经典偏微分方程课后习题答案
偏微分方程总复习和课后习题答案
一、基本概念
1. 偏微分方程的定义P1 2. 偏微分方程的阶数，线性、拟线性、完全非线性 偏微分方程的定义P10 3. 偏微分方程的适定性P23
二、方程的导出，分类与化简
三、公式的直接应用题
1. 2. 3. 4. 5. 达朗贝尔公式P36 公式P42 傅里叶（逆）变换P106 P110例 4.1.7结论 泊松公式P112
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2a x at x a ( t ) 1 t d f ( , )d x a ( t ) 2a 0
1 2 u ( x t ) 3t xt 2
1 1 xa t C f1 ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2a x0 2 1 1 xa t C f 2 ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2 a x0 2
1 1 xat u [ ( x at ) ( x at )] ( )d 2 2a x a t
1 u ( x t ) x (1 a )t cos x sin at a
2 2 2
1 （ 7）
解：
2
1 22 1 x at x at x u ( x t ) 5 x t a t 2 (e e 2e ) 3 2a
1 （ 6）
解：
2 2u u 2 1 a f ( x , t ), x R ,t 0 2 2 t x u ( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x), x R1. t
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2a x at x a ( t ) 1 t d f ( , )d x a ( t ) 2a 0
偏微分方程数值习题解答
偏微分⽅程数值习题解答李微分⽅程数值解习题解答 1-1 如果0)0('=?，则称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是⽅程组 b Ax =的解证明:由)(λ?的定义与内积的性线性性质,得),()),((21)()(0000x x b x x x x A x x J λλλλλ?+-++=+=),(2),()(200x Ax x b Ax x J λλ+-+=),(),()(0'x Ax x b Ax λλ?+-=必要性:由0)0('=?,得,对于任何n R x ∈,有0),(0=-x b Ax ,由线性代数结论知,b Ax b Ax ==-00,0充分性: 由b Ax =0,对于任何n R x ∈,0|),(),()0(00'=+-==λλ?x Ax x b Ax即0x 是)(x J 的驻点. §1-2补充: 证明)(x f 的不同的⼴义导数⼏乎处处相等.证明:设)(2I L f ∈,)(,221I L g g ∈为)(x f 的⼴义导数,由⼴义导数的定义可知,对于任意)()(0I C x ∞∈?,有-=ba ba dx x x f dx x x g )()()()('1?? ??-=ba ba dx x x f dx x x g )()()()('2?? 两式相减,得到)(0)()(021I C x g g ba ∞∈?=- 由变分基本引理,21g g -⼏乎处处为零,即21,g g ⼏乎处处相等.补充:证明),(v u a 的连续性条件(1.2.21) 证明: 设'|)(|,|)(|M x q M x p ≤≤,由Schwarz 不等式||||.||||||||.|||||)(||),(|'''''v u M v u M dx quv v pu v u a ba +≤+=?11*||||.||||2v u M ≤,其中},max{'*M M M =习题:1 设)('x f 为)(x f 的⼀阶⼴义导数,试⽤类似的⽅法定义)(x f 的k 阶导数,...2,1(=k ) 解:⼀阶⼴义导数的定义,主要是从经典导数经过分部积分得到的关系式来定义,因此可得到如下定义:对于)()(2I L x f ∈,若有)()(2I L x g ∈,使得对于任意的)(0I C ∞∈?,有 ?-=bak kba dx x x f dx x x g )()()1()()()(??则称)(x f 有k 阶⼴义导数,)(x g 称为)(x f 的k 阶⼴义导数,并记kk dxfd x g =)(注:⾼阶⼴义导数不是通过递推定义的,可能有⾼阶导数⽽没有低阶导数.2.利⽤)(2I L 的完全性证明))()((1I H I H m 是Hilbert 空间.证明:只证)(1I H 的完全性.设}{n f 为)(1I H 的基本列,即0||||||||||||0''01→-+-=-m n m n m n f f f f f f因此知}{},{'n n f f 都是)(2I L 中的基本列(按)(2I L 的范数).由)(2I L 的完全性,存在)(,2I L g f ∈,使0||||,0||||0'0→-→-g f f f n n ,以下证明0||||1→-f f n (关键证明dxdfg =)由Schwarz 不等式,有00||||.|||||)())()((|??f f x x f x f n ba n -≤-?00'''|||||||||)())()((|??f f dx x x g x f n ba n -≤-?对于任意的)()(0I C x ∞∈?,成⽴=∞a ba n n dx x x f dx x x f )()()()(lim ??=∞→ba b a nn dx x x g dx x x f )()()()(lim '??由?-=ba n ba ndx x x f dx x x f )()()()(''??取极限得到dx x x f dx x x g ba ba ??-=)()()()('??即')(f x g =,即)(1I H f ∈,且0||||||||||||0''01→-+-=-f f f f f f n n n故)(1I H 中的基本列是收敛的,)(1I H 是完全的. 3.证明⾮齐次两点边值问题证明:边界条件齐次化令)()(0a x x u -+=βα,则0u u w -=满⾜齐次边界条件.w 满⾜的⽅程为00Lu f Lu Lu Lw -=-=,即w 对应的边值问题为==-=0)(,0)('b w a w Lu f Lw (P) 由定理知,问题P 与下列变分问题等价求)(min )(,**12*1w J w J H C w Ew E ∈=∈其中),(),(21)(0*w Lu f w w a w J --=.⽽Cu u a u Lu u J u u Lu f u u u u a w J +-+=-----=),(),()(~),(),(21)(000000*⽽200)()(),(),(C b u b p u u a u Lu +-=-β从⽽**)()()(~)(C b u b p u Jw J +-=β则关于w 的变分问题P 等价于:求α=∈)(,12*a u H C u使得)(min )()(*1u J u J a u H u α=∈=其中)()(),(),(21)(b u b p u f u u a u J β--=4就边值问题（1.2.28）建⽴虚功原理解:令)(0a x u -+=βα,0u u w -=,则w 满⾜)(,0)('00==-=-=b w a w Lu f Lu Lu Lw等价于:1E H v ∈?0),(),(0=--v Lu f v Lw应⽤分部积分,+-=-=-b a b a b a dx dx dv dx dw p v dx dw p vdx dx du p dx d v dx dw p dx d |)()),((还原u ,)()(),(),(),(),(),(),(),(),(000b v b p v f v u a v u a v Lu v f v u a v Lu f v w a β--=-+-=--于是,边值问题等价于:求α=∈)(,1a u H u ,使得1E H v ∈?,成⽴0)()(),(),(=--b v b p v f v u a β注:形式上与⽤v 去乘⽅程两端,应⽤分部积分得到的相同. 5试建⽴与边值问题等价的变分问题.解:取解函数空间为)(20I H ,对于任意)(20I H v ∈⽤v 乘⽅程两端,应⽤分部积分,得到0),(),(44=-+=-v f u dx ud v f Lu⽽??-==b a b a b a dx dxdvdx u d v dx u d vdx dx u d v dx u d .|),(33334444 dx dxv d dx u d dx dx vd dx u d dx dv dx u d b a b a b a ??=+-=2222222222| 上式为),(][2222v f dx uv dx vd dx u d b a =+?定义dx uv dxvd dx u d v u a ba ][),(2222+=?,为双线性形式.变分问题为:求)(20I H u ∈,)(20I H v ∈?),(),(v f v u a =1-41.⽤Galerkin Ritz -⽅法求边值问题==<<=+-1)1(,0)0(102"u u x x u u 的第n 次近似)(x u n ,基函数n i x i x i ,...,2,1),sin()(==π?解:(1)边界条件齐次化:令x u =0,0u u w -=,则w 满⾜齐次边界条件,且)1(,0)0(20==-=-=w w x x Lu Lu Lw第n 次近似n w 取为∑==n i i i n c w 1,其中),...2,1(n i c i =满⾜的Galerkin Ritz -⽅程为n j x x c a j ni i j i ,...,2,1),(),(21=-=∑= ⼜xd jx ix ij dx x j x i dxx j x i ij dx a j i jij i ?-=+=+=ππππππππ)cos()cos(2)sin()sin()cos()cos()(),(1010210''-+πππjx ix sin sin 21由三⾓函数的正交性,得到≠=+=j i j i i a j i ,0,212),(22π??⽽]1)1[()(2)sin()1(),(3102--=-=-?jj j dx x j x x x x ππ? 于是得到+-=-=为偶数为奇数j j j j a x x c j j j j 0 )1()(8),(),(2232ππ最后得到∑+=-+---+=]21[1233])12(1[)12(])12sin[(8)(n k n k k x k x x u ππ 2.在题1中,⽤0)1(=u 代替右边值条件,)(x u n 是⽤Galerkin Ritz -⽅法求解相应问题的第n 次近似,证明)(x u n 按)1,0(2L 收敛到)(x u ,并估计误差.证明:n u 对应的级数绝对收敛,由}{sin x i π的完全性知极限就是解)(x u ,其误差估计为338nR n π≤3.就边值问题(1.2.28)和基函数),...,2,1()()(n i a x x i i =-=?,写出Galerkin Ritz -⽅程解:边界条件齐次化,取)(0a x u -+=βα,0u u w -=, w 对应的微分⽅程为)(,0)('00==-=-=b w a w Lu f Lu Lu Lw对应的变分⽅程为0),(),(0=--v Lu f v w a)]([)(000a x q dx dpqu dx du p dx d Lu -++-=+-=βαβ+-=-ba b a dx x pv b v b p v dxdp )()()(' 变分⽅程为dx v qu x pv b v b p v f v w a ba ?--+=])([)()(),(),(0'ββ取n i a x x i i ,...,2,1,)()(=-=?,则Galerkin -Ritz ⽅程为∑-++--+=-=ba i ba i i nj j jidxa x x q dx a x i x pb b p fc a )]()[()()()()(),(),(11βαβ?β??+=ba j i j i j i dx q p a ][),(''取1,0,1===f q p ,具体计算1=n , )(1),(11a b dx a ba -==221)(21)()()(21a b a b a b a b d -=---+-=ββ, )(211a b c -=,即解)(2101a x u u -+= 2=n :22111)()(2),(),(),(a b dx a x a a b a ba -=-=-=3222)(34)(4),(a b dx a x a ba -=-=3223222)(31)()()(31)(2)()(a b a b a b a b dxa x ab dx a x d ba b a -=---+-=---+-=??ββββ得到⽅程组为 --=----3221322)(31)(21c )(34)()(a b a b c a b a b a b a b特别取1,0==b a ,有= 31213411121c c求解得到1,21,6131122=-=-=c c c其解为202)(21)(a x a x u u ---+=C h2 椭圆与抛物型⽅程有限元法§1.1 ⽤线性元求下列边值问题的数值解: 10,2sin242"<<=+-x x y y ππ0)1(,0)0('==y y此题改为4/1,0)1()0(,1"====+-h y y y y解: 取2/1=h ,)2,1,0(==j jh x j ,21,y y 为未知数. Galerkin 形式的变分⽅程为),(),(v f v Lu =,其中+-=10210"4),(uvdx vdx u v Lu π,?