高中数学必修三几何概型 (共25张PPT)
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应用拓展：
例1： 某人午睡醒后，发现表停了，于是打开收 音机等候整点报时，那么等待时间不多于10分钟 的概率是多大？
讨论交流：
1）这是什么概型，为什么？
（几何概型）
2）借助什么样的几何图形来表示随 机事件与所有基本事件？
（线段或圆）
3）该如何建立数学模型？
解:设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所 关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于 [50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率 的公式得
试验一：
一个边长为2a的正方 形，阴影部分面积是 整个正方形面积的 0.25，向正方形内随 机地丢豆子，则豆子 落在阴影部分的概率 是多少？ 问题3：如果“豆子落在阴影部分”记为事件A，事件A所 包含的基本事件是什么？这个试验的基本事件是什么？
问题 4：如何求事件 A的概率？ 事件A 包含的基本事件是豆子落在阴影部分中任意一点；
即 点 M 落在图中的阴影部 分。所有的点构成一个正 方形，即有无穷多个结果。 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的，所以落在正 方形内各点是等可能的。
4 3 2 1
.M(X,Y)
0
1
2 3 4
5 x
二人会面的条件是：| X Y | 1,
CB 60 50 1 P( A) , AB 60 6
1 即“等待的时间不超过10分钟”的概率为 6
解：设A={等待时间不超过10分钟},则
CB 60 50 1 P( A) AB 60 6 S扇形1 1 或 P( A) ＝ S圆 6
600 1 或 P( A) 0 360 6
2（1）x和y取值都是区间[1,4]中的整数，任
取一个x的值和一个y的值，求 “ x – y >1 ”
的概率。
y 4 3 2 1
作直线 x - y=1
古典概型
P=3/8
-1
1
2
3
4
x
（2）x和y取值都是区间[1,4]中的实数， 任取一个x的值和一个y的值， 求 “ x – y >1 ”的概率。
y 4 3 2 1
几何概型
复习回顾：
1、古典概型的特点是什么？
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （2）每个基本事件出现的可能性相等。 2、如何计算古典概型的概率？
探索与归纳：
问题1：两种情况下甲获胜的概率分别是多少？
1 （） 1 2 3 （2） 5
问题2：你是怎么得到的？
P A 构成事件A的区域长度 试验的全部结果所构成的区域长度
学以致用(与长度有关的几何概型)
1.公共汽车在0～5分钟内随机地到达车站，求汽 车在1～3分钟之间到达的概率。
1 3
2.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那 么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?
2 5
1.公共汽车在0～5分钟内随机地到达车站，求汽 车在1～3分钟之间到达的概率。 分析：将0～5分钟这段时间看作是一段长度为5 个单位长度的线段，则1～3分钟是这一线段中 的2个单位长度。 解：设“汽车在1～3分钟之间到达”为事件A，则 31 2 P ( A) 5 5 2 所以“汽车在1～3分钟之间到达”的概率 5 为
这个试验的基本事件是在 300ML 水中任意一点发现草履虫。 构成事件A 的区域体积 P A 试验的全部结果所构成的区域体积
几何概型概念： 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域 的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型 为几何概率模型，简称为几何概型. 问题7 这三个试验的共同特点是什么？
2.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那 么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?
1m 3m 1m
解：如上图，记“剪得两段绳子长都不小于 1m”为事件A，把绳子三等分，于是当剪断位 置处在中间一段上时，事件A发生。由于中间 一段的长度等于绳子长的三分之一，所以事 件A发生的概率P（A）=1/3。
与面积有关的几何概型 1.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子随机地 扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事 件的概率： （1）豆子落在红色区域； （2）豆子落在黄色区域； （3）豆子落在绿色区域； （4）豆子落在红色或绿色区域； （5）豆子落在黄色或绿色区域。
4 1 2 2 5 （）（ 1 2） （3）（4）（5） 9 3 9 3 9
构成事件A的区域面积 这个试验的基本事件是豆子落在正方形区域中任意一点。 P A 试验的全部结果所构成的区域面积
试验二： 在300ML水中有一只草 履虫，先从中随机取出 2ML水样放到显微镜下 观察，求发现草履虫的 概率. 问题5:这个试验中“2ML水中发现草履虫”为事件A， 事件A包含的基本事件是什么？试验的基本事件是什么？ 问题 6包含的基本事件是在 ：如何求事件A的概率？ 事件A 2ML水中任意一点发现草履虫；
（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； （２）每个基本事件出现的可能性相等．
问题8
这种试验的概率计算公式是什么？
构成事件A的区域长度（面积或体积) P A 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
问题9
古典概型与几何概型有什么异同点？
相同：两者基本事件的发生都是等可能的； 不同：古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个.
报纸送到时间
例 (会面问题）甲、乙二人约定在 12 点到 5 点 之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去, 设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的， 且二人互不影响。求二人能会面的概率。 y 解： 以 X , Y 分别表示甲乙二人到达的时刻， 于是 5
0 X 5, 0 Y 5.
E A B D C
作直线 x - y=1 几何概型
F
P=2/9
-1
1
2
3
4
x
3.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早
上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲 离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间, 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A) 的概率是多少?
