二元二次多项式的因式分解
举一反三系列01——二元二次多项式的因式分解
举一反三系列01——二元二次多项式的因式分解二元二次多项式ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f(a，b，c不全为零)如何因式分解呢？这里以x^2+4xy-12y^2-x+26y-12为例介绍一种方法——仨十字相乘法，即连续三次运用十字相乘法进行分解。
这种方法的步骤是：第一步，用十字相乘法把二次项x^2+4xy-12y^2分解为(x-2y)(x+6y)；第二步，用十字相乘法把只含x及常数项的二次项式x^2-x-12分解为(x+3)(x-4)。
注意这里对x^2的分解要保持与第一步的分解相同；第三步，用十字相乘法把只含y及常数项的二次项式-12^2+26y-12分解为(-2y+3)(6y-4)。
这里要注意两点：（1）对y^2的分解要保持与第一步的分解相同；（2）对常数项-12的分解要保持与第二步的分解相同；第四，把第二步和第三步常数项相同的因式分别并为一个因式，同时相同的常数项只写一个，即把(x+3)与(-2y+3)并为一个因式，得(x-2y+3)；把(x-4)与(6y-4)并为一个因式，得(x+6y-4).则x^2+4xy-12y^2-x+26y-12=(x-2y+3)(x+6y-4)。
说明：上述第一步、第二步和第三步中，如果某一步不能分解或不能满足条件，则说明该多项式是不能分解的。
上述分解用十字相乘法可表示为如图1：如果把常数项的分解多写一遍，则可以显得更加直观明了(如图2所示)。
例如，分解因式：x^2-3xy+2y^2+11x-17y+30。
解：如图3所示，则原式=(x-2y+5)(x-y+6)。
练习：分解因式：（1）x^2+4xy+3y^2+x+5y-2；（2）2x^2+3xy+y^2-26x-21y+80；（3）x^2-y^2+6x+18y-72.。
二元二次方程组的解法
二元二次方程组的解法
二元二次方程组是由两个未知数的一个二次方程和一个次数不超过二次的方程所组成的方程组。
二元二次方程组的解法有代入法，因式分解法，配方法，韦达定理法，消除常数等方法。
1
在初等代数中，通常把由两个未知数的一个二次方程和一个次数不超过二次的方程所组成的方程组，叫做二元二次方程组。
二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。
由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。
2
1.代入法
由一个二次方程和一个一次方程所组成的方程组通常用代入法来解，这是基本的消元降次方法。
2.因式分解法
在二元二次方程组中，至少有一个方程可以分解时，可采用因式分解法通过消元降次来解。
3.配方法
将一个式子，或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和。
4.韦达定理法
通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。
5.消常数项法
当方程组的两个方程都缺一次项时，可用消去常数项的方法解。
因式分解技巧讲解002
七、综合运用及技巧
1、换元（即整体法）
因式分解时可以用一个字母代替一个整式，也可以将原式中的某个部分变形后的式子用
一个字母代替，（一般都是既约多项式），分解完后再将其带入。
2、主次分清
我们在处理一个项数多的多项式的时候，可以按照一个主要字母（任选）的降幂整理后，
然后分解。
十字相乘法解决。
[例]分解因式：6x2-7x+2
解：采用类似的办法：把6分解成2×3，写在第一列；把2分解成(-1)×(-2)，写在第二
列；然后交叉相乘，把积相加，最后把得到的和写在横线下面。如下：
2 -1
3 -2
-7
这个和恰好是一次项的系数，于是有：
上面的算式称之为长十字相乘，式子中的三个十字，就是上面所说的三个十字相乘，我
们省略了横线及其底下的数。
如果二次式中的缺少一项或几项，长十字相乘仍然可用。
[例]分解因式：x2-y2+5x+3y+4[缺少含有字母的项]
解：由如下算式
(x) (y) (1)
1 1 1
=2a2b(x+y)(b+c)[(x+y)+3a3b3(b+c)]
=2a2b(x+y)(b+c)(x+y+3a3b4+3a3b3c)
其实这是一种整体的思想，在因式分解中应用广泛。
3、切勿漏1
4、注意符号
在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变。
5、化“分”为整
数学论文——因式巧分解
史虓
◎综述
所谓多项式的因式分解，是把一个多项式写成几个整式的积的形式。因式分解并不复杂，
二元二次非齐次多项式因式分解的条件分析
维普资讯
罗安文 ：二元二欠非齐次多项式因式分解的条件分析
＝ ＋ ）２＋，／ｄ－（ｍ＋凡 ＋２ ４，４（ｍ＋凡 ＋胁
２√Ａ
ｆ，ｌｄ－（ｍ＋凡）＝Ｄ （２）
（Ｈ ＝Ａｈ ＋Ｂｋｈ＋Ｃ ＋Ｄ＾＋Ｅ ＋Ｆ）
企．Ｊ．２Ａｈ＋Ｂｋ＋Ｄ ＝０
罗安 文
（湖北职业技术学院 财经系 ，湖北 孝感 ４３２０００）
［摘 要］文章对二元二次非齐次多项式能因式分解的充要条件进行 了论证分析。
［关 键 词 ］ 二元 二 次非 齐 次 多项 式 ；因式分 解 ；条件 分析
［中图 分类 号 ］ Ｑ１７４．１４
［文 献标识 码 ］ Ａ
形如 “Ａ ＋Ｂｘｙ＋ ＋ ＋ ＋Ｆ”的多项式 二元二次非齐多项式Ｆ（ ，Ｙ）＝Ａｘ ＋Ｂｘｙ＋ ＋
Ｂ２ ２
＋
＋
２Ｄ
‘
Ｂ
２Ｄ
＋
‘
Ｄ Ｅ ２Ｆ