=1)(2sin 2),(dx x xv v f π⼜dx v u dx v u v u vdx u =+-=-10''10''10'10"|因此dx uv v u v u a )4(),(12''?+=π在单元],[1i i i x x I -=中,应⽤仿射变换(局部坐标)hx x i 1--=ξ节点基函数为)3,2,1(,0,,,1)(111=≤≤-=≤≤-=-=--+i other x x x h x x x x x h x x x i i i i i i i ξξξξ?-+++=++=1022210222222'111)1(41]41[]4[),(1021ξξπξξπ?πd h d hh dxa x x x x取2/1=h ,则计算得124),(211π??+=a122)1(41[),(210221πξξξπ??+-=-+-=?d h h a-+++=10101)1)(2121(2sin )0(2sin [2),(ξξξπξξξπ?d d h h f ??-++=1010)1(4)1(sin 2sin ξξξπξξξπd d hξξξπ?d h f ?+=102)2121(2sin 2),(代数⽅程组为= ),(),(),(),(),(),(212122212111f f y y a a a a 代如求值.取4/1=h ,未知节点值为4321,,,u u u u ,⽅程为4,3,2,1),(),(41==∑=j f ua j i iji应⽤局部坐标ξ表⽰,-+++=10221022])1(41[)41(),(ξξπξξπ??d hh d h h a j j248]88[21022πξξπ+=+=?dξξξπ??d hh a j j ])1(41[),(1021?-+-=++964)1(164212πξξξπ+-=-+-=?d 964),(21π??+-=-j j a系数矩阵为}964,248,964{222πππ+-++-=diag A取1=f ,41)1(),(1010=-+=??ξξξξ?d h d h f j-+++=+10110)1)]((2sin[2)](2sin[2),(ξξξπξξξπd h x h d h x h f j j j -++++=1010)1)](4 41(2sin[21)]44(2sin[42ξξξπξξξπd j d j++?=+++++-+=100110|)]8)1([cos(821]8)1(sin[21]8)1(sin[]8)(sin[21ξππξξπξξξπξπj d j d j j+2.就⾮齐次第三边值条件22'11')()(,)()(βαβα=+=+b u b u a u a u导出有限元⽅程.解:设⽅程为f qu pu Lu =+-='')( 则由),()]()[()()]()[()(),(|),)((''1122'''''v pu a u a v a p b u b v b p v pu v pu v pu b a----=-=αβαβ变分形式为:),(1b a H v ∈?)()()()(),()()()()()()(),(),(1212''a v a p b v b p v f a v a u a p b v b u b p v qu v pu ββαα-+=-++)(),(0b u u a u u N ==记)()()()(),()()()()()()()(),(),(),(1212''a v a p b v b p v f v F a v a u a p b v b u b p v qu v pu v u A ββαα-+=-++=则上述变分形式可表⽰为)(),(v F v u A =设节点基函数为),...,2,1,0)((N j x j =? 则有限元⽅程为),...,1,0()(),(0N j F u A j Ni i j i ==∑=具体计算使⽤标准坐标ξ.。
偏微分方程教程答案
偏微分方程教程答案【篇一：偏微分方程数值解习题解答案】class=txt>3页13页【篇二：3.1 常微分方程课后答案】方程dy=x+y2通过点(0,0)的第三次近似解； dx解：取?0(x)?0 12x 002xx11152x ?2(x)?y0??[x??1(x)]dx??[x?(x2)2]dx?x2?002220x1152x)]dx ?3(x)?y0??[x?(x2?0220115181x?x?x11= x2?2201604400dy 2 求方程=x-y2通过点(1,0)的第三次近似解；dx ?1(x)?y0??(x?y0)dx??xdx?x2x解：令?0(x)?012x 002xx12212152?(x)?y?[x??(x)]dx?[x?(x)]dx?x?x201?0?02220x1152x)]dx?3(x)?y0??[x?(x2?0220115181x?x?x11 =x2?2201604400则?1(x)?y0??(x?y0)dx??xdx?x2x3 题求初值问题：?dy??x2r：x??1，y?1 ?dx??y(?1)?0的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计；b1解：因为 m=max{x2?y2}=4 则h=min(a,)= m41则解的存在区间为x?x0=x?(?1)=x?1? 4令 ?0(x)=0 ;11?1(x)=y0+?(x2?0)dx=x3+; 33x0x?2(x) 13xx4x7111312=y0+?[x?(x?)]dx=x---+ 3942186333?12x又 ?f(x,y)?2=l ?ym*l2311则：误差估计为：?2(x)??(x)?h= 24(2?1)2dy334 题讨论方程：?y在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， dx21并求通过点（0，0）的一切解；?f(x,y)13解：因为=y在y?0上存在且连续； ?y2?23 而y3在y???0上连续 2dy33由 ?y有：y=（x+c）2 dx2131又因为y(0)=0 所以：y=x另外 y=0也是方程的解；?3?2故方程的解为：y=?x??0x?0 x?032或 y=0;6题证明格朗瓦耳不等式：设k为非负整数，f(t)和g(t)为区间??t??上的连续非负函数，且满足不等式：tf(t)?k+?f(s)g(s)ds,??t???t则有：f(t)?kexp(?g(s)ds),??t???t证明：令r（t）=?f(s)g(s)ds,则r(t)=f(?r(t)-r(t)g(t)= f(t)g(t)- r(t)g(t)?kg(t)r(t)- r(t)g(t)?kg(t);t两边同乘以exp(-?g(s)ds)则有：?tt r(t) exp(-?g(s)ds)-r(t)g(t) exp(-?g(s)ds)??t? kg(t) exp(-?g(s)ds)?两边从?到t积分：tttr(t) exp(-?g(s)ds)?-?kg(s)dsexp(-?g(r)dr)ds???tt即 r(t) ??kg(s)ds exp(-?g(r)dr)ds?stt又 f(t) ?1?k+r(t) ?k+k?g(s)exp(-?g(r)dr)ds?sts?k(1-1+ exp(-?g(r)dr)=k exp(?g(r)dr)stt即 f(t) ?k?g(r)dr;?7题假设函数f(x,y)于（x0,y0）的领域内是y的不增函数，试证方程dy= f(x,y)满足条件y(x0)= y0的解于x? x0一侧最多只有一个解；dx证明：假设满足条件y(x0)= y0的解于x? x0一侧有两个?(x),?(x)则满足：x?(x)= y0+?f(x,?(x))dxx0x?(x)= y0+?f(x,?(x))dxx0不妨假设?(x)??(x)，则?(x)- ?(x)?0xx而?(x)- ?(x)= ?f(x,?(x))dx-?f(x,?(x))dxx0x0x=?[f(x,?(x))?f(x,?(x))dxx0又因为 f(x,y)在（x0,y0）的领域内是y的增函数，则：f(x, ?(x))-f(x, ?(x))?0x则?(x)- ?(x)= ?[f(x,?(x))?f(x,?(x))dx?0x0则?(x)- ?(x)?0所以 ?(x)- ?(x)=0，即 ?(x)= ?(x) 则原命题方程满足条件y(x0)= y0的解于x? x0一侧最多只有一个解；【篇三：同济第五版高数习题答案】试说出下列各微分方程的阶数:(1)x(y′)?2yy′+x=0;解一阶.(2)xy′?xy′+y=0;解一阶.(3)xy′′′+2y′+xy=0;解三阶.(4)(7x?6y)dx+(x+y)dy=0;解一阶.(5)解二阶.;222(6) .解一阶.2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:(1)xy′=2y, y=5x;解y′=10x.22 因为xy′=10x=2(5x)=2y, 所以y=5x是所给微分方程的解.(2)y′+y=0, y=3sin x?4cos x;解y′=3cos x+4sin x.因为y′+y=3cos x+4sin x+3sin x?4cos x=7sin x?cos x≠0,所以y=3sin x?4cos x不是所给微分方程的解.(3)y′′?2y′+y=0, y=xe;x2xxxx2x22 解y′=2xe+xe, y′′=2e+2xe+2xe+xe=2e+4xe+xe . 因为y′′?2y′+y=2e+4xe+xe?2(2xe+xe)+xe=2e≠0,所以y=xe不是所给微分方程的解.12122x2xx2x2xxxx2xxx2x解 , .因为=0,所以是所给微分方程的解.3. 在下列各题中, 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解:(1)(x?2y)y′=2x?y, x?xy+y=c;解将x?xy+y=c的两边对x求导得2x?y?xy′+2y y′=0,即(x?2y)y′=2x?y,所以由x?xy+y=c所确定的函数是所给微分方程的解.(2)(xy?x)y′′+xy′+yy′?2y′=0, y=ln(xy).解将y=ln(xy)的两边对x求导得再次求导得, 即 .2222222.注意到由可得 , 所以从而(xy?x)y′′+xy′+yy′?2y′=0,即由y=ln(xy)所确定的函数是所给微分方程的解.4. 在下列各题中, 确定函数关系式中所含的参数, 使函数满足所给的初始条件:(1)x?y=c, y|=5;x=0222 ,解由y|=0得0?5=c, c=?25, 故x?y=?25.x=012222 (2)y=(c+cx)e, y|=0, y′|=1;解y′=ce+2(c+cx)e. 21222xx=02x x=02x由y|=0, y′|=1得 x=0x=0,解y′=ccos(x?c).12, 即,解之得c=1, 1, 故 , 即y=?cos x .5. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:(1)曲线在点(x, y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方; 解设曲线为y=y(x), 则曲线上点(x, y)处的切线斜率为y′, 由条件y′=x, 这便是所求微分方程.(2)曲线上点p(x, y)处的法线与x轴的交点为q, 且线段pq被y轴平分.解设曲线为y=y(x), 则曲线上点p(x, y)处的法线斜率为 , 由条件第pq中点的横坐标为0, 所以q点的坐标为(?x, 0), 从而有, 即yy′+2x=0.6. 用微分方程表示一物理命题: 某种气体的气压p对于温度t的变化率与气压成正比, 所温度的平方成反比.解, 其中k为比例系数.习题12?111. 试用幂级数求下列各微分方程的解:(1)y′?xy?x=1;解设方程的解为, 代入方程得,即 .可见a?1=0, 2a?a?1=0, (n+2)a1202n+2?a=0(n=1, 2, ? ? ?),n 于是,,, , , ? ? ?. , ? ? ? ,所以,即原方程的通解为 .(2)y′′+xy′+y=0;解设方程的解为, 代入方程得,即 ,于是, , ??, , , ? ? ?.所以,即原方程的通解为.(3)xy′′?(x+m)y′+my=0(m为自然数);解设方程的解为, 代入方程得,?即 .可见(a?a)m=0, (n?m)[(n+1)a01 n+1?a]=0 (n≠m),n于是a=a, , .01所以,即原方程的通解为(其中c1, c2为任意常数).(4)(1?x)y′=x2?y;解设方程的解为, 代入方程得,即可见a1+a0=0, 2a2=0, 3a3?a2?1=0, (n+1)an+1?(n?1)a n=0(n≥3),于是a1=?a0, a2=0, , (n≥4).因此原方程的通解为(c=a(5)(x+1)y′=x20为任意常数). . ?2x+y..。
偏微分方程(周蜀林)习题参考答案补充
偏微分方程（周蜀林）
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关于剩下十个题的一些说明
3.16按提示，先将ϕ作周期为2的偶延拓得ϕ~
，之后作为热方程初值求解得u ，然后证明在0+→t 时，()t x u ,一致收敛于()x ϕ~（证明需用到ϕ~
的一致连续性）。
这些都很顺利，但
是到用多项式逼近K 的时候就不知道怎么办了......
