概率的一般加法公式

个产品中有93个产品长度合格 例6. 100个产品中有 个产品长度合格， 个产品中有 个产品长度合格， 90个产品重量合格，其中长度、重量都合 个产品重量合格， 个产品重量合格 其中长度、 格的有85个 现从中任取一产品， 格的有 个。现从中任取一产品，记 A=“产品长度合格”，B=“产品重量合 产品长度合格” 产品长度合格 产品重量合 求产品的长度、 格”，求产品的长度、重量至少有一个合 格的概率。 格的概率。
中基本事件的总数
P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B). ∪ －
一个电路板上装有甲、一两根熔丝， 例2. 一个电路板上装有甲、一两根熔丝， 甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为 甲熔断的概率为 ， 0.74，两根同时熔断的概率为 ，两根同时熔断的概率为0.63，问至 ， 少有一根熔断的概率是多少？ 少有一根熔断的概率是多少？ 甲熔丝熔断” 解：设A=“甲熔丝熔断”，B=“乙熔丝熔 甲熔丝熔断 乙熔丝熔 乙两个熔丝至少一根熔断” 断”，则“甲、乙两个熔丝至少一根熔断” 为事件A∪ 为事件 ∪B. P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B) ∪ － =0.85+0.74－0.63 － =0.96.
的整数中任取一个数， 例3. 从1~100的整数中任取一个数，试求 的整数中任取一个数 取到的数能被5或 整除的概率 整除的概率。 取到的数能被 或9整除的概率。 取到的整数能被5整除 解：设A={取到的整数能被 整除 ，B={取 取到的整数能被 整除}， 取 到的整数能被9整除 整除}。 到的整数能被 整除 。 A中含有 个基本事件；B中含有 个基 中含有20个基本事件 中含有11个基 中含有 个基本事件； 中含有 本事件； 含有2个基本事件 本事件； A∩B含有 个基本事件。 含有 个基本事件。 P(取到的整数能被 或9整除 取到的整数能被5或 整除 整除) 取到的整数能被 =P(A)+P(B)－P(A∩B) －
P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B) ∪ －
练习题：（古典概型） 练习题：（古典概型） ：（古典概型 1.一枚硬币连掷 次，只有一次出现正面 一枚硬币连掷3次 一枚硬币连掷 的概率是（ 的概率是（ A ）
3 A. 8 1 C. 3
2 B. 3 1 D. 4
2.从分别写有 、B、C、D、E的5张卡片 从分别写有A、 、 、 、 的 张卡片 从分别写有 中，任取2张，这2张卡片上的字母恰好是 任取 张 张卡片上的字母恰好是 按字母顺序相邻的概率为( B ) 按字母顺序相邻的概率为
A A∩B B
在本例中， 在本例中，A∩B为{(4，4)，(4，5)，(4， 为 ， ， ， ， ， 6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，4), ， ， ， ， ， ， ， ， (6，5)，(6，6)}. ， ， ， 解：作点集 ={(x， ={(x，y)| x∈N, ∈ y∈N, 1≤x≤6, ∈ 1≤y≤6}.
