_层次分析法(AHP)中生成判断矩阵简易算法及其应用

层次分析法(AHP)中生成判断矩阵 简易算法及其应用
杨 毅
(衡阳师范学院 体育系 , 湖南 衡阳 421008)
摘 要 :对于层次分析法 (A HP) 的生 成判断矩阵 , 提出简易算 法 , 只需仔 细判断 出第 1 列 元素 , 据 此可逻辑
判断出其余列的元素 , 并有较满意的一致性 ;同时 , 以优秀 射击运 动员选 材为实例 , 建立了 评价指 标体系 , 确
即可 。
可是 , 用 9 标度 构造出 来的 判断矩 阵 B 满足 性质 ①和
②, 但 不满足性质 ③, 即 矩阵 B 的元 素不 一定 有传 递性 , 或
不具有完全一致性 。 有时甚至偏差很大 。 另外 , 专家们对某
一准则 Ck , 对某一备选方案进行 两两判断时 , 即使 同一专家 进行两两元素比较的 次数与获 得正确 的判断 信息亦 无必然
b41 =1/ 3, b51 =7 , 由算法(3)得 B 为 :
1
1/ 3 1/ 5 3 1/ 7
3
1
1/ 3 5 1/ 5
5
3
1
7 1/ 3
1/ 3 1/ 5 1/ 7 1 1/ 9
7
5
3
9
1
事实上 , 因 A3 比 A1 明 显重 要 , A2 稍 微重 要 , 故 而 A3 比 A2 稍微重要 , 即 b32 =3 ;A1 比 A4 稍微重 要 , A2 比 A1 稍 微重要 , 故而 A2 比 A4 明显重要 , b41 =1/ 5 ;A1 比 A4 稍微重 要 , A3 比 A1 明显重要 , 故而 A3 比 A4 强烈 重要 , 即 b43 =1/ 7 ;A5 比 A1 强烈重要 , 所以 A5 比 A4 明显重要 , A5 比 A3 稍 微重要 , A5 比 A4 极端重 要 , 即 b52 =5, b53 =3, b54 =9 。 总之 由(3)式算出的也是逻辑判断的结果 。
3 结果分析与结论
以上计算结果表明 :
3.1 关于评价 阶层 从以上排序可看出 , 在准则层 B2 >B4 >B3 >B1 >B5 , 运
动员的心理素质最重要 ;技术素质次之 ;再其次为身 体素质 ; 最后是职业道德 、敬业精 神和文 化素质 。 就是说 , 要 实现在 优秀射击运动员中准确地选出最优秀队员的目标 , 首要的准 则是考查运动员心理素质水平 。 3.2 关于指标 层
收稿日期 :2009 — 01 — 11 作者简介 :杨毅(1944 —), 男 , 湖南衡阳人 , 衡阳师范学院体育系教授 , 主要从事体育数学 的研究 .
2009 年第 3 期
杨毅 :层次分析法(A HP)中生成判断矩阵简易算法及其应用
1 25
辑判断得判断矩阵其余列 。 具体算法如下 :
设已由专家相对某 一准 则 Ck , 对几个 备选 方案 仔 细判 断第一方案 m1 与其余 m2 , … , mn 的相 对重 要程度 , 得 到判 断矩阵 B 的第一 列为 b11 , … , bn1 。 由 此构造 B 的下 三 角部 分 , 上三角部分可由 bij =1/ bj1 得到 。
表 1 优秀射击运 动员选材层次分析结构一览表
目标层 A 准则层 B
指标层 C
B1 职业道德 敬业精神
B2 心理素质
优
秀
射
击
运
动
员 选
B3 身体素质
材
B4 技术素质
B5 文化素质
C1 -1 道德品质 C1 -2 信念作用 C1 -3 动 机 C1 -4 责 任 C1 -5 拼搏精神
DOI :10 .13914 /j .cnk i .cn43 -1453 /z .2009 .03 .011
第 30 卷第 3 期
衡阳师范学院学 报
2 00 9年 6月
Journal o f Hengy ang N o rmal U niv ersity
N o .3V o l.30 June .2 0 0 9
④bi1 <1 且 bj1 ≥1 bij =(bj1 +1/ bi1 -1)-1
⑤bj1 ≤bi1 <1
bij =1/ bj1 -1/ bi1 -1
⑥bi1 <bj1 <1
bij =(1/ bi1 -1/ bj1 +1)-1
(3)
