解析几何第二十七讲 双曲线
平面解析几何的双曲线性质与像
平面解析几何的双曲线性质与像双曲线是平面解析几何中一个重要的曲线类型,它具有独特的性质和特点。
在本文中,我将介绍双曲线的一些基本概念和定义,并详细讨论它的性质以及如何确定双曲线的像。
一、双曲线的定义和基本性质在平面直角坐标系中,双曲线可以通过以下方程表示:x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1,其中a和b分别是双曲线的半轴长度。
双曲线具有以下基本性质:1. 双曲线是对称图形,关于x轴和y轴两者都对称。
2. 双曲线有两个分支,分别称为实部和虚部。
3. 双曲线的焦点与直角坐标系的原点之间的距离为c,满足a^2 = b^2 + c^2。
4. 双曲线的渐近线是两条直线,分别与实部和虚部分支无限地靠近但永远不会相交。
二、确定双曲线的像确定双曲线的像需要考虑以下几个要素:焦点、顶点、直角坐标系和平行线。
1. 焦点:双曲线的焦点对于确定双曲线的像至关重要。
焦点是双曲线上的两个特殊点,它们在x轴上与顶点的距离分别为ae和-be,其中e是双曲线的离心率。
通过确定离心率和焦点的位置,可以确定双曲线的形状和大小。
2. 顶点:双曲线的顶点是双曲线的中心点,也是双曲线的对称轴与垂直轴的交点。
通过确定顶点的位置,可以确定双曲线的中心位置。
3. 直角坐标系:在平面直角坐标系中绘制双曲线时,可以确定双曲线的位置和方向。
通过绘制直角坐标系,然后确定双曲线的中心和顶点的位置,可以绘制出双曲线的形状。
4. 平行线:平行线可以帮助确定双曲线的位置和大小。
通过绘制与双曲线的渐近线平行的直线,可以确定双曲线的近似位置和范围。
综上所述,通过确定焦点、顶点、直角坐标系和平行线,我们可以确定双曲线的像。
在确定了这些要素后,我们可以根据需要进行绘制并研究双曲线的性质和特点。
总结:双曲线是平面解析几何中重要的曲线类型,具有独特的性质和特点。
确定双曲线的像需要考虑焦点、顶点、直角坐标系和平行线等要素。
通过确定这些要素,我们可以确定双曲线的形状、大小和位置,从而深入研究双曲线的性质和像。
高中双曲线知识点总结
高中双曲线知识点总结引言在高中数学中,双曲线是一个非常重要的概念。
它作为解析几何的一个分支,在许多问题中都有着广泛的应用。
本文将总结高中双曲线的基本概念、性质以及相关的解题方法,帮助读者更加深入地理解和掌握这一知识点。
一、双曲线的定义双曲线是一种平面上的曲线,其定义可以通过以下方法得到:1.定义一条直线(称为准线)和一个点(称为焦点);2.焦点至准线距离与焦点至双曲线上任意点距离之差的绝对值等于一个常数。
二、双曲线的方程在解析几何中,双曲线通常用点到焦点和焦准距离的关系方程表示。
根据焦准距离的不同符号,双曲线可分为以下两种情况:1.椭圆型双曲线:焦准距离之差的绝对值为正数。
其方程通常为:x^2/ a^2 - y^2 / b^2 = 1,其中a和b为正实数。
2.双曲线型双曲线:焦准距离之差的绝对值为负数。
其方程通常为:x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = -1,其中a和b为正实数。
三、双曲线的基本性质双曲线具有以下几个基本性质:1.焦距公式:对于椭圆型双曲线,焦距c满足c²=a²+b²。
对于双曲线型双曲线,焦距c满足c²=a²+b²。
2.离心率:对于椭圆型双曲线,离心率ε满足ε=c/a。
对于双曲线型双曲线,离心率ε满足ε=c/a。
3.对称轴:对于椭圆型双曲线,对称轴是与准线垂直且通过双曲线的中心。
对于双曲线型双曲线,对称轴是与准线垂直且通过双曲线的中心。
4.渐近线:对于椭圆型双曲线,有两条渐近线,其方程分别为y=±b/a* x。
对于双曲线型双曲线,有两条渐近线,其方程分别为y=±b/a * x。
5.顶点:对于椭圆型双曲线,顶点为与对称轴的交点。
对于双曲线型双曲线,顶点为与对称轴的交点。
四、双曲线的画法与性质绘制双曲线的一种常见方法是使用焦点和准线进行绘制。
根据准线的不同位置可以得到不同形状的双曲线,如下所示:1.当准线与焦点重合时,得到的是一条垂直于x轴的对称双曲线。
平面解析几何 双曲线
平面解析几何双曲线1.双曲线的概念平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c>2a,其中a,c为常数且a>0,c>0.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)图形性质范围x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)渐近线y=±ba x y=±ab x离心率e=ca,e∈(1,+∞),其中c=a2+b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a,线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a,b,c的关系c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0)拓展1.平面内与两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹:当2a<|F1F2|时,动点的轨迹是双曲线;当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线;当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在;当2a=0时,动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.2.与椭圆标准方程相比较,双曲线标准方程中,a,b只限制a>0,b>0,二者没有大小要求,若a>b>0,a=b>0,0<a<b,双曲线哪的离心率受到影响.∵e=ca=1+⎝⎛⎭⎫ba2,故当a>b>0时,1<e<2;当a=b>0时,e=2(亦称等轴双曲线);当0<a<b时,e> 2.思维升华 在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF 1|-|PF 2||=2a ,运用平方的方法,建立与|PF 1|·|PF 2|的联系. 思维升华 求双曲线的标准方程的方法(1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定2a ,2b 或2c ,从而求出a 2,b 2,写出双曲线方程.(2)待定系数法:先确定焦点在x 轴还是y 轴,设出标准方程,再由条件确定a 2,b 2的值,即“先定型,再定量”,如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为x 2m 2-y 2n 2=λ(λ≠0),再根据条件求λ的值.注意 ①双曲线与椭圆标准方程均可记为mx 2+ny 2=1(mn ≠0),其中当m >0,n >0,且m ≠n 时表示椭圆;当mn <0时表示双曲线,合理使用这种形式可避免讨论. ②常见双曲线设法(i)已知a =b 的双曲线可设为x 2-y 2=λ(λ≠0);(ii)已知过两点的双曲线可设为Ax 2-By 2=1(AB >0);(iii)已知渐近线为x m ±y n =0的双曲线方程可设为x 2m 2-y 2n2=λ(λ≠0).思维升华 求双曲线的渐近线的方法求双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)或y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0,即令x 2a 2-y 2b 2=0,得y =±b a x ;或令y 2a 2-x 2b 2=0,得y =±abx .反之,已知渐近线方程为y =±b a x ,可设双曲线方程为x 2a 2-y2b 2=λ(a >0,b >0,λ≠0). 思维升华 求双曲线的离心率 (1)求双曲线的离心率或其范围的方法①求a ,b ,c 的值,由c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a2直接求e .②列出含有a ,b ,c 的等式(或不等式),借助于b 2=c 2-a 2消去b ,然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.(2)焦点在x 轴上的双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系:k =ba =c 2-a 2a=c 2a 2-1=e 2-1.【题型分类】题型一 双曲线的定义例1 (1)已知圆C 1:(x +3)2+y 2=1和圆C 2:(x -3)2+y 2=9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为________________. 答案x 2-y 28=1(x ≤-1) 解析 如图所示,设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B . 根据两圆外切的条件, 得|MC 1|-|AC 1|=|MA |, |MC 2|-|BC 2|=|MB |, 因为|MA |=|MB |,所以|MC 1|-|AC 1|=|MC 2|-|BC 2|, 即|MC 2|-|MC 1|=|BC 2|-|AC 1|=2,所以点M 到两定点C 2,C 1的距离的差是常数且小于|C 1C 2|=6.又根据双曲线的定义,得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大,与C 1的距离小),其中a =1,c =3,则b 2=8. 故点M 的轨迹方程为x 2-y 28=1(x ≤-1). (2)已知F 1,F 2为双曲线C :x 2-y 2=2的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则△F 1PF 2的面积为______. 答案 23解析 不妨设点P 在双曲线的右支上, 则|PF 1|-|PF 2|=2a =22, 在△F 1PF 2中,由余弦定理,得 cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|=12,∴|PF 1|·|PF 2|=8, ∴12F PF S=12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°=2 3. 本例(2)中,“∠F 1PF 2=60°”改为“PF 1→·PF 2→=0”,则△F 1PF 2的面积为_____.答案 2解析 不妨设点P 在双曲线的右支上, 则|PF 1|-|PF 2|=2a =22,∵PF 1→·PF 2→=0,∴PF 1→⊥PF 2→,∴在△F 1PF 2中,有|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2, 即|PF 1|2+|PF 2|2=16, ∴|PF 1|·|PF 2|=4, ∴12F PF S=12|PF 1|·|PF 2|=2. 跟踪训练1 (1)过双曲线x 2-y 24=1的左焦点F 1作一条直线l 交双曲线左支于P ,Q 两点,若|PQ |=4,F 2是双曲线的右焦点,则△PF 2Q 的周长是________. 答案 12解析 由题意,得|PF 2|-|PF 1|=2,|QF 2|-|QF 1|=2. ∵|PF 1|+|QF 1|=|PQ |=4, ∴|PF 2|+|QF 2|-4=4, ∴|PF 2|+|QF 2|=8.∴△PF 2Q 的周长是|PF 2|+|QF 2|+|PQ |=8+4=12.(2)已知F 1,F 2为双曲线C :x 2-y 2=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2=________. 答案 34解析 ∵由双曲线的定义得 |PF 1|-|PF 2|=|PF 2|=2a =22, ∴|PF 1|=2|PF 2|=42,则cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|=(42)2+(22)2-422×42×22=34.题型二 双曲线的标准方程 1.已知双曲线的渐近线为y =±22x ,实轴长为4,则该双曲线的方程为( ) A.x 24-y 22=1 B.x 24-y 28=1或y 24-x 28=1 C.x 24-y 28=1 D.x 24-y 22=1或y 24-x 28=1 答案 D解析 设双曲线方程为x 22m -y 2m =1(m ≠0),又2a =4,∴a 2=4, 当m >0时,2m =4,m =2; 当m <0时,-m =4,m =-4.故所求双曲线方程为x 24-y 22=1或y 24-x 28=1.2.(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =52x ,且与椭圆x 212+y 23=1有公共焦点,则C 的方程为( ) A.x 28-y 210=1 B.x 24-y 25=1 C.x 25-y 24=1 D.x 24-y 23=1 答案 B 解析 由y =52x ,可得b a =52.① 由椭圆x 212+y 23=1的焦点为(3,0),(-3,0),可得a 2+b 2=9.② 由①②可得a 2=4,b 2=5. 所以C 的方程为x 24-y 25=1.故选B.3.经过点P (-3,27)和点Q (-62,-7)的双曲线方程为________. 答案 y 225-x 275=1解析 设双曲线方程为mx 2-ny 2=1(mn >0),∴⎩⎪⎨⎪⎧9m -28n =1,72m -49n =1,解得⎩⎨⎧m =-175,n =-125,∴双曲线方程为y 225-x 275=1.4.过双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点作x 轴的垂线,与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的标准方程为( ) A.x 24-y 212=1 B.x 27-y 29=1 C.x 28-y 28=1 D.x 212-y 24=1 答案 A解析 因为渐近线y =ba x 与直线x =a 交于点A (a ,b ),c =4且(4-a )2+b 2=4,解得a 2=4,b 2=12,因此双曲线的标准方程为x 24-y 212=1.题型三 双曲线的几何性质 命题点1 渐近线例2 (1)(2020·云南省昆明一中模拟)已知双曲线y 2a -x 24=1的渐近线方程为y =±32x ,则a 的值为( )A .9 B. 3 C .3 D.2 答案 A解析 由题意可知,双曲线的焦点在y 轴上, 故双曲线的渐近线方程为y =±a 2x , 则a 2=32,解得a =9. (2)(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2-y 2b 2=1(b >0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是____________. 答案 y =±2x 解析 因为双曲线x 2-y 2b 2=1(b >0)经过点(3,4),所以9-16b 2=1,得b =2,所以该双曲线的渐近线方程是y =±2x . 命题点2 离心率例3 (1)(2019·浙江)渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是( ) A.22B .1 C. 2 D .2 答案 C解析 因为双曲线的渐近线方程为x ±y =0,所以无论双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上,都满足a =b ,所以c =2a ,所以双曲线的离心率e =ca= 2.