材料力学第四章梁的内力.
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材料力学-第四章弯曲应力教学
FS
x
dx
0
FS
x
dM x
dx
qx
dM 2x
dx 2
注:q(x)向上为正,反之为负。
●简易法作剪力图和弯矩图
①梁上无分布荷载作用：q（x）=0
qx dFS x 0
dx
FS x cont
剪力图斜率为零，FS（x）图为平行于x轴的直线。
dM x
B 1kN
A FAx
FB
FAy
FAx=-3kN FAy=3kN
FB=5kN
2）剪力图: 简易法 BC杆：取一点（水平线） DC杆：取两点（水平线） DA杆：取两点（斜直线）
D 3kN
C
1kN E
5kN
1kN B
3kN A
q=1kN/m 4m 3m
8kN
1m D
2m C
E
B 1kN
A FAx
A
A
ydA Sz 0 中性轴z必通过截面形心
A
横截面对z轴的静矩
My
z dA 0
A
zE
A
y dA
E
A
zydA
0
zydA I yz 0
A
截面对yz轴的惯性积
*由于y为对称轴, 上式自然满足。
M z
y dA
A
M
例5.作外伸梁的内力图
q
FA
ql 8
A
FB
5ql 8
FA
FS
B
lC
l
FB 2
ql / 2
孙训方第五版材料力学(I)第四章
第四章 弯曲应力
Ⅱ. 剪力方程和弯矩方程· 剪力图和弯矩图 剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪 力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和 弯矩随截面位置的变化规律。显示这种变化规律的图形则
分别称为剪力图和弯矩图。
27
五邑大学土木建筑系：材料力学
第四章 弯曲应力
例题4-4
图a所示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载
15
五邑大学土木建筑系：材料力学
第四章 弯曲应力
2. 此梁的约束力亦可将梁在中间铰C处拆开，先利用
CB段梁作为分离体求约束力FBy和AC段梁在中间铰C处作用
在CB段梁上的FCx和FCy，然后利用AC段梁作为分离体邑大学土木建筑系：材料力学
第四章 弯曲应力
3. 显然可见，作用在此梁CB段上的荷载是要通过中
9
五邑大学土木建筑系：材料力学
第四章 弯曲应力
(2) 梁的基本形式 悬臂梁
简支梁
外伸梁
10
五邑大学土木建筑系：材料力学
第四章 弯曲应力
(3) 静定梁和超静定梁
在竖直荷载作用下，图a，b，c所示梁的约束力均可由
平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定，
36
Fa FB l
五邑大学土木建筑系：材料力学
第四章 弯曲应力
2. 列剪力方程和弯矩方程 此梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段，两段内
任意横截面同一侧梁段上的外力显然不同，可见这两段梁
的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。
F
AC段梁
FS(x)
M x
37
Fb 0 x a FS x FA l Fb M x FA x x 0 x a l
材料力学第4讲-利用微分关系绘制梁内力图
在CD和DB段，剪力为负值，弯矩图
1.7 为向下倾斜的直线.
最大弯矩发生在剪力改变正、负号的 C
截面处.说明剪力图和弯矩图是正确的.
27 +
例题3-4-2 一简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100kN/m ,如图 所示.试用简
易法作此梁的剪力图和弯矩图. 解：（1） 计算梁的支反力
FRA FRB 0.5 100 1.6 80kN
（1）梁的载荷集度函数、剪力函数和弯矩函数之间的 微分关系
（2）利用微分关系的绘制简单梁的内力图 （3）利用微分关系绘制多跨静定的内力图 （4）根据梁的内力图反推梁的荷载图 2.5 应用叠加原理绘制梁的内力图（待学习） 2.6 刚架和组合变形杆件的内力分析（待学习）
2.4 利用微分关系绘制梁的内力图
dFS ( x) q( x) dx
dM ( x) dx
FS
(
x)
（3）内力的极值点位置的判断 1）最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或
发生在剪力图有转折的截面处或杆件的端部.
2）梁上最大弯矩 Mmax可能发生在均布荷载作用区段 内FS(x) = 0 的截面上; 或发生在杆件中部弯矩发生
转折或突变处，或发生在杆件的端部。
将梁分为 AC、CD、DB 三段.
AC和DB上无荷载，CD 段有向下的
均布荷载.
