《概率论与数理统计》习题及答案--填空题

1．设事件,A B 都不发生的概率为0.3，且()()0.8P A P B +=，则,A B 中至少有一个不发生的概率为__________. 2．设()0.4,()0.7P A P AB ==，那么（1）若,A B 互不相容，则()P B =__________; （2）若,A B 相互独立，则()P B =__________. 3．设,A B 是任意两个事件，则{()()()}P AB A B A B A B =_______.4．从0,1,2,…,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率为__________.5．有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率为__________.6．袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为__________.7．设事件,,A B C 两两独立，且1,()()()2ABC P A P B P C =∅==<，()9/16P A B C =，则()P A =__________.8．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为__________.9．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为__________.10．设事件,A B 满足：11(|)(|),()33P B A P B A P A ===，则()P B =__________. 11．某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为__________，第三次才取得正品的概率为__________.12．三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为__________； 13．设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =__________.14．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p . 现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为__________，而事件A 至多发生一次的概率为_________. 15．设离散型随机变量X 的分布律为()(0,1,2,3)2AP X k k k===+，则A =__________, (3)P X <=__________.16．设~(2,),~(3,)X B p Y B p ，若(1)5/9P X ≥=，则(1)P Y ≥=________.17．设~()X P λ，且(1)(2)P X P X ===，则(1)P X ≥=__________，2(03)P X <<=__________. 18．设连续型随机变量X 的分布函数为0,0,()sin ,0,21,,2x F x A x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A =__________，||6P X π⎛⎫<= ⎪⎝⎭__________.19．设随机变量X 的概率密度为22,0()0,0,x Ax e x f x x -⎧>=⎨≤⎩ 则A =__________，X 的分布函数()F x =__________.20．设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其他 现对X 进行三次独立重复观察，用Y 表示事件(1/2)X ≤出现的次数，则(2)P Y ==__________. 21．设随机变量X 服从[,]a a -上均匀分布，其中0a >. （1）若(1)1/3P X >=，则a =__________； （2）若(1/2)0.7P X <=，则a =__________； （3）若(||1)(||1)P X P X <=>，则a =__________.22．设2~(,)X N μσ，且关于y 的方程20y y X ++=有实根的概率为1/2，则μ=__________.23．已知某种电子元件的寿命X （以小时计）服从参数为1/1000的指数分布. 某台电子仪器内装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为__________. 24．设随机变量X 的概率密度为1,[0,1]32,[3,6]()90,.x x f x ⎧∈⎪⎪⎪∈=⎨⎪⎪⎪⎩若若其他 若k 使得()2/3P X k ≥=，则k 的取值范围是__________.25．设随机变量X 服从(0,2)上均匀分布，则随机变量2Y X =在(0,4)内的密度函数为()Y f y =__________.26．设X 服从参数为1的指数分布，则min(,2)Y X =的分布函数()Y F y =__________.27．设二维随机变量(,)X Y 在由1/,0,1y x y x ===和2x e =所形成的区域D 上服从均匀分布，则(,)X Y 关于X 的边缘密度在2x =处的值为______.28．设随机变量,X Y 相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则(1/2)P X Y +≤=__________. 29．设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(1,),01i X B p p <<，1,2,,i n =，则1~ni i X X ==∑__________.30．设随机变量123,,X X X 相互独立，且有相同的概率分布(1)i P X p ==，(0),1,2,3,1i P X q i p q ===+=，记121120,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数232230,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数则12Z Y Y =的概率分布为__________.31．