高数积分总结

()()()()()()()()()()01lim nb i i a i ba f x dx f xf x dx F b F a x λξ→=⎧⎪⎪=∆⎪⎪⎪=-⎨∑⎰⎰问题引例：曲边梯形的面积、变速直线运动的路程积分定义：计算方法:几何意义:连续曲线与轴所围曲边梯形面积的代数和一元定积分物理意义：变力沿直线做功应用几何：平面图形的面积直角坐标、极坐标、体积已知平行截面、旋转体体积平面曲线的弧长直角坐标、极坐标、参数方程、旋转曲面的面积应用物理：水压力、质量与引力、边际成本⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩一元不定积分：解决定积分的计算问题，将积分问题与求导问题联系起来()()()()()01,lim ,==,ni i i i D Df x y d f d dxdy d rdrd D f x y d λσξησσσθσ→=⎧⎪⎪=∆⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩∑⎰⎰⎰⎰问题引例：曲顶柱体的体积、平面薄片的质量积分定义：计算方法:关键问题是定限，在直角坐标下，在极坐标下二重积分几何意义:以为底，为曲顶柱体的体积的代数和物理意义：应用几何：求平面图形的面积应用物理()()()()012,,lim ,,=cos ,sin ,,=sin cos ,sin sin ,cos ,=sin ni i i i i f x y z dv f vdv dxdydz x r y r z z dv rdrd dz x r y r z r dv r drd d λξηζθθθϕθϕθϕϕθϕ→=Ω⎧⎪=∆======⎨∑⎰⎰⎰问题引例：四维空间中曲顶柱体的体积问题积分定义：计算方法:直角坐标柱面坐标三重积分球面坐标定限的方法参考二重积分几何意义、物理意义应用几何应用物理⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩()()()()()()0011,lim ,,,,lim ,,,,====n ni i i i i i i i i L Lf x y ds f sf x y z ds f sL f x y ds ds dx ds dy ds dt ds λλξηξηζ→→===∆=∆∑∑⎰⎰问题引例：曲线形构件的质量积分定义：计算方法:用路径函数化简化为一元定积分弧长元素对弧长的曲线积分第一型曲线积分()()d θ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩几何意义、物理意义应用几何应用物理()()()()()()()01,,lim ,,,,,,,ni i i i i Dxyf x y z dS f Sf x y z dS f x y z x y dxdy λξηζ→=∑∑⎧⎪⎪=∆⎪⎪⎪⎨=⎡⎪⎣⎪⎪⎪⎪⎩∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰问题引例:曲面不均匀薄片的质量积分定义：计算方法:1、投影，2、代入，3、转换对面积的曲面积分第一型曲面积分应用几何：计算曲面面积应用物理()()()()()()()()()()010011lim ,,,lim ,,,lim ,,,ni i i i i i i n ni i i i i i L L i i L W P x Q y P x y dx P x Q x y dy Q y P x y dx Q x y dy y x λλλξηξηξηξη→=→→===∆+∆⎡⎤⎣⎦=∆=∆+∑∑∑⎰⎰⎰问题引例：变力沿曲线作功积分定义：积分的定义可推广到空间的情况，并可简写成对坐标的曲线积分计算方法：本质是将其化为一元定积分用参数方程、将化为第二型曲线积分两种曲线积分的关系：()()Pdx Qdy Pcos Qcos ds Pdx Qdy Rdz Pcos Qcos Rcos ds cos cos cos αβαβγαβγΓΓΓΓ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪+=+⎪⎪++=++⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰⎰其中，，是曲线在一点的与有向曲线同向的切向量的方向余弦()()()()',,0,2,,P x y dx Q x y dy u u =C u u u P u Pdx y Pdx y Q x y ϕϕ+=⎧⎪⎪⎪⎪∂∂⎨⎡⎤==+=+=⎪⎣⎦∂∂⎪⎪⎪⎩⎰⎰1、定义：如果一阶微分方程的左端恰好是某一个二元函数的全微分，此时方程的通解为因此全微分方程的关键就是求、求解方法：全微分方程①不定积分法：②凑微分法③积分因子法：见笔记()()()()()()()()()0101=lim ,,,,,,lim ,,,,,,n i i i zy i i i xz i i i xy i ni i i zy i i i xz i i i xy i v d S P S Q S R S Pcos