故 ：△ ＞０时 ，ｒ（ｘ，Ｙ）在实数பைடு நூலகம்上能分解因式
＋
４Ａ
的充要条件是 △ ＝０． 例 ２：试讨论下列多项式的因式分解
把 Ｂ ＝４ＡＣ，ＢＤ ＝２ＡＥ代人得 ：
（１）Ｖ（ｘ，Ｙ） ＝２ｘ ＋３ｘｙ＋５ｙ２＋２ 一３），一５
（ ＋ ＋ｍ）（ ＋
Ｄ ＋ √Ｄ 一４ＡＦ Ｄ 一 、
ｍ
———— ——＿＝＝■— 一
２ ０
，１７，
２，ｉＸ ’
而 日
·
＋
或 （ｎ ：— Ｄ—＋—￣—／Ｄ２ － ４ＡＦ
—
—
一
＝＝＝
２ ０Ａ
，，，ｌ ：
２
文章如何利用因式分解法解决二元二次不等式组
文章如何利用因式分解法解决二元二次不等式组在数学学科中，因式分解法是一种常见的解决二元二次不等式组的方法。
通过将不等式组中的二次项进行因式分解，可以得到更简洁的表达形式，进而分析不等式的解集。
本文将详细介绍如何利用因式分解法来解决二元二次不等式组的问题。
一、因式分解法简介因式分解法是一种将多项式分解成两个或多个较简单的因子乘积的方法。
在解决二元二次不等式组时，我们需要将其中的二次项分解为两个一次项的乘积，并通过比较各项系数来确定不等式的解集。
二、解决二元二次不等式组的具体步骤以下是解决二元二次不等式组的具体步骤：步骤一：观察等号右边的不等式组是否可以因式分解。
只有在能够因式分解的情况下，我们才能使用因式分解法解决不等式组。
步骤二：对二次项进行因式分解。
将二次项分解为两个一次项的乘积，并且注意保持不等号的方向不变。
例如，对于不等式组x^2 + y^2 < 9和xy < 0，我们可以将第一个不等式进行因式分解得到(x+3)(x-3)+y^2 < 0，而第二个不等式无法进行因式分解。
步骤三：比较各项系数。
根据因式分解后得到的形式，比较各项系数并进行分类讨论。
例如，对于上述的不等式组(x+3)(x-3)+y^2 < 0，我们可以依次比较x^2，x，y^2的系数，并进行分类讨论。
步骤四：确定不等式的解集。
根据比较各项系数的结果，确定不等式的解集。
例如，对于上述的不等式组(x+3)(x-3)+y^2 < 0，我们可以通过研究x^2的系数得知x的取值范围，通过研究y^2的系数得知y的取值范围，进而确定不等式组的解集。
三、实例分析为了更好地理解因式分解法解决二元二次不等式组的过程，我们来看一个具体的实例。
例题：解决不等式组x^2 + y^2 - 4xy < 0和x - y < 0。
解法：首先，我们对第一个不等式进行因式分解，得到(x-y)^2 +2xy - 4xy < 0。
因式分解技巧 二元二次式的分解
6 二元二次式的分解形如ax 2＋bxy ＋cy 2＋dx ＋ey ＋f 的x 、y 的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．6．1 欲擒故纵【例1】分解因式：x 2＋2xy －3y 2＋3x ＋y ＋2． 【解】 如果只有二次项x 2＋2xy －3y 2，那么就由算式11132-得 x 2＋2xy －3y 2＝(x －y )(x ＋3y )． 如果没有含y 的项，那么对于多项式x 2＋3x ＋2，由算式 11123得 x 2＋3x ＋2＝(x ＋1)(x ＋2)． 如果没有含x 的项，那么对于多项式－3y 2＋y ＋2，由算式 13-121得 －3y 2＋y ＋2＝(－y ＋1)(3y ＋2)． 把以上三个算式“拼”在一起，写成 1113-12便得到所需要的分解：x 2＋2xy －3y 2＋3x ＋y ＋2 ＝(x －y ＋1)(x ＋3y ＋2)．上面的算式称为长十字相乘，式中的三个十字叉乘就是上面所说的三次十字相乘（我们省略了横线及横线下面的数）．两次十字相乘就可以确定算是中的6个数，第三次十字相乘只需利用已有的数进行检验，必要时把同一列的两个数的位置交换一下．长十字中的第一行1－1＋1表示因式x －y ＋1，第二行的1＋3＋2表示另一个因式x ＋3y ＋2．为了解决问题，常常先忽略一些条件，导出部分结果，然后再把几方面的结果综合起来，这种欲擒故纵的方法在数学中屡见不鲜．【例2】分解因式：6x 2－5xy －6y 2＋2x ＋23y －20． 【解】 先进行两次十字相乘，由算式()()23x y 325--()(1)23x 452- 得 6x 2－5xy －6y 2＝(2x －3y )(3x ＋2y )，6x 2＋2x －20＝(2x ＋4)(3x －5)．为避免混淆，我们在算式中写上（x ）、（y ）、（1），表示相应的列是x 、y 的系数或常数项．然后把两个算式拼成()()(1)23x y 32-45- 检验一下，正好有 (－3)×(－5)＋2×4＝23， 于是 6x 2－5xy －6y 2＋2x ＋23y －20＝(2x －3y ＋4)(3x ＋2y －5)．6．2 三元齐次长十字相乘对于三个字母x 、y 、z 的二次齐次式ax 2＋bxy ＋cy 2＋dxz ＋3yz ＋fz 2也同样适合．【例3】分解因式：x 2－6xy ＋9y 2－5xz ＋15yz ＋6z 2． 【解】 由算式()()()11x y z 33--23-- 得 x 2－6xy ＋9y 2－5xz ＋15yz ＋6z 2＝(x －3y －2x )(x －3y －3z )．【例4】已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0．求证：2b ＝a ＋c ．【证明】由算式()()()11a b c 12--31得 a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝(a －b ＋3c )(a －2b ＋c )．