(2)设双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >b >0)的两条渐近线的夹角为α,且cos α=13,则C 的离心率为( ) A.52 B.62 C.72D .2 答案 B解析 ∵a >b >0,∴渐近线y =ba x 的斜率小于1,∵两条渐近线的夹角为α,cos α=13.∴cos 2α2=23,sin 2α2=13,tan 2α2=12,∴b 2a 2=12,∴c 2-a 2a 2=12, ∴e 2=32,∴e =62.(3)(2019·全国Ⅰ)双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为( ) A .2sin 40° B .2cos 40° C.1sin 50° D.1cos 50°答案 D解析 由题意可得-ba =tan 130°,所以e = 1+b 2a2=1+tan 2130°= 1+sin 2130°cos 2130° =1|cos 130°|=1cos 50°.(4)(2019·全国Ⅱ)设F 为双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ,Q 两点.若|PQ |=|OF |,则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C .2 D.5 答案 A解析 如图,由题意知,以OF 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x -c 22+y 2=c24,① 将x 2+y 2=a 2,② ①-②得x =a 2c ,则以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2的相交弦所在直线的方程为x =a 2c,所以|PQ |=2a 2-⎝⎛⎭⎫a 2c 2. 由|PQ |=|OF |,得2a 2-⎝⎛⎭⎫a 2c 2=c , 整理得c 4-4a 2c 2+4a 4=0,即e 4-4e 2+4=0, 解得e =2,故选A. 跟踪训练2 (1)若双曲线x 2-y 2m 2=1(m >0)的焦点到渐近线的距离是4,则m 的值是( ) A .2 B. 2 C .1 D .4答案 D 解析 双曲线x 2-y 2m 2=1(m >0)的焦点设为(c,0), 当双曲线方程为x 2a 2-y 2b2=1时,渐近线方程设为bx -ay =0,可得焦点到渐近线的距离 d =|bc |b 2+a 2=b , 故由题意可得b =m =4.(2)已知点(1,2)是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点,则其离心率的取值范围是( )A.()1,5B.⎝⎛⎭⎫1,52 C.()5,+∞ D.⎝⎛⎭⎫52,+∞ 答案 C解析 已知点(1,2)是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点,得1a 2-4b 2=1,即b 2a 2=b 2+4, 所以e =ca=1+b 2a2=b 2+5>5,所以e > 5. (3)(2020·云南省昆明一中模拟)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是双曲线右支上的一点,满足|PF 2|=|F 1F 2|,直线PF 1与圆x 2+y 2=a 2相切,则双曲线的离心率为( )A.233B. 3C.53D.2答案 C解析 过点F 2作F 2N ⊥PF 1,N 为垂足, 过O 作OM ⊥PF 1,M 为垂足,如图, ∵|PF 2|=|F 1F 2|=2c , ∴△PF 1F 2为等腰三角形, 故N 为PF 1的中点,又∵MO ∥NF 2,且O 为F 1F 2的中点, ∴M 为F 1N 的中点,∴4|MF 1|=|PF 1|, 又由PF 1与圆x 2+y 2=a 2相切,∴|OM |=a ,∴|F 1M |=|OF 1|2-|OM |2=b ,∴|PF 1|=4b ,∵P 是双曲线右支上一点, ∴|PF 1|-|PF 2|=2a , 即4b -2c =2a , 又a 2+b 2=c 2, ∴a 2+⎝⎛⎭⎫a +c 22=c 2,5a 2+2ac -3c 2=0,3e 2-2e -5=0,又e >1,解得e =53.。
解析几何中的双曲线与双曲函数
解析几何中的双曲线与双曲函数双曲线和双曲函数是解析几何中的重要概念,它们在数学和物理学中有着广泛的应用。
本文将对双曲线和双曲函数进行解析,并探讨它们的特点及应用。
一、双曲线双曲线是平面解析几何研究的一个重要曲线类别。
它是一个平面上的一条曲线,满足一定的数学关系。
双曲线的定义可以有多种形式,其中一种常见的定义为:平面上到两个焦点的距离之差等于常数的点的集合。
根据这个定义,我们可以得到双曲线的一些基本特点。
首先,双曲线具有两个焦点。
这两个焦点分别位于双曲线的两条渐近线上,且与双曲线的中心对称。
其次,双曲线还具有两条渐近线,这两条渐近线与曲线无限远处的两个分支趋于平行,且两条渐近线的夹角等于曲线的离心率对应的角。
双曲线具有丰富多样的形状,可以是打开的、闭合的或同心双曲线。
在应用中,双曲线经常用来描述电磁波的传播、流体的动力学特性以及椭圆轨道的运动等。
二、双曲函数双曲函数是以指数为函数的双曲线函数。
它包括双曲正弦函数(sinh)、双曲余弦函数(cosh)、双曲正切函数(tanh)等。
在解析几何中,双曲函数常常与双曲线相关联。
双曲函数具有一些独特的性质。
首先,双曲函数是奇函数,即满足f(-x)=-f(x)。
其次,双曲函数的定义域为整个实数集,值域可正可负。
另外,对于双曲函数来说,它的导数还是双曲函数本身。
这一性质使得双曲函数在微积分和微分方程的求解中有着重要的应用。
双曲函数在物理学、工程学以及经济学等领域中都有广泛的应用。
例如,双曲函数可以描述弹性体的变形、电路中的电流变化以及金融领域中的利息计算等。
三、双曲线与双曲函数的应用举例1. 光学中的双曲线:双曲线可以用来描述折射光线在介质边界上的传播规律。
根据双曲线的定义,可以得到折射定律以及反射光线与法线的夹角关系,从而解释折射现象和光线的传播路径。
2. 物理学中的震荡现象:双曲函数可以用来描述机械波、电磁波以及量子力学中的粒子波函数的振动特性。
通过双曲函数的性质和方程的求解,可以计算出波函数的频率、振幅以及波速等重要参数。
高中数学解析几何--双曲线
高中数学解析几何--抛物线1.抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质标准 方程y 2=2px (p >0)y 2=-2px (p >0)x 2=2py (p >0)x 2=-2py (p >0)p 的几何意义:焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y =0x =0焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2,0F ⎝⎛⎭⎫-p2,0 F ⎝⎛⎭⎫0,p 2 F ⎝⎛⎭⎫0,-p2 离心率 e =1准线方程 x =-p 2x =p 2 y =-p2y =p 2 范围 x ≥0,y ∈Rx ≤0,y ∈Ry ≥0,x ∈Ry ≤0,x ∈R开口方向 向右向左向上向下【知识拓展】1.抛物线y 2=2px (p >0)上一点P (x 0,y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2,0的距离|PF |=x 0+p2,也称为抛物线的焦半径.2.y 2=ax 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4,0,准线方程为x =-a4. 3.设AB 是过抛物线y 2=2px (p >0)焦点F 的弦, 若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则 (1)x 1x 2=p 24,y 1y 2=-p 2.(2)弦长|AB |=x 1+x 2+p =2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角).(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切.(4)通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p ,通径是过焦点最短的弦.1.(2016·四川)抛物线y 2=4x 的焦点坐标是( ) A .(0,2) B .(0,1) C .(2,0)D .(1,0)2.(2016·甘肃张掖一诊)过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6,则|PQ |等于( ) A .9 B .8 C .7 D .63.设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤-12,12 B .[-2,2] C .[-1,1]D .[-4,4]4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P (-2,-4),则该抛物线的标准方程为________________.5.(2017·合肥调研)已知抛物线y 2=2px (p >0)的准线与圆x 2+y 2-6x -7=0相切,则p 的值为________.题型一 抛物线的定义及应用例1 设P 是抛物线y 2=4x 上的一个动点,若B (3,2),则|PB |+|PF |的最小值为________. 引申探究1.若将本例中的B 点坐标改为(3,4),试求|PB |+|PF |的最小值.2.若将本例中的条件改为:已知抛物线方程为y 2=4x ,直线l 的方程为x -y +5=0,在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1,到直线l 的距离为d 2,求d 1+d 2的最小值.设P 是抛物线y 2=4x 上的一个动点,则点P 到点A (-1,1)的距离与点P 到直线x =-1的距离之和的最小值为________.题型二 抛物线的标准方程和几何性质 命题点1 求抛物线的标准方程例2 已知双曲线C 1:x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2.若抛物线C 2:x 2=2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2,则抛物线C 2的方程为( ) A .x 2=833yB .x 2=1633yC .x 2=8yD .x 2=16y命题点2 抛物线的几何性质例3 已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点,求证: (1)y 1y 2=-p 2,x 1x 2=p 24; (2)1|AF |+1|BF |为定值; (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.(1)(2016·全国乙卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知|AB |=42,|DE |=25,则C 的焦点到准线的距离为( ) A .2 B .4 C .6 D .8(2)(2016·昆明三中、玉溪一中统考)抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,已知点A 、B 为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB =120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ,垂足为N ,则|MN ||AB |的最大值为( ) A.33 B .1 C.233D .2题型三 直线与抛物线的综合问题 命题点1 直线与抛物线的交点问题例4 已知抛物线C :y 2=8x 与点M (-2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点.若MA →·MB →=0,则k =________.命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题例5 (2016·全国丙卷)已知抛物线C :y 2=2x 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明:AR ∥FQ ;(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.(2017·北京东城区质检)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,直线y =4与y轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且|QF |=54|PQ |.(1)求C 的方程;(2)过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点,若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M 、N 两点,且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上,求l 的方程.7.直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (12分)已知抛物线C :y =mx 2(m >0),焦点为F ,直线2x -y +2=0交抛物线C 于A ,B 两点,P 是线段AB 的中点,过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标;(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3,求此时m 的值;(3)是否存在实数m ,使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.1.(2017·昆明调研)已知抛物线C 的顶点是原点O ,焦点F 在x 轴的正半轴上,经过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点,如果OA →·OB →=-12,那么抛物线C 的方程为( ) A .x 2=8y B .x 2=4y C .y 2=8xD .y 2=4x2.已知抛物线y 2=2px (p >0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( ) A .x =1 B .x =-1 C .x =2 D .x =-23.(2016·上饶四校联考)设抛物线C :y 2=3px (p >0)的焦点为F ,点M 在C 上,|MF |=5,若以MF 为直径的圆过点(0,2),则抛物线C 的方程为( ) A .y 2=4x 或y 2=8x B .y 2=2x 或y 2=8x C .y 2=4x 或y 2=16xD .y 2=2x 或y 2=16x4.已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( )A .-4B .4C .p 2D .-p 25.如图,过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ,交其准线l 于点C ,若|BC |=2|BF |,且|AF |=3,则此抛物线的方程为( )A .y 2=9xB .y 2=6xC .y 2=3xD .y 2=3x6.