导数及其应用经典题型总结
高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用
高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用高考压轴题：导数题型及解题方法一、切线问题题型1：求曲线y=f(x)在x=x处的切线方程。
方法：f'(x)为在x=x处的切线的斜率。
题型2：过点(a,b)的直线与曲线y=f(x)的相切问题。
方法：设曲线y=f(x)的切点(x,f(x))，由(x-a)f'(x)=f(x)-b求出x，进而解决相关问题。
注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条。
例题：已知函数f(x)=x-3x。
1）求曲线y=f(x)在点x=2处的切线方程；（答案：9x-y-16=0）2）若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围。
提示：设曲线y=f(x)上的切点(x,f(x))，建立x,f(x)的等式关系。
将问题转化为关于x,m的方程有三个不同实数根问题。
答案：m的范围是(-3,-2)）练1：已知曲线y=x-3x。
1）求过点(1,-3)与曲线y=x-3x相切的直线方程。
（答案：3x+y=0或15x-4y-27=0）2）证明：过点(-2,5)与曲线y=x-3x相切的直线有三条。
题型3：求两个曲线y=f(x)、y=g(x)的公切线。
方法：设曲线y=f(x)、y=g(x)的切点分别为(x1,f(x1))、(x2,g(x2))，建立x1,x2的等式关系，(x2-x1)f'(x1)=g(x2)-f(x1)，(x2-x1)f'(x2)=g(x2)-f(x1)；求出x1,x2，进而求出切线方程。
解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。
例题：求曲线y=x与曲线y=2elnx的公切线方程。
（答案：2ex-y-e=0）练1：求曲线y=x与曲线y=-(x-1)的公切线方程。
（答案：2x-y-1=0或y=0）2.设函数f(x)=p(x-2)-2lnx，g(x)=x，直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于(1,0)，求实数p的值。
导数知识点各种题型归纳方法总结
导数知识点各种题型归纳方法总结导数知识点和题型总结一、导数的定义：1.函数y=f(x)在x=x处的导数为f'(x)=y'|x=x=lim(Δy/Δx)，其中Δy=f(x+Δx)-f(x)。
2.求导数的步骤：①求函数的增量：Δy=f(x+Δx)-f(x)；②求平均变化率：Δy/Δx；③取极限得导数：f'(x)=lim(Δy/Δx)，其中Δx→0.二、导数的运算：1.基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：① C'=0（C为常数）；② (xn)'=nxn-1；③ (1/x)'=-1/x^2；④ (ex)'=ex；⑤ (sinx)'=cosx；⑥ (cosx)'=-sinx；⑦ (ax)'=axlna（a>0，且a≠1）；⑧ (lnx)'=1/x；⑨ (loga x)'=1/(xlna)（a>0，且a≠1）。
2.导数的运算法则：法则1：[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)（和与差的导数等于导数的和与差）；法则2：[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（前导后不导相乘+后导前不导相乘）；法则3：[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]^2（分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号）。
3.复合函数y=f(g(x))的导数求法：①换元，令u=g(x)，则y=f(u)；②分别求导再相乘，y'=g'(x)·f'(u)；③回代u=g(x)。
题型：1.已知f(x)=1/x，则lim(Δy/Δx)，其中Δx→0，且x=2+Δx，f(2)=1/2.答案：C。
2.设f'(3)=4，则lim(f(3-h)-f(3))/h，其中h→0.答案：A。
导数题型总结(12种题型)
导数题型总结1.导数的几何意义2.导数四则运算构造新函数3.利用导数研究函数单调性4.利用导数研究函数极值和最值5.①知零点个数求参数范围②含参数讨论零点个数6.函数极值点偏移问题7.导函数零点不可求问题8.双变量的处理策略9.不等式恒成立求参数范围10.不等式证明策略11.双量词的处理策略12.绝对值与导数结合问题导数专题一导数几何意义一.知识点睛导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。
二.方法点拨：1.求切线①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导数求得函数y ＝f(x)在点x=x 0处的导数f ′(x 0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．②点（x 0，y 0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x 1，y 1)； (2)根据切点写出切线方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1) (3)利用点（x 0，y 0）在切线上求出（x 1，y 1）； (4)把（x 1，y 1）代入切线方程求得切线。
2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f ′(x 0) ②切点在曲线上③切点在切线上三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式 四．跟踪练习1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a= A. 0 B.1 C.2 D.33.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=4.（2014江西）若曲线y=e -x上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+xb（a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=21e x上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为 A.1-ln2 B.2（1-ln2） C.1+ln2 D.2(1+ln2)7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x-9都相切，则a 等于 8.抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A.2B.827C. 22D. 19.已知点P 在曲线y=14+x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 10.已知函数f （x ）=2x 3-3x.（1）求f （x ）在区间[-2，1]上的最大值；（2） 若过点P （1，t ）存在3条直线与曲线y=f （x ）相切，求t 的取值范围. 11. 已知函数f （x ）=4x-x 4，x ∈R. (1) 求f （x ）的单调区间(2) 设曲线y=f （x ）与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y=g （x ），求证： 对于任意的实数x ，都有f （x ）≤g （x ）(3) 若方程f （x ）=a （a 为实数）有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2-x 1≤-3a+431.导数专题二 利用导数四则运算构造新函数 一．知识点睛 导数四则运算法则：[f(x)±g （x ）]’=f ′(x)±g ′(x) [f(x)·g （x ）]’=f ′(x)·g(x) +f(x)·g ′(x)[ )()(x g x f ]′=2[g(x)](x)f(x)g'(x)g(x)f'- 二．方法点拨在解抽象不等式或比较大小时原函数的单调性对解题没有任何帮助，此时我们就要构造新函数，研究新函数的单调性来解抽象不等式或比较大小。
导数及其应用基础典型题归类解析
导数及其应用基础典型题归类解析 基本题型归类一、题型一：导数及导函数的概念题1利用极限求导例1．已知s=221gt ，求t=3秒时的瞬时速度。
练习题 求函数y=24x 的导数。
二、题型2：导数的几何意义的深刻领会导数的几何意义要深刻把握: 导数值对应函数在该点处的切线斜率。
1、已知曲线上的点求此点切线斜率例1．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2练习题 （1）：已知曲线y ＝12x 2－2上一点P (1，－32)，则过点P 的切线的倾斜角为________． （2）：求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．2已知切线斜率求相关点坐标例2 函数y ＝x 2＋4x 在x ＝x 0处的切线斜率为2，则x 0＝_________.练习题 下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，116) D ．(12，14) 三、题型2：常见函数导数的运算及基本应用1、对数函数求导例1．f (x )＝log 2x ；练习题 1、已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于________．2 f (x )＝2－x .3已知f (x )＝x a ，则f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( )A ．4B ．－4C ．5D ．－5四 、复合函数的导数例1 求下列函数的导数：(1)y ＝3x 2＋x cos x ；(2)y ＝x 1＋x； (3)y ＝lg x －e x ；练习题 求下列复合函数的导数：(1)f (x )＝ln(8x )；(2)f (x )＝(x ＋1)(1x－1)； (3)y ＝5log 2(2x ＋1)．(4)y ＝sin2x －cos2x .五 、求导的应用例1、已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193 B.163 C.133 D.103练习（1）．若函数f (x )＝e xx在x ＝c 处的导数值与函数值互为相反数，则c 的值为_____． 练习（2） 若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0六 、导数中利用待定系数法求解析式例1、已知f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.求f (x )的解析式．七 、：借助导数处理单调区间、极值和最值问题例．求下列函数的单调区间．(1)y ＝x －ln x ；(2)y ＝12x. 例、若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，则b ＝___，c ＝___练习题：若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________． 八 用导数解复杂函数中的恒成立问题例．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( )A ．a ≥13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤0 练习题 已知函数f (x )＝ax －a x－2ln x (a ≥0)，若函数f (x )在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围． 九 、通过导数解决函数极值问题例、函数f (x )＝x 3－6x 2－15x ＋2的极大值是________，极小值是________．练习题 函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( ) A ．2 B ．2，－1 C ．－1 D ．－3例、函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5练习题（1）： 已知函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a 、b 的值为( )A ．a ＝－4，b ＝11B ．a ＝－4，b ＝1或a ＝－4，b ＝11C ．a ＝－1，b ＝5D ．以上都不正确练习题 （2）：若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值等于13，则实数m 等于________．例设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R ，有大于零的极值点，则a 的取值范围为________．练习题 ：已知函数y ＝x －ln(1＋x 2)，则y 的极值情况是( )A ．有极小值B ．有极大值C ．既有极大值又有极小值D ．无极值通过导数解决最值问题例、（06浙江卷）32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ）(A )－2 (B)0 (C)2 (D)4练习（1）：函数y ＝4x 2(x －2)在x ∈[－2,2]上的最小值为________，最大值为________．（2）：函数y ＝x e x 的最小值为________．例 函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )A ．－10B ．－71C ．－15D ．－22练习(1):已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．练习(2)．函数f (x )＝ax 4－4ax 2＋b (a >0,1≤x ≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a ＝_______，b ＝________. 例．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x .(1)若f (x )在x ∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在x ∈[1，a ]上的最大值和最小值．练习题 设函数f(x)= 3223(1)1, 1.x a x a --+≥其中（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值。