3.22首先说边界条件正确的是书后的提示（正文缺负号）。
当你把所有式子都代入3.19式就会发现你根本不知道怎么解()t g ......3.23、3.24数学分析好的人进[byebye]。
4.12、4.13Fourier 变换法最难的就是逆变换，你可以去查从来没有逆变换()t a λcos 的！网上确实有文章用Fourier 变换求二维三维波动方程，不过我赌你看不懂。
4.36自古多元不好做，教科书都是避嫌不写。
4.48目测需要参考定理4.8过程，不容易。
4.49、4.50看到广义解基本就可以跳过了，想做的自己看吧。
(完整word版)偏微分方程数值解习题解答案
L试讨论逼近对蘇程詈+若。
的差分沁1)2)q1 二：行口匚1）解：设点为（X ? ，/曲）屮则町=讥心厶）=班勺厶+J + °（工心）（Y ）+0（F ）.ot所以截断误差为：3E=丄 ------ + ---- 「 T h 啰_喟+竺护一 o （F ）T= 0（T + 力”2）解：设点为：（X y ，/林1 ） 3则町=讥勺,_）=以E ，_+1）+ （Y ） +o （巧卩 ot “；：；=班心+1 厶+i ）=叽厶+i ）+滋（ h ）+ * 臥工心）（为 2）+o ox (X)d心;=班心亠心）=班心，/+1）+敕:;D （一力）+ 3 役;D（血 2）+0（亥2）«截断误差为：2舟A 1 ” E= ------------ + ------------ — （―+ _） T h dt dx叭：=班％厶+i ）+敗？心）（_勿+0 @2）〜dx-(史+空八dt dx 呼1_吋】+竺丛Q —O （X ）-(叱 3 +dtdx 22・试用积分插值法推导知铁。
逼近的差分裕式班勺厶叙）一班勺，乩i）+ ——-——£）dtTq2 “-” *\ | (— 4- —)dxdt = | (un t 4- un x)ds = 0* dt & \得-U] /J+U2 r+x^ A-u4 r = 0+JE (j-l? n)F (j,n)G (j^n+l)H (j-l,n+l)^% ~ 的=旳=竹“4 = W/-lMf MTh=h T-T-ll"h + LL r H + ll：4h —LL：N =Op第二章第三章第四章第五章第六章P781.如果①'（0）二0,则称工。
是』（0）的驻点（或稳定:点）-设矩阵A对称（不必正定），求证忑是』（工）的驻点.的充要条件是1心是方程加二&的解B 42・ 试用积分插值法推导知铁。
逼近的差分裕式证： 充分性：①⑻二J 缶)+ 乂(加° -b t ^+—(Ax r x)①'(Ji) = (Ax c - A, x) + A{Ax r x) aEff))S 宀沪若①0)二Q,即(山° 一氛对=0 心怎宀A X Q -h = ()目卩 Ax-b^则帀是方程Ax^b 的解卩 必要性*若心是芳程A^ = b^\解则 Ax a —h - 0 (J 4X 0 — Z?,x) = 0+^◎ (0)=(吐命-b t x) - 0+J所以町是』0)的驻点dpg%3：证明非齐次两点边值间题心現(&)二 e it (E)二 Qu与T 7面的变分间题等价：求血EH 】，认@) = G 使 J(w t ) = min J(y)其中心SiuHU (2)-d』(#) =壬仗站)-(7» —芒⑹戲(D) +而久込叭如(2.13)(提示；先把边值条件齐衩化)+d dxO 字)+梓二/ ax13页证明：令 = w(x) + v(x)其中 w(x) = Q + (x-a)0 w(a) = a yv @) = “v(a) = 0 v(^>) = 0®所以2S = 瞥+qu = j DX DX Pd r /w 血、《, 乂 、 f"丁〔P(T + ：F)]+Q(W + V )" ax dx ax* 丫 d z dv. 产 / d dw 、 豪 令 = - — O —) +(?v = /-(- —^> — +^w) = y;^ ax ax dx ax 所以(1)的等价的形式2厶” =一?0 字)= 卩ax axu(a) = a u\b) = 0a其中久=/-(-£■去字+0W )"ax ax 则由定理22知，讥是辺值间题（2）的解的充要条件是 且满定变分方程"ogf)-C/i 小 0 Vve^Pr (Zv> 一 /j )tdx + p @»： (b)f @) ① W = J(u) = J(u.+^)^— a （u^ + 兔，以.+ 无）一（/,功・ +加）［以・（E ）+加@）］ 2 □2=J(认)+ N[a@・,f)-(/,£)-+乙agd-Qfm 沁卜• Q dx dx 「（加•一/）加x +卩@加：（砂@）-卩@）戊@） Ja（3） => （4）所以可证得• 3必要性：若如 是边值间题（1）的解。
偏微分方程数值习题解答
偏微分方程数值习题解答对于任意的)(0I C ∞∈ϕ,有⎰⎰-=bak kba dx x x f dx x x g )()()1()()()(ϕϕ则称)(x f 有k 阶广义导数,)(x g 称为)(x f 的k 阶广义导数,并记kk dxfd x g =)(注:高阶广义导数不是通过递推定义的,可能有高阶导数而没有低阶导数.2.利用)(2I L 的完全性证明))()((1I H I H m 是Hilbert 空间.证明:只证)(1I H 的完全性.设}{n f 为)(1I H 的基本列,即0||||||||||||0''01→-+-=-m n m n m n f f f f f f因此知}{},{'n n f f 都是)(2I L 中的基本列(按)(2I L 的范数).由)(2I L 的完全性,存在)(,2I L g f ∈,使 0||||,0||||0'0→-→-g f f f n n ,以下证明0||||1→-f f n (关键证明dxdfg =)由Schwarz 不等式,有00||||.|||||)())()((|ϕϕf f x x f x f n ba n -≤-⎰ 00'''|||||||||)())()((|ϕϕf f dx x x g x f nb a n -≤-⎰对于任意的)()(0I C x ∞∈ϕ,成立⎰⎰=∞→ba b a n n dx x x f dx x x f )()()()(lim ϕϕ⎰⎰=∞→ba b a nn dx x x g dx x x f )()()()(lim 'ϕϕ由⎰⎰-=ba nb a ndx x x f dx x x f )()()()(''ϕϕ取极限得到dx x x f dx x x g ba b a ⎰⎰-=)()()()('ϕϕ 即')(f x g =,即)(1I H f ∈,且0||||||||||||0''01→-+-=-f f f f f f n n n故)(1I H 中的基本列是收敛的,)(1I H 是完全的.3.证明非齐次两点边值问题证明:边界条件齐次化令)()(0a x x u -+=βα,则0u u w -=满足齐次边界条件.w 满足的方程为00Lu f Lu Lu Lw -=-=,即w 对应的边值问题为⎩⎨⎧==-=0)(,0)('b w a w Lu f Lw (P) 由定理知,问题P 与下列变分问题等价求)(min )(,**12*1w J w J H C w EHw E ∈=∈ 其中),(),(21)(0*w Lu f w w a w J --=.而Cu u a u Lu u J u u Lu f u u u u a w J +-+=-----=),(),()(~),(),(21)(000000*而200)()(),(),(C b u b p u u a u Lu +-=-β从而**)()()(~)(C b u b p u Jw J +-=β 则关于w 的变分问题P 等价于:求α=∈)(,12*a u H C u 使得)(min )()(*1u J u J a u H u α=∈=其中)()(),(),(21)(b u b p u f u u a u J β--=4就边值问题（1.2.28）建立虚功原理 解:令)(0a x u -+=βα,0u u w -=,则w 满足)(,0)('00==-=-=b w a w Lu f Lu Lu Lw等价于:1E H v ∈∀0),(),(0=--v Lu f v Lw应用分部积分,⎰⎰+-=-=-b a b a b a dx dxdvdx dw p v dx dw p vdx dx du p dx d v dx dw p dx d |)()),((还原u ,)()(),(),(),(),(),(),(),(),(000b v b p v f v u a v u a v Lu v f v u a v Lu f v w a β--=-+-=--于是,边值问题等价于:求α=∈)(,1a u H u ,使得1E H v ∈∀,成立0)()(),(),(=--b v b p v f v u a β注:形式上与用v 去乘方程两端,应用分部积分得到的相同.5试建立与边值问题等价的变分问题.解:取解函数空间为)(20I H ,对于任意)(20I H v ∈ 用v 乘方程两端,应用分部积分,得到0),(),(44=-+=-v f u dx ud v f Lu而⎰⎰-==b a b a b a dx dxdvdx u d v dx u d vdx dx u d v dx u d .|),(33334444dx dxv d dx u d dx dx vd dx u d dx dv dx u d b a b a b a ⎰⎰=+-=2222222222| 上式为),(][2222v f dx uv dxvd dx u d b a =+⎰定义dx uv dxvd dx u d v u a ba ][),(2222+=⎰,为双线性形式.变分问题为:求)(20I H u ∈,)(20I H v ∈∀),(),(v f v u a =1-41.用Galerkin Ritz -方法求边值问题⎩⎨⎧==<<=+-1)1(,0)0(102"u u x x u u 的第n 次近似)(x u n ,基函数n i x i x i ,...,2,1),sin()(==πϕ解:(1)边界条件齐次化:令x u =0,0u u w -=,则w 满足齐次边界条件,且)1(,0)0(20==-=-=w w x x Lu Lu Lw第n 次近似n w 取为∑==n i i i n c w 1ϕ,其中),...2,1(n i c i =满足的Galerkin Ritz -方程为n j x x c a j ni i j i ,...,2,1),(),(21=-=∑=ϕϕϕ 又xd jx ix ij dx x j x i dxx j x i ij dx a j i jij i ⎰⎰⎰⎰-=+=+=ππππππππϕϕϕϕϕϕ)cos()cos(2)sin()sin()cos()cos()(),(1010210''⎰-+πππjx ix sin sin 21 由三角函数的正交性,得到⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=j i j i i a j i ,0,212),(22πϕϕ而]1)1[()(2)sin()1(),(3102--=-=-⎰jj j dx x j x x x x ππϕ 于是得到⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=为偶数为奇数j j j j a x x c j j j j 0)1()(8),(),(2232ππϕϕϕ最后得到∑+=-+---+=]21[1233])12(1[)12(])12sin[(8)(n k n k k x k x x u ππ 2.在题1中,用0)1(=u 代替右边值条件,)(x u n 是用Galerkin Ritz -方法求解相应问题的第n 次近似,证明)(x u n 按)1,0(2L 收敛到)(x u ,并估计误差.证明:n u 对应的级数绝对收敛,由}{sin x i π的完全性知极限就是解)(x u ,其误差估计为338nR n π≤3.