抛物线y 2=4x 的焦点为F ,点P (x ,y )为该抛物线上的动点,若点A (-1,0),则|PF ||P A |的最小值是( )A.12B.22C.32D.2237.设F 为抛物线C :y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ,B 两点,则|AB |=________.8.已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的准线为l ,过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ,与C 的一个交点为B ,若AM →=MB →,则p =________.9.已知椭圆E 的中心在坐标原点,离心率为12,E 的右焦点与抛物线C :y 2=8x 的焦点重合,A ,B 是C 的准线与E 的两个交点,则|AB |=________.*10.设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A ,B 两点,与圆(x -5)2+y 2=r 2(r >0)相切于点M ,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是________________.11.(2016·沈阳模拟)已知过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB |=9. (1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC →=OA →+λOB →,求λ的值.12.设P ,Q 是抛物线y 2=2px (p >0)上相异两点,P ,Q 到y 轴的距离的积为4,且OP →·OQ →=0.(1)求该抛物线的标准方程;(2)过点Q 的直线与抛物线的另一交点为R ,与x 轴的交点为T ,且Q 为线段RT 的中点,试求弦PR 长度的最小值.*13.如图,由部分抛物线:y 2=mx +1(m >0,x ≥0)和半圆x 2+y 2=r 2(x ≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C ”,若“黄金抛物线C ”经过点(3,2)和(-12,32).(1)求“黄金抛物线C ”的方程;(2)设P (0,1)和Q (0,-1),过点P 作直线l 与“黄金抛物线C ”相交于A ,P ,B 三点,问是否存在这样的直线l ,使得QP 平分∠AQB ?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.。
解析几何中的双曲线
解析几何中的双曲线双曲线是解析几何中的一类曲线,由一对焦点和一条连接两个焦点的直线构成。
本文将对双曲线的定义、性质以及应用进行详细的解析。
一、双曲线的定义双曲线是与两个焦点F1和F2的连线长度之和为常数的点P的轨迹。
这意味着对于双曲线上的任意一点P,它到焦点F1的距离加上到焦点F2的距离等于常数。
二、双曲线的标准方程双曲线的标准方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1,其中a和b为常数。
该方程描述了具有两个焦点和两条渐近线的双曲线。
三、双曲线的性质1. 双曲线是关于x轴和y轴对称的。
即,如果点P(x, y)在双曲线上,则点P'(-x, y)、P(x, -y)和P'(-x, -y)也在双曲线上。
2. 双曲线有两条渐近线,分别与x轴和y轴相交于原点,并且与曲线无限趋近于平行。
3. 双曲线的离心率定义为c/a,其中c为焦点之间的距离,a为半焦距。
离心率决定了双曲线的形状,当离心率小于1时,双曲线的形状较为扁平;当离心率大于1时,双曲线的形状较为狭长。
4. 双曲线上不存在对称中心,没有对称轴和顶点。
四、双曲线的应用双曲线在数学和物理学中有许多应用。
1. 光学中的反射定律:双曲线被广泛应用于光学中的反射定律研究中。
根据反射定律,光线从一个焦点入射于双曲线,并反射到另一个焦点上。
2. 天体力学中的轨道:行星的运动轨迹可以用双曲线描述。
行星围绕太阳运动时,在一些特定的情况下,其轨道可以近似为一个双曲线。
3. 电磁学中的电场和磁场:在电磁学中,电场和磁场的密度分布常常呈现出双曲线的形状。
通过双曲线的性质,我们可以更好地理解电磁场的行为规律。
综上所述,双曲线作为解析几何中的重要曲线之一,具有独特的定义、特点和应用。
通过深入研究和理解双曲线的性质和公式,我们能够更好地应用双曲线解决问题,并在相关领域中取得更多的研究成果。
平面解析几何双曲线与双曲线的方程与性质
平面解析几何双曲线与双曲线的方程与性质在平面解析几何中,双曲线是一类重要的曲线形状。
它们在数学、物理和工程等领域有着广泛的应用。
本文将重点讨论双曲线的方程和性质。
一、双曲线的定义和基本性质双曲线是一个点集,满足到两个给定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a的所有点的轨迹。
该常数a称为双曲线的半长轴。
双曲线的两个焦点F1和F2与半长轴之间的距离称为焦距,记为2c。
双曲线的方程可以表示为:(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1其中,(h, k)是双曲线的中心点。
根据双曲线的方程,可以推导出双曲线的一些基本性质。
1. 双曲线的对称轴与中心点相交,且垂直于对称轴的直线称为双曲线的主轴。
主轴的长度等于2a。
2. 双曲线的焦点与中心点之间的连线称为焦半径,焦半径的长度等于c。
3. 双曲线的两个分支关于对称轴对称,且与圆的不同是它们的离心率大于1。
4. 双曲线的离心率定义为e = c/a,用来描述双曲线的形状。
离心率大于1,表示双曲线趋近无穷远。
二、双曲线的分类根据双曲线的方程和性质,可以将双曲线分为以下几类:1. 横轴双曲线:a²大于b²,焦点位于横轴上。
2. 竖轴双曲线:a²小于b²,焦点位于竖轴上。
3. 倾斜双曲线:双曲线的对称轴不与坐标轴重合。
不同类型的双曲线在平面上呈现出不同的形态和特点,对于双曲线的分类与性质的理解对于解析几何的研究和实际应用非常重要。
三、双曲线的应用双曲线在数学、物理和工程等多个领域都有着广泛的应用。
1. 数学应用:双曲线是解析几何中的重要概念,在微积分、代数等数学学科中都有着深入研究和应用。
2. 物理应用:双曲线在物理学中的应用非常广泛,例如光学中的折射、电磁学中的电场分布等都可以用双曲线进行描述和计算。
3. 工程应用:双曲线在工程领域中也有着重要的应用,例如在建筑设计中可以利用双曲线形状来构建特殊的建筑结构。
高考数学真题:双曲线含答案
专题九 解析几何第二十七讲 双曲线2019年1.(2019全国III 理10)双曲线C :2242x y -=1的右焦点为F ,点P 在C 的一条渐进线上,O 为坐标原点,若=PO PF ,则△PFO 的面积为A B C . D .2.(2019江苏7)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 .3.(2019全国I 理16)已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若1F A AB =,120F B F B ⋅=,则C 的离心率为____________.4.(2019年全国II 理11)设F 为双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ,Q 两点.若PQ OF =,则C 的离心率为ABC .2D 5.(2019浙江2)渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A B .1CD .26.(2019天津理5)已知抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且||4||AB OF =(O 为原点),则双曲线的离心率为C.22010-2018年一、选择题1.(2018浙江)双曲线2213x y -=的焦点坐标是A .(,B .(2,0)-,(2,0)C .(0,,D .(0,2)-,(0,2)2.(2018全国卷Ⅰ)已知双曲线C :2213-=x y ,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若∆OMN 为直角三角形,则||MN =A .32B .3C .D .43.(2018全国卷Ⅱ)双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a bA .=yB .=yC .2=±y x D .2=±y x 4.(2018全国卷Ⅲ)设1F ,2F 是双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,O 是坐标原点.过2F 作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P .若1|||PF OP =,则C 的离心率为AB .2CD5.(2018天津)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点.设A ,B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d , 且126d d +=,则双曲线的方程为A .221412x y -= B .221124x y -= C .22139x y -= D .22193x y -=6.(2017新课标Ⅱ)若双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为2,则C 的离心率为A .2BCD .37.(2017新课标Ⅲ)已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点,则C 的方程为 A .221810x y -= B .22145x y -= C .22154x y -= D .22143x y -=8.(2017天津)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F .若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为A .22144x y -=B .22188x y -=C .22148x y -=D .22184x y -= 9.(2016天津)已知双曲线222=1(0)4x y b b->,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点,四边形的ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为A .22443=1y x -B .22344=1y x -C .2224=1x y b -D .2224=11x y - 10.(2016年全国I)已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是A .(–1,3)B .(–1,3)C .(0,3)D .(0,3)11.(2016全国II)已知1F ,2F 是双曲线E :22221x y a b-=的左、右焦点,点M 在E 上,1MF 与x 轴垂直,211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为A B .32C D .2 12.(2015四川)过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于,A B 两点,则AB =A B . C .6 D .13.(2015福建)若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线E 上,且13PF =,则2PF 等于A .11B .9C .5D .314.(2015湖北)将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则A .对任意的,a b ,12e e >B .当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e <C .对任意的,a b ,12e e <D .当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e > 15.(2015安徽)下列双曲线中,焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是A .2214y x -= B .2214x y -= C .2214y x -= D .2214x y -= 16.(2015新课标1)已知00(,)M x y 是双曲线C :2212x y -=上的一点,12,F F 是C 的两个焦点,若120MF MF ⋅<,则0y 的取值范围是A .(B .(C .(,33-D .(33- 17.(2015重庆)设双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的右焦点为F ,右顶点为A ,过F作AF 的垂线与双曲线交于,B C 两点,过,B C 分别作,AC AB 的垂线,两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a 则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是A .(1,0)(0,1)-∪B .(,1)(1,)-∞-+∞∪C .∪D .(,1))-∞-∞∪18.(2014新课标1)已知F 是双曲线C :223(0)x my m m -=>的一个焦点,则点F 到C的一条渐近线的距离为A B .3 C D .3m19.(2014广东)若实数k 满足09k <<,则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A .焦距相等 B .实半轴长相等 C .虚半轴长相等 D .离心率相等20.(2014天津)已知双曲线22221x y a b 0,0a b 的一条渐近线平行于直线l :210y x ,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为 A .221520x y B .221205x yC .2233125100x y D .2233110025x y21.(2014重庆)设21F F ,分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点,双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为 A .34 B .35 C .49D .322.(2013新课标1)已知双曲线C :22221x y a b-=(0,0a b >>C的渐近线方程为A .14y x =± B .13y x =± C .12y x =± D .y x =± 23.(2013湖北)已知04πθ<<,则双曲线1C :22221cos sin x y θθ-=与2C :22sin y θ2221sin tan y θθ-=的 A .实轴长相等 B .虚轴长相等 C .焦距相等 D . 离心率相等 24.(2013重庆)设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ,使1122A B A B =,其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是A .(2]3 B .[,2)3 C .()3+∞ D .[)3+∞ 25.