设X 服从泊松分布. （1）若2(1)1P X e-≥=-，则2EX =__________；（2）若212EX =，则(1)P X ≥=__________.32．设~(,)X B n p ，且2,1EX DX ==，则(1)P X >=__________. 33．设~[,]X U a b ，且2,1/3EX DX ==，则a =______；b =______. 34．设随机变量X 的概率密度为221(),xx f x Ae x -+-=-∞<<+∞，则A =________，EX =_________，DX =_________.35．设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望2EX =__________.36．设一次试验成功的概率为p ，现进行100次独立重复试验，当p =________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.37．设X 服从参数为λ的指数分布，且2(1)P X e -≥=，则2EX =_______. 38．设随机变量X 的概率密度为 ,,()0,0,,x a x b f x a b <<⎧=<<⎨⎩其他且22EX =，则a =__________，b =___________. 39．设随机变量,X Y 同分布，其概率密度为22,01/,()0,0,,x x f x θθθ⎧<<⎪=>⎨⎪⎩其他若(2)1/E CX Y θ+=，则C =__________.40．一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为________，均方差为________.41．某盒中有2个白球和3个黑球，10个人依次摸球，每人摸出2个球，然后放回盒中，下一个人再摸，则10个人总共摸到白球数的数学期望为______.42．有3个箱子，第i 个箱子中有i 个白球，4i -个黑球(1,2,3)i =.今从每个箱子中都任取一球，以X 表示取出的3个球中白球个数，则EX =_________，DX =__________. 43．设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X Y P a b若()0.8E XY =，a =_________，b =__________. 44．设,X Y 独立，且均服从11,5N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若2(1)[(1)]D X aY E X aY -+=-+，则a =__________，|1|E X aY -+=__________.45．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知[(1)(2)]1E X X --=，则λ=__________. 46．设随机变量~[2,2]X U -，记 1,1,1,2,0,1,k X k Y k X k >-⎧==⎨≤-⎩则12Cov(,)Y Y =__________.47．设,X Y 是两个随机变量，且1,1/4,1/3XY DX DY ρ===，则(3)D X Y -=__________.48．设1,2,1,4,0.6XY EX EY DX DY ρ=====，则2(21)E X Y -+=__________.49．设随机变量X 的数学期望为μ，方差为2σ，则由切比雪夫不等式知 (||2)P X μσ-≥≤__________. 50．设随机变量12100,,,X X X 独立同分布，且0,10,i i EX DX == 1,2,,100i =，令10011100i i X X ==∑，则10021{()}ii E XX =-=∑__________.51．设12,,,n X X X 是总体(,4)N μ的样本，X 是样本均值，则当n ≥__________时，有2()0.1E X μ-≤.52．设12,,,n X X X 是来自0–1分布：(1),(0)1P X p P X p ====-的样本，则EX =__________，DX =__________，2ES =__________.53．设总体12~(),,,,n X P X X X λ为来自X 的一个样本，则EX =_________，DX =__________.54．设总体12~[,],,,n X U a b X X X 为X 的一个样本，则EX =________，DX =__________.55．设总体2126~(0,),,,,X N X X X σ为来自X 的一个样本，设22123456()()Y X X X X X X =+++++，则当C =_________时，2~(2).CY χ 56．设1216,,,X X X 是总体2(,)N μσ的样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，若()0.95P X aS μ>+=，则a =__________.57．设129,,,X X X 是正态总体X 的样本，记1126278911(),()63Y X X X Y X X X =+++=++，92221271(),)/,2i i S X Y Z Y Y S ==-=-∑则~Z __________.58．设总体12~[,](0),,,,n X U x x x θθθ->为样本，则θ的一个矩估计为__________.59．设总体X 的方差为1，根据来自X 的容量为100的样本，测得样本均值为5，则X 的数学期望的置信度近似为0.95的置信区间为_________.60．设由来自总体2(,0.9)N μ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x =，则μ的置信度为0.95的置信区间是__________.《概率论与数理统计》习题及答案填空题1．设事件,A B 都不发生的概率为0.3，且()()0.8P A P B +=，则,A B 中至少有一个不发生的概率为__________.