导数题型总结
导数题型总结导数题型总结导数及其应用题型总结题型一：切线问题①求曲线在点（xo，yo）处的切线方程②求过曲线外一点的切线方程③求已知斜率的切线方程④切线条数问题例题1：已知函数f（x）=x+x-16，求：（1）曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线方程（2）过原点的直线L是曲线y=f（x）的切线，求它的方程及切点坐标（3）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=-(1/4)x+3垂直，求切线方程及切点坐标例题2：已知函数f（x）=ax+2bx+cx在xo处去的极小值-4.使其导数f”(x)>0的x的取值范围为（1,3），求：（1）f(x)的解析式；（2）若过点P （-1，m）的曲线y=f(x)有三条切线，求实数m的取值范围。
题型二：复合函数与导数的运算法则的综合问题例题3：求函数y=xcos （x+x-1）sin（x+x-1）的导数题型三：利用导数研究函数的单调区间①求函数的单调区间（定义域优先法则）②求已知单调性的含参函数的参数的取值范围③证明或判断函数的单调性例题4：设函数f(x)=x+bx+cx，已知g（x）=f(x)-f”(x)是奇函数，求y=g （x）的单调区间例题5：已知函数f(x)=x3-ax-1，（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围（2）是否存在实数a，使f(x)在（-1,1）上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。
例题6：证明函数f(x)=lnx/x2在区间（0,2）上是减函数。
题型四：导数与函数图像问题例1：若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数，则函数y=f(x)在[a,b]上的图象可能是y题型五：利用导数研究函数的极值和最值例题7：已知函数f(x)=-x3+ax2+bx在区间（-2,1）上x=-1时取得极小值，x=2/3时取得极yy32323oaoobxoabxbxabxaA．B．C．D．大值。
求（1）函数y=f(x)在x=-2时的对应点的切线方程（2）函数y=f(x)在[-2,1]上的最大值和最小值。
导数知识点总结题型
导数知识点总结题型导数是高中数学中的一个重要概念，是微积分的基础知识之一。
在应用数学领域，导数有着广泛的应用，可以解决许多实际问题。
本文将围绕导数知识点总结题型展开讨论。
一、导数的定义与求法1.1 导数的定义：导数是函数在某一点的变化率或斜率，用极限的概念定义。
设函数 f(x) 在点 x0 处有定义，若该极限存在，那么 f(x) 在 x0 处可导。
1.2 导数的求法：基本方法有函数求导法、参数函数求导法和复合函数求导法。
- 函数求导法：按照变量的求导规则，对每一个部分进行求导。
- 参数函数求导法：将参数的导数求解出来，再对函数进行求导。
- 复合函数求导法：利用链式法则求解复合函数。
二、基本导数公式2.1 基本导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数的导数公式是求解导数题型的基础。
2.2 高阶导数：若函数 f(x) 的导函数 f'(x) 仍然可导，则称 f'(x) 为 f(x) 的一阶导数。
同理，若 f'(x) 的导函数f''(x) 可导，则称 f''(x) 为 f(x) 的二阶导数。
三、导数的基本性质3.1 可导性与连续性的关系：若函数 f(x) 在某一点可导，则在该点必连续；反之，若函数在某一点不连续，则在该点不可导。
3.2 加减和因子法则：若 f(x) 和 g(x) 都在 x 处可导，则(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)，(f(x)·g(x))' =f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)。
3.3 乘积和商的法则：若 f(x) 和 g(x) 都在 x 处可导，且g(x) ≠ 0，则 (f(x)/g(x))' = [f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)]/g^2(x)。
高中导数必会经典题型
《导数》必会经典题型【知识点】1.导数公式：'0C = '1()n n x nx -= '(sin )cos x x = '(cos )sin x x =-'()x x e e = '()ln x x a a a = '1(ln )x x = '1(log )ln a x x a = 2.运算法则：'''()u v u v +=+ '''()u v u v -=- '''()uv u v uv =+ '''2()u u v uv v v -= 3.复合函数的求导法则：（整体代换）例如：已知2()3sin (2)3f x x π=+，求'()f x 。
解：''()32sin(2)[sin(2)]33f x x x ππ=⋅+⋅+'6sin(2)cos(2)(2)333x x x πππ=+⋅++ 6sin(2)cos(2)212sin(2)cos(2)3333x x x x ππππ=+⋅+⋅=+⋅+26sin(4)3x π=+4.导数的物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度。
5.导数的几何意义：导数就是切线斜率。
6.用导数求单调区间、极值、最值、零点个数：对于给定区间[,]a b 内，若'()0f x >，则()f x 在[,]a b 内是增函数；若'()0f x <，则()f x 在[,]a b 内是减函数。
【题型一】求函数的导数 (1)ln x y x = (2)2sin(3)4y x π=- (3)2(1)x y e x =- (4)3235y x x =-- (5)231x x y x -=+ (6)2211()y x x x x =++ 【题型二】导数的物理意义的应用1.一杯90C 红茶置于25C 的房间里，它的温度会不断下降，设温度T 与时间t 的关系是函数()T f t =，则'()f t 符号为 。
导数应用八个专题汇总
1.导数应用之函数单调性题组1：1.求函数32()3912f x x x x =--+的单调区间.2.求函数2()3ln f x x x x =-+的单调区间.3.求函数2()3ln f x x x x =+-的单调区间.4.求函数1()ln f x x x=的单调区间.5.求函数ln ()ln ln(1)1xf x x x x=-+++的单调区间. 题组2：1.讨论函数4322411()(0)43f x x ax a x a a =+-+>的单调区间.2.讨论函数32()3912f x x ax x =+--的单调区间.3.求函数321()(2)4132mf x mx x x =-+++(0)m >的单调递增区间.4.讨论函数1ln )1()(2+++=ax x a x f 的单调性.5.讨论函数1()ln 1af x x ax x-=-+-的单调性. 题组3：1.设函数32()1f x x ax x =+++. (1)讨论函数()f x 的单调区间；(2)设函数()f x 在区间21()33--，内是减函数,求a 的取值范围．2.(1)已知函数2()ln f x ax x x =++在区间(1,3)上单调递增,求实数a 的取值范围. (2)已知函数2()ln f x ax x x =++在区间(1,3)上单调递减,求实数a 的取值范围.3.已知函数32()(3)xf x x x ax b e -=+++. (1)若3a b ==-,求()f x 的单调区间；(2)若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调递增,在(,2),(,)αβ+∞单调递减,证明:6βα-<.4.设函数322()1f x x ax a x =+-+,2()21g x ax x =-+, (1)若0a >,求函数()f x 的单调区间；(2)若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +内均为增函数,求a 的取值范围．2.导数应用之极值与最值1.设函数2132()x f x x e ax bx -=++,且2x =-和1x =均为()f x 的极值点． (1)求a ,b 的值,并讨论()f x 的单调性； (2)设322()3g x x x =-,试比较()f x 与()g x 的大小．2.设函数2()()f x x x a =-.(1)若'(1)3f =,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()y f x =在区间[]2,0上的最大值.3.设函数233)(x ax x f -=．(1)若2=x 是函数)(x f y =的极值点,求a 的值；(2)若函数()()()g x f x f x '=+,[02]x ∈，,在0=x 处取得最大值,求a 的取值范围．4.已知函数321()23f x x x =+-. (1)设n S 是正项数列{}n a 的前n 项和,13a =,且点211(,2)n n n a a a ++-在函数'()y f x =的图象上,求证:点(,)n n S 也在'()y f x =的图象上；(2)求函数()f x 在区间(1,)a a -内的极值.5.设函数322()31f x ax bx a x =+-+在1x x =,2x x =处取得极值,且122x x -=．(1)若1a =,求b 的值,及函数()f x 的单调区间； (2)若0a >,求实数b 的取值范围．6.设函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+在1x 处取得极大值,在2x 处取得极小值,且12012x x <<<<.证明:0a >,并求2a b +的取值范围.7.已知1x =是函数3213()(1)532f x ax x a x =-+++的一个极值点, (1)求函数()f x 的解析式；(2)若()y f x =的图像与直线2y x m =+有三个不同的交点,求实数m 的取值范围.8.已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点. (1)求()f x 的解析式及其单调区间；(2)若直线y b =与曲线()y f x =有三个交点,求b 的取值范围.9.设函数432()2()f x x ax x b x =+++∈R ．(1)若函数()f x 仅在0x =处有极值,求a 的取值范围；(2)若对于任意的[]22a ∈-，,不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立,求b 的取值范围．10.设3x =是函数23()()xf x x ax b e-=++的一个极值点.(1)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求函数()f x 的单调区间； (2)设0a >,225()()4xg x a e =+.若存在．．[]12,0,4x x ∈,使12()()1f x g x -<总成立,求a 的取值范围.11.已知函数21()kx f x x c+=+(0c >且1c ≠)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是x c =-． (1)求函数()f x 的另一个极值点；(2)求函数()f x 的极大值M 和极小值m ,并求1M m -≥时k 的取值范围．12.设函数32()f x ax bx cx d =+++的图像∏上有两个极值点,P Q ,其中P 为坐标原点, (1)当点Q 的坐标为(1,2)时,求()f x 的解析式；(2)当点Q 在线段50x y +-=(13)x ≤≤上时,求曲线∏的切线斜率的最大值.3.导数应用之函数的零点题组1：1.函数2()3x f x x =-在区间[1,0]-内有没有零点？为什么？2.函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是【 】.A.(2,1)--B.(1,0)-C.(0,1)D.(1,2)3.函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25,则()f x 可以是【 】.A.()1xf x e =- B.()41f x x =- C.2()(1)f x x =- D.1()ln()2f x x =-4.若234a b <<<<,且函数()log a f x x x b =+-的零点0(,1)x n n ∈+()n Z ∈,则n =【 】.A.1B.2C.3D.4题组2：5.设函数)(x f y =的图像在[,]a b 上连续,若满足____________,则方程0)(=x f 在[,]a b 上有实根.6.已知0x 是函数1()21xf x x=+-的一个零点.若10(1,)x x ∈,20(,)x x ∈+∞,则【 】. A.1()0f x <,2()0f x < B.1()0f x <,2()0f x > C.1()0f x >,2()0f x < D.1()0f x >,2()0f x >7.函数1()f x x x=+的零点个数为____________. 8.求证:函数23()21f x x x =---在区间(0,2)内没有零点.题组3：9.函数2()log f x x x =+在区间(0,1)内是否有零点？为什么？ 10.求证:函数4()21f x x x =--在区间[1,2]-内至少有两个零点. 11.求证:函数()(3)(8)1f x x x =---有且只有两个零点. 12.求证:函数2()ln 1f x x x x =-++有且只有两个零点.13.设函数c bx ax x f ++=2)(,若0)1(>f ,0)2(<f ,则)(x f 在区间)2,1(上的零点个数为【 】.A.至多有一个B.有且只有一个C.有一个或两个D.一个也没有14.设(1,)m ∈+∞,求证:函数()ln()f x x x m =-+有且只有两个零点.15.判断函数2()lg f x x x =-在区间(0,10)内的零点个数,并说明理由. 题组4：16.设函数()1nn f x x x =+-*(,2)n N n ∈≥. (1)证明:()n f x 在区间)1,21(内存在唯一的零点；(2)设n x 是()n f x 在)1,21(内的零点,判断数列23,,,n x x x 的增减性．17.设函数2()(2)ln f x x a x a x =---．(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a 的值； (3)若方程()f x c =有两个不等实根12,x x ,求证:12()02x x f +'>．18.设函数2ln 2)(x mx x x f -+=有两个零点21,x x ,求证:12()02x x f +'<.19.