（2）剪力图 AC段 水平直线
FSA右 FRA 80kN
CD段 向右下方的斜直线
FRA
A C
0.2 1
FS
(kN)
80
q
FRB
B
D
1.6
2
+
FSC FRA 80kN
FSD FRB 80kN
《材料力学》第4章弯曲内力 课后答案
0 ； FS−C
= b F， a+b
M
− C
=
ba a+b
F
FS+C
=
−a a+b
F
，
M
+ C
=
ba a+b
F ； FSB
=
−A a+b
F
,MB
=
0
d解
图（d1）， ∑ Fy
=
0，F
=
1 2
ql
，
∑
M
A
= 0，M A
=
− 3 ql 2 8
仿题 a 截面法得
FSA
=
1 2
ql
，MA
=
−
3 8
ql
2
；
FS−C
FS (x) = −F
⎜⎛ 0 < x < l ⎟⎞
⎝
2⎠
M (x) = −Fx ⎜⎛0 ≤ x ≤ l ⎟⎞
⎝
2⎠
FS (x) = F
⎜⎛ l < x < l ⎟⎞
⎝2
⎠
45
M (x) =
FA x +
FB
⎜⎛ ⎝
x
−
l 2
⎟⎞ ⎠
，
FB
= 2F
M (x) = Fx − Fl ⎜⎛ l ≤ x ≤ l ⎟⎞
( ) 解
∑MB
=
0 ， FA
⋅l
+
ql 2
×
3l 4
− ql 2
=
0
， FA
=
5 ql 8
↑
( ) ∑ Fy
= 0 ， FB
建筑力学 材料力学 梁的内力
x
②写出内力方程 Q( x ) YO P
M ( x) YO x M O P( x L)
x
③根据方程画内力图。
q
解：①写出内力方程
L Q(x) ○ x – qL
qL2 2
Q( x ) qx
1 M ( x ) qx2 2
②根据方程画内力图
⊕ M(x) x
x
Q(x)
2
106 .30 1.855rad
3.14 1 0.01 7800 9.8 [3.14 0.52 1 0.52(1.855 sin106.3)] 1000 9.8 2
9 (kN/m)
q — 均布力
§4–3 一、弯曲内力：
举例
梁的内力及其求法
目
录
§4–1 工程中的弯曲问题 §4–2 梁的荷载和支座反力 §4–3 梁的内及其求法 §4–4 内力图 — 剪力图和弯矩图
§4–5 弯矩、剪力、荷载集度间的关系
§4–1 工程中的弯曲问题 一、弯曲的概念
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
mB (Fi ) 0 , 1 2 qLx2 M 2 q( x2 a) 0 2
图（a） B M2 x2 Q2
1 M 2 q( x2 a)2 qLx2 2
图（c）
§4–4 内力图 — 剪力图和弯矩图
一、 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Q Q( x ) M M (x)
Q Q 图 特 征
水平直线
Q Q
斜直线
Q
梁的内力——剪力和弯矩
上的内力来代替，如图4-7（b）所示。根据静力平衡条件，在
截面m-m上必然存在着一个沿截面方向的内力FS。由平衡方程
∑Y=0
FA-FS=0
得 FS=FA
FS称为剪力，它是横截面上分布内力系在截面方向的合力。
由图4-7（b）中可以看出，剪力FS和支座反力 FA组成了一个力偶，因而，在横截面m-m上还 必然存在着一个内力偶M与之平衡，由平衡方
∑Y=0 FB-FS3=0
∑MO=0 FB×1m-M3=0
FS3=-FB=-10kN
M3=FB×1m=10kN·m
计算结果明，FS3的实际方向与假设的相反，为 负剪力；M3为正弯矩。 从上述例题中可以总结出如下规律：
1） 梁的任一横截面上的剪力，在数值上等于 该截面左边（或右边）梁上所有外力在截面方 向投影的代数和。截面左边梁上向上的外力或 右边梁上向下的外力在该截面方向上的投影为 正，反之为负。
图4-7
为了使无论取左段梁还是右段梁得到的同一截面上的FS和M不仅 大小相等，而且正负号一致，需要根据梁的变形来规定FS和M的 符号。
1 剪力的符号规定
梁截面上的剪力对所取梁段内任一点的矩为顺时针方向转动时为 正，反之为负，如图4-8（a）所示。
2 弯矩的符号规定 梁截面上的弯矩使所取梁段上部受压、下部受拉时为正，反之为 负，如图4-8（b）所示。 根据上述正负号的规定，在图4-7（b）、（c）两种情况中，横 截面m-m上的剪力FS和弯矩M均为正。
程
∑MO=0
M-FAx=0
得 M=FAx
M称为弯矩，它是横截面上分布内力系的合力
偶矩。
1.2剪力和弯矩的符号规定