对于复杂的实 际问题,解题 的关键是要建 立模型,找出 随机事件与所 有基本事件相 对应的几何区 域,把问题转 化为几何概率 问题,利用几 何概率公式求 解. 父亲离家时间
应用拓展：
例1： 某人午睡醒后，发现表停了，于是打开收 音机等候整点报时，那么等待时间不多于10分钟 的概率是多大？
讨论交流：
1）这是什么概型，为什么？
（几何概型）
2）借助什么样的几何图形来表示随 机事件与所有基本事件？
（线段或圆）
3）该如何建立数学模型？
解:设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所 关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于 [50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率 的公式得
试验一：
一个边长为2a的正方 形，阴影部分面积是 整个正方形面积的 0.25，向正方形内随 机地丢豆子，则豆子 落在阴影部分的概率 是多少？ 问题3：如果“豆子落在阴影部分”记为事件A，事件A所 包含的基本事件是什么？这个试验的基本事件是什么？
问题 4：如何求事件 A的概率？ 事件A 包含的基本事件是豆子落在阴影部分中任意一点；
即 点 M 落在图中的阴影部 分。所有的点构成一个正 方形，即有无穷多个结果。 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的，所以落在正 方形内各点是等可能的。
4 3 2 1
.M(X,Y)
0
1
2 3 4
5 x
二人会面的条件是：| X Y | 1,
CB 60 50 1 P( A) , AB 60 6
1 即“等待的时间不超过10分钟”的概率为 6
解：设A={等待时间不超过10分钟},则
CB 60 50 1 P( A) AB 60 6 S扇形1 1 或 P( A) ＝ S圆 6
600 1 或 P( A) 0 360 6
2（1）x和y取值都是区间[1,4]中的整数，任
取一个x的值和一个y的值，求 “ x – y >1 ”
的概率。
y 4 3 2 1
作直线 x - y=1
古典概型
P=3/8
-1
1
2
3
4
x
（2）x和y取值都是区间[1,4]中的实数， 任取一个x的值和一个y的值， 求 “ x – y >1 ”的概率。
y 4 3 2 1
几何概型
复习回顾：
1、古典概型的特点是什么？
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （2）每个基本事件出现的可能性相等。 2、如何计算古典概型的概率？
探索与归纳：
问题1：两种情况下甲获胜的概率分别是多少？
1 （） 1 2 3 （2） 5
问题2：你是怎么得到的？
P A 构成事件A的区域长度 试验的全部结果所构成的区域长度
学以致用(与长度有关的几何概型)
1.公共汽车在0～5分钟内随机地到达车站，求汽 车在1～3分钟之间到达的概率。
1 3
2.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那 么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?
2 5
1.公共汽车在0～5分钟内随机地到达车站，求汽 车在1～3分钟之间到达的概率。 分析：将0～5分钟这段时间看作是一段长度为5 个单位长度的线段，则1～3分钟是这一线段中 的2个单位长度。 解：设“汽车在1～3分钟之间到达”为事件A，则 31 2 P ( A) 5 5 2 所以“汽车在1～3分钟之间到达”的概率 5 为
这个试验的基本事件是在 300ML 水中任意一点发现草履虫。 构成事件A 的区域体积 P A 试验的全部结果所构成的区域体积
几何概型概念： 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域 的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型 为几何概率模型，简称为几何概型. 问题7 这三个试验的共同特点是什么？
2.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那 么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?
1m 3m 1m
解：如上图，记“剪得两段绳子长都不小于 1m”为事件A，把绳子三等分，于是当剪断位 置处在中间一段上时，事件A发生。由于中间 一段的长度等于绳子长的三分之一，所以事 件A发生的概率P（A）=1/3。
与面积有关的几何概型 1.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子随机地 扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事 件的概率： （1）豆子落在红色区域； （2）豆子落在黄色区域； （3）豆子落在绿色区域； （4）豆子落在红色或绿色区域； （5）豆子落在黄色或绿色区域。
4 1 2 2 5 （）（ 1 2） （3）（4）（5） 9 3 9 3 9
构成事件A的区域面积 这个试验的基本事件是豆子落在正方形区域中任意一点。 P A 试验的全部结果所构成的区域面积
试验二： 在300ML水中有一只草 履虫，先从中随机取出 2ML水样放到显微镜下 观察，求发现草履虫的 概率. 问题5:这个试验中“2ML水中发现草履虫”为事件A， 事件A包含的基本事件是什么？试验的基本事件是什么？ 问题 6包含的基本事件是在 ：如何求事件A的概率？ 事件A 2ML水中任意一点发现草履虫；
（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； （２）每个基本事件出现的可能性相等．
问题8
这种试验的概率计算公式是什么？
构成事件A的区域长度（面积或体积) P A 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
问题9
古典概型与几何概型有什么异同点？
相同：两者基本事件的发生都是等可能的； 不同：古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个.
报纸送到时间
例 (会面问题）甲、乙二人约定在 12 点到 5 点 之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去, 设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的， 且二人互不影响。求二人能会面的概率。 y 解： 以 X , Y 分别表示甲乙二人到达的时刻， 于是 5
0 X 5, 0 Y 5.
E A B D C
作直线 x - y=1 几何概型
F
P=2/9
-1
1
2
3
4
x
3.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早
上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲 离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间, 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A) 的概率是多少?
对于复杂的实 际问题,解题 的关键是要建 立模型,找出 随机事件与所 有基本事件相 对应的几何区 域,把问题转 化为几何概率 问题,利用几 何概率公式求 解. 父亲离家时间