设函数()ln f x x ax =-有两个零点1x ,2x ,求证:212x x e >.20.记函数!!2!11)(2n x x x x f nn ++++= ()n N +∈,求证:当n 为偶数时,方程0)(=x f n 没有实数根； 当n 为奇数时,方程0)(=x f n 有唯一实数根n x ,且n n x x <+2.21.设函数232222()1123nn x x x x f x n=-+++++ (,)x R n N +∈∈,(1)证明:对每个n N +∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =； (2)证明:对任意p N +∈,由(1)中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<.4.导数应用之图像的切线题组1：1.求平行于直线910x y -+=,且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程.2.求垂直于直线320x y -+=,且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程.3.求与直线320x y -+=夹角为45︒,且与抛物线22y x =相切的直线方程.4.设函数()sin f x x =图像上动点P 处切线的倾斜角为θ,求θ的取值范围. 题组2：5.求函数3()2f x x =的图像C 在点(1,2)P 处的切线l 方程,以及曲线C 与切线l 的所有交点坐标.6.求函数3()2f x x =的图像经过点(1,2)P 的切线方程.7.求函数3()2f x x =的图像经过点(1,10)P 的切线方程.8.求经过坐标原点,且与函数9()5x f x x +=+的图像相切的直线方程.9.设函数()bf x ax x=-,曲线C :()y f x =在点(2(2))f ，处的切线为74120x y --=． (1)求函数()f x 的解析式；(2)求证:曲线C 上任意一点处的切线与直线y x =,以及y 轴所围成三角形的面积为定值.10.已知直线23ln 20x y +-+=是函数()ln mf x x x=+的图像C 的一条切线. (1)求()f x 的解析式；(2)若(,)P s t 是曲线C 上的动点,求曲线C 在点P 处的切线纵截距的最小值.题组3：11.已知直线y x =是函数32()31f x x x ax =-+-图像的一条切线,求实数a 的值.12.已知0a >,且过点(,)P a b 可作函数3()f x x x =-图像的三条切线,证明:()a b f a -<<.13.设函数3211()32f x x ax bx c =-++(0)a >的图像C 在点(0,(0))P f 处的切线为1y =. (1)确定,b c 的值；(2)设曲线C 在1122(,()),(,())A x f x B x f x 处的切线都过(0,2)Q ,证明:若12x x ≠,则12'()'()f x f x ≠； (3)若过点(0,2)Q 可作曲线C 的三条不同切线,求a 的取值范围.14.已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，,(13]，内各有一个极值点． (1)求24a b -的最大值；(2)当248a b -=时,设曲线C :()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线l 穿过曲线C (穿过是指:动点在点A 附近沿曲线C 运动,当经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求()f x 的表达式．15.由坐标原点(0,0)O 向曲线x x x y +-=233引切线,切于不同于点O 的点111(, )P x y ,再由1P 引切线切于不同于1P 的点222(,)P x y ,如此继续下去……,得到点(,)n n n P x y ,求1n x +与n x 的关系,及n x 的表达式.巩固练习：1.求函数3()2f x x =的图像经过点(1,8)P -的切线方程. 2.求函数23()3x f x x +=+的图像经过点1(3,)2P 的切线方程. 3.如图,从点1(0, 0)P 作x 轴的垂线交于曲线xy e =于点1(0, 1)Q ,曲线在1Q 点处的切线与x 轴交与点2P ；再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ,依次重复上述过程得到一系 列的点:1P ,1Q ,2P ,2Q ,…,n P ,n Q ,记点k P 的坐标为(, 0)k k P x (1,2,3,,)k n = . (1)求1k x +与k x 之间的等量关系； (2)求112233...n n PQ P Q PQ P Q ++++.5.导数应用之存在与任意1.已知函数()(0)af x x b x x=++≠,其中,a b R ∈． (1)若曲线)(x f 在点))2(,2(f P 处的切线方程为13+=x y ,求函数()f x 的解析式； (2)若对于任意的1[,2]2a ∈,不等式10)(≤x f 在1[,1]4x ∈恒成立,求b 的取值范围．2.已知函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+.(1)求()f x 的单调区间； (2)若()f x m <对1[1,1]x e e -∈--恒成立,求m 的取值范围；3.设函数1()ln f x x x=. (1)求()f x 的单调区间； (2)若12axx >对(0,1)x ∈恒成立,求a 的取值范围.4.已知函数22()ln (1)1x f x x x =+-+.(1)求()f x 的单调区间； (2)若1(1)n e n+α+≤对n N +∈都成立,求α的最大值.5.设函数2)1()(ax e x x f x--=. (1)若21=a ,求)(x f 的单调区间； (2)若当0≥x 时,0)(≥x f ,求a 的取值范围.6.设函数x ax e x f x--=2)(.(1)若0=a ,求)(x f 的最小值； (2)若当0≥x 时,()1f x ≥恒成立,求a 的取值范围.7.设函数()xf x e ax =-的图象与y 轴交于点A ,曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-<a . (1)求()f x 的极值；(2)证明:当0>x 时,xe x <2；(3)证明:对任意给定的正数c ,总存在0x ,使得当()∞+∈，0x x ,恒有xce x <2.8.设函数()cos f x ax x =+,(1)讨论函数()f x 在区间[0,]π内的单调性；(2)若()1sin f x x ≤+对[0,]x π∈恒成立,求实数a 的取值范围.9.设函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈.(1)求证:()0f x ≤； (2)若sin x a b x <<对(0,)2x π∈恒成立,求a 的最大值与b 的最小值.10.已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f , (1)讨论函数)(x f 的单调性；(2)设1-<a ,且对任意的),0(,21+∞∈x x ,都有||4)()(|2121x x x f x f -≥-,求a 的取值范围.11.已知3x =是函数23()()xf x x ax b e-=++的一个极值点.(1)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求函数()f x 的单调区间； (2)设0a >,225()()4xg x a e =+.若存在[]12,0,4x x ∈,使得12()()1f x g x -<成立,求a 的取值范围.12.已知函数321()cos 22f x ax x x c θ=+-+的图像过点37(1,)6,且在[2,1]-上递减,在[1,)+∞上递增.(1)求()f x 的解析式；(2)若对任意的12,[,3]x x m m ∈+都有1245()()2f x f x -≤成立,求正实数m 的取值范围.13.设函数5)(,14)22(31)(23+=+++-=mx x g x x mmx x f . (1)当0m >时,求函数)(x f 的递增区间；(2)是否存在负实数m ,使得对任意的12,[1,2]x x ∈,都有1)()(21≤-x f x g ？若存在,求m 的范围；若不存在,请说明理由.6.导数应用之极值点偏移1.(1)设不同的两点1122(,),(,)A x y B x y 均在二次函数2()f x ax bx c =++(0abc ≠)的图像上,记直线AB 的斜率为k ,求证:12'()2x x k f +=； (2)设不同的两点1122(,),(,)A x y B x y 均在“伪二次函数”2()ln g x ax bx c x =++(0abc ≠)的图像上,记直线AB 的斜率为k ,试问:12'()2x x k g +=还成立吗？2.设函数2()(12)ln ()f x ax a x x a =+--∈R ． (1)当0a >时,求函数()f x 的单调递增区间；(2)记函数()y f x =的图像为曲线C ,设11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线C 上不同的两点,M 为线段AB 的中点,过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ．试问:曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？3.设函数2()(2)ln f x x a x a x =---． (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a 的值； (3)若方程()f x c =有两个不等实根12,x x ,求证:12()02x x f +'>．4.设函数2ln 2)(x mx x x f -+=.(1)若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为n x y +=2,求实数n m ,的值； (2)若4->m ,求证:当0>>b a 时,有2)()(22->--b a b f a f ；(3)若函数()f x 有两个零点21,x x )(21x x <,且0x 是21,x x 的等差中项,求证:0)('0<x f .5.设函数()ln f x x ax =-有两个零点1x ,2x ,求证:212x x e >.6.设函数()xf x e ax a =-+的两个零点为1x ,2x ,求证:2121x x x x +<.7.设函数()x f x e ax =-,其中a e >,(1)求证:函数()f x 有且仅有两个零点1x ,2x ,且1201x x <<<； (2)对于(1)中的1x ,2x ,求证:12'()'()0f x f x +>.8.设函数()x f x e mx =+的图像在点(0,(0))P f 处的切线方程为210x y -+=,求证:对满足a b c <<的实数,,a b c ,都有()()()()f b f a f c f b b a c b--<--成立.7.导数应用之不等式证明(1)1.证明:对任意的n N +∈,都有3211)11ln(nn n ->+.2.已知,m n N +∈,且1m n <<,求证:(1)(1)nmm n +>+.3.设函数1()ln(1),1)nf x a x x =+--（(1)当2n =时,求函数()f x 的极值；(2)当1a =时,证明:对任意的n N +∈,当2x ≥时,都有() 1.f x x ≤-4.已知函数()ln(1)1xf x e a x =-+-在点(0,(0))P f 处的切线垂直于y 轴, (1)求函数()f x 的单调区间； (2)当0m n >>时,求证:1ln(1)ln(1)m ne m n -->+-+.5.设函数x exx f =)(,且)(')(1x f x f =,)(')(1x f x f n n =+()n N +∈. (1)求)(1x f ,)(2x f ,)(3x f ,)(x f n 的解析式；(2)求证:对任意的实数b a ,,以及任意的正整数n ,都有)()()(122n f b f a f n n <--.6.设函数x x mx x f ln )(-=在1=x 处取得极值,数列}{n a 满足111<<-a e ,1()n n a f a +=()n N +∈.(1)求函数()f x 的单调区间； (2)求证:对任意的*N n ∈,都有11<<-n a e；(3)求证:对任意的*N n ∈,都有122++<+n n n a a a .7.记函数!!2!11)(2n x x x x f nn ++++= ()n N +∈,求证:当n 为偶数时,方程0)(=x f n 没有实数根；当n 为奇数时,方程0)(=x f n 有唯一实数根n x ,且n n x x <+2.8.设函数232222()1123nn x x x x f x n=-+++++ (,)x R n N +∈∈,(1)证明:对每个n N +∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =； (2)证明:对任意p N +∈,由(1)中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<.8.导数应用之不等式证明(2)1.设函数1()ln xf x x ax-=+.(1)若函数()f x 在),1[+∞上为增函数,求正实数a 的取值范围； (2)当1a =时,求证:对大于1的任意正整数n ,都有1111ln 234n n>+++⋅⋅⋅+.2.设函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0,其中>0a .(1)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值； (2)证明:对大于1的任意正整数n ,都有)12ln(211215131+<-+++n n .3.设函数2()f x kx =,()ln g x x =,(1)讨论关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e -内的实数根的个数； (2)求证:对任意的正整数n ,都有44444ln1ln 2ln 3ln 4ln 112342n n e+++++< .4.设函数2()ln(1)f x x a x =-+,(1)若函数()f x 在区间12(,)33上递增,求实数a 的取值范围； (2)证明:当0x >时,2ln(1)x x +<； (3)证明:对大于1的任意正整数n ,都有44441111(1)(1)(1)(1)2123e n++++< .5.设函数2()x f x ax b=+,其中(1)1f =,12()23f =.在数列{}n x 中,112x =,且1()n n x f x +=.(1)求数列{}n x 的通项n x .(2)求证:对任意的正整数n ,都有12312n x x x x e> .6.设函数()1x f x e ax =--,(1)若()0f x ≥对x R ∈均成立,求正实数a 的取值集合； (2)求证:对任意的正整数n ,都有123()()()()1nnnnn e nnnne ++++<- .7.设函数()1xf x e x =--,(1)求证:函数()f x 有且只有一个零点；(2)求证:对任意的正整数n ,都有13521()()()()2222n n n n n n n n n -++++<8.(1)设函数r x rx x f r-+-=1)()0(>x ,其中10<<r .求函数)(x f 的最小值；(2)用(1)的结果证明命题:设01≥a ,02≥a ,21,b b 为正实数,若121=+b b ,则22112121b a b a a a bb +≤； (3)请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.9.(1)求函数1ln )(+-=x x x f 的最大值；(2)设,k k a b 均为正实数,证明:若112212n n n a b a b a b b b b +++≤+++ ,则12121nb bbn a a a ≤ ；(3)设,k k a b 均为正实数,证明:若121n b b b +++= ,则1222212121n b b b n n b b b b b b n≤≤+++ .。