Qcos Rcos dSP S Q S R S Pdy λλξηζξηζξηζαβγξηζξηζξηζ∑→=∑→=Φ∆+∆+∆=++∆+∆+∆=⎰⎰∑⎰⎰∑问题引例：曲面的侧的定义指明了曲面是有方向的曲面的投影，流体力学中流量问题积分定义：对坐标的曲面积分第二型曲面积分dz Qdxdz Rdxdy ∑⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨++⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎰⎰第一式将定义以第一型曲面积分的形式给出；第二式是我们普遍用的第二型曲面积分两个式子反应的是一个东西，也就阐明了两类曲面积分的联系计算方法：投影、代入、转换应用：流量的计算)))()(),123L D A BQ P Pdx Qdy dxdy L D x y Q PL D L x y Pdx Qdy P x,y Q x,y G ⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭∂∂∂∂+⎰⎰⎰⎰格林定理：①曲线正向的定义；②为的取正向的边界曲线应用格林公式应注意：曲线必须封闭；、在内每点具有一阶连续偏导；为正向曲线格林公式曲线积分的路径无关性：概念，积分值只与初始点的坐标有关四个等价命题：在一个单连通区域内，函数、在内有一阶连续偏导则下面四个命题等价：()=0,,L LQ PPdx Qdy Pdx Qdy u x y du Pdx Qdy x y⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪∂∂+=+=+⎪∂∂⎩⎰⎰①；②；③与路径无关；④存在函数使()++++=,P Q R P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy dV x y z P Q R Pcos Qcos Rcos dS dV x y z cos cos cos A d S divA αβγαβγ∑Ω∑ΩΩ∑Ω⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭∑ΩΦ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰高斯公式：是闭曲面围成的区域，函数、、在上具有一阶连续偏导，则高斯公式通量散度其中是的外侧，、、是点出法向量的方向余弦通量与散度：++P Q Rx y z ∑⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪∂∂∂⎪=⎪∂∂∂⎩⎰⎰L P,Q,R R Q P R Q P Pdx Qdy Rdz dydz dzdx dxdy y z z x x y A A d s A R rot A y ∑Γ∑ΓΓ∑⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ΓΓ∂-∂⎰⎰⎰⎰斯托克斯公式：设是以为边界的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则,具有一阶连续偏导斯托克斯公式环流量与旋度环流量与旋度：向量场沿有向闭曲线的曲线积分称为沿的环流量旋度：=Q P R Q P i j kz z x x y ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫⎪+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩()()()()()()1=,,,,0,L L L dS dS f x y ds f y z ds f x z ds L z z z f x y ∑∑=⎧⎪⎨⎪==⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰积分应用归纳几何应用：1、求曲边梯形的面积：用一元定积分可做2、求曲顶柱体的体积：用二重积分可做，用三重积分可做3、曲面的面积:?—牟合方盖的表面积柱面面积——牟合方盖的表面积该柱面以为准线，母线平行于轴，介于与曲面之间的部分4、平面的面积：其实就是曲面面积的特殊情况，用一元定积分可做，用二重积分可做()()()()()()()()()()()1=;f P M f P d ρΩ⎫⎧⎪⎪⎪⎪⨯⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎫⎧⎪⎪⨯⎨⎬⎪⎪⎩⎭⨯=Ω⎰物理应用：、质量平面直线杆一元定积分线状质量线密度长度平面曲线杆对弧长的曲线积分这也就解释了为什么对弧长的积分化为定积分空间曲线杆被积函数为三元函数的对弧长的曲线积分平面面片二重积分面状质量面密度面积解释了为什么对曲面的面积积分化为二重积分空间面片对曲面的面积积分立体快质量体密度体积三重积分()2:、质心物理重心——质心——几何中心——形心概念解释物理重心——是在重力场中，物体处于任何方位时所有各组成质点的重力的合力都通过的那一点。