就边值问题(1.2.28)和基函数),...,2,1()()(n i a x x ii =-=ϕ,写出Galerkin Ritz - 方程解:边界条件齐次化,取)(0a x u -+=βα,0u u w -=, w 对应的微分方程为)(,0)('00==-=-=b w a w Lu f Lu Lu Lw对应的变分方程为 0),(),(0=--v Lu f v w a)]([)(000a x q dx dpqu dx du p dx d Lu -++-=+-=βαβ⎰⎰+-=-ba b a dx x pv b v b p v dxdp )()()(' 变分方程为dx v qu x pv b v b p v f v w a ba ⎰--+=])([)()(),(),(0'ββ取n i a x x ii,...,2,1,)()(=-=ϕ,则Galerkin -Ritz 方程为⎰⎰∑-++--+=-=ba i ba i i nj j jidxa x x q dx a x i x pb b p fc a )]()[()()()()(),(),(11βαβϕβϕϕϕ⎰+=ba j i j i j i dx q p a ][),(''ϕϕϕϕϕϕ取1,0,1===f q p ,具体计算1=n , )(1),(11a b dx a ba -==⎰ϕϕ221)(21)()()(21a b a b a b a b d -=---+-=ββ,)(211a b c -=,即解)(2101a x u u -+= 2=n :22111)()(2),(),(),(a b dx a x a a b a ba -=-=-=⎰ϕϕϕϕ3222)(34)(4),(a b dx a x a ba -=-=⎰ϕϕ3223222)(31)()()(31)(2)()(a b a b a b a b dxa x ab dx a x d ba b a -=---+-=---+-=⎰⎰ββββ 得到方程组为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛----3221322)(31)(21c )(34)()(a b a b c a b a b a b a b 特别取1,0==b a ,有⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31213411121c c求解得到1,21,6131122=-=-=c c c其解为202)(21)(a x a x u u ---+=C h2 椭圆与抛物型方程有限元法§1.1 用线性元求下列边值问题的数值解:10,2sin242"<<=+-x x y y ππ0)1(,0)0('==y y此题改为4/1,0)1()0(,1"====+-h y y y y 解: 取2/1=h ,)2,1,0(==j jh x j ,21,y y 为未知数.Galerkin 形式的变分方程为),(),(v f v Lu =,其中⎰⎰+-=10210"4),(uvdx vdx u v Lu π,⎰=1)(2sin 2),(dx x xv v f π又dx v u dx v u v u vdx u ⎰⎰⎰=+-=-10''10''10'10"|因此dx uv v u v u a )4(),(12''⎰+=π在单元],[1i i i x x I -=中,应用仿射变换(局部坐标)hx x i 1--=ξ节点基函数为)3,2,1(,0,,,1)(111=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-=≤≤-=-=--+i other x x x h x x x x x h x x x i i i i i i i ξξξξϕ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=++=⎰⎰⎰⎰1022210222222'111)1(41]41[]4[),(1021ξξπξξπϕπϕϕϕd h d hh dxa x x x x取2/1=h ,则计算得124),(211πϕϕ+=a122)1(41[),(210221πξξξπϕϕ+-=-+-=⎰d h h a⎰⎰-+++=10101)1)(2121(2sin )0(2sin [2),(ξξξπξξξπϕd d h h f ⎰⎰-++=1010)1(4)1(sin 2sin ξξξπξξξπd d hξξξπϕd h f ⎰+=102)2121(2sin 2),(代数方程组为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛),(),(),(),(),(),(212122212111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕf f y y a a a a 代如求值.取4/1=h ,未知节点值为4321,,,u u u u ,方程为4,3,2,1),(),(41==∑=j f ua j i ijiϕϕϕ应用局部坐标ξ表示,⎰⎰-+++=10221022])1(41[)41(),(ξξπξξπϕϕd hh d h h a j j248]88[21022πξξπ+=+=⎰dξξξπϕϕd hh a j j ])1(41[),(1021⎰-+-=++964)1(164212πξξξπ+-=-+-=⎰d 964),(21πϕϕ+-=-j j a系数矩阵为}964,248,964{222πππ+-++-=diag A取1=f ,41)1(),(1010=-+=⎰⎰ξξξξϕd h d h f j⎰⎰-+++=+10110)1)]((2sin[2)](2sin[2),(ξξξπξξξπϕd h x h d h x h f j j j ⎰⎰-++++=1010)1)](441(2sin[21)]44(2sin[42ξξξπξξξπd j d j ⎰⎰++⨯=+++++-+=100110|)]8)1([cos(821]8)1(sin[21]8)1(sin[]8)(sin[21ξππξξπξξξπξπj d j d j j+2.就非齐次第三边值条件22'11')()(,)()(βαβα=+=+b u b u a u a u导出有限元方程.解:设方程为f qu pu Lu =+-='')( 则由),()]()[()()]()[()(),(|),)((''1122'''''v pu a u a v a p b u b v b p v pu v pu v pu b a----=-=αβαβ变分形式为:),(1b a H v ∈∀)()()()(),()()()()()()(),(),(1212''a v a p b v b p v f a v a u a p b v b u b p v qu v pu ββαα-+=-++)(),(0b u u a u u N ==记)()()()(),()()()()()()()(),(),(),(1212''a v a p b v b p v f v F a v a u a p b v b u b p v qu v pu v u A ββαα-+=-++=则上述变分形式可表示为)(),(v F v u A = 设节点基函数为),...,2,1,0)((N j x j =ϕ 则有限元方程为),...,1,0()(),(0N j F u A j Ni i j i ==∑=ϕϕϕ具体计算使用标准坐标ξ.。
经典偏微分方程课后习题答案
α4 =
1 p 1 . 试证明差分格式(2.5)的 2 i, j− h2 2
中国地质大学(北京)廉海荣编
第二章 偏微分方程的有限差分法
- 2 2
局部截断误差的阶为 O ( h ) 证明: 首先利用二元函数的 Taylor 展开式, 有 h1 1 ⎡ ∂ ⎛ ∂u ⎞ ⎤ 1 1 2 ⎡ ∂ 2 ⎛ ∂u ⎞ ⎤ ⎡ ∂u ⎤ ⎡ ∂u ⎤ ⎡ ∂u ⎤ 3 ⎢ p ∂x ⎥ 1 = ⎢ p ∂x ⎥ ( xi ± 2 , y j ) = ⎢ p ∂x ⎥ + (± 2 h1 ) ⎢ ∂x ⎜ p ∂x ⎟ ⎥ + 2! (± 2 h1 ) ⎢ ∂x 2 ⎜ p ∂x ⎟ ⎥ + O(h1 ) ⎣ ⎦i ± , j ⎣ ⎦ ⎣ ⎦i, j ⎠ ⎦i, j ⎝ ⎠ ⎦i, j ⎣ ⎝ ⎣
2 2 2 2 3
⎡∂ u ⎤ ⎡∂ u ⎤ h1 h1 1 ⎡ ∂u ⎤ 1 1 1 1 + (− h1 ) 2 ⎢ 2 ⎥ − , y j ) = [u ]i + 1 , j + (− h1 ) ⎢ ⎥ + (− h1 )3 ⎢ 3 ⎥ + O(h14 ) 1 2 2 2 2! 2 3! 2 x ∂ 1 1 x x ∂ ∂ 2 ⎣ ⎦i+ , j ⎣ ⎦i + , j ⎣ ⎦i + , j
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 u ( xi ) = u ( xi − h + h)=u ( xi − h) + hu '( xi − h)+ ( h) 2 u ''( xi − h) + ( h)3 u '''( xi − h) + O( h 4 ) 2 2 2 2 2 2! 2 2 3! 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 u ( xi − h) = u ( xi − h − h)=u ( xi − h) + (− h)u '( xi − h)+ (− h) u ''( xi − h) + (− h) u '''( xi − h) + O ( h 4 ) 2 2 2 2 2 2! 2 2 3! 2 2
偏微分方程数值习题解答
李微分方程数值解习题解答 1-1 如果0)0('=ϕ，则称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解证明:由)(λϕ的定义与内积的性线性性质,得),()),((21)()(0000x x b x x x x A x x J λλλλλϕ+-++=+=),(2),()(200x Ax x b Ax x J λλ+-+=),(),()(0'x Ax x b Ax λλϕ+-=必要性:由0)0('=ϕ,得,对于任何n R x ∈,有0),(0=-x b Ax ,由线性代数结论知,b Ax b Ax ==-00,0充分性: 由b Ax =0,对于任何n R x ∈,0|),(),()0(00'=+-==λλϕx Ax x b Ax即0x 是)(x J 的驻点. §1-2补充: 证明)(x f 的不同的广义导数几乎处处相等.证明:设)(2I L f ∈,)(,221I L g g ∈为)(x f 的广义导数,由广义导数的定义可知,对于任意)()(0I C x ∞∈ϕ,有⎰⎰-=ba ba dx x x f dx x x g )()()()('1ϕϕ ⎰⎰-=ba ba dx x x f dx x x g )()()()('2ϕϕ 两式相减,得到)(0)()(021I C x g g ba ∞∈∀=-⎰ϕϕ 由变分基本引理,21g g -几乎处处为零,即21,g g 几乎处处相等.补充:证明),(v u a 的连续性条件证明: 设'|)(|,|)(|M x q M x p ≤≤,由Schwarz 不等式||||.||||||||.|||||)(||),(|'''''v u M v u M dx quv v pu v u a ba +≤+=⎰11*||||.||||2v u M ≤,其中},max{'*M M M =习题:1 设)('x f 为)(x f 的一阶广义导数,试用类似的方法定义)(x f 的k 阶导数,...2,1(=k ) 解:一阶广义导数的定义,主要是从经典导数经过分部积分得到的关系式来定义,因此可得到如下定义:对于)()(2I L x f ∈,若有)()(2I L x g ∈,使得对于任意的)(0I C ∞∈ϕ,有 ⎰⎰-=bak kba dx x x f dx x x g )()()1()()()(ϕϕ则称)(x f 有k 阶广义导数,)(x g 称为)(x f 的k 阶广义导数,并记kk dxfd x g =)(注:高阶广义导数不是通过递推定义的,可能有高阶导数而没有低阶导数.2.利用)(2I L 的完全性证明))()((1I H I H m 是Hilbert 空间.