于是，由已知条件，得(a －b ＋3c )(a －2b ＋c )＝0．因为三角形的两条边的和大于第三条边，所以a－b＋3c≠0，从而a－2b＋c＝0，即2b＝a＋c．6．3 项数不全如果二次式中缺少一项或几项，长十字相乘仍然可用（通常更为简单）．【例5】分解因式：x2－y2＋5x＋3y＋4．【解】由算式1 111-14得x2－y2＋5x＋3y＋4＝(x＋y＋1)(x－y＋4)．在例5中，如果仅看x2－y2与x2＋5x＋4，也可能导出不完全正确的算式1 111-41在用第三个十字相乘时，可以发现第三列的4与1应当交换位置．【例6】分解因式：x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y．【解】由算式1 1212得x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y＝(x＋2y)(x＋y＋2)．6．4 能否分解二元二次式并不是一定能分解的．如果三个十字相乘不能拼成一个长十字相乘，那么这个二元二次式就不能分解．所以，在编制分解二元二次习题时，应当先拟好答案，即两个一次因式，然后把它们相乘，导出一个二元二次式．换句话说，应当先写出长十字相乘的算式，然后再写出二元二次式．如果随意地写一个二元二次式，那么多数是不能分解的．【例7】m为什么数时，x2＋7xy－18y2－5x＋my－24可以分解为两个一次因式的积？【解】对于多项式x2＋7xy－18y2，由算式1 19 27-对于多项式x2－5x－24，由算式1 18 35--这两个算式可以拼成长十字相乘1 192-83-或1 192-38-对第一个长十字相乘，有9×3＋(－2)×(－8)＝43，而对第二个长十字相乘，有9×(－8)＋(－2)×3＝－78，所以，m＝43或m＝－78时，x2＋7xy－18y2－5x＋my－24才可以分解，并且由第一个长十字相乘，得x2＋7xy－18y2－5x＋my－24＝(x＋9y－8)(x－2y＋3)，由第二个长十字相乘，得x2＋7xy－18y2－5x＋my－24＝(x＋9y＋3)(x－2y－8)．小结x、y的二次式（或x、y、z的二次齐次式）应当用长十字相乘来分解．长十字相乘由三个十字相乘组成，它们分别表示x、y的二次齐次式、不含x的二次式（或y、z的二次齐次式）与不含y的二次式（或z、x的二次齐次式）的因式分解．习题6将以下各式分解因式：1．x2＋2xy＋y2＋3x＋3y＋2．2．4x2－14xy＋6y2－7x＋y－2．3．x2－y2－3z2－2xz＋4yz．4．2y2－5xy＋2x2－ay－ax－a2．5．a2－3b2－3c2＋10bc－2ca－2ab．6．2a2－7ab－22b2－5a＋35b－3．7．x2－2y2－3z2＋xy＋7yz＋2xz．8．2x2－6y2＋3z2－xy＋7xz＋7yz．9．4x2－9y2＋2z2＋6xz－3yz．10．4x2＋2z2＋xy＋9xz＋2yz．习题6 1．(x＋y＋1)(x＋y＋2)2．(4x－2y＋1)(z－3y－2)3．(x＋y－3z)(x－y＋z)4．(x－2y－a)(2x－y＋a)5．(a＋b－3c)(a－3b＋c)6．(a＋2b－3)(2a－11b＋1)7．(x－y＋3z)(x＋2y－z)8．(x－2y＋3z)(2x＋3y＋z)9．(2x＋3y＋2z)(2x－3y＋z)10．(x＋2z)(4x＋y＋z)。
试论二元二次非齐多项式因式分解的条件——兼与李朝胜同志商榷
,
这 个 条件是充 分 条 件
+
事 实
(见 本
二
上
,
这个 条件 作为 必 要 条件不 是 最 优 的
*
因为 还有 比 它 更 简 明 更 适用 的 必 要条件 比 如 多项 式
x “
文定 理 )
而作 为充 分 条件 则是 错误 的
2劣
g
十
5夕
“
+
x 2
+
6夕 +
2
o
八 “
} }
2 2
2
2
2
` 0 6
十
F 的 多 项式
,
叫做 二 元 二 次 非 齐 次 多 项 式
,
。
如
) f
果 它 能分 解 因 式 的 话 的 形式
“
一 定是 分 解成 两 个 一 次 因 式 的 积
“
即a (
x
+
。
如
+
`
)
(dx 十
勺
+
在 什 么 条件下 才 能分解 成这 种形 式 呢 ? 这 里 有如 下 定 理
:
定理
多项 式 月 x
c
d )x
+
( bf+
c e
),
+
c
步
必
比 较 上 面 恒 等 式 两 边 的 对 应 项 系数有
、
!
l l
尹 口 \
a
d
二
A bd c
:
……①
二
/,
、 厂 ; !
l时
bf
+
二元二次多项式的“十字相乘”法
x (
+
1)
,
x
的系 数 为
扩 +
(一 4) y
Zx y
的 系 数为 1 4
一 4x
一 3
完 全 符合 原 题
一 5 一 (x +
则 例 解
a
,
一 8少 一 b 4
14y
一 5 ) (
2
将
矿 一 夕 十 a 2
分 解 因式
+
1 ) (a 一 b 一 3 )
一
Zy
+
) l
按前 面 所述 步 骤 分 解 如 下
, 一 b 十 Za 一 4 b 一 3 ~
(a +
,
b
或 一 (a +
,
b 一 3) (a
。
一 b +
l )
取 一
a
3 一
Z
l
,
x
(一 3 ) 这 一组时
a
的 系 数为
+
b
(一 2 )
与题不 合 故 舍 去 取
或 一 (a +
一 3 一 3 又 〔 一 l ) 一 b 十 3)
再验 证
一 b +
Za 一 4 b 一 3 一 ( a
a
22
-
+ 试y +
9 g
, 2
.