高数微积分公式大全(考试必考)

高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=-⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅ ⑼()xxe e '= ⑽()ln xxa aa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arc cot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则（1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式（1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =-⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x xd a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a =⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dx x c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan x dx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsin xc a =+ln x c =+十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令n u x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。

高数积分总结

高数积分总结一、不定积分1、不定积分的概念也性质定义1：如果在区间I 上，可导函数F （x ）的导函数为f(x)，即对任一I x ∈,都有F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I 上的原函数。

定义2：在区间I 上，函数f （x ）的带有任意常数项的原函数称为f （x ）（或者f(x)dx ）在区间I 上的不定积分，记作⎰dx x f )(。

性质1：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([。

性质2：设函数f(x)的原函数存在，k 为非零常数，则⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(。

2、换元积分法 (1)第一类换元法：定理1：设f(u)具有原函数，)(x ϕμ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x d f dx x x f ϕμμμϕϕ=⎰⎰=。

例：求⎰xdx 2cos 2解 ⎰⎰⎰⎰=•=•=μμd dx x x dx x xdx cos )'2(2cos 22cos 2cos 2 将x 2=μ代入，既得⎰+=C x xdx 2sin 2cos 2(2)第二类换元法：定理2：设)(t x ψ=是单调的、可导的函数，并且.0)('≠t ψ又设)(')]([t t f ψψ具有原函数，则有换元公式,])(')]([[)()(1x t dt t t f dx x f -=⎰⎰=ψψψ其中)(1x -ψ是)(t x ψ=的反函数。

例：求⎰>+)0(22a ax dx解 ∵t t 22sec tan 1=+，设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππαt t x ，那么 tdt a dx t a t a t a a a x 2222222sec ,sec tan 1tan ==+=+=+，于是⎰⎰⎰==+tdt dt t a ta a x dxsec sec sec 222 ∴C t t ax dx ++=+⎰tan sec ln 22∵aa x t 22sec +=，且0tan sec >+t t ∴1222222)ln(ln C a x x C a ax a x a x dx+++=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+⎰，a C C ln 1-=3、分部积分法定义：设函数)(x μμ=及)(x υυ=具有连续导数。

高数微积分公式大全(总结的比较好)---精品管理资料

高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x xμμμ-= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxee'= ⑽()ln xxaaa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则 (1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 (1）()()!n nxn = （2)()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ （3)()()ln n x x n a a a =（4）()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ （5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7） ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d xxdx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()xxd ee dx = ⑽()ln xxd a aadx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1log ln xad dx x a= ⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arccot 1d x dx x =-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰ ⑽21arctan 1dx x c x=++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式2211arctan xdx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsinxc a=+ ln x c =+九、下列常用凑微分公式十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰,令nu x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =,sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =,cos dv xdx = ⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可.十一、第二换元积分法中的三角换元公式(1 sin x a t = (2） tan x a t = sec x a t =【特殊角的三角函数值】（1）sin 00= (2）1sin62π=(3）sin 32π= (4)sin 12π=) (5）sin 0π=（1）cos01= （2）cos62π=（3）1cos 32π= (4）cos 02π=）（5）cos 1π=-（1)tan 00= （2）tan63π=（3)tan 3π=(4）tan 2π不存在（5）tan 0π=（1）cot 0不存在（2)cot 6π=（3)cot3π=(4)cot 02π=（5）cot π不存在十二、重要公式（1）0sin lim1x xx→= （2）()10lim 1x x x e →+= (3))1n a o >=（4）1n = (5)limarctan 2x x π→∞=（6)lim tan 2x arc x π→-∞=-（7）limarccot 0x x →∞= （8）lim arccot x x π→-∞= （9）lim 0xx e →-∞=（10)lim x x e →+∞=∞ （11）0lim 1xx x +→= (12）0101101lim0n n n m m x m a n mb a x a x a n m b x b x b n m--→∞⎧=⎪⎪+++⎪=<⎨+++⎪∞>⎪⎪⎩（系数不为0的情况）十三、下列常用等价无穷小关系（0x →）sin x x tan x x arcsin x x arctan xx 211cos 2xx - ()ln 1x x + 1x e x - 1ln x a x a - ()11x x ∂+-∂十四、三角函数公式 1.两角和公式sin()sin cos cos sin A B A B A B +=+ sin()sin cos cos sin A B A B A B -=- cos()cos cos sin sin A B A B A B +=- cos()cos cos sin sin A B A B A B -=+tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=- tan tan tan()1tan tan A BA B A B --=+cot cot 1cot()cot cot A B A B B A ⋅-+=+ cot cot 1cot()cot cot A B A B B A ⋅+-=- 2.二倍角公式sin 22sin cos A A A = 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1A A A A A =-=-=-22tan tan 21tan AA A=-3。