证明:只证)(1I H 的完全性.设}{n f 为)(1I H 的基本列,即0||||||||||||0''01→-+-=-m n m n m n f f f f f f因此知}{},{'n n f f 都是)(2I L 中的基本列(按)(2I L 的范数).由)(2I L 的完全性,存在)(,2I L g f ∈,使0||||,0||||0'0→-→-g f f f n n ,以下证明0||||1→-f f n (关键证明dxdfg =)由Schwarz 不等式,有00||||.|||||)())()((|ϕϕf f x x f x f n ba n -≤-⎰00'''|||||||||)())()((|ϕϕf f dx x x g x f n ba n -≤-⎰对于任意的)()(0I C x ∞∈ϕ,成立⎰⎰=∞→ba ba n n dx x x f dx x x f )()()()(lim ϕϕ⎰⎰=∞→ba b a nn dx x x g dx x x f )()()()(lim 'ϕϕ由⎰⎰-=b a nba ndxxxfdxxxf)()()()(''ϕϕ取极限得到dxxxfdxxxg baba⎰⎰-=)()()()('ϕϕ即')(fxg=,即)(1IHf∈,且||||||||||||''1→-+-=-ffffffnnn故)(1IH中的基本列是收敛的,)(1IH是完全的.3.证明非齐次两点边值问题证明:边界条件齐次化令)()(axxu-+=βα,则0uuw-=满足齐次边界条件.w满足的方程为LufLuLuLw-=-=,即w对应的边值问题为⎩⎨⎧==-=0)(,0)('b w a w Lu f Lw (P) 由定理知,问题P 与下列变分问题等价求)(min )(,**12*1w J w J H C w EHw E ∈=∈ 其中),(),(21)(0*w Lu f w w a w J --=.而Cu u a u Lu u J u u Lu f u u u u a w J +-+=-----=),(),()(~),(),(21)(000000*而200)()(),(),(C b u b p u u a u Lu +-=-β从而**)()()(~)(C b u b p u Jw J +-=β 则关于w 的变分问题P 等价于:求α=∈)(,12*a u H C u使得)(min )()(*1u J u J a u H u α=∈=其中)()(),(),(21)(b u b p u f u u a u J β--=4就边值问题（）建立虚功原理 解:令)(0a x u -+=βα,0u u w -=,则w 满足)(,0)('00==-=-=b w a w Lu f Lu Lu Lw等价于:1E H v ∈∀0),(),(0=--v Lu f v Lw应用分部积分,⎰⎰+-=-=-b a b a b a dx dxdv dx dw p v dx dw p vdx dx du p dx d v dx dw p dx d |)()),(( 还原u ,)()(),(),(),(),(),(),(),(),(000b v b p v f v u a v u a v Lu v f v u a v Lu f v w a β--=-+-=--于是,边值问题等价于:求α=∈)(,1a u H u ,使得1E H v ∈∀,成立0)()(),(),(=--b v b p v f v u a β注:形式上与用v 去乘方程两端,应用分部积分得到的相同. 5试建立与边值问题等价的变分问题.解:取解函数空间为)(20I H ,对于任意)(20I H v ∈ 用v 乘方程两端,应用分部积分,得到0),(),(44=-+=-v f u dx ud v f Lu而⎰⎰-==b a b a b a dx dxdvdx u d v dx u d vdx dx u d v dx u d .|),(33334444 dx dxv d dx u d dx dx vd dx u d dx dv dx u d b a b a b a ⎰⎰=+-=2222222222| 上式为),(][2222v f dx uv dxvd dx u d b a =+⎰定义dx uv dxvd dx u d v u a ba ][),(2222+=⎰,为双线性形式.变分问题为:求)(20I H u ∈,)(20I H v ∈∀),(),(v f v u a =1-41.用Galerkin Ritz -方法求边值问题⎩⎨⎧==<<=+-1)1(,0)0(102"u u x x u u 的第n 次近似)(x u n ,基函数n i x i x i ,...,2,1),sin()(==πϕ解:(1)边界条件齐次化:令x u =0,0u u w -=,则w 满足齐次边界条件,且)1(,0)0(20==-=-=w w x x Lu Lu Lw第n 次近似n w 取为∑==n i i i n c w 1ϕ,其中),...2,1(n i c i =满足的Galerkin Ritz -方程为n j x x c a j ni i j i ,...,2,1),(),(21=-=∑=ϕϕϕ 又xd jx ix ij dx x j x i dxx j x i ij dx a j i jij i ⎰⎰⎰⎰-=+=+=ππππππππϕϕϕϕϕϕ)cos()cos(2)sin()sin()cos()cos()(),(1010210''⎰-+πππjx ix sin sin 21由三角函数的正交性,得到⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=j i j i i a j i ,0,212),(22πϕϕ而]1)1[()(2)sin()1(),(3102--=-=-⎰jj j dx x j x x x x ππϕ 于是得到⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=为偶数为奇数j j j j a x x c j j j j 0)1()(8),(),(2232ππϕϕϕ最后得到∑+=-+---+=]21[1233])12(1[)12(])12sin[(8)(n k n k k x k x x u ππ 2.在题1中,用0)1(=u 代替右边值条件,)(x u n 是用Galerkin Ritz -方法求解相应问题的第n 次近似,证明)(x u n 按)1,0(2L 收敛到)(x u ,并估计误差. 证明:n u 对应的级数绝对收敛,由}{sin x i π的完全性知极限就是解)(x u ,其误差估计为338nR n π≤3.就边值问题和基函数),...,2,1()()(n i a x x i i =-=ϕ,写出Galerkin Ritz -方程解:边界条件齐次化,取)(0a x u -+=βα,0u u w -=, w 对应的微分方程为)(,0)('00==-=-=b w a w Lu f Lu Lu Lw对应的变分方程为0),(),(0=--v Lu f v w a)]([)(000a x q dx dpqu dx du p dx d Lu -++-=+-=βαβ⎰⎰+-=-ba b a dx x pv b v b p v dxdp )()()(' 变分方程为dx v qu x pv b v b p v f v w a ba ⎰--+=])([)()(),(),(0'ββ取n i a x x i i ,...,2,1,)()(=-=ϕ,则Galerkin -Ritz 方程为⎰⎰∑-++--+=-=ba i ba i i nj j jidxa x x q dx a x i x pb b p fc a )]()[()()()()(),(),(11βαβϕβϕϕϕ⎰+=ba j i j i j i dx q p a ][),(''ϕϕϕϕϕϕ取1,0,1===f q p ,具体计算1=n , )(1),(11a b dx a ba -==⎰ϕϕ221)(21)()()(21a b a b a b a b d -=---+-=ββ,)(211a b c -=,即解)(2101a x u u -+= 2=n :22111)()(2),(),(),(a b dx a x a a b a ba -=-=-=⎰ϕϕϕϕ3222)(34)(4),(a b dx a x a ba -=-=⎰ϕϕ3223222)(31)()()(31)(2)()(a b a b a b a b dxa x ab dx a x d ba b a -=---+-=---+-=⎰⎰ββββ 得到方程组为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛----3221322)(31)(21c )(34)()(a b a b c a b a b a b a b特别取1,0==b a ,有⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31213411121c c求解得到1,21,6131122=-=-=c c c其解为202)(21)(a x a x u u ---+=C h2 椭圆与抛物型方程有限元法§ 用线性元求下列边值问题的数值解:10,2sin242"<<=+-x x y y ππ0)1(,0)0('==y y此题改为4/1,0)1()0(,1"====+-h y y y y解: 取2/1=h ,)2,1,0(==j jh x j ,21,y y 为未知数.Galerkin 形式的变分方程为),(),(v f v Lu =,其中⎰⎰+-=10210"4),(uvdx vdx u v Lu π,⎰=1)(2sin 2),(dx x xv v f π又dx v u dx v u v u vdx u ⎰⎰⎰=+-=-10''10''10'10"|因此dx uv v u v u a )4(),(12''⎰+=π在单元],[1i i i x x I -=中,应用仿射变换(局部坐标)hx x i 1--=ξ节点基函数为)3,2,1(,0,,,1)(111=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-=≤≤-=-=--+i other x x x h x x x x x h x x x i i i i i i i ξξξξϕ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=++=⎰⎰⎰⎰1022210222222'111)1(41]41[]4[),(1021ξξπξξπϕπϕϕϕd h d hh dxa x x x x取2/1=h ,则计算得124),(211πϕϕ+=a122)1(41[),(210221πξξξπϕϕ+-=-+-=⎰d h h a⎰⎰-+++=10101)1)(2121(2sin )0(2sin [2),(ξξξπξξξπϕd d h h f ⎰⎰-++=1010)1(4)1(sin 2sin ξξξπξξξπd d hξξξπϕd h f ⎰+=102)2121(2sin 2),(代数方程组为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛),(),(),(),(),(),(212122212111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕf f y y a a a a 代如求值.取4/1=h ,未知节点值为4321,,,u u u u ,方程为4,3,2,1),(),(41==∑=j f ua j i ijiϕϕϕ应用局部坐标ξ表示,⎰⎰-+++=10221022])1(41[)41(),(ξξπξξπϕϕd hh d h h a j j248]88[21022πξξπ+=+=⎰dξξξπϕϕd hh a j j ])1(41[),(1021⎰-+-=++964)1(164212πξξξπ+-=-+-=⎰d 964),(21πϕϕ+-=-j j a系数矩阵为}964,248,964{222πππ+-++-=diag A取1=f ,41)1(),(1010=-+=⎰⎰ξξξξϕd h d h f j⎰⎰-+++=+10110)1)]((2sin[2)](2sin[2),(ξξξπξξξπϕd h x h d h x h f j j j ⎰⎰-++++=1010)1)](441(2sin[21)]44(2sin[42ξξξπξξξπd j d j⎰⎰++⨯=+++++-+=100110|)]8)1([cos(821]8)1(sin[21]8)1(sin[]8)(sin[21ξππξξπξξξπξπj d j d j j+2.