D. 1
5.从全体 位正整数中任取一数，则此数 从全体3位正整数中任取一数 从全体 位正整数中任取一数， 为底的对数也是正整数的概率为( 以2为底的对数也是正整数的概率为 B ) 为底的对数也是正整数的概率为
1 A. 225 1 C. 450 1 B. 300
D.以上全不对 以上全不对
6.在20瓶墨水中，有5瓶已经变质不能使 在 瓶墨水中， 瓶已经变质不能使 瓶墨水中 瓶墨水中任意选出1瓶 用，从这20瓶墨水中任意选出 瓶，取出 从这 瓶墨水中任意选出
5 1）2个数字都是奇数的概率为 个数字都是奇数的概率为______； （1）2个数字都是奇数的概率为______； 18 4 个数字之和为偶数的概率为_____. （2）2个数字之和为偶数的概率为 ） 个数字之和为偶数的概率为 9
9.连续掷 枚硬币，观察落地后这 枚硬币 连续掷3枚硬币 观察落地后这3枚硬币 连续掷 枚硬币， 出现正面还是反面. 出现正面还是反面 （1）写出这个试验的基本事件空间； ）写出这个试验的基本事件空间； （2）求这个试验的基本事件的总数； ）求这个试验的基本事件的总数； （3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含 ） 恰有两枚正面向上” 哪几个基本事件? 哪几个基本事件 解：（1）这个试验的基本事件空间 ：（ ） ={(正,正,正)，(正,正,反)，(正,反,正)， 正正正 ， 正正反 ， 正反正 ， (正,反,反)，(反,正,正)，(反,正,反)，(反,反, 正反反 ， 反正正 ， 反正反 ， 反反 正)，(反,反,反)}； ， 反反反 ；
4
4
计算P(A∩B)，记x为甲跑的棒数，y为乙 ， 为甲跑的棒数， 计算 为甲跑的棒数 为乙 跑的棒数，记为(x， ， 跑的棒数，记为 ，y)， 则共有可能结果12种 则共有可能结果 种：(1, 2)，(1, 3)，(1, ， ， 4)，(2, 1)，(2, 3)，(2, 4)，(3, 1)，(3, 2)， ， ， ， ， ， ， (3, 4)，(4, 1)，(4, 2)，(4, 3)， ， ， ， ，
1 的墨水是变质墨水的概率为_________. 的墨水是变质墨水的概率为 4
7.从1，2，3，4，5五个数字中，任意有放 从 ， ， ， ， 五个数字中 五个数字中， 回地连续抽取三个数字， 回地连续抽取三个数字，则三个数字完全
12 不同的概率是_________. 不同的概率是 25
8.从1，2，3，…，9 这9个数字中任取 个 从 ， ， ， 个数字中任取2个 个数字中任取 数字， 数字，
（2）基本事件的总数是 ）基本事件的总数是8. （3）“恰有两枚正面向上”包含以下 个 ） 恰有两枚正面向上”包含以下3个 基本事件： 正 基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)， ，正 ， (反，正，正). 反
10.甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个 甲 乙两个均匀的正方体玩具， 面上分别刻有1， ， ， ， ， 六个数 面上分别刻有 ，2，3，4，5，6六个数 将这两个玩具同时掷一次. 字，将这两个玩具同时掷一次 （1）若甲上的数字为十位数，乙上的数 ）若甲上的数字为十位数， 字为个位数， 字为个位数，问可以组成多少个不同的 数，其中个位数字与十位数字均相同的 数字的概率是多少? 数字的概率是多少 （2）两个玩具的数字之和共有多少种不 ） 同结果?其中数字之和为 其中数字之和为12的有多少种情 同结果 其中数字之和为 的有多少种情 数字之和为6的共有多少种情况 况?数字之和为 的共有多少种情况 分别 数字之和为 的共有多少种情况?分别 计算这两种情况的概率. 计算这两种情况的概率
20 + 11 2 29 = = 100 100
乙等四人参加4× 米接力赛 米接力赛， 例4. 甲、乙等四人参加 ×100米接力赛， 求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率。 求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率。 设事件A为 甲跑第一棒” 事件B 解：设事件 为“甲跑第一棒”，事件 乙跑第四棒” 为“乙跑第四棒”， 1 1 则P(A)= ，P(B)= 。
在概率的加法公式中，如果 ， 不是 在概率的加法公式中，如果A，B不是 互斥事件，那么公式是否成立？ 互斥事件，那么公式是否成立？ 来看下面的例子： 来看下面的例子： 掷红、蓝两颗骰子，事件A={红骰子 例1. 掷红、蓝两颗骰子，事件A={红骰子 的点数大于3}，事件B={蓝骰子的点数大 的点数大于 ，事件 蓝骰子的点数大 于3}，求事件 ∪B={至少有一颗骰子的 ，求事件A∪ 至少有一颗骰子的 点数大于3}发生的概率 发生的概率。 点数大于 发生的概率。
