非齐次方程求解

第四节 对非齐次边界条件和 非齐次方程的处理
• 对非齐次方程的处理 • 对非齐次边界条件的处理 • 叠加原理
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• 对非齐次方程的处理
⎧ ∂ 2u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ), x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t 2 ∂x ⎪ ⎪ ⎨u ( x, 0) = 0, ut ( x, 0) = 0, x ∈ [0, l ], ⎪u (0, t ) = 0, u (l , t ) = 0, t≥0 ⎪ ⎪ ⎩
u ( x, t ) = G ( x, t ) + F ( x, t ).
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齐次方程情形 (I) 首先找到所有具有变量分离形式的满足齐次方
程和齐次边界条件的非零特解。 令 G ( x, t ) = X ( x )T (t ) 代入方程和边界条件得到
X ′′ + λ X = 0, (0 < x < l )
⎧∂ v x ∂ v = a2 + f ( x , t ) − μ ′′ ( t ) − [ν ′′ ( t ) − μ ′′ ( t )], ⎪ ∂t 2 ∂x 2 l ⎪ ⎪ v (0, t ) = 0, v ( l , t ) = 0 , ⎪ ⎨ x v ( x , 0 ) = ϕ ( x ) − μ (0 ) − [ν (0 ) − μ (0 )], ⎪ l ⎪ ⎪ v ( x , 0 ) = ψ ( x ) − μ ′ (0 ) − x [ν ′ (0 ) − μ ′ (0 )] ⎪ t l ⎩
(2.1) (2.2) (2.3) (2.4)
注: 方程是非齐次的. 方法: 固有函数法.
寻找一组固有函数 { X n ( x)} (一般 { X n ( x)} 选取为相应齐次定解问题的固有函数), 将所求的解 和非齐次项按固有函数展开.再根据初始条件求出系数.
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固有函数法: 令
kπ u ( x , t ) = ∑ C k (t)sin x l k =1
X (0) = X ( l ) = 0
T ′ + a λ T = 0 , (t > 0 )
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(II) 固有值问题
X ′′ + λ X = 0, (0 < x < l )
X (0) = X (l ) = 0
k 2π 2 固有值 λ = λk = 2 , l
固有函数 X k ( x) = Ck sin
⎧ ∂ 2U ∂ 2U = a 2 2 + f ( x, t ) ⎪ ∂t 2 ∂x ⎪ ⎪ ⎨U ( x, 0) = 0, U t ( x, 0) = 0 ⎪U (0, t ) = 0, U (l , t ) = 0 ⎪ ⎪ ⎩
⎧ ∂2 F ∂2 F = a2 2 ⎪ ∂t 2 ∂x ⎪ ⎪ ⎨ F ( x, 0) = ϕ ( x), Ft ( x, 0) = ψ ( x) ⎪ F (0, t ) = 0, F (l , t ) = 0 ⎪ ⎪ ⎩
2
(k = 1, 2,
)
C k (0 ) = 0
′ C k (0) = 0
2 l kπ x f k (t ) = ∫ f ( x, t )sin dx l 0 l
kπ a ∫
∞
C k (t ) =
l
t
0
k π a (t − τ ) f k (τ ) sin dτ (k = 1, 2, l
t
)
u ( x, t ) = ∑ [
3.把分别得到的解和 w(x,t), 加起来就得到原方程的解.