g
2
,
) ( c z x
己
35
,
+ 姚y +
g
:
)
,
其中
当然
,
c
,
c
:
=
二元二次多项式的因式分解
二元二次多项式的因式分解二元二次多项式是数学中一种最常用的多项式，也称为二次多项式，它由常数项和二次项等组成。
一般地，它可以表示为：（ax+bx+c）。
其中a、b、c都是常数，而x、x则为非常数项，a不能等于0。
二元二次多项式有一种叫做“因式分解”的方法，以ax+bx+c为例，它可以分解为：（ax+m）（bx+n），其中m、n是常数，且有：m×n=bc，a+b=m+n。
若将a=1，则因式分解的总体形式为：（x+m）（x+n）。
因式分解是一种有效的求根法，我们可以通过因式分解求出多项式的根。
具体的步骤如下：（1）令ax+bx+c=0，求解m、n使其满足mn=bc，a+b=m+n。
（2）将ax+bx+c化为x+m与x+n相乘的形式，即：ax+bx+c=(x+m)(x+n)（3）把乘积形式表示为0，即：x+(m+n)x+(mn)=0（4）解该二次方程：x1= -(m+n)/2+√［(m+n)-4mn］/2， x2= -(m+n)/2-√［（m+n）-4mn］/2（5）则x1+m，x2+m求出的两个根分别等于多项式ax+bx+c的根。
因式分解的另外一个重要应用，是可以用它来求解求解两个方程的解，例如：ax+bx+c=0 dx+ex+f=0。
若想要求出这两个方程的解，我们首先要求解因式分解的结果，即：（x+m）（x+n），同时，我们也要求解另外一种分解的结果，即：（x+p）（x+q），其中m、n、p、q是常数，且有：m×n=bc，p×q=ef，a+b=m+n，d+e=p+q。
若将a=d=1，则有：（x+m）（x+n）（x+p）（x+q）=0，我们可以把这四个方程的解列出来：x1=-m-p，x2=-m-q，x3=-n-p，x4=-n-q，根据以上四个解，我们就可以求出这两个方程的解。
总结而言，因式分解是一种简单而实用的方法，它可以用来求解二元二次多项式的根和解，是数学解决复杂问题的重要工具。
也谈二元二次多项式可因式分解的充要条件及其分解公式
也谈二元二次多项式可因式分解的充要条件及其分解公式二元二次多项式可因式分解是数学中的一类重要问题，它是指在将一个二元二次多项式分解成两个乘积，使得这两个乘积都是一元一次因式的过程。
一般来说，二元二次多项式可因式分解的充要条件有三个：一、二元二次多项式可因式分解的充要条件之一是多项式中的係數a，b，c必须满足a≠0，即二元二次多项式的二次項中必须存在一个不为零的系数。
二、多项式中的係數a，b，c满足a²＝bc，即多项式的二次項中的系数a的平方等于二次項中的两个系数b和c 的乘积。
三、多项式中的係數a，b，c满足Δ＞0，其中Δ＝b²-4ac，即多项式的二次項中的两个系数b和c的平方减去4倍二次項中的系数a和常数项c的乘积的值大于零。
满足上述三个充要条件后，二元二次多项式可因式分解的公式如下：二元二次多项式可因式分解公式：ax²+bx+c=a(x-p)(x-q)其中，p＝-b+√Δ/2a，q＝-b-√Δ/2a根据上述公式可知，将二元二次多项式分解成两个乘积，其中一个乘积为一元一次因式，均可写作a×(x-p)×(x-q)，其中p，q为实数，即二元二次多项式的两个根。
由此可见，二元二次多项式可因式分解的充要条件有三个：多项式中的係數a，b，c必须满足a≠0；多项式中的係數a，b，c满足a²＝bc；多项式中的係數a，b，c满足Δ＞0，其中Δ＝b²-4ac。
满足上述三个充要条件后，二元二次多项式可因式分解的公式为ax²+bx+c=a(x-p)(x-q)，其中p，q为实数，即二元二次多项式的两个根。
因此，总结起来，二元二次多项式可因式分解的充要条件及其分解公式为：多项式中的係數a，b，c必须满足a≠0，a²＝bc，Δ＞0，其中Δ＝b²-4ac；二元二次多项式可因式分解的公式为ax²+bx+c=a(x-p)(x-q)，其中p，q为实数，即二元二次多项式的两个根。
7.怎样用简易方法分解二元二次多项式的因式 ---刘培杰 代数
7 怎样用简易方法分解二元二次多项式的因式分解形如f ey dx cy bxy ax +++++.22的因式，通常用待定系数法或求根法(将y 作已知数，求出x的两根，利用二次三项式的因式分解定理)，但这两种分解法计算量都较大．为了减少计算量，本节将介绍一种简易分解法．先证明一个定理．定理 多项式f ey dx bxy ax +++++2.2能分解成两个一次因式之积))((222111f y c x a f y c x a ++++的充要条件是 ①))((2212f x a f x a f dx ax l ++=++②))((.22112f y c f y c f ey cy ++=++③))((221122y c x a y c x a cy bxy ax ++=++证明 必要性：因为++=+++++y c x a f ey dx cy bxy ax 1122(.),)(2221f y c x a f ++这是恒等式．令y =0代入，得 ①))((22112f x a f x a f dx ax ++=++令x=0代入，得 ②))((.22112f y c f y c f ey cy ++=++由①比较系数，得 211221,f f f f a f a d =+=由②比较系数，得 122f c f c e L +=将分解式展开，得 =++++=+++++))((22211122f y c x a f y c x a f ey dx cy bxy ax=+++++++211221122221)()())((f f y f c f c x f a f a y c x a y c x a L tf dx y c x a y c x a +++++.))((2211所以 ③))((22112y c x a y c x a bxy ax ++=++γ充分性：由))((22112f x a f x a f dx ax ++=++比较系数，得 21122121,,f f f f a f a d a a a =+==由))((.2212f y c f y c f cy l ++=++比较系数得122121,f c f c e c c c +==由))((221122y c x a y c x a ey bxy ax ++=++比较系数得 1221c a c a b +=所以++++=+++++221122122122)(.y c c xy c a c a x a a f dx cy bxy ax =++++211221122)()(f f y f c f c x f a f a L))((222111f y c x a f y c x a ++++根据定理的充分性，要分解f dx cy bxy ax +++++.22的因式，可转化成分解①，②，③．