第 二 次 抛 掷 后 向 上 的 点 数
6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6
第一次抛掷后向上的点数
中的元素总个数=6× 中的元素总个数 ×6=36； ； A中的元素个数 中的元素个数=18； 中的元素个数 ； B中的元素个数 中的元素个数=18； 中的元素个数 ； A∪B中元素个数 ∪ 中元素个数 中元素个数=27； ； 27 3 所以P(A∪B)= —— = —— 所以 ∪ 36 4 在本例中，因为A∩B≠○， 在本例中，因为 ○ 所以P(A∪B) ≠P(A)+P(B). ∪ 所以
显然， 与 不是互斥事件 不是互斥事件， 显然，A与B不是互斥事件，我们把事 和事件B同时发生所构成的事件 件A和事件 同时发生所构成的事件 ， 和事件 同时发生所构成的事件D， 称为事件A与事件 与事件B的 或 ， 称为事件 与事件 的交(或积)，记作 D=A∩B(或D=AB) 或 事件A∩B是由事件 和B所共同含有的 是由事件A和 所共同含有的 事件 是由事件 基本事件组成的集合。 基本事件组成的集合。如图中阴影部分 就是表示A∩B. 就是表示
1 A. 5 3 C. 10 2 B. 5 7 D. 10
3.在第 、3、4、5、8路公共汽车都要停靠 在第1、 、 、 、 路公共汽车都要停靠 在第 的一个站（ 的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽 车），有一位乘客等候第 路或第 路汽车 ），有一位乘客等候第4路或第 路汽车. 有一位乘客等候第 路或第8路汽车 假定当时各路汽车首先到站的可能性相等， 假定当时各路汽车首先到站的可能性相等， 则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车 的概率等于( 的概率等于
而甲跑第一棒， 而甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种可能
1 (1, 4)，故P(A∩B)= ， 12
所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为： 所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为： P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B) ∪ － 1 1 1 5 = + = 4 4 12 12
一个旅行社有30名翻译 例5.一个旅行社有 名翻译，其中英语 一个旅行社有 名翻译， 翻译12名 日语翻译10名 翻译 名，日语翻译 名，既会英语又 会日语的有3名 会日语的有 名，其余的人是其他语种的 翻译。 从中任意选出一名去带旅行团， 翻译。 从中任意选出一名去带旅行团， 求以下事件的概率： 求以下事件的概率： 2 （1）是英语翻译； —— 1 ）是英语翻译； 5 —— （2）是日语翻译； ）是日语翻译； 3 1 —— ；（4） （3）既是英语翻译又是日语翻译；（ ） ）既是英语翻译又是日语翻译；（ 10 19 是英语翻译或是日语翻译。 是英语翻译或是日语翻译。 一 般加法公式。 般加法公式。 设A，B是 的两个事件，容易看出 ， 是 的两个事件， A∪B中基本事件的个数等于 中基本事 中基本事件的个数等于A中基本事 ∪ 中基本事件的个数等于 件的个数加上B中基本事件的个数减去 件的个数加上 中基本事件的个数减去 A∩B中基本事件的个数。所以 中基本事件的个数。 中基本事件的个数 A∪B中基本事件的个数 中基本事件的个 ∪ 中基本事件的 P(A∪B)= ———————————— ∪ Ω中基本事件的总数 A中基本事件的个数 中基本事件的个数－A∩B中基本事件的个数 中基本事件的个数+B中基本事件的个数 中基本事件的个数 中基本事件的个数－ 中基本事件的个数 = ——————————————————
1 A. 2 2 B. 3
) D
3 C. 5 2 D. 5
4.某小组共有 名学生，其中女生 名， 某小组共有10名学生 其中女生3名 某小组共有 名学生， 现选举2名代表，至少有 名女生当选的 现选举 名代表，至少有1名女生当选的 名代表 概率为( B ) 概率为
7 A. 15 3 C. 5 8 B. 15
显然， 与 不是互斥事件 不是互斥事件， 显然，A与B不是互斥事件，我们把事 和事件B同时发生所构成的事件 件A和事件 同时发生所构成的事件 ， 和事件 同时发生所构成的事件D， 称为事件A与事件 与事件B的 或 ， 称为事件 与事件 的交(或积)，记作 D=A∩B(或D=AB) 或 事件A∩B是由事件 和B所共同含有的 是由事件A和 所共同含有的 事件 是由事件 基本事件组成的集合。 基本事件组成的集合。如图中阴影部分 就是表示A∩B. 就是表示