在上面的讨论中，如果取右段梁为研究对象，同样也可求得横截 面m-m上的剪力FS和弯矩M，如图4-7（c）所示。但是，根据 力的作用与反作用定律，取左段梁与右段梁作为研究对象求得的 剪力FS和弯矩M虽然大小相等，但方向相反。
梁模板计算方法范文
梁模板计算方法范文
1.弹性力学假设
2.梁的基本假设和参数
在梁模板计算中，通常假设梁为轴对称的，不考虑轴向效应；横截面
平面保持笔直；梁材料均匀各向同性。
3.应力-应变关系
σx=Eεx
横向应力（σy）和横向应变（εy）有以下关系：
σy=Eεy
剪切应力（τxy）和剪切应变（γxy）有以下关系：
τxy = Gγxy
其中，G为剪切模量（G=E/(2(1+ν))）。
4.梁的内力计算
根据梁的基本假设和梁模板计算方法，可通过几何平衡条件和材料力
学关系来计算梁的内力。
常见的内力计算方法包括静力平衡法、弯曲变形
方程法、梁的挠度计算等。
5.梁的位移计算
梁的位移是指梁结构在受力作用下的变形情况。
梁模板计算方法中，
常用的位移计算方法是应用横截面受力与横截面图心迁移产生的曲率关系，计算梁的挠度。
梁挠度计算方法中常用的公式包括：Euler-Bernoulli梁理论、Timoshenko梁理论等。
6.梁模板计算方法的适用范围
综上所述，梁模板计算方法是一种基于弹性力学假设的结构力学方法，用于分析和计算梁的内力、位移等参数。
在进行梁模板计算时，需要了解
材料的力学参数，应用几何平衡条件和材料力学关系，计算梁的内力和位移。
梁模板计算方法适用范围较广，但对材料的线弹性条件和梁的几何形
状等有一定的限制。
材料力学第4讲-利用微分关系绘制梁内力图
（3）利用微分关系绘制多跨静定的内力图
求支座反力的顺序；中间铰接处和刚接处剪力图和弯矩图的特点。
（4）根据梁的内力图反推梁的荷载图
内力图与荷载图的对应关系；微分关系的应用。
2.4（1）梁的荷载集度函数、剪力 函数和弯矩函数之间的微分关系
设梁上作用有任意分布荷载，
其集度 q = q (x) 规定 q (x)向上为正. 将 x 轴的坐标原点取在梁的左端. 假想地用坐标为 x 和 x+dx的两
算出截面C上的剪力为 (3-
24)kN=-5kN,即可确定这条
4m
斜直线（如图所示）. FS/kN 3
M=10kN·m C 2m
F=2kN FRB
B
D
2m
2
x
截面C和B之间梁上无分布载荷,
剪力图为水平线.
5
截面B上有一集中力FRB,从B的左侧到B得右侧,建立了图发生突然变化, 变化的数值即等于FRB.故FRB右侧截面上的剪力为(-5+7)kN=2kN.
x1
等号右边积分的几何意义是x1 , x2两横截面间分布荷载图的面积.
dM ( x) dx
FS
(
x)
若横截面x= x1，x=x2 间无集中力偶作用则得
M ( x2 ) M ( x1 )
x2 x1
FS
(
x
)dx
等号右边积分的几何意义是 x1 , x2两个横截面间剪力图的面积.
例题3-4-1 一简支梁受两个力F作用,如图所示.已知 F= 25.3kN,
dFS ( x) q( x) dx
dM ( x) dx
FS
(
x)
（3）内力的极值点位置的判断 1）最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或
求支座反力的顺序；中间铰接处和刚接处剪力图和弯矩图的特点。
（4）根据梁的内力图反推梁的荷载图
内力图与荷载图的对应关系；微分关系的应用。
2.4（1）梁的荷载集度函数、剪力 函数和弯矩函数之间的微分关系
设梁上作用有任意分布荷载，
其集度 q = q (x) 规定 q (x)向上为正. 将 x 轴的坐标原点取在梁的左端. 假想地用坐标为 x 和 x+dx的两
算出截面C上的剪力为 (3-
24)kN=-5kN,即可确定这条
4m
斜直线（如图所示）. FS/kN 3
M=10kN·m C 2m
F=2kN FRB
B
D
2m
2
x
截面C和B之间梁上无分布载荷,
剪力图为水平线.
5
截面B上有一集中力FRB,从B的左侧到B得右侧,建立了图发生突然变化, 变化的数值即等于FRB.故FRB右侧截面上的剪力为(-5+7)kN=2kN.
x1
等号右边积分的几何意义是x1 , x2两横截面间分布荷载图的面积.
dM ( x) dx
FS
(
x)
若横截面x= x1，x=x2 间无集中力偶作用则得
M ( x2 ) M ( x1 )
x2 x1
FS
(
x
)dx
等号右边积分的几何意义是 x1 , x2两个横截面间剪力图的面积.