解：()()1()P AB P A B P A B ==-1()()()P A P B P AB =--+10.8()0.3P AB =-+=()0.1P AB = ()()1()10.10.9P AB P AB P AB ==-=-=2．设()0.4,()0.7P A P A B ==，那么（1）若,A B 互不相容，则()P B =__________; （2）若,A B 相互独立，则()P B =__________. 解：（1）()()()()()P AB P A P B P AB P B =+-⇒()()()0.70.40.3P A B P A P AB =-+=-=（由已知AB φ=）（2）()()()()P B P A B P A P AB =-+0.70.4()()P A P B =-+0.30.4()P B =+10.6()0.3()2P B P B =⇒= 3．设,A B 是任意两个事件，则{()()()}P AB A B A B A B =_______.解：{()}()()()}{()()()()}P A B A B A B A B P AA AB AB B A B AB ={()()()}P AB B A B AB ={()()}{()()}()0.P ABBB AB P AB AB P φ====4．从0,1,2,…,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率为__________.解：设A =取4个数能排成一个四位偶数，则4541041()1()142C P A P A C =-=-=5．有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率为__________.解：设A =能拼成三角形，则3533()10P A C == 6．袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为__________.解1：由抓阄的模型知乙取到黄球的概率为25. 解2：设A =乙取到黄球，则1111201930201150492()5C C C C P A C C +== 或 201930202()504950495P A =⋅+⋅=. 7．设事件,,A B C 两两独立，且1,()()()2ABC P A P B P C =∅==<，()9/16P A B C =，则()P A =__________.解：9()()()()()()()()16P A B C P A P B P C P AB AC P BC P ABC ==++---+ 23()3[()]P A P A =-216[()]16()30P A P A -+=. 3()4P A =或 1()4P A =，由 1()2P A < 1()4P A ∴=. 8．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为__________. 解：设A =两数之和小于6/5，两数分别为,x y ，由几何概率如图 A 发生⇔01x <<01y << 65x y +<2111(1)52()1S P A S --⋅==阴正1725= 9．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为__________.解：i A =取到i 等品，3122A A A A =+⊃23223312()()0.31(|)()()()0.60.33P A A P A P A A P A P A P A ====++10．设事件,A B 满足：11(|)(|),()33P B A P B A P A ===，则()P B =__________.解：()()()(|)()()()P AB P AB P A B P B A P A P A P A ===1()()()1()P A P B P AB P A --+=- 111()1391313P B --+==- （因为111()()(/)339P AB P A P B A ==⋅=）5()9P B ∴=.11．某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为__________，第三次才取得正品的概率为__________.解：设i A =第i 次取到正品，1,2,3i =则363()105P A ==或 3123123123123()()()()()P A P A A A P A A A P A A A P A A A =+++654465436645310981098109810985=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 1234361()0.1109810P A A A =⋅⋅== 12．三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为__________；已知取出的球是白球，此球属于第一个箱子的概率为__________. 解：设i A =取到第i 箱 1,2,3i =，B =取出的是一个白球31113553()()(|)()3568120i iP B P A P B A ==++=∑ 22213()(|)2036(|)53()53120P A P B A P A B P B ⋅===13．设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =__________.解：由 ()()P AB P AB =知()()P A B P B A -=-即 ()()()()P A P AB P B P AB -=- 故 ()()P A P B =，从而()()P A P B =，由题意：21()()()[()]9P AB P A P B P A ===，所以1()3P A = 故 2()3P A =.（由,A B 独立A ⇒与B ，A 与B ，A 与B 均独立）14．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p . 现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为__________，而事件A 至多发生一次的概率为_________. 