第一章 概率论的基本概念

第一章 概率论的基本概念

一、随机事件其运算

1．随机试验、样本点和样本空间

(1)随机试验

随机试验具有如下特点的试验．

1、在相同的条件下，试验可以重复进行．

2、试验的所有可能结果是预先知道的，并且不止一个．

3、每一次试验出现那一个结果事先不能确定． (2)样本点和样本空间

随机试验的每一个可能的(不可分解的)结果，称为这个随机试验的一个样本点，记为ω．

随机试验的所有样本点组成的集合，称为这个随机试验的样本空间，记为． Ω2．随机事件、基本事件、必然事件和不可能事件

在随机试验中，可能发生也可能不发生的事情称为该试验的随机事件，记为A ,B 等． 随机试验的随机事件可以表示为它的一些样本点组成的集合．在一次试验中，若试验结果是随机事件A 中的一个样本点，则称在一次试验中事件A 发生． 只包含一个样本点的事件称为基本事件． 在任何一次试验中都发生的事件，称为必然事件，它就是Ω所表示的事件，因而用Ω表示必然事件．

在任何一次试验中都不发生的事件，称为不可能事件，它就是由φ所表示的事件，因而用φ表示不可能事件．

3．事件之间的关系和运算 (1)包含关系

设A ,B 为二事件，若A 发生必导致B 发生，则称事件A 包含于事件B ，或事件B 包含事件A ，记为B A ⊂．B A ⊂⇔A ∈∀ω必有B ∈ω，见图1—1． (2)相等关系

设A ,B 为二事件，若B A ⊂并且A B ⊂，则称A 与B 相等，记为B A =，见图1—2．

(3)事件的并

设A ,B 为二事件，

称事件“A ,B 至少一个发生(A 发生或B 发生)”为A ,B 的并(或和)，记为．B A ∪B A ∪}|{B A ∈∈=ωωω或．见图1—3．

(4)事件的交

设A ,B 为二事件，称事件“A ,B 同时发生(A 发生且B 发生)”为A ,B 的交(或积)．记为或B A ∩AB ．AB }|{B A ∈∈=ωωω且．见图1—4． (5)事件的差

设A ,B 为二事件，

称事件“A 发生且B 不发生”为A 减去B 的差，记为B A −．B A − }|{B A ∉∈=ωωω且．见图1—5．

(6)互不相容关系

设A ,B 为二事件，若A ,B 不能同时发生，称A ,B 互不相容或互斥，记为AB φ=． A ,B 互不相容⇔AB φ=，见图1—6． (7)对立事件

设A 为一事件，称事件“A 不发生”为A 的余事件或A 的对立事件，记为

A ．A =A −Ω，即φ=Ω=+A A A A ，，见图1—7．

(8)完备事件组 构成完备事件组，若

,,,,21n H H H )( 21j i H H H H H j i n ≠=Ω=++++φ， ．

换句话说，如果有限个或可数个事件两两不相容，并且“所有事件的和”是必然事件，则称它们构成完备事件组． ,,,,21n H H H 4．事件的运算法则

对于任意事件，，有

C B A ,, ,,,,21n A A A (1) 交换律 A B B A A B B A ∩∩∪∪==，．

(2) 结合律 C B A C B A ∪∪∪∪)()(=；C B A C B A ∩∩∩∩)()(=．

(3) 分配律 ；)()()(C A B A C B A ∩∪∩∪∩=)()()(C A B A C B A ∪∩∪∩∪=．

() ∪∩∪ ∪∩ ∪∪ ∪∩)()(11n n A A A A A A A =． (4) 对偶律 ，；B A B A B A B A ∪∩∩∪==

∩∩ ∩ ∪∪ ∪n n A A 11=； ∪∪ ∪ ∩∩ ∩n n A A 11=．

下列关系和运算要熟记：

Ω⊂⊂A φ；；B A B A B A ∪∩⊂⊂)(或B B A A B A B A ==⇒⊂∪∩且；

A B A ⊂−；φ=−⇒⊂B A B A ；φφ=A ∩；A A =∪φ；φ=Ω；Ω=φ；

A B B A ⊂⇒⊂；AB A B A B A −==−∩；)(A B A B A ∪∪=．

【例1】写出下列随机试验的样本空间： (1)从袋中任取3个球，记录取球的结果．

(2)从袋中不放回地接连取出3个球，记录取球的结果． (3)从袋中有放回地接连取出3个球，记录取球的结果．

(4)从袋中不放回地一个一个地取球，直到取得白球为止录取球的结果．

【例2】今有3个球、4个盒子．写出下列随机试验的样本空间：

(1)将3个球任意地放入4个盒子中去、每个盒子放入的球数不限，记录放球的结果． (2)将3个球放入4个盒子中去，每个盒子至多放入1个球，记录放球的结果．

【例3】写出下列随机试验的样本空间： (1)在上任取一点，记录其坐标． )1,0((2)将一尺之捶折成三段，记录三段的长度 (3)在上任取三点，记录三点的坐标．

)1,0(

【例4】写出下列随机试验的样本空间，用样本点的集合表示所述事件，并讨论它们之间的相互关系．

(1)袋中有3个白球和2个黑球，从其中任取2个球，令A 表示 “取出的全是白球”，B 表示“取出的全是黑球”，表示“取出的球颜色相同”， (C i A 2,1=i )表示“取出的2个球中恰有i 个白球”

，表示“取出的2个球中至少有1个白球”． D (2)袋中有2个正品和2个次品，从袋中有放回地接连抽取产品3次，每次任取1件，令 ()表示“第次取出的是正品”，i A 3,2,1=i i B 表示“3次都取得正品”． (3)从l，2，3，4这4个数字中，任取—数，取后放回，然后再任取一数．先后取了3

次，令A 表示“3次取出的数不超过3”

，B 表示“3次取出的数不超过2”，表示“3次取出的数的最大者为3”．

C (4)将3个球任意地放入4个盒子中去，令A 表示“恰有3个盒子中各有1球”，B 表示“至少有2个球放入同1个盒子中”．

【例5】设为3事件，试用表示下列事件： C B A ,,C B A ,,(1)至少有1个发生． C B A ,, (2)都不发生．

C B A ,,(3)不都发生．

C B A ,,(4)不多于1个发生． C B A ,,

【例6】什么样的事件X 满足下列等式： (1)B A X A X =)()(∪∪∪． (2)．

B A X A ∪∪=(3)． )()(

C B C A X AB ∪∩∪∪=