但要注意①与②分解式中的常数项要相同，②与③分解式中含y 的系数要相同，③与①分解式中含x 的系数要相同．举几例说明如下．例1 分解310434422-+---y x y xy x 的因式．解 令y=0，得 )32)(12(3442-+=--x x x x令x=0，得 )3)(13(31032-+-=-+-y y y y又 )2)(32(34422y x y x y xy x +-=--所以)32)(132(310434422-++-=-+---y x y x y x y xy x例2 分解65622-+-+y y xy x 的因式．解 因为)2)(3(622y x y x y xy x +-=-+令y=0，得 )22)(33(662-+=-x x x令x=0，得 )2)(3(652-+-=-+-y y y y所以)22)(33(6*5622-++-=-+-+y x y x y y xy x例3 k 为何值，多项式273722-+---y x y xy kx 能分解成两个一次因式之积．解 令y=0，设 ①)1)(1(2212-+=--x k x k x kx令x=0，得 ).2)(13(2732-+-=-+-y y y y 又设 ②))(3(372122y x k y x k y xy kx +-=--由①比较系数，得 ③21k k k =④1221-=+-k k由②比较系数，得 ⑤7321-=-k k解方程组④，⑤，得.6,3,22121====k k k k k 所以所以k=6时，原多项式可以分解成两个一次因式之积，此时 )23)(132(2737622-++-=-+---y x y x y x y xy x。
二元二次多项式的因式分解
二元二次多项式的因式分解因式分解是代数中的一种基本工具，用于将一个多项式分解为几个简单的、易于处理的因式之积。
对于二元二次多项式，我们可以使用各种方法进行因式分解。
首先，让我们考虑一个一般的二元二次多项式：ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f这里，a、b、c、d、e、f 是常数，且 a、b、c 不等于 0。
这个多项式可以表示为两个一次因式乘积的和。
一、使用对称性和二次公式1.将 ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f 分解为两个一次因式的乘积。
为了简化，我们可以使用对称性和二次公式来达到这个目的。
2.二次公式是用来找到一个给定判别式（Delta）的二次方程的两个解的。
判别式等于 b^2 - 4ac。
这里，a、b、c 是二次方程的系数。
Delta = b^2 - 4ac当 Delta > 0 时，有两个不同的实数解。
当 Delta = 0 时，有一个实数解和一个复数解。
当 Delta < 0 时，没有实数解。
现在我们可以应用二次公式找到这两个解：如果 Delta > 0，那么 x = (-b ± sqrt(Delta)) / (2a)如果 Delta = 0，那么 x = -b / (2a)如果 Delta < 0，那么无法找到实数解请注意这里的“±”符号。
当我们有两个解时（Delta > 0），我们需要决定使用哪一个解。
通常，我们选择使判别式变小的解。
3. 将这两个解代入 ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f 中，找到两个一次因式。
这两个一次因式的乘积应该等于原始的多项式。
二、使用图形1.另一种方法是使用图形的直观性来找到二元二次多项式的因式。
如果我们将二元二次多项式的 y 坐标设为 0，我们得到一个一元二次多项式。
这个一元二次多项式的因式分解相对简单。
2.对于一元二次多项式，我们可以使用相同的二次公式来进行因式分解。
二元二次多项式可因式分解的充要条件及其分解公式
二元二次多项式可因式分解的充要条件及其分解公式
二元二次多项式可因式分解的充要条件及其分解公式
二元二次多项式是指由两个未知量x和y所组成的一个多项式，它可以表示成一个形如ax²+bxy+cy²的形式，这里a,b,c都是实数。
二元二次多项式可因式分解的充要条件即是，其中的b²-4ac大于0，也就是说，当b²-4ac大于0时，二元二次多项式可以因式分解；否则，当b²-4ac小于等于0时，二元二次多项式不能因式分解。
当b²-4ac大于0时，二元二次多项式可以因式分解，其分解公式可用如下的形式表示：
ax² + bxy + cy² = (dx + ey)(fx + gy) 其中d,e,f,g均为实数，并且符合一定的关系： d=a, e=-(b+√b²-4ac)/2a, f=(b+√b²-4ac)/2a, g=c 例如，我们考虑二元二次多项式2x²+5xy+3y²，这里a=2,b=5,c=3，可以得出b²-4ac=25-24=1>0，因此，该多项式可以因式分解，其因式分解公式可以写作：
2x²+5xy+3y²=(2x-y)(x+3y)
从上面的分析可以看出，二元二次多项式可因式分解的充要条件是b²-4ac大于0，当满足这一条件时，它的因
式分解公式将满足d=a, e=-(b+√b²-4ac)/2a, f=(b+√b²-4ac)/2a, g=c的关系。
因式分解技巧二元二次式的分解
因式分解技巧二元二次式的分解6 二元二次式的分解形如ax 2＋bxy ＋cy 2＋dx ＋ey ＋f 的x 、y 的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．6．1 欲擒故纵【例1】分解因式：x 2＋2xy －3y 2＋3x ＋y ＋2．【解】如果只有二次项x 2＋2xy －3y 2，那么就由算式11132-得 x 2＋2xy －3y 2＝(x －y )(x ＋3y )．如果没有含y 的项，那么对于多项式x 2＋3x ＋2，由算式 11123得 x 2＋3x ＋2＝(x ＋1)(x ＋2)．如果没有含x 的项，那么对于多项式－3y 2＋y ＋2，由算式 13-121得－3y 2＋y ＋2＝(－y ＋1)(3y ＋2)．把以上三个算式“拼”在一起，写成 1113-12便得到所需要的分解：x 2＋2xy －3y 2＋3x ＋y ＋2 ＝(x －y ＋1)(x ＋3y ＋2)．上面的算式称为长十字相乘，式中的三个十字叉乘就是上面所说的三次十字相乘（我们省略了横线及横线下面的数）．两次十字相乘就可以确定算是中的6个数，第三次十字相乘只需利用已有的数进行检验，必要时把同一列的两个数的位置交换一下．