调和平均数

一、调和平均数的概念

调和平均数是平均数的一种。但统计调和平均数，与数学调和平均数不同。在数学中调和平均数与算术平均数都是独立的自成体系的。计算结果两者不相同且前者恒小于后者。因而数学调和平均数定义为：数值倒数的平均数的倒数。但统计加权调和平均数则与之不同，它是加权算术平均数的变形，附属于算术平均数，不能单独成立体系。且计算结果与加权算术平均数完全相等。

所以统计加权调和平均数的概念应为：用平均标志值(变量值)的倒数作为新变量，以标志总量为权数进行加权的算术平均数的倒数。

大家知道，数学中“调和”的意思为“对称”，故调和平均数为算术平均数的对称变形，即统计中的算术平均数变形为统计调和平均数有三次对称变形。第一，变量对称变形，即将变量对称变形为作为新变量。第二，权数对称变形，即将权数总体总

量对称变形为标志总量，作为新权数。第三，位置对称变形。即将1除以用为变量，以标志总量为权数，计算以加权算术平均数，使其位置颠倒。经过这三次变形，算术平均数就变形为调和平均数。有些教材对调和平均数表述为：变量的倒数的加权算术平均数的倒数。这就将数学中调和平均数的概念移植为统计调和平均数的概念。但是数学中的调和平均数，其权数与算术平均数的权数是相同的，而两者计算结果却不同；统计中的调和平均数，其权数则与算术平均数的权数相异，而两者计算结果相同。因此，算术平均数与调和平均数，在数学中是各自独立的平均数，而统计中则是变形关系，调和平均数不是独立的，是附属于算术平均数。

二、加权调和平均数

如上所述，加权调和平均数是加权算术平均数的变形。它与加权算术平均数在实质上是相同的，而仅有形式上的区别，即表现为变量对称的区别、权数对称的区别和计算位置对称的区别。因而其计算公式为：

式中：（标志总量）

例如：某工厂本月购进材料三批，每批价格及采购金额资料如表5-6。

表5-6价格及采购金额资料

价格（元/千克）采购金额（元）采购数量（千克）

第一批第二批第三批35

40

45

10000

20000

15000

286

500

330

合计-- 45000 1116

该厂本月购进材料的平均价格为每千克40.32元。

三、简单调和平均数

加权调和平均数是加权算术平均数的变形，其权数是各标志总量，且各标志总量各不相等。因而在计算调和平均数时，各标志总量对平均数的大小起着权衡作用。但当各标志总量为1或相等时，各标志总量便失去了权数作用，不再对平均数的大小有影响，于是加权调和平均数便变成简单调和平均数。计算公式如下：

设则：

例：设市场上某种蔬菜价格，早市每500克0.25元，中午每500克0.2元，晚上每500克0.1元。现早、中、晚各卖500克，问平均每500克价格多少?

根据题意，应按简单调和平均数计算，则：

该种蔬菜当天平均价格为每500克0.158元。

由上可知，简单调和平均数是在各标志总量为l或相等失去权数作用的情况下计算平均数的方法。因而简单调和平均数是加权调和平均数的特例。

那么简单调和平均数与简单算术平均数的关系，是否是变形关系呢？现用例子来证实。

例：如上例，若早、中、晚各买500克，问平均价格是多少?

显然这应该用简单算术平均数计算

若用调和平均数计算，则为

计算结果与简单算术平均数完全相同。但这里不是用简单调和平均数公式，而是用加权调和平均数公式计算的。可见，简单调和平均数与简单算术平均数，并不存在变形关系。

四、由相对数和平均数计算平均数

总体的相对数或平均数，通常是由两个总量指标计算的。但在许多情况下，往往总体单位标志就是相对数或平均数，于是总体的相对数或平均数，则应采用平均数的形式来计算。至于采用何种平均数形式，就要依据所掌握的资料而定。下面分别举例说明。

(一)由相对数计算平均数

某农村供销社下属45供销点的收购计划完成情况及计划收购额如表5-7。

表5-7收购计划完成情况及计划收购额

计划完成情况（%）组中

值供销点

（个）

计划收

购额

90以下90～

100 100～110 110～120 120以上85

95

105

115

125

2

17

11

14

1

30000

180000

328100

310000

20000

25500

171000

344500

356500

25000

合计-- 45 868100 922500

某供销社收购计划完成情况，其基本公式为：

从表5-7看，缺分子资料，故应以计划收购额为权数，采取加权算术平均数形式计算收购计划平均完成程度。

若下列资料，缺少计划收购总额，则应以实际收购总额为权数，采用加权调和平均数形式计算收购计划平均完成程度。

(二)由平均数计算平均数

某车间各生产组工人的劳动生产率和实际工时资料如表5-8。

表5-8劳动生产率和实际工时资料

生产组平均

劳动

生产

率

（件

/工

时）

实际

工时

第一组第

二组第三组第四组10

12

15

20

30

100

200

300

300

200

1000

2400

4500

6000

6000