(2012福建)已知双曲线22215x y a -=的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于A .14B .4 C .32D .4326.(2012湖南)已知双曲线C :22x a -22y b=1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为A .220x -25y =1B .25x -220y =1C .280x -220y =1 D .220x -280y =1 27.(2011安徽)双曲线x y 222-=8的实轴长是A .2B .C .4D .28.(2011山东)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为A .22154x y -=B .22145x y -=C .22136x y -=D .22163x y -= 29.(2011湖南)设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=,则a 的值为 A .4 B .3 C .2 D .130.(2011天津)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--,则双曲线的焦距为A .B .C .D .31.(2010新课标)已知双曲线E 的中心为原点,(3,0)P 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于A ,B 两点,且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为A .22136x y -= B .22145x y -= C .22163x y -= D .22154x y -= 32.(2010新课标)中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)-,则它的离心率为A B C .2 D .233.(2010福建)若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP FP ⋅的最大值为A .2B .3C .6D .8 二、填空题34.(2018上海)双曲线2214x y -=的渐近线方程为 . 35.(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为2c ,则其离心率的值是 . 36.(2017江苏)在平面直角坐标系xOy 中 ,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是1F ,2F ,则四边形12F PF Q 的面积是 .37.(2017新课标Ⅰ)已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ,以A 为圆心,b 为半径做圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若MAN ∠=60°,则C 的离心率为________.38.(2017山东)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>,的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若||||4||AF BF OF +=,则该双曲线的渐近线方程为 .39.(2017北京)若双曲线221y x m-=m =_________.40.(2016年北京)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为正方形OABC 的边,OA OC所在的直线,点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2,则a =______.41.(2016山东)已知双曲线E :22221x y a b-=(0,0)a b >>,若矩形ABCD 的四个顶点在E上,AB ,CD 的中点为E 的两个焦点,且2||3||AB BC =,则E 的离心率是 .42.(2015北京)已知双曲线()22210x y a a-=>0y +=,则a = .43.(2015江苏)在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点.若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立,则是实数c 的最大值为 .44.(2015山东)平面直角坐标系xOy 中,双曲线1C :22221x y a b-=(0,0)a b >>的渐近线与抛物线2C :22x py =(0p >)交于,,O A B ,若△OAB 的垂心为2C 的焦点,则1C 的离心率为_______.45.(2014山东)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ,右顶点为A ,抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ,且||FA c =,则双曲线的渐近线方程为 .46.(2014浙江)设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A ,B ,若点(,0)P m 满足||||PA PB =,则该双曲线的离心率是____.47.(2014北京)设双曲线C 经过点()2,2,且与2214y x -=具有相同渐近线,则C 的方程为________;渐近线方程为________.48.(2013陕西)双曲线221169x y -=的离心率为 .49.(2014湖南)设F 1,F 2是双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点.若在C 上存在一点P ,使PF 1⊥PF 2,且∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为_________.50.(2013辽宁)已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点,,P Q 为C 上的点,若PQ 的长等于虚轴长的2倍,点(5,0)A 在线段PQ ,则PQF ∆的周长为 .51.(2012辽宁)已知双曲线122=-y x ,点21,F F 为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,若21PF PF ⊥,则21PF PF +的值为 .52.(2012天津)已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线,且1C 的右焦点为F ,则a = b = .53.(2012江苏)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22214x y m m -=+则m 的值为 .54.(2011山东)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和椭圆221169x y +=有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 .55.(2011北京)已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线的方程为2y x =,则b = .三、解答题56.(2014江西)如图,已知双曲线C :2221x y a-=(0a >)的右焦点F ,点B A ,分别在C的两条渐近线上,x AF ⊥轴,BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点).(1)求双曲线C 的方程;(2)过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:020=-y y axx l 与直线AF 相交于点M ,与直线23=x 相交于点N ,证明:当点P 在C 上移动时,NFMF 恒为定值,并求此定值.57.(2011广东)设圆C 与两圆2222(5)4,(5)4x y x y ++=+=中的一个内切,另一个外切.(1)求C 的圆心轨迹L 的方程; (2)已知点M 3545(,5,0)55F ,且P 为L 上动点,求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标.专题九 解析几何第二十七讲 双曲线答案部分2019年1. 解析 双曲线22:142x y C -=的右焦点为6,0)F ,渐近线方程为:22y x =±,不妨设点P 在第一象限,可得2tan POF ∠=63P ,所以PFO △的面积为: 133262=.故选A .2. 解析 因为双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4),所以221631b-=,解得22b =,即2b =. 又1a =,所以该双曲线的渐近线方程是2y x =±. 3.解析 如图所示,因为1F A AB =,所以A 为1F B 的中点. 又O 为12F F 的中点,所以212AOBF ,212AO BF =. 因为120F B F B ⋅=,所以1290F BF ∠=︒, 且O 为12F F 的中点,所以12212OB F F OF c ===. 由212AOBF 得2121BOF AOF BF F ∠=∠=∠,所以2OB BF =, 因此2OPF △为等边三角形,260BOF ∠=︒,即渐近线的斜率为3,也即3ba=, 所以2212b e a=+=.4.A 解析:解法一:由题意,把2c x =代入222x y a +=,得2224c PQ a =-,再由PQ OF =,得2224ca c -=,即222a c =,所以222c a=,解得2c e a ==.故选A .解法二:如图所示,由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径,所以,22c c P ⎛⎫± ⎪⎝⎭,代入222x y a +=得222a c =, 所以222c a=,解得2c e a ==.故选A .解法三:由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径,则1222OP a OF ===,2c e a ==故选A . 5.解析 根据渐进线方程为0x y ±=的双曲线,可得a b =,所以2c a =,则该双曲线的离心率为2ce a==C . 6.解析 因为抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,所以()1,0F ,准线l 的方程为1x =-.因为与双曲线()222210,0x y a b a b=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且4AB OF =(为原点),所以2b AB a =,1OF =,所以24b a=,即2b a =, 所以225c a b a +=,所以双曲线的离心率为5ca==.故选D .2010-2018年1.B 【解析】由题可知双曲线的焦点在x 轴上,因为222314c a b =+=+=,所以2c =,故焦点坐标为(2,0)-,(2,0).故选B .2.B 【解析】因为双曲线2213-=x y 的渐近线方程为33=±y x ,所以60∠=MON .不妨设过点F 的直线与直线3=y 交于点M ,由∆OMN 为直角三角形,不妨设90∠=OMN ,则60∠=MFO ,又直线MN 过点(2,0)F ,所以直线MN 的方程为3(2)=-y x ,由2)⎧=-⎪⎨=⎪⎩y x y x,得32⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y3(,22M ,所以||==OM所以|||3==MN OM .故选B . 3.A 【解析】解法一由题意知,==ce a,所以=c,所以=b ,所以=b a=±=by x a,故选A .解法二由===c e a,得=ba,所以该双曲线的渐近线方程为=±=by x a.故选A . 4.C 【解析】不妨设一条渐近线的方程为by x a=, 则2F 到by x a =的距离d b ==, 在2Rt F PO ∆中,2||F O c =,所以||PO a =,所以1||PF =,又1||F O c =,所以在1F PO ∆与2Rt F PO ∆中,根据余弦定理得22212)cos cos 2a c aPOF POF ac c+-∠==-∠=-,即2223)0a c +-=,得223a c =.所以ce a==.故选C . 5.C 【解析】通解 因为直线AB 经过双曲线的右焦点,所以不妨取2(,)b A c a,2(,)b B c a -,取双曲线的一条渐近线为直线0bx ay -=,由点到直线的距离公式可得221bc b d c -==,222bc b d c +==, 因为126d d +=,所以226bc b bc b c c-++=,所以26b =,得3b =.因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2,所以2ca=,所以2224a b a+=,所以2294a a +=,解得23a =, 所以双曲线的方程为22139x y -=,故选C . 优解 由126d d +=,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以3b =.因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2,所以2ca=,所以2224a b a+=,所以2294a a +=,解得23a =, 所以双曲线的方程为22139x y -=,故选C . 6.A 【解析】双曲线C 的渐近线方程为0bx ay ±=,圆心(2,0)到渐近线的距离为2bd c==,圆心(2,0)到弦的距离也为d ==所以2b c =222c a b =+,所以得2c a =,所以离心率2ce a==,选A . 7.B【解析】由题意可得:b a =,3c =,又222a b c +=,解得24a =,25b =, 则C 的方程为2145x y 2-=.选B . 8.B 【解析】设(,0)F c -,双曲线的渐近线方程为b y x a =±,由44PF k c c-==-,由题意有4bc a=,又c a =222c a b =+,得b =,a =.选B .9.D 【解析】不妨设A 在第一象限,(,)A x y ,所以2242x y b y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩,解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 故四边形ABCD的面积为2324424bxy b b ===+,解得212b =.故所求的双曲线方程为2224=11x y -,选D . 10.A 【解析】由题意得22()(3)0m n m n +->,解得223m n m -<<,又由该双曲线两焦点间的距离为4,得M 2234m n m n ++-=,即21m =,所以13n -<<.11.A 【解析】设1(,0)F c -,将x c =-代入双曲线方程,得22221c y a b -=,化简得2by a=±,因为211sin 3MF F ∠=,所以222212112||tan ||222b MF b c a a MF F F F c ac ac -∠=====,12222c a e a c e -=-=210e --=,所以e =A . 