长十字中的第一行1－1＋1表示因式x －y ＋1，第二行的1＋3＋2表示另一个因式x ＋3y ＋2．为了解决问题，常常先忽略一些条件，导出部分结果，然后再把几方面的结果综合起来，这种欲擒故纵的方法在数学中屡见不鲜．【例2】分解因式：6x 2－5xy －6y 2＋2x ＋23y －20．【解】先进行两次十字相乘，由算式()()23x y 325--()(1)23x 452- 得 6x 2－5xy －6y 2＝(2x －3y )(3x ＋2y )，6x 2＋2x －20＝(2x ＋4)(3x －5)．为避免混淆，我们在算式中写上（x ）、（y ）、（1），表示相应的列是x 、y 的系数或常数项．然后把两个算式拼成()()(1)23x y 32-45- 检验一下，正好有 (－3)×(－5)＋2×4＝23，于是 6x 2－5xy －6y 2＋2x ＋23y －20＝(2x －3y ＋4)(3x ＋2y －5)．6．2 三元齐次长十字相乘对于三个字母x 、y 、z 的二次齐次式ax 2＋bxy ＋cy 2＋dxz ＋3yz ＋fz 2也同样适合．【例3】分解因式：x 2－6xy ＋9y 2－5xz ＋15yz ＋6z 2．【解】由算式()()()11x y z 33--23-- 得 x 2－6xy ＋9y 2－5xz ＋15yz ＋6z 2＝(x －3y －2x )(x －3y －3z )．【例4】已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0．求证：2b ＝a ＋c ．【证明】由算式()()()11a b c 12--31得 a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝(a －b ＋3c )(a －2b ＋c )．于是，由已知条件，得(a －b ＋3c )(a －2b ＋c )＝0．因为三角形的两条边的和大于第三条边，所以a－b＋3c≠0，从而a－2b＋c＝0，即2b＝a＋c．6．3 项数不全如果二次式中缺少一项或几项，长十字相乘仍然可用（通常更为简单）．【例5】分解因式：x2－y2＋5x＋3y＋4．【解】由算式1 111-14得x2－y2＋5x＋3y＋4＝(x＋y＋1)(x－y＋4)．在例5中，如果仅看x2－y2与x2＋5x＋4，也可能导出不完全正确的算式1 111-41在用第三个十字相乘时，可以发现第三列的4与1应当交换位置．【例6】分解因式：x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y．【解】由算式1 1212得x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y＝(x＋2y)(x＋y＋2)．6．4 能否分解二元二次式并不是一定能分解的．如果三个十字相乘不能拼成一个长十字相乘，那么这个二元二次式就不能分解．所以，在编制分解二元二次习题时，应当先拟好答案，即两个一次因式，然后把它们相乘，导出一个二元二次式．换句话说，应当先写出长十字相乘的算式，然后再写出二元二次式．如果随意地写一个二元二次式，那么多数是不能分解的．【例7】m为什么数时，x2＋7xy－18y2－5x＋my－24可以分解为两个一次因式的积？【解】对于多项式x2＋7xy－18y2，由算式1 19 27-对于多项式x2－5x－24，由算式1 18 35--这两个算式可以拼成长十字相乘1 192-83-或1 192-38-对第一个长十字相乘，有9×3＋(－2)×(－8)＝43，而对第二个长十字相乘，有9×(－8)＋(－2)×3＝－78，所以，m＝43或m＝－78时，x2＋7xy－18y2－5x＋my－24才可以分解，并且由第一个长十字相乘，得x2＋7xy－18y2－5x＋my－24＝(x＋9y－8)(x－2y＋3)，由第二个长十字相乘，得x2＋7xy－18y2－5x＋my－24＝(x＋9y＋3)(x－2y－8)．小结x、y的二次式（或x、y、z的二次齐次式）应当用长十字相乘来分解．长十字相乘由三个十字相乘组成，它们分别表示x、y的二次齐次式、不含x的二次式（或y、z的二次齐次式）与不含y的二次式（或z、x的二次齐次式）的因式分解．习题6将以下各式分解因式：1．x2＋2xy＋y2＋3x＋3y＋2．2．4x2－14xy＋6y2－7x＋y－2．3．x2－y2－3z2－2xz＋4yz．4．2y2－5xy＋2x2－ay－ax－a2．5．a2－3b2－3c2＋10bc－2ca－2ab．6．2a2－7ab－22b2－5a＋35b－3．7．x2－2y2－3z2＋xy＋7yz＋2xz．8．2x2－6y2＋3z2－xy＋7xz＋7yz．9．4x2－9y2＋2z2＋6xz－3yz．10．4x2＋2z2＋xy＋9xz＋2yz．习题6 1．(x＋y＋1)(x＋y＋2)2．(4x－2y＋1)(z－3y－2)3．(x＋y－3z)(x－y＋z)4．(x－2y－a)(2x－y＋a)5．(a＋b－3c)(a－3b＋c)6．(a＋2b－3)(2a－11b＋1)7．(x－y＋3z)(x＋2y－z)8．(x－2y＋3z)(2x＋3y＋z)9．(2x＋3y＋2z)(2x－3y＋z)10．(x＋2z)(4x＋y＋z)。
二元二次多项式的因式分解
形如F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22的二元二次多项式的因式分解分解形如F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22的多项式，常用的方法有：求根法、待定系数法、双十字相乘法和双零分解法。
当然结合多项式的特点可以采用灵活的方法，如若已知它的一个因式，可用分析二次项和常数项的方法，较容易的求得。
现举例说明：方法一、求根法利用求根法因式分解，形如F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22的二元二次多项式可看成关于x （或y ）的一元二次多项式。
用求根公式求出两根21,x x ，则原式＝()()21x x x x A --。
在实数范围内，原多项式分解成两个一次因式，必须是关于x 的方程的判别式是y 的一次式的完全平方式，为此这个判别式的判别式必须是0。
例1、a 为何值时，62622-+--ay y xy x 能分解成两个一次式的乘积，并进行分解。
分析：把上面的多项式看成x 的一元二次式，令这个一元二次式为0，解出x 的两个值21,x x ，则原式＝6()()21x x x x --，这里只须研究a 何值时，21,x x 是y 的一次式即可。