(整理)导数应用的题型与解题方法.
导数应用的题型与解题方法一、专题概述导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
二、知识整合1．导数概念的理解．2．利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值．复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。
课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。
3．要能正确求导，必须做到以下两点：（1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。
（2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。
4．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：(1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；（3）把中间变量代回原自变量（一般是x ）的函数。
也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导)'(μy ，中间变量对自变量求导)'(x μ；最后求x y ''μμ⋅，并将中间变量代回为自变量的函数。
整个过程可简记为分解——求导——回代。
熟练以后，可以省略中间过程。
若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。
三、例题分析例1．⎩⎨⎧>+≤==11)(2x b ax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b 思路：⎩⎨⎧>+≤==11)(2x bax x x x f y 在1=x 处可导，必连续1)(lim 1=-→x f xb a x f x +=+→)(l i m 1 1)1(=f ∴ 1=+b a2lim 0=∆∆-→∆x y x a xyx =∆∆+→∆0lim ∴ 2=a 1-=b例2．已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限：（1）hh a f h a f h 2)()3(lim 0--+→∆； （2）h a f h a f h )()(lim 20-+→∆分析：在导数定义中，增量△x 的形式是多种多样，但不论△x 选择哪种形式，△y 也必须选择相对应的形式。
导数常见题型与解题方法总结
导数题型总结1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元3、根分布4、判别式法-----结合图像分析5、二次函数区间最值求法-----（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）。
例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，（1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围；（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.解:由函数得（1）在区间上为“凸函数”，则在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于解法二：分离变量法：∵当时, 恒成立,当时, 恒成立等价于的最大值（）恒成立，而（）是增函数，则(2)∵当时在区间上都为“凸函数”则等价于当时恒成立变更主元法再等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）例2：设函数（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.解：（Ⅰ）令得的单调递增区间为（a,3a）令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）∴当x=a时，极小值= 当x=3a时，极大值=b.（Ⅱ）由||≤a，得：对任意的恒成立①则等价于这个二次函数的对称轴（放缩法）即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
上是增函数. （9分）∴于是，对任意，不等式①恒成立，等价于又∴点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系例3：已知函数图象上一点处的切线斜率为，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的值域；（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。
高三数学导数及其应用多选题知识归纳总结附解析
高三数学导数及其应用多选题知识归纳总结附解析一、导数及其应用多选题1．已知偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式中不成立的是（ ）A34f ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()04f π⎛⎫>- ⎪⎝⎭ D．63f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABC 【分析】 构造函数()()cos f x g x x =，结合导数和对称性可知()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，即可得23643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而可判断ABD 选项，由()04g g π⎛⎫< ⎪⎝⎭可判断C 选项.【详解】因为偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>， 所以构造函数()()cos f x g x x =，则()()2cos sin ()0cos f x x f x x g x x'+'=>， ∴()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，32333cos 3f g g f πππππ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4444cos 4f g g πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，666cos 6f g f ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由函数单调性可知643g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 对于AB，4343f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ⎪⎭⎭⎝，故AB 错误； 对于C ，()04g g π⎛⎫<⎪⎝⎭，()044f ππ⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D 263f fππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确； 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是利用已知条件构造对应的新函数()()cos f x g x x=，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小，考查学生的逻辑推理能力与转化思想，属于较难题.2．已知(0,1)x ∈，则下列正确的是（ ）A ．cos 2x x π+<B ．22xx <C ．sin 2x >D ．1ln 1x x <- 【答案】ABC 【分析】构造函数()sin f x x x =-证明其在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，即可得sin 22x x ππ⎛⎫-<-⎪⎝⎭即可判断选项A ；作出2yx 和2x y =的函数图象可判断选项B ；作出()sin2xf x =，()h x =的图象可判断选项C ；构造函数()1ln 1x g x x =+-利用导数判断其在()0,1x ∈上的单调性即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：因为()0,1x ∈，所以022x ππ<-<，令()sin f x x x =-，()cos 10f x x '=-≤，()sin f x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以()()00f x f <=，即sin x x <，所以sin 22x x ππ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭即cos 2x x π<-，可得cos 2x x π+<，故A 正确， 对于选项B ：由图象可得()0,1x ∈，22x x <恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：要证22sin 24xx x >+ 令()sin 2x f x =，()224xh x x =+()()f x f x -=-，()sin2xf x =是奇函数， ()()h x h x -=，()224x h x x =+是偶函数， 令2224144x t x x ==-++ ，则y t = 因为24y x =+在()0,∞+单调递增，所以2414t x =-+在()0,∞+单调递增，而y t =调递增，由符合函数的单调性可知()224x h x x =+在()0,∞+单调递增， 其函数图象如图所示：由图知当()0,1x ∈时22sin 24xx x >+C 正确； 对于选项D ：令()1ln 1x g x x =+-，()01x <<，()221110x g x x x x-'=-=<， 所以()1ln 1x g x x=+-在()0,1单调递减，所以()()1ln1110g x g >=+-=， 即1ln 10x x+->，可得1ln 1x x >-，故选项D 不正确.故选：ABC 【点睛】思路点睛：证明不等式恒成立（或能成立）一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.3．若函数()f x 满足对于任意1x ，2(0,1)x ∈，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称函数()f x 为“中点凸函数”．则下列函数中为“中点凸函数”的是（ ）A ．2()2f x x x =-B ．()tan f x x =C ．()sin cos f x x x =-D ．()e ln x f x x =-【答案】ABD 【分析】 用计算()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭的正负值来解，运算量大，比较复杂.我们可分析“中点凸函数”的几何特征，结合图像作答.由已知“中点凸函数”的定义，可得“中点凸函数”的图象形状可能为：【详解】由“中点凸函数”定义知：定义域内12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值，∴下凸函数：任意连接函数图象上不同的两点所得直线一定在图象上方或与图象重合. 设()()11,Ax f x ，()()22,B x f x 为曲线()f x 在(0,1)上任意两点A 、B 、C 、D 选项对应的函数图象分别如下图示： ①2()2f x x x =-符合题意 ②()tan f x x =符合题意③()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭放大局部图像可见，在,14段，并不满足12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值.不合题意④()e ln x f x x =-'1()e x f x x =-，''21()e 0x f x x+=>根据导函数作出图像如下符合题意. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，学生可利用数形结合求解，需要较强的推理与运算能力.4．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（ ） A ．当4a =-时，()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为194B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，先得出1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选项． 