高数微积分公式大全

高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x xμμμ-= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxee'= ⑽()ln xxaaa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则（1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式（1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d xxdx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()xxd ee dx = ⑽()ln xxd a aadx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a =⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arccot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dxx c x=+⎰ ⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan xdx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsinxc a=+ ln x c =+十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令nu x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx = ⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。

高数定积分知识点总结

高数定积分知识点总结一、定积分的定义定积分是微积分中的一个重要概念，它是对一个函数在一个区间上的积分结果进行计算的过程。

在数学上，定积分是用来计算曲线下面的面积或者函数在某一区间上的平均值的方法。

定积分可以写成以下形式：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx \]其中，\( f(x) \)是被积函数，\( a \)和\( b \)是积分区间的端点。

定积分的计算过程就是求解被积函数在给定区间上的曲线下面的面积。

定积分在物理学、工程学和经济学等领域都有着广泛的应用，是微积分中不可或缺的重要工具。

二、定积分的性质1. 定积分的可加性如果函数\( f(x) \)在区间\([a, b]\)上是可积的，那么对于任意的\( c \)满足\( a \leq c \leq b \)，都有：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx \]这个性质表明了定积分的可加性，即在一个区间上进行积分的结果可以根据任意划分点\( c \)进行分割。

2. 定积分的线性性对于任意的实数\( \alpha, \beta \)和函数\( f(x), g(x) \)，如果\( f(x), g(x) \)在区间\([a, b]\)上是可积的，那么有：\[ \int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)dx \]这个性质表明了定积分的线性性，即在一个区间上进行线性组合的函数的积分等于线性组合的函数的积分的线性组合。

3. 定积分的保号性如果在区间\([a, b]\)上有\( f(x) \geq 0 \)，那么有：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx \geq 0 \]这个性质表明了定积分的保号性，即当被积函数在一个区间上非负时，其积分结果也是非负的。

高数求解积分技巧口诀

高数求解积分技巧口诀高等数学中求解积分是一个重要的部分，而掌握一些积分技巧可以极大地简化求解过程。

下面是一些常见的求解积分的技巧口诀，总结为以下几类：一. 基本积分法则：1. 基本积分公式：根据基本积分公式可以将各种常见函数的积分求解出来，例如幂函数、指数函数、三角函数等。

2. 垂直配对：对于一个函数，如果它的导函数可以表示为另一个函数的导函数，则可以通过反求导的方式求解出原函数的积分。

3. 基本换元法：通过引入一个新的变量，使得被积函数变得更加简单，从而简化求解过程。

二. 分部积分法：1. 分部积分法：通过将被积函数进行分解，再对其中的一部分进行求导，另一部分进行积分，可以将原函数的积分转化为另一个积分问题，从而简化求解过程。