解：设62622-+--ay y xy x ＝0，把此式看成关于x 的一元二次方程，则该方程的判别式：()14424496224222+-=-+--=∆ay y ay y y ，要使方程的解为y 的一次式，∆必须为完全平方式，那么判别式的判别式1∆必须是零。
＝()()0492414424424222=-=⨯⨯-a a ，∴7±=a （1）、当7=a 时，由0672622=-+--y y xy x 解得121,13221+-=-=y x y x 则原式＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1211326y x y x ＝()()22323++--y x y x （2）、当7-=a 时，由0672622=----y y xy x 解得121,13221--=+=y x y x 则原式＝()()22323++--y x y x练习： 把822615822++-+-y x y xy x 分解因式 答案：原式＝()()4523----y x y x 方法二：待定系数法用待定系数法因式分解的一般步骤：1、根据多项式的特点，确定所能分解成的形式。
二元二次方程基本公式
二元二次方程基本公式
二元二次方程，也称二次多项式，是一种最基本的高等数学问题，最早可以追溯到古希腊时期。
它是一种用来描述两个变量之间关系的方程，常被用来求解一些实际问题，如定位，重力，流体，磁力等。
二元二次方程的模式是ax²+bx+c=0，其中a，b，c是实数，a不能为零。
这一方程可以用图形的方式来表示，即二次函数y=ax²+bx+c 的图形，图形的形状取决于a的正负值以及b的大小，如果a>0，那么图像的形状是一个开口向下的抛物线，如果a<0，则图像为开口向上的抛物线。
求解二元二次方程的方法有很多，最简单的方法是借助于判别式，即b²-4ac，如果判别式大于0，则方程有两个不等的实数根，如果判别式等于0，则方程有一个重根，如果判别式小于0，则方程无实数根。
另外，还有一种叫做“因式分解法”的求解方法，可以将原方程分解成一系列的乘积，然后再求解其中的各个变量，得出方程的根。
此外，还可以使用“求根公式”的方法，这是一种更快捷的求解方法，可以通过一系列的算术运算，得出方程的两个实数根。
总之，二元二次方程是一种常见的数学问题，它可以帮助我们求解
一些实际问题，也可以帮助我们更好地理解数学的概念。
所以，学习二元二次方程的知识是非常有必要的。
二元二次多项式的因式分解说课材料
精品文档形如Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 的二元二次多项式的因式分解分解形如Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 的多项式，常用的方法有：求根法、待定系数法、 双十字相乘法和双零分解法。
当然结合多项式的特点可以采用灵活的方法，如若已知它的一 个因式，可用分析二次项和常数项的方法，较容易的求得。
现举例说明：方法一、求根法利用求根法因式分解，形如 Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 的二元二次多项式可看成关于 x (或y )的一兀二次多项式。
用求根公式求出两根 x 1, x 2，则原式=A x x 1 x x 2。
在实数范围内，原多项式分解成两个一次因式，必须是关于 x 的方程的判别式是y 的一次式的完 全平方式，为此这个判别式的判别式必须是 0。
例1、a 为何值时，6x 2 xy 2y 2 ay 6能分解成两个一次式的乘积，并进行分解。
分析：把上面的多项式看成x 的一元二次式，令这个一元二次式为 0,解出x 的两个值 x 「X 2，则原式=6 x 人x X 2，这里只须研究a 何值时，人必是y 的一次式即可。
解：设6x 2 xy 2y 2 ay 6 = 0,把此式看成关于x 的一元二次方程，则该方程的判别 式： y 2 24 2y 2 ay 6 49 y 2 24ay 144 ，1、 根据多项式的特点，确定所能分解成的形式。
要尽量减少待定系数的个数，以利求解。
2、 利用多项式恒等定理，列出以待定系数为未知数的方程或方程组。
3、 解方程组，如方程或方程组有解，则原式可以分解为所设的形式；如果无解，则原方 程组不能分解为所设的形式。
如果方程组有解，把解得的待定系数的数值代入所设的分解式中。
例2、k 为何值时，多项式2x 2 kxy 3y 2 5y 2可分解为两个一次因式的积分析：先设可分解成两个一次式，原式中的k 是xy 的项未知系数。
为使待定系数尽量少,可先考虑3y 2 5y 2 y 2 3y1,所以可设：原式=ax y 2 bx 3y 1 .,也可以先考 虑2x 2 2 2x 2 x 1，所以可设： 原式=2x my 2 x ny1 , 这里只解前者。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
形如F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22的二元二次多项式的因式分解
分解形如F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22的多项式，常用的方法有：求根法、待定系数法、双十字相乘法和双零分解法。
当然结合多项式的特点可以采用灵活的方法，如若已知它的一个因式，可用分析二次项和常数项的方法，较容易的求得。
现举例说明：
方法一、求根法
利用求根法因式分解，形如F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22的二元二次多项式可看成关于x （或y ）的一元二次多项式。
用求根公式求出两根21,x x ，则原式＝()()21x x x x A --。
在实数范围内，原多项式分解成两个一次因式，必须是关于x 的方程的判别式是y 的一次式的完全平方式，为此这个判别式的判别式必须是0。
例1、a 为何值时，62622-+--ay y xy x 能分解成两个一次式的乘积，并进行分解。
分析：把上面的多项式看成x 的一元二次式，令这个一元二次式为0，解出x 的两个值21,x x ，则原式＝6()()21x x x x --，这里只须研究a 何值时，21,x x 是y 的一次式即可。
解：设62622-+--ay y xy x ＝0，把此式看成关于x 的一元二次方程，则该方程的判别式：()14424496224222+-=-+--=∆ay y ay y y ，
要使方程的解为y 的一次式，∆必须为完全平方式，那么判别式的判别式1∆必须是零。
1∆ ＝()()0492414424424222