【详解】对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()119123192221412⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；对于B ，当1a =时，()()23212f x x x x x x =-=-+，()()()2341311f x x x x x '=-+=--，可得下表：因为327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()2227f =>，结合()f x 的单调性可知， 方程()427f x =有两个实数解，一个解为13，另一个解在()1,2上，故B 正确； 对于C ，当2a =时，()()()()()()()231211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦， 则有()()()()()()33211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确； 对于D ，()()()1f x x x x a =--，()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，令()0f x '=，可得方程()23210x a x a -++=，因为()()22412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--()()()()33221212121x x a x x a x x =+-++++()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦ ()()()()()21242212113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.5．已知()2sin x f x x x π=--.（ ）A ．()f x 的零点个数为4B ．()f x 的极值点个数为3C ．x 轴为曲线()y f x =的切线D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=【答案】BC 【分析】首先根据()0f x '=得到21cos xx π-=，分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】()21cos xf x x π'=--，令()0f x '=，得到21cos xx π-=.分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，如图所示：由图知：21cos xx π-=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，2π，π.所以(),0x ∈-∞，()21cos 0xf x x π'=-->，()f x 为增函数，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，(),x π∈+∞，()21cos 0xf x x π'=--<，()f x 为减函数.所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2x π=时，()f x 取得极小值为14π-，当x π=时，()f x 取得极大值为0，所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确. 因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数， 所以存在1x ，2x 满足1202x x π<<<，且()()12f x f x =，显然122x x π+<，故D 错误.故选：BC 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.6．关于函数()sin x f x e a x =+，(),x π∈-+∞，下列结论正确的有（ ） A ．当1a =时，()f x 在()0,(0)f 处的切线方程为210x y -+= B ．当1a =时，()f x 存在惟一极小值点0x C ．对任意0a >，()f x 在(),π-+∞上均存在零点 D ．存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点 【答案】ABD 【分析】逐一验证，选项A ，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项B ，通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C 、D ，通过构造函数，将零点问题转化判断函数的交点问题. 【详解】对于A ：当1a =时，()sin xf x e x =+，(),x π∈-+∞，所以(0)1f =，故切点为()0,1，()cos x f x e x '=+，所以切线斜(0)2k f '==，故直线方程为()120y x -=-，即切线方程为：210x y -+=，故选项A 正确； 对于B ：当1a =时，()sin xf x e x =+，(),x π∈-+∞，()cos x f x e x '=+，()()sin 0,,xf x e x x π''=->∈-+∞恒成立，所以()f x '单调递增，又202f π⎛⎫'=>⎪⎝⎭，334433cos 0442f e e ππππ--⎛⎫⎛⎫'-=+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以存在03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=， 即00cos 0xe x +=，则在()0,x π-上，()0f x '<，()f x 单调递减，在()0,x +∞上，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以存在惟一极小值点0x ，故选项B 正确；对于 C 、D ：()sin xf x e a x =+,(),x π∈-+∞，令()sin 0xf x e a x =+=得：1sin x x a e-=， 则令sin ()x xF x e=，(),x π∈-+∞，)cos sin 4()xx x x x F x e e π--'==，令()0F x '=，得：4x k ππ=+，1k ≥-，k Z ∈，由函数)4y x π=-图象性质知：52,244x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭)04x π->，sin ()x x F x e =单调递减，52,2244x k k πππππ⎛⎫∈+++ ⎪⎝⎭)04x π-<，sin ()x x F x e =单调递增，所以当524x k ππ=+，1k ≥-，k Z ∈时，()F x 取得极小值， 即当35,,44x ππ=-时，()F x 取得极小值，又354435sin sin 44eeππππ-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<，即3544F F ππ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,又因为在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭，sin ()x x F x e =单调递减，所以343()42F x F e ππ⎛⎫≥=-⎪⎝⎭， 所以24x k ππ=+，0k ≥，k Z ∈时，()F x 取得极大值，即当944x ππ=、， 时，()F x 取得极大值. 又9449sin sin 44e e ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<，即()442F x F e ππ⎛⎫≤=⎪⎝⎭，当(),x π∈-+∞时，344()2e F x e π≤≤，所以当3412e a π-<-，即34a e π>时， ()f x 在(),π-+∞上无零点，所以选项C 不正确；当341e a π-=时，即4a e π=时，1=-y a 与sin x xy e=的图象只有一个交点，即存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点， 故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查函数的极值、切线、零点的问题，属于较难题.7．设函数()ln xf x x=，()ln g x x x =，下列命题，正确的是（ ）A ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减B ．不等关系33e e ππππ<<<成立C ．若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，则1a ≥D ．若函数()()2h x g x mx =-有两个极值点，则实数()0,1m ∈【答案】AC 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误；由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系，可判断B 选项的正误；分析得出函数()()22s x g x ax=-在()0,∞+上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围，可判断C 选项的正误；分析出方程1ln 2xm x+=在()0,∞+上有两个根，数形结合求出m 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，则()21ln xf x x-'=. 由()0f x '>，可得0x e <<，由()0f x '>，可得x e >.所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，A 选项正确； 对于B 选项，由于函数()ln xf x x=在区间(),e +∞上单调递减，且4e π>>， 所以，()()4f f π>，即ln ln 44ππ>，又ln 41ln 213ln 22043236--=-=>， 所以，ln ln 4143ππ>>，整理可得3e ππ>，B 选项错误； 对于C 选项，若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，可得()()22112222g x ax g x ax ->-，构造函数()()2222ln s x g x ax x x ax =-=-，则()()12s x s x >，即函数()s x 为()0,∞+上的减函数，()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，即1ln xa x+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 令()1ln x t x x +=，其中0x >，()2ln xt x x'=-. 当01x <<时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增； 当1x >时，()0t x '<，此时函数()t x 单调递减.所以，()()max 11t x t ==，1a ∴≥，C 选项正确；对于D 选项，()()22ln h x g x mx x x mx =-=-，则()1ln 2h x x mx '=+-，由于函数()h x 有两个极值点，令()0h x '=，可得1ln 2xm x+=， 则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点， 当1x e>时，()0t x >，如下图所示：当021m <<时，即当102m <<时，函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.所以，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.8．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（ ） A ．10m e<<B ．21x x -的值随m 的增大而减小C ．101x <<D ．2x e >【答案】C 【分析】由()0f x =得出ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可判断B 选项的正误. 【详解】令()0f x =，可得ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，定义域为()0,∞+，()1ln xg x x-'=. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增； 当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减. 所以，()()max 1g x g e e==，如下图所示：由图象可知，当10m e <<时，直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点，A 选项正确；当1x >时，()0g x >，由图象可得11x e <<，2x e >，C 选项错误，D 选项正确；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<.由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增，且()()11g g ξη<，11ξη∴<； 函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减，且()()22g g ξη<，22ξη∴>. 由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-，则2121ξξηη->-.所以，21x x -的值随m 的增大而减小，B 选项正确. 故选：C. 【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件，并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数()y g x =的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．。
导数及应用基本问题归纳