2. 递归运用：分部积分法可以反复运用，即多次进行分部积分，从而求解出复杂的积分问题。

三. 特殊代换法：1. 倒代换法：当被积函数中含有一个较大的指数函数时，可以通过引入一个新的变量，将被积函数转化为一个更简单的形式。

2.三角代换法：对于含有三角函数的积分问题，可以通过引入一个新的变量，将被积函数转化为一个含有简单三角函数的形式。

四. 分式分解法：1. 部分分式分解法：当被积函数为一个分式时，可以通过将其分解为若干个简单的分式相加的形式，从而简化求解过程。

五. 积分表法：1. 积分表：熟练掌握常见函数的积分表，可以在求解积分时直接查表，从而快速得到答案。

2. 查表运算：在求解较为复杂的积分时，可以尝试将被积函数进行适当的变换，使其形式接近于积分表中的形式，从而查表求解。

六. 几何应用法：1. 几何意义：对于一些平面或空间几何问题，可以通过求解相应的积分问题来得到几何量的大小。

2. 镜像对称：利用几何镜像对称的特点，可以将原函数的积分问题简化为一个更简单的形式。

七. 换元积分法：1. 符号变换：对于一些特殊的积分问题，可以通过符号的变化来使被积函数更易于处理。

2. 复合换元法：通过引入复合函数的形式，可以将被积函数的形式转化为一个更易于处理的形式。

高数微积分公式大全(总结的比较好)

高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=-⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅ ⑼()xxe e '= ⑽()ln xxa aa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arc cot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫=⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则（1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式（1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x xd a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a= ⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x =-+六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫=⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dx x c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰ ⑽21arctan 1dx x c x=++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan xdx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsin xc a =+ln x c =++九、下列常用凑微分公式十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令nu x =，ax dv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos axe xdx ⎰令,sin ,cos ax u e x x =均可。

高数积分总结

高数积分总结一、不定积分1、不定积分的概念也性质定义1：如果在区间I 上，可导函数F （x ）的导函数为f(x)，即对任一I x ∈,都有F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I 上的原函数。

定义2：在区间I 上，函数f （x ）的带有任意常数项的原函数称为f （x ）（或者f(x)dx ）在区间I 上的不定积分，记作⎰dx x f )(。

性质1：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([。

性质2：设函数f(x)的原函数存在，k 为非零常数，则⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(。

2、换元积分法 (1)第一类换元法：定理1：设f(u)具有原函数，)(x ϕμ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x d f dx x x f ϕμμμϕϕ=⎰⎰=。

例：求⎰xdx 2cos 2 解⎰⎰⎰⎰=•=•=μμd dx x x dx x xdx cos )'2(2cos 22cos 2cos 2将x 2=μ代入，既得⎰+=C x xdx 2sin 2cos 2(2)第二类换元法：定理2：设)(t x ψ=是单调的、可导的函数，并且.0)('≠t ψ又设)(')]([t t f ψψ具有原函数，则有换元公式,])(')]([[)()(1x t dt t t f dx x f -=⎰⎰=ψψψ其中)(1x -ψ是)(t x ψ=的反函数。

例：求⎰>+)0(22a ax dx解 ∵t t 22sec tan 1=+，设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππαt t x ，那么 tdt a dx t a t a t a a a x 2222222sec ,sec tan 1tan ==+=+=+，于是⎰⎰⎰==+tdt dt t a ta a x dx sec sec sec 222 ∴C t t ax dx ++=+⎰tan sec ln 22∵aa x t 22sec +=，且0tan sec >+t t ∴1222222)ln(ln C a x x C aa x a x a x dx+++=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+⎰，a C C ln 1-=3、分部积分法定义：设函数)(x μμ=及)(x υυ=具有连续导数。