就非齐次第三边值条件22'11')()(,)()(βαβα=+=+b u b u a u a u导出有限元方程.解:设方程为f qu pu Lu =+-='')( 则由),()]()[()()]()[()(),(|),)((''1122'''''v pu a u a v a p b u b v b p v pu v pu v pu b a----=-=αβαβ变分形式为:),(1b a H v ∈∀)()()()(),()()()()()()(),(),(1212''a v a p b v b p v f a v a u a p b v b u b p v qu v pu ββαα-+=-++)(),(0b u u a u u N ==记)()()()(),()()()()()()()(),(),(),(1212''a v a p b v b p v f v F a v a u a p b v b u b p v qu v pu v u A ββαα-+=-++=则上述变分形式可表示为)(),(v F v u A =设节点基函数为),...,2,1,0)((N j x j =ϕ 则有限元方程为),...,1,0()(),(0N j F u A j Ni i j i ==∑=ϕϕϕ具体计算使用标准坐标ξ.。
偏微分课后习题答案终极版
∂u t sΔxΔt ∂t
cρ
∂u ∂ 2u s Δ x Δ t = k t ∂t ∂x 2
x sΔxΔt
−
4k1 (u − u1 )sΔxΔt l
消去 sΔxΔt ，再令 Δx → 0 ， Δt → 0 得精确的关系：
cρ
∂ 2 u 4k ∂u = k 2 − 1 (u − u1 ) l ∂t ∂x
πl 2
4
为 S 。由假设，在任意时刻 t 到 t + Δt 内流入截面坐标为 x 到 x + Δx 一小段细杆的热量为
dQ1 = k
∂u ∂x
x + Δx sΔt − k
∂u ∂x
x sΔt = k
∂ 2u ∂x 2
x sΔxΔt
杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻 t 到 t + Δt 在 截面为 x 到 x + Δx 一小段中产生的热量为
2
代入化简即得 (3) 因
x 2uηη = 0 uηη = 0 ( x ≠ 0)
u xx − 2 cos xu xy − (3 + sin 2 x)u yy − yu y = 0
Δ = cos 2 x + (3 + sin 2 x) = 4 > 0 为双曲型.特征方程为 dy dy ( ) 2 + 2 cos x − (3 + sin 2 x) = 0 dx dx
于是得运动方程
ρ ( x) s( x) ⋅ Δx ⋅ utt ( x, t ) = ESu x ( x + Δx) | x + Δx − ESu x ( x) | x ρ ( x) s( x)u tt =
经典偏微分方程课后习题答案
第四章 抛物型微分方程有限差分法1设已知初边值问题22, 01, 0<(,0)sin , 01(0,)(1,)0, 0 u ux t t x u x x x u t u t t T π⎧∂∂=<<⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩T ≤, 试用最简显格式求上述问题的数值解。
取h=0.1,r=0.1.0 1/10 2/10 … 1 T 2τ τt解: 1.矩形网格剖分区域. 取空间步长1, 时间2510h =0.00τ=以及0.01τ=的矩形网格剖分区域, 用节点)表示坐标点(,j k (,)(,)j k x t jh k τ=, 0,1,...1/; 0,1,...,/j h k T τ==, 如图所示.显然, 我们需要求解这(1/1)(/1)h T τ+×+个点对应的函数值. 事实上由已知初边界条件蓝标附近的点可直接得到, 所以只要确定微分方程的解在其它点上的取值即可. 沿用记号[]k(,)j j k u x t =。
u 2. 建立差分格式, 对于11,...1; 0,1,...,1Tj k hτ=−=−, 用向前差商代替关于时间的一阶偏导数, 用二阶中心差商代替关于空间的二阶偏导数, 则可定义最简显格式:1122k k k k k1jj j j u u u u u h ++−+=. 变形j τ−−有:1112(12) (k k k kj j j j u ru r u ru r h τ+−+=+−+=(4.1)用向后差商代替关于时间的一阶偏导数, 用二阶中心差商代替关于空间的二阶偏导数, 则可定义最简显格式最简隐格式:111122k k k k k j jj j j u u u u u h τ++++−−+=11+−1kj +,变形有:1111(12) k k k j j j ru r u ru u ++−−−++−= (4.2)(4.1)*0.5+(4.2)*0.5得CN 格式为:111112222k k k k k k k k j jj j j j j j u u u u u u u u h τ+++−+−−++−+=111++−1kj +x x变形有:111111(22)(22) k k k k k j j j j j ru r u ru ru r u ru ++−−+−−++−=+−+ (4.3)3 初边界点差分格式处理.对于初始条件u x (,0)sin , 01=π≤≤h 离散为(4.4)0sin 0,1,...1/j u jh j π==对于边界条件离散为(0,)(1,)0, 0 u t u t t T ==≤≤00 0,1,.../k k N u u k T τ===(4.5)总结: 联立方程(4.1)(4.4)(4.5)得到已知问题的最简显格式差分方程组:11100(12)1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k j j j j jk k N u ru r u ru T j k h u jh j h u u k T τπτ+−+⎧=+−+⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩ 联立方程(4.2)( 4.4)( 4.5)得到已知问题的最简隐格式差分方程组:1111100(12) 1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k j j j j jk k N ru r u ru u T j k h u jh j h u u k T τπτ++−−+⎧−++−=⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩ 联立方程(4.3)( 4.4)( 4.5)得到已知问题的CN 格式差分方程组:11111100(22)(22) 1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k k j j j j j jk k N ru r u ru ru r u ru T j k h u jh j h u u k T τπτ++−−+−⎧−++−=+−+⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩1k j + 4 求解并显示结果利用软件计算(Matlab)如上最简显格式差分方程组.h=1/10;tau=0.0025;T=0.5; r=tau/h^2;M=1/h+1;N=T/tau+1; u=zeros(M,N);for m=1:Mu(m,1)=sin((m-1)*h*pi); endu(1,1:N)=0;u(M,1:N)=0;for n=1:N-1for m=2:M-1u(m,n+1)=r*(u(m+1,n)+u(m-1,n))+(1-2*r)*u(m,n); end end u=u’ 这样我们就计算出不同时刻不同位置k t j x 对应的函数值(,)j k u x t 取tau=0.0025, 即r=0.25绘图, 取tau=0.01, r=1再绘图,如图()图4.2 习题1数值解图示(左r=0.25, 右r=1)2.试构造初边值问题 ()()()()(), 0.51, 0,,0, 0.51,0.5,0, 1,0.51,, 0u u x x x T t x x u x x x u ⎪∂u t t u t t T x ϕ⎧∂∂∂⎛⎞=<<<≤⎜⎟⎪∂∂∂⎝⎠⎪⎪=≤≤⎨⎪==−≤≤⎪∂⎩的显格式，并给出其按最大范数稳定的充分条件。
偏微分方程答案整理第五章
第三章椭圆形方程的有限差分法3.2两点边值问题的差分格式321L用积分插值法导出!1近徴分方程（21）的差分方程.92页Z —汕計煌2 a♦J川/八C ⑴，可遁接积分在3和內任一小区间［X F ⑺］上积分挣 彳一兰5字）女+J；u dx dx"“好理3dx pG ）dx （中矩形公式）Vw （X $ W,吗丽必）】勺坷+1严如普其中s乙_ 2一 J 0（x ）dxP % +^+l rqu dx= J 小⑴）i （宀+ 乂空 dx+ J dx 汕qudx= J / dx • d" <4^ r 其中W （X ）=P£在3 取［X ⑴,X 門为对偶单元［XIF -1w （X 1） -_ w （ X rf r 色 dx+ f qT = J dx X I（X ）=Pdxm=dx\ dxui ps4 i p （x ）3.2.3p20D 4*J4.构造il近"{pu）+i^u+ru =/ 于（（3 , b ）的中-!＞差分恪式.A解：取M+1金节点，a = Xo ＜可＜ ＜Xj ＜ ＜心=趴卩為"厂和"12••••••,K 心豳恥X 1==（X H +兀）j=l,2,……,N2 访2也 _「咚 吗+1-如旳-%-】 紅1 闵切+1 +鸟%+1%.d dL 、 . d d^u.［群苕L 厂乔L 扌JW ------------- -------------- V饥1+闵2AA-d u. - d u Jp 乔kF 乔d^u dx * *4 dx q2ft#{P+】［年如A +如1饥2出+i_旳］"XT-Pi ［如旳（^1+2 +力"）如紅1%-%丿%一1——___ p.［如H 如］-沟）如 纭】%-务-1"V"2 ［"宀・】如i+M 沟 Z 沟如-1 -%-2TT"3.3二阶椭圆型方程的差分格式P210*'1.用积分插值法构造逼近君程初（3. 31）一N m =— [2（疋—）+2（上更）]=了时第一辺值问题的五点差空卽 卽分格式，这里k = k （X' y ） 血刈43.3.1100页i ・l于Q 上积分（3.21）式，4-JJ V y\ dxdy = JJ f dxdy^ J G 科■p 请（碟）+鲁a 詈皿®=n 'T*r由G M M 第—公式得5 ♦■・.综上有S a=叭小其中y dxQy □九广力1力2 ff*T1）非正则内点3解. zTJ 1 •1）正则内点心j+1\/ L4L3J-1duflGfj^+k ds =— — k dn dy^kds = ^k dn BxJ1 -2 +^kds = ^k dn dy ..I 纸= d.\M 尹—22*52+^方2^kds = ^k dfi dx，斗严=%J 纸叫厂吗J 叶讥诂丁 —V —丸Mj *1 — "i 12" 2 2 +上—JJ.・补充题£用积分插值法构造11近方程（久21）冊第二边值间题的五点差分格式.341CL I■"+ ) — k ds Jj f dxdy aA 9冲Axic上一 AB^h 加f 咛L 詈上£ Q （2）上心0拠jt 尹。
偏微分方程数值习题解答(20210302221841)
李微分方程数值解习题解答1-1如果（P（0）= 0 ,则称X。