解：设 B A =至少发生一次 ()1(1),nP B p =-- C A =至多发生一次 1()(1)(1)nn P C p np p -=-+-15．设离散型随机变量X 的分布律为()(0,1,2,3)2AP X k k k===+，则A =__________, (3)P X <=__________.解：31111()()123452345k A A A A P X K A ===+++=+++=∑ 6077A ∴= 16065(3)1(3)157777P X P X <=-==-⨯=16．设~(2,),~(3,)X B p Y B p ，若(1)5/9P X ≥=，则(1)P Y ≥=________. 解：~(2,)X B p 22()(1)0,1,2kkkP X k C p p k -==-= ~(3,)Y B p 33()(1)0,1,2,3.k k kP Y k C p p k -==-=002225(1)1(0)1(1)1(1)9P X P X C p p p ≥=-==--=--= 24(1)9p -=213p -= 13p = 33219(1)1(0)1(1)1()327P Y P Y p ∴≥=-==--=-=. 17．设~()X P λ，且(1)(2)P X P X ===，则(1)P X ≥=__________，2(03)P X <<=__________.解：122(1)2(0)1!2!2P X e e λλλλλλλλ--===⇒=⇒=>2(1)1(0)110!P X P X e e λλ--≥=-==-=-22(03)(1)2P X P X e -<<=== 18．设连续型随机变量X 的分布函数为0,0,()sin ,0,21,,2x F x A x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A =__________，||6P X π⎛⎫<= ⎪⎝⎭__________.解：()F x 为连续函数，22lim ()lim ()()2x x F x F x F πππ→+→-==1sin 12A A π=⇒=.1(||)()()()sin 6666662P X P X F F ππππππ<=-<<=--==. 19．设随机变量X 的概率密度为22,0()0,0,x Ax e x f x x -⎧>=⎨≤⎩则A =__________，X 的分布函数()F x =__________.解：222220001()()22x x xf x dx Ax e dx A x e xe dx +∞+∞+∞+∞----∞⎡⎤==--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 2220001()12244x x x A A AA xde e dx e +∞+∞+∞---=-==-==⎰⎰4A =.222222000()441(221),0()0,0x x x x u x f x dx x e dx u e du x x e x F x x ---⎧===-++>⎪=⎨⎪≤⎩⎰⎰⎰20．设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其他现对X 进行三次独立重复观察，用Y 表示事件(1/2)X ≤出现的次数，则(2)P Y ==__________.解：~(3,)Y B p ，其中112220011()224p P X xdx x =≤===⎰ 223139(2)(1)316464P Y C p p ==-=⋅⋅=21．设随机变量X 服从[,]a a -上均匀分布，其中0a >.（1）若(1)1/3P X >=，则a =__________； （2）若(1/2)0.7P X <=，则a =__________； （3）若(||1)(||1)P X P X <=>，则a =__________.解：1,[,]()20,x a a f x a ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其它（1）1111111(1)(1) 3.322223a P X dx a a a a a >===-=-=⇒=⎰（2）121111115()0.7()0.72222424a P X dx a a a a a -<===+=+=⇒=⎰ （3）(||1)(||1)1(||1)1(||1)P X P X P X P X <=>=-≤=-<111111(||1)2 2.222P X dx a a a a-∴<===⋅=⇒=⎰22．设2~(,)X N μσ，且关于y 的方程20y y X ++=有实根的概率为1/2，则μ=__________.解：20y y X ++=有实根11404X X ⇔∆=-≥⇔≤1111114()()()(0)42424P X F μμσ-≤=⇒=Φ=Φ=⇒=.23．已知某种电子元件的寿命X （以小时计）服从参数为1/1000的指数分布. 某台电子仪器内装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为__________. 解：Y =仪器正常工作时间，则()00x e x f x x λλ-⎧≥=⎨<⎩15(1000)(10001000)P Y P X X ≥=≥≥15(1000)(1000)P X P X =≥≥5[(1000)]P X =≥1100010001(1000)1000xP X e dx e -+∞-≥==⎰ 5(1000)P Y e -∴≥=24．设随机变量X 的概率密度为1,[0,1]32,[3,6]()90,.x x f x ⎧∈⎪⎪⎪∈=⎨⎪⎪⎪⎩若若其他 若k 使得()2/3P X k ≥=，则k 的取值范围是__________.解：16312()()39kk P X K f x dx dx dx +∞≥==+⎰⎰⎰12(63)323933k k ---=+== 1k ∴=k ∴的取值范围为[1,3].25．设随机变量X 服从(0,2)上均匀分布，则随机变量2Y X =在(0,4)内的密度函数为()Y f y =__________.