例题3-4-1 一简支梁受两个力F作用,如图所示.已知 F= 25.3kN,
dFS ( x) q( x) dx
dM ( x) dx
FS
(
x)
（3）内力的极值点位置的判断 1）最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或
材料力学第4章第5章
200
100
q 2 kN m
200
4m
100
qL2 8
竖放
max
M max WZ
M max WZ
qL2 82 bh 6
6MPa
横放
max
qL2 8 2 12MPa hb 6
例5-3：图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝ 32kN，梁的长度L＝2m。T形截面的形心坐标yc＝ 96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。 y 求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
B
F
Fa
纯弯曲：梁受力弯曲 后，如其横截面上只有弯 矩而无剪力，这种弯曲称 为纯弯曲。
F
AC段： 剪力弯曲 CB段： 纯弯曲 pure bending
实验现象：
F F
1、变形前互相平行的纵向
m n
m
n
直线、变形后变成弧线，且 凹边纤维缩短、凸边纤维伸 长。 2、变形前垂直于纵向线的 横向线,变形后仍为直线，且 仍与弯曲了的纵向线正交， 但两条横向线间相对转动了 一个角度。
d
y
M
M
中性轴
m
n o
dA
z
y
d
o
y
dx
m
dx
n
z
y
1）几何方程
2）物理方程
3）静力平衡方程
中性轴 z 是形心轴
纯弯曲梁横截面正应力公式 1）几何方程 2）物理方程 2）静力平衡方程 对应力公式的讨论
抗弯截面系数
M
M
中性轴
MZ:横截面上的弯矩
m
n o
dA
z
100
q 2 kN m
200
4m
100
qL2 8
竖放
max
M max WZ
M max WZ
qL2 82 bh 6
6MPa
横放
max
qL2 8 2 12MPa hb 6
例5-3：图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝ 32kN，梁的长度L＝2m。T形截面的形心坐标yc＝ 96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。 y 求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
B
F
Fa
纯弯曲：梁受力弯曲 后，如其横截面上只有弯 矩而无剪力，这种弯曲称 为纯弯曲。
F
AC段： 剪力弯曲 CB段： 纯弯曲 pure bending
实验现象：
F F
1、变形前互相平行的纵向
m n
m
n
直线、变形后变成弧线，且 凹边纤维缩短、凸边纤维伸 长。 2、变形前垂直于纵向线的 横向线,变形后仍为直线，且 仍与弯曲了的纵向线正交， 但两条横向线间相对转动了 一个角度。
d
y
M
M
中性轴
m
n o
dA
z
y
d
o
y
dx
m
dx
n
z
y
1）几何方程
2）物理方程
3）静力平衡方程
中性轴 z 是形心轴
纯弯曲梁横截面正应力公式 1）几何方程 2）物理方程 2）静力平衡方程 对应力公式的讨论
抗弯截面系数
M
M
中性轴
MZ:横截面上的弯矩
m
n o
dA
z
材料力学考研复习资料第4章弯曲内力
M eb l
发生在C截面右侧
思考：对称性与反对称性
FA
F
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
F/2
x
F/2
x
M
Fl/4
FA
Me
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
Me l
x
Me/2
M
Me/2
x
结论：
• 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称， 剪力图为反对称
• 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称， 剪力图为正对称
34
A1 2
34
Bx
内力
FS M
1—1 -P -Pa
2—2 2P -Pa
3—3 2P Pa
4—4 2P -2Pa
3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值= 集中力偶矩大小。