是丿（X）的驻点（或稳走点）•矩阵A对称（不必正走）, 求证兀0是丿（兀）的驻点的充要条件是：兀0是方程组= b的解证明:由恥）的走义与内积的性线性性质，得必要性:由0 （0） = 0,得，对于任何X w R",有（Ax Q-b,x） = 0r由线性代数结论知，充分性：由Ax0 = b,对于任何'G R",即兀是丿0）的驻点.§1-2补充：证明广（劝的不同的广义导数几乎处处相等. 证明:设f e L2（Z）,碍e E⑴为/（x）的广义导数，由广义导数的定义可知，对于任意0（劝《：（/）,有两式相减，得到由变分基本引理胡-&几乎处处为零间g理几乎处处相等•补充证明血巧的连续性条件（证明：设I p(x) \<M.\q{x) \<M ,^Sch warz不等式I tz(w,v) 1=1 ^\puv + quv)dx \< M II u II .11 v II II w II .11 v II< 2M*II u II, .11 v II*其中W = max{ M,M }习题:1设fg为/g的一阶广义导数,试用类似的方法走义f⑴的k阶导数伙=1,2,...）解:一阶广义导数的定义，主要是从经典导数经过分部积分得到的关系式来走义，因此可得到如下走义:对于/⑴e厶S若有g（x） e皿）,使得对于任意的^eC；（Z）f有则称/（X）有k阶广义导数,g（x）称为/（X）的k阶广义导数，并记gd）卑dx注:高阶广义导数不是通过递推走义的，可能有高阶导数而没有低阶导数.2.利用必）的完全性证明是Hilbert空间• 证明:只证刃⑴的完全性•设｛/“｝为刃⑴的基本列间因此知｛九｝,｛/；｝都是厶（/）中的基本列（按厂（/）的范数）•由从/）的完全性，存在f,g € %）,使II f n -门0,11 f n - g ll°T 0,以下证明皿-门TO（关键证明防孚）ax由Schwarz不等式f有对于任意的0(兀)e C；(/)f成立由 f fn (x)(p(x)dx = -£ f n (x)(p (x)dx 取极限得到［g(x)0(x)Jx = -^f(x)(p(x)dx 即g(x) = f \即仔H'(D且故H (/)中的基本列是收敛的,H (/)是完全的.3•证明非齐次两点边值问题证明:边界条件齐次化令u0(x) = a + p(x — d)f则w = u—如满足齐次边界条件亠满足的方程为5 =Lu — Lu(} = f - Lu{} f即w对应的边值问题为f Lw = f-Lu0⑹[w(d) = 0, vv (/?) = 0由走理知，问题p与下列变分问题等价求哄cm；, J(w.) = rninJ\w) 其中丿(w) = |a(w,w)-(y- Lu0,w)・而而(Lu Q,u)-a(u Q9u) = -p(b)j3u(b) + C2从而J*(w) = 7(w)- p(b)陋b) + C则关于w的变分问题p等价于：求仏 e C2C\H l,u(a) = a使得其中丿(u) = - p(b)陋b)4就边值问题(解:令％ =& + J3(x-a)t w = u- u()t则"满足等价于:Vve/7；应用分部积分，还原"，于是，边值问题等价于:求"e H',u(a) = 使得VveH；,成立注:形式上与用i去乘方程两端，应用分部积分得到的相同.5试建立与边值问题 等价的变分问题.解:取解函数空间为比(D 对于任意「e 比(/)用v 乘方程两端,应用分部积分，得到rjz ,d 4u 、 z d'u - dhi lh c h u M 而加小【乔皿二乔以T 冇 上式为+ uv ^dx =(/' v)走义a(",y) = f ［丫 : : : +他］必, 为双线性形式. Ja dx- dx^变分问题为:求u e /7j(/)f Vv e &(/)1-41.•用Ritz - Galerkin 方法求边值问题(p t (x) = sin(iTZX ),/ = 1,2,…屮3 -bd u dv 1 2 •——dx ]il dx dx 次近似色(%) f 基解：(1)边界条件齐次化:令如=x,w = u-u0,则W 满足齐次边界条件，且第n次近似W”取为W” = £c,0 , M中 c.(z = l,2,...n)满足的叭 - Galerkin方程为由三角函数的正交性得到2而八®十（_ 25）心丙［―于是得到最后得到2•在题1中專（1）=0代替右边值条件川3是用Ritz - Galerkin方法求解相应问题的第斤次近似"证明色（兀）按厂（0,1）收敛至U叭x），并估计误差• 证明:他对应的级数绝对收敛，由｛血沁｝的完全性知极限就是解畑直误差估计为3•就边值问题（(p.(x) = (x-ay(i = 1,2,•・；)，写出Ritz - Galerkin方程解：边界条件齐次化，取竝=CC p(X _ 6Z)，W = U _ U() 9 W对应的微分方程为对应的变分方程为变分方程为d(w,y) = (/,*) + /3p(b)v(b)— £[/^?v(x) —qu^lx取0(x) = (x-ay9i= 1,2,…，心则Ritz ・GaleTkin方程为取P = 1,纟=0, / = 1，具体计算〃=1，d(0], 0]) = f \dx = (b _ a)£ =丄(b - a)2 + 0(b - a) - 0(b — a) = L (b - a)，，2 2C[ =q(b —%即解络=%0 + —(x — a)n = 2：d(%,0)= (b_a), Q(0,輕)=^2(x-a)dx = (b-a)2得到方程组为特别取a=oe=i z有求解得到* *=-詁=1其解为均=况（）+（X 一Cl）（X 一Q）~Ch2椭圆与抛物型方程有限元法§1.1用线性元求下列边值问题的数值解：此题改为一y + y = 1, y(0) = y(l) = 0/ = 1/4 解：取/i = l/2,x y. = = 0,1,2)』,儿为未知数.Galerkin形式的变分方程为(Lu.v) = (/», 其中龙2(Lu,v) = vdx + — ^uvdx,(/,v) = £2sin —xv{x)dx又一vdx = -uv Ijj ^uvdx =9因此a（u.v） = £（wv -^-—uv）dx在单元/. = [x,,兀]中，应用仿射变换侷部坐标）Eh节点基函数为取/7 = 1 / 2,则计算得G ®, %) = 4 +咅丄厶代数方程组为代如求值・取力= 1/4,未知节点值为坷上2，均，弘4方程为应用局部坐标f表示，系数矩阵为A =他{—4 + £ ,8 +壬,_4 + £} 取/=1, (/ ®)=町:磁+皿(1—§)込占2.就非齐次第三边值条件导出有限元方程.解:设方程为厶“ = -(pu) +qu=f则由变分形式为:V「记I IA(u,v) = (pu ) + (qu°) + a2p(b)u(b)v(b) - a l p(a)u(a)v(a) F(v) = (/» + p(b)/32v(b) — p(a)^v(a)则上述变分形式可表示为4仏巧= F(v)设节点基函数为03(丿=0,1,2, (7V)则有限元方程为具体计算使用标准坐标二。
偏微分方程答案
第一章． 波动方程§1 方程的导出。
定解条件2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 .0),(,0),0(==t l u t u(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x ux E t l T ∂∂=)(),(|lx =等于零，因此相应的边界条件为x u∂∂|lx ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为xu∂∂∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。
由虎克定律有x uE∂∂∣)](),([t v t l u k lx --== 其中k 为支承的刚度系数。
由此得边界条件)(u xuσ+∂∂∣)(t f l x == 其中E k =σ特别地，若支承固定于一定点上，则,0)(=t v 得边界条件)(u xuσ+∂∂∣0==l x 。
同理，若0=x 端固定在弹性支承上，则得边界条件x uE∂∂∣)](),0([0t v t u k x -== 即 )(u xuσ-∂∂∣).(0t f x -= 3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 2222)1(])1[(t u h x x u h x x E ∂∂-=∂∂-∂∂ρ 其中h 为圆锥的高(如图1)证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x 点处截面的半径l 为：hx l -=1 所以截面积2)1()(hx x s -=π。
利用第1题，得])1([)1()(2222xuh x E x t u h x x ∂∂-∂∂=∂∂-ππρ 若E x E =)(为常量，则得2222)1(])1[(tuh x x u h x x E ∂∂-=∂∂-∂∂ρ §2 达朗贝尔公式、 波的传抪1. 证明方程()常数011122222 h t uh x a x u h x x ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂ 的通解可以写成()()xh at x G at x F u -++-=其中F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:()().,:0x tux u t ψ=∂∂==ϕ 解：令()v u x h =-则()()()⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-=∂∂-∂∂+=∂∂-x v u x h xu x h xv u xu x h 2,))(()()()()[(2222xv u x h x u x h x u x h x v u x u x h x ∂∂+-=∂∂-+∂∂-+∂∂+-=∂∂-∂∂又 ()2222tv t u x h ∂∂=∂∂-代入原方程，得()()222221tv x h a x v x h ∂∂-=∂∂-即 222221t v a x v ∂∂=∂∂ 由波动方程通解表达式得()()()at x G at x F t x v ++-=,所以 ()()()x h at x G at x F u -++-=为原方程的通解。
偏微分方程(周蜀林)习题参考答案补充
偏微分方程（周蜀林）
习题参考解答补充Writer：Dreaming Rainbow 本人仅上传至百度文库，其它人或其它地方发布的均为盗版！
关于剩下十个题的一些说明
3.16按提示，先将ϕ作周期为2的偶延拓得ϕ~
，之后作为热方程初值求解得u ，然后证明在0+→t 时，()t x u ,一致收敛于()x ϕ~（证明需用到ϕ~
的一致连续性）。
这些都很顺利，但
是到用多项式逼近K 的时候就不知道怎么办了......
3.22首先说边界条件正确的是书后的提示（正文缺负号）。
当你把所有式子都代入3.19式就会发现你根本不知道怎么解()t g ......3.23、3.24数学分析好的人进[byebye]。
4.12、4.13Fourier 变换法最难的就是逆变换，你可以去查从来没有逆变换()t a λcos 的！网上确实有文章用Fourier 变换求二维三维波动方程，不过我赌你看不懂。
4.36自古多元不好做，教科书都是避嫌不写。
4.48目测需要参考定理4.8过程，不容易。
4.49、4.50看到广义解基本就可以跳过了，想做的自己看吧。
偏微分方程(周蜀林)习题参考答案补充
偏微分方程（周蜀林）
习题参考解答补充Writer：Dreaming Rainbow 本人仅上传至百度文库，其它人或其它地方发布的均为盗版！
关于剩下十个题的一些说明
3.16按提示，先将ϕ作周期为2的偶延拓得ϕ~
，之后作为热方程初值求解得u ，然后证明在0+→t 时，()t x u ,一致收敛于()x ϕ~（证明需用到ϕ~
的一致连续性）。
这些都很顺利，但
是到用多项式逼近K 的时候就不知道怎么办了......
