正比例函数的性质(教案)

正比例函数的性质（教案）

宛平中学韩群

一、教学目标

（1）知识目标：

能根据正比例函数的图像，观察归纳出函数的性质；并会简单应用。

（2）能力目标：

逐步培养学生的观察能力，概括的能力，通过教师指导发现知识，初步培养学生数形结合的思想以及由一般到特殊的数学思想；

（3）情感目标：

激发学生学习数学的兴趣和积极性，逐步培养学生实事求是的科学态度。

二、教学的重点和难点

教学重点：正比例函数的性质及其应用。

教学难点：发现正比例函数的性质

三、教学方法与学法指导

教学方法：通过本节课的教学，我选用引导发现法和直观演示法，本节课的难点是发现正比例函数的性质，通过教师的引导，启发调动学生的积极性，让学生在课堂上多活动（画图）、多观察（图像），主动参与到整个教学活动中来，最后发现其性质。

学法指导：教师引导学生学会观察、归纳的学习方法。

五、教学过程：

（一）温故知新，引入课题

温故：正比例函数的图像是什么？

答：正比例函数图像是经过原点（0，0）和点(1,k)的一条直线

（二）：知新：

在两个直角坐标系内，分别画出下列每组函数的图像：

① y =2x y=x y=41x ② y =－2x y=－x y=－4

1x 引导学生观察图像，看看每组直线分布的特征？

观察图像，思考问题：

1、 图像经过的象限与k 的取值有何联系？不够明确。图像经过的象限与k 的取值（特别是符号）有何联系？

2、 对其中的某一个正比例函数图像(例如y=2x)，当x 增大时，函数值y 怎样变化？x 减小呢？是不是要提出减小？请斟酌。

3、 你从中得出什么规律？

第一个问题：图像经过的象限与k 的取值有何联系？

估计生：发现第一组的三条直线都经过第一象限和第三象限；而第二组的三条直线都经过第二和第四象限。 师：从比例系数来看呢，函数的比例系数和他们的图像分布有什么联系?用词前后宜一致

估计生：第一组k>0，而第二组k<0。

师：很好，谁能把他们联系一下？

估计生：当k ＞0时，函数图像经过第一、三象限；当k ＜0时，函数图像经过第二、四象限。

师：那么是不是对于所有的正比例函数的图像都有：当k ＞0时，函数图像经过第一、三象限；当k ＜0时，函数图像经过第二、四象限呢？【电脑演示：任意正比例函数的图像，当在一、三象限运动时，它的解析式中的k 的值无论怎样变化都是大于零的，反之，图像在二、四象限运动时，k 的值都小于零的。】 下面由老师来证明这个性质：（由观察猜想到逻辑证明）

当k ＞0时，函数图像经过第一、三象限；当k ＜0时，函数图像经过第二、四象限。 （板书）证明：这个证明是书上要求的吗？如果书上没有要求，你也不要求。下

面第二个问题同。当k>0时，若x>0，则kx>0，即y>0 ∴点(x,y)在第一象限

若x<0，则kx<0，即y<0 ∴点(x,y)在第三象限

当x=0时，则kx=0，即y=0 ∴点(x,y)即原点。

即函数图像上所有的点（原点除外）都在一、三象限内，所以图像经过一、三象限。同理，当k<0时，亦可证明函数图像经过二、四象限。

我们看到：当k ＞0时，函数图像的走向很像汉字笔画里的“提”，当k ＜0时，走向是“捺”。这样更形象，容易记忆。

投影打出正比例函数的性质：当k ＞0时，函数图像经过第一、三象限；当k ＜0时，函数图像经过第二、四象限。

师：现在我们做个小练习，由正比例函数解析式（根据k 的正负），来判断其函数图像的走向。

y =－x y=32x y= 2x y =－2

3x y=（a 2＋1）x (其中a 是常数) y=（－a 2－1）x (其中a 是常数) 鼓励学生踊跃抢答。

反过来，由函数图象所在的象限，请你说出一个满足条件的正比例函数解析式。 好，我们来看下一个问题，（电脑重现第二问题：2、对其中的某一个正比例函数图像，当x 增大时，函数值y 怎样变化？x 减小呢？）如果一定想讲减少，建议放在练习里讲。

继续观察刚才的函数图像，看看当自变量发生变化时，函数值是怎样变化的。我们以y=2x 为例,【几何画板演示：x 取……-3、-2、-1、0、1、2、3……，观察对应的函数值y 的变化……，发现当x 在逐渐增大时，y 的值也在增大；反之，亦

成立！画板中用 表示x 在增大，用表示y 在增大。图像的走向是不是很像汉字里的提呢，（提）在从左向右的同时，也从下到上的走势，（图像函数值）由小到大的变化。】学生在自己的小方格本上观察有些困难，通过教师的电脑动态演示，使图像动起来，看起来更直观，便于发现正比例函数图像的性质。

再看正比例函数的比例系数k 小于零时的情况（以y =－2x 为例），当自变量x 逐渐增大时，函数值y 反而减小，反之，当自变量x 逐渐减小时，函数值y 却在变大。【几何画板演示，同上。】我们把它很形象地比作汉字里捺的走向，捺从上到下，函数值从大到小。

即：当k ＞0时，自变量x 逐渐增大时，函数值y 也在逐渐增大；（即“提”的走向）当k ＜0时，自变量x 逐渐增大时，函数值y 反而减小。(即“捺”的走向) 下面由老师来证明这个性质：（由观察猜想到逻辑证明）

（口述）证明：这个证明是不是书上要求的？当k>0时，若x 1>x 2，则有kx 1>kx 2，即y 1>y 2

若x 1

即当k>0时，自变量x 逐渐增大时，函数值y 也在逐渐增大。同理，当k<0时，亦可证明y 随x 的增大而减小。

师：小练习：由函数解析式，请你说出它的变化情况：

y=3x y =－x y=2x y=－

3

x y=（a 2＋1）x (其中a 是常数) y=（－a 2－1）x (其中a 是常数) 鼓励学生踊跃抢答。

第三个问题：你从中得出什么规律？

归纳总结（由学生回答）正比例函数y=kx(k ≠0)的性质：

① 当k ＞0时，函数图像经过第一、三象限；自变量x 逐渐增大时，函数值y 也在逐渐增大；（也就是“提”的走向）

② 当k ＞0时，函数图像经过第二、四象限；自变量x 逐渐增大时，函数值y 反而减小。（也就是“捺”的走向）

归纳为一句话，正比例函数图象的性质归根结底看k 的符号。

即： k ＞0 提 （一、三，增大） ；

k ＜0 捺 （二、四，减小）