例 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷
载集度为q0，试求截面C上的内力。
1 FS1
M1 Fa ( 顺 )
截面2—2
Fy 0 FS2 FA F 0
F
C2 2 M2
FA 2 FS2
FS2 FA F 2F MC2 0 M2 F a 0
M 2 Fa ( 顺 )
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
截面3—3 F
C33 M3
1 8
ql
FSB左
1 ql 8
剪力方程为常数，剪力图为
水平线。
M图：
弯曲内力—单跨静定梁的内力图(材料力学课件)
FA
FB
ql 2
()
(2)列剪力方程和弯矩方程
FS (x)
FA
qx
1 2
ql
qx
(0< x l)
M (x)
FA x
1 2
qx 2
1 2
qlx
1 2
qx 2
(0 x l)
(3) 绘制剪力图和弯矩图
两端支座处： 梁跨中：
ql FSmax 2
M max
ql 2 8
q
A C
x
FA
l
1 ql
2
1 ql 2 8
剪力为常数，FS图为
平直线；弯矩为一次
FaFS图FS图(b) (b) 函数，M图为斜直线。
l
Fa
M图
l (c)
M图 (c)
集中力F处，剪力图 发生突变，弯矩图
有尖角。
单跨静定梁的内力图
2.单一荷载下静定梁的内力图
A
解：(1)求支座约束力
FA
由梁的整体平衡条件可求得：
M l
e
()
FA
(2)列剪力方程和弯矩方程
单跨静定梁的内力图
1. 剪力方程和弯矩方程 为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线变化的规律，以沿梁轴线的横坐标x表示梁横
截面的位置，以纵坐标表示相应横截面上的剪力或弯矩，按剪力方程和弯矩方程绘出 图形，这种图形分别称为剪力图和弯矩图，即梁的内力图。
剪力方程
FS FS (x)
正剪力画在x轴上方负 剪力画在x轴下方,并在
图中标明“ ”、x轴下方负 剪力画在x轴上方,并在
图中标明“ ”、“ ”。
单跨静定梁的内力图
2.单一荷载下静定梁的内力图
第4章 材料力学基础
I p d 3 Wt r 16
4 π π D I p (D4 d 4 ) (1 4 ) 32 32
（4-32）
3 Ip π π D Wt ( D4 d 4 ) (1 4 ) （4-33） r 16D 16
4.4 梁的弯曲
4.4.1 梁的弯曲内力
图4-12 剪切
4.2.2 挤压与挤压应力
图4-13 剪切与挤压
图4-14 挤压应力的分布
4.2.3 剪切与挤压的强度
1．剪切强度计算
由于受剪构件的变形及受力比较复 杂，剪切面上的应力分布规律很难用理 论方法确定，因而工程上一般采用实用 计算方法来计算受剪构件的应力。
在这种计算方法中，假设应力在剪 切面内是均匀分布的。 若以A表示销钉横截面面积，则应 力为 FQ （4-19）
图4-11 应力集中现象
4.2 剪切和挤压
4.2.1 剪切与剪应力
在工程实际中，经常遇到剪切和挤压 的问题。 剪切变形的主要受力特点是构件受到 与其轴线相垂直的大小相等、方向相反、 作用线相距很近的一对外力的作用，如图 4-12（a）所示。
构件的变形主要表现为沿着与外力 作用线平行的剪切面（ m-n面）发生相 对错动，如图4-12（b）所示。
第4章 材料力学基础
4.1
轴向拉伸与压缩
4.2
剪切和挤压
4.3
圆轴扭转
4.4
梁的弯曲
4.5
组合变形的强度计算
【学习目标】 1．掌握受拉压杆件的强度及变形量的计 算方法 2．理解剪切与挤压的特点和实用计算 3．理解受扭转杆件的应力特点
4．理解受纯弯曲梁的内力及应力特点， 掌握弯矩图的作法 5．理解组合变形的类型及特点，了解强 度理论的涵义及应用特点
4 π π D I p (D4 d 4 ) (1 4 ) 32 32
（4-32）
3 Ip π π D Wt ( D4 d 4 ) (1 4 ) （4-33） r 16D 16
4.4 梁的弯曲
4.4.1 梁的弯曲内力
图4-12 剪切
4.2.2 挤压与挤压应力
图4-13 剪切与挤压
图4-14 挤压应力的分布
4.2.3 剪切与挤压的强度
1．剪切强度计算
由于受剪构件的变形及受力比较复 杂，剪切面上的应力分布规律很难用理 论方法确定，因而工程上一般采用实用 计算方法来计算受剪构件的应力。
在这种计算方法中，假设应力在剪 切面内是均匀分布的。 若以A表示销钉横截面面积，则应 力为 FQ （4-19）