解：1(0,2)()2x f x ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它2(||0()()()00Y P X y F y P Y y P X y y ⎧≤>⎪=≤=≤=⎨≤⎪⎩((000X X P X F F y y ⎧≤≤=->⎪=⎨≤⎪⎩112211(0422()()00X X Y Y f y f y y f y F y y --⎧⋅+⋅=<<⎪'==⎨⎪≤⎩当 2Y X =在（0，4）内时()Y f y = 26．设X 服从参数为1的指数分布，则min(,2)Y X =的分布函数()Y F y =__________. 解1：()()(min(,2))1(min(,2))Y F y P Y y P X y P X y =≤=≤=-> 1(,2)P X y y =->>1()()()00()1021012X yX P X y P X y F y y F y ey y -⎧->=≤==≤⎪==-<<⎨⎪-=≥⎩解2：设X 的分布函数为()X F x ，2的分布函数为2()F z ，则1,0,()0,0;x X e x F x x -⎧->=⎨≤⎩ 20,2,()1,2;z F z z <⎧=⎨≥⎩2()1[1()][1()]Y X F y F y F y =---0,0,1,02,1, 2.yy e y y -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩27．设二维随机变量(,)X Y 在由1/,0,1y x y x ===和2x e =,)Y 关于X 的边缘密度在2x =处的值为______. 解：22111(0)ln 2e eS dx x x=-==⎰阴1(,)(,)20x y D f x y ⎧∈⎪∴=⎨⎪⎩其他()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰120111,220x dy x e x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其它. 或 12011(2)24x f dy ==⎰28．设随机变量,X Y 相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则(1/2)P X Y +≤=__________.解：1[0,1]()0X x f x ∈⎧=⎨⎩其它 1[0,1]()0Y y f y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它10,1(,)()()0X Y x y f x y f x f y ≤≤⎧=⋅=⎨⎩其它11111()(,)22228S P X Y f x y dxdy S +≤===⋅⋅=⎰⎰阴阴29．设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(1,),01i X B p p <<，1,2,,i n =，则1~ni i X X ==∑__________.解：~(1,)i X B p 1~(,)ni i X X B n p =∴=∑30．设随机变量123,,X X X 相互独立，且有相同的概率分布(1)i P X p ==，(0),1,2,3,1i P X q i p q ===+=，记121120,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数232230,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数则12Z Y Y =的概率分布为__________.解： 011Z P pq pq-121223(1)(1,1)(1,1)P Z P Y Y P X X X X =====+=+= 123123(1,0,1)(0,1,0)P X X X P X X X ====+=== 12322()X X X p q pq pq p q pq ======+=+=独立(0)1(1)1P Z p Z qp ==-==-31．设X 服从泊松分布. （1）若2(1)1P X e -≥=-，则2EX =__________；（2）若212EX =，则(1)P X ≥=__________.解：()0,1,2,!kP X K e k k λλ-===0λ>（1）2(1)1(0)1110!P X P X e e e λλλ---≥=-==-=-=-2.λ∴=2222()DX EX EX EX λλ==-=- 22246EX λλ∴=+=+= （2）22212120(4)(3)0,3EX λλλλλλλ==++-=+-==3(1)11P X e e λ--≥=-=-32．设~(,)X B n p ，且2,1EX DX ==，则(1)P X >=__________.解：~(,)2X B n p EX np ==111422DX npq q p n ==⇒=== 0041344111111(1)1(0)(1)1()()()()222216P X P X P X C C >=-=-==--=33．设~[,]X U a b ，且2,1/3EX DX ==，则a =______；b =______.解：~[,]242a bX U a b EX a b +==⇒+=221()()42312b a DX a b b a -==⇒-=⇒-= 13a b ∴==34．设随机变量X 的概率密度为221(),xx f x Ae x -+-=-∞<<+∞，则A =________，EX =_________，DX =_________.解：222(1)1(1)1x dx x Ae dx A --+∞---∞-∞==⎰⎰22(1)1x dx dx A --+∞-∞=⇒=1EX =，12DX =. 35．设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望2EX =__________.解：~(10,0.4)100.4440.6 2.4X B EX np DX npq ==⨯===⨯=22() 2.41618.4EX DX EX =+=+=36．设一次试验成功的概率为p ，现进行100次独立重复试验，当p =________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.