高数微积分公式大全

(n)
= n!
( ) （2）
eax+b
(n)
=
an ⋅ eax+b
( ) (3) ax (n) = ax lnn a
(4) sin (ax += b)(n)
an
sin

ax
+
b
+
n
⋅
π 2

(5)
cos (ax += b)(n)
a
n
cos

ax
+
b
+
n
⋅
π 2

( ) ⑼ ex ′ = ex
( ) ⑽ ax ′ = ax ln a
⑾ (ln x)′ = 1
x
( ) ⑿
log a x
′=
1 x ln a
⒀ (arcsin x)′ = 1
1− x2
⒁ (arccos x)′ = − 1
1− x2
( ) ( ) ⒂
(arctan
x)′
=
1 1+ x2
⒃ (arc cot x)′
= cot A = 1+ cos A sin A 2 1− cos A 1− cos A
4.和差化积公式
sin a + si= n b 2sin a + b ⋅ cos a − b
2
2
cos a + co= s b 2 cos a + b ⋅ cos a − b
2
2
sin (a + b)
tan a + tan b = cos a ⋅ cos b
(6)

张宇总结高数积分知识

1 1 2 ( 2 1)dt 8 t t 1 1 ( 2 ln t t ) C 8 t 1 x 1 x 1 x 1 ( 2 ln )C 8 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 ln C 2 2(1 x ) 4 x 1 1 3 5 x 1 x 故原式= x 2 x ln +C. 2 3 4 x 1 2(1 x )
6
1 对于不定积分 2 dx作一次变换， 2 ( x 1) x 1 2t 2 2 令t , 则x 1 , x 1 , dx dt 2 x 1 1 t 1 t (1 t ) 1 1 dx dx 2 2 2 2 ( x 1) ( x 1) ( x 1) 1 t 2 1 t 2 2 ( ) ( ) dt 2 2t 2 (1 t ) 1 1 t 2 ( ) dt 8 t
( x y) ( x y ) ln xy dxdy 1 x y D
2
( x y ) ln( x y ) ( x y ) ln x 2 dxdy 2 dxdy 1 x y 1 x y D D 于是I = dx
0 令x y u 视x为常数 1 1 x 0 1 1 x ( x y ) ln( x y ) x y dy ln xdx 0 0 1 x y 1 x y 1 1 1 1 u ln u u du ln xdx du 0 x 1 u 1 u
2 0

1
0
r dr. 1 r
2
于是分别只需计算

2 0
ln(1 tan ) sin 2 d 和
2
1
0
r dr即可. 1 r

高数-积分学

x
2 x x x
x x
x e 2( xe e ) C .
2
e ( x 2 x 2) C
x 2
例 4 已知 f ( x ) 的一个原函数是 e
x2
, 求 xf ( x )dx .
解

f ( x )dx f ( x ), f ( x )dx e
积分学
一、不定积分
二、定积分
三、广义积分四、重积分
五、平面曲线积分六、积分应用
一、不定积分
1. 直接积分法
通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法 (要求记住基本积分公式）. 2. 换元积分法
第一类换元的基本思路
g ( x)dx
f [ ( x)]d [ ( x)] F [ ( x)] C
d b( x ) F ( x ) f ( t )dt f b( x )b( x ) f a( x )a( x ) dx a ( x )
4、牛顿—莱布尼茨公式
如果 F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间[a , b]上的一个原函数，则
a f ( x )dx F (b) F (a )
注：这里要求f ( x)的原函数易求，且F ( x) f ( x)
第一类换元的关键是凑微分，常用的凑微分结果有
1 1 k dx d (ax b) x dx d (ax k 1 b) a (k 1)a
e dx d (e )
x x
1 dx d (ln x) ( x 0) x
x arcsin x 1 x2
2
1
dx
1
解：
1

