四年级下册数学试题-培优专题：第 1 讲 整除(含答案PDF)人教版

第1讲 整除

一、整除的定义

如果正整数a b 、满足a 除以b 的商是整数，且没有余数，则称b 能整除a ，或a 能被b 整除，记作b a (读作b 整除a )．此时，a 为b 的倍数，b 为a 的约数(或因数)．

例如：1234÷=，记作312，可以称12能被3整除，或3能整除12． 如果正整数a b 、满足a 除以b 的商不是整数，则称b 不能整除a ，记作b a ．

二、常见数的整除判定方法

1.末位法：

①如果一个数的个位能被2或5整除，则此数能被2或5整除；

②如果一个数的末两位能被4或25整除，则此数能被4或25整除；

③如果一个数的末三位能被8或125整除，则此数能被8或125整除．

2.截断求和法：

①如果一个数各位数码之和能被3或9整除，则此数能被3或9整除；

②如果一个数从右向左每2位截断后，各段之和能被99(11、33)整除，则这个数就能被99(11、33)整除．

③如果一个数从右向左每3位截断后，各段之和能被999(27、37)整除，则这个数就能被999(27、

37)整除． 3.截断求差法：

①若一个数的奇数位数码和与偶数位数码和之差能被11整除，则这个数能被11整除；

②若一个数从右向左每2位分段，奇数段和与偶数段和之差能被101整除，则这个数能被101整除．

③若一个数从右向左每3位分段，奇数段和与偶数段和之差能被1001(7、11、13)整除，则这个数能被1001(7、

11、13)整除．

三、整除性质

性质1 如果a 和b 都能被c 整除，那么它们的和或差也能被c 整除，即如果c ︱a ，c ︱b ，那么c ︱(a ±b )．

性质2 如果a 被b 整除，b 又能被c 整除，那么a 也能被c 整除，即如果b ∣a ，c ∣b ，那么c ∣a ． 性质3 如果a 被b 和c 的乘积整除，那么a 能被b 或c 整除，即如果bc ∣a ，那么b ∣a ，c ∣a ． 性质4 如果a 被b 整除，也能被c 整除，且b 和c 互质，那么a 就能被b 和c 的乘积整除，即如果b ∣a ，c ∣a ，且(b ，c )=1，那么bc ∣a ．

性质5 如果b ｜a ，那么bm ｜am (m 为非0整数)．

性质6 如果b ｜a ，且d ｜c ，那么bd ｜ac ．

【例题1】(1)四位数527□能被25整除，那么那么□中填的数字是多少？

(2)四位数423

□能被9整除，求这个四位数．

(3)六位数2019

AB能被99整除，求这个六位数．

(4)四位数235

□能被11整除，求这个四位数．

【例题2】五位数678

□□能被45整除，求所有这个五位数

【例题3】 仅由数字2或3组成的自然数中，能被12整除的数最小是多少？

【例题4】

(1) 多位数75175111111111 个个□能被7整除，求方框中应填的数字． (2) 多位数6123461234234234234234234234 组组□能被13整除，求方框中应填的数字．

【例题5】 已知2222

222k x = 个，若x 是198的倍数，那样的话，符合条件的最小的k 的值是多少？

【例题6】

A B C D E 、、、、都是一位数，且DE A B C =++．已知2016ABC BCA CAB DE +++=，DEABC 最大是多少？

【例题8】五位数999

□□能被29整除，求五位数的最大值．

【例题10】一个各位数字互不相同的四位数能被9整除，把它的个位数字去掉后剩下一个三位数，这个三位数能被4整除．这个四位数最大是多少？

【例题11】在六位数ABCDEF中，不同的字母代表不同的数字，且满足A、AB、ABC、ABCD、ABCDE、ABCDEF依次能被2、3、5、7、11、13整除，

(1)六位数ABCDEF的最小值是多少？

(2)已知当ABCDEF取到最大值时，0

C=，6

F=，那么ABCDEF的最大值是多少？

【例题12】将一个自然数N接在任意自然数的右面(例如将4接在37的右面得到374)，如果所得的新数都能被N整除，那么称N为“蘑菇数”，求出所有不超过100的“蘑菇数”．

第1讲整除

【例题1】

【分析】(1)5；(2)4923或4023；(3)206019；(4)2365

【例题2】

【分析】67680，67185

【例题3】

【分析】2232

【例题4】

【分析】(1)2或9；(2)0；

【例题5】

【分析】18

【例题6】

【分析】18981

【例题7】

【分析】66584

【例题8】

【分析】84999

【例题9】

【分析】63948

【例题10】

【分析】9846

【例题11】

【分析】(1)210769；(2)840736