12.D 【解析】由双曲线的标准方程2213y x -=得,右焦点(2,0)F ,两条渐近线方程为y =,直线AB :2x =,所以不妨设取(2,A,(2,B -,则||AB =,选D .13.B 【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==,即236PF -=,解得29PF =,故选B .14.D【解析】由题意1e ==2e ==∵()()b b m m b a a a m a a m +--=++,由于0m ,0a ,0b , 所以当a b 时,01b a <<,01b m a m +<<+,b b m a a m +<+,22()()b b m a a m+<+, 所以12e e <;当a b <时,1ba>,1b m a m +>+,而b b m a a m +>+,22()()b b m a a m +>+, 所以12e e >.所以当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e >.15.C 【解析】由题意,选项,A B 的焦点在x 轴,故排除,A B ,C 项的渐近线方程为2204y x -=,即2y x =±,故选C . 16.A 【解析】由题意知22a,21b ,所以23c,不妨设1(F,2F ,所以100(,)=--MF x y ,200(3,)=-MF x y ,又∵00(,)M x y 在双曲线上,所以220012x y -=,即220022x y =+,222120003310MF MF x y y ⋅=-+=-<,所以033-<<y ,故选A . 17.A 【解析】 由题意22(,0),(,),(,)b b A a B c C c a a-,由双曲线的对称性知D 在x 轴上,设(,0)D x ,由BD AC ⊥得221b b a a c x a c-⋅=---,解得42()b c x a c a -=-,所以42()b c x a a c a c a -=<=+-,所以42222b c a b a <-=221b a⇒<01b a ⇒<<,而双曲线的渐近性斜率为ba±,所以双曲线的渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)-,选A .18.A 【解析】双曲线方程为22133x y m -=,焦点F 到一条渐近线的距离为b =A . 19.A 【解析】∵09k <<,∴90,250k k ->->,本题两条曲线都是双曲线,又25(9)(25)9k k +-=-+,∴两双曲线的焦距相等,选A .20.A 【解析】 依题意得22225ba cc a b ,所以25a,220b ,双曲线的方程为221520x y .21.B 【解析】由双曲线的定义得12||||||2PF PF a -=,又12||||3PF PF b +=,所以22221212(||||)(||||)94PF PF PF PF b a +--=-,即124||||9PF PF ab =,因此22949b a ab -=,即299()40b b aa --=,则(31b a +)(34ba-)=0,解得41(33b b a a ==-舍去),则双曲线的离心率53e ==.22.C 【解析】由题知,2c a =,即54=22c a =222a b a +,∴22b a =14,∴b a =12±,∴C 的渐近线方程为12y x =±,故选C . 23.D 【解析】双曲线1C 的离心率是11cos e θ=,双曲线2C 的离心率是21cos e θ==,故选D . 24.A 【解析】设双曲线的焦点在x 轴上,则由作图易知双曲线的渐近线的离心率ba必须满足3b a <,所以21()33b a <≤,241()43b a<+≤,2<,又双曲线的离心率为c e a ==23e <≤. 25.C 【解析】∵双曲线22215x y a -=的右焦点为(3,0),∴2a +5=9,∴2a =4,∴a =2∵c =3,∴32c e a ==,故选C . 26.A 【解析】设双曲线C :22x a -22y b=1的半焦距为c ,则210,5c c ==.又C 的渐近线为b y x a =±,点P(2,1)在C 的渐近线上,12ba∴=,即2a b =.又222c a b =+,a ∴==,∴C 的方程为220x -25y =1.27.C 【解析】x y 222-=8可变形为22148x y -=,则24a =,2a =,24a =.故选C . 28.A 【解析】圆22:(3)4C x y -+=,3,c =而32bc =,则22,5b a ==,应选A . 29.C 【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±,故可知2a =.30.B 【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为by x a=±,由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1)得22p-=-,即4p =, 又∵42p a +=,∴2a =,将(-2,-1)代入by x a=得1b =,∴c ==2c =31.B 【解析】由双曲线E 的中心为原点,(3,0)P 是E 的焦点可设双曲线的方程为2222221(9)x y a b a b -=+=,设1122(,),(,)A x y B x y ,即 2222112222221,1x y x y a b a b -=-= 则22121222121212015115312y y x x b b x x a y y a -+-+=⋅=⋅==-+-+,则22225,5,44b b a a ===,故E 的方程式为22145x y -=.应选B . 32.D 【解析】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>,其渐近线为x aby ±=,∵点(4,2)-在渐近线上,所以12b a =,由2e ==. 33.C 【解析】由题意,F (-1,0),设点P 00(,)x y ,则有2200143x y +=, 解得22003(1)4x y =-, 因为00(1,)FP x y =+,00(,)OP x y =,所以2000(1)OP FP x x y ⋅=++=00(1)OP FP x x ⋅=++203(1)4x -=20034x x ++, 此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x =-,因为022x -≤≤,所以当02x =时,OP FP ⋅取得最大值222364++=,选C . 34.12y x =±【解析】由题意2a =,1b =,∴12b y x x a =±=±.35.2【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为b y x a =2b ==,所以222234b c a c =-=,得2c a =,所以双曲线的离心率2ce a==. 36.232a x c ==,渐近线的方程为3y x =±,设3(,22P,则3(,22Q -,1(2,0)F -,2(2,0)F , 所以四边形12F PF Q的面积为1211||||422F F PQ =⨯=. 37.3【解析】如图所示,AH MN ⊥,AM AN b ==,MAN ∠=60°, x所以30HAN ∠=,又MN 所在直线的方程为by x a=, (,0)A a 到MN的距离AH =,在Rt HAN ∆中,有cos HA HAN NA =,所以2==因为222c a b =+a c =,所以c e a ==.38.y x =【解析】设11(,)A x y ,22(,)B x y ,由抛物线的定义有1212||||22p p AF BF y y y y p +=+++=++,而||2p OF =, 所以1242py y p ++=⨯,即12y y p +=,由2222212x y a b x py⎧-=⎪⎨⎪=⎩得2222220a y pb y a b -+=,所以21222pb y y a +=, 所以222pb p a=,即a =,所以渐近性方程为2y x =±. 39.2【解析】221,a b m ==,所以1c a ==,解得2m =. 40.2【解析】不妨令B 为双曲线的右焦点,A 在第一象限,则双曲线图象如图∵OABC 为正方形,2=OA∴==c OB ,π4∠=AOB ∵直线OA 是渐近线,方程为=b y x a ,∴tan 1=∠=bAOB a又∵2228+==a b c ∴2=a41.2【解析】由题意||2BC c =,所以||3AB c =,于是点3(,)2cc 在双曲线E 上,代入方程,得2222914c c a b -=,在由222a b c +=得E 的离心率为2ce a==,应填2. 42.3【解析】因为双曲线()22210x y a a -=>的一条渐近线为y =,所以1a=故3a =. 43.2(,),(1)P x y x ≥,因为直线10x y -+=平行于渐近线0x y -=,所以c 的最大值为直线10x y -+=与渐近线0x y -== 44.32【解析】22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为b y x a =±,则2222(,)pb pb A a a ,2222(,)pb pb B a a -,22:2(0)C x py p =>的焦点(0,)2p F , 则22222AFpb pa a k pb b a-==,即2254b a =,2222294c a b a a +==,32c e a ==. 45.y x =±【解析】抛物线的准线2p y =-,与双曲线的方程联立得2222(1)4p x a b =+,根据已知得2222(1)4p a c b+= ①,由||AF c =得2224p a c += ②,由①②得22a b =,即a b =,所以所求双曲线的渐近线方程为y x =±.46.2【解析】联立直线方程与双曲线渐近线方程by x a=±可解得交点为(,)33am bm A b a b a --,(,)33am bm B b a b a -++,而13AB k =,由||||PA PB =,可得AB 的中点3333(,)22am am bm bmb a b a b a b a -+-+-+与点)0,(m P 连线的斜率为-3,可得224b a =,所以e =47.221312x y -= 2y x =±【解析】设与2214y x -=具有相同渐近线的双曲线C 的方程为224y x k -=,将点()2,2代入C 的方程中,得3k =-.∴双曲线的方程为221312x y -=,渐近线方程为2y x =±.48.45【解析】。
解析几何中的曲线与双曲线
解析几何中的曲线与双曲线几何学是数学中的一个重要分支,主要研究空间中的图形和形状。
而解析几何则是将几何问题用坐标和代数方法进行描述和解决的一种方法。
在解析几何中,曲线是一个重要的概念,而双曲线则是曲线中的一种特殊类型。
本文将会对曲线与双曲线进行详细的解析和分析。
一、曲线的定义与特点在解析几何中,曲线是指由一系列点组成的连续图形。
通常我们可以通过方程来表示和描述曲线。
曲线有许多种类,包括直线、圆、椭圆、双曲线等等。
不同类型的曲线具有不同的数学模型和特点。
对于一条曲线来说,我们可以通过以下几个要素来描述它:1. 方程:我们可以通过一个数学方程来表示曲线。
例如,对于直线来说,它的方程可以写成y = kx + b的形式;对于圆来说,它的方程可以写成(x-a)² + (y-b)² = r²的形式。
2. 曲线的形状:通过观察曲线的形状,我们可以了解到曲线是直线、圆、椭圆还是双曲线等等。
3. 相对位置:我们可以通过曲线与坐标轴的相交关系来了解曲线在空间中的位置。
4. 参数方程:有些复杂的曲线需要用参数方程来进行描述,参数方程可以用一组参数来描绘曲线上的每一个点。
二、双曲线的定义与性质双曲线是解析几何中的一种重要曲线,它是由两个分离的曲线组成的。
双曲线的方程通常可以写成下面的形式:(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1 或者 (y-k)²/b² - (x-h)²/a² = 1其中(a, b)为椭圆的中心点,而a,b则分别为椭圆沿x轴和y轴的半轴长度。
双曲线有以下几个重要性质:1. 双曲线的中心点:双曲线的中心点为(h, k)。
2. 对称轴:双曲线包含两条对称轴,分别是以中心点为中心的水平对称轴和垂直对称轴。
3. 渐近线:双曲线还有两条渐近线,它们是双曲线与其两个分支的切线。
双曲线的形状和特点取决于参数a和b的大小和正负。
双曲线的基本知识点总结
双曲线的基本知识点总结双曲线是高中数学中的一种常见曲线,它是解析几何学中的重要内容。
双曲线的研究对于理解曲线的性质和方程的解有着重要意义。
下面,我将从定义、性质、图像和方程等方面对双曲线的基本知识点进行总结。
一、定义:双曲线可以由平面上满足一定条件的点构成,其定义可以有多种形式。
一种常见的定义是:给定一个定点F(称为焦点)和一条直线l(称为准线),满足对于平面上的任意点P,其到焦点的距离减去其到准线的距离的差值始终等于常数e(即PF - PD = e,其中PD是点P到直线l的距离),那么P的轨迹就是双曲线。
二、性质:1. 双曲线具有对称性,关于焦点和准线对称。
2. 双曲线有两支,称为左支和右支,两支之间不存在交点。
3. 双曲线与两条渐近线相切于无穷远处。
4. 双曲线没有中心点,也没有对称轴。
5. 双曲线的曲度半径大于0,二阶导数也大于0。
三、图像:双曲线的图像可以通过绘制焦点和准线来直观地理解。
对于焦点F(x0, y0)和准线y = a,我们可以通过确定其参数a和e来绘制双曲线的图像。
当参数e小于1时,双曲线的形状较为“扁平”,焦点与准线的距离较小;当参数e等于1时,双曲线的形状较为“标准”,焦点与准线的距离相等;当参数e大于1时,双曲线的形状较为“瘦长”,焦点与准线的距离较大。
四、方程:双曲线的方程可以通过焦点、准线和参数e来确定。
根据双曲线的定义可以得到,双曲线的方程为R = √(x^2 + y^2) ±e√(x^2 - y^2)。
其中,正号对应左支,负号对应右支。
当焦点在x轴上时,双曲线的方程为y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1;当焦点在y轴上时,双曲线的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
其中,a和b分别表示双曲线横轴和纵轴的长度。
综上所述,双曲线作为解析几何学中的重要内容,具有许多基本知识点。
我们可以通过对双曲线的定义、性质、图像和方程的研究,来深入理解双曲线的性质和特点。
解析几何中的双曲线与抛物线
解析几何中的双曲线与抛物线几何学是数学的一个重要分支,而解析几何则是几何学中的一个重要领域。
在解析几何中,双曲线与抛物线是两个常见的曲线类型。
本文将对双曲线与抛物线进行解析,并探讨它们的性质和应用。
一、双曲线双曲线是解析几何中的一类曲线,其定义是平面上满足特定方程的点的集合。
双曲线的方程通常可以写成以下形式:$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$,其中A、B、C、D、E、F是常数。
双曲线有两个分支,分别位于曲线的两侧。
它的形状类似于两个打开的弓形,因此得名双曲线。
双曲线的两个分支在无穷远处相交于两个渐近线,这两条渐近线的斜率分别是$\sqrt{\frac{C}{A}}$和$-\sqrt{\frac{C}{A}}$。
双曲线具有许多重要的性质。
首先,双曲线是非封闭曲线,其两个分支无限延伸。
其次,双曲线在原点处对称,即满足方程的点$(x, y)$和$(-x, -y)$在曲线上对称。
此外,双曲线还具有与焦点和准线相关的特性,这使得它在光学、天文学和工程学等领域有着广泛的应用。