现假设 B 的第一 列元素 分别 为 b11 =1, b21 =3 , b31 =5 ,
序 。 层次单排序归结 为计 算 B 的 特征 值和 特征 向量 , 即对
B, 计算 BW=λmax W 的特征根 与特征 向量 。 式中 的 λmax 为 B 的最大特征根 ;W 为对应于 λmax 的正规化特征 向量 。 W 的分 量 Wi 即为相应元素单排序的 权值 。
此外 , 尚须进行判断 矩阵 的一致 性检 验 。 为此 , 需 要计Байду номын сангаас
30 项指标权重 排序列 一目 了然 , 显 示出 了在 本层 中的 具体位置 , 并知其对 总目 标贡献 的大 小 。 最重 要为 C2 -6 , C2 -3 , C2 -5 即为心理承受能力 , 心理 稳定性和 注意三项指 标 。 这一结果与射击运动界实际情况非常吻合 。
6
C2 -1 0 .068 7 0 .037 12
7
C2 -2 0 .011 9 0 .006 27
8
C2 -3 0 .160 2 0 .089 2
9
C2 -4 0 .070 6 0 .039 10
10
B2 0 .55
1
C2 -5 0 .160
3
0 .087 3
11
C2 -6 0 .240 1 0 .129 1
权重 序列
5 3 4 2 1 1 6 4 3 5 7 2 3 2 1 4
总排序
权重
权重 序列
0.011 20 0.025 14 0.011 19 0.043 9 0.086 4 0.062 6 0.012 17 0.023 15 0.039 11 0.015 16 0.005 28 0.052 8
0.004 29 0.007 26 0.012 18 0.002 30
算一致性 C , C =(λmax -n)/(n -1)。 C 值越小 , 表 明判 断矩 阵的一致性越高 ;当 C <0 .1 时 , 可 认为判 断矩阵 是满意 的 , 否则需要对判断矩阵进行调整 。
通常采用 Saaty 提出的 9 标度来 量化相 对重要 程度 而得
到判断矩阵 。 采用这种标度后可得准则 Ck 下的判断 矩阵 B
C2 -1 自 信 心 C2 -2 气质类型 C2 -3 心理稳定性 C2 -4 意 志 力 C2 -5 注 意 C2 -6 承受能力 C2 -7 应变能力 C2 -8 控 制 力 C2 -9 反 应
C3 -1 力 量 C3 -2 视 力 C3 -3 耐 力 C3 -4 握 力 C3 -5 肌肉控制
1 列的值来 决定 , 判断矩 阵可由 第 1 方 案与其 它 n -1 个方
案 m2 , … , mn 之相对重要程度来确定 。 由(2)式知 , 第一列信 息对确 定两两 之间的 关系 是充分
的 , 即 其余列的信息多余的 , 这样 一来使 在保持 一致 性的基
础上减少 A H P 法的 工作量成为可能 , 由第一列元素通过逻
联系 。 在 A H P 方法中构造一 个 n 阶判 断矩阵 , 提倡 专家进
行 n(n -1)/ 2 次比较判断 , 以便获 得更多的判断信息 。 但这 种不考虑整体性和联系性的孤立的两两元素的比 较判断 , 虽
可获得更多的判断信 息 , 特 别是在 元素个 数较多 时 , 也易产
生判断思维的混乱 。 可见 , 比较判断次数与获理正确的信息
自然
序列 权重
权重 序列
层次 C 元素 权重
权重 序列
总排序
权重
权重 序列
1
C1 -1 0 .215 2 0 .009 22
2
C1 -2 0 .185 4 0 .008 24
3
B1 0 .04 4
4
4
C1 -3 0 .153 C1 -4 0 .247
5 1
0 .007 25 0 .011 21
5
C1 -5 0 .200 3 0 .009 23
一致的 , 不必限制 。
最后 , 应该指出该算法只作 n-1 个比较 , 任何一 个判断
的失误均可导致不合理的 排序 , 一定要 仔细对 n -1 个 比较
作准确判断 。
2 应用实例
我们以某省选拔优秀 射击运动 员为 例进 行分析 。 优秀 射击运动员选材层次分析结构见 表 1。 根 据专家 对 30 项指 标评分意见构造出目标体系结构的各个判断矩阵 , 对这些矩 阵进行处理 、计算 。 经过一致性检验后再对各层次条 目进行 层次总排序 , 计算结果见表 2 。