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第4.2节 有热源的有限细杆的热传导方程
⎧ ∂u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x , t ), t > 0, 0 < x < l ⎪ ∂t ∂x ⎪ ⎨ u (0, t ) = 0, u (l , t ) = 0, ⎪ ⎪ u ( x , 0) = ϕ ( x ), ⎩
(2.3) (2.4)
kπ u ( x , 0) = ∑ C k ( 0 )sin x =0 l k =1 ∞ kπ ′ ut ( x , 0) = ∑ C k ( 0 )sin x =0 l k =1
∞
(2.7) (2.8)
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(2.6)， (2.7)， (2.8)
⎛ kπ a ⎞ ′′ C k (t) + ⎜ ⎟ C k (t) = f k (t ) ⎝ l ⎠
u ( x, t ) = v( x, t ) + w( x, t )
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对于边界条件 u (0, t ) = g1 (t ), u (l , t ) = g 2 (t ), w可以取
x w ( x , t ) = [ g 2 ( t ) − g 1 ( t ) ] + g 1 ( t ). l
对于边界条件 u (0, t ) = g1 (t ), u x (l , t ) = g 2 (t ), w可以取
k =1 ⎛ kπ a ⎞ −⎜ ⎟ t ⎝ l ⎠
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使得
ϕ ( x ) = G ( x , 0) = ∑ Ak sin
k =1
kπ sin x， Ak = C k Bk . l ∞ kπ
l x
其中
2 l kπ Ak = ∫ ϕ (ξ ) sin ξ dξ l 0 l
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非齐次方程情形
⎧ ∂F 2 ∂ F ⎪ ∂t = a ∂x 2 + f ( x , t ), ⎪ ⎨ F (0, t ) = 0, F (l , t ) = 0, ⎪ ⎪ F ( x , 0) = 0 ⎩
g 2 ( t )- g 1 ( t ) 2 w( x, t) = x + g1 (t ) x. 2l
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非齐次边界条件非齐次方程的定解问题
⎧ ∂ 2u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x , t ), t > 0, 0 < x < l ⎪ ∂t 2 ∂x ⎪ ⎨u (0, t ) = μ (t ), u (l , t ) = ν (t ), ⎪ ⎪u ( x , 0) = ϕ ( x ), ut ( x , 0) = ψ ( x ) ⎩
⎧ ∂G ∂ 2G = a2 2 , ⎪ ∂t ∂x ⎪ ⎨G (0, t ) = 0, G (l , t ) = 0, ⎪ ⎪G ( x , 0) = ϕ ( x ) ⎩
⎧ ∂F ∂2F = a 2 2 + f ( x , t ), ⎪ ∂t ∂x ⎪ ⎨ F (0, t ) = 0, F (l , t ) = 0, ⎪ ⎪ F ( x , 0) = 0. ⎩
其中 u ( x, t ) = U ( x, t ) + F ( x, t ).
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求解一般情形的定解问题的基本步骤： 1. 选择适当的函数w(x,t), 把非齐次边界条件齐次化. 2. 把非齐次泛定方程的定解问题分解为两个定解问题求解: 齐次泛定方程 齐次边界条件 非齐次初始条件 和
非齐次泛定方程 齐次边界条件 齐次初始条件
k =1
k π a ∫0
l
k π a (t − τ ) kπ f k (τ ) sin dτ ]sin x l l
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• 对非齐次边界条件的处理
⎧ ∂ 2u ∂ 2u 2 x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t 2 = a ∂x 2 + f ( x, t ), ⎪ ⎪ ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = ψ ( x), x ∈ [0, l ], ⎪u (0, t ) = g (t ), u (l , t ) = g (t ), t ≥ 0 1 2 ⎪ ⎪ ⎩ 将非齐次边界条件化为齐次边界条件
(k = 1,2 ,3, ).
kπ x, (k = 1, 2, ) l ⎛ kπ a 2 ⎞ ) t ⎟, (k = 1, 2, Tk (t ) = Bk exp ⎜ − ( l ⎝ ⎠
)
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(III)
特解的叠加
∞ k =1 ∞
G ( x , t ) = ∑ X k ( x )Tk (t ) = ∑ Ak e
我们注意到齐次的边界条件是分离变量法所必需的， 为此作函数变换 u ( x, t ) = v( x, t ) + ω ( x, t ), 其中 ω ( x, t ) = μ (t ) + x [ν (t ) − μ (t )]. l 2 2 边界 齐次化
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• 叠加原理(把复杂定解问题)
⎧ ∂ 2u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ), x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t 2 ∂x ⎪ ⎪ ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = ψ ( x), x ∈ [0, l ], ⎪u (0, t ) = 0, u (l , t ) = 0, t≥0 ⎪ ⎪ ⎩
∞
(4.6)
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(4.5) (4.6)
⎛ kπ a ⎞ ′ C k (t) + ⎜ ⎟ C k (t) = f k (t ) ⎝ l ⎠
2
C k (0 ) = 0
2 l kπ x f k (t ) = ∫ f ( x, t )sin dx 0 l l
t −( kπ a 2 ) ( t −τ ) l
∞
(2.5)
是定解问题的解。 显见上述函数满足（2.2）。 (2.1)
∞
2 ⎡ kπ kπ ⎛ kπ ⎞ 2 ′′ C k (t)sin x+⎜ a C k (t)sin ∑⎢ ⎟ l l ⎝ l ⎠ k =1 ⎢ ⎣ ∞
⎤ x ⎥ = f ( x, t ) ⎥ ⎦
2 ∞ ⎡ ⎤ kπ kπ ⎛ kπ a ⎞ ′′ C k (t) + ⎜ C k (t)⎥ sin x = ∑ f k (t )sin x (2.6) ∑⎢ ⎟ l l ⎝ l ⎠ k =1 ⎢ k =1 ⎥ ⎣ ⎦