3.22首先说边界条件正确的是书后的提示（正文缺负号）。
当你把所有式子都代入3.19式就会发现你根本不知道怎么解()t g ......3.23、3.24数学分析好的人进[byebye]。
4.12、4.13Fourier 变换法最难的就是逆变换，你可以去查从来没有逆变换()t a λcos 的！网上确实有文章用Fourier 变换求二维三维波动方程，不过我赌你看不懂。
4.36自古多元不好做，教科书都是避嫌不写。
4.48目测需要参考定理4.8过程，不容易。
4.49、4.50看到广义解基本就可以跳过了，想做的自己看吧。
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第四章 抛物型微分方程有限差分法1设已知初边值问题22, 01, 0<(,0)sin , 01(0,)(1,)0, 0 u ux t t x u x x x u t u t t T π⎧∂∂=<<⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩T ≤, 试用最简显格式求上述问题的数值解。
取h=0.1,r=0.1.0 1/10 2/10 … 1 T 2τ τt解: 1.矩形网格剖分区域. 取空间步长1, 时间2510h =0.00τ=以及0.01τ=的矩形网格剖分区域, 用节点)表示坐标点(,j k (,)(,)j k x t jh k τ=, 0,1,...1/; 0,1,...,/j h k T τ==, 如图所示.显然, 我们需要求解这(1/1)(/1)h T τ+×+个点对应的函数值. 事实上由已知初边界条件蓝标附近的点可直接得到, 所以只要确定微分方程的解在其它点上的取值即可. 沿用记号[]k(,)j j k u x t =。
u 2. 建立差分格式, 对于11,...1; 0,1,...,1Tj k hτ=−=−, 用向前差商代替关于时间的一阶偏导数, 用二阶中心差商代替关于空间的二阶偏导数, 则可定义最简显格式:1122k k k k k1jj j j u u u u u h ++−+=. 变形j τ−−有:1112(12) (k k k kj j j j u ru r u ru r h τ+−+=+−+=(4.1)用向后差商代替关于时间的一阶偏导数, 用二阶中心差商代替关于空间的二阶偏导数, 则可定义最简显格式最简隐格式:111122k k k k k j jj j j u u u u u h τ++++−−+=11+−1kj +,变形有:1111(12) k k k j j j ru r u ru u ++−−−++−= (4.2)(4.1)*0.5+(4.2)*0.5得CN 格式为:111112222k k k k k k k k j jj j j j j j u u u u u u u u h τ+++−+−−++−+=111++−1kj +x x变形有:111111(22)(22) k k k k k j j j j j ru r u ru ru r u ru ++−−+−−++−=+−+ (4.3)3 初边界点差分格式处理.对于初始条件u x (,0)sin , 01=π≤≤h 离散为(4.4)0sin 0,1,...1/j u jh j π==对于边界条件离散为(0,)(1,)0, 0 u t u t t T ==≤≤00 0,1,.../k k N u u k T τ===(4.5)总结: 联立方程(4.1)(4.4)(4.5)得到已知问题的最简显格式差分方程组:11100(12)1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k j j j j jk k N u ru r u ru T j k h u jh j h u u k T τπτ+−+⎧=+−+⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩ 联立方程(4.2)( 4.4)( 4.5)得到已知问题的最简隐格式差分方程组:1111100(12) 1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k j j j j jk k N ru r u ru u T j k h u jh j h u u k T τπτ++−−+⎧−++−=⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩ 联立方程(4.3)( 4.4)( 4.5)得到已知问题的CN 格式差分方程组:11111100(22)(22) 1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k k j j j j j jk k N ru r u ru ru r u ru T j k h u jh j h u u k T τπτ++−−+−⎧−++−=+−+⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩1k j + 4 求解并显示结果利用软件计算(Matlab)如上最简显格式差分方程组.h=1/10;tau=0.0025;T=0.5; r=tau/h^2;M=1/h+1;N=T/tau+1; u=zeros(M,N);for m=1:Mu(m,1)=sin((m-1)*h*pi); endu(1,1:N)=0;u(M,1:N)=0;for n=1:N-1for m=2:M-1u(m,n+1)=r*(u(m+1,n)+u(m-1,n))+(1-2*r)*u(m,n); end end u=u’ 这样我们就计算出不同时刻不同位置k t j x 对应的函数值(,)j k u x t 取tau=0.0025, 即r=0.25绘图, 取tau=0.01, r=1再绘图,如图()图4.2 习题1数值解图示(左r=0.25, 右r=1)2.试构造初边值问题 ()()()()(), 0.51, 0,,0, 0.51,0.5,0, 1,0.51,, 0u u x x x T t x x u x x x u ⎪∂u t t u t t T x ϕ⎧∂∂∂⎛⎞=<<<≤⎜⎟⎪∂∂∂⎝⎠⎪⎪=≤≤⎨⎪==−≤≤⎪∂⎩的显格式，并给出其按最大范数稳定的充分条件。
代替偏导数建立显格式, 也可以利用积分插对区域进行矩形网格剖分, 解: 此即可以利用差商值法. 下面后一种方法建立差分格式. 0.5, j k x jh t k τ=+=, 0,1,...1/:, j h N =N 0,1,...,/:k T ττ==.= 假设(j , k )为内点，固定t , 取关于x 的对偶区间22j j h hx x x −≤≤+, 在此区间上对方程两边进行积分得：112211j j xx dx x t x −−=⎜∂∂∂j j xx uu dx x ++∂∂∂⎛⎞⎟⎝⎠ (4.6)对于等式左侧积分利用中矩形公式, 有∫∫ 1213u ∂⎡⎤()j j xxju dx h O h t t +−∂=+⎢∂∂⎣⎦∫, 用向前差商代替关于时间的一阶偏导数, 有1[][]()k k kj jju u u O t ττ+−∂⎡⎤=+⎢⎥∂⎣⎦, 即得121213[][]()j j k k x j j xu u u dx h O h t τ+−+−∂=+∂∫(4.7) 6)右端直接积分, 有对于(4.121211112222j j xxj j x −⎢∂⎣⎦j j u u u x dx x x x x x +−++−⎛⎞∂∂∂∂⎛⎞⎡⎤⎡⎤⎜⎟=−⎜⎟⎢⎥⎜⎟∂∂∂⎝⎠⎣⎦⎝⎠∫对上式右端, 用一阶中心差商代替关于空间的一阶偏导数, 得11221122[][][][](), ()k k k k j j j j j j u u u u u u O h O h x h x +−+−−−h ∂∂⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢∂∂⎣⎦⎣⎦ (4.8) 联立(4.6)-(4.10), 得()()1[][]k k u u 211112221[][][][]()j jk k k kj j j j j j x u u x u u O h h ττ+−+−=−−−++⎢⎥⎣⎦ 舍去误差项+−⎡⎤[]kk, 用j j u u 代替, 那么可以定义差分格式()()111112221, 1,,1; 0,,1k k j jk k k k j j j j j j u u x u u x u u j N k N h ττ++−+−−⎡⎤=−−−=−=−⎢⎥⎣⎦"". (4.9) x x ϕ=对于初始条件() 0.51,u x ≤≤和左边界条件(),0,()0.5u ,0, 0t t T =≤≤可直接定义差分格式;N N ()0,0,1,,j j u x j ϕ=="00, 0,1,,ku k τ=="此时应有成立. 而对于右边界条件()0()0N x x τϕϕ==()()1,0.51,, 0ut u t t x∂T =−≤∂≤, 利用增设虚点法,一方面用一阶中心差商代替一阶偏导数, 即211[][]()k kN N Nu u u O h x h +−−∂⎡⎤=+⎢⎥∂⎣⎦, 由此定义差分方程110.5, 0,1,,k kk N N N u u u k N hτ+−−=−=" (4.10) 另一方面把看作内点由(4.9)得()1,t ()()111112,N N u u −−221k kk k k kNN N N N N u u x u u x h τ+++−⎡⎤−=−−⎢⎥⎣⎦.11)边界条件的离散方程为(4.11)将(4.10)和(4联立, 消去1kN u +, 得右()()1, 0,1,,1k N u k N τ−=−" 111122210.5k kk k k kNN N N N NN N u u x u h u u x u h τ+−+−⎡⎤−=−−−−⎢⎥⎣⎦到此建立的最简显格式为()()()()()11111222011111222, 1,,1; 0,, 1 , 0,1,,;0, 1,,10.5, 0,1,,1k k j k kj j j j j j j j kk kk k k k k N N N N N N N N N u u j N k N h u x j N u k N u u x u h u u x u u k N h ττττϕτ++−+−+−−+−⎤−=−=−⎪⎣⎦⎪==⎪⎨==⎪⎪⎡⎤−=−−−−=−⎢⎥⎣⎦⎩"""""⎪⎪1j k k u x u u x u ⎧−⎡=−−⎪⎢⎥取2r h τ=, 则(4.9)等价于()111112212k k kk j j j j j j u rx u rx u rxu +−+−+=+−+j (4.12)注意到0.51x <<, 所以11220, 0, 0j j j x xx−+>>. >如果120j rx −≥这时(4.12)右端各项系数非负，则有：()11111k j +⎟⎠2212k k kj j j j j j u rx u r x u x u +−−+⎛⎞≤−++⎜⎝()112212kk j cck j j rx u r x u xu −+⎛⎞≤−++⎜⎟⎝⎠c()111222kk j j j c crx u r x h x h u ⎛⎞=−+−++⎜⎟⎝⎠()122kkj j ccrx u rx u =−+k cu = 所以，当时，按最大范数稳定. 此时120j rx −≥11min22jj r x ≤≤是其按最大范数稳定的充分条件. 3. 试构造初边值问题:221,01,0,1t x x x (,0)(),01,(0,)0,(1,)0,0u u ux t T u x x x ut u t t T x ϕ⎧∂∂∂=+<<<≤⎪=≤≤⎨⎪∂⎪==≤≤∂⎪⎩的显格式,并给出其按最大范数稳定的充解：对区域进行矩形网格剖分, ∂+∂∂⎪⎪分条件., x jh t k τ==, 0,1,...1/, j h = 0,1,...,/k T τ=. 在内点(j , k )处，用向前差于时间的一阶偏导数, 用二阶中心差商代替关于空间的二阶偏导数, 用一阶中心差商代替关于空间的一阶偏导数, 有数值微分公式商代替关1[][][]O()k kj j k j u u u t ττ+−∂=+∂, 22222[][]O()j x j u h 1k ku x h δ=+∂, ∂11[][]k k j j k u u u []O()2j h x h=+∂, 其中+−−∂211[][]2[][]k k k k x j j j u u u u δ+−=−+. j 将其代入方程, 则有111222[][][][]11[]()12k k k kj jj j k x j u u u u u O h jh hδττ++−−−≡++++h 去掉误差项, 用那么可以定义差分格式[]k kj j u u 代替, 1112211, 1,...1/1, 0,1,...,/112h jh h hk k k kj jj j k x j u u u u u j k T δτ++−−−≡+=−=−,对于初始条件τ+(,0)(),01,u x x x ϕ=≤≤和右边界条件(1,)0,0u t t T =≤≤可直接定义差分格式;h ()0,0,1,,1/j j u x j ϕ=="0, 0,1,,1/kN u k τ=="此时应有()0N x τϕ=成立. 而对于左边界条件(0,)0, 0u∂t t T x=≤≤∂, 利用增设虚点法,一方面用一阶中心差商代替一阶偏导数, 即211⎣⎦[][]()k k u u u O h x h −−∂⎡⎤=+⎢⎥∂, 由此定义差分方程11[][],0,1,,k ku u k N τ−==" (4.10) 另一方面把看作内点由(4.9)得()1,t ()()11122N N N x u u x h τ++⎢⎥⎣1121,k kk k k k NN N N N u u u u +−−⎡⎤−=−−−⎦(4.11) 将(4.10)和(4.11)联立, 消去得右边界条件的离散方程为1kN u +,()()115k kk k k k kNN u u 11112220., 0,1,,N N N N N N N x u h u u x u u k N h ττ−−+−−=⎢⎥⎣⎦"到此建立的最简显格式为+⎡⎤−=−−−()()()()()111112220111112221, 1,,1; 0,, 1 , 0,1,,;0, 0,1,,10.5, 0,1,,k k j j k k k kj j j j j j j j kk kk k k k k N N N N N N N N N u u x u u x u u j N k N h u x j N u k N u u x u h u u x u u k N h ττττϕτ++−+−+−−+−⎧−⎡⎤=−−−=−=⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎪==⎪⎨==⎪⎪⎡⎤−=−−−−=⎢⎥⎣⎦⎩"""""⎪⎪−2r h τ=, 那么(4.13)等价于()记()()11112112121k kk k j j j h h u r j u r u jh jh ++−⎞⎛⎞=+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠(4.14)下面讨论格式的稳定性. 如果u r ⎛−++12r ≤，则有 120r −≥, ()1021hr ⎛−>, jh ⎞⎜⎟⎜⎟+⎝⎠故()()()11112112121k kk jjj j j h h ur u r u r x x +k j u +−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟≤−+++−⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠()()()12112121kk ccj j hhr u r u r u x x ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟≤−+++−⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠k c kcu =()01j N ≤≤−1k k c c u u +≤由此可得，即此时最简显格式按最大范数关于初值稳定。