导数及其应用基本问题归纳1.与导数的概念有关的问题：x y ∆∆表示函数的平均改变量，它是Δx 的函数，而 (x 0)表示一个数值，即 (x 0)=xy x ∆∆→∆lim 0.导数定义式的等价形式:)()()(lim )()(lim 0000000x f x x x f x f x x f x x f x x x '=--=∆-∆+→→∆.【对应练习】(1)已知f(x)=x 2+2x ，则 =（ ）.(2)函数y=f(x)的图象在P(4，a)点处的切线方程为y=-2x+9，则f(4)+ =( ) 【参考答案】(1)-4.(2)-1. 2.求导公式及求导法则(1)求导公式：①0='C (C 为常数)；②()1-='n nnx x()Q n ∈；③;cos )(sin x x ='④;sin )(cos x x -=' ⑤x x e e =')(；⑥a a a x x ln )(='；⑦x x 1)(ln ='；⑧a x x a ln 1)(log ='. (2)求导法则：①v u v u '±'='±)(；②v u v u uv '+'=')(；③2)(v v u v u v u '-'='；④)()]([})]([{x g x g f x g f '⋅'='.【对应练习】(1)求下列函数的导数：①y=sinx+lnx 2；②y=tanx ；③y=sinxcosx ；④y=xe 2x .(2)已知f(x)是(0,+∞)上非负的可导函数，且x )(x f '+f(x)≤0,对∀正数a,b ，若a ＜b,则有 af(a)≤bf(b)成立吗？(3)已知f(x)、g(x)是定义在R 上的函数，且≠0.若)(x f 'g(x)＜)()(x f x g '，f(x)=g(x)a x , 当25)1()1()1()1(=--+g f g f 时，求实数a 的值.【参考答案】1.①x x y 2cos +='.②xy 2cos 1='.③.x y 2cos ='④xe x y 2)21(+='. 2.成立. 3.a=21.3.利用导数解决与切线有关的问题a.曲线上一点x 0处的导数，就是曲线在该点处切线的斜率；b.切点既在曲线上，又在切线上.即切点的坐标应同时满足曲线和切线方程；c.求曲线的切线方程时要分清两种不同的情形：(1)求在点(x 0，f(x 0))处的切线方程，用点斜式：))(()(000x x x f x f y -'=-即可. (2)求过点(a ，b)的切线方程，应先求切点.其切点的求法为：设切点的横坐标为x 0，再由)()(000x f x a x f b '=--求出x 0后，用(1)的方式求解即可.【对应练习】(1)曲线y=e -2x +1在点(0，2)处的切线与直线y=0,y=x 围成的三角形面积为( ). (2)已知直线y=2x-m 是曲线y=ln2x 的切线，则m=( ).(3)设函数f(x)=g(x)+x 2，曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率是( ).(4)直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点A(1,2).则a b =( ).(5)已知点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ).A.[0,4π). B.[,)42ππ. C.3(,]24ππ. D.3[,)4ππ. (6)已知曲线C:y=x 3-x+2和点(1,2).求在点A 处的切线方程. 变1.求过点A 的切线方程. 【参考答案】1.31. 2. 1. 3. 4. 4. -8. 5.D. 6. 2x-y=0. 变1：2x-y=0.或x+4y-9=0.4.利用导数解决与单调性有关的问题a. (x)>0与f(x)为增函数的关系： (x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定.如函数f(x)=x 3在),(+∞-∞上单调递增，但 ，∴ (x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件. b.0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系：)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之 不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f .当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性.∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不 充分条件.c .函数y=f(x)在区间[a ，b]上单增，则其图像在[a ，b]上上升，对应的导函数图像在x 轴的上方；函数y=f(x)在区间[a ，b]上单减，则其图像在[a ，b]上下降，对应的导函数图像在x 轴的下方. d.要注意分清函数y=f(x)的单调区间是(a,b)与y=f(x)在区间(a,b)上单增(单减)的区别. 若函数y=f(x)的单调区间是(a,b),则a ，b 是导函数方程0)(='x f 的根；若函数y=f(x)在区间(a,b)上单增(单减),则导函数不等式)0)((0)(<'>'x f or x f 在区间(a,b)上恒成立.e.讨论函数的单调性时，务必要考查定义域.写单调区间时，对于区间端点值，当其使函数有意义时，应写成方括号(闭)的形式. 【对应练习】(1)已知函数f (x)=x 3-ax+6.10若它的一个单增区间为(1，+∞)，则a ∈( )； 20若它的一个单减区间为（-2，2），则a ∈( )； 30若它在(1，+∞)上单增，则a ∈( )； 40若它在(-1，2)上单减，则a ∈( )； 50它在R 上有三个单调区间，则a ∈（ ）.（2)设)(x f '是f(x)的导函数，y=)(x f '的图象如图所示，y=f(x)的图象最有可能的是（ ）(3)函数)(x f 的定义域为R ,f(-1)=2,对任意R ∈x ,2)(>'x f ,则42)(+>x x f 的解集为( ). A.(1-，1) B.(1-，+∞) C.(∞-，1-) D(∞-，+∞).(4).函数的导数的图像是如图所示的一条直线，与 轴交点坐标为，则与的大小关系为( ). A. B. C ． D ．无法确定.【参考答案】1.10{3}.20{12};30(-∞,3);40(12,+ ∞)； 50(0,+∞).2.C. 3.B. 4.B.()f x '()f x l l x (1,0)(0)f (3)f (0)(3)f f <(0)(3)f f >(0)(3)f f =1oxy5.利用导数解决与极值、最值有关的问题a.导函数0)(='x f 的根x 0(驻点)，是函数y=f(x)在x=x 0处取得极值的既不充分也不必要条件，当函数y=f(x)在x=x 0处可导时，也只是必要不充分条件.要其成为为极值点，必须满足 )(x f y '=在x=x 0处的左右两侧附近的取值异号.b.极值是函数值的局部变化情况，而最值则是函数在所给取值范围内的整体变化情形.极大值是可以小于极小值的.求最值时要综合考虑极值和区间端点的取值，从中找出最大(小)值来.对于单峰函数，其极值也就是相应的最值. 【对应练习】(1)设函数f(x)=xe x ，则( ).A.x=1为f(x)的极大值点.B.x=1为f(x)的极小值点.C.x=-1为f(x)的极大值点.D.x=-1为f(x)的极小值点(2)设三次多项式函数f(x)导函数为 ，函数)(x f x y '=的图像的一部分如下图，则( ).A.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3).B.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3).C.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3).D.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3).(3)设函数f(x)在R 上可导，其导函数为 ，且函数y=(1-x) 的图像如下图所示，则下列结论中一定成立的是( ).A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1).B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1).C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2).D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2). (4)已知f (x )=ax 3+bx 2+cx (a ≠0)在x =±1时取得极值，且f (1)=－1.10试求常数a 、b 、c 的值； 20试判断x =±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由. 【参考答案】1.D. 2.D. 3.D. 4.10 a=23,0,21==c b ;20当x=－1时，函数取得极大值f(－1)=1,当x=1时，函数取得极小值f(1)=－1.6.利用导数解决与三次多项式函数有关的问题 (1)三次多项式函数与其导函数之间的对应关系：设三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++>由虚根成对定理知，三次多项式方程至少有一个实根，即三次多项式函数与x 轴至少有一个交点当a ＞0时，其图像的大致情形为：当a ＜0时，其图像的大致情形为：三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++>与其导函数为2()32f x ax bx c '=++(二次函数，其判别式2412b ac ∆=-)之间有如下的对应关系： 10.当0∆>时，它们图象的对应关系为：20.当0∆=时，它们图象的对应关系为：3.当0∆<时，它们图象的对应关系为：可知：10当0∆>时，f(x)的图象有一个极大值点x 1和一个极小值点x 2，这与 的两个相异零点x 1，x 2对应；20当 时，f(x)的图象无极值点，但有一个驻点x 0，这与 的零点x 0对应；30当0∆<时，f(x)的图象无极值点，也无驻点，这与 无零点对应，但 在x=x 0处取得最小正值. 【对应练习】(1)函数f(x)=x 3+3x 2+3x+a 的极值点个数为( ).A 、2个B 、1个C 、0个D 、不确定(2)设d cx bx x x f +++=23)(，k 为常数，若k ＜0或k ＞4时，f （x ）-k=0只有一个实根， 当0＜k ＜4时，f （x ）-k=0有三个相异实根，则下列命题正确的序号是（ ） ①f(x)-4=0与0)(='x f 有一个相同的实根； ②f(x)=0与0)(='x f 有一个相同的实根；③f(x)+3=0的任意实根大于f(x)-1=0的任意实根； ④f(x)+5=0的任意实根小于f(x)-2=0的任意实根.(3)若函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 有极值点x 1、x 2，且f(x 1)=x 1.则关于x 轴的方程：3f 2(x)+2af(x)+b=0的不同实根有 个.(4)设5221)(23+--=x x x x f . ①讨论函数f(x)的单调性；②若x ∈[-1，2]时，f(x)＜m恒成立，求实数m 的取值范围【参考答案】1.C. 2. ①②④.3.三个.4. ①( ，],[1，+ )上单增；在[， 上单减. ②m ＞7.o x y x 2 x 1 ⇔o x y x 1 x 2 )(x f ' )(x fo x y x 2 x 1 )(x f o x x 0 )(x f ⇔o x y )(x f ' o x x 0 )(x f ⇔o xy )(x f 'x 0 o x y )(x f o x y )(x f ox y )(x f o x y )(x f o x y )(x foxy )(x f ox y)(x f o x y )(x f x y o 33--3 3 x y o -2 2 1。
《导数及其应用》经典题型及知识点总结
《导数及其应用》经典题型和知识点总结一、知识网络结构题型一 求函数的导数及导数的几何意义 考点一 导数的概念，物理意义的应用例1．(1)设函数()f x 在2x =处可导，且(2)1f '=，求0(2)(2)lim2h f h f h h→+--；(2)已知()(1)(2)(2008)f x x x x x =+++，求(0)f '.考点二 导数的几何意义的应用例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值例3：已知曲线y=.34313+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程.题型二 函数单调性的应用考点一 利用导函数的信息判断f(x)的大致形状例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( )导 数导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值常见函数的导数 导数的运算法则考点二 求函数的单调区间及逆向应用例1 求函数5224+-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间）例2 已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间）练习：求函数xax x f +=)(的单调区间。
例3 若函数f(x)＝x 3－ax 2＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用）练习1：已知函数0],1,0(,2)(3>∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。
2. 设a>0,函数ax x x f -=3)(在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围。
3. 已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2-x+1在R 上为减函数，求实数a 的取值范围。
【精品】导数知识点与常见题型精华总结
1 x ln x ，若函数 f ( x ) 在 1, 上为增函数，求正实数 a 的取值范 ax
围 （注：f(x)为区间上增函数，即 f’(x)0 在区间上恒成立，进而分离变量转化为最值问题， 利用单调性法、图象法、导数法求出新函数最值，得出所求范围）
a2 ， g x x ln x ，其中 a 0 ．若对任意的 x1 , x2 1 ，e（ e x 为自然对数的底数）都有 f x1 ≥ g x2 成立，求实数 a 的取值范围
A． 3 B． 5 C． 2 D． 4 注：这类问题，我们可从题目中展现出来的“切线”字眼来把握题型 做题方法一般是：首先求出切点坐标（一般情况下，题目会给出切点横坐标，代入原函数就 可以求出纵坐标） ，求不出就设；其次求出原函数的导数，代入切点的横坐标计算切线的斜 率（若给出了切线方程，其实就给出了切线的斜率，从而也可得出导数在对应切点横坐标处 的值） ，最后根据直线的点斜式写切线的方程，并化简 题型四：导数求单调区间或判断单调性、求极值、求最值
2 3
2 3
2 处的导 3
2．已知函数 f ( x) x 3 x.
