2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算

用方程思想求向量坐标 已知a＋b＝ (2,-8),a－b＝ (－8,16),求a和b. 分析：设a＝(m，n)，b＝(p，q)，则问题就可转化 为方程思想解决．
解析：解法一：设a＝(m，n)，b＝(p，q)，则
n＋q＝－8 m－p＝－8 n－q＝16
m＋p＝2
n＝4 ，解得 p＝5 q＝－12
二、向量的坐标运算 1．两个向量和差的坐标运算 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________； a－b＝________. 2．数乘向量和坐标运算
若a＝(x，y)，则λa＝__________.
3．向量AB 的坐标表示 若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB ＝______.即一个向 量的坐标等于表示此向量的有向线段的______． 1.(x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) 2.(λx，λy) 3．(x2－x1，y2－y1) 终点的坐标减去始点的坐标
点评：(1)实数与向量的积的坐标等于这个实数乘 原来向量的相应坐标． (2)两个向量的和(差)的坐标分别等于这两个向量 相应坐标的和(差)
跟踪训练
1．已知 a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求： 1 3 (1)2a＋3b； (2)a－3b； (3) a－ b. 2 2
解析：(1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1) ＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7)； (2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1) ＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1)； 1 3 1 3 (3) a－ b＝ (－1，2)－ (2，1) 2 2 2 2 －1，1－3，3＝－7，－1. ＝ 2 2 2 2
一级训练 → 1．若AB＝(2，3)，且点A的坐标为(1,2)，则点B的坐标为( A．(1,1) C.(3，5) B.(－1，1) D.(4，4)
C
)
2．已知a＝(5，－3)， b＝(1，－5)，则2a－b等于( A.(－9，1) C．(9，－1 ) B.(－9，－1) D.(9，1)
C
)
1．要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的始 点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
→ → → 1，3)，AC＝(2，4)，AD＝(－3，5)， 解析：AB＝( → → BD＝(－4，2)，CD＝(－5，1). → → → AD＋BD＋CD＝(－3，5)＋(－4，2)＋(－5，1) ＝(－12，8). 根据平面向量的基本定理，一定存在实数m，n → → → → → 使得 AD＋BD＋CD＝m· ＋n· ， AB AC 即(－12，8)＝(m＋2n，3m＋4n)， m＋2n＝－12 m＝32 可得 ，解得 . 3m＋4n＝8 n＝－22 → → → → → 所以AD＋BD＋CD＝32AB－22AC.
解析：设c＝xa＋yb，则有 (－6，19)＝x(2，1)＋y(－3，4) ＝(2x－3y，x＋4y)，
2x－3y＝－6 x＝3 ∴ ，解得 . x＋4y＝19 y＝4
∴c＝3a＋4b.
平面向量的坐标表示
已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)和 → → → → → (－2，3).以AB，AC为一组基底来表示AD＋BD＋CD. D
自测自评 1．若向量(x，y)＝0，则必有( B ) A．x＝0或y＝0 B．x＝0且y＝0
C．xy＝0
D．x＋y＝0
1→ → → (－2，4)，MB＝(2，6)，则2AB＝( 2．已知MA＝ A．(0,5) B．(0,1) C．(2,5) D．(2,1)
D )
3．已知a＝(3,－1)，b＝(－1,2)，c＝2a＋b 则c＝( B ) A. (6,－2) C. (－5,0) B.(5,0) D.(0,5)
4．若点A (－2,1) ，B(1,3)，则
(－3,－2) ＝_________.
5．若向量a＝ (2,3) ，b＝ (－1,2) ，则向量a－2b的坐 (4,－1) 标是___________．
平面向量的坐标运算 已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求a＋b，
a－b，3a＋4b.
分析：利用向量的坐标运算法则． 解析：a＋b＝(2，1)＋(－3，4)＝(－1，5)， a－b＝(2，1)－(－3，4)＝(5，－3)， 3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4) ＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19).
4.终点A的坐标 向量 OA 的坐标
思考应用 1．点的坐标和向量的坐标有什么区别和联系？ 解析：(1)点的坐标是反映点的位置，它由点的位 置决定，向量的坐标反映的是向量的大小和方向，其 仅仅由大小和方向决定，与位置无关； (2)向量的坐标等于其终点坐标减去其起点坐标， 当向量起点在原点时，向量的终点坐标就等于向量的 坐标．
3．几个特殊向量的坐标表示
i＝________，j＝________，0=________.