考试必备高数微积分公式大全

高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()s i n c o s x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2t a n s e c x x '=⑹()2c o t c s c x x '=-⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()c s c c s c c o tx x x '=-⋅ ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln x a x a'=⒀()a r c s i n x '=⒁()a r c c o s x '=-⒂()21arctan 1x x'=+ ⒃()21a r c c ot 1x x'=-+⒄()1x '=⒅(1'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()u v uv u v '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则（1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦（2）()()()()n n cu x cux =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k kk nk u x v x cux v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式（1）()()!n n x n = （2）()()n ax bnax bea e++=⋅ (3)()()ln n x x na a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n nnn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1nn n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1dx xd xμμμ-= ⑶()s i n c o s d x x d x= ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2t a n s e c d x x d x =⑹()2c o t c s cd x x d x=- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()c s c c s c c o t d x xx d x=-⋅ ⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1ln d x dx x =⑿()1logln x a d dx x a=⒀()1arcsin d x =⒁()1a r c c o s d x d x=-⒂()21arctan 1d x dx x=+ ⒃()21a r c c o t 1d x d xx=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11xx d x cμμμ+=++⎰ ⑶ln dx x c x=+⎰⑷ln xxaa dx c a=+⎰ ⑸x xe dx e c =+⎰ ⑹c o s s i n x d x xc=+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221s e c t a n c o s d x x d xx c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x==-+⎰⎰ ⑽21a r c t a n 1d x x c x=++⎰⑾arcsin x c =+⎰八、补充积分公式tan lncos xdx x c =-+⎰c o t l n s i n xd x x c=+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰c s c l n c s cc o t xd x x x c=-+⎰ 2211arctanx dx c axaa=++⎰2211ln2x a dx c x a ax a-=+-+⎰arcsinx c a=+⎰ln dx x c =++⎰九、下列常用凑微分公式十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令n u x =，ax dv e dx = 形如sin n x xdx ⎰令n u x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令n u x =，cos dv xdx = ⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，n dv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。

高数积分总结

1.二重积分形式：⎰⎰Ddxdy y x f ),( f(x,y)为面密度，dxdy 为面积元素。

解法：①直角坐标首先是化为X 型或Y 型区域，如化为X 型的则可写成⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰)()(21),(x x ba f f dy y x f dx ②极坐标（使用范围：D 为圆或圆的一部分，f(x,y)中含有2x +2y 项）极坐标下二重积分可化为：⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰Dd d f θρρθρθρ)sin ,cos (2.三重积分形式：⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,( f(x,y,z)表示点（x,y,z ）处的密度，dv 表示体积元素解法：①直角坐标如往xoy 面投影，Dxy 为X 型区域，y 的范围由平行于y 轴的直线穿过Dxy ，穿入的是下限，穿出的上限；z 的范围沿平行于z 轴的直线穿过立体，穿入的下限，穿出的上限，则有：⎰⎰⎰Ωdxdy z y x f ),,(=⎰⎰⎰),(),()()(2121),,(y x z y x z x y x y badz z y x f dy dx ；②柱面坐标（范围：投影区域为圆或圆的一部分，f （x ，y ，z ）中含有2x +2y 项）直角坐标与极坐标的关系：x=θρcos y=θρsin z=z 。

dxdydz z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(=ρρθρd z F ⎰⎰⎰Ω),,(=⎰⎰⎰)()(),(),(212110),,(θρθρθρθρθθθρρρθz z dz z F d d*③ 球面坐标（范围：立体为球体或球体的一部分）3.重积分的应用：① 求曲面面积：A=⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=++Dxyy x dxdy y z x z d y x f y x f 22Dxy221),(),(1σ 可以类似的推出区域为Dxy,Dyz 时对应的公式。

② 求质心： ⎰⎰⎰⎰==DD yd y x d y x x M M x σμσμ),(),( ⎰⎰⎰⎰==DDxd y x d y x y M M y σμσμ),(),( 类似的可推广到空间直角坐标系。