3
（1）求曲线 y f ( x ) 在点 x 2 处的切线方程； （2）若过点 A(1, m ) ( m 2) 可作曲线 y f ( x ) 的三条切线，求实数 m 的取值范围
题型六：给出函数单调性的恒成立问题以及其它恒成立问题 1．已知函数 f ( x )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
t
O
t
O
t O
t
A． B． C． D． 注：导数体现的就是“率”，函数改变率越来越大（如此体的加速，这些需要我们的理解） 就代表导数是增函数，此时原函数的图象下凹，反之，若函数改变率越来越小就带代表导数 是减函数，此时原函数的图象上凸 题型三：导数的切线问题 1．设函数 f ( x) g ( x) x 2 ，曲线 y g ( x ) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y 2 x 1 ， 则曲线 y f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为( )
导数各类题型方法总结(含答案)
导数各种题型方法总结一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)('=x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，4323()1262x mx x f x =--（1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32()332x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=--（1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”，则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <(0)0302(3)09330g m g m <-<⎧⎧⇒⇒>⎨⎨<--<⎩⎩解法二：分离变量法：∵ 当0x =时, 2()330g x x mx ∴=--=-<恒成立,当03x <≤时, 2()30g x x mx =--<恒成立等价于233x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3()h x x x=-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h ==2m ∴>(2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2()30g x x mx =--< 恒成立变更主元法再等价于2()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题）22(2)023011(2)0230F x x x F x x ⎧->--+>⎧⎪⇒⇒⇒-<<⎨⎨>-+>⎪⎩⎩2b a ∴-=例2：设函数),10(3231)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-= （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围. （二次函数区间最值的例子）解：（Ⅰ）()()22()433f x x ax a x a x a '=-+-=---01a <<Q令,0)(>'x f 得)(x f 令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（－∞，a ）和（3a ，+∞）∴当x=a 时，)(x f 极小值=;433b a +-当x=3a 时，)(x f 极大值=b.（Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得：对任意的],2,1[++∈a a x 2243a x ax a a -≤-+≤恒成立①则等价于()g x 这个二次函数max min ()()g x a g x a≤⎧⎨≥-⎩ 22()43g x x ax a =-+的对称轴2x a =01,a <<Q 12a a a a +>+=（放缩法）即定义域在对称轴的右边，()g x 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
导数常见题型与解题方法总结
导数常见题型与解题方法总结导数题型总结：1.分离变量：在使用分离变量时，需要特别注意是否需要分类讨论（大于0，等于0，小于0）。
2.变更主元：已知谁的范围就把谁作为主元。
3.根分布。
4.判别式法：结合图像分析。
5.二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系；（2）端点处和顶点是最值所在。
基础题型：此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：1.令f'(x)=0，得到两个根。
2.画两图或列表。
3.由图表可知。
另外，变更主元（即关于某字母的一次函数）时，已知谁的范围就把谁作为主元。
例1：设函数y=f(x)在区间D上的导数为f'(x)，f'(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，g(x)<___成立，则称函数y=f(x)在区间D上为“凸函数”。
已知实数m是常数，f(x)=(-x^4+mx^3+3x^2)/62.1.若y=f(x)在区间[0,3]上为“凸函数”，求m的取值范围。
解法一：从二次函数的区间最值入手，等价于g(x)<0在[0,3]上恒成立，即g(0)<0且g(3)<0.因此，得到不等式组-3<m<2.解法二：分离变量法。
当x=0或x=3时，g(x)=-3<0.因此，对于0≤x≤3，g(x)<___成立。
根据分离变量法，得到不等式组-3<m<2.2.若对满足m≤2的任何一个实数m，函数f(x)在区间(a,b)上都为“凸函数”，求b-a的最大值。
由f(x)=(-x^4+mx^3+3x^2)/62得到f'(x)=(-4x^3+3mx^2+6x)/62，f''(x)=(-12x^2+6mx+6)/62.因为f(x)在区间(a,b)上为“凸函数”，所以f''(x)>0在(a,b)___成立。
因此，得到不等式组a≤x≤b和-12a^2+6ma+6>0，即a≤x≤b且m≤2或a≤x≤b且m≥1/2.由于m≤2，所以a≤x≤b且m≤2.根据变更主元法，将F(m)=mx-x^2+3视为关于m的一次函数最值问题，得到不等式组F(-2)>0和F(2)>0，即-2x-x^2+3>0且2x-x^2+3>0.解得-1<x<1.因此，b-a=2.Ⅲ）由题意可得，对任意x∈[1,4]，有f(x)≤g(x)代入g(x)得：x3+(t-6)x2-(t+1)x+3≥x3+(t-6)x2/2化___：x2(t-7/2)-x(t+1/2)+3≥0由于对于任意x∈[1,4]，不等式都成立，所以判别式≤0：t+1/2)2-4×3×(t-7/2)≤0化___：t2-10t+19≤0解得：1≤___≤9综上所述，a=-3，b=1/2，f(x)的值域为[-4,16]，t的取值范围为1≤t≤9.单调增区间为：$(-\infty,-1),(a-1,+\infty)$和$(-1,a-1)$。
导数在函数中的应用——题型总结
导数在函数中的应用一.基础知识1.函数的导数与单调性在某个区间内，若()f x '>0，则函数)(x f y =在这个区间内单调递增；若()f x '<0, 则函数)(x f y =在这个区间内单调递减.2.函数的导数与极值（1）极大值：如果在0x 附近的左侧()f x '>0，右侧()f x '<0，且()f x '=0，那么0()f x 是极大值；（2）极小值：如果在0x 附近的左侧()f x '<0，右侧()f x '>0，且()f x '=0，那么0()f x 是极小值；3.函数的导数与最值(1)函数)(x f y =在区间[a,b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a,b]上，函数)(x f y =的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2) 求函数)(x f y =在区间[a, b]上最大值与最小值的步骤：①求函数)(x f y =在区间（a,b ）内的极值；②将函数)(x f y =的各个极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值4．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f(x)；(2)求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．注意事项1.直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点．2.(1)f ′(x)＞0在(a ，b)上成立是f(x)在(a ，b)上单调递增的充分条件．(2)对于可导函数f(x)，f ′(x0)＝0是函数f(x)在x ＝x0处有极值的必要不充分条件．3.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f ′(x)；(3)由f ′(x)＞0(f ′(x)＜0)解出相应的x 的范围．当f ′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f ′(x)＜0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．4.(1)注意实际问题中函数定义域的确定．(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．二.题型训练题型一 求曲线切线的方程例1.已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在x ＝2处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．变式1.曲线y ＝x e x ＋1在点(0,1)处的切线方程是( )A ．x －y ＋1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －y －1＝0D ．x －2y ＋2＝02.直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则a －b 的值为( )A ．－4B ．－1C ．3D ．－2 题型二.求函数的单调区间例2. 已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．练习：1. 设函数f (x )＝x (e x －1)－12x 2，则函数f (x )的单调增区间为________．2. 已知函数f(x)＝13x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R )．(1)当a ＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(1)＝13，且函数f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上不存在极值点，求a 的取值范围．题型三.分类讨论求函数的单调区间例3. 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ln x (x >0，实数a ，b 为常数)．(1)若a ＝1，b ＝－1，求函数f (x )的极值；(2)若a ＋b ＝－2，讨论函数f (x )的单调性．练习：1. 已知函数f(x)＝x 2－(a ＋2)x ＋a ln x ＋2a ＋2，其中a ≤2.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0，2]上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．2. 已知a ∈R ，函数3()42f x x ax a =-+（1）求()f x 的单调区间（2）证明：当0≤x ≤1时，()f x + 2a -＞0.3. 设函数()x f x e ax 2=－－(Ⅰ)求()f x 的单调区间(Ⅱ)若a=1，k 为整数，且当x>0时，()()x k f x x 10'>-++，求k 的最大值小结：利用导数研究函数的单调性关注四点(1)利用导数研究函数的单调性，大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论．(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论．(3)在不能通过因式分解求出根时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．(4)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．题型四.单调性的逆用例4. 已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间．练习：1. 已知函数f (x )＝(x ＋a )2－7b ln x ＋1，其中a ，b 是常数且a ≠0.(1)若b ＝1时，f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围；(2)当b ＝47a 2时，讨论f (x )的单调性．2. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞) C ．[0,3] D ．[3，＋∞)3. 函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间[－1,2]上不单调，则实数a 的范围是________． 4. 已知函数f （x ）=3213x x ax b -++的图像在点P （0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2 (Ⅰ)求实数a,b 的值；(Ⅱ)设g （x ）=f(x)+1m x -是[2,+∞]上的增函数，求实数m 的最大。
导数题型总结(12种题型)
导数题型总结1.导数的几何意义2.导数四则运算构造新函数3.利用导数研究函数单调性4.利用导数研究函数极值和最值5.①知零点个数求参数范围②含参数讨论零点个数6.函数极值点偏移问题7.导函数零点不可求问题8.双变量的处理策略9.不等式恒成立求参数范围10.不等式证明策略11.双量词的处理策略12.绝对值与导数结合问题导数专题一导数几何意义一.知识点睛导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。
二.方法点拨：1.求切线①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导数求得函数y ＝f(x)在点x=x 0处的导数f ′(x 0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．②点（x 0，y 0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x 1，y 1)； (2)根据切点写出切线方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1) (3)利用点（x 0，y 0）在切线上求出（x 1，y 1）； (4)把（x 1，y 1）代入切线方程求得切线。