二、抛物线抛物线是另一类常见的曲线,其定义也是满足特定方程的点的集合。
一般来说,抛物线的方程可以写成以下形式:$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$,其中A、B、C、D、E、F是常数。
抛物线的形状类似于一个开口朝上或朝下的弓形。
抛物线在平面上关于一个对称轴对称,这个对称轴通常与y轴或x轴平行。
抛物线还有一个焦点和一个准线,这两者的位置与抛物线的方程有关。
抛物线具有许多重要的性质。
首先,抛物线是封闭曲线,其两端无限延伸。
其次,抛物线在对称轴上有一个最高点或最低点,称为顶点。
顶点是抛物线的关键特征,对于很多问题的求解都起到了重要的作用。
另外,抛物线还具有焦距和准线之间的关系。
焦距是从焦点到抛物线上任意一点的距离,而准线是与焦点相对称的直线。
抛物线上的每个点都满足焦点和准线之间的距离关系,这被称为焦准关系。
双曲线知识点讲解
双曲线知识点讲解双曲线在数学中是一个非常重要的曲线形状。
它具有许多有趣的特性和应用。
在本文中,我们将逐步介绍双曲线的定义、基本性质和一些常见的应用。
1. 双曲线的定义双曲线定义为平面上的点P到两个给定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a。
也就是说,对于平面上的任意点P,有|PF1 - PF2| = 2a。
这两个给定点称为焦点,常数2a称为双曲线的离心率。
双曲线可以用参数方程表示为x = a * cosh(t)和y = b * sinh(t),其中a和b分别表示双曲线的半轴长度,cosh(t)和sinh(t)分别是双曲函数的余弦和正弦函数。
2. 双曲线的基本性质双曲线具有许多有趣的性质,以下是其中一些重要的性质:•双曲线是对称的:双曲线关于x轴和y轴都是对称的,即当(x, y)在双曲线上时,(-x, y)、(x, -y)和(-x, -y)也在双曲线上。
•双曲线的渐近线:双曲线有两条渐近线,分别是x = a和x = -a。
当x 趋近于正无穷大或负无穷大时,双曲线趋近于这两条直线。
•双曲线的焦点和直线关系:双曲线上的任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a,即|PF1 + PF2| = 2a。
•双曲线的离心率:离心率e是双曲线的一个重要参数,它等于焦点与顶点之间的距离与顶点到中心的距离的比值,即e = c/a,其中c为焦点到中心的距离。
3. 双曲线的应用双曲线在物理学、工程学和经济学等领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用:•光学抛物面:双曲线是抛物面的一种特殊情况。
抛物面经常用于天文望远镜和抛物面反射器等光学设备中。
双曲线的抛物面形状可以将平行光线聚焦到一个点上。
•交通流动:交通工程中的交叉口设计通常使用双曲线形状来保证车辆在转弯时平稳过渡。
双曲线的曲率变化较为平缓,能够减小车辆转弯时的离心力。
•经济学中的边际效用曲线:在经济学中,边际效用曲线描述了消费者对不同数量商品的边际效用变化。
双曲线知识点图表总结
双曲线知识点图表总结双曲线是一种常见的曲线形状,它在数学、物理、工程和其他领域中都有广泛的应用。
双曲线有许多重要的性质和特征,本文将对双曲线的定义、性质、公式、图形以及在不同领域中的应用进行详细的总结和分析。
1. 双曲线的定义双曲线是平面上的一种曲线形状,其数学定义是一个平面上的一组点,它们满足以下方程:x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
其中a和b分别为双曲线的两个参数,双曲线可以是水平、垂直或者倾斜的。
2. 双曲线的性质双曲线有许多重要的性质,其中一些最重要的包括:- 双曲线有两条渐近线,分别是x=a和x=-a。
- 双曲线关于x轴和y轴对称。
- 在双曲线的右支部分,x>0,y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1,y>0。
- 在双曲线的左支部分,x<0,y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1,y>0。
3. 双曲线的公式双曲线的标准方程是x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1,其中a和b分别为双曲线的两个参数。
可以通过调整a和b的值来改变双曲线的形状和大小。
另外,还有其他形式的双曲线方程,如y=a*sinh(x)和x=a*cosh(y),它们也可以表示双曲线。
4. 双曲线的图形在坐标系中,双曲线通常呈现出一种开口向左或向右的形状,双曲线的形状会随着参数a和b的变化而变化。
双曲线的图形可以通过绘制其标准方程或其他形式的方程来显示。
5. 双曲线在数学中的应用双曲线在数学中有许多重要的应用,其中一些包括:- 双曲线是解析几何中的重要对象,它在描述曲线的形状和性质时有着重要的作用。
- 双曲函数sinh(x)和cosh(x)分别是双曲线的正弦和余弦函数,在微积分和其他数学领域中有广泛的应用。
6. 双曲线在物理中的应用双曲线在物理中也有许多重要的应用,其中一些包括:- 双曲线是描述电磁场和引力场中的曲线轨迹的重要工具,在物理学中有重要的应用。
- 双曲线的性质和特征常常用于描述波动、震荡和振动等现象。
平面解析几何中的双曲线
平面解析几何中的双曲线正文:平面解析几何中的双曲线一、引言平面解析几何是数学的一个重要分支,涉及到直线、圆、椭圆、抛物线和双曲线等各种图形。
在本教案中,我们将重点探讨双曲线的性质和应用。
二、基本概念1. 双曲线的定义双曲线是平面上一类特殊的曲线,其定义形式为x²/a² - y²/b² = 1,其中a和b是正常数。
双曲线可分为两支,互相对称,且与坐标轴的交点称为焦点。
2. 双曲线的焦点和准线双曲线的焦点是指离曲线上的点到准线的距离和离焦点的距离之差为常数。
准线是指离焦点的距离等于另一个焦点到该点的距离。
3. 双曲线的离心率双曲线的离心率是一个标志性指标,用来描述焦点和准线之间的关系。
其计算公式为e = c/a,其中c表示焦点到原点的距离。
三、双曲线的性质1. 对称性双曲线是关于y轴和x轴的对称图形。
如果曲线的方程是y²/a² -x²/b² = 1,则它是关于y轴对称的;如果方程是x²/a² - y²/b² = 1,则它是关于x轴对称的。
2. 渐近线双曲线有两条渐近线,分别与曲线趋近的方向平行。
渐近线的方程为y = ±(b/a)x。
当x趋近于无穷大时,曲线趋近于渐近线。
3. 焦点和准线之间的关系双曲线的焦点和准线之间的距离等于离心率e乘以焦点到原点的距离。
即c = ae。
4. 双曲线的离点和离线双曲线上每一个点到焦点的距离与到准线的距离之差等于定值2a,即PF - PD = 2a,其中PF表示点到焦点的距离,PD表示点到准线的距离。
四、双曲线的应用双曲线在现实生活中有许多应用,以下举几个例子:1. 双曲线凸面镜:双曲线曲面的反射特性使得双曲线凸面镜能够聚焦光线,被广泛应用于望远镜和汽车的后视镜等光学设备中。
2. 无线电接收器的天线:双曲线天线由摇杆形状的天线组成,其形状与双曲线曲线非常相似,能够帮助接收无线电信号。
解析几何中的双曲线与双曲函数
解析几何中的双曲线与双曲函数双曲线与双曲函数是解析几何中的重要概念,它们在数学和科学研究中有着广泛的应用。
本文将对双曲线和双曲函数进行解析,包括定义、性质以及应用等方面的内容。
一、双曲线的定义与性质双曲线是与椭圆和抛物线类似的一类曲线,其定义可以通过几何和代数两种方法解释。
从几何的角度来看,双曲线是一个平面上的曲线,其到两个定点的距离之差的绝对值等于一个常数。
这两个定点通常被称为焦点,常数称为离心率。
双曲线可以分为两支,具体形状取决于焦点和离心率的取值。
从代数的角度来看,双曲线的定义可以用方程来表示。
一般而言,双曲线的方程形式可以写为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1或者 (x^2/a^2) -(y^2/b^2) = -1。
其中,a和b分别代表两条双曲线的横轴和纵轴的长度。
双曲线具有以下几个性质:1. 双曲线与其渐近线的交点:双曲线的两条渐近线是曲线无限延伸时的趋势线,与双曲线相交于无穷远处。
这两条直线与双曲线的位置关系也可以反映双曲线的形状。
2. 双曲线的对称性:双曲线具有关于坐标轴的对称性,即关于横轴对称或者关于纵轴对称。
这种对称性在进行双曲线的图形绘制和计算时十分有用。
3. 双曲线的渐近线方程:双曲线的渐近线方程可以通过求解双曲线的平行于渐近线的直线方程得到。
渐近线方程的斜率与双曲线的参数有关,可以用来判断双曲线的形状。
二、双曲函数的定义与性质双曲函数是指与双曲线相关的一类函数,包括双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数等。
双曲函数的定义可以通过双曲线上的点坐标来解释。
具体而言,对于双曲线上的一点P(x, y),可以定义双曲正弦函数sinh(x)为点P在双曲线的同一纵坐标处的点的横坐标值,双曲余弦函数cosh(x)为点P在双曲线的同一横坐标处的点的纵坐标值,双曲正切函数tanh(x)为点P的纵坐标值除以横坐标值。
双曲函数具有以下几个性质:1. 双曲函数的定义域和值域:双曲函数的定义域为实数集R,值域为实数集R。
解析几何双曲线课件文
详细描述
双曲线的离心率定义为e=(c-a)/b,其中c是焦点到中心的距离,a是顶点到中心 的距离,b是底点到中心的距离。离心率描述了双曲线与坐标轴的距离变化规律 。
双曲线的焦点与准线
总结词
双曲线的焦点和准线是双曲线点P到定点F的距离与到定 直线l的距离之比为小于1的常数 ,那么P点的轨迹是双曲线。
双曲线的标准方程
焦点位于x轴上,标准方程为
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)
焦点位于y轴上,标准方程为
y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)
详细描述
双曲线的焦点位于x轴上,坐标为(-c,0)和(c,0),其中c是焦点 到中心的距离。准线是与双曲线相切的直线,其方程为 x=±a',其中a'是顶点到中心的距离。
双曲线的几何性质
范围
双曲线在x轴和y轴上的 投影都是无边界的。
对称性
双曲线既是中心对称图 形,也是轴对称图形。
顶点
双曲线与它的焦点连线 所形成的两条线段的中 点都在双曲线的顶点上
。
实轴虚轴
在双曲线中,实轴和虚 轴是相互垂直的,实轴 的长度等于两个焦点的
距离。
02
双曲线的性质研究
双曲线的离心率
总结词
解析几何双曲线课件文
汇报人: 日期:
目录
• 双曲线的基本概念 • 双曲线的性质研究 • 双曲线的方程与图像 • 双曲线与直线的交点问题 • 双曲线在实际生活中的应用
01
双曲线的基本概念
双曲线的定义
中学数学 专题九 解析几何第二十七讲 双曲线
专题九 解析几何第二十七讲 双曲线2019年1.(2019全国III 理10)双曲线C :2242x y -=1的右焦点为F ,点P 在C 的一条渐进线上,O 为坐标原点,若=PO PF ,则△PFO 的面积为A B C . D .2.(2019江苏7)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 .3.(2019全国I 理16)已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若1F A AB =uuu r uu u r ,120F B F B ⋅=uuu r uuu r,则C 的离心率为____________.4.(2019年全国II 理11)设F 为双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ,Q 两点.若PQ OF =,则C 的离心率为ABC .2D 5.(2019浙江2)渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A B .1CD .26.(2019天津理5)已知抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且||4||AB OF =(O 为原点),则双曲线的离心率为C.22010-2018年一、选择题1.(2018浙江)双曲线2213x y -=的焦点坐标是A .(,B .(2,0)-,(2,0)C .(0,,D .(0,2)-,(0,2)2.(2018全国卷Ⅰ)已知双曲线C :2213-=x y ,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若∆OMN 为直角三角形,则||MN =A .32B .3C .D .43.(2018全国卷Ⅱ)双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a bA .=yB .=yC .=y xD .=y 4.(2018全国卷Ⅲ)设1F ,2F 是双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,O 是坐标原点.过2F 作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P .若1|||PF OP =,则C 的离心率为AB .2CD5.(2018天津)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点.设A ,B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d , 且126d d +=,则双曲线的方程为A .221412x y -= B .221124x y -= C .22139x y -= D .22193x y -=6.(2017新课标Ⅱ)若双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为2,则C 的离心率为A .2BC D7.(2017新课标Ⅲ)已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点,则C 的方程为 A .221810x y -= B .22145x y -= C .22154x y -= D .22143x y -=8.(2017天津)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F .若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为A .22144x y -=B .22188x y -=C .22148x y -=D .22184x y -= 9.(2016天津)已知双曲线222=1(0)4x y b b->,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点,四边形的ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为A .22443=1y x -B .22344=1y x -C .2224=1x y b -D .2224=11x y - 10.(2016年全国I)已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是A .(–1,3)B .(–1,3)C .(0,3)D .(0,3)11.(2016全国II)已知1F ,2F 是双曲线E :22221x y a b-=的左、右焦点,点M 在E 上,1MF 与x 轴垂直,211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为A B .32C D .2 12.