解：21100(1)100100(100)()252DX npq p p p p p ==-=-+=--+12p =5. 37．设X 服从参数为λ的指数分布，且2(1)P X e -≥=，则2EX =_______.解：10()00x e x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩ 2(1)1(1)1(1)P X P X F e -≥=-<=-=21(1)2e e λλ----=⇒=.21111,24EX DX λλ====，22111()442EX DX EX ∴=+=+=38．设随机变量X 的概率密度为,,()0,0,,x a x b f x a b <<⎧=<<⎨⎩其他且22EX =，则a =__________，b =___________.解：2222211()()222ba x f x dx xdxb a b a +∞-∞====-⇒-=⎰⎰ ① 422344222211()()()()444b b a a x EX x f x dx x dx b a b a b a ====-=-+⎰⎰ 22221()242a b a b =+=⇒+= ②解（1）（2）联立方程有：1,a b == 39．设随机变量,X Y 同分布，其概率密度为22,01/,()0,0,,x x f x θθθ⎧<<⎪=>⎨⎪⎩其他若(2)1/E CX Y θ+=，则C =__________.解：11322222233xEX x dx EY θθθθθ====⎰ 21(2)2(2)3E CX Y CEX EY C θθ+=+=+=21(2)132C C +=⇒=-40．一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为________，均方差为________.解：设X 表示所取产品的次品数，则~(5,0.1)X B . 50.10.5,0.45EX np DX npq ==⨯===== 41．某盒中有2个白球和3个黑球，10个人依次摸球，每人摸出2个球，然后放回盒中，下一个人再摸，则10个人总共摸到白球数的数学期望为______.解：设i X 表示第i 个人模到白球的个数，X 表示10个人总共摸到白球数，则101ii X X==∑012361101010iXP61812101010iEX=⨯+⨯=81010810iEX EX==⨯=42．有3个箱子，第i个箱子中有i个白球，4i-个黑球(1,2,3)i=.今从每个箱子中都任取一球，以X表示取出的3个球中白球个数，则EX=_________，DX=__________.解：012362626664646464XP3216(0)44464P X==⋅⋅=12132132326(1)44444444464P X==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=12112332326(2)44444444464P X==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=1236(3)44464P X==⋅⋅=326183642EX⨯+==25269623648EX⨯+⨯==2223185()888DX EX EX=-=-=.43．设二维离散型随机变量(,)X Y的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X YP a b若()0.8E XY=，a=_________，b=__________.解：0.220.80.3EXY b b=+=⇒=10.40.20.40.1a b a+=--=⇒=44．设,X Y独立，且均服从11,5N⎛⎫⎪⎝⎭，若2(1)[(1)]D X aYE X aY-+=-+，则a=__________，|1|E X aY-+=__________.解：2(1)[(1)](1)0D X aYE X aY E X aY-+=-+⇒-+=.10EX aEY-+=，1102a a-+=⇒=.令21,0,1Z X aY EZ DZ DX a DY=-+==+=.~(0,1)Z N∴222|||zzE Z z dx ze dz--+∞+∞-∞∴====⎰⎰45．设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且已知[(1)(2)]1E X X--=，则λ=__________.解：22[(1)(2)](32)321E X X E X X EX EX --=-+=-+=2222~(),()X P EX DX DX EX EX EX λλλλ∴===-⇒=+223212101λλλλλλ∴+-+=⇒-+=⇒=. 46．设随机变量~[2,2]X U -，记1,1,1,2,0,1,k X k Y k X k >-⎧==⎨≤-⎩则12Cov(,)Y Y =__________.解：1[2,2]()4X x f x ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其它212111(1,1)(0,1)(1)44P Y Y P X X P X dx ===>>=>==⎰ 112011(1,0)(0,1)(01)44P Y Y P X X P X dx ===>≤=<≤==⎰0122111(0,0)(0,1)(0)2442P Y Y P X X P X dx -===≤≤=≤==⨯=⎰1(0,0P Y ==.111101222EY =⨯+⨯=231101444EY =⨯+⨯=12111144EY Y =⨯⨯=121212cov()Y Y EY Y EY EY ∴=-1111.4248=-⋅= 47．设,X Y 是两个随机变量，且1,1/4,1/3XY DX DY ρ===，则(3)D X Y -=__________.解：(3)(3)2cov(,3)96cov(,)D X Y DX D Y X Y DX DY X Y -=+-=+-991191616144324XY ρ=+-⋅=+-⨯⨯⨯=. 48．设1,2,1,4,0.6XY EX EY DX DY ρ=====，则2(21)E X Y -+=__________.