2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f ′(x 0) ②切点在曲线上③切点在切线上三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式 四．跟踪练习1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a= A. 0 B.1 C.2 D.33.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=4.（2014江西）若曲线y=e -x上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+xb（a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=21e x上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为 A.1-ln2 B.2（1-ln2） C.1+ln2 D.2(1+ln2)7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x-9都相切，则a 等于 8.抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A.2B.827C. 22D. 19.已知点P 在曲线y=14+x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 10.已知函数f （x ）=2x 3-3x.（1）求f （x ）在区间[-2，1]上的最大值；（2） 若过点P （1，t ）存在3条直线与曲线y=f （x ）相切，求t 的取值范围. 11. 已知函数f （x ）=4x-x 4，x ∈R. (1) 求f （x ）的单调区间(2) 设曲线y=f （x ）与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y=g （x ），求证： 对于任意的实数x ，都有f （x ）≤g （x ）(3) 若方程f （x ）=a （a 为实数）有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2-x 1≤-3a+431.导数专题二 利用导数四则运算构造新函数 一．知识点睛 导数四则运算法则：[f(x)±g （x ）]’=f ′(x)±g ′(x) [f(x)·g （x ）]’=f ′(x)·g(x) +f(x)·g ′(x)[ )()(x g x f ]′=2[g(x)](x)f(x)g'(x)g(x)f'- 二．方法点拨在解抽象不等式或比较大小时原函数的单调性对解题没有任何帮助，此时我们就要构造新函数，研究新函数的单调性来解抽象不等式或比较大小。
高中数学导数题型总结
高中数学导数题型总结在高中数学学习中，导数是一个重要的概念，也是考试中经常考察的一个知识点。
导数是函数在某一点的变化率，具有很多重要的应用，同时也涉及到各种不同类型的题型。
在学习导数的过程中，我们需要掌握各种导数的求法和应用技巧。
下面对高中数学中常见的导数题型进行总结。
一、基本导数1. 常数函数的导数常数函数f(x) = c(c为常数）的导数为f'(x) = 0。
2. 幂函数的导数幂函数f(x) = x^n（n为常数）的导数为f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数指数函数f(x) = a^x(a为常数且a>0且a≠1）的导数为f'(x) = a^x *ln(a)。
4. 对数函数的导数对数函数f(x) = log_a(x)(a为常数且a>0且a≠1）的导数为f'(x) =1/(x * ln(a))。
5. 三角函数的导数（1）sin函数的导数为cos函数，即(d/dx)sin(x) = cos(x)。
（2）cos函数的导数为-sin函数，即(d/dx)cos(x) = -sin(x)。
6. 反三角函数的导数（1）arcsin函数的导数为1/√(1-x^2)，即(d/dx)arcsin(x) = 1/√(1-x^2)。
（2）arccos函数的导数为-1/√(1-x^2)，即(d/dx)arccos(x) = -1/√(1-x^2)。
二、常见导数题型1. 导数的四则运算根据导数的性质，可以对各种函数进行求导。
常见的导数运算包括求和、差、积、商等。
2. 复合函数的导数对于复合函数，可以利用链式法则来求导数。
链式法则是导数运算中的重要方法，可以将复杂的函数拆分为简单的函数求导。
3. 隐函数的导数当函数关系以隐式形式给出时，需要利用隐函数求导法则来求导数。
通过对隐含方程两边同时对x求导，可以求得隐函数的导数。
4. 参数方程的导数对于参数方程给出的函数关系，可以通过对参数t求导来求得函数关系的导数。
导数经典题型归类(共12类)
导数经典题型归类（共12类）导数题型目录 1.导数的几何意义 2.导数四则运算构造新函数 3.利用导数研究函数单调性 4.利用导数研究函数极值和最值 5. 知零点个数求参数范围 含参数讨论零点个数 6.函数极值点偏移问题7.导函数零点不可求问题8.双变量的处理策略 9.不等式恒成立求参数范围 10.不等式证明策略 11.双量词的处理策略12.绝对值与导数结合问题导数专题一导数几何意义一.知识点睛导数的几何意义：函数y=f （x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。
二.方法点拨：1.求切线①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0 (2)求出导数f′(x)，把x0代入导数求得函数y＝f(x)在点x=x0处的导数f′(x0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)．②点（x0，y0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x1，y1)；(2)根据切点写出切线方程y－y1＝f′(x1)(x－x1) (3)利用点（x0，y0）在切线上求出（x1，y1）；(4)把（x1，y1）代入切线方程求得切线。
2. 求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f′(x0) ②切点在曲线上③切点在切线上三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式四．跟踪练习 1. （2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)=f（-x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线方程是 2. （2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln（x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x，则a= A. 0 3. （2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b= 4.（2014江西）若曲线y=e-x 上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是 5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，-5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P在曲线y=ex上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则▕PQ▏的最小值为 B.（1-ln2）+ln2 D.(1+ln2) 7. 若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切，则a等于8. 抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A. B. C. D. 1 9. 已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 10. 已知函数f（x）=2x3-3x.（1）求f（x）在区间[-2，1]上的最大值；（2）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围. 11. 已知函数f（x）=4x-x4，x∈R. (1) 求f（x）的单调区间 (2) 设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）(3) 若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2-x1≤-+4. 导数专题二利用导数四则运算构造新函数一．知识点睛导数四则运算法则：[f(x)±g（x）]’=f′(x)±g′(x) [f(x)·g（x）]’=f′(x)·g(x) +f(x)·g′(x) [ ]′= 二．方法点拨在解抽象不等式或比较大小时原函数的单调性对解题没有任何帮助，此时我们就要构造新函数，研究新函数的单调性来解抽象不等式或比较大小。
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《导数及其应用》经典题型总结
一、知识网络结构 题型一 求函数的导数及导数的几何意义
考
点一 导数的概念，物理意义的应用
例
1．(1)设函数()f x 在
2x =处可
导，且(2)1f '=，求
0(2)(2)
lim
2h f h f h h
→+--；
(2)已知()(1)(2)
(2008)f x x x x x =+++，求(0)f '.
考点二 导数的几何意义的应用
例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值
例3：已知曲线y=.3
43
13+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程. 题型二 函数单调性的应用
考点一 利用导函数的信息判断f(x)的大致形状
例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( ) 考点二 求函数的单调区间及逆向应用
例1 求函数522
4
+-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间）
例2 已知函数f (x )＝1
2x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间）
练习：求函数x
a
x x f +
=)(的单调区间。
例3 若函数f(x)＝x 3
－ax 2
＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用） 练习1：已知函数0],1,0(,2)(3
>∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。
2. 设a>0,函数ax x x f -=3
)(在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围。
3. 已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2-x+1在R 上为减函数，求实数a 的取值范围。
总结：已知函数)(x f y =在),(b a 上的单调性，求参数的取值范围方法： 1、利用集合间的包含关系
2、转化为恒成立问题（即0)(0)(/
/≤≥x f x f 或）（分离参数） 3、利用二次方程根的分布（数形结合） 例4 求证x x <sin ，（π∈x ）（证明不等式） 练习：已知x>1，证明x>ln(1＋x)． 题型三 函数的极值与最值
考点一 利用导数求函数的极值。
例1 求下列函数的极值：(1)f(x)＝x ＋1
4x ；(2)f(x)＝ln x ＋1x
.（不含参函数求极值）
例2 设a>0，求函数f(x)＝x 2＋a
x
(x>1)的单调区间，并且如果有极值时，求出极值.（含参函数求极值）
例3设函数f(x)＝a
3x 3＋bx 2＋cx ＋d(a>0)，且方程f ′(x)－9x ＝0的两个根分别为1,4.若f(x)在(－∞，
＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．（函数极值的逆向应用）
例4 已知函数f(x)＝x 3
－3ax －1，a ≠0. （利用极值解决方程的根的个数问题） (1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 题型四 函数的最值 例1 求函数[]2,2,1
4)(2
-∈+=
x x x
x f 的最大值与最小值。
（不含参求最值） 例2 已知函数f(x)＝ax 3－6ax 2＋b ，试问是否存在实数a 、b ，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．(最值的逆向应用) 例3 已知f(x)＝xlnx ，g(x)＝x 3＋ax 2－x ＋2. (1)求函数f(x)的单调区间．
(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，2f(x)≤g ′(x)＋2恒成立，求实数a 的取值范围．（利用极值处理恒成立问题）
练习1 已知f (x )＝x 3－1
2
x 2－2x ＋5，当x ∈[－1,2]时，f (x )<m 恒成立，求实数m 的取值范围。
(2)f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]恒有f (x )≥0成立，则a ＝________.
二、知识点
1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：
()()
2121
f x f x x x --.
2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x
x f x x f x f y x x x ∆-∆+='='
→∆=)()(lim
)(000
00
．
3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()
y f x =在点
()()
00,x f x P 处的切线的斜率．
4、常见函数的导数公式：
①'
C 0=；②1')(-=αααx
x ； ③x x cos )(sin '
=；④x x sin )(cos '
-=；
⑤a a a x
x ln )('
=；⑥x
x e e ='
)(； ⑦a x x a ln 1)(log '
=
；⑧x
x 1)(ln '
= 5、导数运算法则：
()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦；
()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '
''⋅=+⎡⎤⎣⎦；
()3()()()()()()
()()()2
0f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦．
6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减．
7、求解函数()y f x =单调区间的步骤：
（1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数'
'
()y f x =； （3）解不等式'
()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．
8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：
()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值；
()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．
9、求解函数极值的一般步骤：
（1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根
（4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是：
()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值；
()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最
小的一个是最小值．。