(2015四川)过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于,A B 两点,则AB =A B . C .6 D .13.(2015福建)若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线E 上,且13PF =,则2PF 等于A .11B .9C .5D .314.(2015湖北)将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则A .对任意的,a b ,12e e >B .当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e <C .对任意的,a b ,12e e <D .当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e > 15.(2015安徽)下列双曲线中,焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是A .2214y x -= B .2214x y -= C .2214y x -= D .2214x y -= 16.(2015新课标1)已知00(,)M x y 是双曲线C :2212x y -=上的一点,12,F F 是C 的两个焦点,若120MF MF ⋅<,则0y 的取值范围是A .(B .(C .(D .( 17.(2015重庆)设双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的右焦点为F ,右顶点为A ,过F作AF 的垂线与双曲线交于,B C 两点,过,B C 分别作,AC AB 的垂线,两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a 则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是A .(1,0)(0,1)-∪B .(,1)(1,)-∞-+∞∪C .∪D .(,1))-∞-∞∪18.(2014新课标1)已知F 是双曲线C :223(0)x my m m -=>的一个焦点,则点F 到C的一条渐近线的距离为A B .3 C D .3m19.(2014广东)若实数k 满足09k <<,则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A .焦距相等 B .实半轴长相等 C .虚半轴长相等 D .离心率相等20.(2014天津)已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l :210y x =+,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为 A .221520x y -= B .221205x y -= C .2233125100x y -= D .2233110025x y -= 21.(2014重庆)设21F F ,分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点,双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为 A .34 B .35 C .49D .322.(2013新课标1)已知双曲线C :22221x y a b-=(0,0a b >>C的渐近线方程为A .14y x =± B .13y x =± C .12y x =± D .y x =± 23.(2013湖北)已知04πθ<<,则双曲线1C :22221cos sin x y θθ-=与2C :22sin y θ2221sin tan y θθ-=的 A .实轴长相等 B .虚轴长相等 C .焦距相等 D . 离心率相等 24.(2013重庆)设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ,使1122A B A B =,其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是A .2]B .2)C .)+∞D .)+∞ 25.(2012福建)已知双曲线22215x y a -=的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于A .14B .4 C .32D .4326.(2012湖南)已知双曲线C :22x a -22y b=1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为A .220x -25y =1B .25x -220y =1C .280x -220y =1 D .220x -280y =1 27.(2011安徽)双曲线x y 222-=8的实轴长是A .2B .C .4D .28.(2011山东)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为A .22154x y -=B .22145x y -=C .22136x y -=D .22163x y -= 29.(2011湖南)设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=,则a 的值为 A .4 B .3 C .2 D .130.(2011天津)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--,则双曲线的焦距为A .B .C .D .31.(2010新课标)已知双曲线E 的中心为原点,(3,0)P 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于A ,B 两点,且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为A .22136x y -= B .22145x y -= C .22163x y -= D .22154x y -= 32.(2010新课标)中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)-,则它的离心率为A B C .2 D .233.(2010福建)若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP FP ⋅的最大值为A .2B .3C .6D .8 二、填空题34.(2018上海)双曲线2214x y -=的渐近线方程为 . 35.(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为2c ,则其离心率的值是 . 36.(2017江苏)在平面直角坐标系xOy 中 ,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是1F ,2F ,则四边形12F PF Q 的面积是 .37.(2017新课标Ⅰ)已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ,以A 为圆心,b 为半径做圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若MAN ∠=60°,则C 的离心率为________.38.(2017山东)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>,的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若||||4||AF BF OF +=,则该双曲线的渐近线方程为 .39.(2017北京)若双曲线221y x m-=m =_________.40.(2016年北京)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为正方形OABC 的边,OA OC所在的直线,点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2,则a =______.41.(2016山东)已知双曲线E :22221x y a b-=(0,0)a b >>,若矩形ABCD 的四个顶点在E上,AB ,CD 的中点为E 的两个焦点,且2||3||AB BC =,则E 的离心率是 .42.(2015北京)已知双曲线()22210x y a a-=>0y +=,则a = .43.(2015江苏)在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点.若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立,则是实数c 的最大值为 .44.(2015山东)平面直角坐标系xOy 中,双曲线1C :22221x y a b-=(0,0)a b >>的渐近线与抛物线2C :22x py =(0p >)交于,,O A B ,若△OAB 的垂心为2C 的焦点,则1C 的离心率为_______.45.(2014山东)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ,右顶点为A ,抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ,且||FA c =,则双曲线的渐近线方程为 .46.(2014浙江)设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A ,B ,若点(,0)P m 满足||||PA PB =,则该双曲线的离心率是____.47.(2014北京)设双曲线C 经过点()2,2,且与2214y x -=具有相同渐近线,则C 的方程为________;渐近线方程为________.48.(2013陕西)双曲线221169x y -=的离心率为 .49.(2014湖南)设F 1,F 2是双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点.若在C 上存在一点P ,使PF 1⊥PF 2,且∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为_________.50.(2013辽宁)已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点,,P Q 为C 上的点,若PQ 的长等于虚轴长的2倍,点(5,0)A 在线段PQ ,则PQF ∆的周长为 .51.(2012辽宁)已知双曲线122=-y x ,点21,F F 为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,若21PF PF ⊥,则21PF PF +的值为 .52.(2012天津)已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线,且1C 的右焦点为F ,则a = b = .53.(2012江苏)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22214x y m m -=+则m 的值为 .54.(2011山东)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和椭圆221169x y +=有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 .55.(2011北京)已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线的方程为2y x =,则b = .三、解答题56.(2014江西)如图,已知双曲线C :2221x y a-=(0a >)的右焦点F ,点B A ,分别在C的两条渐近线上,x AF ⊥轴,BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点).(1)求双曲线C 的方程;(2)过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:020=-y y axx l 与直线AF 相交于点M ,与直线23=x 相交于点N ,证明:当点P 在C 上移动时,NFMF 恒为定值,并求此定值.57.(2011广东)设圆C 与两圆2222(4,(4x y x y ++=+=中的一个内切,另一个外切.(1)求C 的圆心轨迹L 的方程;9、历史使人贤明,诗造成气质高雅的人,数学使人高尚,自然哲学使人深沉,道德使人稳重,而伦理学和修辞学则使人善于争论。
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专题九解析几何第二十七讲双曲线2019 年1.(2019 全国III 理10)双曲线C:x y =1 的右焦点为F,点P 在C 的一条渐进线2 2 4 2 上,O 为坐标原点,若PO = PF ,则△PFO 的面积为A.3 24 B.3 2 2C.2 2D.3 2 2.(2019 江苏7)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线y2 2 x2 1(b 0)经过点(3,4),b则该双曲线的渐近线方程是. x2 y2 3.(2019 全国I 理16)已知双曲线C:2 2 ab1( 0, 0) a b 的左、右焦点分别为F1,F2,过F1 的直线与C 的两条渐近线分别交于A,B 两点.若 F A AB ,F B F B ,则C 的1 12 0 离心率为____________.4.(2019 年全国II 理11)设F 为双曲线C:x2 2 y2 2 a1( 0, 0) a b 的右焦点,O 为坐标b原点,以OF 为直径的圆与圆x2 y2 a2 交于P,Q 两点.若PQ OF ,则C 的离心率为A.2 B.3 C.2 D.5 5.(2019 浙江2)渐近线方程为x±y=0 的双曲线的离心率是A.22B.1 C.2 D.2 2 6. (2019 天津理5 )已知抛物线y 4x 的焦点为F ,准线为l ,若l 与双曲线x2 y2 的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且| AB | 4 | OF |(O 为2 2 a b 1 ( 0, 0) a b原点),则双曲线的离心率为A. 2 B. 3 1 C. 2 D. 52010-2018 年一、选择题1.(2018 浙江)双曲线x y2 1的焦点坐标是2 3 A.( 2,0),( 2, 0) C.(0, 2),(0, 2)2.(2018 全国卷Ⅰ)已知双曲线C :B.(2, 0) ,(2, 0) D.(0,2) ,(0, 2) x y2 1,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F2 3 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN 为直角三角形,则| MN |=A.32B.3 xC.2 3 D.4 3.(2018 全国卷Ⅱ)双曲线2 y2A.y 2xa b B.y 3x2 2 1(a 0, b 0) 的离心率为3 ,则其渐近线方程为C.2 y2 x y2 23 x D.y 2 x4.(2018 全国卷Ⅲ)设F ,F 是双曲线C :2 1 22 a2 b1( 0, 0) a b 的左、右焦点,O 是| PF | 6 | OP | ,则C 的1 坐标原点.过 F 作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P .