“双勾函数”的性质及应用

“双勾函数”的性质及应用问题引入:求函数2y =的最小值.问题分析:将问题采用分离常数法处理得,2y ==,此时如果利用均值不等式，即2y =,=，=显然无实数解，所以“=”不成立，因而最小值不是2，遇到这种问题应如何处理呢？这种形式的函数又具有何特征呢?是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢?带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质．一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质 1.“双勾函数”的定义我们把形如()kf x x x=+（k 为常数,0k >)的函数称为“双勾函数”．因为函数()kf x x x=+(k 为常数，0k >）在第一象限的图像如“√”，而该函数为奇函数，其图像关于原点成中心对称，故此而得名．2．类比“二次函数”与“双勾函数”的图像3.类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质 (1)“二次函数”的性质①当0a >时,在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的二次函数图像“双勾函数”图像增大而增大;当2bx a=-时,函数y 有最小值244ac b a - .②当0a <时，在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大;在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小.当2bx a=-时,函数y 有最大值244ac b a -.（2）“双勾函数”性质的探究 ①当0x >时，在x =,y 随着x的增大而减小；在x =,y 随着x 的增大而增大；当x =y有最小值．②当0x <时，在x =y 随着x 的增大而增大;在x =y 随着x的增大而减小．当x =,函数y有最大值-综上知,函数()f x在(,-∞和)+∞上单调递增,在[和上单调递减．下面对“双勾函数”的性质作一证明．证明:定义法．设12,x x ∈R ，且12x x <,则1212121212121212()()()()()(1)x x x x k a k k f x f x x x x x x x x x x x ---=+--==--.以下我们怎样找到增减区间的分界点呢?首先0x ≠，∴0x =就是一个分界点，另外我们用“相等分界法”，令120x x x ==,2010kx -=可得到x =()f x 的定义域分为(,-∞,[,,)+∞四个区间，再讨论它的单调性.设120x x <<则120x x -<，120x x >,120x x k <<, ∴120x x k -<． ∴121212121212()()()()0x x x x k k k f x f xx x x x x x ---=+--=>，即12()()f x f x >． ∴()f x 在上单调递减．同理可得,()f x 在)+∞上单调递增；在(,-∞上单调递增；在[上单调递减.故函数()f x在(,-∞和)+∞上单调递增,在[和上单调递减. 性质启发：由函数()(0)kf x x k x=+>的单调性及()f x 在其单调区间的端点处取值的趋势,可作出函数()y f x =的图像,反过来利用图像可形象地记忆该函数的单调性及有关性质.此性质是求解函数最值的强有力工具，特别是利用均值不等式而等号不成立时，更彰显其单调性的强大功能．4.“二次函数”与“双勾函数”在处理区间最值问题上的类比 (1)“二次函数”的区间最值设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值． 分析：将f x ()配方,得对称轴方程x b a=-2, ①当a >0时,抛物线开口向上．若-∈ba m n 2[]，必在顶点取得最小值,离对称轴较远端点处取得最大值; 若-∉b a m n 2[]，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴x b a=-2较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值． ②当0a <时，抛物线开口向下．若-∈ba m n 2[]，必在顶点取得最大值，离对称轴较远端点处取得最小值； 若-∉b a m n 2[]，,此时函数在[]m n ，上具有单调性,故在离对称轴x b a=-2较远端点处取得最小值，较近端点处取得最大值． 以上,作图可得结论. ①当a >0时，max121()()()22()1()()()22b f m m n a f x b f n m n a ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-<+⎪⎩如图如图，≥，;min345()()2()()()22()()2b f n n a b b f x f m n a a b f m m a ⎧->⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪-<⎪⎩如图如图如图，，≤≤，．