二元二次多项式的因式分解

形如F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22的二元二次多项式的因式分解

分解形如F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22的多项式，常用的方法有：求根法、待定系数法、双十字相乘法和双零分解法。当然结合多项式的特点可以采用灵活的方法，如若已知它的一个因式，可用分析二次项和常数项的方法，较容易的求得。现举例说明：

方法一、求根法

利用求根法因式分解，形如F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22的二元二次多项式可看成关于x （或y ）的一元二次多项式。用求根公式求出两根21,x x ，则原式＝()()21x x x x A --。在实数范围内，原多项式分解成两个一次因式，必须是关于x 的方程的判别式是y 的一次式的完全平方式，为此这个判别式的判别式必须是0。

例1、a 为何值时，62622-+--ay y xy x 能分解成两个一次式的乘积，并进行分解。 分析：把上面的多项式看成x 的一元二次式，令这个一元二次式为0，解出x 的两个值21,x x ，则原式＝6()()21x x x x --，这里只须研究a 何值时，21,x x 是y 的一次式即可。

解：设62622-+--ay y xy x ＝0，把此式看成关于x 的一元二次方程，则该方程的判别式：()14424496224222+-=-+--=?ay y ay y y ，

要使方程的解为y 的一次式，?必须为完全平方式，那么判别式的判别式1?必须是零。 1? ＝()()

0492414424424222=-=??-a a ，∴7±=a （1）、当7=a 时，由0672622=-+--y y xy x 解得12

1,13221+-=-=y x y x 则原式＝??

? ??-+??? ??+-1211326y x y x ＝()()22323++--y x y x （2）、当7-=a 时，由0672622=----y y xy x 解得12

1,13221--=+=y x y x 则原式＝()()22323++--y x y x

练习： 把822615822++-+-y x y xy x 分解因式 答案：原式＝()()4523----y x y x 方法二：待定系数法

用待定系数法因式分解的一般步骤：

1、根据多项式的特点，确定所能分解成的形式。要尽量减少待定系数的个数，以利求解。

2、利用多项式恒等定理，列出以待定系数为未知数的方程或方程组。

3、解方程组，如方程或方程组有解，则原式可以分解为所设的形式；如果无解，则原方程组不能分解为所设的形式。

如果方程组有解，把解得的待定系数的数值代入所设的分解式中。

例2、k 为何值时，多项式253222--++y y kxy x 可分解为两个一次因式的积。 分析：先设可分解成两个一次式，原式中的k 是xy 的项未知系数。为使待定系数尽量少，可先考虑()()1322532+-=--y y y y ，所以可设：原式＝()().132++-+y bx y ax ，也可以先考虑()()122222-+=-x x x ，所以可设：原式＝()()122-+++ny x my x ，这里只解前者。

解：设253222--++y y kxy x ＝()()132++-+y bx y ax

∵()()132++-+y bx y ax ＝()()2523322---++++y x b a y xy b a abx

∴253222--++y y kxy x ＝()()2523322---++++y x b a y xy b a abx

由两边对应项系数相等得：?????=-=+=0232b a k a b ab ，解此方程组得?????===712k b a 或??

???-=-=-=712k b a

∴当7=k 时，原式可分解为253222--++y y kxy x ＝()()1322++-+y x y x ；

当7-=k 时，原式可分解为253222--++y y kxy x ＝()()1322++--+-y x y x 练习：a 为何值时，62622-+--ay y xy x 能分解成两个一次式的乘积，并进行分解。

答案：解得??

???-==-=723a n m ∴原式可分解为62622-+--ay y xy x ＝()()22323++--y x y x

说明：上面方法是常用的两种方法，特别是求待定系数很有效；不含待定系数的也可用双十字相乘法。

方法三、双十字相乘法

双十字相乘法即运用两次十字相乘法，第一次运用十字相乘法将多项式中的二次齐次式分解因式，然后再运用一次十字相乘法。

其理论依据：若F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22可分解为()()f ey dx c by ax ++++，则当0c f ==时，F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22＝()()22Ax Bxy Cy ax by dx ey ++=++

例3、把6753222+---+y x y xy x 分解因式。

解：可先用十字相乘法，把2232y xy x -+分解，

y x y x -3 ，然后再用十字相乘法 323---+y x y

x ，于是原式＝()()323---+y x y x 。

练习：分解因式6586222+++--y x y xy x 答案：原式＝()()32232+-++y x y x 方法四、双零分解法

理论依据：若F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22可分解为()()f ey dx c by ax ++++，则当0=y 时有()()f dx c ax F Dx Ax F Ey Dx Cy Bxy Ax ++=++=+++++222；当0=x 时有

()()f ey c by F Ey Cy F Ey Dx Cy Bxy Ax ++=++=+++++222。

次多项式时，可令0=y 得关于x 的二次三项式F Dx Ax ++2分解为()()f dx c ax ++；再令0=x 得关于y 的二次三项式F Ey Cy ++2并分解为()()f ey c by ++；注意这里两分解式中的常数项应相同，如果不同就要变形使其相同。这时有F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22＝()()f ey dx c by ax ++++。

例4、分解因式226135772x xy y x y +++++

解：令0=y 有226135772x xy y x y +++++＝()()26722132x x x x ++=++； 令0=x 有226135772x xy y x y +++++＝()()2572152y y y y ++=++

所以有226135772x xy y x y +++++＝()()21352x y x y ++++

练习： 分解因式2262113x xy y x y +-++- 答案：原式 ()()2331x y x y =-++- 方法五：分析二次项、常数项法

若已知它的一个因式，可用分析二次项和常数项的方法，较容易的求得。

例5、若多项式31428222-++-+y x y xy x 有一个因式32+-y x ，则另一个因式为＿＿。 解：由于多项式31428222-++-+y x y xy x 有一个因式32+-y x ，且原式二次项中含有2x 和28y -，所以另一个因式中必有一次项y x 4+；同时原式常数项中有－3，所以另一个因式中应有常数项－1。综上所述：原多项式的另一个因式为14-+y x

练习：多项式35725222+-++-y x y xy x 有一个因式12+-y x ，求它的另一个因式 答案：35725222+-++-y x y xy x ＝()()3212+-+-y x y x