若离心率为A.5 B.2 xC.3 D.2 5.(2018 天津)已知双曲线2 y2 a2 2 1(a 0, b 0) 的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴b的直线与双曲线交于 A ,B 两点.设 A ,B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为d 和d ,1 2 且d d ,则双曲线的方程为1 2 6 x y2 2 A.B.x yx y2 2 D.x y2 2 1 1 1 1 4 12 12 43 9 9 3 2x6.(2017 新课标Ⅱ)若双曲线C :2 y2 2 2 1( a2 2 0, 0) 的一条渐近线被圆a bb(x 2) y 4所截得的弦长为2,则C 的离心率为A.2 B.3 C.2 D.2 3 3 5 y2 x , x y2 2 1( a0, b的一条渐近线方程为7.(2017 新课标Ⅲ)已知双曲线C :2 2 0) a b x y 有公共焦点,则C 的方程为2 2 且与椭圆A.x y2 23 B.x y2 2 C.x y2 2 D.x y2 2 1 8 10 8.(2017 天津)已知双曲线x2 1 4 y2 1 5 4 43 1 5 a2 2 1(a 0,b 0) 的左焦点为F ,离心率为2 .若经b过F 和P(0, 4) 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为x y2 2 A.B.x y2 2 C.x y2 2 D.x y2 2 1 4 4 x2 1 8 y2 1 4 8 8 4 1 8 9.(2016 天津)已知双曲线=1(b 0) ,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长2 的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点,四边形的ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为A.x2 B.x C.x y23y 4 2 2 4 =1 4 x2 2 4y3 2 2 x y =1 2 2=1 y2 =1 b2 D.4 4 12 10.(2016 年全国I)已知方程2 1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距m n 3m n离为4,则n 的取值范围是A.(–1,3) 11.(2016 全国II)已知F , 1 B.(–1, 3)C.(0,3) xy2 2 D.(0, 3) F 是双曲线E :22 2 的左、右焦点,点M 在E 上,MF 与1 1x 轴垂直,sin1 MF F ,则E 的离心率为2 1 a b3 3A.2 B.3 2C.3 D.2 12.(2015 四川)过双曲线y2 2 x3 近线于A, B 两点,则AB1的右焦点且与x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐A.4 33 B.2 3C.6 D.4 3 点P 在双曲线E 上, F F,1, 213.(2015 福建)若双曲线x y2 2 E : 9 16 1 的左、右焦点分别为且PF1 3,则PF 等于2 A.11 B.9 1 C.5 1 D.3 14.(2015 湖北)将离心率为 e 的双曲线 C 的实半轴长a 和虚半轴长b (a b) 同时增加m (m 0)个单位长度,得到离心率为e 的双曲线C ,则2 2 A.对任意的a, b ,e e1 2 B.当a b 时,e e ;当a b 时,e e1 2 1 2 C.对任意的a, b ,e e1 2 D.当a b 时,e e ;当a b 时,e e1 2 1 2 15.(2015 安徽)下列双曲线中,焦点在y 轴上且渐近线方程为y 2x 的是A.y2 2 x2 y2 1 C.y2 x2 1D.x2 2 x4 1 B.4 4 y4 1 x y2 1上的一点, F F 是C 的两16.(2015 新课标1)已知M (x , y ) 是双曲线C :2 1, 2 0 0y 的取值范围是个焦点,若MF1 MF2 0 ,则0 2 A.( 3 3 , ) 3 3 B.( 3 , 3) 6 6 2 2 2 2 C.( , ) 3 3 D.( 2 3 , 2 3) 3 3 17.(2015 重庆)设双曲线x y2 2 2 2 1 (a 0,b 0 )的右焦点为F ,右顶点为A ,过Fab作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点,过B,C 分别作AC, AB 的垂线,两垂线交于点4D .若D 到直线BC 的距离小于aaA.(1, 0)∪(0,1) C.( 2, 0)∪(0, 2) 2 b,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是,1)∪(1,) ,1)∪( 2, )my2 2 B.(D.(2 18.(2014 新课标1)已知F 是双曲线C :x的一条渐近线的距离为A.3 B.3 3m(m 0)的一个焦点,则点F 到CC.3mx2 D.3m19.(2014 广东)若实数k 满足0 k 9,则曲线y2 x1 与曲线y2 2 25 9 kA.焦距相等B.实半轴长相等xC.虚半轴长相等25 k9 1 的D.离心率相等20.(2014 天津)已知双曲线2 y -2 =2 2 a1 (a > 0,b > 0)的一条渐近线平行于直线l :by = 2x + 10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为A.x2 y -2 x= 1 2 y2 12 B.C.5 20 3x 3y2 - =20 5 3x 3y 12 2 - 25 100 = 1 D.- = 100 25 y2 x2 21.(2014 重庆)设F1,F 分别为双曲线2 1( 0, 0) a b的左、右焦点,双曲线2 a上存在一点P 使得1 2 b9 ab, 则该双曲线的离心率为| PF b PF PF| PF | | 3 ,| || |2 1 2 4 4 A.5 B.9 C.D.3 3 3 4 x22.(2013 新课标1)已知双曲线C :y2 ,则C22 a(a 0,b 0 )的离心率为5 2 1 b 2 的渐近线方程为A.y xB.1 4 1 y x3C.23.(2013 湖北)已知0 1 y x 2 x2 2 D.y xy2 2y2 ,则双曲线C :4 1 1 与C :2 cos sinsin2 5y22 2 1的sin tanA.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等24.(2013 重庆)设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相较于点O 、所成的角为600的直线 A B 和 A B ,使 A B A B ,其中A 、B 和 A 、B2 2 分别是这对直线与双1 1 1 12 2 1 1 2 2 曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是2 32 32 3 A.( ,2] B.3 [ , 2)D.[2 3 , ) 3 ( , )C.3 3 25.(2012 福建)已知双曲线xy2 2 2 1的右焦点为(3, 0) ,则该双曲线的离心率等于aA.3 14 B. 3 25 314 4 C.2 D.43 x 2 -y =1 的焦距为10 ,点P(2,1)在C 的渐近线上,2 226.(2012 湖南)已知双曲线C :ba2 则C 的方程为Ax y=1 x y=1x y.22 =1 x y22 2 5 B.2 20 C.2 20 D.2 80 20 5 80 20 27.(2011 安徽)双曲线xy的实轴长是A.B.C.D.28.(2011 山东)已知双曲线xy2 2 2 2 1( 0, 0) a b 的两条渐近线均和圆abC : x y 6x 5 0 相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为2 2A.x yB.x yC.x yD.x y2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 5 4 4 53 6 6 3 29.(2011 湖南)设双曲线xy2 2 =1 2 1(a 9 0) 的渐近线方程为3x 2y 0 ,则a 的值为aA.4 B.3 C.2 D.1 630.(2011 天津)已知双曲线x2 y2 2 2 1( a0, 0) 的左顶点与抛物线y2 2px( p 0) a bb的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1),则双曲线的焦距为A.2 3 B.2 5 C.4 3 D.4 5 31.(2010 新课标)已知双曲线E 的中心为原点,P(3, 0) 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于A ,B 两点,且AB 的中点为N(12,15),则E 的方程式为x y2 2 A.B.x y2 2 C.x y2 2 D.x y2 2 13 645 16 3 1 5 4 1 32.(2010 新课标)中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2) ,则它的离心率为A.6 B.5 C.62 2 2 D.5 2 33.(2010 福建)若点O 和点F 分别为椭圆x y 的中心和左焦点,点P 为椭圆上的1 4 任意一点,则OP FP 的最大值为A.2 二、填空题34.(2018 上海)双曲线x y2 1的渐近线方程为2 3 B.3 C.6 D.8 .4 35.(2018 江苏)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x2 2 y2 2F(c,0) 到一条渐近线的距离为3a1( 0, 0) a b 的右焦点.b2 c ,则其离心率的值是36.(2017 江苏)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x y2 1的右准线与它的两条渐近2 线分别交于点P ,Q ,其焦点是 F ,F ,则四边形 F PF Q 的面积是1 2 3 .1 2x37.(2017 新课标Ⅰ)已知双曲线C :2 y2 a2 2 1(a 0,b 0) 的右顶点为A ,以A 为圆b心,b 为半径做圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若MAN =60°,则C 的离心率为________.38.(2017 山东)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x2 y2 a2 2 1(a 0,b 0) 的右支与焦b点为F 的抛物线x2 2py(p 0) 交于A ,B 两点,若| AF | | BF | 4 | OF |,则该双曲线的渐近线方程为39.(2017 北京)若双曲线.y2 2 x m40.(2016 年北京)双曲线x2 2 1的离心率为3 ,则实数m=_________.2 y2 a1(a 0,b 0) 的渐近线为正方形OABC 的边OA,OCb所在的直线,点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2,则a =______.x2 y2 41.(2016 山东)已知双曲线E :2 2 ab1 (a 0,b 0) ,若矩形ABCD 的四个顶点在E. 上,AB ,CD 的中点为E 的两个焦点,且2 | AB | 3| BC | ,则E的离心率是x2 42.(2015 北京)已知双曲线ya2.2 的一条渐近线为3x y 0 ,则a 1 a 0 43.(2015 江苏)在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线x2 y2 1右支上的一个动点.若点P 到直线x y 1 0 的距离大于c 恒成立,则是实数c 的最大值为.x2 1 y2 44.(2015 山东)平面直角坐标系xOy 中,双曲线C :2 2 1 (a 0,b 0) 的渐近线a bC 的焦点,则C 的与抛物线C :x 2py ( p 0)交于O, A, B ,若△OAB 的垂心为2 2 2 1 离心率为_______.45.(2014 山东)已知双曲线x2 2 2 2 ab1( 0, 0) a b 的焦距为2c ,右顶点为A ,抛物线x2 2py(p 0) 的焦点为F ,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ,且| FA| c,则双曲线的渐近线方程为8 .46.(2014 浙江)设直线x 3y m 0(m 0)与双曲线x y2 2 a2 2 1(a 0,b 0)的两条渐近b线分别交于点A ,B ,若点P(m,0) 满足| PA|| PB | ,则该双曲线的离心率是____.47.(2014 北京)设双曲线C 经过点2,2,且与y 24 2 1具有相同渐近线,则C 的方程x为________;渐近线方程为________.48.(2013 陕西)双曲线x y 的离心率为2 2 .1 16 9 x2 49.(2014 湖南)设F1,F2 是双曲线C:y2 a2 2 1(a 0,b 0) 的两个焦点.若在C 上b存在一点P,使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为_________.x2 y2 50.(2013 辽宁)已知F 为双曲线C : 9 16 1的左焦点,P,Q 为C 上的点,若PQ 的.长等于虚轴长的2 倍,点A(5, 0) 在线段PQ ,则PQF 的周长为51.(2012 辽宁)已知双曲线x2 y2 1,点F1,F 为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,2若P F1 PF ,则PF2 1 的值为.PF2 x2 y2 x2 y2 52.(2012 天津)已知双曲线: 1 1( a2 0, 0) 与双曲线2 : 1 有Ca b b2 C4 16 相同的渐近线,且C 的右焦点为F( 5, 0) ,则a1 by2 2 .53.(2012 江苏)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x2 1的离心率为5 ,则mm m 4 的值为x54.(2011 山东)已知双曲线2 y2 2 2 x y 有相同的焦点,2 2 1( 0, 0) aba b和椭圆1 16 9 .且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为55.(2011 北京)已知双曲线y2 2 x2 b b的一条渐近线的方程为y 2x ,则b .1( 0) 三、解答题x2 56.(2014 江西)如图,已知双曲线C :2 y2 1 ( a 0 )的右焦点F ,点A, B 分别在C9的两条渐近线上,AF x 轴,AB OB, BF ∥OA (O 为坐标原点).(1)求双曲线C 的方程;x x(2)过C 上一点P( )( 0)的直线l : x0 y y, 0 0 0 y y 1与直线AF 相交于点M ,0 2 a与直线MF恒为定值,并求x 相交于点N ,证明:当点P 在C 上移动时,NF2 3 此定值.57.(2011 广东)设圆C 与两圆(x 5)2 y2 4,(x 5)2 y2 4 中的一个内切,另一个外切.(1)求C 的圆心轨迹L 的方程;3 545 (2)已知点M ( , ), F( 5,0),且P 为L 上动点,求MP FP 的最大值及5 5 此时点P 的坐标.。