②当a <0时，max678()()2()()()22()()2b f n n a b b f x f m n a a b f m m a ⎧->⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪-<⎪⎩如图如图如图，，≤≤，；min9101()()()22()1()()()22b f m m n a f x b f n m n a ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-<+⎪⎩如图如图，≥，.（2）“双勾函数”的区间最值 设()(0)kf x x k x=+>,求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值. 分析:①当0x >时,其图像为第一象限部分.[]m n ，，则函数必在界点x =,最大值需比较两个端点处的函数值;[]m n ，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离直线x =得最大值,较近端点处取得最小值．②当0x <时，其图像为第三象限部分.若[]m n ，,则函数必在界点x =的函数值；若[]m n ，,此时函数在[]m n ，上具有单调性,故在离直线x =取得最小值，较近端点处取得最大值．以上，作图可得结论． ①当0x >时,max()(,()max{(),([,](,()(.f m n f x f m f n m n f n m ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩如图11)如图12)如图13)图7 图9图10min()(,()[,](,()(.f n n f x f m n f m m ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩如图11)如图12)如图13)②当0x <时，max()(,()([,](,()(.f n n f x f m n f m m ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，如图14)如图15)，如图16)min()(,()min{(),()},[,](,()(.f m n f x f m f n m n f n m ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，如图14)如图15)，如图16)二、实践平台例1某化工厂生产的某种化工产品,当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y (万元)与年产量x （吨)之间的函数关系式近似地表示为230400010x y x =-+.问:（1)年产量为多少吨时,每吨的平均成本最低？并求出最低成本;（2）每吨平均出厂价为16万元,年产量为多少吨时,可获得最大利润？并求出最大利润. 分析：将问题归结为“双勾函数”问题，利用“双勾函数”的性质，可使问题轻松获解. 解:(１)由题意可知，每吨平均成本为yS x=万元.图11 图12图13图14图15图16即400014000030()301010y x S x x x x==+-=+-,因为函数在区间(0,200]上为减函数,在区间[200,)+∞上为增函数.所以当200x =时，函数400014000030()301010y x S x x x x==+-=+-有最小值为140000(200)301010200S =+-=最小（万元）， 所以当年产量为200吨时，每吨的平均成本最低,最低成本为10万元．(２）设年获得总利润为Q 万元，则2211616304000(230)12901010x Q x y x x x =-=-+-=-+， 当230(150,250)x =∈，1290Q =最大,故当年产量为230吨时,可获得最大利润1290万元．评注:本题的关键是用年产量x 吨把每吨平均成本及利润表示出来,然后再求其最值,在求解最值时我们要用到“双勾函数”的单调性,记住这个结论可以简化计算过程.函数的单调性除一些理论上的应用外，它还可以灵活有效地解决现实生活中与之相关的实际问题．例2甲、乙两地相距s ｋm ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km ／h ，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位),由可变部分和固定部分组成;可变部分与速度v (km ／h)的平方成正比,比例系数为b ，固定部分为a 元．(1）把全程运输成本y (元)表示为v (km/h)的函数，并指出这个函数的定义域.(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大的速度行驶. 分析:要计算全程的运输成本s bv vabv a v s y )()(2+=+=(v <0≤c )，而已知每小时的运输成本,只需计算全程的时间，由题意不难得到全程运输成本s bv v a bv a v s y )()(2+=+=(v <0≤c ),所要解决的问题是求bv va+何时取最小值，显然要对c 的大小进行讨论，讨论的标准也就是c 与ba的大小. 