图4-11 应力集中现象
4.2 剪切和挤压
4.2.1 剪切与剪应力
在工程实际中，经常遇到剪切和挤压 的问题。 剪切变形的主要受力特点是构件受到 与其轴线相垂直的大小相等、方向相反、 作用线相距很近的一对外力的作用，如图 4-12（a）所示。
构件的变形主要表现为沿着与外力 作用线平行的剪切面（ m-n面）发生相 对错动，如图4-12（b）所示。
第4章 材料力学基础
4.1
轴向拉伸与压缩
4.2
剪切和挤压
4.3
圆轴扭转
4.4
梁的弯曲
4.5
组合变形的强度计算
【学习目标】 1．掌握受拉压杆件的强度及变形量的计 算方法 2．理解剪切与挤压的特点和实用计算 3．理解受扭转杆件的应力特点
4．理解受纯弯曲梁的内力及应力特点， 掌握弯矩图的作法 5．理解组合变形的类型及特点，了解强 度理论的涵义及应用特点
建筑力学之材料力学第4章(华南理工)
简支梁两种常见的典型情况: ⑴ 跨间作用集中力 内力在全梁范围内不能 用一个统一的函数来表达, 必须以F的作用点C为界分段 来列内力表达式, 即需分段画 出内力图。 支座反力: FRA = b F , FRB = a F 剪力图:
l
l
AC段: FS ( x1 )=FRA = b F l a CB段: FS ( x2 )= - FRB = - F l x1 =0, M A =0 弯矩图: x =a , M = ab F C l AC段: M ( x1 )=FRA x1 = b Fx1 1 x2 =a, M C = ab F l l a F (l - x ) CB段: M ( x2 )=FRB (l - x2 )= 2 x2 =l , M B =0 l
M1 =14kN 1m 3kN 3=5kN m
得正值表示实际内力方向与原假定的方向相同。
例4-3 求图示梁截面1-1、2-2上的剪力和弯矩。
FRA =14kN( ) FRB =9kN( )
FRA
FRB
⑵ 求2-2截面上的内力：
M2
F =0,
y
FS2
FRB FS2 =0
校核: ∑Fy=0, FRA+FRB−R=0
1 q l 1 q l 1 q l =0 3 0 6 0 2 0
正确无误!
§4-3 梁的内力及其求法
m
a
FRA
m
M
FS
F =0, F F =0, F =F M =0, M F a =0, M =F
y RA S S RA O RA S
FRy
⑵ 可动铰支座 或
FRy
⑶ 固定支座
MA
第四章 材料力学概述
4.5 应力、应变及其相互关系
例题：两边固定的薄壁板，边变形后 ab 和 ad 两边保持
为直线a点沿垂直方向向下位移 0.025mm。试求 ab 边 的平均应变和ab， ad 两边夹角的切应变。
250
b
200
a d
0.025mm
a
4.5 应力、应变及其相互关系
250
b
200
a d
0.025mm
荷载未作用时 F 荷载去除后 荷载作用下
4.1 材料力学的研究内容
对构件在荷载作用下正常工作的要求: Ⅲ. 具有足够的稳定性要求——对于理想中心受压杆件，指构件 在荷载作用下保持原有的直线平衡形式的能力，不丧失稳定。
4.1 材料力学的研究内容 实际工程中
在满足上述强度、刚度和稳定性要求的同时，还 须尽可能合理选用材料和降低材料消耗量，以节约投 资，即解决安全与经济的矛盾。
要多小 有多小 p
k
A
4.5 应力、应变及其相互关系
单向应力：微体仅 在一对相互平行的 截面上承受正应力
纯剪切：微体仅 承受切应力
微体两种最基本的受力形式
4.5 应力、应变及其相互关系
M
y
0
dxdy dz 'dydz dx 0
面积
力
面积
力
'
拉 压 实 验 表 明
在弹性范围内，有变形 x 与外 力 F 成正比的弹性定律。
它是由英国力学家胡克（Robert Hooke, 1635-1703) 于1678年发现的，被称作胡克定律。 推广
4.5 应力、应变及其相互关系
单 向 应 力 实 验 表 明
应力与应变也有的类似关系，即 应力与应变成比例关系，也被叫 做 Hooke’s law。 弹性范围内，正应力与正应 变成正比： 引入比例常数E，于是可得：
静定单跨梁的内力概念
静定单跨梁的内力概念静定单跨梁（又称静定桁梁）是一种常见的结构形式，由一根或多根梁组成，支承在两个固定支点上，且受到平行于梁轴方向的外力和力矩作用。
在力学中，我们可以通过对静定单跨梁的分析，来研究梁的内力分布情况。
梁的内力是指梁内部各部分由于受到外界力的作用而产生的内部力，包括弯矩、剪力和轴力三种。
首先，我们来看梁的弯矩。