定了 30 项具体的评价指标 ;根据专家咨询所提供的判断矩阵 , 得到各层中诸因 素的相对 权重及其对 总目标的影
响大小 。
关键词 :体育统计学 ;射击 ;选材
中图分类号 :G 80-32 ;G87
文献标识码 :A
文章编号 :1673— 0313(2009)03 — 0124 — 03
1 AHP 方法原理及判断矩阵算法简化
12
C2 -7 0 .049 8 0 .027 13
13
C2 -8 0 .137 4 0 .075 5
14
C2 -9 0 .103 5 0 .057 7
1 26
衡阳师范学院学 报
2009 年第 30 卷
续表 2
层次 B
自然
序列 权重
权重 序列
15
16
17
B3 0 .178
3
18
19
20
21
22
=(bij)n ×n , 显然 , 判断矩阵 B(bij)有以下性质 :
①bii =1;
②bij =1/ bji 显然(i , j , k =1, 2, … , n);
③bij =bik/ bjk
(1)
B 称为正定互反 的矩 阵 。 实际 上 , 对 于 n 阶判 断 , 仅需
对其上(或下)三角元 素的 n(n -1)/ 2 个元素 的量作 出判断
若编制一段程序 , 只需从键盘输入判断矩 阵的第一列元
素 , 用该算法生成判断矩阵和该矩阵的一致性 检验由程序自
动完成 。 该算法在逻辑合理 性与专 家的完 全两两 判断 是一
致的 。 还可以用 Saaty 的 9 标 度构造 判断矩 阵对该 算法 加以 验证 , 当 bi1 , bj1 取遍{1, … , 9}及{1/ 2 , … , 1/ 9}时 , 算出 bij 逐 一验证 , 结果都较 理想 。 只 是这 些结 果中 bij 有 些超 出 了标 度范围 , 没有定义含义 , 但从 逻辑判 断来看 和标度 的定 义是
23
B4 0 .209
2
24
25
26
27
28 B5 29 0 .019
5
30
层次 C
元素 权重
C3 -1 C3 -2 C3 -3 C3 -4 C3 -5 C4 -1 C4 -2 C4 -3 C4 -4 C4 -5 C4 -6 C4 -7 C5 -1 C5 -2 C5 -3 C5 -4
0 .059 0 .139 0 .059 0 .244 0 .497 0 .295 0 .057 0 .110 0 .190 0 .070 0 .021 0 .253 0 .156 0 .312 0 .498 0 .034
A HP 方法的基本思想 是先按 研究 问题的 要求 , 建 立一
个描述系统功能或特征等的内部独立的递阶层次的结构 , 通
过两两比较因素(目标 、标准 、方案)的相对重要性 , 构 造出上
层某元素对下层相关元素的判断矩阵 B , 计 算出本层 次元素
与上一层某元素有联系的重要性次序的权值 , 称为层次单排
并无必然联系 。 那么 , 获 得更多正确判断信息最好的方法是
否可采用构造判断矩阵的简易方法 ?
注意到 :bij =wi/ w j/ =(wi/ w j)/(wj/ wi)
即 :bij =bij/ bji , i , j =1 , 2 , … , n
(2)
因此 bij 可由于 bi1 , bj1 来决定 , 所 以 B =(bij )n ×m , 可由第
由第一列生成 其余列 的算法 如下 :当 i >j , i =1, 2 , … ,
n, 按如下情形分别算出 bij 。
若 :①bi1 ≥bj1 ≥1 且bij =bi1 -bij +1 ;
②bj1 >bi1 ≥1
bij =(bj1 -bi1 +1)-1
③bi1 ≥1 且 bj1 <1 bij =bi1 +1/ bi1 -1
C4 -1 技术稳定性 C4 -2 判 断 C4 -3 动觉方位感 C4 -4 击发时机 C4 -5 体感 — 枪感 C4 -6 盲 打 C4 -7 比赛成绩
C5 -1 文化程序 C5 -2 自身修养 C5 -3 创 新 C5 -4 审 美
表 2 层次 单排序和总排序一览表
层次 B