（A） 稳定在某个常数上，把这个常
P（A） ，称为事件A的概率. 数记作_______ ［0 ，1 ］ （2）范围：_________. 可能性 的 （3）意义：概率从数量上反映了随机事件发生的_______ 大小.
正确理解频率与概率 频率 概率 随机事件 A 在 n 次反复试验 随机事件 A 发生可能性 概念的 m 中发生了 m 次称 为事件 A 大小的度量 (数值 )称 A n 理解 发生的概率，记作 P(A) 的频率 (1) 频率随着试验次数的改 (1)概率是一个常数，是 变而改变， 即频率是随机的， 客观存在的，与试验次 在试验前是不确定的 (2) 在 数无关，是随机事件自 区别与 相同条件下，随着试验次数 身的一个属性 联系 的增加，随机事件发生的频 (2) 当 试 验 次 数 越 来 越 率会在某个常数附近摆动并 多时频率向概率靠近， 趋于稳定，所以可用频率作 概率是频率的稳定值 为概率的近似值 (估计值 )
举，才能保证没有重复，也没有遗漏.
例5.射击运动员射击10次，至少8次中靶，则该随机事件的条 件为______，结果为______. 例6.下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的所有 结果. （1）抛掷两枚质地均匀的硬币多次； （2）从集合A={a,b,c,d}中任取3个元素构成集合A的子集.
知识要点
1.事件的分类
会发生 不会发生
可能发生也可能不发生
2.频数与频率
（1）前提：对于给定的随机事件A, 在相同的条件S下重复n次试验， 观察事件A 是否出现.
次数nA ； （2）频数：指的是n次试验中事件A出现的______
nA 频率：指的是事件A出现的比例fn（A）=____. n
3.概率 （1）定义：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增
n A m 计算出频率，再由频率 （2）求法：通过公式 f（ A ） n n n
例1. 下列事件：①一个口袋内装有5个红球，从中任取一球是 红球；②抛掷两枚骰子，所得点数之和为9；③x2≥0（x∈R）； ④方程x2-3x+5=0有两个不相等的实数根；⑤巴西足球队会在 下届世界杯足球赛中夺得冠军，其中随机事件的个数为（ （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 ）
பைடு நூலகம்
例2.指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件. （1）某地1月1日刮西北风； （2）手电筒的电池没电，灯泡发亮； （3）一个电影院某天的上座率超过50%.
（7）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；
（8）没有水分，种子能发芽；
（9）在常温下，焊锡熔化. 【解析】事件（1），（4）都是一定会发生的，是必然事件 . 事件（2），（8），（9）是一定不会发生的，是不可能事件 . 事件（3），（5），（6），（7）有可能发生，也有可能不发 生，是随机事件.
概率及其求法
2.（1）如下表
（2）根据频率与概率的关系，可以认为射手射击一次，击中 靶心的概率约是0.91.
【总结】利用频率求近似概率的技巧 随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定在概率上，所以确定概 率时，重点根据试验次数多的对应频率来确定即可.
试验与重复试验的结果的分析
【技法点拨】
分析试验结果的方法 （1）首先要准确理解试验的条件、结果等有关定义，并能使 用它们判断一些事件，指出试验结果，这是后续学习求事件的 概率的前提和基础. （2）在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确 事件发生的条件，根据日常生活的经验，按一定的次序一一列
估算概率.
例3.某射手射击标有6环、7环、8环、9环、10环的靶子，射击 一次，解释以下事件的含义： （1）脱靶；（2）射中8环以上.
例4.某射手在同一条件下进行射击，结果如下表：
（1）计算表中击中靶心的各个频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
【解析】1.（1）事件发生，意味着射手没有打中靶子 . （2）事件发生意味着射手射中了9环或10环.
②不正确；当事件A的概率趋近于0时，事件A发生的可能性很 小，③不正确. 答案：①
1.“频率”和“概率”的区别 （1）频率具有随机性,它反映的是某一随机事件出现的频繁程 度,它反映随机事件出现的可能性.
（2）概率是一个客观常数,它反映了随机事件的属性.
大量重复试验时,任意结果（事件）A出现的频率尽管是随机的,
【变式训练1】判断下列事件是必然事件，不可能事件，还是
随机事件. （1）抛一石块，下落； （2）在标准大气压下且温度低于0 ℃时，冰融化； （3）某人射击一次，中靶； （4）如果a＞b,那么a－b＞0; （5）掷一枚硬币，出现正面；
（6）从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，
得到4号签；
n
m . n
3.下列说法正确的有_________（填序号）.
①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值； ②任意事件A发生的概率P（A）总满足0＜P（A）＜1； ③若事件A的概率趋近于0，即P（A）→0，则事件A是不可能事 件.
【解析】根据频率与概率的关系，①正确；随机事件的概率满
足0＜P（A）＜1，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，
1.事件的分类是确定的吗？ 提示：事件的分类是相对于条件来讲的，在不同的条件下，
必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化.
2.在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为 m ，当n很
n
大时，那么P（A）与
m 的关系是______. n
【解析】根据频率与概率的关系，当n很大时，P（A）≈ 答案：P（A）≈ m
却“稳定”在某一个常数附近,试验的次数越多,频率与这一常
数的偏差大的可能性越小.这一常数就成为该事件的概率.
2．概率的性质
必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件A的概
率为0＜P（A）＜1，必然事件和不可能事件看作随机事件的两
个极端情形.
事件的分类
【技法点拨】 对事件分类的两个关键点 （1）条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没 有条件，无法判断事件是否发生； （2）结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含 的各种情况.
加，事件A发生的频率fn（A） 稳定在某个常数上，把这个常
P（A） ，称为事件A的概率. 数记作_______ ［0 ，1 ］ （2）范围：_________. 可能性 的 （3）意义：概率从数量上反映了随机事件发生的_______ 大小.
正确理解频率与概率 频率 概率 随机事件 A 在 n 次反复试验 随机事件 A 发生可能性 概念的 m 中发生了 m 次称 为事件 A 大小的度量 (数值 )称 A n 理解 发生的概率，记作 P(A) 的频率 (1) 频率随着试验次数的改 (1)概率是一个常数，是 变而改变， 即频率是随机的， 客观存在的，与试验次 在试验前是不确定的 (2) 在 数无关，是随机事件自 区别与 相同条件下，随着试验次数 身的一个属性 联系 的增加，随机事件发生的频 (2) 当 试 验 次 数 越 来 越 率会在某个常数附近摆动并 多时频率向概率靠近， 趋于稳定，所以可用频率作 概率是频率的稳定值 为概率的近似值 (估计值 )
举，才能保证没有重复，也没有遗漏.
例5.射击运动员射击10次，至少8次中靶，则该随机事件的条 件为______，结果为______. 例6.下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的所有 结果. （1）抛掷两枚质地均匀的硬币多次； （2）从集合A={a,b,c,d}中任取3个元素构成集合A的子集.
知识要点
1.事件的分类
会发生 不会发生
可能发生也可能不发生
2.频数与频率
（1）前提：对于给定的随机事件A, 在相同的条件S下重复n次试验， 观察事件A 是否出现.
次数nA ； （2）频数：指的是n次试验中事件A出现的______
nA 频率：指的是事件A出现的比例fn（A）=____. n
3.概率 （1）定义：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增