弯矩是梁内部由于受到外界力矩作用而产生的一种内力。
在静定单跨梁中，由于梁受到外部力和力矩的作用，梁的两端将会发生弯曲。
在梁的截面上，由于上下两侧产生的应力不均匀，会形成一对相等且反向的内力，即弯矩。
在梁的上部，由于负弯矩的存在，上侧受到压应力，下侧受到拉应力。
而在梁的下部，由于正弯矩的存在，上侧受到拉应力，下侧受到压应力。
在静定单跨梁中，我们可以通过梁的受力平衡以及材料力学的基本公式来计算梁在不同截面上的弯矩分布情况。
接下来，我们来看梁的剪力。
剪力是梁内部由于受到外界平行于梁轴方向的力作用而产生的一种内力。
在静定单跨梁中，当梁受到外部力作用时，由于梁的上部和下部受力不一致，会形成一对相等且反向的内力，即剪力。
在梁的截面上，剪力主要通过梁材的剪切应力传递。
根据梁的受力平衡以及材料力学的基本公式，我们可以计算梁在不同截面上的剪力分布情况。
最后，我们来看梁的轴力。
轴力是指梁内部由于受到外界沿梁轴方向的力作用而产生的一种内力。
在静定单跨梁中，当梁受到外部力作用时，由于梁的上部和下部受力不一致，会形成一对相等且反向的内力，即轴力。
在梁的截面上，轴力主要通过梁材的拉应力和压应力传递。
根据梁的受力平衡以及材料力学的基本公式，我们可以计算梁在不同截面上的轴力分布情况。
总结起来，静定单跨梁的内力包括弯矩、剪力和轴力三种。
弯矩是由于梁的外部力矩作用而产生的一种内力；剪力是由于梁的外部力作用而产生的一种内力；轴力是由于梁的外部力作用而产生的一种内力。
通过对梁的受力平衡以及材料力学的基本公式的分析，我们可以计算出梁在不同截面上的内力分布情况。
材料力学图文 (4)
a FS2 FBy l F
0x2 b
(c)
M
2
FBy
x2
bF l
x2
0x2 a
(d)
第4章 弯曲内力
（3）画剪力、弯矩图。根据式(a)、(c)画剪力图（见图
4－11(d)）；根据式(b)、(d)画弯矩图（见图4－11
(e)）。由图可看出，横截面C处的弯矩最大，其值为
M
m
a
x
ab l
F
如果a>b，则CB段的剪力绝对值最大，其值为
3 4
qa,
FB
5 4
qa
第4章 弯曲内力
（2） 计算各指定截面的内力。 对于截面5－5，取该截
面右侧部分为研究对象， 其余各截面均取相应截面左侧部
分为研究对象。 根据静平衡方程可求得:
1－1截面：
FS1
FA
3 4
qa;
M1 FA0
（因为1－1截面从右端无限接近支座A，即Δ→0，以下同样理解。）
2－2截面：
4
如图 4-13c 所示。
第4章 弯曲内力
第4章 弯曲内力
4.1 引言 4.2 梁的计算简图 4.3 弯曲内力及内力图 4.4 剪力、 弯矩与载荷集度间的微分关系 4.5 平面刚架与曲杆的内力
第4章 弯曲内力
4.1 引 言
图 4－1
第4章 弯曲内力
图 4－2
第4章 弯曲内力
图 4－3
第4章 弯曲内力
一般来说， 当杆件承受垂直于轴线的外力， 或在其轴 线平面内作用有外力偶时， 杆的轴线将由直线变为曲线。 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲。 以弯曲为主 要变形的杆件称为梁。
中载荷F的作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
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FAy 2. 用截面法研究内力 FSE ME FAy
FBy 3a Fa 2F a F 5F FBy FAy 3 3 F 5F Fy 0 2 F FSE 3 FSE 3 a 5 F 3a M 0 2 F M O E 2 3 2 3 Fa ME 2
FRx
固定铰支座
FRy
可动铰支座 固定支座
FRy
M
FRx FRy
§4-2
梁的荷载和支座反力
目录
§4-2 梁的荷载和支座反力
火车轮轴简化
§4-2 梁的荷载和支座反力
§4-2 梁的荷载和支座反力
钢筋混凝土柱：插入基础部分较深，柱下被钳固的很牢， 不能发生转动和移动——固定支座 楼板梁：嵌入长度较浅， 钳固不牢，可能发生微小 转动——固定铰支座
§4-3
梁的内力及其求法
M
F
FN
x
0
FN 0
FAy FN M
FS
F 0 M 0
y c
FS FAy F1
M FAy x F1 ( x a)
FS剪力，平行于
横截面的内力合力
M 弯矩，垂直于
FBy 横截面的内力系的 合力偶矩
FS
§4-3
M FS
梁的内力及其求法
第四章
梁的内力
§4-1
起重机大梁
工程中的弯曲问题
§4-1