=-=⨯⨯-a a ，∴7±=a （1）、当7=a 时，由0672622=-+--y y xy x 解得12
1,13221+-=-=y x y x 则原式＝⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1211326y x y x ＝()()22323++--y x y x （2）、当7-=a 时，由0672622=----y y xy x 解得12
1,13221--=+=y x y x 则原式＝()()22323++--y x y x
练习： 把822615822++-+-y x y xy x 分解因式 答案：原式＝()()4523----y x y x 方法二：待定系数法
用待定系数法因式分解的一般步骤：
1、根据多项式的特点，确定所能分解成的形式。
要尽量减少待定系数的个数，以利求解。
2、利用多项式恒等定理，列出以待定系数为未知数的方程或方程组。
3、解方程组，如方程或方程组有解，则原式可以分解为所设的形式；如果无解，则原方程组不能分解为所设的形式。
如果方程组有解，把解得的待定系数的数值代入所设的分解式中。
例2、k 为何值时，多项式253222--++y y kxy x 可分解为两个一次因式的积。
分析：先设可分解成两个一次式，原式中的k 是xy 的项未知系数。
为使待定系数尽量少，可先考虑()()1322532+-=--y y y y ，所以可设：原式＝()().132++-+y bx y ax ，也可以先考虑()()122222-+=-x x x ，所以可设：原式＝()()122-+++ny x my x ，这里只解前者。
解：设253222--++y y kxy x ＝()()132++-+y bx y ax
∵()()132++-+y bx y ax ＝()()2523322---++++y x b a y xy b a abx
∴253222--++y y kxy x ＝()()2523322---++++y x b a y xy b a abx
由两边对应项系数相等得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=0232b a k a b ab ，解此方程组得⎪⎩⎪⎨⎧===712k b a 或⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=-=712k b a
∴当7=k 时，原式可分解为253222--++y y kxy x ＝()()1322++-+y x y x ；
当7-=k 时，原式可分解为253222--++y y kxy x ＝()()1322++--+-y x y x
练习：a 为何值时，62622-+--ay y xy x 能分解成两个一次式的乘积，并进行分解。
答案：解得⎪⎩
⎪⎨⎧-==-=723a n m ∴原式可分解为62622-+--ay y xy x ＝()()22323++--y x y x
说明：上面方法是常用的两种方法，特别是求待定系数很有效；不含待定系数的也可用双十字相乘法。
方法三、双十字相乘法
双十字相乘法即运用两次十字相乘法，第一次运用十字相乘法将多项式中的二次齐次式分解因式，然后再运用一次十字相乘法。
其理论依据：若F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22可分解为()()f ey dx c by ax ++++，则当0c f ==时，F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22＝()()22Ax Bxy Cy ax by dx ey ++=++
例3、把6753222+---+y x y xy x 分解因式。
解：可先用十字相乘法，把2232y xy x -+分解，
y x y x -3 ，然后再用十字相乘法 323---+y x y
x ，于是原式＝()()323---+y x y x 。
练习：分解因式6586222+++--y x y xy x 答案：原式＝()()32232+-++y x y x 方法四、双零分解法
理论依据：若F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22可分解为()()f ey dx c by ax ++++，则当0=y 时有()()f dx c ax F Dx Ax F Ey Dx Cy Bxy Ax ++=++=+++++222；当0=x 时有()()f ey c by F Ey Cy F Ey Dx Cy Bxy Ax ++=++=+++++222。
因此在分解上述二元二 次多项式时，可令0=y 得关于x 的二次三项式F Dx Ax ++2分解为()()f dx c ax ++；再令0=x 得关于y 的二次三项式F Ey Cy ++2并分解为()()f ey c by ++；注意这里两分解式中的常数项应相同，如果不同就要变形使其相同。
这时有F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22＝()()f ey dx c by ax ++++。
例4、分解因式226135772x xy y x y +++++
解：令0=y 有226135772x xy y x y +++++＝()()26722132x x x x ++=++；
令0=x 有226135772x xy y x y +++++＝()()2572152y y y y ++=++
所以有226135772x xy y x y +++++＝()()21352x y x y ++++
练习： 分解因式2262113x xy y x y +-++- 答案：原式 ()()2331x y x y =-++- 方法五：分析二次项、常数项法
若已知它的一个因式，可用分析二次项和常数项的方法，较容易的求得。
例5、若多项式31428222-++-+y x y xy x 有一个因式32+-y x ，则另一个因式为＿＿。
解：由于多项式31428222-++-+y x y xy x 有一个因式32+-y x ，且原式二次项中含有2x 和28y -，所以另一个因式中必有一次项y x 4+；同时原式常数项中有－3，所以另一个因式中应有常数项－1。
综上所述：原多项式的另一个因式为14-+y x
练习：多项式35725222+-++-y x y xy x 有一个因式12+-y x ，求它的另一个因式 答案：35725222+-++-y x y xy x ＝()()3212+-+-y x y x。