解：(21)211E X Y EX EY -+=-+=，0.6XY ρ== cov(,)0.612 1.2X Y ∴=⨯⨯= cov(,)0C Y =，C 常数 (21)(21)2cov[(21),]D X Y D X DY X Y -+=++-+44cov(,)444 1.2 3.2DX DY X Y =+-=+-⨯=222(21)(21)[(21)] 3.21 4.2E X Y D X Y E X Y -+=-++-+=+=. 49．设随机变量X 的数学期望为μ，方差为2σ，则由切比雪夫不等式知 (||2)P X μσ-≥≤__________. 解：2221(||2)44DXP X σμσεσ-≥≤==. 50．设随机变量12100,,,X X X 独立同分布，且0,10,i i EX DX == 1,2,,100i =，令10011100i i X X ==∑，则10021{()}ii E XX =-=∑__________.解1：()0i i E X X EX EX -=-= 11001()[()]100i i D X X D X X X -=-++111100199[()()]100100i i i D X X X X X -+=-+++++22199()9910()10100100=-⨯⨯+⨯ 22299()[()]()10i i i E X X E X X E X X ==---=-100100221199{()}()10099010i i i E X X E X X =∴-=-=⨯=∑∑ 解2：设1100,,X X 为总体X 的样本，则1002211()99i i S X X ==-∑为样本方差，于是210ES DX ==，即10021()1099990.i i E X X =-=⨯=∑51．设12,,,n X X X 是总体(,4)N μ的样本，X 是样本均值，则当n ≥__________时，有2()0.1E X μ-≤.52．设12,,,n X X X 是来自0–1分布：(1),(0)1P X p P X p ====-的样本，则EX =__________，DX =__________，2ES =__________.解：11,(1)ni i i i X X EX p DX pq p p n =====-∑2111(1)i i EX nEX pDX nDX p p n n n=⋅==⋅=- 22222111()[]11n i i i ES E X nX nEX nEX n n ==-=⋅---∑ 2211[((1))((1))]1n p p p n p p p n n =-+--+- 21[(1)](1).1np p n p p p n =---=--53．设总体12~(),,,,n X P X X X λ为来自X 的一个样本，则EX =_________，DX =__________.解：~()i i X P EX DX EX DX nλλλλ====54．设总体12~[,],,,n X U a b X X X 为X 的一个样本，则EX =________，DX =__________.解：2()~[,]212a b b a X U a b EX DX +-==2a bEX += 2()12b a DX n -=55．设总体2126~(0,),,,,X N X X X σ为来自X的一个样本，设22123456()()Y X X X X X X =+++++，则当C =_________时，2~(2).CY χ解：123456()()0E X X X E X X X ++=++=2123456()()33i D X X X D X X X DX σ++=++==12312321)]()13D X X X D X X X σ++=++=123)~(0,1)X X X N ∴++，456)~(0,1)X X X N ++且独立 213C σ∴=56．设1216,,,X X X 是总体2(,)N μσ的样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，若()0.95P X aS μ>+=，则a =__________.解：0.05()((15))0.95X P X aS P P t t μ>+=≥=≥-= 查t 分布表0.054(15) 1.750.4383.a t a =-=-⇒=-57．设129,,,X X X 是正态总体X 的样本，记1126278911(),()63Y X X X Y X X X =+++=++，92221271(),)/,2i i S X Y Z Y Y S ==-=-∑则~Z __________.解：设总体2~(,)X N μσ则2212~(,)~(,)63Y N Y N σσμμ且 12Y Y~(0,1)N ，而2222~(2)S χσ.故12)~(2)Y Y Z t S -==.58．设总体12~[,](0),,,,n X U x x x θθθ->为样本，则θ的一个矩估计为__________.解：221(2)10,,021232EX DX EX x dx θθθθθθμθ--=======⎰222222()33EX DX EX DX θμθμθ==+==⇒=⇒= 其中 2211n i i a X n ==∑59．设总体X 的方差为1，根据来自X 的容量为100的样本，测得样本均值为5，则X 的数学期望的置信度近似为0.95的置信区间为_________. 解：X 不是正态总体，应用中心极限定理10~(0,1)0.051niXnEXX EXU N α--==⨯=∑/20.025()10.05/20.975 1.96αμμΦ=-=⇒=使0.025(||)(|10| 1.96)0.951X EXP u P μ-<=⨯<= EX 的置信区间为11( 1.96, 1.96)(4.804,5,196)1010X X -⨯+⨯=60．设由来自总体2(,0.9)N μ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x =，则μ的置信度为0.95的置信区间是__________.解：/20.0255,0.9,9,10.950.05, 1.96n u αχσαμ====-===故置信限为：/20.95 1.965 1.960.350.5883αχμ±=±=±⨯=± ∴置信区间为(4.412, 5.588)。