工程电磁场原理第2章3倪光正资料

2.6 镜像法
Method of Images
点电荷 -
++ + + 导体，自由电荷 ++ + +
++ + + ++介+质+ ，束缚电荷
不清楚自由电荷（束缚电荷）的分布，无法应用叠加方法求取电场
但当界面开关比较规则（如平面、球面等）时，基于唯一性定理， 可以采用镜像法求解。
2.6镜像法
镜像法：用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代 该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的 非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析 计算过程得以明显简化的一种间接求解法。
n
或
1
n
Si
= 2
n
Si
给定值
i 0,1,
n
d
Si
0
或
d
n
Si
=0
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2.5.4 静电场解的唯一性
d
Si
0
i 0,1,
n
或 d
n
Si
=0
i 0,1,
n
V
d
2
dV
d
S
d dS =0
n
d 0
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2.5.4 静电场解的唯一性
d 0
①对于第一类边界，有d Si 0 i 0,1, n
由d 0 场中各点d =d Si 0
故1
=
，即唯一
2
②对于第二类边界，有
Si
= Dn
Si
=
1,2
n
已知
Si
i 0,1,
n
由d 0 d =C,C为任意常数，但不一定为零
故1=2 +C
而E
故E1 E2，即唯一
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2.5.4 静电场解的唯一性
唯一性的意义在于：求解位场时，不论采用哪一种解法，只 要所求的场域内场源分布不变，给定的边界条件不变，就可 确信解答是正确的。 唯一性是镜像法的理论基础。
讨论：
• 通常，当边界S =S1+S2+…，且逐片分别给定为1st BC 与2nd BC时， 则称之为由混合型 BC 构造的边值问题；
• 当场域D中存在多种均匀介质时，务须分域定义：
2i
ri
i ri
i
(i 1, n)
ri Di
D1 D2 … Dn
D
且此时，作为定解条件，尚应引入不同媒质分界面上的BC 为“衔 接条件”，或称之为辅助的BC ，即
Ⅰ 给定的是场域边界 S 上的电位值
(r ) S
f1(rb )
第一类边界条件
Ⅱ 给定的是场域边界 S 上电位的法向导数值
(r )
n S
f2 (rb )
第二类边界条件
例：导体表面
Dn
En
n
(r ) 0 齐次第二类边界条件
n S
Ⅲ 给定的是场域边界 S 上的电位及其法向导数的线性组合，即
2.6镜像法
q
s2
0
h
22 0
s1
0
h
q
被考察问题(一对正、负电荷的电场问题)
2.6镜像法
设：两者的电位函数解分别为1、2
2.5.2 直接积分法
当待求场函数 仅是一个坐标变量的函数时， 边值问题即简约为常 微分方程的定解问题，可直接运用积分法求得。
例2-11，例2-12 自学
2.5.4 静电场解的唯一性
泛定方程（数学物理方程）的解应满足：①存在性、 ②稳 定性、 ③唯一性
①存在性 静电场客观存在，因此 有解； ②稳定性 数学上已经证明的解稳定； ③唯一性 ？
2.5.4 静电场解的唯一性
若1, 2为V空间中两个位函数
1-2 =d
21
பைடு நூலகம்
,
22
=
2d 0
P357式5，令 =，A
• 2 + •
里边有n 个导体
en
S0
en S1 S2 en
Sn en
,V
2.5.4 静电场解的唯一性
P357式5，令 =，A
• 2 + •
• dV 2 + • dV
1 2
2
2
n
1
1
n
• 当场源分布在离坐标原点的有限距离内，而场域 D 扩展至无限远处 时，则应给定无限远处的 BC为
0 r
直接求解法 边 值 间接求解法 问 题
数值求解法
直接积分法
分离变量法
镜像法 复位函数法 保角变换法 格林函数法 ……
有限差分法(FDM) 有限元法(FEM) 模拟电荷法(CSM) 矩量法(MOM) 边界元法(BEM) ……
V
V
S
dS
S
• endS
S
dS
n
P357式13，
V
2 + •
dV
S
n
dS
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2.5.4 静电场解的唯一性
P357式13，
V
2 + •
dV
S
n
dS
由于2d
0，若令
=
=
，则
d
V
d 2dV
d
S
d dS
n
如果第一或第二类边界相同，即：
1
Si
2
Si
给定值
i 0,1,
2
0
(x, y, z) D (domain)
( D域内处处有 =0)
➢ 定解条件——边界条件(边值)
泊松方程和拉普拉斯方程都属一元二次线性偏微分方程。这类 偏微分方程的定解条件是在方程定义域（场域）的边界上给定的边 界条件（边值）。
场域V 边界S 上的边界条件，也称为该边界S 上的边值，可给定为 以下三种类型：
(r)
(r )
f3 (r ) n S
f4 (rb )
第三类边界条件
泛定方程与相应的定解条件，将边值问题(BVP) 分类为
第一类边值问题（1st BVP）也称为狄利克雷(Dirichlet)问题； 第二类边值问题（2nd BVP）也称为诺伊曼(Neumann)问题； 第三类边值问题（3rd BVP）也称为柯西(Cauchy)问题。
1.泛定方程
• D DE • E • E E
均匀介质
E 0 E 代入 • E
•
• 2
(r) 0 2 0
2 —拉普拉斯算子
泊松方程 拉普拉斯方程
共性泛定方程
2.边值问题—— 满足给定边界条件(边值)的泊松或拉氏方程的定解问题。
➢ 泛定方程——泊松方程或拉普拉斯方程
镜像法应用的理论基础——静电场解的惟一性定理
镜像法应用的关键点： a. 镜像电荷的确定（位置、个数、电量大小）； b. 等效求解的“有效区域” 。
2.6镜像法
y P(x,y,z)
D
q
h
0
O
x
点电荷—接地导板系统
2.6镜像法
D
0
r P(x, y, z) q
s2
h 21 0
s1
导板
原问题(点电荷—接地导板系统)
第2章 静电场
2.5 边值问题 Boundary Value Problem
• 偏微分方程的定解问题 • 数学物理方程的定解问题
2.5.1 数学模型——边值问题
以电位函数 为待求场函数，对应的边值问题 • 泛定方程——基于r的场的规律性的描述；
• 定解条件——由给定工程物理问题所决定的场域边界 上的边界条件。