4．以原点O为起点作向量 OA，设 OA ＝xi＋yj，则 向量OA 的坐标(x，y)，就是________；反过来，终点A的 坐标(x，y)也就是________． 3．(1,0) (0,1) (0,0)
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 导 学
典 例 精 析
课 堂 导 练
课 堂 小 结
1．理解向量的坐标表示． 2．掌握向量的有关坐标运算：两坐标的和、两坐 标的差、数乘向量坐标和向量 AB的坐标运算．
分析：本题主要是考查向量的坐标表示、向量的 坐标运算、平面向量基本定理以及待定系数法等知识， 求解时首先由点A、B、C、D的坐标求得向量 → → → → → 等的坐标，然后根据平面 AB、AC、AD、BD、CD → → → → → 向量基本定理得到等式 AD＋BD＋CD＝m· ＋n· ， AB AC 再列出关于m、n的方程组，进而解方程求出所表示的 系数．
→ → → 量 AB、BC、AC 的坐标，进而利用向量的数乘、加、
减的坐标运算，问题就可得解．
→ → (－2，10)，BC＝(－8，4)， 解析：AB＝ → AC＝(－10，14). 1 → 1→ ∴AB＋ BC＝(－2，10)＋ (－8，4) 2 2 ＝(－2，10)＋(－4，2)＝(－6，12)； → → BC－2AC＝(－8，4)－2(－10，14) ＝(－8，4)－(－20，28)＝(12，－24).
点评：设出所求点的坐标，利用向量相等或向量 共线列方程组求解，利用方程的思想求解向量中未知 的点的坐标，是一种最基本的方法．
跟踪训练 4.已知平面上三点的坐标分别为A(1,2)，B(3，－1)， C(5,6)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形ABCD的四 个顶点．
解析：设D(x，y)，则 → BA＝(1，2)－(3，－1)＝(－2，3)， → CD＝(x，y)－(5，6)＝(x－5，y－6). → → ∵BA＝CD， x－5＝－2 x＝3 ∴ ，解得 . y－6＝3 y＝9 ∴D(3，9).
平面向量坐标在几何中的应用 已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，
B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边
形ABCD的四个顶点．
分析：根据平行四边形对边平行且相等， → → → → 即有BA＝CD，AD＝BC.
解析：设D(x，y)，则 → BA＝(－2，1)－(－1，3)＝(－1，－2)， → CD＝(x，y)－(3，4)＝(x－3，y－4). → → ∵BA＝CD x－3＝－1 x＝2 ∴ ，解得 . y－4＝－2 y＝2 ∴D(2，2).
2．向量的加法、减法及实数与向量的积都可以用坐 标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数和形紧密 结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟 悉的数量运算．
3．求一个向量时，首先求一个向量的始点和终点坐 标． 4．求一个点的坐标，可以转化为求一个始点在原点， 终点在该点的向量坐标．
思考应用 2．向量平移前后始点、终点的坐标发生了变化，而 向量本身的坐标却不变，这怎么解释呢？ 解析：解决这个问题的关键是探讨始点、终点坐 标的变化是否会引起向量坐标的变化，向量 AB 经过平 移以后得到向量CD ，这两个向量的坐标分别等于其相 应的终点的坐标减去始点坐标，尽管对应的始点、终 点坐标不同，但由坐标表示过程中构造的平行四边形 全等可知，其差值是不变的，所以一个向量的坐标只 和表示它的有向线段的始点、终点的相对位置有关， 而与具体位置无关．
m＝－3
.
∴a＝(－3，4)，b＝(5，－12).
1 解法二：a＝ [(a＋b)＋(a－b)]＝(－3，4)， 2 1 b＝ [(a＋b)－(a－b)]＝(5，－12). 2
点评：上面两种方法都是通过解方程组得到解 决，解法一侧重以坐标为主体的方程；解法二是整 体思想，解向量方程．
跟踪训练 2．已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，c＝(－6,19)， 用a，b，表示c.
基础梳理 一、平面向量的坐标表示 1．平面向量的正交分解：把一个向量分解为________ 叫做把向量正交分解． 2．在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同 的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，由 平面向量的基本定理可知，有且只有一对实数x、y使得 ________．这样平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我 们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作________，其中x 叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做 向量的坐标表示． 1.两个互相垂直的向量 2.a＝xi＋yj a＝(x，y)
点评： 坐标运算要熟记公式，始点和终点的前 后顺序不可颠倒，否则会出现错误．
跟踪训练
3．若A、B、C三点的坐标为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)， → 1→ → → 求AB＋ BC和BC－2AC的坐标． 2
分析：本题主要是考查向量的坐标表示、向量的坐 标运算．问题已给出A、B、C点的坐标，因此可写出向