可积准则

从而积分和具有复杂性，因此讨论积分和的极限是 极其困难的.为此，我们需要简化积分和，用分法T的 “最大”与“最小”的两个积分和去逼近一般的积分 和,即用极限的两边夹定理考察积分和有极限.首先给 出对掌握积分和变化非常有用的大和与小和的概念， 并讨论其性质。于是，讨论复杂的积分和的极限问题， 就归结为讨论比较简单的小和与大和的极限问题.
显然，对于[a,b]的同一分法T的小和与大和，总有不等式
s(T ) S(T )
因为，分法T确定后，相应区间上的上下确界也确定,且
m M
k
k
s(T ) S(T ) n
m x
k
k
k 1
n
M x
k
k
k 1
达布简介
达布（1842～1917） Darboux，Jean-Gaston 法国数学家。
1842年8月14日生于尼姆，1917 年2月 23日卒于巴黎。 1861年考入巴黎高等师范学校， 1864年毕业， 1866年取得博士学位。 1867年在中学任教， 1872年在巴黎高等师范学校任教， 1881年4月任巴黎大学理学院高等几何学教授， 1889～1903年任理学院院长，后任名誉院长。 1872年创办《 数学科学通报 》。 1884 年当选为法国科学院院士， 1900年任科学院几何学部终身秘书 达布的主要贡献是曲面的微分几何学
小和、大和，积分和，区别
n
n
n
s(T ) mkxk S(T )
M k xk
(T , )
i 1
f ( )x
i
i
k 1
k 1
与积分和相比，达布和只与分割 T 有关，而与点
i 的取法无关.
这是因为当分法 T 给定后， 函数 f(x)在每个小区间的下确界和上确界是唯一 的，从而小和与大和也就随分法 T 确定. 这是小和，大和与积分和的主要区别.
证明： m 已知
是函数在
[
x k
1
,
x k
]的下确界，根据下确界的定义知
k
0, [x , x ],有
k
k 1
k
m f ( ) m ,k 1,2, ,n.
k
k
k
m x f ( )x m x x
k
k
k
k
k
k
k
n
n
n
n
m x
k
k
f
( )x
k
k
m x
k
定义 设E是非空数集，若 R 且
1)x E,有x ;
2) 0,x E,有 - x .
0
0
( - x ) 0
则称是数集E的 上确界，记为
sup E.
1)表明是数集E的上界； 2)表明小于的任意数 都不是E的上界. E的上确界是数集E的最小的上界.
确界定理P155
• 若非空数集E有上界，则数集E存在唯一的上确界
0 时，积分和 (T, ) 存在确定的有限极限
n
lim (T, ) lim f ( )x I
0
0
i
i
i1
由定义，要判断一个函数是否可积，可直接考
察积分和是否存在有限极限。
xi-1 xi
xi-1 xi
定理7 (数列的两边夹定理)P65
设{a },{b },{c }是三个数列，若N N ,n N,有
k
k
k
k
k 1
k
m x f ( )x M x
k
k
k
k
k
k
n
n
n
s(T )
m x
k
k
f
( )x
k
k
M x
k
k
S(T )
k 1
k 1
k 1
n
即s(T )
f
( k
)x k
S(T )
k 1
性质2 对
[a,b] 的一个分法 T
相对于任何点集{ }而言，Biblioteka Baiduk
小和 s(T ) 是分法 T 的所有积分和的下确界
n
n
n
a b c 且lim a limc l
n
n
n
n
n
n
n
则limb l
n
n
定理7 (函数的两边夹定理)P107
若x
0
U
(a), 有f
(x)
g(x)
h(x)
且lim f (x) lim h(x) b
xa
xa
则lim g(x) b
xa
(T , ) 不仅与分法T有关，而且也与一组 的取法有关。
大和 S(T ) 是分法 T 的所有积分和的上确界
即
s(T
)
inf
n
f
(k
)
xk
k
k 1
n
S (t )
sup{
f
( k
)x } k
k
k 1
分析：由性质1不等式 s(T )
n
f (k )xk
S(T )
k 1
大和与小和分别是全体积分和的上界与下界，
可知
只需进一步证明他们分别是全体积分和最小上界与最大下界.
§8.2 可积准则
可积条件 定积分存在的条件
可积条件
一、可积的必要条件 二、可积的充要条件(可积准则) 三、可积的充分条件(可积函数类)
一 可积的必要条件
定理1: 若f x在闭区间a,b可积，则f x在a,b有界.
有界函数不一定可积
二、可积的充分必要条件
小和与大和的定义与性质
我们知道Dirichlet函数有界但不可积，那么什么样 的有界函数是可积呢？根据定义，函数可积是指：
• 若非空数集E有下界，则数集E存在唯一的下确界
1、小和与大和的概念
定义 设函数 f (x)在[a,b] 有界，分法 T 将[a,b]
n 分成了 个小区间 [x0, x1],…[xn1, xn ] 令 a=x0,b xn
小区间
[xk1, xk ]
的长表为
xk
xk
xk
由
1
函
数
在
[a,b]
x 上有界知，它在每个 k 上存在上、下确界：
设
mk与
M
分别是
k
f
(x)
在
[xk
1,
xk
]
的下确界和上确界.
m inf f (x)
k
x k
n
作和 s(T ) mk xk
与
k 1
M sup f (x) k xn k S(T ) M k xk k 1
则称 s(T )是f关于分法T 的小和，S(T) 是f关于分法 T 的大和.
有的书也上称：上和与下和（或称达布上和 与达布下和，统称达布和）
s(T )
n
f (k )xk S (T )
k 1
定义 设E是非空数集，若 R 且
1)x E,有 x;
2) 0,x E,有x .
0
0
( x ) 0
则称是数集E的 下确界，记为
inf E.
1)表明是数集E的下界； 2)表明大于的任意数 都不是E的下界. E的下确界是数集E的最大的下界.
2、小和与大和的性质
• 下面讨论： • 小和，大和与积分和之间的关系. • 以及小和与大和之间的关系.
性质1 对 [a,b] 的一个分法 T ,任意积分和都介于
小和 s(T ) 与大和 S(T) 之间，即
n
s(T ) f (k )xk S (T ) k 1
证明：m f ( ) M , [x , x ]