起重机大梁
工程中的弯曲问题
§4-1
车削工件
工程中的弯曲问题
§4-1
车削工件
工程中的弯曲问题
§4-1
火车轮轴
工程中的弯曲问题
§4-1
火车轮轴
工程中的弯曲问题
§4-1
弯曲特点
工程中的弯曲问题
力与轴线垂直，直线变曲线
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
F
y
0,
FS1 F aq 0
FS1 5kN 2 4kN / m 0
FS1 13kN
§4-3
例4-4 一悬臂梁， 其尺寸及梁上荷 载如图所示。试 求截面1-1上的剪 力和弯矩。
梁的内力及其求法
a MO 0, M1 Fa aq 2 0 2m M1 5kN 2m 2m 4kN / m 0 2 M1 18kN m 负号表示与假定方向相反
（1）具有纵向对称面； 平面弯曲 （2）外力都作用在此平 面内； （3）弯曲变形后轴线变 成对称面内的平面曲线
对称弯曲 平面弯曲: 弯曲变形后的轴线为平面曲线, 且该
平面曲线仍与外力共面。
§4-1
工程中的弯曲问题
常见弯曲构件截面
§4-2
梁的荷载与支座
梁的荷载和支座反力
•集中力（载荷） •分布荷载 •集中力偶
FBy
目录
M
A
0
§4-3
FSE O FAy
梁的内力及其求法
FBy F 5F FAy 3 3
ME 分析右段得到：
FBy
O
F FSE FBy 3 3a M o 0 M E FBy 2 Fa 3 Fa ME 2
目录
ME FSE
F
y
0
FSE FBy 0
1 l MA 0, FRB l 2 q 0l 3 0 1 FRB q 0 l 6
§4-2 梁的荷载和支座反力
例4-2承受三角形分布荷载的简支梁如图所示，试求该 梁支座反力。
1 2l MB 0, FRA l 2 q 0l 3 0 1 FRA q 0l 3 1 1 1 1 校核： FRA FRB q 0 l q 0 l q 0 l q 0 l 0 2 3 6 2 反力无误。
校核：
F
y
0,
FRAy FRDy 4q 9kN 15kN 4 6kN / m 0
反力无误。
§4-2 梁的荷载和支座反力
例4-2承受三角形分布荷载的简支梁如图所示，试求该 梁支座反力。
解：将三角形分布荷载用合力来代替，合力值为 1/2q0l(即三角形的面积），合力的位置如图中所示。 考虑梁的平衡：
FBy
§4-3
梁的内力及其求法
F FBy 3 5F FAy 3
FAy FSE FAy 2F FSE
FBy 截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
5F F FSE 2F 3 3
目录
§4-3
梁的内力及其求法
F FBy 3 5F FAy 3
FAy
FBy
ME
FAy 2F ME
FRAx 4q
FRBy FRAx=0 解：因无水平荷载，
FRDy
将分布荷载用合力来代替，合力位于CD中点处，其值为4q。
MA 0, 考虑梁的平衡：
Me 4q (2 1 1)m FRDy (4 1 1)m 0
6kN m 4 6 kN m (2 1 1)m FRDy (4 1 1)m 0
FN FN M FS
FAy
FBy
截面上的剪力对所选梁 段上任意一点的矩为顺时针 转向时，剪力为正；反之为 负。 截面上的弯矩 使得梁呈凹形为正； 反之为负。
+
_
左上右下为正；反之为负
+
目录
_
左顺右逆为正；反之为负
§4-3
梁的内力及其求法
例题 解： 1. 确定支反力 Fy 0 FAy FBy 2F
§4-2 梁的荷载和支座反力
吊车大梁简化
均匀分布荷载 简称均布荷载
目录
§4-2 梁的荷载和支座反力
非均匀分布载荷
§4-2 梁的荷载和支座反力
静定梁的基本形式
FAx FAy FAx FBy
简支梁
外伸梁
FAy
FBy
FAx MA FAy
悬臂梁
§4-2 梁的荷载和支座反力
例4-1简支梁受力如图，试求该梁支座反力。
FRDy 15kN
符号为正，说明方向向上
§4-2 梁的荷载和支座反力
FRAy (4 1 1)m Me 4q 2m 0
FRAy (4 1 1)m 6kN m 4 6 kN m 2m 0
M
D
0,
FRAy 9kN 符号为正，说明方向向上
截面上的弯矩等于截面任 一侧外力对截面形心力矩的代 数和。
a 5 F 3a 3 2F ME Fa 2 2 3 2
目录
§4-3
例4-4 一悬臂梁， 其尺寸及梁上荷 载如图所示。试 求截面1-1上的剪 力和弯矩。
梁的内力及其求法
解：为避免求左端固定支座反力， 取右段脱离体。分布荷载用合力 代替。