高数知识点总结大专

高数知识点总结大专一、微积分1. 函数与极限函数是一种最基本的数学概念，微积分的核心概念之一就是函数的极限。

通过对函数在某点附近的取值进行分析，可以得到函数在该点的极限值。

极限的概念是微积分理论的起点，它的引入为后续的微分和积分的定义打下了基础。

2. 导数导数是描述函数变化率的重要工具，它可以用来求函数在某一点的斜率，也可以用来表示函数的增长速度。

导数的概念是微积分理论的重要组成部分，它可以帮助我们分析函数在不同点的性质和特征。

3. 微分微分是导数的反向运算，它是用来描述函数在某一点的局部线性近似的工具。

微分的概念可以帮助我们求函数在某一点的切线方程，也可以用来求函数在该点的局部最值。

4. 积分积分是对函数在某一区间上的累积求和，它可以表示函数在该区间上的总变化量。

积分的概念是微积分理论的另一个重要组成部分，它可以帮助我们求函数在某一区间上的平均值、面积、体积等性质。

5. 不定积分与定积分不定积分是对函数的积分运算，它可以得到函数的原函数。

定积分是对函数在某一区间上的积分运算，它可以得到函数在该区间上的累积变化量。

不定积分和定积分是微积分理论中的重要内容，它们可以帮助我们求解各种实际问题。

二、多元函数微积分1. 多元函数的极限多元函数是指自变量和因变量都是多个变量的函数，它的极限是对函数在某点附近的取值进行分析，可以得到函数在该点的极限值。

多元函数的极限是微积分理论的延伸，它可以帮助我们分析多元函数在不同点的性质和特征。

2. 偏导数偏导数是描述多元函数变化率的重要工具，它可以用来求多元函数在某一点的斜率、增长速度等性质。

偏导数的概念是多元函数微积分的核心内容，它可以帮助我们分析多元函数在不同方向上的变化情况。

3. 方向导数方向导数是描述多元函数在某一方向上变化率的工具，它可以用来求多元函数在某一点沿某一方向的变化速度。

方向导数的概念可以帮助我们分析多元函数在不同方向上的特征和性质。

4. 多元函数的微分多元函数的微分是对多元函数在某一点的局部线性近似，它可以用来求函数在该点的切平面方程。

高等数学各类积分总结

关于各类积分的一些总结一、定积分实质：直线上函数的积分，积分对象是直线元 dx 。

二、二重积分实质：平面区域上的二元函数的积分，积分对象是dxdy 。

方法：累次积分，即先固定一个变量，对另一个变量积分，再对另一个变量积分。

三、三重积分实质：对空间上的三元函数积分，积分对象是dxdydz 。

方法：累次积分，可以化成三个一次积分（如球坐标代换），也可化成一个二重积分和一个一次积分（如柱坐标代换）。

四、第一型曲线积分实质：对曲线上的一元函数积分，积分对象是曲线元ds 。

方法：转化成定积分曲线r=(x(t),y(t),z(t)),则dt z y x t z t y t x f ds z y x f s dt t t ⎰⎰⎰⎰'+'+'=222))(),(),((),,(。

五、第一型曲面积分实质：对曲面上的二元函数积分，曲面元dS.方法：转化为二重积分。

曲面r=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)), 则(,,)((,),(,),(,))s D dr dr f x y z dS f x u v y u v z u v dudv du dv=⨯⎰⎰⎰⎰特别的dr dr dx dy ⨯= 六、第二型曲线积分实质：变力在曲线上作功,或是对有向线元的积分,即对坐标的积分。

形式：⎰++LRdz Qdy Pdx ①方法：１、拆 ①＝⎰⎰⎰++L L L Rdz Qdy Pdx =⎰⎰⎰++121212z z y y x x Pdz Pdy Pdx εεε(化成三个定积分)2、合用定义化成第一形曲线积分①＝dl v dz dy dx R Q P LL τ⋅=⋅⎰⎰),,(),,(３、对于环路积分，一般用斯托克斯公式化去做①＝dl v dz dy dx R Q P τ⋅=⋅⎰⎰),,(),,(＝⎰⎰⋅Dnds rotv ε七、第二形曲面积分实质：通量，或是对有向面积元的积分，即对坐标的曲面积分。

高数积分总结

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