解：（1）依题意知：汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv,因此全程运输成本为s bv vabv a v s y ⋅+=+⋅=)()(2，又据题意v <0≤c ，故所求函数及其定义域分别为： )(bv vas y +⋅=，],0(c v ∈．（2)设()()aab u f v bv b v v v==+=+,∴u 在],0(b a 上是减函数,在)+∞上是增函数.①若ba≤c ,结合“双勾函数”的性质知， 当bav =时运输成本y 最小． ②若c ba>,函数在],0(c 上单调递减,所以当c v =时,全程运输成本最小. 评注：解应用题时,首先要训练读题能力,成功地完成对数学文字语言、符号语言、图形语言的理解、接受和转换，继而对题中各元素的数量关系进行加工和提炼，分清主次，并建立数学模型解决实际问题.例3(2006安徽高考)已知函数()f x 在Ｒ上有定义，对任意实数0a >和任意实数x ,都有()()f ax af x =.（Ⅰ）证明(0)0f =;(Ⅱ)证明0()0.kx x f x hx x ⎧=⎨<⎩，≥，，其中k 和h 均为常数;(Ⅲ）当（Ⅱ）中的0k >,设1()()(0)()g x f x x f x =+>，讨论()g x 在(0)+∞，内的单调性并求最值．分析：承接第(Ⅱ)问的结论,将问题归结为“双勾函数”的单调性与函数最值的求解问题.证明：(Ⅰ）令0x =,则()()00f af =，∵0a >,∴()00f =．(Ⅱ）①令x a =,∵0a >,∴0x >,则()()2f x xf x =．假设0x ≥时，()f x kx =(k ∈R )，则()22f x kx =，而()2xf x x kx kx =⋅=,∴()()2f x xf x =,即()f x kx =成立．②令x a =-,∵0a >，∴0x <,()()2f x xf x -=-假设0x <时,()f x hx =()h R ∈,则()22f x hx -=-，而()2xf x x hx hx-=-⋅=-,∴()()2f xxf x -=-，即()f x hx =成立.∴(),0,0kx x f x hx x ≥⎧=⎨<⎩成立． (Ⅲ)当0x >时,()()()2111()k g x f x kx k x f x kx x=+=+=+， 由“双勾函数”性质知在1(0,]k 上为减函数,在1[,)k+∞上为增函数， 所以当1x k=时,min [()]2g x =． 评注:数学高考试题注重“考基础、考能力、考思想”．所以熟悉数学化归的思想，有意识地运用数学变换的方法去灵活解决有关的数学问题，将有利于强化在解决数学问题中的应变能力,有利于提高解决数学问题的思维能力和技能、技巧． 适当进行化归、转化能给人带来思维的闪光点,找到解决问题的突破口,是分析问题中思维过程的主要组成部分． 本题就是转化思想应用的一个典型，通过转化将本来抽象的问题归结到“双勾函数”区间最值的求解，让我们有一种豁然开朗的感觉．例４（20０1广东高考)设计一幅宣传画，要求画面面积为4840ｃｍ2，画面的宽与高的比为(1)λλ<，画面的上、下各留8c ｍ空白，左、右各留5cm 空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求23[,]34λ∈,那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小?分析：设定变元x ，寻找它们之间的内在联系(等量关系)，选用恰当的代数式表示问题中的这种联系，建立函数模型,将问题归结为“双勾函数”区间最值问题,并运用“双勾函数”性质进行求解．解：设画面高为x ｃm ，宽为x λcm,则24840x λ= 设纸张面积为S ｃm 2，则有2(16)(10)(1610)160S x x x x λλλ=++=+++,将2210x λ=代入上式得，58500035210(S λλ=+，(0)t t λ=>，则58()500035210()(0)S t t t t=++>,函数S 在5]8上为减函数，在5[,)8+∞上为增函数， 所以当58t =,S 取最小值, 此时55(1)88λ=<,高:484088x λ==cm,宽：588558x λ=⨯=c ｍ. 如果23[,]34λ∈,则235,][,)348t ∈⊆+∞， 所以函数S 在23,]34上为增函数,故当23t =S 取最小值，此时23λ=． 评注：函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种动态刻画．要充分重视解题过程中的推理，注意运用推理来简化运算.充分利用题目给出的信息,抽象其数学特征，建立函数关系.很明显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中,具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维,才能构造出函数原型，达到解决问题的目的.在高考中可以利用“双勾函数”考查均值不等式、函数的单调性、函数最值等问题,其应用相当广泛，应用效果相当明显.因此也是高考中的热点和难点,倍受命题者的青睐.但只要我们能熟知“双勾函数”的性质,便不难使此类问题获解.。